CN104267596A - 一种小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法 - Google Patents

Abstract

小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包括：建立四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间一集相关控制参数；将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；将小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；针对小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；本发明不仅能够避免饱和函数的影响，降低控制器的复杂程度，而且可以实现小车倒立摆系统在有限时间内的快速稳定。

Description

一种小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法

技术领域

本发明涉及一种四阶非线性系统的有限时间解耦控制方法，特别是带有系统模型不确定和饱和输入的四阶非线性系统的有限时间解耦控制方法。

背景技术

小车倒立摆系统作为受控对象是一种响应快、多变量、非线性、强耦合的自然不稳定系统，是检验各种控制理论的理想模型。在控制过程中小车倒立摆系统能有效反映如稳定性、鲁棒性以及跟踪性等许多控制中的问题。因此，对于小车倒立摆的研究长期以来都是国内外学者研究的热门课题之一。

滑模控制也叫变结构控制，本质上是一类特殊的非线性控制，且非线性表现为控制的不连续性。作为一种常用的非线性控制方法，滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点。滑模控制系统的动态性能主要取决于滑动面的选择，传统的滑模控制器设计只能保证系统状态在滑动面上的渐近收敛性。为了改善闭环系统的收敛性能和抗扰动性能,一般在线性滑模的基础上增加非线性项，通过设计动态非线性滑模面，即终端滑模面，实现系统的快速跟踪控制。当系统状态到达滑动面后可在有限时间内滑动到原点,从而实现系统状态的有限时间收敛性。

然而，传统有限时间滑模控制一般针对二阶系统，因此对于四阶的小车倒立摆系统，需要至少分别设计两个滑模控制器。目前的控制器设计方法分别针对小车和摆杆进行设计，增加控制器的复杂程度。

发明内容

本发明要克服现有技术的上述缺点，提供一种有限时间解耦控制方法，首先将小车倒立摆系统解耦为摆杆和小车两个二阶子系统，分别设计终端滑模面，其中第一个滑模面含有与第二个滑模面相关的中间变量。然后，基于第一个滑模面设计控制器，降低控制器的复杂度，同时保证摆杆和小车子系统在有限时间内稳定。

本发明所述的小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包含以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间一集相关控制参数；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=a_1(x,t)+c_1(x,t)v_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=a_2(x,t)+c_2(x,t)v_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T是状态向量；a₁(x,t)，a₂(x,t)≠0和是未知非线性函数；c₁(x,t)，c₂(x,t)为以下非线性函数：

$c_1(x,t)=\frac{\cos \left(x_1\right)}{L(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))}---\left(2\right)$

$c_2(x,t)=\frac{4}{3(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))};---\left(3\right)$

d₁(t)和d₂(t)表示外部干扰，并且，|d₁(t)|≤D₁(t)，|d₂(t)|≤D₂(t)；v₁(t)，v₂(t)为饱和函数输出值，表示为：

$v\left(t\right)=\mathrm{sat}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{sign}\left(u\right)v_{\max }& \mathrm{if}& \left|u\left(t\right)\right|\&GreaterEqual;v_{\max }\\ u& \mathrm{if}& \left|u\left(t\right)\right|<v_{\max }\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，u(t)∈R是实际控制信号；v_max为饱和函数宽度参数。

步骤2，将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；

2.1将饱和函数近似为一双曲正切函数，定义为：

$g\left(u\right)=v_{\max }\&times;\tanh (u/v_{\max })=u_{\max }\&times;\frac{e^{u/v_{\max }}-e^{-u/v_{\max }}}{e^{u/v_{\max }}+e^{-u/v_{\max }}}---\left(5\right)$

然后，sat(u)可被定义为：

sat(u)＝g(u)+d(u)         (6)

2.2根据微分中值定理，可得

g(u)＝g(u₀)+g′(u)×(u-u₀)         (7)

其中，g′(u)为g(u)在u处的一阶导数。

因此，当取u₀＝0时

g(u)＝g′(u)×u          (8)

将式(8)代入式(6)得：

$v=g^{\&prime;}\left(u\right)u+d\left(u\right),\&ForAll;t\&GreaterEqual;0---\left(9\right)$

2.3将简化后的饱和函数式(9)代入式(1)可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，x₁(t)是摆杆角位移，x₂(t)是摆杆角速度；x₃(t)是小车位移，x₄(t)是小车速度；

x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T为输入向量；f₁(x,t)，f₂(x,t)≠0是未知非线性函数；

b₁(x,t)＝a₁(x,t)×g′(u₁)，b₂(x,t)＝a₂(x,t)×g′(u₂)。

步骤3，将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；

3.1将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统

$\mathrm{subsystem}1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

$\mathrm{subsystem}2:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

3.2定义如式(13)和(14)所示非线性滑模面：

$S_1={\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1}\mathrm{sign}(x_1-z)+x_2---\left(13\right)$

$S_2={\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|x_3\right|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\mathrm{sign}\left(x_3\right)+x_4---\left(14\right)$

其中，λ₁和λ₂是正常数；z是一个中间变量定义为z＝sat(S₂/φ_z)z_u，0<z_u<1，φ_z是S₂的界； $0<({\mathrm{\&gamma;}}_1=\frac{q_1}{p_1})<\mathrm{1,0}<({\mathrm{\&gamma;}}_2=\frac{q_2}{p_2})<1,$ p₁，q₁，p₂和q₂是正奇数满足p₁>q₁和p₂>q₂。因为(x₁-z)<0和x₃<0，分数γ₁和γ₂使得和因此，不会产生奇异值问题。

3.3对式(13)进行微分，可得

${\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_1={\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2---\left(15\right)$

为使系统在有限时间内趋于稳定，需要满足以下条件

${\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_1=k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S\right)---\left(16\right)$

其中，0<ρ<1,k₁>0并且k₂>0。

根据有限时间稳定性定理可得，平衡点为x₁＝z并且x₃＝0。

步骤4，针对式(10)表示的小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；

4.1将和式(15)代入式(16)，解得控制信号u₁(t)的表达式为

$u_1\left(t\right)=\frac{-1}{b_1(x,t)}[f_1(x,t)+{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S_1\right)]---\left(17\right)$

4.2设计神经网络逼近未知函数则有

$\frac{f_1(x,t)}{b_1(x,t)}=W^T\mathrm{\&phi;}\left(X\right)+\mathrm{\&epsiv;}---\left(18\right)$

其中，其中W为理想权重，φ(X)为神经网络基函数，X为神经网络输入向量，ε表示神经网络逼近误差。φ(x)通常取为以下函数：

$\mathrm{\&phi;}\left(X\right)=\frac{a}{b+\exp \left(\frac{-X}{c}\right)}+d---\left(19\right)$

其中，a，b，c和d均为正常数；

将式(18)和式(19)代入式(17)，可得

$\begin{array}{c}{u}_1\left(t\right)=-{\hat{W}}^T\mathrm{\&phi;}\left(X\right)+\widehat{\mathrm{\&mu;}}\tanh (S_1/\mathrm{\&delta;})\\ +\frac{-1}{b_1(x,t)}[{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S_1\right)]\end{array}---\left(20\right)$

其中，为理想权重W的估计值，为自适应控制参数，δ为正常数；

其中，ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限。

4.3设计u₂(t)＝u₁(t)，则式(10)可转化为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_1\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(21\right)$

此时，摆杆与小车之间已解耦。

4.4设计神经网络权重和自适应控制参数的更新律为：

$\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{W}=K_C\mathrm{\&phi;}\left(X\right){S_1}^T---\left(22\right)$

其中，K_C一个正常数；

$\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{\mathrm{\&mu;}}{=v}_{\mathrm{\&mu;}}{S}_1\tanh (S_1/\mathrm{\&delta;})---\left(23\right)$

其中，v_μ一个正常数。

步骤5，设计李雅普诺夫函数则可以证明S₁趋向于零，即x₁趋向于z；同时，式(13)中，z是一个有界衰减函数，根据以上设计可得，当S₂＝0时，z＝0，x₃＝0；因此，可以证明闭环控制系统的稳定性。

本发明的技术构思为：针对带有模型不确定和饱和输入的四阶的小车倒立摆系统，简化饱和函数结构，结合解耦的非奇异终端滑模和神经网络，设计一种小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法。通过变换饱和函数模型，使饱和函数连续可微，再通过神经网络逼近未知函数。同时，设计有限时间解耦控制器保证系统快速稳定。本发明提供一种能够使系统在有限时间内快速趋于稳定，降低控制器的复杂程度，且有效避免饱和输入对系统影响的有限时间解耦控制方法，可以实现小车倒立摆系统的快速稳定控制。

本发明的优点为：避免饱和影响，实现系统有限时间收敛，降低控制器的复杂程度。

附图说明

图1为本发明的饱和函数

图2为本发明的控制算法流程图

图3为本发明的四阶系统动态量x₁的稳定效果

图4为本发明的四阶系统动态量x₃的稳定效果

图5为本发明的控制器信号

具体实施方式

参照附图1-5，本发明所述的小车倒立摆系统的有限时间结耦控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间一集相关控制参数；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=a_1(x,t)+c_1(x,t)v_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=a_2(x,t)+c_2(x,t)v_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T是状态向量；a₁(x,t)，a₂(x,t)≠0和是未知非线性函数；c₁(x,t)，c₂(x,t)为以下非线性函数：

$c_1(x,t)=\frac{\cos \left(x_1\right)}{L(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))}---\left(2\right)$

$c_2(x,t)=\frac{4}{3(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))};---\left(3\right)$

d₁(t)和d₂(t)表示外部干扰，并且，|d₁(t)|≤D₁(t)，|d₂(t)|≤D₂(t)；v₁(t)，v₂(t)为饱和函数输出值，表示为：

$v\left(t\right)=\mathrm{sat}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{sign}\left(u\right)v_{\max }& \mathrm{if}& \left|u\left(t\right)\right|\&GreaterEqual;v_{\max }\\ u& \mathrm{if}& \left|u\left(t\right)\right|<v_{\max }\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，u(t)∈R是实际控制信号；v_max为饱和函数宽度参数。

步骤2，将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；

2.1将饱和函数近似为一双曲正切函数，定义为：

$g\left(u\right)=v_{\max }\&times;\tanh (u/v_{\max })=u_{\max }\&times;\frac{e^{u/v_{\max }}-e^{-u/v_{\max }}}{e^{u/v_{\max }}+e^{-u/v_{\max }}}---\left(5\right)$

然后，sat(u)可被定义为：

sat(u)＝g(u)+d(u)          (6)

2.2根据微分中值定理，可得

g(u)＝g(u₀)+g′(u)×(u-u₀)         (7)

其中，g′(u)为g(u)在u处的一阶导数。

因此，当取u₀＝0时

g(u)＝g′(u)×u          (8)

将式(8)代入式(6)得：

$v=g^{\&prime;}\left(u\right)u+d\left(u\right),\&ForAll;t\&GreaterEqual;0---\left(9\right)$

2.3将简化后的饱和函数式(9)代入式(1)可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，x₁(t)是摆杆角位移，x₂(t)是摆杆角速度；x₃(t)是小车位移，x₄(t)是小车速度；

x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T为输入向量；f₁(x,t)，f₂(x,t)≠0是未知非线性函数；

b₁(x,t)＝a₁(x,t)×g′(u₁)，b₂(x,t)＝a₂(x,t)×g′(u₂)。

步骤3，将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；

3.1将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统

$\mathrm{subsystem}1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

$\mathrm{subsystem}2:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

3.2定义如式(13)和(14)所示非线性滑模面：

$S_1={\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1}\mathrm{sign}(x_1-z)+x_2---\left(13\right)$

$S_2={\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|x_3\right|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\mathrm{sign}\left(x_3\right)+x_4---\left(14\right)$

其中，λ₁和λ₂是正常数；z是一个中间变量定义为z＝sat(S₂/φ_z)z_u，0<z_u<1，φ_z是S₂的界； $0<({\mathrm{\&gamma;}}_1=\frac{q_1}{p_1})<\mathrm{1,0}<({\mathrm{\&gamma;}}_2=\frac{q_2}{p_2})<1,$ p₁，q₁，p₂和q₂是正奇数满足p₁>q₁和p₂>q₂。因为(x₁-z)<0和x₃<0，分数γ₁和γ₂使得和因此，不会产生奇异值问题。

3.3对式(13)进行微分，可得

${\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_1={\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2---\left(15\right)$

为使系统在有限时间内趋于稳定，需要满足以下条件

${\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_1=k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S\right)---\left(16\right)$

其中，0<ρ<1,k₁>0并且k₂>0。

根据有限时间稳定性定理可得，平衡点为x₁＝z并且x₃＝0。

步骤4，针对式(10)表示的小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；

4.1将和式(15)代入式(16)，解得控制信号u₁(t)的表达式为

$u_1\left(t\right)=\frac{-1}{b_1(x,t)}[f_1(x,t)+{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S_1\right)]---\left(17\right)$

4.2设计神经网络逼近未知函数则有

$\frac{f_1(x,t)}{b_1(x,t)}=W^T\mathrm{\&phi;}\left(X\right)+\mathrm{\&epsiv;}---\left(18\right)$

其中，其中W为理想权重，φ(X)为神经网络基函数，X为神经网络输入向量，ε表示神经网络逼近误差。φ(x)通常取为以下函数：

$\mathrm{\&phi;}\left(X\right)=\frac{a}{b+\exp \left(\frac{-X}{c}\right)}+d---\left(19\right)$

其中，a，b，c和d均为正常数；

将式(18)和式(19)代入式(17)，可得

$\begin{array}{c}{u}_1\left(t\right)=-{\hat{W}}^T\mathrm{\&phi;}\left(X\right)+\widehat{\mathrm{\&mu;}}\tanh (S_1/\mathrm{\&delta;})\\ +\frac{-1}{b_1(x,t)}[{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S_1\right)]\end{array}---\left(20\right)$

其中，为理想权重W的估计值，为自适应控制参数，δ为正常数；

其中，ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限。

4.3设计u₂(t)＝u₁(t)，则式(10)可转化为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_1\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(21\right)$

此时，摆杆与小车之间已解耦。

4.4设计神经网络权重和自适应控制参数的更新律为：

$\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{W}=K_C\mathrm{\&phi;}\left(X\right){S_1}^T---\left(22\right)$

其中，K_C一个正常数；

$\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{\mathrm{\&mu;}=v_{\mathrm{\&mu;}}}{S}_1\tanh (S_1/\mathrm{\&delta;})---\left(23\right)$

其中，v_μ一个正常数。

步骤5，设计李雅普诺夫函数则可以证明S₁趋向于零，即x₁趋向于z；同时，式(13)中，z是一个有界衰减函数，根据以上设计可得，当S₂＝0时，z＝0，x₃＝0；因此，可以证明闭环控制系统的稳定性。

为验证所提方法的有效性，进行了如下实验：

式(1)表示的小车倒立摆模型为:

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=a_1(x,t)+c_1(x,t)v_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=a_2(x,t)+c_2(x,t)v_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，

$a_1(x,t)=\frac{m_{t}g\sin \left(x_1\right)\_m_{p}L\sin \left(x_1\right)\cos \left(x_1\right)x_2^2}{L(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))}$

$a_2(x,t)=\frac{-\frac{4}{3}{m}_{p}L{x}_2^2\sin \left(x_1\right)+m_{p}g\sin \left(x_1\right)\cos \left(x_1\right)}{\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right)}$

$c_1(x,t)=\frac{\cos \left(x_1\right)}{L(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))}$

$c_2(x,t)=\frac{4}{3(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))};$

其中，m_p＝0.1kg，m_t＝1kg，L＝1m，g＝9.8m/s²。

控制器设计中的相关参数选择为：在式(13)和式(14)表示的滑模面中，λ₁＝5，λ₂＝0.5，z_u＝0.9425，φ_z＝15；在控制器式(20)中ρ＝0.8,k₁＝10并且k₂＝10。神经网络中函数式(19)的参数a＝2，b＝10，c＝1和d＝-10；更新律中K_C＝0.1，v_μ＝0.01。

图3为四阶系统动态量x₁的稳定效果；图4为四阶系统动态量x₃的稳定效果；图5为控制器信号。从图3和图4可以看出，根据式(21)设计的有限时间解耦控制器可以使摆杆角在7s左右稳定，使小车在15s左右稳定。从图5可以看出，饱和函数对控制器有限制作用，实际控制信号在20秒后抖振减小，幅值减小。因此本发明所提供的有限时间解耦控制器不仅能够避免饱和函数的影响，降低控制器的复杂程度，而且可以实现小车倒立摆系统在有限时间内的快速稳定。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包含以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间一集相关控制参数；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=a_1(x,t)+c_1(x,t)v_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=a_2(x,t)+c_2(x,t)v_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T是状态向量；a₁(x,t)，a₂(x,t)≠0和是未知非线性函数；c₁(x,t)，c₂(x,t)为以下非线性函数：

$c_1(x,t)=\frac{\cos \left(x_1\right)}{L(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))}---\left(2\right)$

$c_2(x,t)=\frac{4}{3(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))};---\left(3\right)$

d₁(t)和d₂(t)表示外部干扰，并且，|d₁(t)|≤D₁(t)，|d₂(t)|≤D₂(t)；v₁(t)，v₂(t)为饱和函数输出值，表示为：

$v\left(t\right)=\mathrm{sat}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{sign}\left(u\right)v_{\max }& \mathrm{if}& \left|u\left(t\right)\right|\&GreaterEqual;v_{\max }\\ u& \mathrm{if}& \left|u\left(t\right)\right|<v_{\max }\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，u(t)∈R是实际控制信号；v_max为饱和函数宽度参数；

步骤2，将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；

2.1将饱和函数近似为一双曲正切函数，定义为：

$g\left(u\right)=v_{\max }\&times;\tanh (u/v_{\max })=u_{\max }\&times;\frac{e^{u/v_{\max }}-e^{-u/v_{\max }}}{e^{u/v_{\max }}+e^{-u/v_{\max }}}---\left(5\right)$

然后，sat(u)可被定义为：

sat(u)＝g(u)+d(u)            (6)

2.2根据微分中值定理，可得

g(u)＝g(u₀)+g′(u)×(u-u₀)           (7)

其中，g′(u)为g(u)在u处的一阶导数；

因此，当取u₀＝0时

g(u)＝g′(u)×u           (8)

将式(8)代入式(6)得：

$v=g^{\&prime;}\left(u\right)u+d\left(u\right),\&ForAll;t\&GreaterEqual;0---\left(9\right)$

2.3将简化后的饱和函数式(9)代入式(1)可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，x₁(t)是摆杆角位移，x₂(t)是摆杆角速度；x₃(t)是小车位移，x₄(t)是小车速度；

x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T为输入向量；f₁(x,t)，f₂(x,t)≠0是未知非线性函数；

b₁(x,t)＝a₁(x,t)×g′(u₁)，b₂(x,t)＝a₂(x,t)×g′(u₂)；

步骤3，将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；

3.1将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统

$\mathrm{subsystem}1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

$\mathrm{subsystem}2:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

3.2定义如式(13)和(14)所示非线性滑模面：

$S_1={\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1}\mathrm{sign}(x_1-z)+x_2---\left(13\right)$

$S_2={\mathrm{\&lambda;}}_2{\left|x_3\right|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\mathrm{sign}\left(x_3\right)+x_4---\left(14\right)$

其中，λ₁和λ₂是正常数；z是一个中间变量定义为z＝sat(S₂/φ_z)z_u，0<z_u<1，φ_z是S₂的界； $0<({\mathrm{\&gamma;}}_1=\frac{q_1}{p_1})<\mathrm{1,0}<({\mathrm{\&gamma;}}_2=\frac{q_2}{p_2})<1,$ p₁，q₁，p₂和q₂是正奇数满足p₁>q₁和p₂>q₂；因为(x₁-z)<0和x₃<0，分数γ₁和γ₂使得和因此，不会产生奇异值问题；

3.3对式(13)进行微分，可得

${\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_1={\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2---\left(15\right)$

为使系统在有限时间内趋于稳定，需要满足以下条件

${\stackrel{\&CenterDot;}{S}}_1=k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S\right)---\left(16\right)$

其中，0<ρ<1,k₁>0并且k₂>0；

根据有限时间稳定性定理可得，平衡点为x₁＝z并且x₃＝0；

步骤4，针对式(10)表示的小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；

4.1将和式(15)代入式(16)，解得控制信号u₁(t)的表达式为

$u_1\left(t\right)=\frac{-1}{b_1(x,t)}[f_1(x,t)+{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S_1\right)]---\left(17\right)$

4.2设计神经网络逼近未知函数则有

$\frac{f_1(x,t)}{b_1(x,t)}=W^T\mathrm{\&phi;}\left(X\right)+\mathrm{\&epsiv;}---\left(18\right)$

其中，其中W为理想权重，φ(X)为神经网络基函数，X为神经网络输入向量，ε表示神经网络逼近误差；φ(x)通常取为以下函数：

$\mathrm{\&phi;}\left(X\right)=\frac{a}{b+\exp \left(\frac{-X}{c}\right)}+d---\left(19\right)$

其中，a，b，c和d均为正常数；

将式(18)和式(19)代入式(17)，可得

$\begin{array}{c}{u}_1\left(t\right)=-{\hat{W}}^T\mathrm{\&phi;}\left(X\right)+\widehat{\mathrm{\&mu;}}\tanh (S_1/\mathrm{\&delta;})\\ +\frac{-1}{b_1(x,t)}[{\mathrm{\&gamma;}}_1{\mathrm{\&lambda;}}_1{|x_1-z|}^{{\mathrm{\&gamma;}}_1-1}({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-\stackrel{\&CenterDot;}{z})+k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\mathrm{\&rho;}}\mathrm{sign}\left(S_1\right)]\end{array}---\left(20\right)$

其中，为理想权重W的估计值，为自适应控制参数，δ为正常数；

其中，ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限；

4.3设计u₂(t)＝u₁(t)，则式(10)可转化为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_1\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(21\right)$

此时，摆杆与小车之间已解耦；

4.4设计神经网络权重和自适应控制参数的更新律为：

$\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{W}=K_C\mathrm{\&phi;}\left(X\right){S_1}^T---\left(22\right)$

其中，K_C一个正常数；

$\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{\mathrm{\&mu;}}=v_{\mathrm{\&mu;}}{S}_1\tanh (S_1/\mathrm{\&delta;})---\left(23\right)$

其中，v_μ一个正常数；

步骤5，设计李雅普诺夫函数则可以证明S₁趋向于零，即x₁趋向于z；同时，式(13)中，z是一个有界衰减函数，根据以上设计可得，当S₂＝0时，z＝0，x₃＝0；因此，可以证明闭环控制系统的稳定性。