CN113650020A - 一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法和系统 - Google Patents

一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法和系统 Download PDF

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CN113650020A CN202111081395.9A CN202111081395A CN113650020A CN 113650020 A CN113650020 A CN 113650020A CN 202111081395 A CN202111081395 A CN 202111081395A CN 113650020 A CN113650020 A CN 113650020A
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杨仁明
张海英
张春富
李琦
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Abstract

本发明提出了一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法和系统，该方法包括在建立机械臂系统的动力学方程，以及将动力学方程转换为等价哈密尔顿模型后，设计机械臂系统的有限时间自适应观测器和控制器来扩展为高维数哈密尔顿模型；构建李亚普诺夫函数，通过对李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，以及证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛保证系统稳定性。基于该方法，还提出了一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制系统。本发明采用有限时间观测器闭环系统可以快速收敛，对外部干扰具有良好的鲁棒性，提高了机械臂系统的自适应性。

Description

一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法和系统
技术领域
本发明属于机械臂自适应镇定控制技术领域，特别涉及一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法和系统。
背景技术
机械臂是一种高度复杂的时变耦合动力学特性的非线性系统,存在测量或建模的不精确性,并常常受到系统负载变化和外部扰动的影响。因此，不确定系统的鲁棒控制问题引起了广泛的关注。现有技术采用PID控制、滑膜控制、计算力矩控制、鲁棒控制、神经网络控制等等，PID控制方法控制律简单易于实现，不需要精确的机械臂动力学模型参数，但是其控制精度差、鲁棒性差。滑膜控制方法不受机械臂动力学模型参数和外界扰动变化的影响，响应速度快，但是其控制过程存在“抖振”的现象，影响一定的跟踪精度且对设备产生磨损。计算力矩控制方法具有较好的控制精度，但是其需要精确地模型参数支持。然而，在实际情况下，难以保证精确模型参数的要求。鲁棒控制方法通过设置扰动的最大上界达到稳定控制的效果，易于实现，但是其需要根据工程人员的经验和主观判断来确定扰动的最大上界范围，没有一定的学习能力和适应性；神经网络控制方法具有较好的万能逼近效果，对系统未知非线性函数进行逼近，不需要模参数。但其没有考虑系统未知外界扰动，需要引入鲁棒项进行补偿。因此选择自适应控制来解决参数不确定性系统模型的控制问题是必然选择。
发明内容
为了解决上述技术问题，本发明提出了一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法和系统，利用有限时间控制器具有快速收敛性的性能，提高了机械臂系统的抗干扰性能，采用李亚普诺夫函数证明更好的实现了机械臂系统的自适应控制。
为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，包括建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程；将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统；选取与所述一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型；还包括以下步骤：
设计机械臂系统的有限时间自适应观测器以及相应的自适应控制器；通过所述自适应控制器将所述机械臂等价哈密尔顿模型和有限时间自适应观测器扩展为高维数哈密尔顿模型；
根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对所述李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，以及证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛，保证系统的有限时间稳定性。
进一步的，所述建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程的过程为：所述动力学方程为：
Figure BDA0003264121020000021
其中，q＝[q1,q2]T∈R2是机械臂关节旋转角向量；q1为机械臂第一关节与X轴的夹角；q2为机械臂第二关节与X轴的夹角；
Figure BDA0003264121020000023
是机械臂关节旋转角速度矢量；
Figure BDA0003264121020000024
是机械臂关节旋转加速度向量；M(q)∈R2×2为惯性矩阵；
Figure BDA0003264121020000025
为哥氏力矩阵；G(q)∈R2是重力矩向量；τ∈R2是控制输入力矩矢量；
Figure BDA0003264121020000026
为系统收到的外界干扰。
进一步的，所述将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统的过程为：
令
Figure BDA0003264121020000027
其中p为系统的广义动量；
Figure BDA0003264121020000022
其中
Figure BDA0003264121020000031
让
Figure BDA0003264121020000032
则
Figure BDA0003264121020000039
并且
Figure BDA0003264121020000033
Figure BDA0003264121020000034
其中，ξ1为机械臂位置轨迹误差；ξ2为机械臂系统的广义动量与机械臂位置轨迹误差倍数的差值；xi状态变量，i为1、2、3和4；qi机械臂第i个关节的实际位置；qdi为第i个关节的位置角度；q是机械臂关节旋转角向量；qd是机械臂关节期望位置；qd为常数；pi为广义动量分量；s1i为成倍数的角度差分量；s1成倍数的角度差；k为广义动量分量系数。
进一步的，所述选取与所述一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型的过程为：
选取Hamilton函数
Figure BDA0003264121020000035
其中n状态变量的个数；α系统状态次数；
通过正交分解得到
Figure BDA0003264121020000036
Figure BDA00032641210200000310
J(x)是反对称矩阵，R(x)是正定矩阵，ftd(x)为f(x)沿着切面分解得到切面函数；
Figure BDA00032641210200000311
为f(x)沿着梯度切面分解得到梯度函数；
Figure BDA0003264121020000038
是Hamilton函数的梯度；
且
Figure BDA0003264121020000037
令τ＝u得到以下等价哈密尔顿形式：
Figure BDA0003264121020000041
其中，τ和u均为机械臂系统的控制器；
Figure BDA0003264121020000049
表示x的导数；x等于xi，i为1、2、3和4；g(x)为含有变量的第一系数矩阵；q(x)为含有变量的第二系数矩阵；ω为包含重力干扰的机械臂系统的总干扰；G(q)为重力矩向量。
进一步的，所述设计机械臂系统的有限时间自适应观测器的过程包括：
首先，假设
Figure BDA0003264121020000042
可以得到：
Figure BDA0003264121020000043
Figure BDA00032641210200000410
代表机械臂的观测器系统；
Figure BDA00032641210200000411
为反对称矩阵对应的观测值；
Figure BDA00032641210200000412
为正定矩阵对应的观测值；
Figure BDA00032641210200000413
为Hamilton函数的梯度对应的观测值；
Figure BDA00032641210200000414
为第一系数矩阵对应的观测值；
Figure BDA00032641210200000415
是第二加权矩阵对应的观测值；y是输出信号；Φ是预设维数的常矩阵，θ是关于P的常向量，
Figure BDA00032641210200000416
是θ的观测值；
假设输出信号为：
Figure BDA00032641210200000417
则
Figure BDA0003264121020000044
将
Figure BDA00032641210200000418
代入公式(39)得到：
Figure BDA0003264121020000045
对于给定的γ>0，则存在常数ε1>0和常数矩阵L1、L2、Q>0，例如ε1≤γ2，
Figure BDA0003264121020000046
Figure BDA0003264121020000047
其中，
Figure BDA0003264121020000048
Λ是H(X)矩阵偏导运算后的最大值，H(X)表示Hamilton函数与Hamilton函数观测值的和；H(Xt)等于H(X)。
进一步的，所述设计机械臂系统的有限时间自适应控制器的过程包括：
设计机械臂系统的有限时间自适应控制器的方程为：
Figure BDA0003264121020000051
其中，v是参考输入，Im是m维单位矩阵，G(X)是系数矩阵。
Figure BDA0003264121020000052
得到以下扩维系统
Figure BDA0003264121020000053
其中
Figure BDA00032641210200000510
为机械臂系统和观测器系统组成的矩阵的状态量导数；J1(X)为第一参数矩阵；R1(X)为第二参数矩阵；G1(X)为第一系数矩阵；Q(X)为第二系数矩阵；其中，
Figure BDA0003264121020000054
Figure BDA0003264121020000055
Figure BDA0003264121020000056
Figure BDA0003264121020000057
Figure BDA0003264121020000058
Figure BDA0003264121020000059
其中Ri,j为R(x)中的第i行j列的数值；
将v代入到方程(43)，得到
Figure BDA0003264121020000061
其中，
Figure BDA0003264121020000062
Figure BDA0003264121020000068
为扩维后系统的反对称矩阵；
Figure BDA0003264121020000069
为扩维后系统的正定对称矩阵；
Figure BDA0003264121020000067
为扩维后的系统的Hamilton函数的梯度；
Figure BDA00032641210200000610
为
Figure BDA00032641210200000611
正定对称矩阵中每个元素的数值；
Figure BDA00032641210200000612
是θ与其观测值的差值。
进一步的，所述根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对所述李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定的过程包括：
构造一个李雅普诺夫函数：V(X)＝2H(X)； (46)
V(X)为李雅普诺夫函数；
让
Figure BDA0003264121020000063
先证明
Figure BDA00032641210200000613
即
Figure BDA0003264121020000064
利用公式(45)计算V(x)的导数；
Figure BDA0003264121020000065
所以得到
Figure BDA0003264121020000066
Figure BDA00032641210200000614
得到
Figure BDA00032641210200000615
通过(51)可以得到
Figure BDA0003264121020000071
将(50)和(52)代入(49)得到：
Figure BDA0003264121020000072
利用条件
Figure BDA0003264121020000073
和z＝ry，得到：
Figure BDA0003264121020000074
将公式(54)替换为
Figure BDA0003264121020000078
并且
Figure BDA0003264121020000079
所以
Figure BDA0003264121020000075
根据条件ε1≤γ2，得到
Figure BDA0003264121020000076
通过将
Figure BDA00032641210200000710
从0集成到T，并使用零状态响应条件，可以得到
Figure BDA0003264121020000077
因此证明机械臂系统的鲁棒自适应镇定。
进一步的，所述证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛，保证系统的有限时间稳定性的过程包括：
设定罚函数z，并使用
Figure BDA00032641210200000711
和
Figure BDA0003264121020000081
进行运算可以得到：
Figure BDA0003264121020000082
因为
Figure BDA0003264121020000083
是有界的，即存在常数
Figure BDA0003264121020000084
使得
Figure BDA0003264121020000085
利用
Figure BDA0003264121020000086
和θ是一个有界量可以得到：
Figure BDA0003264121020000087
因为：
Figure BDA0003264121020000088
基于
Figure BDA0003264121020000089
和
Figure BDA00032641210200000810
可以得出
Figure BDA00032641210200000811
让ρ:＝λmax{ΦTΦ}，ρ是常值矩阵运算后的矩阵的秩的最大值，可以得到
Figure BDA00032641210200000812
另外：
Figure BDA00032641210200000813
将方程(64)代入到方程(63)中，得到
Figure BDA0003264121020000091
其中，
Figure BDA0003264121020000092
为常系数；r为预设维数的权重矩阵；
从α>1中，看出
Figure BDA00032641210200000913
是
Figure BDA00032641210200000914
的高阶项；
对于方程式(58)中的
Figure BDA0003264121020000093
注意到λmax{L1,L2}<0以及
Figure BDA0003264121020000094
让P1＝λmax{L1,L2}，P1是矩阵L1,L2中秩的最大值，得到
Figure BDA0003264121020000095
此外，对于公式(67)，得到
Figure BDA0003264121020000096
得出结论
Figure BDA0003264121020000097
将(69)替换为(58)，使用P1<0，得到公式
Figure BDA0003264121020000098
注意，
Figure BDA00032641210200000910
是
Figure BDA00032641210200000911
的高阶项，那么存在某个领域
Figure BDA00032641210200000912
使得
Figure BDA0003264121020000099
是负定的，即
Figure BDA0003264121020000101
其中，η<0在
Figure BDA0003264121020000102
内成立；
Figure BDA0003264121020000103
是一个常数；η是小于零的常数；
意味着当
Figure BDA0003264121020000104
和ω＝0时，x在有限时间内收敛到0。
本发明还提出了一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制系统，包括扩展模块和证明模块；
所述扩展模块用于设计机械臂系统的有限时间自适应观测器以及相应的自适应控制器；通过所述自适应控制器将所述机械臂等价哈密尔顿模型和有限时间自适应观测器扩展为高维数哈密尔顿模型；
所述证明模块用于根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对所述李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，以及证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛，保证系统的有限时间稳定性。
进一步的，所述系统还包括建立模块和转换模块；
所述建立模块用于建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程；
所述转换模块用于将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统；选取与所述一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型。
发明内容中提供的效果仅仅是实施例的效果，而不是发明所有的全部效果，上述技术方案中的一个技术方案具有如下优点或有益效果：
本发明提出了一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，该方法包括建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程；将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统；选取与一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型；还包括：设计机械臂系统的有限时间自适应观测器以及相应的自适应控制器；通过所述自适应控制器将机械臂等价哈密尔顿模型和有限时间自适应观测器扩展为高维数哈密尔顿模型；根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，以及证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛，保证系统的有限时间稳定性。基于一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，还提出了一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制系统。本发明采用有限时间观测器，与无限时间观测器的稳定结果不同在有限时间观测器下，闭环系统可以快速收敛，对外部干扰具有良好的鲁棒性，本发明采用李亚普诺夫函数确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，解决参数不确定性系统模型的控制问题，提高了机械臂系统的自适应性。
附图说明
如图1为本发明实施例1一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法流程图；
如图2为本发明实施例1平面机械臂系统示意图；
如图3为本发明实施例1机械臂第一关节轨迹跟踪仿真示意图；
如图4为本发明实施例1机械臂第一关节轨迹跟踪误差仿真示意图；
如图5为本发明实施例1机械臂第二关节轨迹跟踪仿真示意图；
如图6为本发明实施例1机械臂第二关节轨迹跟踪误差仿真示意图；
如图7为本发明实施例2一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制系统示意图。
具体实施方式
为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。
实施例1
本发明实施例1提出了一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，采用有限时间观测器，与无限时间观测器的稳定结果不同在有限时间观测器下，闭环系统可以快速收敛，对外部干扰具有良好的鲁棒性，本发明采用李亚普诺夫函数确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，解决参数不确定性系统模型的控制问题，提高了机械臂系统的自适应性。如图1给出了本发明实施例2一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法流程图。
在步骤S101中，建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程。如图2为本发明实施例1平面机械臂系统示意图；
机械臂系统的动力学方程为：
Figure BDA0003264121020000121
其中，q＝[q1,q2]T∈R2是机械臂关节旋转角向量；q1为机械臂第一关节与X轴的夹角；q2为机械臂第二关节与X轴的夹角；
Figure BDA0003264121020000122
是机械臂关节旋转角速度矢量；
Figure BDA0003264121020000123
是机械臂关节旋转加速度向量；M(q)∈R2×2为惯性矩阵；
Figure BDA0003264121020000124
为哥氏力矩阵；G(q)∈R2是重力矩向量；τ∈R2是控制输入力矩矢量；
Figure BDA0003264121020000125
为系统收到的外界干扰。
在步骤S102中，将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统；选取与一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型。
令
Figure BDA0003264121020000126
其中p为系统的广义动量；
Figure BDA0003264121020000131
其中
Figure BDA0003264121020000132
让
Figure BDA0003264121020000133
则
Figure BDA0003264121020000134
并且
Figure BDA0003264121020000135
其中，ξ1为机械臂位置轨迹误差；ξ2为机械臂系统的广义动量与机械臂位置轨迹误差倍数的差值；xi状态变量，i为1、2、3和4；qi机械臂第i个关节的实际位置；qdi为第i个关节的位置角度；q是机械臂关节旋转角向量；qd是机械臂关节期望位置；qd为常数；pi为广义动量分量；s1i为成倍数的角度差分量；s1成倍数的角度差；k为广义动量分量系数。
选取合适的Hamilton函数
Figure BDA0003264121020000136
其中n状态变量的个数；α系统状态次数；
通过正交分解得到
Figure BDA0003264121020000137
Figure BDA0003264121020000138
J(x)是反对称矩阵，R(x)是正定矩阵，ftd(x)为f(x)沿着切面分解得到切面函数；
Figure BDA00032641210200001311
为f(x)沿着梯度切面分解得到梯度函数；
Figure BDA00032641210200001310
是Hamilton函数的梯度；
且
Figure BDA0003264121020000139
令τ＝u得到以下等价哈密尔顿形式：
Figure BDA0003264121020000141
其中，τ和u均为机械臂系统的控制器；
Figure BDA00032641210200001414
表示x的导数；x等于xi，i为1、2、3和4；g(x)为含有变量的第一系数矩阵；q(x)为含有变量的第二系数矩阵；ω为包含重力干扰的机械臂系统的总干扰；G(q)为重力矩向量。
Figure BDA0003264121020000142
其中，
Figure BDA0003264121020000143
Figure BDA0003264121020000144
Figure BDA0003264121020000145
Figure BDA0003264121020000146
Figure BDA0003264121020000147
Figure BDA0003264121020000148
Figure BDA0003264121020000149
Figure BDA00032641210200001410
Figure BDA00032641210200001411
Figure BDA00032641210200001412
Figure BDA00032641210200001413
Figure BDA0003264121020000151
Figure BDA0003264121020000152
Figure BDA0003264121020000153
Figure BDA0003264121020000154
Figure BDA00032641210200001518
Figure BDA00032641210200001519
假设存在一个可满足的常数矩阵Φ，使得
Figure BDA0003264121020000155
对于所有条件，x∈Ω成立，
其中J(x,p)＝J(x)+ΔJ(x,p),R(x,p)＝R(x)+ΔR(x,p)，θ是与p相关的不确定向量。让我们进一步假设g(x)gT(x)≤Υ||x||2In，其中Υ>0是一个常数矩阵。
步骤S103中，设计机械臂系统的有限时间自适应观测器以及相应的自适应控制器；通过自适应控制器将所述机械臂等价哈密尔顿模型和有限时间自适应观测器扩展为高维数哈密尔顿模型。
假设
Figure BDA0003264121020000156
可以得到：
Figure BDA0003264121020000157
Figure BDA0003264121020000158
代表机械臂的观测器系统；
Figure BDA0003264121020000159
为反对称矩阵对应的观测值；
Figure BDA00032641210200001510
为正定矩阵对应的观测值；
Figure BDA00032641210200001511
为Hamilton函数的梯度对应的观测值；
Figure BDA00032641210200001512
为第一系数矩阵对应的观测值；
Figure BDA00032641210200001513
是第二加权矩阵对应的观测值；y是输出信号；Φ是预设维数的常矩阵，θ是关于P的常向量，
Figure BDA00032641210200001514
是θ的观测值；
假设输出信号为：
Figure BDA00032641210200001515
则
Figure BDA00032641210200001516
将
Figure BDA00032641210200001517
代入公式(39)得到：
Figure BDA0003264121020000161
对于给定的γ>0，则存在常数ε1>0和常数矩阵L1、L2、Q>0，例如ε1≤γ2，
Figure BDA0003264121020000162
Figure BDA0003264121020000163
其中，
Figure BDA0003264121020000164
Λ是H(X)矩阵偏导运算后的最大值，H(X)表示Hamilton函数与Hamilton函数观测值的和；H(Xt)等于H(X)。
设计机械臂系统的有限时间自适应控制器的方程为：
Figure BDA0003264121020000165
其中，v是参考输入，Im是m维单位矩阵，G(X)是系数矩阵。
Figure BDA0003264121020000166
得到以下扩维系统
Figure BDA0003264121020000167
其中
Figure BDA0003264121020000168
为机械臂系统和观测器系统组成的矩阵的状态量导数；J1(X)为第一参数矩阵；R1(X)为第二参数矩阵；G1(X)为第一系数矩阵；Q(X)为第二系数矩阵；其中，
Figure BDA0003264121020000171
Figure BDA0003264121020000172
Figure BDA0003264121020000173
Figure BDA0003264121020000174
Figure BDA0003264121020000175
Figure BDA0003264121020000176
其中Ri,j为R(x)中的第i行j列的数值；
将v代入到方程(43)，得到
Figure BDA0003264121020000177
其中，
Figure BDA0003264121020000178
Figure BDA0003264121020000179
Figure BDA00032641210200001710
为扩维后系统的反对称矩阵；
Figure BDA00032641210200001711
为扩维后系统的正定对称矩阵；
Figure BDA00032641210200001712
为扩维后的系统的Hamilton函数的梯度；
Figure BDA00032641210200001713
为
Figure BDA00032641210200001714
正定对称矩阵中每个元素的数值；
Figure BDA00032641210200001715
是θ与其观测值的差值。
在步骤S104中，根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对所述李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定。
构造一个李雅普诺夫函数：V(X)＝2H(X)；(46)
V(X)为李雅普诺夫函数；
Figure BDA00032641210200001716
先证明
Figure BDA0003264121020000181
即
Figure BDA0003264121020000182
利用公式(45)计算V(x)的导数；
Figure BDA0003264121020000183
所以得到
Figure BDA0003264121020000184
Figure BDA0003264121020000185
得到
Figure BDA0003264121020000186
通过(51)可以得到
Figure BDA0003264121020000187
将(50)和(52)代入(49)得到：
Figure BDA00032641210200001813
利用条件
Figure BDA0003264121020000188
和z＝ry，得到：
Figure BDA0003264121020000189
将公式(54)替换为
Figure BDA00032641210200001810
并且
Figure BDA00032641210200001811
所以
Figure BDA00032641210200001812
根据条件ε1≤γ2，得到
Figure BDA0003264121020000191
通过将
Figure BDA0003264121020000192
从0集成到T，并使用零状态响应条件，可以得到
Figure BDA0003264121020000193
因此证明机械臂系统的鲁棒自适应镇定。
设定罚函数z，并使用
Figure BDA0003264121020000194
和
Figure BDA0003264121020000195
进行运算可以得到：
Figure BDA0003264121020000196
因为
Figure BDA00032641210200001915
是有界的，即存在常数
Figure BDA0003264121020000197
使得
Figure BDA0003264121020000198
利用
Figure BDA0003264121020000199
和θ是一个有界量可以得到：
Figure BDA00032641210200001910
因为：
Figure BDA00032641210200001911
基于
Figure BDA00032641210200001912
和
Figure BDA00032641210200001913
可以得出
Figure BDA00032641210200001914
让ρ:＝λmax{ΦTΦ}，ρ是常值矩阵运算后的矩阵的秩的最大值，可以得到
Figure BDA0003264121020000201
另外：
Figure BDA0003264121020000202
将方程(64)代入到方程(63)中，得到
Figure BDA0003264121020000203
其中，
Figure BDA0003264121020000204
为常系数；r为预设维数的权重矩阵；
从α>1中，看出
Figure BDA0003264121020000205
的高阶项；
对于方程式(58)中的
Figure BDA0003264121020000206
注意到λmax{L1,L2}<0以及
Figure BDA0003264121020000207
让P1＝λmax{L1,L2}，P1是矩阵L1,L2中秩的最大值，得到
Figure BDA0003264121020000208
此外，对于公式(67)，得到
Figure BDA0003264121020000211
得出结论
Figure BDA0003264121020000212
将(69)替换为(58)，使用P1<0，得到公式
Figure BDA0003264121020000213
注意，
Figure BDA0003264121020000214
是
Figure BDA0003264121020000215
的高阶项，那么存在某个领域
Figure BDA0003264121020000216
使得
Figure BDA0003264121020000217
是负定的，即
Figure BDA0003264121020000218
其中，η<0在
Figure BDA0003264121020000219
内成立；
Figure BDA00032641210200002110
是一个常数；η是小于零的常数；
意味着当
Figure BDA00032641210200002111
和ω＝0时，x在有限时间内收敛到0。
如图3为本发明实施例1机械臂第一关节轨迹跟踪仿真示意图；如图4为本发明实施例1机械臂第一关节轨迹跟踪误差仿真示意图；
如图5为本发明实施例1机械臂第二关节轨迹跟踪仿真示意图；如图6为本发明实施例1机械臂第二关节轨迹跟踪误差仿真示意图；
机械手的模型参数如下：
m1＝2.0kg,m2＝3.0kg,l1＝2m,l2＝2m,lc1＝1m,lc2＝1m,I1＝2kgm2,I2＝2kgm2,g＝9.8m/s2。
让
Figure BDA00032641210200002112
其中α＝3。然后，机械臂系统可表示为：
Figure BDA00032641210200002113
其中，
Figure BDA0003264121020000221
Figure BDA0003264121020000222
Figure BDA0003264121020000223
Figure BDA0003264121020000224
Figure BDA0003264121020000225
Figure BDA0003264121020000226
Figure BDA0003264121020000227
Figure BDA0003264121020000228
Figure BDA0003264121020000229
Figure BDA00032641210200002210
Figure BDA00032641210200002211
Figure BDA00032641210200002212
Figure BDA0003264121020000231
Figure BDA0003264121020000232
Figure BDA0003264121020000233
此外，我们可以得到以下系统，
Figure BDA0003264121020000234
其中，
Figure BDA0003264121020000235
Figure BDA0003264121020000236
Figure BDA0003264121020000237
Figure BDA0003264121020000238
Figure BDA0003264121020000239
Figure BDA00032641210200002310
Figure BDA00032641210200002311
Figure BDA00032641210200002312
Figure BDA0003264121020000241
Figure BDA0003264121020000242
Figure BDA0003264121020000243
Figure BDA0003264121020000244
Figure BDA0003264121020000245
设计一种基于观测器方法的系统的有限时间鲁棒镇定控制器。
为此，选择ε1＝0.15,γ＝0.4，很容易获得ε1≤γ2，
Figure BDA0003264121020000246
Figure BDA0003264121020000247
Figure BDA0003264121020000248
其中，
Figure BDA0003264121020000249
Figure BDA00032641210200002410
Figure BDA00032641210200002411
Figure BDA00032641210200002412
因此，
Figure BDA00032641210200002413
其中，
Figure BDA0003264121020000251
Figure BDA0003264121020000252
Figure BDA0003264121020000253
Figure BDA0003264121020000254
Figure BDA0003264121020000255
Figure BDA0003264121020000256
Figure BDA0003264121020000257
Figure BDA0003264121020000258
Figure BDA0003264121020000259
模拟中涉及的其他参数如下：
Figure BDA00032641210200002510
图3中机械臂接头1的初始位置：q1＝1.05rad；图4中机械臂接头1的预期位置：
Figure BDA00032641210200002511
图5中机械臂接头2的初始位置：q2＝1.05rad，图6中机械臂接头2的预期位置：
Figure BDA00032641210200002512
为了测试控制器对外部干扰的鲁棒性，在持续时间[1.5s～2s]内向系统添加振幅[10rad/s,9rad/s]。
实施例2
基于本发明实施例1提出的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，本发明实施例2还提出了一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制系统，包括扩展模块和证明模块；
扩展模块用于设计机械臂系统的有限时间自适应观测器以及相应的自适应控制器；通过自适应控制器将机械臂等价哈密尔顿模型和有限时间自适应观测器扩展为高维数哈密尔顿模型；
证明模块用于根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，以及证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛，保证系统的有限时间稳定性。
系统还包括建立模块和转换模块；
建立模块用于建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程；
转换模块用于将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统；选取与一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型。
上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制。对于所属领域的技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的修改或变形。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (10)

1.一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，包括建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程；将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统；选取与所述一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型；其特征在于，还包括以下步骤：
设计机械臂系统的有限时间自适应观测器以及相应的自适应控制器；通过所述自适应控制器将所述机械臂等价哈密尔顿模型和有限时间自适应观测器扩展为高维数哈密尔顿模型；
根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对所述李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，以及证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛，保证系统的有限时间稳定性。
2.根据权利要求1所述的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，其特征在于，所述建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程的过程为：所述动力学方程为：
Figure FDA0003264121010000011
其中，q＝[q1,q2]T∈R2是机械臂关节旋转角向量；q1为机械臂第一关节与X轴的夹角；q2为机械臂第二关节与X轴的夹角；
Figure FDA0003264121010000012
是机械臂关节旋转角速度矢量；
Figure FDA0003264121010000013
是机械臂关节旋转加速度向量；M(q)∈R2×2为惯性矩阵；
Figure FDA0003264121010000014
为哥氏力矩阵；G(q)∈R2是重力矩向量；τ∈R2是控制输入力矩矢量；
Figure FDA0003264121010000015
为系统收到的外界干扰。
3.根据权利要求1所述的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，其特征在于，所述将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统的过程为：
令
Figure FDA0003264121010000016
其中p为系统的广义动量；
Figure FDA0003264121010000021
其中
Figure FDA0003264121010000022
让
ξ1＝q-qd＝[q1-qd1,q2-qd2]T＝[x1,x2]T,ξ2＝p-s1＝[p1-s11,p2-s12]T＝[x3,x4]T,s1＝-kξ1；
则
Figure FDA0003264121010000023
并且
Figure FDA0003264121010000024
Figure FDA0003264121010000025
其中，ξ1为机械臂位置轨迹误差；ξ2为机械臂系统的广义动量与机械臂位置轨迹误差倍数的差值；xi状态变量，i为1、2、3和4；qi机械臂第i个关节的实际位置；qdi为第i个关节的位置角度；q是机械臂关节旋转角向量；qd是机械臂关节期望位置；qd为常数；pi为广义动量分量；s1i为成倍数的角度差分量；s1成倍数的角度差；k为广义动量分量系数。
4.根据权利要求3所述的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，其特征在于，所述选取与所述一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型的过程为：
选取Hamilton函数
Figure FDA0003264121010000026
其中n状态变量的个数；α系统状态次数；
通过正交分解得到
Figure FDA0003264121010000027
Figure FDA0003264121010000028
J(x)是反对称矩阵，R(x)是正定矩阵，ftd(x)为f(x)沿着切面分解得到切面函数；fgd(x)为f(x)沿着梯度切面分解得到梯度函数；
Figure FDA0003264121010000031
是Hamilton函数的梯度；
且
Figure FDA0003264121010000032
令τ＝u得到以下等价哈密尔顿形式：
Figure FDA0003264121010000033
其中，τ和u均为机械臂系统的控制器；
Figure FDA0003264121010000034
表示x的导数；x等于xi，i为1、2、3和4；g(x)为含有变量的第一系数矩阵；q(x)为含有变量的第二系数矩阵；ω为包含重力干扰的机械臂系统的总干扰；G(q)为重力矩向量。
5.根据权利要求4所述的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，其特征在于，所述设计机械臂系统的有限时间自适应观测器的过程包括：
首先，假设
Figure FDA0003264121010000035
可以得到：
Figure FDA0003264121010000036
Figure FDA0003264121010000037
代表机械臂的观测器系统；
Figure FDA0003264121010000038
为反对称矩阵对应的观测值；
Figure FDA0003264121010000039
为正定矩阵对应的观测值；
Figure FDA00032641210100000310
为Hamilton函数的梯度对应的观测值；
Figure FDA00032641210100000311
为第一系数矩阵对应的观测值；
Figure FDA00032641210100000312
是第二加权矩阵对应的观测值；y是输出信号；Φ是预设维数的常矩阵，θ是关于P的常向量，
Figure FDA00032641210100000313
是θ的观测值；
假设输出信号为：
Figure FDA00032641210100000314
则
Figure FDA00032641210100000315
将
Figure FDA00032641210100000316
代入公式(39)得到：
Figure FDA00032641210100000317
对于给定的γ>0，则存在常数ε1>0和常数矩阵L1、L2、Q>0，例如ε1≤γ2，
Figure FDA00032641210100000318
Figure FDA00032641210100000319
其中，
Figure FDA0003264121010000041
Λ是H(X)矩阵偏导运算后的最大值，H(X)表示Hamilton函数与Hamilton函数观测值的和；H(Xt)等于H(X)。
6.根据权利要求5所述的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，其特征在于，所述设计机械臂系统的有限时间自适应控制器的过程包括：
设计机械臂系统的有限时间自适应控制器的方程为：
Figure FDA0003264121010000042
其中，v是参考输入，Im是m维单位矩阵，G(X)是系数矩阵。
Figure FDA0003264121010000043
得到以下扩维系统
Figure FDA0003264121010000044
其中
Figure FDA0003264121010000045
为机械臂系统和观测器系统组成的矩阵的状态量导数；J1(X)为第一参数矩阵；R1(X)为第二参数矩阵；G1(X)为第一系数矩阵；Q(X)为第二系数矩阵；其中，
Figure FDA0003264121010000046
Q(X)＝[qT(x),0]T,
Figure FDA0003264121010000047
Figure FDA0003264121010000048
Figure FDA0003264121010000051
Figure FDA0003264121010000052
Figure FDA0003264121010000053
Figure FDA0003264121010000054
其中Ri,j为R(x)中的第i行j列的数值；
将v代入到方程(43)，得到
Figure FDA0003264121010000055
其中，
Figure FDA0003264121010000056
Figure FDA0003264121010000057
Figure FDA0003264121010000058
为扩维后系统的反对称矩阵；
Figure FDA0003264121010000059
为扩维后系统的正定对称矩阵；
Figure FDA00032641210100000510
为扩维后的系统的Hamilton函数的梯度；
Figure FDA00032641210100000511
为
Figure FDA00032641210100000512
正定对称矩阵中每个元素的数值；
Figure FDA00032641210100000513
是θ与其观测值的差值。
7.根据权利要求6所述的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，其特征在于，所述根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对所述李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定的过程包括：
构造一个李雅普诺夫函数：V(X)＝2H(X)； (46)
V(X)为李雅普诺夫函数；
让
Figure FDA00032641210100000514
先证明
Figure FDA00032641210100000515
即
Figure FDA00032641210100000516
利用公式(45)计算V(x)的导数；
Figure FDA0003264121010000061
所以得到
Figure FDA0003264121010000062
Figure FDA0003264121010000063
得到
Figure FDA0003264121010000064
通过(51)可以得到
Figure FDA0003264121010000065
将(50)和(52)代入(49)得到：
Figure FDA0003264121010000066
利用条件
Figure FDA0003264121010000067
和z＝ry，得到：
Figure FDA0003264121010000068
将公式(54)替换为
Figure FDA0003264121010000069
并且
Figure FDA00032641210100000610
所以
Figure FDA00032641210100000611
根据条件ε1≤γ2，得到
Figure FDA00032641210100000612
通过将
Figure FDA0003264121010000071
从0集成到T，并使用零状态响应条件，可以得到
Figure FDA0003264121010000072
因此证明机械臂系统的鲁棒自适应镇定。
8.根据权利要求7所述的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制方法，其特征在于，所述证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛，保证系统的有限时间稳定性的过程包括：
设定罚函数z，并使用
Figure FDA0003264121010000073
和
Figure FDA0003264121010000074
进行运算可以得到：
Figure FDA0003264121010000075
因为
Figure FDA0003264121010000076
是有界的，即存在常数
Figure FDA0003264121010000077
使得
Figure FDA0003264121010000078
利用
Figure FDA0003264121010000079
和θ是一个有界量可以得到：
Figure FDA00032641210100000710
因为：
Figure FDA00032641210100000711
基于
Figure FDA00032641210100000712
和
Figure FDA00032641210100000713
可以得出
Figure FDA00032641210100000714
让ρ:＝λmax{ΦTΦ}，ρ是常值矩阵运算后的矩阵的秩的最大值，可以得到
Figure FDA0003264121010000081
另外：
Figure FDA0003264121010000082
将方程(64)代入到方程(63)中，得到
Figure FDA0003264121010000083
其中，
Figure FDA0003264121010000084
θ为常系数；r为预设维数的权重矩阵；
从α>1中，看出
Figure FDA0003264121010000085
是
Figure FDA0003264121010000086
的高阶项；
对于方程式(58)中的
Figure FDA0003264121010000087
注意到λmax{L1,L2}<0以及
Figure FDA0003264121010000088
让P1＝λmax{L1,L2}，P1是矩阵L1,L2中秩的最大值，得到
Figure FDA0003264121010000089
此外，对于公式(67)，得到
Figure FDA0003264121010000091
得出结论
Figure FDA0003264121010000092
将(69)替换为(58)，使用P1<0，得到公式
Figure FDA0003264121010000093
注意，
Figure FDA0003264121010000094
的高阶项，那么存在某个领域
Figure FDA0003264121010000095
使得
Figure FDA0003264121010000096
是负定的，即
Figure FDA0003264121010000097
其中，η<0在
Figure FDA0003264121010000098
内成立；
Figure FDA0003264121010000099
是一个常数；η是小于零的常数；
意味着当
Figure FDA00032641210100000910
和ω＝0时，x在有限时间内收敛到0。
9.一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制系统，其特征在于，包括扩展模块和证明模块；
所述扩展模块用于设计机械臂系统的有限时间自适应观测器以及相应的自适应控制器；通过所述自适应控制器将所述机械臂等价哈密尔顿模型和有限时间自适应观测器扩展为高维数哈密尔顿模型；
所述证明模块用于根据高维数哈密尔顿模型构建构建李亚普诺夫函数，通过对所述李雅普诺夫函数一阶求导证明闭环系统的零状态响应满足L2增益不大于扰动衰减水平，确保机械臂系统的鲁棒自适应镇定，以及证明当干扰衰减为零时系统满足有限时间稳定的条件在有限时间内收敛，保证系统的有限时间稳定性。
10.根据权利要求9所述的一种机械臂系统有限时间自适应镇定控制系统，其特征在于，所述系统还包括建立模块和转换模块；
所述建立模块用于建立综合考虑外界干扰的二阶机械臂系统的动力学方程；所述转换模块用于将动力学方程利用广义动量等价形式通过坐标变换将二阶机械臂系统进行降阶处理，化为一阶系统；选取与所述一阶系统相同状态次数的Hamilton函数，通过正交分解得到等价哈密尔顿模型。
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