CN108519740A - 一种全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制方法,属于控制工程技术领域。该方法将基于ABLF反推控制和基于Hamilton能量理论控制相结合,构建协同控制器:建立n个关节约束的机械臂系统动力学方程,对之进行坐标变换,得到该系统状态空间方程;设计基于ABLF的反推控制器,以提升系统初始响应速度,同时避免约束被破坏;设计基于Hamilton能量理论的控制器,以提高系统响应后期的跟踪稳定性;设计协同控制器,实现对全状态约束机械臂系统快速稳定控制。本发明在保证全状态约束条件不被破坏的前提下,能提升系统的动态和稳态性能,确保机械臂系统响应速度快、定位精度高,可有效提高机械臂在机器人系统中的工作性能。
Description
技术领域
本发明涉及一种控制方法,尤其是一种全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制方法,属于控制工程技术领域。
背景技术
机器人所用机械臂是一个非线性系统,其状态如位置、速度等受到各种约束条件的限制。这些实际约束一旦破坏,会严重降低系统性能,甚至危害系统。因此在实际系统中考虑约束是十分必要的。目前,非线性系统的约束控制问题已得到了广泛关注,解决这类问题的方法主要有基于障碍李雅普诺夫函数(BLF)的反推控制法和基于Hamilton(汉密尔顿)能量理论的控制法。
基于BLF的反推控制法可以通过设计每个子系统的Lyapunov(李雅普诺夫)函数和镇定函数,最终回馈到整个系统以保证系统的稳定性,同时具有快速的动态响应。目前,基于BLF的反推控制法已经应用在约束机器人系统中,有的利用BLF解决了不确定状态约束机器人系统的跟踪问题,这对进一步研究具有指导意义。
端口汉密尔顿(PCH)系统是一类重要的非线性系统,其Hamilton函数代表了系统的总能量,在稳定性分析中可作为一个良好的候选Lyapunov函数,因此,基于Hamilton能量理论的控制法在机器人控制领域得到了广泛关注。
然而,对于机器人系统,基于BLF的反推控制法虽然考虑到了实际约束对系统的影响,但存在跟踪精度低、稳态性能差等问题;而单纯的Hamilton控制法没有充分考虑由机械臂本身带来的位置和速度的实际约束,系统的动态性能仍需进一步完善。
发明内容
本发明的主要目的在于:针对现有技术的不足和空白,本发明将基于非对称障碍李雅普诺夫函数(ABLF)反推控制和基于Hamilton能量理论控制相结合,提供一种全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制方法,发挥它们各自优势,在保证全状态约束条件不被违反的前提下,可以提升系统的动态和稳态性能,确保机械臂系统不仅具有快速的跟踪速度,而且具有较小的稳态误差。
为了达到以上目的,针对n个关节约束的机械臂,本发明一种全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制方法,包括以下步骤:
步骤1,建立全状态约束的机械臂系统动力学方程:
式中,q为角位置向量(广义坐标),且n为所述机械臂的关节数;是角速度向量,且和分别表示惯性矩阵、科氏力矩阵、重力向量;为控制力矩,为控制输入变量,记为ub,且有
对于任意的t≥0,q及均需满足约束条件:
其中,kuj、kvj为常向量,且有kuj=[kuj1,kuj2,…,kujn]T,kvj=[kvj1,kvj2,…,kvjn]T,j=1,2。
步骤2,令x1=q,ub=τ,代入式(1),可得所述全状态约束的机械臂系统状态空间方程为:
令a=M-1(x1)(ub-C(x1,x2)x2-G(x1)),则上式可写为:
其约束条件为:
步骤3,设计基于非对称障碍李雅普诺夫函数(ABLF)的反推控制器,以提升初始时刻系统的响应速度,同时避免非对称全状态约束被破坏;对于式(3),控制器的设计步骤为:
3-1,令z1=x1-qd=[z11,z12,...,z1n]T,z2=x2-α=[z21,z22,...,z2n]T,其中qd为给定目标轨迹,且qd=[qd1,qd2,...,qdn]T,α为镇定函数,且α=[α1,α2,...,αn]T;
3-2,对于z1子系统,构造非对称障碍李雅普诺夫函数为:
其中,ka、kb均为正的常向量,且有 -ka、kb分别是z1的上界、下界;
定义:
则V1的导数为:
其中,镇定函数α设计为:
式中,k1i为正常数,i=1,2,…,n;
将式(6)代入式(5),得到:
3-3,对于z2子系统,构造非对称障碍李雅普诺夫函数为:
其中,kc、kd均为正的常向量,且有 -kc、kd分别是z2的上界、下界;
定义:
则V2的导数为:
其中,z2的导数为:
当z2≠[0,0,…,0]T时,选定反推控制律ub为:
式中, 表示的广义逆矩阵,它满足z2≠[0,0,…,0]T,k2i为正常数,i=1,2,…n;
将式(10)、(11)代入式(9),得:
步骤4,将所述机械臂系统式(1)转化为PCH(端口汉密尔顿)结构,并通过互联与阻尼分配及能量整形原则,设计基于Hamilton(汉密尔顿)能量理论的控制器,以提高系统响应后期的跟踪稳定性;控制器的设计步骤为:
4-1,对于式(1),考虑一个Hamilton函数H(q,p)=K(q,p)+P(q),其中表示广义动量,是系统的动能,为系统的虚拟势能,则有:
并且p的导数满足:
4-2,预置反馈控制律为:
其中,为常正定矩阵,为Hamilton控制输入。
4-3,将式(15)代入式(1),并由式(13)、(14)可得机械臂系统式(1)的PCH系统描述:
式中,H(X)为Hamilton函数, 是列满秩的,In为单位矩阵。
4-4,定义期望平衡点 为状态误差,规定一个期望的Hamilton能量函数且Hd(0)=0,则选定Hamilton控制律uh为:
式中,Ja为互联矩阵,Ra为阻尼矩阵。
步骤5,设计协同控制器,具体方法为:
令
式中,cbi(t)∈(0,1],chi(t)∈[0,1),i=1,2,…,n分别表示反推控制器(11)和Hamilton控制器(17)对应的协调函数,Ts是时间常数;
则协同控制律us为:
式中,
usi=cbi(t)ubi+chi(t)uhi,i=1,2,…,n (20)
在0<t<∞时,整个系统的李雅普诺夫函数为:
其导数为:
式(19)、式(20)就构成了全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制器。
本发明的有益效果是:1)本发明所提基于非对称障碍李雅普诺夫函数(ABLF)控制方法可以提升系统初始响应速度,同时又可避免非对称全状态约束被破坏。2)所提基于Hamilton能量理论的控制方法可以提高系统响应后期的稳态性能。3)本发明充分利用上述两种方法各自的优势,控制算法简单,同时能确保系统具有良好的动态性能和较小的稳态误差。
附图说明
图1为本发明实施例两关节机械臂示意图。
图2为基于ABLF反推控制下两关节机械臂的角位置q(t)的轨迹跟踪仿真曲线。
图3为基于ABLF反推控制下两关节机械臂的角速度的仿真曲线。
图4为基于ABLF反推控制下两关节机械臂的输入力矩ub(t)的仿真曲线。
图5为基于Hamilton能量理论控制下两关节机械臂的角位置q(t)的轨迹跟踪仿真曲线。
图6为基于Hamilton能量理论控制下两关节机械臂的角速度的仿真曲线。
图7为基于Hamilton能量理论控制下两关节机械臂的输入力矩uh(t)的仿真曲线。
图8为本发明协同控制下两关节机械臂的角位置q(t)的轨迹跟踪仿真曲线。
图9为本发明协同控制下两关节机械臂的角速度的仿真曲线。
图10为本发明协同控制下两关节机械臂的输入力矩us(t)的仿真曲线。
图中标号:1-第一连杆,2-第二连杆,3-第一关节,4-第二关节。
具体实施方式
下面结合附图,对本发明作进一步详细说明。
以一个关节约束数n=2的机械臂为例,如图1所示,该机械臂包括两个连杆:第一连杆1、第二连杆2,和两个约束关节:第一关节3、第二关节4。第一连杆1的质量和长度分别为m1、l1,第二连杆2的质量和长度分别为m2、l2;第一关节3到第一连杆1重心的距离为lc1,第二关节4到第二连杆2重心的距离为lc2;第一连杆1、第二连杆2的转动惯量分别为J1、J2;q1为第一连杆1的角位置,q2为第二连杆2的角位置。规定逆时针方向为机械臂的正转方向。
本发明一种全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制方法,为了实现上述机械臂平稳运行,具体包括以下步骤:
步骤1,建立该机械臂的动力学方程:
式中,为角位置向量;为角速度向量,分别是第一连杆1、第二连杆2的角速度向量;和分别表示惯性矩阵、科氏力矩阵、重力向量;为控制力矩,为控制输入变量,且有:
其中, G1=(m1lc2+m2l1)g cos q1+m2lc2g cos(q1+q2),G2=m2lc2g cos(q1+q2),g为重力加速度,g=9.80665m/s2。
对于任意的t≥0,q(t)及均需满足约束条件:
其中,kuj、kvj为常向量,且有kuj=[kuj1,kuj2]T,kvj=[kvj1,kvj2]T,j=1,2。
步骤2,令x1=q,ub=τ,代入式(21),可得该机械臂的状态空间方程为:
式中,
其约束条件为:
步骤3,设计基于非对称障碍李雅普诺夫函数(ABLF)的反推控制器,以提升初始时刻系统的响应速度,同时避免非对称全状态约束不被破坏;对于式(23),控制器的设计步骤为:
3-1,令z1=x1-qd=[z11,z12]T,z2=x2-α=[z21,z22]T,其中qd为给定的目标轨迹,且qd=[qd1,qd2]T,α为镇定函数,且α=[α1,α2]T;
3-2,对于z1子系统,构造ABLF为:
其中,ka、kb均为正的常向量:-ka、kb分别是z1的上界、下界;
定义:
则V1的导数为:
其中,镇定函数α设计为:
式中,k1i为正常数,i=1,2;
将式(26)代入式(25),得到:
3-3,对于z2子系统,构造ABLF为:
其中,kc、kd均为正的常向量,且-kc、kd分别是z2的上界、下界;
定义:
则V2的导数为:
其中,z2的导数为:
当z2≠[0,0,…,0]T时,选定反推控制律ub为:
式中, 表示的广义逆矩阵,它满足z2≠[0,0,…,0]T,k2i为正常数,i=1,2;
将式(30)、(31)代入式(29),得:
步骤4,设计基于Hamilton能量理论的控制器,以提高跟踪响应后期的稳定性;控制器的设计步骤为:
4-1,对于式(21),选择一个Hamilton函数:
其中,p=[p1,p2]T,
则有:
并且p的导数满足:
4-2,选定预反馈律:
其中,KD=diag{kd1,kd2},为Hamilton输入。
4-3,将式(35)代入式(21),并由式(33)、(34)可得该两关节机械臂式(21)的PCH系统结构:
式中,
4-4,定义期望平衡点状态误差规定期望的能量函数其中,
且有Hd(0)=0,则系统式(36)的Hamilton控制律uh为:
式中,Ja为注入的互联矩阵,Ra为注入的阻尼矩阵。
步骤5,设计协同控制器,具体方法为:
令
式中,cbi(t)∈(0,1],chi(t)∈[0,1),i=1,2分别表示反推控制器式(31)和Hamilton控制器式(37)对应的协调函数,Ts是时间常数;
则协同控制律us为:
式中,
usi=cbi(t)ubi+chi(t)uhi,i=1,2 (40)
式(39)、式(40)就构成了全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制器。合理选择协调函数cb1(t)、cb2(t),使得在系统响应初期,借助反推控制以提升收敛速度,同时保证满则非对称约束条件式(22)。随着时间的推移,逐渐增加基于Hamilton能量理论控制的强度以降低稳态误差,同时避免超调振荡的发生。这样就同步提高了动态和稳态性能,受控系统机械臂趋于稳定,且在响应后期约束也不会被破坏。由此可见,基于Hamilton能量理论控制在稳态响应中起主导作用。
在0<t<∞时,整个系统的李雅普诺夫函数为:
其导数为:
下面用一个优选实施例对本发明做进一步的说明。
图1所示的机械臂系统,其参数如下:m1=2kg,m2=0.85kg,l1=0.35m,l2=0.31m,J1=6.125×10-2kgm2,J2=2.042×10-2kgm2。
基于以上系统参数,系统仿真条件为:
该机械臂的初始条件为:q1(0)=1,q2(0)=0,需要跟踪的目标轨迹为:qd=[qd1,qd2]T=[sin(3t),2cos(3t)]T,其中t∈(0,6s)。
对于t∈(0,6s),q(t)及均需满足约束条件式(22)。式(22)中,kv1=[kv11,kv12]T=[1.21,2.21]T,ku1=[ku11,ku12]T=[-1.17,-2.17]T,kv2=[kv21,kv22]T=[3.2,6.2]T,ku2=[ku21,ku22]T=[-3.18,-6.18]T。
按上述仿真条件,对系统进行仿真,以此验证系统的轨迹跟踪能力。
1)基于ABLF的反推控制
镇定函数式(26)和反推控制器式(31)中的参数分别取为:k11=1.2,k12=1.1,k21=2.4,k22=1.8。仿真结果如图2、图3、图4所示。
图2为基于ABLF反推控制下该机械臂的角位置q(t)的轨迹跟踪仿真曲线,图中,虚线曲线表示期望目标角位置,实线曲线表示实际角位置。
图3为基于ABLF反推控制下该机械臂第一连杆1的角速度的仿真曲线和第二连杆2的角速度的仿真曲线。
图4所示为基于ABLF反推控制下该机械臂第一连杆1的输入力矩ub1的仿真曲线(虚线曲线)和第二连杆2的输入力矩ub2的仿真曲线(实线曲线)。
从图2、图3可以看出,在基于ABLF反推控制下,角位置q(t)大致能跟踪期望轨迹,且有较快的收敛速度,尤其是在系统响应初期;跟踪响应在稳态时存在偏差,但满足约束条件式(22)。
2)基于Hamilton能量理论的控制
式(35)中的KD取值为:KD=diag{kd1,kd2}=diag{2,2},基于Hamilton能量理论控制中规定期望的能量函数其中的Kp取值为:Kp=diag{kp1,kp2}=diag{1.5,1.8}。仿真结果如图5、图6、图7所示。
图5为基于Hamilton能量理论控制下该机械臂的角位置q(t)的轨迹跟踪仿真曲线,图中,虚线曲线表示期望目标角位置,实线曲线表示实际角位置。图6为基于Hamilton能量理论控制下该机械臂第一连杆1的角速度的仿真曲线和第二连杆2的角速度的仿真曲线。
图7所示为基于Hamilton能量理论控制下该机械臂第一连杆1的输入力矩uh1的仿真曲线(虚线曲线)和第二连杆2的输入力矩uh2的仿真曲线(实线曲线)。
从图5、图6可以看出,在基于Hamilton能量理论控制下,角位置q(t)可以无静差跟踪期望轨迹,但q(t)和明显不满足其对应的约束条件。由此可见,基于Hamilton能量理论的控制具有良好的稳态性能,但比反推控制的响应速度慢。为此需要设计基于ABLF控制和基于Hamilton能量理论控制的协同控制器。
3)协同控制
将式(38)中的时间常数Ts取为1,仿真结果如图8、图9、图10所示。
图8为协同控制下该机械臂的角位置q(t)的轨迹跟踪仿真曲线,图中,虚线曲线表示期望目标角位置,实线曲线表示实际角位置。
图9为协同控制下该机械臂第一连杆1的角速度的仿真曲线和第二连杆2的角速度的仿真曲线。
图10为协同控制下该机械臂第一连杆1的输入力矩uh1的仿真曲线(虚线曲线)和第二连杆2的输入力矩uh2的仿真曲线(实线曲线)。
从图8可以看出,在协同控制下,角位置q(t)能快速跟踪期望轨迹qd(t),且稳态误差很小。从图8、图9可以看出,q(t)和都满足约束条件式(22)。
上述结果表明,本发明的协同控制方法能有效结合基于ABLF的反推控制和基于Hamilton能量理论的控制这两种控制方法的优势,响应速度快、定位精度高,具有理想的跟踪性能和较好的控制柔性。
Claims (1)
1.一种全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制方法,其特征在于:包括以下步骤:
步骤1,建立全状态约束的机械臂系统动力学方程:
式中,q为角位置向量,且n为所述机械臂的关节数;是角速度向量,且 和分别表示惯性矩阵、科氏力矩阵、重力向量;为控制力矩,为控制输入变量,记为ub,且有
对于任意的t≥0,q及均需满足约束条件:
其中,kuj、kvj为常向量,且有kuj=[kuj1,kuj2,…,kujn]T,kvj=[kvj1,kvj2,…,kvjn]T,j=1,2;
步骤2,令x1=q,ub=τ,代入式(1),可得所述全状态约束的机械臂系统状态空间方程为:
令a=M-1(x1)(ub-C(x1,x2)x2-G(x1)),则上式可写为:
其约束条件为:
步骤3,设计基于非对称障碍李雅普诺夫函数(ABLF)的反推控制器,以提升初始时刻系统的响应速度,同时避免非对称全状态约束被破坏;对于式(3),控制器的设计步骤为:
3-1,令z1=x1-qd=[z11,z12,...,z1n]T,z2=x2-α=[z21,z22,...,z2n]T,其中qd为给定目标位置信号,且qd=[qd1,qd2,...,qdn]T,α为镇定函数,且α=[α1,α2,...,αn]T;
3-2,对于z1子系统,构造非对称障碍李雅普诺夫函数为:
其中,i=1,2,...,n;ka、kb均为正的常向量,且有 -ka、kb分别是z1的上界、下界;
定义:
则V1的导数为:
其中,镇定函数α设计为:
式中,k1i为正常数,i=1,2,…,n;
将式(6)代入式(5),得到:
3-3,对于z2子系统,构造非对称障碍李雅普诺夫函数为:
其中,i=1,2,...,n;kc、kd均为正的常向量,且有 -kc、kd分别是z2的上界、下界;
定义:
则V2的导数为:
其中,z2的导数为:
当z2≠[0,0,…,0]T时,选定反推控制律ub为:
式中, 表示的广义逆矩阵,它满足z2≠[0,0,…,0]T,k2i为正常数,i=1,2,…n;
将式(10)、(11)代入式(9),得:
步骤4,将所述机械臂系统式(1)转化为PCH(端口汉密尔顿)结构,并通过互联与阻尼分配及能量整形原则,设计基于Hamilton(汉密尔顿)能量理论的控制器,以提高系统响应后期的跟踪稳定性;控制器的设计步骤为:
4-1,对于式(1),考虑一个Hamilton函数H(q,p)=K(q,p)+P(q),其中表示广义动量,是系统的动能,为系统的虚拟势能,则有:
并且p的导数满足:
4-2,预置反馈控制律为:
其中,为常正定矩阵,为Hamilton控制输入;
4-3,将式(15)代入式(1),并由式(13)、(14)可得所述机械臂系统式(1)的PCH系统描述:
式中,H(X)为Hamilton函数, 是列满秩的,In为单位矩阵;
4-4,定义期望平衡点 为状态误差,规定一个期望的Hamilton能量函数且Hd(0)=0,则选定Hamilton控制律uh为:
式中,Ja为互联矩阵,Ra为阻尼矩阵;
步骤5,设计协同控制器,具体方法为:
令
式中,cbi(t)∈(0,1],chi(t)∈[0,1),i=1,2,…,n分别表示反推控制器式(11)和Hamilton控制器式(17)对应的协调函数,Ts是时间常数;
则协同控制律us为:
式中,
usi=cbi(t)ubi+chi(t)uhi,i=1,2,…,n (20)
在0<t<∞时,整个系统的李雅普诺夫函数为:
其导数为:
式(19)、式(20)就构成了所述全状态约束机械臂轨迹跟踪的协同控制器。
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