CN113050417A - 全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法 - Google Patents

全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法 Download PDF

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CN113050417A CN202110218029.7A CN202110218029A CN113050417A CN 113050417 A CN113050417 A CN 113050417A CN 202110218029 A CN202110218029 A CN 202110218029A CN 113050417 A CN113050417 A CN 113050417A
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Abstract

本发明提供一种全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法，包括以下步骤：设计观测器，具体为：建立机械臂系统动力学方程；建立机械臂系统初始状态方程；设计有限时间扰动观测器；建立机械臂系统状态方程；基于反步法设计机械臂控制器。利用本发明提供的方法设计的控制器能够使得机械臂系统快速有限时间稳定，机械臂系统的输出能够很好地跟随给定信号的变化，该控制器很好的解决了机械臂系统在满足约束条件下的快速有限时间跟踪控制问题。

Description

全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法
技术领域
本发明涉及机械臂设计技术领域，尤其涉及一种全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法。
背景技术
随着通信、计算机、网络等领域的飞速发展，机械臂的相关课题已经成为自动控制领域的一个新的研究方向。由于机械臂可以参与完成各种复杂环境下的工作，这使得机械臂在工业生产和社会生活中的地位不断提高。因此，为了更好地利用机械臂协助完成各项任务，机械臂的控制问题越来越受到研究者的关注。
由于机械臂系统是一个典型的非线性系统，通常此类非线性系统控制器的设计方法是首先通过反馈线性化将机械臂动力学方程化为线性方程，然后利用线性系统的技术设计控制器。但对于机械臂而言，由于反馈线性化方法在控制器设计过程中不能充分获取非线性系统的动力学特性，因此跟踪误差难以消除。为了设计控制器使机械臂精确到达指定位置或者跟踪预定的路径，许多研究者引进了微分几何的方法用于对其进行控制。针对一般的机械臂的控制问题，有些研究者提出了一种基于backstepping设计的自适应输出反馈控制器；还有些学者利用简单的PD控制和H∞控制实现了机械臂的鲁棒控制。然而，这些方法的一个共同特点是控制器一经确定，在控制过程中不能根据非线性系统的输出进行适时调整，也不能充分获取非线性系统的动力学特性，因此必然产生跟踪误差。随着非线性系统控制方法的进一步发展，滑模变结构控制作为一种典型的非线性控制方法被应用于机械臂的控制问题上。它能够使控制系统在发生变化和外部扰动的情形下仍具有很强的鲁棒性。近年来，智能控制的方法得到了进一步的发展，与传统的控制方法相比，神经网络控制以及模糊控制方法也被证明能够很好地处理不确定非线性系统，而且其具有出色的非线性拟合能力和高适应性。因此，机械臂的智能控制方法也在不断涌现，这使得机械臂的控制理论越来越成熟。
虽然取得了较多关于机械臂的控制成果，但是在全状态约束机械臂的自适应快速有限时间控制方面还并没有取得相关的研究成果。一方面，在实际应用中，控制系统都会受到来自各方面的约束，比如角度约束、力矩约束等；另一方面，由于工业生产的迅速发展，更高的工业生产指标以及更高的安全要求迫使快速有限时间控制成为了一个必要的考虑因素。虽然有相关研究涉及到全状态约束下机械臂的控制问题，但是并没有相关研究涉及到全状态约束下的自适应快速有限时间控制，这使得机械臂的控制性能存在着部分缺陷。首先，在控制精度方面，已有的控制方法在跟踪控制时存在着较大的跟踪误差，无法保证系统输出精确地跟踪参考信号；其次，在时间方面，已有的控制方法对机械臂的控制时间相对较长，这无法满足更高的控制要求。
可见，全状态约束机械臂系统的自适应快速有限时间控制研究仍然面临着众多的挑战，主要存在两个亟待解决的问题：一、对于系统的约束，如何设计满足约束条件的障碍Lyapunov函数；二、如何基于未知外部扰动影响的情况下，设计快速有限时间控制器。
发明内容
有鉴于此，本发明提供了一种全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法。
本发明提供一种全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法，包括以下步骤：
S1，设计观测器，具体为：建立机械臂系统动力学方程；建立机械臂系统初始状态方程；设计有限时间扰动观测器；建立机械臂系统状态方程；
S2，基于反步法设计机械臂控制器。
进一步地，步骤S1中，设计观测器的具体步骤为：
S1.1，建立机械臂系统动力学方程：
Figure BDA0002954683140000031
其中，q是角位置，
Figure BDA0002954683140000032
是角加速度，M是转动惯量，m是连杆质量，g是重力加速度，F是作用力，l是连杆长度；
S1.2，建立机械臂系统初始状态方程：
定义机械臂系统状态变量、控制输入量如下：
Figure BDA0002954683140000033
其中，x1、x2为机械臂系统的状态变量，u为机械臂系统的控制输入量，
Figure BDA0002954683140000034
为角速度；
则机械臂系统动力学方程(1)表达为：
Figure BDA0002954683140000035
其中，d1和d2分别为外部扰动，假设外部扰动di(i＝1,2)有界，且其导数均有界；Φ1＝0,Φ2(x1)＝-0.5mglsin(x1)；
S1.3，设计有限时间扰动观测器：
Figure BDA0002954683140000041
其中，v0i，v1i，v2i分别是中间变量，L1、L2、L3为观测系数，λ0,λ1,λ2分别是有限时间扰动观测器的参数，σ0i,σ1i,σ2i分别是
Figure BDA0002954683140000042
的观测值；最终可以实现σ1i＝di，从而可以实现对外部扰动的观测；机械臂系统会受到未知的外部扰动，这使得系统模型含有不确定项，从而影响了其控制性能，扰动观测器能够很好地观测外部扰动，能够更好地削弱外部扰动对机械臂系统的影响，使得机械臂系统的控制性能得以提升；
S1.4,建立机械臂系统状态方程：
定义di的观测值为
Figure BDA0002954683140000043
则机械臂系统初始状态方程(3)表达为：
Figure BDA0002954683140000044
进一步地，步骤S2中，基于反步法设计机械臂控制器的具体步骤为：
S2.1，基于障碍加幂积分技术，选取满足约束条件的Lyapunov函数V1：
Figure BDA0002954683140000045
其中，ξ1是跟踪误差，ξ1＝x1－yd，yd是参考信号，η1(t)是对称时变约束函数，
Figure BDA0002954683140000046
η11,η12分别表示常数，t表示时间，τ1是时间常数；Lyapunov函数可以保证机械臂系统状态在整个过程中不违背约束条件；约束条件根据实际需要进行设置；
S2.2，对Lyapunov函数V1求一阶导数，并化简，选取合适的虚拟控制律α1：
Figure BDA0002954683140000051
其中，ι1,ι2,r2为选取的常数，r2＝δ，δ为分子和分母都是奇数的分数且1/2<δ<1；
Figure BDA0002954683140000052
为d1的观测值；虚拟控制律α1能够使机械臂系统的状态变量x1满足快速有限时间跟踪参考信号；
S2.3,结合以上虚拟控制律的设计，可保证Lyapunov函数V1的导数
Figure BDA0002954683140000053
其中a,b分别表示常数，a＞0,b＞0；
S2.4，引入坐标变换：
Figure BDA0002954683140000054
S2.5，选取适当的Lyapunov函数V2：
Figure BDA0002954683140000055
其中，
Figure BDA0002954683140000056
s为函数υ(s)的自变量，η2(t)是时变约束函数，
Figure BDA0002954683140000057
η21,η22分别表示常数，t表示时间，τ2是时间常数；
S2.6，对Lyapunov函数V2求导并化简，在设计过程中，选择模糊逻辑对未知的非线性函数
Figure BDA0002954683140000058
进行近似估计，非线性函数
Figure BDA0002954683140000059
的表达式为：
Figure BDA00029546831400000510
其中，θ＝[θ1,θ2…,θN]T是权重向量，S(x)＝[S1(x),S2(x),…SN(x)]T,且
Figure BDA00029546831400000511
l＝1,2,…,N；其中，k＝1,2,…,N，j＝1,2,…,n，N和n均为大于1的自然数，
Figure BDA00029546831400000512
一般选择为高斯关系函数；
S2.7，对非线性函数
Figure BDA00029546831400000513
进行恒等变化，得到表达式：
y(x)＝θ*TS(x)+ε(x) (12)
其中，θ*和ε(x)分别是理想的最优权重和该最优权重下的逼近误差；
S2.8，利用表达式(11)和表达式(12)在设计过程中使用模糊逻辑对非线性函数
Figure BDA0002954683140000065
进行逼近处理，从而设计出机械臂系统的控制输入量u,即模糊虚拟控制律：
Figure BDA0002954683140000061
其中，ι3,ι4,r3,K为选取的常数；
Figure BDA0002954683140000062
为d2的观测值；
Figure BDA0002954683140000063
S2.9，由以上模糊虚拟控制律的设计可保证Lyapunov函数V2的导数
Figure BDA0002954683140000064
其中c,d分别表示常数，c＞0,d＞0。
本发明还提供一种机械臂系统，所述机械臂系统包括控制器，所述控制器利用上述设计方法设计获得。
本发明提供的设计方法针对含未知扰动的全状态约束机械臂系统，基于加幂积分技术保证不违背约束条件，通过引入有限时间扰动观测器对其外部扰动进行观测补偿，采用了backstepping设计方法以及模糊逻辑对非线性项进行逼近拟合，从而设计了模糊快速有限时间控制器实现了机械臂系统对参考信号的精确跟踪，并保证了整个闭环系统的稳定。因此，本发明提供的设计方法既能够保证全状态约束机械臂系统的精确跟踪控制，还能够缩短控制时间并提高系统的响应速率。
利用本发明提供的方法设计的控制器能够使得机械臂系统快速有限时间稳定，机械臂系统的输出能够很好地跟随给定信号的变化，该控制器很好地解决了机械臂系统在满足约束条件下的快速有限时间跟踪控制问题。
附图说明
图1是一种全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法的流程示意图。
图2是本发明实施例1设计的扰动观测器的仿真图。
图3是本发明实施例1控制器的控制律的仿真图。
图4是本发明实施例1的机械臂系统的跟踪误差仿真图。
图5是本发明实施例1的机械臂系统的状态仿真图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地描述。
实施例1：
请参考图1，本发明的实施例1提供了一种全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法，包括以下步骤：
步骤S1，设计观测器，具体为：
S1.1，建立机械臂系统动力学方程：
Figure BDA0002954683140000071
其中，q是角位置，
Figure BDA0002954683140000074
是角加速度，M是转动惯量，m是连杆质量，g是重力加速度，F是作用力，l是连杆长度；
S1.2，建立机械臂系统初始状态方程：
定义机械臂系统状态变量、控制输入量如下：
Figure BDA0002954683140000072
其中，x1、x2为机械臂系统的状态变量，u为机械臂系统的控制输入量，
Figure BDA0002954683140000073
为角速度；
则机械臂系统动力学方程(1)表达为：
Figure BDA0002954683140000081
其中，d1和d2分别为外部扰动，假设外部扰动di(i＝1,2)有界，且其导数均有界；Φ1＝0,Φ2(x1)＝-0.5mglsin(x1)；
S1.3，设计有限时间扰动观测器：
Figure BDA0002954683140000082
其中，v0i，v1i，v2i分别是中间变量，λ0,λ1,λ2分别是有限时间扰动观测器的参数，σ0i,σ1i,σ2i分别是xi,di,
Figure BDA0002954683140000083
的观测值；L1、L2、L3为观测系数；
S1.4,建立机械臂系统状态方程：
定义外部扰动di的观测值为
Figure BDA0002954683140000084
则机械臂系统初始状态方程(3)表达为：
Figure BDA0002954683140000085
步骤S2，基于反步法设计机械臂控制器，具体为：
S2.1，基于障碍加幂积分技术，选取满足约束条件的Lyapunov函数V1：
Figure BDA0002954683140000086
其中，ξ1为跟踪误差，ξ1＝x1-yd，yd是参考信号，η1(t)是对称时变约束函数，
Figure BDA0002954683140000091
η11,η12分别表示常数，τ1是时间常数，t表示时间；Lyapunov函数可以保证机械臂系统状态在整个过程中不违背约束条件；
S2.2，对Lyapunov函数V1求一阶导数，并化简，选取合适的虚拟控制律α1：
Figure BDA0002954683140000092
其中，ι1,ι2,r2为选取的常数，r2＝δ，δ为分子和分母都是奇数的分数且1/2<δ<1；
Figure BDA0002954683140000093
为d1的观测值；虚拟控制量α1能够使机械臂系统的状态x1满足快速有限时间跟踪参考信号；
S2.3,结合以上虚拟控制律的设计，可保证Lyapunov函数V1的导数
Figure BDA0002954683140000094
其中a,b分别表示常数，a＞0,b＞0；
S2.4，引入坐标变换：
Figure BDA0002954683140000095
S2.5，选取适当的Lyapunov函数V2：
Figure BDA0002954683140000096
其中，
Figure BDA0002954683140000097
s为函数υ(s)的自变量，η2(t)是时变约束函数，
Figure BDA0002954683140000098
η21,η22分别表示常数，t表示时间，τ2是时间常数；
S2.6，对Lyapunov函数V2求导并化简，在设计过程中，选择模糊逻辑对未知的非线性函数
Figure BDA0002954683140000099
进行近似估计，非线性函数
Figure BDA00029546831400000910
的表达式为：
Figure BDA00029546831400000911
其中，θ＝[θ1,θ2…,θN]T是权重向量，S(x)＝[S1(x),S2(x),…SN(x)]T,且
Figure BDA00029546831400000912
l＝1,2,…,N；其中，k＝1,2,…,N，j＝1,2,…,n，N和n均为大于1的自然数，
Figure BDA00029546831400000913
一般选择为高斯关系函数；
S2.7，对非线性函数
Figure BDA0002954683140000101
进行恒等变化，得到表达式：
y(x)＝θ*TS(x)+ε(x) (12)
其中，θ*和ε(x)分别是理想的最优权重和该最优权重下的逼近误差；
S2.8，利用表达式(11)和表达式(12)在设计过程中使用模糊逻辑对非线性函数
Figure BDA0002954683140000102
进行逼近处理，从而设计出机械臂系统控制输入量u，即模糊虚拟控制律：
Figure BDA0002954683140000103
其中，ι3,ι4,r3,K为选取的常数；
Figure BDA0002954683140000104
为d2的观测值；
Figure BDA0002954683140000105
S2.9，由以上模糊虚拟控制律的设计可保证Lyapunov函数V2的导数
Figure BDA0002954683140000106
其中c,d分别表示常数，c＞0,d＞0。
实施例1还提供了一种机械臂系统，该机械臂系统包括利用上述设计方法设计的控制器。
为了验证设计的控制器使机械臂系统在满足对称时变全状态约束条件下，其各状态跟随给定的参考信号yd＝sin(t)变化，实施例1选取以下参数M＝1kg,m＝1kg,l＝1m，d1＝sin(t),d2＝2cos(t)；δ＝77/79，Lyapunov函数V1的约束条件设置为：η1(t)＝3e-0.5t+0.5；Lyapunov函数V2的约束条件设置为η2(t)＝3e-0.5t+0.5；机械臂系统的初始状态设置为：x1(0)＝0.8,x2(0)＝0.6，有限时间扰动观测器的参数设置为：λ0＝3,λ1＝1.5,λ2＝1.1，L1＝L2＝L3＝3；模糊逻辑中的高斯关系函数选择为：
Figure BDA0002954683140000107
k＝1,2,…5，其中xi表示输入向量；模糊虚拟控制律u和控制器的相关参数设置为：ι1＝3，ι2＝2，ι3＝5,ι4＝4，K＝3，||θ||＝1；根据设置的参数、约束条件和初始状态进行MATLAB仿真，扰动观测器的仿真图如图2所示，控制律u的仿真图如图3所示，从图2可以看出，有限时间扰动观测器可以很好地观测机械臂系统所受到的外部扰动。
机械臂系统的跟踪误差仿真图如图4所示，从图4可以看出机械臂系统的跟踪误差都限制在对称的时变约束范围内，从而确保机械臂系统全状态在整个过程中都不违背约束条件。
机械臂系统的状态仿真图如图5所示，从图5可以看出机械臂系统输出能够快速且精确地跟踪参考信号。
实施例2:
本实施例2的目的是提供一种计算装置，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，处理器执行程序时实现以下步骤，包括：
步骤S1，设计观测器，具体为：建立机械臂系统动力学方程；建立机械臂系统初始状态方程；设计有限时间扰动观测器；建立机械臂系统状态方程；
步骤S2，基于反步法设计机械臂控制器。
实施例3：
本实施例3的目的是提供一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该程序被处理器执行时执行以下步骤：
步骤S1，设计观测器，具体为：建立机械臂系统动力学方程；建立机械臂系统初始状态方程；设计有限时间扰动观测器；建立机械臂系统状态方程；
步骤S2，基于反步法设计机械臂控制器。
以上实施例的装置中涉及的各步骤与方法与实施例1相对应，具体实施方式可参见实施例1的相关说明部分。术语“计算机可读存储介质”应该理解为包括一个或多个指令集的单个介质或多个介质：还应当被理解为包括任何介质，所述任何介质能够存储、编码或承载用于由处理器执行的指令集并使处理器执行本发明中的任一方法。
在不冲突的情况下，本文中上述实施例及实施例中的特征可以相互结合。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1，设计观测器，具体为：建立机械臂系统动力学方程；建立机械臂系统初始状态方程；设计有限时间扰动观测器；建立机械臂系统状态方程；
S2，基于反步法设计机械臂控制器。
2.根据权利要求1所述的全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法，其特征在于，步骤S1中，设计观测器的具体步骤为：
S1.1，建立机械臂系统动力学方程：
Figure FDA0002954683130000011
其中，q是角位置，
Figure FDA0002954683130000012
是角加速度，M是转动惯量，m是连杆质量，g是重力加速度，F是作用力，l是连杆长度；
S1.2，建立机械臂系统初始状态方程：
定义机械臂系统状态变量、控制输入量如下：
Figure FDA0002954683130000013
其中，x1、x2为机械臂系统的状态变量，u为机械臂系统的控制输入量，
Figure FDA0002954683130000014
为角速度；
则机械臂系统动力学方程(1)表达为：
Figure FDA0002954683130000015
其中，d1和d2分别为外部扰动；Φ1＝0,Φ2(x1)＝-0.5mgl sin(x1)；
S1.3，设计有限时间扰动观测器：
Figure FDA0002954683130000021
其中，v0i，v1i，v2i分别是中间变量，λ0,λ1,λ2分别是有限时间扰动观测器的参数，σ0i,σ1i,σ2i分别是xi,di,
Figure FDA0002954683130000028
的观测值，L1、L2、L3为观测系数；
S1.4,建立机械臂系统状态方程：
定义外部扰动di的观测值为
Figure FDA0002954683130000022
则机械臂系统初始状态方程(3)表达为：
Figure FDA0002954683130000023
3.根据权利要求2所述的全状态约束机械臂的快速有限时间控制器的设计方法，其特征在于，步骤S2中，基于反步法设计机械臂控制器的具体步骤为：
S2.1，基于障碍加幂积分技术，选取满足约束条件的Lyapunov函数V1：
Figure FDA0002954683130000024
其中，ξ1是跟踪误差，ξ1＝x1-yd，yd是参考信号，η1(t)是对称时变约束函数，
Figure FDA0002954683130000025
η11＞η12＞0，η11,η12分别表示常数，t表示时间，τ1是时间常数；
S2.2，对Lyapunov函数V1求一阶导数，并化简，选取合适的虚拟控制律α1：
Figure FDA0002954683130000026
其中，
Figure FDA0002954683130000029
r2为选取的常数，r2＝δ，δ为分子和分母都是奇数的分数且1/2<δ<1；
Figure FDA0002954683130000027
为d1的观测值；
S2.3,结合以上虚拟控制律的设计，可保证Lyapunov函数V1的导数
Figure FDA0002954683130000031
其中，a,b分别表示常数，a＞0,b＞0；
S2.4，引入坐标变换：
Figure FDA0002954683130000032
S2.5，选取适当的Lyapunov函数V2：
Figure FDA0002954683130000033
其中，
Figure FDA0002954683130000034
η2(t)是时变约束函数，
Figure FDA0002954683130000035
η21＞η22＞0，η21,η22分别表示常数，t表示时间，τ2是时间常数；
S2.6，对Lyapunov函数V2求导并化简，选择模糊逻辑对未知的非线性函数
Figure FDA0002954683130000036
进行近似估计，非线性函数
Figure FDA0002954683130000037
的表达式为：
Figure FDA0002954683130000038
其中，θ＝[θ1,θ2…,θN]T是权重向量，S(x)＝[S1(x),S2(x),…SN(x)]T,且
Figure FDA0002954683130000039
其中，k＝1,2,…,N，j＝1,2,…,n，N和n均为大于1的自然数，
Figure FDA00029546831300000310
为高斯关系函数；
S2.7，对非线性函数
Figure FDA00029546831300000311
进行恒等变化，得到表达式：
y(x)＝θ*TS(x)＋ε(x) (12)
其中，θ*和ε(x)分别是理想的最优权重和该最优权重下的逼近误差；
S2.8，利用表达式(11)和表达式(12)在设计过程中使用模糊逻辑对非线性函数
Figure FDA00029546831300000312
进行逼近处理，从而设计出模糊虚拟控制律u：
Figure FDA00029546831300000313
其中，
Figure FDA00029546831300000316
r3,K为选取的常数；
Figure FDA00029546831300000314
为d2的观测值；
Figure FDA00029546831300000315
S2.9，由以上模糊虚拟控制律的设计可保证Lyapunov函数V2的导数
Figure FDA0002954683130000041
其中c,d分别表示常数，c＞0,d＞0。
4.一种机械臂系统，包括控制器，其特征在于，所述控制器利用权利要求1-3任一项所述的设计方法设计获得。
5.一种计算装置，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，其特征在于，所述处理器执行程序时实现以下步骤，包括：
S1，设计观测器，具体为：建立机械臂系统动力学方程；建立机械臂系统初始状态方程；设计有限时间扰动观测器；建立机械臂系统状态方程；
S2，基于反步法设计机械臂控制器。
6.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，所述程序被处理器执行时执行以下步骤：
S1，设计观测器，具体为：建立机械臂系统动力学方程；建立机械臂系统初始状态方程；设计有限时间扰动观测器；建立机械臂系统状态方程；
S2，基于反步法设计机械臂控制器。
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