CN105607473B - 小型无人直升机的姿态误差快速收敛自适应控制方法 - Google Patents
小型无人直升机的姿态误差快速收敛自适应控制方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明涉及一种小型无人直升机非线性控制方法，为提供一种基于二阶自适应终端滑模控制器的小型无人直升机姿态控制方法，实现在小型无人直升机在存在外界干扰的情况下，仍能实现姿态误差的快速收敛，保持较为精确的姿态跟踪控制效果和较强的系统鲁棒性能。为此，本发明采取的技术方案是，小型无人直升机的二阶自适应终端滑模姿态控制方法，在小型无人直升机外界干扰的情况下，将二阶自适应终端滑模方法用于小型无直升人机的姿态系统控制中，具体包括以下步骤：1)确定小型无人直升机姿态动力学模型；2)定义姿态角跟踪误差并整理动力学误差模型；3)控制律设计；4)自适应控制增益设计。本发明主要应用于直升机非线性控制。
Description
技术领域
本发明涉及一种小型无人直升机非线性控制方法，特别是涉及一种基于二阶自适应终端滑模的小型无人直升机自适应控制方法。具体讲,涉及小型无人直升机的姿态误差快速收敛自适应控制方法。
背景技术
小型无人直升机作为旋翼无人机中的一种,具有可垂直起降、良好的机动性、能完成定点悬停、可低空飞行等优点。主要应用于军事侦察、搜索救援、气象观测、农药喷洒、建筑测绘等军用及民用领域。无人直升机系统具有静不稳、非线性、强耦合、强不确定性等特性，其控制器的设计一直都是国内外研究的热点及难点。
目前针对无人直升机的控制方法可被分为三类：线性控制、非线性控制、智能控制。线性控制器基于直升机的近似线性模型进行设计，常用的线性控制方法有PID(比例微分积分)、LQR(线性二次型调节器)、H无穷等。线性控制器设计简单，已经被广泛用于直升机实验平台的控制中，但线性控制器只能应用于系统状态位于平衡点附近的情况，有较大的局限性(期刊：Journal of Intelligent and Robotic Systems；著者：Godbolt B,Vitzilaios N I,Lynch A F；出版年月：2013；文章题目：Experimental validation of ahelicopter autopilot design using model-based PID control；页码：385-399)。
为了克服线性控制器的缺点，可以采用非线性控制器，非线性控制可以实现无人直升机大范围飞行包线的精确跟踪控制，但控制精度较为依赖被控系统数学模型的精确程度。针对无人机数学模型中的参数不确定和外界不可测扰动问题，Suzuki S等人基于反步法和自适应控制方法，设计姿态跟踪控制器,使得控制器具有较好的控制精度和一定的鲁棒性(期刊：Journal of System Design and Dynamics；著者：Suzuki S,Nonami K；出版年月：2011；文章题目：Nonlinear Adaptive Control for Small-Scale Helicopter；页码：866-880)。Liu C等人则采用非线性型模型预测控制并加入扰动观测器来实现对不确定信息的鲁棒性能(期刊：Control Engineering Practice；著者：Liu C,Chen W H,Andrews J；出版年月：2012；文章题目：Tracking control of small-scale helicopters usingexplicit nonlinear MPC augmented with disturbance observers；页码：258-268)。
近年来随着智能控制理论的发展，研究人员也将智能控制算法应用于直升机的控制中，取得了成功。常用的方法有神经网络、模糊逻辑等。智能控制算法不依赖于被控对象的数学模型知识，实现简单，但其缺乏系统的稳定性证明理论(期刊：Journal ofIntelligent and Robotic Systems；著者：Garratt M,Anavatti S；出版年月：2012；文章题目：Nonlinear control of heave for an unmanned helicopter using a neuralnetwork；页码：495-504)。
在众多控制方法中，滑模控制作为一种经典的鲁棒控制方法，通过加入不连续的开关切换项来克服系统内部不确定性和外界扰动的影响，强迫系统状态沿着设定的滑模面轨迹运动，具有结构简单、性能好、鲁棒性强的优点，被广泛用于实际被控系统的控制中(期刊：控制理论与应用；著者：刘金琨，孙富春；出版年月：2007；文章标题：滑模变结构控制理论及其算法研究与进展；页码：407-418)。传统滑模控制虽然性能优良，但也存在着一些缺陷.第一，滑模面的设计采用系统状态的线性组合形式，使得系统状态最终达到渐近收敛，不适用于某些对控制精度有高要求的场合。第二，由于存在不连续的切换项，将使得控制输入产生抖振现象。在实际应用中，抖振现象可能产生高频响应，造成系统不稳定，也会导致执行器损坏。第三，滑模控制中控制增益的选取需要对系统不确定性的上界有一个先验的估计。控制增益选取过小，将会丧失控制能力，导致系统不稳定；控制增益选取过大，将会带来较大的抖振，浪费了控制能量，也将影响控制精度。
发明内容
为克服现有技术的不足，本发明旨在提供一种基于二阶自适应终端滑模控制器的小型无人直升机姿态控制方法，实现在小型无人直升机在存在外界干扰的情况下，仍能实现姿态误差的快速收敛，保持较为精确的姿态跟踪控制效果和较强的系统鲁棒性能。为此，本发明采取的技术方案是，小型无人直升机的二阶自适应终端滑模姿态控制方法，在小型无人直升机外界干扰的情况下，将二阶自适应终端滑模方法用于小型无直升人机的姿态系统控制中，具体包括以下步骤：
1)确定小型无人直升机姿态动力学模型；
利用拉格朗日方程来描述其姿态动力学模型如下：
式中代表姿态向量，其中为滚转角，θ为俯仰角，ψ为偏航角，M(η)∈R3×3为可逆的惯性矩阵，为向心力与科氏力矩阵；τ∈R3×1为无人机的控制力矩输入，τd∈R3×1为无人机机体受到的外界时变扰动，符号上方一点表示一阶导数，两点表示二阶导数，各变量均定义在惯性坐标系下；
2)定义姿态角跟踪误差并整理动力学误差模型；
定义跟踪误差e及其一阶时间导数与二阶时间导数为：
e＝η-ηd,
式中ηd、为给定的时变姿态参考轨迹及其一阶与二阶时间导数，控制目标是使姿态跟踪给定的参考轨迹，即e→0；
对式(2)两端同时求时间导数，并将式(1)代入整理得到：
式中为系统摄动向量，假设χ>0为一个正常数；
设计线性滑模面s为：
式中α＝diag(α1,α2,α3)为线性滑模面参数矩阵，且满足α1,α2,α3>0；对式(4)两端同时求一阶和二阶时间导数得到：
设计非线性终端滑模面σ为：
式中β＝diag(β1,β2,β3)为非线性滑模面参数矩阵，且满足β1,β2,β3>0，p和q也为滑模面参数，满足p和q为正奇数，且1<p/q<2，对式(6)两端同时求一阶时间导数，得到的表达式：
3)控制律设计；
设计控制输入转矩τ为：
式中为等效控制输入，为切换控制输入；具体设计如下:
式中G＝diag(g1,g2,g3)为固定控制器增益矩阵，K＝diag(k1,k2,k3)为自适应控制器增益矩阵；将式(8)-(10)代入式(7)后得到闭环误差动力学方程为:
4)自适应控制增益设计；
设计滚转、俯仰和偏航通道的自适应控制增益k1、k2、k3的更新律为:当|σi|≠0时，设计为:
式中λi为自适应控制增益相关参数，满足λi>0,ki(0)>0,i＝1,2,3.当|σi|＝0时，ki设计为:
式中为一固定参数，q为引入的滤波变量，τ0为q的时间常数，满足t*代表滑模面从|σi|≠0状态到|σi|＝0状态的切换时刻，即σ(t*-)≠0,σ(t*)＝0.t*-代表t*的前一时刻。
控制方法即控制器稳定性分析
定理1对于式(1)的非线性系统，设计滑模面σ的误差动力学方程为式(7)，设计控制输入为式(8)-(10),自适应控制增益为式(12)、(13)，则存在一个有限时间tF≥0，使得滑模面σ对于任意t≥tF，都有
σ＝0. (14)
证明：此定理的证明包括以下两个步骤：
步骤1当σ≠0时，给出引理1：
引理1对于滑模面σ的闭环动力学方程式(11)，设计控制增益自适应律式(12)、(13)，则自适应控制增益存在上界，即存在一个正数K*，使得
定义控制增益自适应误差为选取非负Lyapunov候选函数V为：
其中为常系数。对式(16)等式两边求一阶时间导数可得的表达式为：
为K(t)的一阶时间导数，将式(11)和式(12)代入式(17)可得：
由引理1可知对任意t>0总存在K*>0使得K<K*，将式(18)整理后得
由此可知总存在着K*>χ以及使得βσ>0和βK>0成立，得出
式中因此对任意初始状态|σ(0)|>0,经过有限时间tF将会收敛于σ(t)＝0,tF通过计算得出
步骤2若自适应增益K足以抵消系统的不确定性时,依照式(12)的自适应律,系统的滑模面将保持在σ(t)＝0，因此当σ(t)＝0时，满足参考文献中定理1的条件,滑模面将保持σ(t)＝0；
定理1得证。
引理1证明：假设初始状态σ(t)≠0，系统不确定性χ有界，则由式(12)的自适应律可以得出自适应增益k将增长，假设达到时刻t1时,满足k(t1)>χ，由此可知k已经足够大已使得滑模面收敛，设t2时刻σ＝0，则k(t2)必然是有界的，之后自适应增益k将按照式(13)的规律下降；因此总存在一个正数k*使得对所有t>0都有k(t)<k*；引理1得证。
本发明的技术特点及效果：
1.本发明采用基于二阶自适应终端滑模的方法来设计控制器，在系统具有外界不确定扰动的情况下，使得小型无人直升机具有较好的姿态跟踪控制效果，并保证所有闭环信号的有界性和姿态控制误差的有限时间收敛。
2.本发明实现简单，需要的计算量较小，可满足大部分的飞行情况。通过在控制输入的时间导数中加入不连续的滑模切换项，经过积分后得到平滑而连续的真实控制输入，削弱了传统滑模控制的存在的抖振问题，提高了控制品质。
3.本发明中的自适应控制增益设计，用自适应控制增益取代固定控制增益，使控制器能根据外界不可测扰动自适应调节控制增益，提高了控制器的鲁棒性能，既保持较好的控制精度，又节约控制能量。
附图说明：
图1是数值仿真中采用本发明方法的无人直升机姿态角误差曲线；
图2是数值仿真中采用本发明方法的无人直升机控制输入曲线；
图3是数值仿真中采用传统滑模方法的无人直升机控制输入曲线；
图4是数值仿真中采用传统滑模方法的无人直升机控制输入曲线；
图5是本发明所采用的实验平台；
图6是镇定实验时采用本发明方法的无人直升机姿态角曲线；
图7是镇定实验时采用本发明方法的无人直升机控制输入曲线；
图8是镇定实验时采用本发明方法的无人直升机自适应增益曲线。
具体实施方式
本发明采取的技术方案是，小型无人直升机的二阶自适应终端滑模姿态控制方法，在小型无人直升机外界干扰的情况下，将二阶自适应终端滑模方法用于小型无直升人机的姿态系统控制中，包括以下步骤：
1)确定小型无人直升机姿态动力学模型；
小型无人直升机的姿态动力学模型是一个多输入多输出的非线性系统。通常情况下为方便控制，可以将直升机看作一个刚体。利用拉格朗日方程来描述其姿态动力学模型如下：
式中代表姿态向量，其中为滚转角，θ为俯仰角，ψ为偏航角，M(η)∈R3×3可逆的惯性矩阵，为向心力与科氏力矩阵；τ∈R3×1为无人机的控制力矩输入，τd∈R3×1为无人机机体受到的外界时变扰动，符号上方一点表示一阶导数，两点表示二阶导数，各变量均定义在惯性坐标系下。
2)定义姿态角跟踪误差并整理动力学误差模型；
定义跟踪误差e及其一阶时间导数与二阶时间导数为：
e＝η-ηd,
式中ηd、为给定的时变姿态参考轨迹及其一阶与二阶时间导数，控制目标是使姿态跟踪给定的参考轨迹，即e→0。
对式(2)两端同时求时间导数，并将式(1)代入整理得到：
式中为系统摄动，假设χ>0为一个正常数。
设计线性滑模面s为：
式中α＝diag(α1,α2,α3)为线性滑模面参数矩阵，且满足α1,α2,α3>0；对式(4)两端同时求一阶和二阶时间导数得到：
设计非线性终端滑模面σ为：
式中β＝diag(β1,β2,β3)为非线性滑模面参数矩阵，且满足β1,β2,β3>0，p和q也为滑模面参数，满足p和q为正奇数，且1<p/q<2，对式(6)两端同时求一阶时间导数，得到的表达式：
3)控制律设计；
设计控制输入转矩τ为：
式中为等效控制输入，为切换控制输入。具体设计如下:
式中G＝diag(g1,g2,g3)为固定控制器增益矩阵，K＝diag(k1,k2,k3)为自适应控制器增益矩阵。将式(8)-(10)代入式(7)后得到闭环误差动力学方程为:
4)自适应控制增益设计；
设计滚转、俯仰和偏航通道的自适应控制增益k1、k2、k3的更新律为:当|σi|≠0时，设计为:
式中λi为自适应控制增益相关参数，满足λi>0,ki(0)>0,i＝1,2,3.当|σi|＝0时，ki设计为:
式中为一固定参数，q为引入的滤波变量，τ0为q的时间常数，满足t*代表滑模面从|σi|≠0状态到|σi|＝0状态的切换时刻，即σ(t*-)≠0,σ(t*)＝0.t*-代表t*的前一时刻。
5)控制器稳定性分析；
定理1对于式(1)的非线性系统，设计滑模面σ的误差动力学方程为式(7)，设计控制输入为式(8)-(10),自适应控制增益为式(12)、(13)，则存在一个有限时间tF≥0，使得滑模面σ对于任意t≥tF，都有
σ＝0. (14)
证明：此定理的证明包括以下两个步骤：
步骤1当σ≠0时，给出引理1。
引理1对于滑模面σ的闭环动力学方程式(11)，设计控制增益自适应律式(12)、(13)，则自适应控制增益存在上界，即存在一个正数K*，使得
定义控制增益自适应误差为选取非负Lyapunov候选函数V为：
其中为常系数。对式(16)等式两边求一阶时间导数可得的表达式为：
为K(t)的一阶时间导数，将式(11)和式(12)代入式(17)可得：
由引理1可知对任意t>0总存在K*>0使得K<K*，将式(18)整理后得
由此可知总存在着K*>χ以及使得βσ>0和βK>0成立，可以得出
式中因此对任意初始状态|σ(0)|>0,经过有限时间tF将会收敛于σ(t)＝0,tF可通过计算得出
步骤2当σ(t)＝0时,由文献中的定理1可得(期刊：Annual Reviews in Control；著者：Lee H，Utkin V I；出版年月：2007；文章题目：Chattering suppression methods insliding mode control systems；页码：179-188),若自适应增益K足以抵消系统的不确定性时,依照式(12)的自适应律,系统的滑模面将保持在σ(t)＝0。因此当σ(t)＝0时，满足参考文献中定理1的条件,滑模面将保持σ(t)＝0。
定理1得证。
引理1证明：假设初始状态σ(t)≠0，系统不确定性χ有界，则由式(12)的自适应律可以得出自适应增益k将增长。假设达到时刻t1时,满足k(t1)>χ.由此可知k已经足够大已使得滑模面收敛，设t2时刻σ＝0，则k(t2)必然是有界的，之后自适应增益k将按照式(13)的规律下降。因此总存在一个正数k*使得对所有t>0都有k(t)<k*。引理1得证。
下面结合数值仿真和飞行实验对本发明在小型无人直升机的姿态控制问题的中的有效性做出详细说明。
一、数值仿真
为验证上述控制律设计的有效性，本文利用Matlab/Simulink进行数值仿真验证，采用式(1)中的小型无人直升机非线性姿态动力学模型，选取模型中无人机系统的有关参数为：Jxx＝0.18kgm2,Jyy＝0.34kgm2,Jzz＝0.28kgm2.外界扰动τd＝[0.1sin(0.1πt),0.1sin(0.1πt),0.1sin(0.1πt)]T.
进行姿态跟踪控制仿真,设计无人直升机的跟踪目标为:ηt(t)＝[0.1cos(0.4πt),0.1sin(0.1πt),0]T.初始姿态为η(0)＝[0.1,0,0.2]T.设置控制器参数为:α＝diag(50,50,50),p＝5,q＝3,β＝diag(0.1,0.1,0.1).控制增益相关参数为G＝diag(0.1,0.1,0.1),λ＝[2,0.7,0.1]T,数值仿真结果如图1与图2所示。图1为姿态角跟踪误差曲线，图2为控制输入曲线。
为了验证本文所提出算法的有效性，对于同样的被控系统，采用传统滑模控制方法进行姿态跟踪控制仿真，设计控制器为：
u＝-kslidesgn(s) (22)
其中αslide＝diag(50,50,50),kslide＝diag(0.15,0.15,0.15),传统滑模算法数值仿真结果如图3与图4所示。图3为姿态角跟踪误差曲线，图4为控制输入曲线。
比较图1至图4的仿真结果可得，本发明所设计的二阶自适应终端滑模控制器相比于传统的滑模控制器而言，有效地减小了控制输入的抖振现象，提高了控制品质。
二、飞行实验
为验证本发明所提出的控制器设计方法的有效性，进行了相关的飞行实验。该实验均在本研究组自主设计的无人直升机硬件在环仿真平台上完成，实验平台具体情况如图5所示。该实验平台以基于Matlab RTW工具箱的xPC目标为实时仿真环境，选用TREX-450小型电动航模直升机作为机身本体，整个硬件在环仿真系统控制频率为500Hz。采用自主设计的基于ARM Cortex-M3内核的惯性测量单元作为传感器。该传感器提供三轴角度和角速度信息，旋转角、俯仰角的测量精度为±0.2°，偏航角的测量精度为±0.5°。
采用该无人直升机硬件在环仿真平台进行镇定飞行实验，设置相关控制器参数为：α＝diag(65,65,10),p＝5,q＝3,β＝diag(0.1,0.1,0.01),G＝diag(5,5,10-3),λ＝[0.1,0.1,15*10-5]T,
实验过程中，首先由操作人员手动起飞无人直升机，然后通过遥控器中的一路切换通道改为自动飞行状态。小型无人直升机利用本文所提出的控制器，在10秒时刻进行手动转自动切换，切换后保持悬停状态飞行。在50秒时刻由外界加入风速为3-5米每秒的阵风干扰直到实验结束，测试小型无人机的抗风鲁棒性能。具体的姿态角镇定的实验结果如图6至图8所示。
图6为小型无人机姿态角变化曲线，由图可知在无风悬停时可知姿态角的调节时间在5秒以内，滚转角和俯仰角控制精度保持在1度以内，偏航角控制精度保持在2度以内。加入阵风干扰后，控制器仍能使直升机保持稳定悬停状态，滚转角和俯仰角控制精度保持在1.5度以内，偏航角控制精度保持在2度以内。从图7和图8可以看出,控制输入及自适应控制增益均稳定在一定范围内,该实验结果验证了本文所提出的控制器的合理性。
Claims (3)
1.一种小型无人直升机的二阶自适应终端滑模姿态控制方法，其特征是，在小型无人直升机外界干扰的情况下，将二阶自适应终端滑模方法用于小型无直升人机的姿态系统控制中，具体包括以下步骤：
1)确定小型无人直升机姿态动力学模型；
利用拉格朗日方程来描述其姿态动力学模型如下：
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式中代表姿态向量，其中为滚转角，θ为俯仰角，ψ为偏航角，M(η)∈R3×3为可逆的惯性矩阵，为向心力与科氏力矩阵；τ∈R3×1为无人机的控制力矩输入，τd∈R3×1为无人机机体受到的外界时变扰动，符号上方一点表示一阶导数，两点表示二阶导数，各变量均定义在惯性坐标系下；
2)定义姿态角跟踪误差并整理动力学误差模型；
定义跟踪误差e及其一阶时间导数与二阶时间导数为：
e＝η-ηd,
<mrow>
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<mi>e</mi>
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式中ηd、为给定的时变姿态参考轨迹及其一阶与二阶时间导数，控制目标是使姿态跟踪给定的参考轨迹，即e→0；
对式(2)两端同时求时间导数，并将式(1)代入整理得到：
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式中为系统摄动，假设χ>0为一个正常数；
设计线性滑模面s为：
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式中α＝diag(α1,α2,α3)为线性滑模面参数矩阵，且满足α1,α2,α3>0；对式(4)两端同时求一阶和二阶时间导数得到：
<mrow>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
设计非线性终端滑模面σ为：
<mrow>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>=</mo>
<mi>s</mi>
<mo>+</mo>
<mi>&beta;</mi>
<msup>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中β＝diag(β1,β2,β3)为非线性滑模面参数矩阵，且满足β1,β2,β3>0，p和q也为滑模面参数，满足p和q为正奇数，且1<p/q<2，对式(6)两端同时求一阶时间导数，得到的表达式：
<mrow>
<mover>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
<mo>*</mo>
<mi>&beta;</mi>
<mo>*</mo>
<msup>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>/</mo>
<msup>
<mi>p&beta;</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<msup>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
3)控制律设计；
设计控制输入转矩τ为：
<mrow>
<mi>&tau;</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mo>&Integral;</mo>
<mn>0</mn>
<mi>t</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mi>&tau;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>e</mi>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>d</mi>
<mi>&phi;</mi>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mo>&Integral;</mo>
<mn>0</mn>
<mi>t</mi>
</msubsup>
<msub>
<mover>
<mi>&tau;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>w</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>d</mi>
<mi>&phi;</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中为等效控制输入，为切换控制输入；具体设计如下:
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&tau;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>e</mi>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mfrac>
<mi>d</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<msub>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>d</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mi>d</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>C</mi>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>&eta;</mi>
<mo>,</mo>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>q</mi>
<mo>/</mo>
<msup>
<mi>p&beta;</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>-</mo>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&alpha;</mi>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mover>
<mi>M</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&tau;</mi>
<mo>-</mo>
<mi>C</mi>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>&eta;</mi>
<mo>,</mo>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&tau;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>w</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>G</mi>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>-</mo>
<mi>K</mi>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中G＝diag(g1,g2,g3)为固定控制器增益矩阵，K＝diag(k1,k2,k3)为自适应控制器增益矩阵；
将式(8)-(10)代入式(7)后得到闭环误差动力学方程为:
<mrow>
<mover>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
<mi>&beta;</mi>
<msup>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mo>,</mo>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mi>G</mi>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>-</mo>
<mi>K</mi>
<mi> </mi>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
4)自适应控制增益设计；
设计滚转、俯仰和偏航通道的自适应控制增益k1、k2、k3的更新律为:当|σi|≠0时，设计为:
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&lambda;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>|</mo>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>|</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中λi为自适应控制增益相关参数，满足λi>0,ki(0)>0,i＝1,2,3；当|σi|＝0时，ki设计为:
<mrow>
<msub>
<mi>k</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mi>t</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>|</mo>
<mi>q</mi>
<mo>|</mo>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mover>
<mi>q</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<mi>sgn</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>13</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中为一固定参数，q为引入的滤波变量，τ0为q的时间常数，满足
t*代表滑模面从|σi|≠0状态到|σi|＝0状态的切换时刻，即σ(t*-)≠0,σ(t*)＝0，t*-代表t*的前一时刻。
2.如权利要求1所述的小型无人直升机的二阶自适应终端滑模姿态控制方法，其特征是，控制方法即控制器稳定性分析步骤如下：
定理1：对于式(1)的非线性系统，设计滑模面σ的误差动力学方程为式(7)，设计控制输入为式(8)-(10),自适应控制增益为式(12)、(13)，则存在一个有限时间tF≥0，使得滑模面σ对于任意t≥tF，都有
σ＝0 (14)
证明：此定理的证明包括以下两个步骤：
步骤1：当σ≠0时，给出引理1：
引理1：对于滑模面σ的闭环动力学方程式(11)，设计控制增益自适应律式(12)、(13)，则自适应控制增益存在上界，即存在一个正数K*，使得
<mrow>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&le;</mo>
<msup>
<mi>K</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<mo>,</mo>
<mo>&ForAll;</mo>
<mi>t</mi>
<mo>></mo>
<mn>0</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
定义控制增益自适应误差为选取非负Lyapunov候选函数V为：
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>&lsqb;</mo>
<msup>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>K</mi>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>K</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msup>
<msup>
<mi>&Gamma;</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>K</mi>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>K</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>16</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中为常系数，对式(16)等式两边求一阶时间导数可得的表达式为：
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>K</mi>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>K</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msup>
<msup>
<mi>&Gamma;</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mover>
<mi>K</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>17</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
为K(t)的一阶时间导数，将式(11)和式(12)代入式(17)可得：
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>G&sigma;</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>+</mo>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
<mi>&beta;</mi>
<msup>
<mover>
<mi>s</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>/</mo>
<mi>q</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>F</mi>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>&eta;</mi>
<mo>,</mo>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>-</mo>
<mi>K</mi>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
<mo>|</mo>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>|</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>K</mi>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>K</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msup>
<msup>
<mi>&Gamma;</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mi>&lambda;</mi>
<mo>|</mo>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>|</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>18</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
由引理1可知对任意t>0总存在K*>0使得K<K*，将式(18)整理后得
由此可知总存在着K*>χ以及使得βσ>0和βK>0成立，得出
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>&le;</mo>
<mo>-</mo>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mn>2</mn>
</msqrt>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>K</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>&Gamma;</mi>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>&le;</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&mu;V</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>/</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>20</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中因此对任意初始状态|σ(0)|>0,经过有限时间tF将会收敛于σ(t)＝0,tF通过计算得出
<mrow>
<msub>
<mi>t</mi>
<mi>F</mi>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>V</mi>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>/</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mi>&mu;</mi>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>21</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
步骤2：若自适应增益K足以抵消系统的不确定性时,依照式(12)的自适应律,系统的滑模面将保持在σ(t)＝0，因此当σ(t)＝0时，满足定理1的条件,滑模面将保持σ(t)＝0；定理1得证。
3.如权利要求2所述的小型无人直升机的二阶自适应终端滑模姿态控制方法，其特征是，引理1证明：假设初始状态σ(t)≠0，系统不确定性χ有界，则由式(12)的自适应律可以得出自适应增益k将增长，假设达到时刻t1时,满足k(t1)>χ，由此可知k已经足够大已使得滑模面收敛，设t2时刻σ＝0，则k(t2)必然是有界的，之后自适应增益k将按照式(13)的规律下降；因此总存在一个正数k*使得对所有t>0都有k(t)<k*；引理1得证。
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| CN102929151A (zh) * | 2012-11-14 | 2013-02-13 | 北京理工大学 | 一种基于指数时变二阶滑模的再入飞行姿态控制方法 |
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2015
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|---|---|
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