CN109564406B - 一种自适应终端滑模控制方法 - Google Patents

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CN109564406B CN201680087648.4A CN201680087648A CN109564406B CN 109564406 B CN109564406 B CN 109564406B CN 201680087648 A CN201680087648 A CN 201680087648A CN 109564406 B CN109564406 B CN 109564406B
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Abstract

一种自适应终端滑模控制方法，通过建立多输入多输出非线性系统的动力学方程、确定滑模面
Figure 161144DEST_PATH_IMAGE002
、引入n维自适应更新率Γ̂adaptive,.n、计算驱动非线性系统所需的主动力/力矩值的方式，保证系统在有限时间内的收敛性和稳定性。该方法使系统的跟踪误差在有限时间内收敛至零；并能在线估计系统不确定上边界的值，从而在很大程度上消减颤振问题。该方法适用于各种机器人系统、飞行器系统及其他可采用多输入多输出非线性系统/线性系统来描述的各类应用系统。

Description

一种自适应终端滑模控制方法
技术领域
本发明涉及自动控制领域控制技术，特别是涉及一种多输入多输出非线性系统自适应终端滑模控制方法。
背景技术
滑模控制，即SMC-sliding mode control，是一种简单高效的鲁棒控制方法，由于其对系统存在不确定性的不敏感性，已经在如机器人、航天器等很多系统中成功应用。实际上，是两个基础元件形成了滑模控制的特性：一方面，驱动力促使系统状态达到并保持在一个稳定的超平面上，另一方面，滑移面则实现了理想的误差动态控制。通常，在常规的滑模控制方案中，线性滑模面可以实现系统的渐近稳定性，但是并不能使系统状态误差在有限时间内收敛至零。为了获得系统状态误差有限时间的收敛性，终端滑模控制，即TSMC-terminal SMC，通过引入非线性滑模面以获得更快的收敛性。
然而，普通终端滑模控制TSMC存在奇异性问题，因此，非奇异终端滑模控制，即NTSMC-non-singularity terminal SMC，被成功开发用于避免奇异性问题，由于其对系统不确定性的不敏感性、有限时间内收敛性及非奇异性的优点，非奇异终端滑模控制NTSMC作为一种滑模控制SMC的改进方案，已经被广泛应用于线性和非线性不确定系统。在过去的十多年中，如何设计非奇异终端滑模控制NTSMC的不确定上界，使得系统能够最大限度的减小颤振现象并减小跟踪误差，一直是研究的热点和难点。另外，如果考虑多输入多输出非线性系统可能存在的各个自由度方向的不同动力学特性，则可适用的非奇异终端滑模控制NTSMC方法的设计就变得更为困难。
发明公开
为了解决滑模控制SMC系统状态误差在有限时间内不能收敛至零、普通终端滑模控制TSMC存在的奇异性问题、非奇异终端滑模控制NTSMC因不确定上界无法自行调节会引起严重颤振的问题，本发明提出了一种自适应终端滑模控制方法，它通过新颖的控制方案，使多输入多输出非线性系统的跟踪误差在有限时间内收敛至零；并能在线估计系统不确定上边界的值，从而在很大程度上消减颤振问题。并且，本发明针对各自由度特性不同的多输入多输出非线性系统所提出的控制方法，可以被直接应用于各自由度方向特性相同/相似的多输入多输出非线性系统，而且也可以被直接应用于各类的线性系统，具有更为广泛的应用领域和适用对象。
为了实现上述目的，本发明提供了一种自适应终端滑模控制方法，该方法包括以下四个主要运算步骤：
1)首先，建立多输入多输出非线性系统的动力学方程
在考虑不确定性因素的情况下，多输入多输出非线性系统的动力学方程为：
Figure BDA0001943419630000021
Figure BDA0001943419630000022
式中，
Figure BDA0001943419630000023
和
Figure BDA0001943419630000024
代表系统状态向量；
Figure BDA0001943419630000025
为平滑的系统状态方程；
Figure BDA0001943419630000026
代表可计算项；
Figure BDA0001943419630000027
为控制向量；
Figure BDA0001943419630000028
表示*的一阶导数，如
Figure BDA0001943419630000029
即为x1的一阶导数；
Figure BDA00019434196300000210
为系统不确定项；
2)其次，确定滑模面s
考虑不同自由度方向动力学特性的区别，设计如下公式：
Figure BDA00019434196300000211
ε1＝x1-x1,d④
式中，
Figure BDA00019434196300000212
为滑模面；ε1为系统的状态跟踪误差向量；x1为实际的系统状态；x1,d为期望的系统状态；*i表示*的第i个元素；
Figure BDA00019434196300000213
代表由元素*组成的向量/矩阵；
Figure BDA00019434196300000214
代表由元素
Figure BDA00019434196300000215
组成的向量；Ddiag(λi)代表由元素λi组成的矩阵；pi,qi,λi，i＝1...n取正数且满足1＜pi/qi＜2，为控制系统的设计量；
3)再次，引入n维自适应更新率
Figure BDA00019434196300000216
n维自适应更新率
Figure BDA00019434196300000217
的更新规则为：
Figure BDA0001943419630000031
Figure BDA0001943419630000032
Figure BDA0001943419630000033
Figure BDA0001943419630000034
式中，
Figure BDA0001943419630000035
代表系统不确定上边界的估计值，它是一个随时间变化的向量，也称为n维自适应更新率
Figure BDA0001943419630000036
Figure BDA0001943419630000037
和
Figure BDA0001943419630000038
分别为系统不确定项δtotal,n对应参数的估计值；d1,n,i，d2,n,i和d3,n,i取正数，为控制系统的设计量；||*||为取范数运算；*2为求平方值运算；
Figure BDA0001943419630000039
表示f1关于x2的偏导数；式⑤可分别设定系统每个自由度方向的不确定项上边界；
4)最后，计算驱动非线性系统所需的主动力/力矩值
计算驱动力/力矩的公式如下：
Figure BDA00019434196300000310
Figure BDA00019434196300000311
式中，
Figure BDA00019434196300000312
为本发明自适应终端滑模控制方法的驱动力/力矩；κ为自定义的中间变量；
Figure BDA00019434196300000313
表示f1关于x1的偏导数；
Figure BDA00019434196300000314
表示*的二阶导数；*+表示*的广义逆；*-1表示*的逆；
Figure BDA00019434196300000315
代表由元素*组成的向量/矩阵；*T表示*的转置；
利用驱动力/力矩uavntsmc,n驱动非线性系统，可使非线性系统的跟踪误差在有限时间内收敛至零。
上述的自适应终端滑模控制方法，所述多输入多输出非线性系统动力学方程的具体建立过程如下所示：
1)多输入多输出非线性系统的运动学与动力学方程描述如下：
Figure BDA0001943419630000041
Figure BDA0001943419630000042
式中
Figure BDA0001943419630000043
和
Figure BDA0001943419630000044
代表系统状态向量；
Figure BDA0001943419630000045
为控制向量；
Figure BDA0001943419630000046
和
Figure BDA0001943419630000047
为平滑的系统状态方程；
Figure BDA0001943419630000048
为非奇异的输入矩阵；
2)考虑不确定性因素，如未建模动态、参数波动及外部干扰，多输入多输出非线性系统的动力学方程
Figure BDA0001943419630000049
可表示为：
Figure BDA00019434196300000410
式中，f2,0,G0代表可计算项；Δf2以及Δg代表不确定项；
3)进一步考虑系统执行器故障的影响，多输入多输出非线性系统的动力学方程
Figure BDA00019434196300000411
可表示为：
Figure BDA00019434196300000412
式中，
Figure BDA00019434196300000413
表示系统执行器乘性故障；
Figure BDA00019434196300000414
表示系统执行器加性故障；
4)考虑不确定性因素，如未建模动态、参数波动及外部干扰，多输入多输出非线性系统的动力学方程可整理为：
Figure BDA00019434196300000415
Figure BDA00019434196300000416
Figure BDA00019434196300000417
式中，f1为f1(x1,x2)的简写形式；δtotal,n为系统不确定项。
上述的自适应终端滑模控制方法，为考虑不同自由度方向动力学特性的差别，假定系统不确定项δtotal,n的上边界满足式
Figure BDA00019434196300000418
Figure BDA00019434196300000419
式中，b1,n,i,b2,n,i和b3,n,i代表满足不等式
Figure BDA00019434196300000420
的最小正数；|*|为取绝对值运算；||*||为取范数运算；*2为求平方值运算；
Figure BDA0001943419630000051
表示f1关于x2的偏导数；
式
Figure BDA0001943419630000052
可分别设定系统每个自由度方向的不确定项上边界。
上述的自适应终端滑模控制方法，所述确定滑模面s的设计方法，通过对系统不同自由度方向设定不同的pi,qi,λi，可分别设定系统不同自由度方向的收敛特性，所述收敛特性包括收敛速度、收敛时间。
上述的自适应终端滑模控制方法，通过建立多输入多输出非线性系统的运动学与动力学方程，计算不同自由度方向的收敛时间值，各自由度方向的收敛时间值取最大，即可得到系统的有限收敛时间tf，在所述有限收敛时间tf内，多输入多输出非线性系统的跟踪误差收敛至零。
上述的自适应终端滑模控制方法，所述有限收敛时间tf的计算方法如下：
当si≠0时，定义如下方程：
Figure BDA0001943419630000053
式中，η2,i为正数；min*为*的最小值；
在所述自适应终端滑模控制方法作用下，多输入多输出非线性系统的有限收敛时间为：
Figure BDA0001943419630000054
Figure BDA0001943419630000055
Figure BDA0001943419630000056
式中，max*为*的最大值；tf为非线性系统的有限收敛时间；tf,i为非线性系统第i个元素值的有限收敛时间；tr,i为系统从初始时刻到达滑模面si＝0的时间；ts,i为系统从si＝0到ε1,i＝0的时间间隔；si(0)为滑模面s在初始时刻的第i个元素值；
Figure BDA0001943419630000057
表示
Figure BDA0001943419630000058
在tr,i时刻的值；η2,i为满足公式
Figure BDA0001943419630000059
的正数。
上述的自适应终端滑模控制方法，所述n维自适应更新率
Figure BDA00019434196300000510
通过设定不同自由度方向的更新规则，减轻因非线性系统不同自由度方向动力学特性差异引起的颤振；所述n维自适应更新率的调整规则可动态在线估计系统不确定上边界，进一步降低了颤振的强度。
上述的自适应终端滑模控制方法，为进一步消减系统颤振问题，常对所述主动力/力矩的计算公式⑨中的系数κ进行修正，可用的修正方法包括但不局限于以下几种：
修正方法一，定义κ1如下所示：
Figure BDA0001943419630000062
式中，
Figure BDA0001943419630000063
为自定义的较小正数；
Figure BDA0001943419630000064
代表由元素*组成的矩阵；κ1为定义的替换矩阵，用于替换计算主动力/力矩值方程即公式⑨中的κ；
修正方法二，定义κ2如下所示：
Figure BDA0001943419630000065
式中，
Figure BDA0001943419630000066
为自定义的较小正数；
Figure BDA0001943419630000067
代表由元素*组成的矩阵；κ2为定义的替换矩阵，用于替换计算主动力/力矩值方程即公式⑨中的κ。
与现有技术相比，本发明的特点及有益效果为：
①本发明的自适应终端滑模控制方法，所述滑模面可分别设定系统不同自由度方向的收敛特性；
②本发明的自适应终端滑模控制方法，设计了n维滑模面以及n维自适应更新率，可用来考虑系统不同自由度方向的不同动力学特性，减轻因系统不同自由度方向动力学特性差异引起的颤振；
③本发明的自适应终端滑模控制方法，n维自适应更新率的调整规则可动态在线估计系统不确定上边界，进一步降低颤振的强度；
④本发明的自适应终端滑模控制方法，避免了奇异性问题，并能保证系统状态误差在有限时间内收敛至零；
⑤本发明的自适应终端滑模控制方法，特别适用于存在自由度方向动力学特性差异的多输入多输出非线性系统；但是，该方法同样可以被直接应用于各自由度方向特性相同/相似的多输入多输出非线性系统，以及各类的线性系统，具有更为广泛的应用领域和适用对象，即本发明适用于各种机器人系统、飞行器系统及其他可采用多输入多输出非线性系统/线性系统来描述的各类实际系统。
以下结合附图和具体实施例对本发明进行详细描述，但不作为对本发明的限定。
附图简要说明
图1为本发明所述自适应终端滑模控制方法实现流程框图；
图2为本发明自适应终端滑模控制方法实施例的两自由度机械臂简图；
图3为本发明实施例的两自由度机械臂在传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C1”作用下的跟踪误差及控制力矩图；
图4为本发明实施例的两自由度机械臂在传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C2”作用下的跟踪误差及控制力矩图；
图5为本发明实施例的两自由度机械臂在本发明自适应终端滑模控制方法“C3”作用下的跟踪误差及控制力矩图。
实现本发明的最佳方式
下面结合附图及实施例对本发明的具体实现方法进行详细描述。
参见图1，图1为本发明实施例的流程框图，本发明的具体实现步骤为：
1)首先建立多输入多输出非线性系统的动力学方程
Figure BDA0001943419630000071
Figure BDA0001943419630000072
式中，
Figure BDA0001943419630000073
和
Figure BDA0001943419630000074
代表系统状态向量；
Figure BDA0001943419630000075
为平滑的系统状态方程；
Figure BDA0001943419630000076
代表可计算项；
Figure BDA0001943419630000077
为控制向量；
Figure BDA0001943419630000078
表示*的一阶导数，如
Figure BDA0001943419630000079
即为x1的一阶导数；
Figure BDA0001943419630000081
为系统不确定项；
2)其次，确定滑模面s
考虑不同自由度方向动力学特性的区别，设计如下公式：
Figure BDA0001943419630000082
ε1＝x1-x1,d ④
式中，
Figure BDA0001943419630000083
为滑模面；ε1为系统的状态跟踪误差向量；x1为实际的系统状态；x1,d为期望的系统状态；*i表示*的第i个元素；
Figure BDA0001943419630000084
代表由元素*组成的向量/矩阵；
Figure BDA0001943419630000085
代表由元素
Figure BDA0001943419630000086
组成的向量；Ddiag(λi)代表由元素λi组成的矩阵；pi,qi,λi,i＝1...n取正数且满足1＜pi/qi＜2，为控制系统的设计量；
确定滑模面s的设计方法，通过对系统不同自由度方向设定不同的pi,qi,λi，可分别设定系统不同自由度方向的收敛特性，所述收敛特性包括收敛速度、收敛时间。
3)再次，引入n维自适应更新率
Figure BDA0001943419630000087
n维自适应更新率
Figure BDA0001943419630000088
的更新规则为：
Figure BDA0001943419630000089
Figure BDA00019434196300000810
Figure BDA00019434196300000811
Figure BDA00019434196300000812
式中，
Figure BDA00019434196300000813
代表系统不确定上边界的估计值，它是一个随时间变化的向量，也称为n维自适应更新率
Figure BDA00019434196300000814
Figure BDA00019434196300000815
和
Figure BDA00019434196300000816
分别为系统不确定项δtotal,n对应参数的估计值；d1,n,i，d2,n,i和d3,n,i取正数，为控制系统的设计量；||*||为取范数运算；*2为求平方值运算；
Figure BDA0001943419630000091
表示f1关于x2的偏导数；式⑤可分别设定系统每个自由度方向的不确定项上边界；
n维自适应更新率
Figure BDA0001943419630000092
通过设定不同自由度方向的更新规则，减轻因非线性系统不同自由度方向动力学特性差异引起的颤振；n维自适应更新率的调整规则可动态在线估计系统不确定上边界，进一步降低了颤振的强度。
4)最后，计算驱动非线性系统所需的主动力/力矩值
计算驱动力/力矩的公式如下：
Figure BDA0001943419630000093
Figure BDA0001943419630000094
式中，
Figure BDA0001943419630000095
为本发明自适应终端滑模控制方法的驱动力/力矩；κ为自定义的中间变量；
Figure BDA0001943419630000096
表示f1关于x1的偏导数；
Figure BDA0001943419630000097
表示*的二阶导数；*+表示*的广义逆；*-1表示*的逆；
Figure BDA0001943419630000098
代表由元素*组成的向量/矩阵；*T表示*的转置；
为进一步消减系统颤振问题，常对所述主动力/力矩的计算公式⑨中的系数κ进行修正，可用的修正方法包括但不局限于以下几种：
修正方法一，定义κ1如下所示：
Figure BDA0001943419630000099
式中，
Figure BDA00019434196300000910
为自定义的较小正数；
Figure BDA00019434196300000911
代表由元素*组成的矩阵；κ1为定义的替换矩阵，用于替换计算主动力/力矩值方程即公式⑨中的κ；
修正方法二，定义κ2如下所示：
Figure BDA0001943419630000101
式中，
Figure BDA0001943419630000102
为自定义的较小正数；
Figure BDA0001943419630000103
代表由元素*组成的矩阵；κ2为定义的替换矩阵，用于替换计算主动力/力矩值方程即公式⑨中的κ。
公式⑨所述的自适应终端滑模控制方法，可基于李雅普诺夫理论进行严格的稳定性证明，并且能够保证系统在有限时间内的渐进收敛性。在实际工程应用中，一般通过引入准滑动模态控制来进一步消减系统颤振问题，即系统的运动轨迹被限制在理想滑动模态的某一邻域内的控制方法。针对本发明提出的自适应终端滑模控制方法，准滑动模态控制的核心原则是“在公式⑩分母为0或非常接近0时，将其设定为非零的较小正数”。基于此原则，本发明给出以上两种修正方法进行特定的替换。
参见图2，图2为本发明一实施例两自由度机械臂简图；图3、图4及图5分别为两自由度机械臂在不同控制方法作用下的跟踪误差及控制力矩图，根据图3、图4、图5，以两自由度机械臂实施例的具体应用为例，说明本发明的具体应用步骤：
1)建立两自由度机械臂的动力学方程
两自由度机械臂的动力学方程描述如下
Figure BDA0001943419630000104
式中，q＝[θ1,θ2]T为机械臂的广义坐标向量；
Figure BDA0001943419630000105
及
Figure BDA0001943419630000106
分别表示机械臂的广义速度向量及广义加速度向量；M(q)为机械臂的质量矩阵；
Figure BDA0001943419630000107
表示机械臂的哥氏/向心项系数矩阵；g(q)为机械臂的重力项向量；τ为机械臂的控制向量；θ1和θ2分别表示机械臂的臂1以及臂2的转角；k1,k2,k3,k4,k5为机械臂的动力学参数，其大小取决于臂的质量、惯量、长度值；cos*代表求*的余弦值；sin*代表求*的正弦值；
公式
Figure BDA0001943419630000111
可以整理为：
Figure BDA00019434196300001120
根据公式
Figure BDA0001943419630000112
两自由度机械臂的动力学方程可以描述为公式
Figure BDA0001943419630000113
的形式：
Figure BDA0001943419630000114
Figure BDA0001943419630000115
其中，
x1,rob＝q＝[θ1,θ2]T
Figure BDA0001943419630000116
Figure BDA0001943419630000117
f1,rob(x1,rob,x2,rob)＝x2,rob
Figure BDA0001943419630000118
f2,rob(x1,rob,x2,rob)＝-M-1(x1,rob)(C(x1,rob,x2,rob)x2,rob+g(x1,rob))
Figure BDA0001943419630000119
Grob(x1,rob,x2,rob)＝M-1(x1,rob)
Figure BDA00019434196300001110
urob＝τ
Figure BDA00019434196300001111
式中，
Figure BDA00019434196300001112
和
Figure BDA00019434196300001113
代表机械臂状态向量；
Figure BDA00019434196300001114
和
Figure BDA00019434196300001115
为平滑的机械臂状态方程；
Figure BDA00019434196300001116
为非奇异的机械臂输入矩阵；
Figure BDA00019434196300001117
为机械臂控制向量；
Figure BDA00019434196300001118
表示*的一阶导数；式中f1,rob(x1,rob,x2,rob)、f2,rob(x1,rob,x2,rob)、Grob(x1,rob,x2,rob)可分别使用f1,rob、f2,rob、Grob进行简化描述；
考虑不确定性因素，如未建模动态、参数波动、外部干扰、执行器故障，两自由度机械臂的动力学方程可整理为：
Figure BDA00019434196300001119
Figure BDA0001943419630000121
式中，f1,rob为f1,rob(x1,rob,x2,rob)的简写形式；f2,0,rob及G0,rob代表f2,rob及Grob的可计算项；δtotal,n,rob代表机械臂不确定项；
由公式
Figure BDA0001943419630000122
可以看出，两自由度机械臂动力学方程中的不确定项δtotal,n,rob会影响参数k1,k2,k3,k4,k5的大小。本实施例中，考虑不确定性的影响，参数k1,k2,k3,k4,k5的取值分别为8.77,0.51,0.76,74.48,6.174；参数k1,k2,k3,k4,k5中的可计算项k1，0,k2,0,k3,0,k4，0,k5,0为8.77,0.51,0.76,97,6.174；
2)确定滑模面s，
考虑不同自由度方向动力学特性的区别，设计如下公式:
Figure BDA0001943419630000123
εrob＝x1,rob-x1,d,rob
Figure BDA0001943419630000124
式中，
Figure BDA0001943419630000125
为滑模面；εrob为机械臂的状态跟踪误差向量；x1,rob为机械臂的实际状态；x1,d,rob为机械臂的期望状态；*i表示*的第i个元素；
Figure BDA0001943419630000126
代表由元素*组成的向量/矩阵；
Figure BDA0001943419630000127
代表由元素
Figure BDA0001943419630000128
组成的向量；Ddiag(λrob,i)代表由元素λrob,i组成的矩阵；prob,i,qrob,i,λrob,i,i＝1,2,取正数且满足1＜prob,i/qrob,i＜2，为控制机械臂的设计量；
3)引入n维自适应更新率
Figure BDA00019434196300001215
n维自适应更新率
Figure BDA0001943419630000129
的更新规则为：
Figure BDA00019434196300001210
Figure BDA00019434196300001211
Figure BDA00019434196300001212
Figure BDA00019434196300001213
式中，
Figure BDA00019434196300001214
代表机械臂不确定上边界的估计值，它是一个随时间变化的向量，也称为2维自适应更新率
Figure BDA0001943419630000131
Figure BDA0001943419630000132
和
Figure BDA0001943419630000133
分别为系统不确定项δtotal,n,rob对应参数的估计值；d1,rob,i，d2,rob,i和d3,rob,i取正数，为控制系统的设计量；||*||为取范数运算；*2为求平方值运算；式
Figure BDA0001943419630000134
可分别设定系统每个自由度方向的不确定项上边界；
4)计算驱动机械臂所需的主动力/力矩值
根据本发明提出的自适应非奇异终端滑模控制方法，计算驱动力/力矩的值为：
Figure BDA0001943419630000135
Figure BDA0001943419630000136
式中，
Figure BDA0001943419630000137
为该发明自适应终端滑模控制方法的驱动力/力矩；κrob为自定义的中间变量；
Figure BDA0001943419630000138
表示*的二阶导数；*+表示*的广义逆；*-1表示*的逆；
Figure BDA0001943419630000139
代表由元素*组成的向量/矩阵；*T表示*的转置；
利用主动力/力矩
Figure BDA00019434196300001310
驱动机械臂，可使机械臂的跟踪误差在有限时间内收敛至零。
本实施例方法实现的效果分析如下：
传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法设计如下：
Figure BDA00019434196300001311
Figure BDA00019434196300001312
式中，
Figure BDA00019434196300001313
为传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法的驱动力/力矩；b1,rob，b2,rob，b3,rob为机械臂不确定上界估计值的设计参数；Υrob为自定义的中间变量；
为了说明本发明所提出方法的优越性，设计三种控制方案，其结果分别如图3、4、5所示：传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C1”，基于公式
Figure BDA0001943419630000141
且b1,rob，b2,rob，b3,rob选小值；传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C2”，基于公式
Figure BDA0001943419630000142
且b1,rob，b2,rob，b3,rob选大值；本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”，基于公式
Figure BDA0001943419630000143
即为本实施例方法。
对于传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C1”，b1,rob，b2,rob，b3,rob的取值分别为0.8，1.8，0.09；对于传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C2”，b1,rob，b2,rob，b3,rob的取值分别为2.4，5.4，0.27。本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”，其机械臂不确定上界估计值的设计参数分别为：d1,rob,1＝10；d1,rob,2＝1.8；d2,rob,1＝17；d2,rob,2＝2；d3,rob,1＝0.001；d3,rob,2＝0.001；
Figure BDA0001943419630000144
Figure BDA0001943419630000145
其中
Figure BDA0001943419630000146
为
Figure BDA0001943419630000147
Figure BDA0001943419630000148
的初始值。
为消减系统颤振问题，定义κrob,1及Υrob,1分别用来替换公式
Figure BDA0001943419630000149
及公式
Figure BDA00019434196300001410
中的κrob及Υrob
Figure BDA00019434196300001411
Figure BDA00019434196300001412
式中，
Figure BDA00019434196300001413
为自定义的较小正数；
Figure BDA00019434196300001414
代表由元素(*)组成的矩阵；κrob,1为定义的替换矩阵，用于替换计算主动力/力矩值方程即公式
Figure BDA00019434196300001415
中的κrob；Υrob,1为定义的替换矩阵，用于替换计算主动力/力矩值方程即公式
Figure BDA00019434196300001416
中的Υrob。
另外，为了公平地对比上述三个控制方法的优劣，上述传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法的其他设定参数均采用与本实施例方法相同的数值。机械臂输入力矩饱和系数值设定为80Nm；λrob,1＝λrob,2＝1,prob,1＝prob,2＝9,qrob,1＝qrob,2＝5；
Figure BDA0001943419630000151
期望的和初始的位置轨迹分别如下式所示：
Figure BDA0001943419630000152
Figure BDA0001943419630000153
式中，x1,d,rob为机械臂状态向量x1,rob的期望值；x1,0,rob为机械臂状态向量x1,rob的初始值；
Figure BDA0001943419630000154
为机械臂状态向量x1,rob的一阶导数
Figure BDA0001943419630000155
的初始值；sin*表示*的正弦值；π为圆周率；
在三种控制方法的作用下，机械臂均可以实现有限时间1.5s内的跟踪。但是，由于设定的不确定上界小于实际的系统不确定性，传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C1”作用下的机械臂会存在不可忽略的跟踪误差。另外，由于设定的不确定上界较大，传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C2”作用下的机械臂实际位置会存在较大的超调量。而在本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”作用下的机械臂，可以实现非常令人满意的跟踪效果，并且不存在超调问题。因此，单纯考虑轨迹跟踪特性，本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”的跟踪效果最优，传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C2”次之，而传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C1”最差。
从力矩/力的平滑特性看，本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”和传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C1”的输出力矩均非常平滑，而传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C2”的输出力矩则存在严重的颤振问题。
综上所述，相对于传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法，本发明所提出的自适应终端滑模控制方法，可以同时保证轨迹跟踪的精确性以及力/力矩输出的平滑性，具有非常明显的优势。结合各图进一步说明如下:
图3中，实线表示的“C1_eq1”，为机械臂关节1在传统非奇异终端滑模控制方法“C1”作用下的跟踪误差曲线；虚线表示的“C1_eq2”，为机械臂关节2在传统非奇异终端滑模控制方法“C1”作用下的跟踪误差曲线；“C1_u1”为传统非奇异终端滑模控制方法“C1”在关节1处的控制力矩曲线；“C1_u2”为传统非奇异终端滑模控制方法“C1”在关节2处的控制力矩曲线。
备注：在传统非奇异终端滑模控制方法“C1”作用下，机械臂可实现有限时间内1.5s的跟踪。但是，由于设定的不确定上界小于实际的系统不确定性，传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C1”作用下的机械臂会存在不可忽略的跟踪误差。另外，从力矩/力的平滑特性看，传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C1”的输出力矩非常平滑。
图4中，实线表示的“C2_eq1”，为机械臂关节1在传统非奇异终端滑模控制方法“C2”作用下的跟踪误差曲线；虚线表示的“C2_eq2”，为机械臂关节2在传统非奇异终端滑模控制方法“C2”作用下的跟踪误差曲线；“C2_u1”为传统非奇异终端滑模控制方法“C2”在关节1处的控制力矩曲线；“C2_u2”为传统非奇异终端滑模控制方法“C2”在关节2处的控制力矩曲线。
在传统非奇异终端滑模控制方法“C2”作用下，机械臂可实现有限时间内1.5s的跟踪。但是，在机械臂从初始状态到实现轨迹跟踪的过程中，即0秒-1.5秒之间，机械臂的实际位置会存在较大的超调量。在机械臂达到稳态之后，即1.5s之后，传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C2”的跟踪效果则令人满意。另外，从力矩/力的平滑特性看，传统非奇异终端滑模控制NTSMC方法“C2”的输出力矩存在严重的颤振问题。
图5中，实线表示的“C3_eq1”，为机械臂关节1在本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”作用下的跟踪误差曲线；虚线表示的“C3_eq2”，为机械臂关节2在本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”作用下的跟踪误差曲线；“C3_u1”为本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”在关节1处的控制力矩曲线；“C3_u2”为本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”在关节2处的控制力矩曲线。
备注：在本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”作用下的机械臂，可以实现非常令人满意的跟踪效果，并且不存在超调问题。另外，从力矩/力的平滑特性看，本发明提出的自适应终端滑模控制方法“C3”的输出力矩非常平滑。
通过参照用于说明而选择的特定实施例对本发明进行了说明，但是显然本领域的普通技术人员在不脱离本发明的基本思想和保护范围的情况下可以做出多种变更，但这些变更均属于本发明的保护范围。
工业应用性
本发明是一种自适应终端滑模控制方法，针对不确定多输入多输出非线性系统进行轨迹跟踪控制，它设计了矢量的系统不确定上界并引入自适应更新率，充分考虑了不同自由度方向动力学特性差异的存在，极大地减小了滑模控制的颤振问题，使不确定多输入多输出非线性系统的跟踪性能更可靠、稳定。其有益效果主要分为以下五点：
①本发明的自适应终端滑模控制方法，所述滑模面可分别设定系统不同自由度方向的收敛特性；
②本发明的自适应终端滑模控制方法，设计了n维滑模面以及n维自适应更新率，可用来考虑系统不同自由度方向的不同动力学特性，减轻因系统不同自由度方向动力学特性差异引起的颤振；
③本发明的自适应终端滑模控制方法，n维自适应更新率的调整规则可动态在线估计系统不确定上边界，进一步降低颤振的强度；
④本发明的自适应终端滑模控制方法，避免了奇异性问题，并能保证系统状态误差在有限时间内收敛至零；
⑤本发明的自适应终端滑模控制方法，特别适用于存在自由度方向动力学特性差异的多输入多输出非线性系统；但是，该方法同样可以被直接应用于各自由度方向特性相同/相似的多输入多输出非线性系统，以及各类的线性系统，具有更为广泛的应用领域和适用对象，即本发明适用于各种机器人系统、飞行器系统及其他可采用多输入多输出非线性系统/线性系统来描述的各类实际系统。

Claims (8)

1.一种自适应终端滑模控制方法，该方法包括以下四个主要运算步骤：
1)首先，建立多输入多输出非线性系统的动力学方程
在考虑不确定性因素的情况下，多输入多输出非线性系统的动力学方程为：
Figure FDA0001943419620000011
Figure FDA0001943419620000012
式中，
Figure FDA0001943419620000013
和
Figure FDA0001943419620000014
代表系统状态向量；
Figure FDA0001943419620000015
为平滑的系统状态方程；
Figure FDA0001943419620000016
代表可计算项；
Figure FDA0001943419620000017
为控制向量；
Figure FDA0001943419620000018
表示*的一阶导数，如
Figure FDA0001943419620000019
即为x1的一阶导数；
Figure FDA00019434196200000110
为系统不确定项；
2)其次，确定滑模面s
考虑不同自由度方向动力学特性的区别，设计如下公式：
Figure FDA00019434196200000111
ε1＝x1-x1,d④
式中，
Figure FDA00019434196200000112
为滑模面；ε1为系统的状态跟踪误差向量；x1为实际的系统状态；x1,d为期望的系统状态；*i表示*的第i个元素；
Figure FDA00019434196200000113
代表由元素*组成的向量/矩阵；
Figure FDA00019434196200000114
代表由元素
Figure FDA00019434196200000115
组成的向量；Ddiag(λi)代表由元素λi组成的矩阵；pi,qi,λi，i＝1...n取正数且满足1＜pi/qi＜2，为控制系统的设计量；
3)再次，引入n维自适应更新率
Figure FDA00019434196200000116
n维自适应更新率
Figure FDA00019434196200000117
的更新规则为：
Figure FDA00019434196200000118
Figure FDA00019434196200000119
Figure FDA00019434196200000120
Figure FDA0001943419620000021
式中，
Figure FDA0001943419620000022
代表系统不确定上边界的估计值，它是一个随时间变化的向量，也称为n维自适应更新率
Figure FDA0001943419620000023
和
Figure FDA0001943419620000024
分别为系统不确定项δtotal,n对应参数的估计值；d1,n,i，d2,n,i和d3,n,i取正数，为控制系统的设计量；||*||为取范数运算；*2为求平方值运算；
Figure FDA0001943419620000025
表示f1关于x2的偏导数；
式⑤可分别设定系统每个自由度方向的不确定项上边界；
4)最后，计算驱动非线性系统所需的主动力/力矩值
计算驱动力/力矩的公式如下：
Figure FDA0001943419620000026
Figure FDA0001943419620000027
式中，
Figure FDA0001943419620000028
为本发明自适应终端滑模控制方法的驱动力/力矩；κ为自定义的中间变量；
Figure FDA0001943419620000029
表示f1关于x1的偏导数；
Figure FDA00019434196200000210
表示*的二阶导数；*+表示*的广义逆；*-1表示*的逆；
Figure FDA00019434196200000211
代表由元素*组成的向量/矩阵；*T表示*的转置；
利用驱动力/力矩uavntsmc,n驱动非线性系统，可使非线性系统的跟踪误差在有限时间内收敛至零。
2.根据权利要求1所述的自适应终端滑模控制方法，其特征在于：所述多输入多输出非线性系统动力学方程的具体建立过程如下所示：
1)多输入多输出非线性系统的运动学与动力学方程描述如下：
Figure FDA00019434196200000212
Figure FDA00019434196200000213
式中
Figure FDA00019434196200000214
和
Figure FDA00019434196200000215
代表系统状态向量；
Figure FDA00019434196200000216
为控制向量；
Figure FDA00019434196200000217
和
Figure FDA0001943419620000031
为平滑的系统状态方程；
Figure FDA0001943419620000032
为非奇异的输入矩阵；
2)考虑不确定性因素，如未建模动态、参数波动及外部干扰，多输入多输出非线性系统的动力学方程
Figure FDA0001943419620000033
可表示为：
Figure FDA0001943419620000034
式中，f2,0,G0代表可计算项；Δf2以及Δg代表不确定项；
3)进一步考虑系统执行器故障的影响，多输入多输出非线性系统的动力学方程
Figure FDA00019434196200000316
可表示为：
Figure FDA0001943419620000035
式中，
Figure FDA0001943419620000036
表示系统执行器乘性故障；
Figure FDA0001943419620000037
表示系统执行器加性故障；
4)考虑不确定性因素，如未建模动态、参数波动、外部干扰、执行器故障，多输入多输出非线性系统的动力学方程可整理为：
Figure FDA0001943419620000038
Figure FDA0001943419620000039
Figure FDA00019434196200000310
式中，f1为f1(x1,x2)的简写形式；δtotal,n为系统不确定项。
3.根据权利要求1所述的自适应终端滑模控制方法，其特征在于：为考虑不同自由度方向动力学特性的差别，假定系统不确定项δtotal,n的上边界满足式
Figure FDA00019434196200000311
Figure FDA00019434196200000312
式中，b1,n,i,b2,n,i和b3,n,i代表满足不等式
Figure FDA00019434196200000313
的最小正数；|*|为取绝对值运算；||*||为取范数运算；*2为求平方值运算；
Figure FDA00019434196200000314
表示f1关于x2的偏导数；式
Figure FDA00019434196200000315
可分别设定系统每个自由度方向的不确定项上边界。
4.根据权利要求1所述的自适应终端滑模控制方法，其特征在于：所述确定滑模面s的设计方法，通过对系统不同自由度方向设定不同的pi,qi,λi，可分别设定系统不同自由度方向的收敛特性，所述收敛特性包括收敛速度、收敛时间。
5.根据权利要求1所述的自适应终端滑模控制方法，其特征在于：通过建立多输入多输出非线性系统的运动学与动力学方程，计算不同自由度方向的收敛时间值，各自由度方向的收敛时间值取最大，即可得到系统的有限收敛时间tf，在所述有限收敛时间tf内，多输入多输出非线性系统的跟踪误差收敛至零。
6.根据权利要求5所述的自适应终端滑模控制方法，其特征在于：所述有限收敛时间tf的计算方法如下：
当si≠0时，定义如下方程：
Figure FDA0001943419620000041
式中，η2,i为正数；min*为*的最小值；
在所述自适应终端滑模控制方法作用下，多输入多输出非线性系统的有限收敛时间为：
Figure FDA0001943419620000042
Figure FDA0001943419620000043
Figure FDA0001943419620000044
式中，max*为*的最大值；tf为非线性系统的有限收敛时间；tf,i为非线性系统第i个元素值的有限收敛时间；tr,i为系统从初始时刻到达滑模面si＝0的时间；ts,i为系统从si＝0到ε1,i＝0的时间间隔；si(0)为滑模面s在初始时刻的第i个元素值；
Figure FDA0001943419620000045
表示
Figure FDA0001943419620000046
在tr,i时刻的值；η2,i为满足公式
Figure FDA0001943419620000047
的正数。
7.根据权利要求1所述的自适应终端滑模控制方法，其特征在于：所述n维自适应更新率
Figure FDA0001943419620000048
通过设定不同自由度方向的更新规则，减轻因非线性系统不同自由度方向动力学特性差异引起的颤振；所述n维自适应更新率的调整规则可动态在线估计系统不确定上边界，进一步降低了颤振的强度。
8.根据权利要求1所述的自适应终端滑模控制方法，其特征在于：为进一步消减系统颤振问题，常对所述主动力/力矩的计算公式⑨中的系数κ进行修正，可用的修正方法包括但不局限于以下几种：
修正方法一，定义κ1如下所示：
Figure FDA0001943419620000051
式中，
Figure FDA0001943419620000055
为自定义的较小正数；
Figure FDA0001943419620000052
代表由元素*组成的矩阵；κ1为定义的替换矩阵，用于替换计算主动力/力矩值方程即公式⑨中的κ；
修正方法二，定义κ2如下所示：
Figure FDA0001943419620000053
式中，
Figure FDA0001943419620000056
为自定义的较小正数；
Figure FDA0001943419620000054
代表由元素*组成的矩阵；κ2为定义的替换矩阵，用于替换计算主动力/力矩值方程即公式⑨中的κ。
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