CN105549598B - 一种二维运动移动机器人的迭代学习轨迹跟踪控制及其鲁棒优化方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种二维运动移动机器人的迭代学习轨迹跟踪控制及其鲁棒优化方法。首先建立二维运动移动机器人离散非线性运动系统模型的动力学方程；并建立离散非线性状态空间表达式；构建基于迭代学习控制技术的P型开闭环迭代学习控制器；然后对构建的离散非线性控制系统的鲁棒收敛性进行理论分析；进而对P型控制器的控制增益进行参数拆项，同时设计一种基于控制器参数的二次性能指标函数，目的对控制参数进行优化；最后分析优化控制算法作用于被控系统时输出误差的单调收敛特性及参数选择条件，实现二维运动移动机器人快速、高精度跟踪上期望运动轨迹。其优点是：鲁棒优化迭代学习控制器不仅适用于理想状态下的跟踪控制，而且适用于外界存在干扰情况下的轨迹跟踪任务；设计的迭代算法简单高效，不需要引入大量附加参数变量，易于工程实现。

Description

一种二维运动移动机器人的迭代学习轨迹跟踪控制及其鲁棒 优化方法
技术领域
本发明涉及一种二维运动移动机器人的迭代学习轨迹跟踪控制及其鲁棒优化方法，属于机器人优化控制领域。
背景技术
移动机器人是一种将环境感知、动态决策与规划、行为控制与执行等多项功能于一体的高度智能化系统，不仅在工业生产、国防、医疗及服务行业中得到广泛应用，而且在排雷、搜捕、救援等危险场合得到广泛应用。移动机器人在接受指令信号的基础上，可完成相应的作业任务，提高工作人员的安全性和工作效率。
随着移动机器人系统在多次重复执行某项任务时，不可避免会受到一定外界干扰因素的影响，当这些不良的影响因素干移动机器人时，可能会降低移动机器人执行任务的工作效率。基于性能指标的鲁棒单调优化技术作为移动机器人系统安全运行的重要保障对提高移动机器人控制系统的任务执行效率和抑制外界扰动因素具有重要意义，也受到越来越多的关注。
基于智能控制和优化控制理论的优化方法是优化控制分析的两个重要分枝，主要的优化方法和成果有：基于神经网络的优化方法、基于遗传算法的优化方法和基于粒子群的优化方法等。采用神经网络的优化方法一般具有很大的局限性，要获得比较可靠的优化控制器结果，必须要有已知的具体的工程应用数据样本，同时还需要足够长的时间来进行在线或离线学习训练。遗传优化的方法属随机类算法，需要多次运算，结果可靠性差，较容易收敛到局部最优解，且该方法难以处理非线性约束问题。粒子群优化方法适合实值型处理，具有算法简单，搜索速度快等优点，但该方法对于处理离散的优化问题容易陷入局部最优解，影响系统精确性。
针对二维运动移动机器人系统的重复运行特点，将迭代学习算法和最优控制理论结合构造鲁棒优化控制器，可将迭代学习控制算法简单、控制精度高的优点运用于移动机器人，最终实现对期望轨迹高精度跟踪。现有方法是将最优控制理论中性能指标引入系统输出跟踪优化，但由于控制器结构存在明显的差别，所以不同的控制算法一般不能直接运用相同的性能指标，必须根据具体的问题构造符合实际要求的性能指标对相关控制器进行优化。
发明内容
本发明的目的是解决在迭代学习控制优化技术下进一步提高非完整移动机器人运动轨迹跟踪速度问题，针对一类存在随机状态扰动、输出扰动及系统初值不严格一致的离散非线性重复系统，提出了一种基于迭代学习控制技术的P型开闭环鲁棒迭代学习轨迹跟踪控制方法，由λ范数理论证明算法的严格鲁棒稳定性，并通过多目标函数性能指标优化迭代学习控制律的增益矩阵参数，保证优化算法下系统实际输出跟踪期望轨迹且系统输出误差具有单调收敛特性，达到提高学习算法收敛速度和跟踪精度的目的。
根据本发明提供的技术方案，所述二维运动移动机器人的迭代学习轨迹跟踪控制及其鲁棒优化方法设计包括如下步骤：
第一步：构建移动机器人离散非线性系统动力学方程
二维运动移动机器人实际物理模型如式(1)所示，机器人当前位置z(t)点在广义坐标中定义为[sz(t),pz(t),θz(t)]，sz(t)和pz(t)为直角坐标系下z(t)的坐标，θz(t)为机器人的方位角；当机器人的标定方向为地理坐标系的横轴正半轴时，θz(t)定义为0；移动机器人受不完全约束的影响而只能在驱动轮轴的方向运动，点z(t)的线速度和角速度定义为和
其中：ΔT为采样时间；定义状态向量x(t)＝[sz(t),pz(t),θz(t)]T表示移动机器人在采样点处的s坐标量，p坐标量和角度量；速度向量移动机器人的输入量在点z(t)处的线速度和角速度定义为和定义变量矩阵
考虑到二维运动移动机器人受外界状态干扰因素和输出受扰因素的影响，且系统初态与期望初值不严格一致情况，将式(1)表示为如(2)形式的状态空间方程：
式中0≤t≤T，T为系统运动周期,xk(t)∈Rn,uk(t)∈Rr,yk(t)∈Rm分别表示移动机器人第k次运行时的状态量,控制输入量和输出量，即移动机器人在坐标系中的实际s坐标、p坐标及角度坐标运行轨迹；ωk(t)∈Rn，vk(t)∈Rm分别为系统第k次运行时的状态和输出干扰量，且对于任意的k＞0，t∈{0,1,…,T}，必然||ωk(t)||≤bω，||vk(t)||≤bv；f(t,xk(t))和B(t,xk(t))为系统第k次运行时的非线性系统矩阵函数，f(·)、B(·)关于x满足一致全局Lipschitz条件，函数g(t,xk(t))存在x的偏导数，满足上确界要求：且在不注明情况下，均简写为系统的初态满足条件
第二步：设计常规P型开闭环迭代学习控制器
针对非线性移动机器人系统(2)设计P型开闭环迭代学习控制律：
uk+1(t)＝uk(t)+Lk+1(t)ek(t+1)+Γk+1(t)ek+1(t) (3)
式中其中Lk+1(t)，Γk+1(t)为迭代学习的增益矩阵，由于实际控制器增益有界，因此
第三步：鲁棒迭代学习轨迹跟踪控制器收敛性分析
定义输出跟踪误差：ek(t)＝yd(t)-yk(t)，则：
||δxk(t+1)||≤||f(t,δxk(t))||+||B(t,δxk(t))||||ud(t)||+||B(t,xk(t))||||δuk(t)||+||ωk(t)|| (5)
其中为xk(t+1)与xd(t+1)之间的某个取值，为xk+1(t)与xd(t)之间的某个取值；令进而可得：
令：得到：
接下来，将式(6)代入式(7)中,并令 两端同时乘以λt，并取λ范数立即可得:
其中：
即经k次迭代后：
当λ取足够小，时：
则：
而且将式(10)代入式(11)中，进一步可得：
由式(12)可知，通过k次迭代后，最终跟踪误差会收敛到一定范围以内，即：其中：特别地，当非线性系统不存在外界因素的干扰且系统初始值与给定期望初态严格一致时，
第四步：优化鲁棒迭代学习轨迹跟踪控制器
虽然在第三步中鲁棒迭代控制器能够使得移动机器人系统满足稳定性条件，但稳定参数的选择范围较大，稳定参数的人为随意选择将使得系统即使满足稳定性条件通常也会降低最终控制性能；因此需要进一步考虑存在干扰情形下，非线性机器人离散系统(2)的鲁棒优化控制算法，其中t∈{0,1,…,T}为采样时刻，输出表示为：
yk(1)＝H(xk(0),uk(0),ωk(0)+vk(1))
·
·
·
yk(T)＝H(xk(0),uk(0),…,uk(T-1),ωk(0),…,ωk(T-1)+vk(T))
则输出误差可表示为：
ek+1＝ek-(yk+1-yk) (13)
由微分中值定理及非线性系统可得：
其中表示H(·)关于uk的Jacobain矩阵在uk+1(t)和uk(t)之间的取值，为含初值不严格一致的扰动总量。
为方便求解，将增益矩阵改写成一种特殊形式：Lk+1＝αk+1W，Γk+1＝βk+1M,其中W，M分别为与Lk+1和Γk+1相同结构和维数的构造矩阵，αk+1、βk+1分别为参量，则迭代学习控制律可改写成：
uk+1-uk＝αk+1Wek+βk+1Mek+1 (15)
得到ek+1，即进一步整理得到：
考虑性能指标：
其中调节量ψ＞0，Q＝I。
利用最优控制原理中的极值原理可以得到：
注意到这里求出的与将分别含有ψ和说明ψ与对αk+1取最优解具有调节作用，同时对βk+1也具有调节作用，因此需对ψ和求偏导求其相应的最优解，即：
综合以上优化分析条件建立多目标优化函数，得到最优化参数代入迭代学习律中即可得到鲁棒优化迭代学习的P型开闭环控制器。
第五步：系统输出跟踪误差的鲁棒单调性分析
考虑性能指标函数式(17)：
当取非最优化解αk+1＝0，βk+1＝0，则：
因此，||ek+1||≤||ek||，即误差单调收敛，||ek+1||的极限必然存在；根据可知误差会收敛到优化后的有界误差范围内；实际上，对于确定性系统，由于则误差将收敛到零；综合式(20)和式(21)可得：
经k次迭代后有：
实际上，在理想状态下系统不存在干扰，且初值严格一致的条件下，对于P型开环的参数优化式(27)中e0＝0，最终而对于非线性系统采用P型开闭环控制律，由于随机干扰的存在，且初值不严格一致，则将会无限逼近于零，但无法达到，而对于由式(23)移项整理可知其存在一定的上限。
第六步：具体鲁棒单调优化迭代学习控制方案实施
迭代学习轨迹跟踪算法具体的鲁棒优化方案如下：
1)针对被控移动机器人系统(2)，设定系统期望初始状态xk(0)，初始控制u0，期望轨迹yd，采样周期ΔT；
2)给定最大跟踪误差精度εmax；
3)设定系统批次运行时的初值xk(0)，在干扰量存在条件下运行系统并记录时刻对应的输出误差和干扰量值的大小，给定适当的W和M，带入多目标优化函数性能指标得到得到最优化控制律；
4)对第k+1批次控制量作用于被控系统，产生跟踪误差若在允许最大跟踪误差精度范围以内，结束迭代过程，否则回到3)中重新设定相应初值，继续迭代，直到达到要求误差精度范围。
本发明的优点是：针对二维运动移动机器人此类具有重复运动特征的非线性系统为被控对象进行优化设计。鲁棒迭代学习控制器的适用性更好，且对于被控系统受外界不确定干扰因素作用下，机器人系统在鲁棒控制器作用下轨迹跟踪误差依然具有较好的收敛性。本发明方法的鲁棒优化迭代控制器对于存在干扰情形下，不仅可实现系统输出误差的单调收敛，还可以在一定程度上抑制外界干扰对机器人输出跟踪误差的影响，具有更好的控制精度。本发明的控制算法简单高效，不需要引入大量附加参数变量也不用解繁琐的矩阵方程，使得算法的设计和实现都较为方便，同时还可以获得较高的跟踪精度。可进一步推广到应用于多关节机械手臂和发酵过程等实际工程对象。
附图说明
图1为移动机器人系统的物理模型图
图2为迭代学习控制技术中P型开闭环迭代学习控制器
图3为鲁棒优化P型开闭环迭代学习控制器
图4为移动机器人s坐标、p坐标及角度坐标优化前跟踪效果
图5为移动机器人s坐标与p坐标优化前在平面的运动轨迹跟踪效果
图6为移动机器人s坐标、p坐标及角度坐标优化前输出误差结果
图7为移动机器人s坐标、p坐标及角度坐标优化后跟踪效果
图8为移动机器人s坐标与p坐标优化后在平面的运动轨迹跟踪效果
图9为移动机器人s坐标、p坐标及角度坐标优化后输出误差结果
图10为传统方法与优化方法误差对比
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。
针对如图1和式(1)所示的离散非线性移动机器人系统动力学方程，设定期望位置轨迹sd(t)＝cos(πt)，pd(t)＝sin(πt)，采样时间ΔΤ＝0.001s，状态初值设为xk(0)＝[0.95,0.05,π/2]T，控制输出初值设为u0＝[0,0]T，设定允许误差精度εmax≤0.06，则离期非线性状态方程可表示为：
取参数并将如图2所示的常规P型开闭环迭代学习控制器的学习矩阵改写成Lk+1＝αk+1W，Γk+1＝βk+1M，其中，代入指标函数式(16)和(17)，并通过优化选取参数则如图3所示的鲁棒优化迭代学习控制器表示为：
将上述鲁棒优化迭代学习控制器在一片FPGA芯片EP1C6T144C8上实现。所述FPGA的输入为移动机器人的线速度和角速度分别经由扭矩传感器和旋转角度传感器检测得到的信号，输入信号通过调理电路由FPGA核心中央处理芯片按性能指标进行程序计算得出优化参数，并构建鲁棒单调优化控制器，CPU程序计算得到的输出信号为FPGA经迭代信号处理后得到最优化控制器控制信号再经RS232通信模块作用于机器人控制系统，不断修正移动机器人跟踪轨迹，直到达到设定要求，误差允许在一定范围内保持。
移动机器人控制系统(1)运行时，图4表示移动机器人s坐标、p坐标及角度坐标优化前跟踪效果，图5表示移动机器人s坐标与p坐标优化前在平面的运动轨迹跟踪效果，图6表示移动机器人s坐标、p坐标及角度坐标优化前输出误差结果；当对控制器(3)采用一种参数优化技术进行优化，并将给出的鲁棒单调优化控制器作用于移动机器人系统(1)时，由实际运行可以得到，图7表示移动机器人s坐标、p坐标及角度坐标优化后跟踪效果，图8表示移动机器人s坐标与p坐标优化后在平面的运动轨迹跟踪效果，图9表示移动机器人s坐标、p坐标及角度坐标优化后输出误差结果。由图10给出优化前与优化后的输出误差对比可以直观发现，鲁棒单调优化控制器在误差收敛速度与控制精度方面具有明显的优势。通过图10数据对比除了可以发现鲁棒单调优化控制技术在一定程度上有效提高了算法的收敛速度和跟踪精度，而且对外界扰动因素在一定程度上可以有效抑制。实际上，在目标优化理论框架内，存在外界干扰因素作用下，鲁棒优化迭代学习控制系统的跟踪误差在一定程度上不可能完全收敛到零，但最优化方法对于误差信号的范数可产生直接下降的方向，从而在一定程度上通过学习过程仍然可以实现较好的跟踪精度。
上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。

Claims (1)

1.一种二维运动移动机器人的迭代学习轨迹跟踪控制及其鲁棒优化方法，其特征包括：构建移动机器人离散非线性系统动力学方程；设计常规P型开闭环迭代学习控制器；鲁棒迭代学习轨迹跟踪控制算法的收敛性分析；进一步优化鲁棒迭代学习轨迹跟踪控制器；系统输出误差的鲁棒单调性分析；给出鲁棒优化迭代学习控制方案的具体实施；
第一步：构建移动机器人离散非线性系统动力学方程
二维运动移动机器人实际物理模型如式(1)所示，机器人当前位置z(t)点在广义坐标中定义为[sz(t),pz(t),θz(t)]，sz(t)和pz(t)为直角坐标系下z(t)的坐标，θz(t)为机器人的方位角；当机器人的标定方向为地理坐标系的横轴正半轴时，θz(t)定义为0；移动机器人受不完全约束的影响而只能在驱动轮轴的方向运动，点z(t)的线速度和角速度定义为和
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其中：ΔT为采样时间；定义状态向量x(t)＝[sz(t),pz(t),θz(t)]T表示移动机器人在采样点处的s坐标量，p坐标量和角度量，其中s坐标和p坐标分别表示直角坐标系中的横轴坐标和纵轴坐标；速度向量移动机器人的输入量在点z(t)处的线速度和角速度定义为和定义变量矩阵
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考虑到二维运动移动机器人受外界状态干扰因素和输出受扰因素的影响，且系统初态与期望初值不严格一致情况，将式(1)表示为如(2)形式的状态空间方程：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中0≤t≤T，T为系统运动周期,xk(t)∈Rn,uk(t)∈Rr,yk(t)∈Rm分别表示移动机器人第k次运行时的状态量,控制输入量和输出量，即移动机器人在坐标系中的实际坐标、坐标及角度坐标运行轨迹；ωk(t)∈Rn，vk(t)∈Rm分别为系统第k次运行时的状态和输出干扰量，且对于任意的k＞0，t∈{0,1,…,T}，必然||ωk(t)||≤bω，||vk(t)||≤bv，其中bω和bv是已知的可调常数，表示干扰量信号范数有界；f(t,xk(t))和B(t,xk(t))为系统第k次运行时的非线性系统矩阵函数，f(·)、B(·)关于x满足一致全局Lipschitz条件，函数g(t,xk(t))存在状态量x的偏导数，满足上确界要求：bgx＝sup||g′xk(t)(t,xk(t))||，且在不注明情况下，g′xk(t)(t,xk(t))均简写为g′xk(t)；系统的初态满足条件其中xd(t)表示与给定的期望轨迹yd(t)相对应的期望状态信号，满足条件yd(t)＝g(t,xd(t))，xd(0)表示xd(t)在初始时刻的期望初始状态，表示一个已知的可调常数，表示系统实际初始状态与给定的期望初始状态信号之间的偏差范围；
第二步：设计常规P型开闭环迭代学习控制器
针对非线性移动机器人系统(2)设计P型开闭环迭代学习控制律：
uk+1(t)＝uk(t)+Lk+1(t)ek(t+1)+Γk+1(t)ek+1(t) (3)
式中其中Lk+1(t)，Γk+1(t)为迭代学习的增益矩阵，由于实际控制器增益有界，因此其中bL和bΓ为给定的可调常数，用于限制增益矩阵的变化范围；
第三步：鲁棒迭代学习轨迹跟踪控制器收敛性分析
定义输出跟踪误差：ek(t)＝yd(t)-yk(t)，同时定义误差变量δxk(t)＝xd(t)-xk(t)，δuk(t)＝ud(t)-uk(t)，其中ud(t)表示使移动机器人的输出yk(t)最终完全跟踪上期望轨迹yd(t)的期望控制输入量，则：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>I</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中在xk(t+1)与xd(t+1)之间取值，取为α1和α2都是小于1的可调正数，且α1+α2＝1；在xk+1(t)与xd(t)之间取值，取为α3和α4为小于1的可调正数，且α3+α4＝1；令分别表示变量ud(t)和函数B(t,xk(t))、f(t,δxk(t))、B(t,δxk(t))在系统运动周期范围内的范数上界，则进而可得：
<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令：得到：
<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>&amp;Gamma;</mi> </msub> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>g</mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>L</mi> </msub> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>g</mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>B</mi> </msub> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>u</mi> <mi>c</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>L</mi> </msub> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>g</mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>L</mi> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>L</mi> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
接下来，将式(6)代入式(7)中,并令 两端同时乘以λt，并取λ范数立即可得:
<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：
<mrow> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>B</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>B</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>B</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mi>B</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mfrac> </mrow>
即经k次迭代后：
<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当λ取足够小，时：
<mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则：
<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>x</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;b</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;delta;u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
而且将式(10)代入式(11)中，进一步可得：
<mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>x</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;b</mi> <mi>B</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(12)可知，通过k次迭代后，最终跟踪误差会收敛到一定范围以内，即：其中：特别地，当非线性 系统不存在外界因素的干扰且系统初始值与给定期望初态严格一致时， <mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mrow>
第四步：优化鲁棒迭代学习轨迹跟踪控制器
虽然在第三步中鲁棒迭代学习轨迹跟踪控制器能够使得移动机器人系统满足稳定性条件，但稳定参数的选择范围较大，稳定参数的人为随意选择将使得系统即使满足稳定性条件通常也会降低最终控制性能；因此需要进一步考虑存在干扰情形下，非线性机器人离散系统(2)的鲁棒优化控制算法，其中t∈{0,1,…,T}为采样时刻；将式(2)中的状态量xk(t)代入yk(t)，则输出表示为：
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其中H(·)表示非线性机器人离散系统(2)运行时，在一个运行周期内所有采样点t∈{0,1,…,T}都满足的一个非线性函数，则输出误差可表示为：
ek+1＝ek-(yk+1-yk) (13)
由微分中值定理及非线性系统可得：
<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>H</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中表示H(·)关于uk的Jacobain矩阵在uk+1(t)和uk(t)之间的取值，为含初值不严格一致的扰动总量；
为方便求解，将增益矩阵改写成一种特殊形式：Lk+1＝αk+1W，Γk+1＝βk+1M,其中W，M分别为与Lk+1和Γk+1相同结构和维数的构造矩阵，αk+1、βk+1分别为参量，则迭代学习控制律可改写成：
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得到ek+1，即进一步整理得到：
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考虑性能指标：
其中调节量ψ＞0，Q＝I；
利用最优控制原理中的极值原理可以得到：
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注意到这里求出的与将分别含有ψ和说明ψ与对αk+1取最优解具有调节作用，同时对βk+1也具有调节作用，因此需对ψ和求偏导求其相应的最优解，即：
综合以上优化分析条件建立多目标优化函数，得到最优化参数代入迭代学习律中即可得到鲁棒优化迭代学习的P型开闭环控制器；
第五步：系统输出跟踪误差的鲁棒单调性分析
考虑性能指标函数式(17)：
当取非最优化解αk+1＝0，βk+1＝0，则：
因此，||ek+1||≤||ek||，即误差单调收敛，||ek+1||的极限必然存在；根据可知误差会收敛到优化后的有界误差范围内；实际上，对于确定性系统，由于则误差将收敛到零；综合式(20)和式(21)可得：
经k次迭代后有：
实际上，在理想状态下系统不存在干扰，且初值严格一致的条件下，对于P型开环的参数优化式(27)中e0＝0，最终而对于非线性系统采用P型开闭环控制律，由于随机干扰的存在，且初值不严格一致，则将会无限逼近于零，但无法达到，而对于由式(23)移项整理可知其存在一定的上限；
第六步：具体鲁棒单调优化迭代学习控制方案实施
迭代学习轨迹跟踪算法具体的鲁棒优化方案如下：
1)针对被控移动机器人系统，设定系统期望初始状态xk(0)，初始控制u0，期望轨迹yd，采样周期ΔT；
2)给定最大跟踪误差精度εmax；
3)设定系统批次运行时的初值xk(0)，在干扰量存在条件下运行系统并记录时刻对应的输出误差和干扰量值的大小，给定适当的W和M，带入多目标优化函数性能指标得到得到最优化控制律；
4)对第k+1批次控制量作用于被控移动机器人系统，产生跟踪误差若在允许最大跟踪误差精度范围以内，结束迭代过程，否则回到3)中重新设定相应初值，继续迭代，直到达到要求误差精度范围；
将上述鲁棒单调优化迭代学习控制方案在FPGA芯片EP1C6T144C8上实现，输入量为移动机器人的线速度和角速度其线速度和角速度信号分别由扭矩传感器和旋转角度传感器检测得到，输入信号通过调理电路由FPGA核心中央处理芯片按性能指标进行程序计算得出优化参数，并构建鲁棒单调优化控制器，CPU程序计算得到的输出信号为FPGA经迭代信号处理后得到最优化控制器控制信号再经RS232通信模块作用于机器人控制系统，不断修正二维运动移动机器人的跟踪轨迹，直到达到设定要求，误差允许在一定范围内保持。
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