CN109709802B - 基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法，涉及迭代学习控制领域，该方法针对有源电子梯形电路具有周期性运行的特点，将迭代学习控制算法用于有源电子梯形电路来设计迭代学习控制律，根据重复过程稳定性条件和KYP引理在有限频域的范围内得到系统稳定和输出跟踪误差批次单调收敛的充要条件，并将该条件转换成相应LMI从而求解出迭代学习控制律，按照该迭代学习控制律确定有源电子梯形电路的输入矢量从而实现电路控制；算法简单、控制精度高、易于工程实现，不仅考虑了时间和批次维度的系统特性，而且能直接应用于更为复杂且具有额外节点维度的有源电子梯形电路，具有较好的控制精度。

Description

基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法

技术领域

本发明涉及迭代学习控制领域，尤其是一种基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法。

背景技术

有源电子梯形电路由一些规则分布在空间中的相同单元组成，通过纵向和横向电阻或电抗实现。单个子电路在结构上非常简单，但是子电路直接与其相邻的单元交互，所形成的有源电子梯形电路可以呈现丰富和复杂的行为，如图1为有源电子梯形电路的单个节点电路示意图，图2为多个节点连接的单个有源电子梯形电路的电路示意图。这类梯形电路目前应用于分析LED光路，这种光路包含一系列发光元件，用于产生特定的视觉图像。同时有源电子梯形电路在对电能传输链和导热材料的研究中也有一定的应用，在电能传输链中可用于分析系统整体的能量消耗情况；在导热材料的温度传递与分布研究中，有源电子梯形电路呈现着相似的特性。

有源电子梯形电路在运行时除了在节点和时间维度上有状态信号变化外，往往还需要加入批次维度不断周期性重复展示动态效果，因此具有清晰的多维结构，因此通常需要利用智能控制方法来解决有源电子梯形电路的控制问题。主要的智能控制方法有：专家控制，模糊控制和神经网络控制等。专家控制的主体由知识库和推理机构组成，涉及到知识库的自动更新与规则自动生成。因此专家控制在实时性和信息的并行处理方面有很大的局限性。模糊控制具有较强的鲁棒性能和容错性能，但是由于其模糊的特性会导致系统的控制精度和动态品质的降低。神经网络控制具有较强的自适应能力，但是其必须要有已知的具体工程应用数据样本，同时还需要足够长的时间来进行在线或离线学习训练，因此其收敛速度缓慢。

发明内容

本发明人针对上述问题及技术需求，提出了一种基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法，该方法不仅考虑了时间和批次维度的系统特性，而且能直接应用于更为复杂且具有额外节点维度的有源电子梯形电路，具有较好的控制精度。

本发明的技术方案如下：

一种基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法，该方法包括：

第一步：按照基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律建立有源电子梯形电路的状态空间方程，状态空间方程基于有源电子梯形电路中的节点的输入信号、输出信号和状态信号；

第二步：对有源电子梯形电路的状态空间方程进行转换得到对应的等效二维系统方程，等效二维系统方程基于有源电子梯形电路的输入矢量、输出矢量和状态矢量，有源电子梯形电路的输入矢量根据各个节点的输入信号确定得到，有源电子梯形电路的输出矢量根据各个节点的输出信号确定得到，有源电子梯形电路的状态矢量根据各个节点的状态信号确定得到；

第三步：确定有源电子梯形电路的期望输出并建立有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式为：

U_k(t)＝U_k-1(t)+ΔU_k(t)；

其中，k表示迭代学习批次，U_k(t)是有源电子梯形电路的第k个迭代学习批次的输入矢量，U_k-1(t)是有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的输入矢量，ΔU_k(t)是第k个迭代学习批次的迭代学习更新律，且：

其中，

X_k(t)表示有源电子梯形电路的第k个迭代学习批次的状态矢量，X_k-1(t)表示有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的状态矢量；e_k-1(t)＝Y_r(t)-Y_k-1(t)，Y_r(t)表示有源电子梯形电路的期望输出，Y_k-1(t)表示有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的输出矢量，K_m和K_n均为系统矩阵；

第四步：将有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式和有源电子梯形电路的等效二维系统方程结合得到有源电子梯形电路的重复过程模型和误差传递函数；

第五步：根据重复过程稳定性条件和KYP引理得到使得重复过程模型和误差传递函数收敛的充要条件，并根据充要条件求解得到迭代学习控制律中的系统矩阵K_m和K_n，从而得到有源电子梯形电路的迭代学习控制律；

第六步：根据得到的迭代学习控制律确定有源电子梯形电路的每一次迭代学习的输入矢量，将确定得到的输入矢量输入有源电子梯形电路进行电路控制，有源电子梯形电路在输入矢量的控制作用下追踪期望输出。

本发明的有益技术效果是：

本申请公开了一种基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法，该方法针对有源电子梯形电路具有周期性运行的特点，将迭代学习控制算法用于有源电子梯形电路来设计迭代学习控制律，根据重复过程稳定性条件和KYP引理在有限频域的范围内得到系统稳定和输出跟踪误差批次单调收敛的充要条件，并将该条件转换成相应LMI从而求解出迭代学习控制律，按照该迭代学习控制律确定有源电子梯形电路的输入矢量从而实现电路控制。迭代学习控制是智能控制领域的一个重要分支，本申请可将迭代学习控制算法简单、控制精度高、易于工程实现的优点运用于有源电子梯形电路，不仅考虑了时间和批次维度的系统特性，而且能直接应用于更为复杂且具有额外节点维度的有源电子梯形电路，具有较好的控制精度。

附图说明

图1是有源电子梯形电路的单个节点的典型电路图。

图2是有源电子梯形电路的多个节点构成的电路结构图。

图3是迭代学习控制律对有源电子梯形电路的控制流程示意图。

图4是有源电子梯形电路中不同节点的期望输出的二维参考轨迹。

图5是有源电子梯形电路中不同节点的期望输出的频谱。

图6是有源电子梯形电路的均方根误差变化效果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

本申请公开了一种基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法，该方法包括如下步骤：

第一步：按照基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律建立有源电子梯形电路的状态空间方程。

以有源电子梯形电路采用图2所示的结构为例，也即一个有源电子梯形电路中包括若干个节点，该若干个节点依次连接构成串联电路，其连接有电压源U(t)和电流源i(t)。有源电子梯形电路中的每个节点的电路结构都相同，且第p个节点的电路结构如图1所示，p为参数且p的起始值为0，且0≤p≤α-1，α是有源电子梯形电路中的节点的总个数、是一个已知的正整数。第p个节点中包括电感L、第一电阻R₁、内部受控电压源E_k(p,t)、第二电阻R₂、内部受控电流源i_k(p,t)以及电容C，电感L、第一电阻R₁以及内部受控电压源E_k(p,t)依次串联，该串联电路的一端连接该节点的电流输入端、另一端连接该节点的电流输出端，内部受控电压源E_k(p,t)的输出方向朝向所述电流输出端；第二电阻R₂、内部受控电流源i_k(p,t)以及电容C并联，该并联电路的一端连接该节点的电流输出端，该并联电路的一端分别连接该节点的电压输入端和电压输出端，内部受控电流源i_k(p,t)的输出方向朝向所述电流输出端。如图1所示，节点的电流输入端处的电流值为

电流输出端处的电流值为

电压输入端处的电压值为

电压输出端处的电压值为

则根据基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律，可得如下方程：

令状态信号为

令输入信号为

则可得以下有源电子梯形电路形式：

针对该电路系统，当减少受控源时有利于系统的稳定，因此本申请设定：

γ为反馈参数，式(2)也即表示将内部受控电流源作为内部反馈，把有源电子梯形电路中的每个节点变换成只有一个内部受控电压源的形式，并且取系统自身状态作为输出信号y_k(p,t)，则可以得到以下状态空间方程：

其中

A₂，A₃，

和

是对应维数的系统矩阵且均由有源电子梯形电路的电路参数确定，在如图1和2的举例中，有：

式中k表示迭代学习批次，有源电子梯形电路工作于t∈[0,T]的重复时间周期内，T的取值根据实际情况确定。有源电子梯形电路中的第p个节点的状态会受到前后节点的影响，其中，不失一般性，假设有源电子梯形电路满足如下边界条件，式中U(t)表示有源电子梯形电路连接的电压源，i(t)表示有源电子梯形电路连接的电流源i(t)：

第二步：对有源电子梯形电路的状态空间方程进行转换得到对应的等效二维系统方程。式(4)的状态空间方程无法直接用于控制器的设计，因此需要对状态空间方程(4)进行提升以得到等效二维系统方程，具体的，对于状态空间方程(4)，利用提升技术，定义有源电子梯形电路的输入矢量U_k(t)、输出矢量Y_k(t)和状态矢量X_k(t)。其中，有源电子梯形电路的输入矢量U_k(t)根据各个节点的输入信号u_k(p,t)确定得到，有源电子梯形电路的输出矢量Y_k(t)根据各个节点的输出信号y_k(p,t)确定得到，有源电子梯形电路的状态矢量X_k(t)根据各个节点的状态信号x_k(p,t)确定得到，其形式为：

则有源电子梯形电路的状态空间方程(4)可以转换为等效二维系统方程：

其中，A、B和C均为对应维数的系统矩阵，且由状态空间方程(4)中的系统矩阵

A₂，A₃，

和

得到，具体为：

第三步：根据重复过程理论设计迭代学习控制算法。

确定有源电子梯形电路的期望输出，并定义有源电子梯形电路在第k个迭代学习批次时的输出误差的表达式为：

e_k(t)＝Y_r(t)-Y_k(t) (9)

Y_r(t)是有源电子梯形电路的期望输出，Y_k(t)是有源电子梯形电路在第k个迭代学习批次时的输出矢量。

针对有源电子梯形电路的等效二维系统方程(6)设计有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式为：

U_k(t)＝U_k-1(t)+ΔU_k(t) (10)

其中，U_k(t)是有源电子梯形电路的第k个迭代学习批次的输入矢量，U_k-1(t)是有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的输入矢量，ΔU_k(t)是第k个迭代学习批次的迭代学习更新律，也即控制系统周期更新的修正量。定义变量：

其中，X_k(t)表示有源电子梯形电路的第k个迭代学习批次的状态矢量，X_k-1(t)表示有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的状态矢量，则第k个迭代学习批次的迭代学习更新律ΔU_k(t)可表示为：

也即第k个迭代学习批次的迭代学习更新律ΔU_k(t)与第k-1个迭代学习批次的输出误差相关，根据式(8)可知e_k-1(t)＝Y_r(t)-Y_k-1(t)，Y_k-1(t)表示有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的输出矢量。

K_m和K_n均为系统矩阵，且矩阵K_m的矩阵形式与等效二维系统方程(6)中的矩阵A相同，矩阵K_n的矩阵形式为与等效二维系统方程(6)中的矩阵B相同，也即存在K_m和K_n的形式如下：

式(12)仅用于表示系统矩阵K_m和K_n的形式而不表示其具体内容，也即用于构成系统矩阵K_m和K_n的矩阵

K₂，K₃，和

得需要根据实际情况确定。迭代学习控制律对有源电子梯形电路的控制流程图如图3所示。

第四步：将有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式和有源电子梯形电路的等效二维系统方程(6)结合得到有源电子梯形电路的重复过程模型和误差传递函数。

将迭代学习更新律与等效二维系统方程(6)结合，便可以得到有源电子梯形电路的重复过程模型为如下形式：

其中：

有源电子梯形电路从第k-1个迭代学习批次时的输出误差e_k-1(t)到第k个迭代学习批次时的输出误差e_k(t)的误差传递函数为：

第五步：迭代学习控制算法的收敛性分析以及迭代学习控制律的求解。

重复过程稳定性条件规定，重复过程稳定和误差收敛需要满足以下三个条件。条件一：系统矩阵

的所有特征值都具有严格的负实部；条件二：系统矩阵

的谱半径严格小于1；条件三：传递函数矩阵

其特征值的模严格小于1。

条件一转换成相应的线性矩阵不等式为

将条件三与KYP引理相结合，并将重复过程模型(13)的系数矩阵代入KYP引理的线性矩阵不等式中，并取频率响应不等式中的矩阵

则线性矩阵不等式可以改写为：

则式(25)又可写成：

其中

对于式中的矩阵Λ^⊥，可取

取Σ＝[aI I 0]，

可以得到下列等式：

其中，a＞0时，系统对应于高频段；a＝0时，系统对应于低、中频段。当a＝0时，

通常情况下，迭代学习控制律的设计需要使得系统误差在全频域范围内收敛，但在实际工程中，有源电子梯形电路往往只需要工作在特定的频率范围，该特定的频率范围是由工艺要求确定的。高频段与低、中频段的具体频段区分根据业界通用含义或者自定义确定，也即该特定的频率范围具体属于高频段还是低、中频段，根据业界通用含义或者自定义确定，比如工作的频率范围为0-5Hz时可以确定属于低、中频段，工作的频率范围为3KHz-5KHz时可以确定属于高频段。

定义Q＞0，根据KYP引理中N₁₁＝-Q可得N₁₁＜0，又根据重复过程稳定的条件二，则取

所以

根据投射引理

可得以下不等式：

对式(28)进行化简并使用Schur补引理，便可得到下列不等式：

因此根据重复过程稳定性条件规定的重复过程稳定和误差收敛需要满足三个条件，结合KYP引理可得出如下结论：

对于重复过程模型，若存在对称正定矩阵Q＞0、P＞0、Z＞0和矩阵W使得如下线性矩阵不等式成立则有源电子梯形电路在低中频段沿时间和迭代学习次数方向渐近稳定且跟踪误差e_k(t)单调收敛：

对于重复过程模型，若存在对称正定矩阵Q＞0、P＞0、Z＞0和矩阵W，以及标量a＞0使得如下线性矩阵不等式成立，则有源电子梯形电路在高频段沿时间和迭代学习次数方向渐近稳定且跟踪误差e_k(t)单调收敛：

得到上述结论后，并不能将上述结论直接用于迭代学习控制律的求解，需要进行一定的转换才能进行求解。

根据式(30)可得：

取

取

因此Σ＝[-ρ₂I ρ₁I]，定义ρ₂＜0,ρ₁＞0则：

运用投射引理，可得到如下结果：

将重复过程模型的矩阵系数代入式(36)并在不等式左右两边乘以diag{S^T,S^T}、diag{S,S}，其中S＝W^-1，便可得如下不等式：

其中

将重复过程模型的系数矩阵式(14)代入式(31)，因此可以得到下列不等式：

在上式不等式左右两边乘以diag{S^T,S^T,I,I}、diag{S,S,I,I}，其中S＝W^-1，可得到下列不等式：

化简即可得下列不等式：

其中

因此可得出下列结论：

针对式(13)所描述的重复过程模型，若存在适当维数的矩阵X₁，X₂，S和

以及标量ρ₁＞0，ρ₂＜0和正定对称矩阵

使得下列矩阵不等式成立，则有源电子梯形电路在低中频段沿时间和迭代学习次数方向渐近稳定且跟踪误差e_k(t)单调收敛，迭代学习控制律中的系统矩阵K_m＝X₁S^-1、K_n＝X₂：

针对式(13)所描述的重复过程模型，若存在适当维数矩阵X₁，X₂，S和

以及标量a＞0，ρ₁＞0，ρ₂＜0和正定对称矩阵

使得下列矩阵不等式成立，则有源电子梯形电路在高频段沿时间和迭代学习次数方向渐近稳定且跟踪误差e_k(t)单调收敛，且迭代学习控制律中的系统矩阵K_m＝X₁S^-1、K_n＝X₂：

第六步：在得到迭代学习控制律后，即能根据得到的迭代学习控制律确定有源电子梯形电路的每一次迭代学习的输入矢量，将确定得到的输入矢量输入有源电子梯形电路进行电路控制，有源电子梯形电路在输入矢量的控制作用下追踪期望输出。

本申请提供如下举例来说明本申请的有源电子梯形电路的控制方法：

在图1和图2公开的有源电子梯形电路中，取有源电子梯形电路的电路参数为L＝0.36[H]，C＝0.45[F]，R₁＝1.5[Ω]，R₂＝2[Ω]，γ＝0.1，同时取电路的状态初值x_k(p,0)＝[0 0]^T，u_k(p,0)＝0。则式(4)中的各个系统矩阵为：

根据空间关联系统的特点，通常要求有源电子梯形电路每个节点的参考轨迹幅值均不相同，为此不失一般性，考虑分别定义第6个，第12个，第18个和第24个节点的期望输出的轨迹为：

电路的期望输出的轨迹由波形发生器给出，这些节点的期望输出在时域中的曲线如图4所示，绘制相应的频谱曲线如图5所示，可知参考轨迹的有效谐波在0-2Hz之间全部衰减，因此可以选取该频段为有源电子梯形电路运行的低频范围，即

对应于系统运行的低频范围，求解式(41)和式(42)的线性矩阵不等式可得迭代学习控制律中构成系统矩阵的K_m和K_n的矩阵增益为：

则由此可以得到系统矩阵的K_m和K_n，从而得到迭代学习控制律。上述迭代学习控制器的实现通过一块STM32F103RCT6芯片实现。芯片的输入为电路的电压和电流信号，现有的电压和电流信号无法直接作为输入。所以电路中的电压和电流信号由电压信号传感器和电流信号传感器采集得到。输入信号通过调理电路进入stm32芯片进行存储和计算，并构建迭代学习更新律，CPU计算后得到的信号为当前周期的输入信号U_k(t)。控制信号通过D/A转换电路作用于有源电子梯形电路，不断修正电路的输出轨迹，直到跟踪上给定的期望输出的轨迹。

为了进一步评价系统跟踪性能，引入性能指标：

图6表示有源电子梯形电路系统的均方根误差变化效果，可以看出在30个批次内该有源电子梯形电路空间关联系统的输出跟踪误差单调收敛。

可以理解，本领域技术人员在不脱离本发明的精神和构思的前提下直接导出或联想到的其他改进和变化，均应认为包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于迭代学习控制的有源电子梯形电路的控制方法，其特征在于，所述方法包括：

第一步：按照基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律建立有源电子梯形电路的状态空间方程，所述状态空间方程基于所述有源电子梯形电路中的节点的输入信号、输出信号和状态信号；

第二步：对所述有源电子梯形电路的状态空间方程进行转换得到对应的等效二维系统方程，所述等效二维系统方程基于所述有源电子梯形电路的输入矢量、输出矢量和状态矢量，所述有源电子梯形电路的输入矢量根据各个节点的输入信号确定得到，所述有源电子梯形电路的输出矢量根据各个节点的输出信号确定得到，所述有源电子梯形电路的状态矢量根据各个节点的状态信号确定得到；

第三步：确定所述有源电子梯形电路的期望输出并建立所述有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式为：

U_k(t)＝U_k-1(t)+ΔU_k(t)；

其中，k表示迭代学习批次，U_k(t)是所述有源电子梯形电路的第k个迭代学习批次的输入矢量，U_k-1(t)是所述有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的输入矢量，ΔU_k(t)是第k个迭代学习批次的迭代学习更新律，且：

其中，

X_k(t)表示所述有源电子梯形电路的第k个迭代学习批次的状态矢量，X_k-1(t)表示所述有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的状态矢量；e_k-1(t)＝Y_r(t)-Y_k-1(t)，Y_r(t)表示所述有源电子梯形电路的期望输出，Y_k-1(t)表示所述有源电子梯形电路的第k-1个迭代学习批次的输出矢量，K_m和K_n均为系统矩阵；

第四步：将所述有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式和所述有源电子梯形电路的等效二维系统方程结合得到所述有源电子梯形电路的重复过程模型和误差传递函数；

第五步：根据重复过程稳定性条件和KYP引理得到使得所述重复过程模型和所述误差传递函数收敛的充要条件，并根据所述充要条件求解得到所述迭代学习控制律中的系统矩阵K_m和K_n，从而得到所述有源电子梯形电路的迭代学习控制律；

第六步：根据得到的所述迭代学习控制律确定所述有源电子梯形电路的每一次迭代学习的输入矢量，将确定得到的所述输入矢量输入所述有源电子梯形电路进行电路控制，所述有源电子梯形电路在所述输入矢量的控制作用下追踪所述期望输出。

2.根据权利要求1所述的有源电子梯形电路的控制方法，其特征在于，所述按照基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律建立有源电子梯形电路的状态空间方程包括得到如下状态空间方程：

其中，p为节点参数且p的起始值为0，0≤p≤α-1，α是有源电子梯形电路中的节点的总个数，x_k(p,t)是所述有源电子梯形电路的第p个节点的状态信号，u_k(p,t)是所述有源电子梯形电路的第p个节点的输入信号，y_k(p,t)是所述有源电子梯形电路的第p个节点的输出信号，

A₂，A₃，

和

是对应维数的系统矩阵且由所述有源电子梯形电路的电路参数确定；所述状态空间方程满足如下边界条件：

其中，U(t)表示所述有源电子梯形电路连接的电压源，i(t)表示所述有源电子梯形电路连接的电流源i(t)。

3.根据权利要求2所述的有源电子梯形电路的控制方法，其特征在于，对所述有源电子梯形电路的状态空间方程进行转换得到对应的等效二维系统方程，包括得到如下等效二维系统方程：

其中，U_k(t)表示所述有源电子梯形电路的输入矢量，Y_k(t)表示所述有源电子梯形电路的输出矢量，X_k(t)表示所述有源电子梯形电路的状态矢量，且：

U_k(t)＝[u_k(0,t)^T,u_k(1,t)^T,…,u_k(α-1,t)^T]^T

Y_k(t)＝[y_k(0,t)^T,y_k(1,t)^T,…,y_k(α-1,t)^T]^T

X_k(t)＝[x_k(0,t)^T,x_k(1,t)^T,…,x_k(α-1,t)^T]^T

其中A、B和C均为对应维数的系统矩阵，且：

4.根据权利要求3所述的有源电子梯形电路的控制方法，其特征在于，将所述有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式和所述有源电子梯形电路的等效二维系统方程结合得到所述有源电子梯形电路的重复过程模型和误差传递函数，包括：

得到所述有源电子梯形电路的重复过程模型为：

得到所述有源电子梯形电路从e_k-1(t)到e_k(t)的误差传递函数为：

其中：

5.根据权利要求4所述的有源电子梯形电路的控制方法，其特征在于，所述根据重复过程稳定性条件和KYP引理得到使得所述重复过程模型和所述误差传递函数收敛的充要条件，包括：

步骤1：确定在满足下列三个条件时所述重复过程模型和所述误差传递函数收敛：条件一：系统矩阵

的所有特征值均具有严格的负实部；条件二：系统矩阵

的谱半径小于1；条件三：误差传递函数对于

特征值的模小于1；

步骤2：将所述条件一转换为相应的线性矩阵不等式：

步骤3：将所述条件三与KYP引理结合，并将所述重复过程模型的系数矩阵代入KYP引理的线性矩阵不等式，并取频率响应不等式中的矩阵

则步骤2的所述线性矩阵不等式改写为：

步骤4：对步骤3的不等式进一步改写为：

其中，

步骤5：取Σ＝[aI I 0]，

得到如下等式：

其中，a＞0时，所述有源电子梯形电路对应于高频段；a＝0时，所述有源电子梯形电路对应于低、中频段；当a＝0时，

步骤6：定义Q＞0，根据KYP引理中N₁₁＝-Q得N₁₁＜0，又根据所述条件二，则取

所以

根据投射引理

得以下不等式：

进一步化简并使用Schur补引理，得到下列不等式：

步骤7：由此确定对于所述重复过程模型，若存在对称正定矩阵Q＞0、P＞0、Z＞0和矩阵W使得如下线性矩阵不等式成立，则所述有源电子梯形电路在低中频段沿时间和迭代学习次数方向渐近稳定且跟踪误差e_k(t)单调收敛：

以及：

若存在对称正定矩阵Q＞0、P＞0、Z＞0和矩阵W，以及标量a＞0使得如下线性矩阵不等式成立，则所述有源电子梯形电路在高频段沿时间和迭代学习次数方向渐近稳定且跟踪误差e_k(t)单调收敛：

以及：

6.根据权利要求5所述的有源电子梯形电路的控制方法，其特征在于，所述根据所述充要条件求解得到所述迭代学习控制律中的系统矩阵K_m和K_n，包括如下步骤：

步骤1：根据

得到如下关系式：

取

取

因此Σ＝[-ρ₂I ρ₁I]，定义ρ₂＜0,ρ₁＞0则：

步骤2：运用投射引理，得到如下结果：

步骤3：将所述重复过程模型的矩阵系数代入步骤2的不等式中并在不等式左右两边乘以diag{S^T,S^T}、diag{S,S}，其中S＝W^-1，得如下不等式：

其中

步骤4：将所述重复过程模型的矩阵系数代入如下不等式：

得到：

在不等式左右两边乘以diag{S^T,S^T,I,I}、diag{S,S,I,I}，其中S＝W^-1，得如下不等式：

化简得到下列不等式：

其中

步骤5：由此确定对于所述重复过程模型，若存在矩阵X₁、X₂、S和

以及标量ρ₁＞0，ρ₂＜0和正定对称矩阵

使得下列矩阵不等式成立，则所述有源电子梯形电路在低中频段沿时间和迭代学习次数方向渐近稳定且跟踪误差e_k(t)单调收敛，且确定所述迭代学习控制律中的系统矩阵K_m＝X₁S^-1、K_n＝X₂：

以及：

若存在矩阵X₁、X₂、S和

以及标量a＞0，ρ₁＞0，ρ₂＜0和正定对称矩阵

使得下列矩阵不等式成立，则所述有源电子梯形电路在高频段沿时间和迭代学习次数方向渐近稳定且跟踪误差e_k(t)单调收敛，且确定所述迭代学习控制律中的系统矩阵K_m＝X₁S^-1、K_n＝X₂：

以及：

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