CN105045101A - 一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法，包括:建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态及控制参数；设计扩张状态观测器；基于扩张状态观测器，设计全阶滑模控制器。本发明能够有效改善传统滑模控制在机械臂伺服控制中的滑模抖振问题，并在一定程度上提高系统的鲁棒性，使机械臂伺服系统能够实现精确的跟踪控制。

Description

一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法，特别是对于系统状态和不确定项均未知的机械臂伺服系统的全阶滑模控制控制方法。

背景技术

机械臂伺服系统在机器人及航天等高技术领域已获得广泛应用，运动精度作为机械臂伺服系统完成指定操作任务的重要性能指标，已成为个国内外学者研究的热点。针对如何有效提高系统的运动精度，国内外已提出多种控制方法，包括PID控制，自适应控制，滑模控制及鲁棒控制等。其中由于滑模控制具有算法简单，对外界扰动及参数摄动不敏感及响应速度快等优点，在机械臂伺服系统控制中应用已越来越广泛。

在传统的滑模控制中，由于控制器增益过高或者控制器的不连续开关特性，容易引起系统的抖振问题。系统抖振不但影响系统的定位精度和跟踪性能，甚至会对系统本身造成损害。因此，如何消除系统的抖振，是滑模控制在机械臂伺服控制中亟待解决的问题。目前已有部分改进的滑模控制方法能在一定程度上减弱抖振带来的影响，例如用饱和函数近似替代符号函数设计滑模控制器或将滑模与自适应控制相结合，实时更新滑模切换增益等。

为了有效消除机械臂伺服系统中滑模控制的抖振问题，本发明设计了一种基于扩张状态观测器的全阶滑模控制方法，采用扩张状态观测器来估计伺服系统中所包含的未知状态和不确定项，并基于估计值设计了全阶滑模控制器，实现机械臂伺服系统的精确定位和跟踪。

发明内容

为了解决带有未知状态及不确定项的机械臂伺服系统中的滑模抖振问题，并有效提高伺服系统的鲁棒性，本发明设计了一种基于扩张状态观测器的全阶滑模控制方法，该方法采用扩张状态观测器来估计系统的未知状态及不确定项，并通过观测值设计全阶滑模控制器，在该控制器中通过引入一阶滤波器，使控制信号连续，从而有效消除滑模抖振问题，使机械臂伺服系统能够对期望位置实现快速定位跟踪。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1,建立机械臂伺服系统模型，初始化系统状态及控制参数；

1.1,机械臂伺服系统模型表示成如下形式

$\left\{\begin{array}{c}I{\stackrel{\·\·}{q}}_1+MgLsin\left(q_1\right)+K(q_1-q_2)=0\\ J{\stackrel{\·\·}{q}}_2-K(q_1-q_2)=u\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中q₁,q₂是连杆和电机的转角；I是连杆的惯性环节；J是电机的转动惯量；K是弹簧的刚度；u是输入转矩；M和L分别表示连杆的质量和长度；y＝q₁是系统的输出；

1.2,定义状态变量 $x_1=q_1,x_2={\stackrel{\·}{q}}_1={\stackrel{\·}{x}}_1,x_3=q_2,x_4={\stackrel{\·}{q}}_2={\stackrel{\·}{x}}_3,$ 则伺服系统方程写成如下状态空间形式

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\\ y=x_1\end{array}---\left(2\right)$

其中，f(x)＝[x₂-(MgL/I)sin(x₁)-K/I(x₁-x₃)x₄(K/J)(x₁-x₃)]^T，g(x)＝[0001/J]^T；经坐标变换后式(2)可转化为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2={\stackrel{\‾}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3={\stackrel{\‾}{x}}_4\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4=a\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+bu\\ y={\stackrel{\‾}{x}}_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $a\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)({\stackrel{\‾}{x}}_2^2-\frac{K}{J})-\left(\frac{MgL}{I}cos\right({\stackrel{\‾}{x}}_1)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I}){\stackrel{\‾}{x}}_3;b=\frac{K}{IJ};y={\stackrel{\‾}{x}}_1$ 是系统的输出；

1.3,令其中b₀为b的估计值，定义扩展状态则式(3)写成以下等效形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2={\stackrel{\‾}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3={\stackrel{\‾}{x}}_4\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4={\stackrel{\‾}{x}}_5+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_5=h\\ y={\stackrel{\‾}{x}}_1\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中， $h=\stackrel{\·}{b}\left(\stackrel{\‾}{x}\right);$

步骤2,扩张状态观测器设计；

令z_i,i＝1,2,3,4,5,为系统(4)中状态变量的观测值，并定义观测误差为则扩张状态观测器的表达式设计为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1=z_1-{\stackrel{\‾}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\β}}_1{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\β}}_{2}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_1,\mathrm{\δ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4-{\mathrm{\β}}_{3}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_2,\mathrm{\δ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_4=z_5-{\mathrm{\β}}_{4}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_3,\mathrm{\δ})+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_5=-{\mathrm{\β}}_{5}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_4,\mathrm{\δ})\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，β₁,β₂,β₃,β₄,β₅＞0为观测器增益.fal(·)为如下形式的幂次函数：

$fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_i,\mathrm{\δ})=\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\δ}}^{1-{\mathrm{\α}}_i}},& \left|{\mathrm{\ϵ}}_1\right|\≤\mathrm{\δ},\\ |{\mathrm{\ϵ}}_1{|}^{{\mathrm{\α}}_i}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\ϵ}}_1\right)& \left|{\mathrm{\ϵ}}_1\right|>\mathrm{\δ}\end{array}i=1,2,3,4---\left(6\right)$

其中，δ＞0，0＜α_i＜1，为小的正常数；sgn(·)为符号函数；假设观测误差满足条件|x_i-z_i|≤l_i，其中l_i＞0为很小的正数；

步骤3,无抖振全阶滑模控制器设计，过程如下：

3.1,定义跟踪误差e及其各阶导数为

$\left\{\begin{array}{c}e=y-y_d={\stackrel{\‾}{x}}_1-y_d\\ \stackrel{\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1-{\stackrel{\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_2-{\stackrel{\·}{y}}_d\\ \stackrel{\·\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2-{\stackrel{\·\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d\\ \stackrel{\·\·\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d\\ e^{\left(4\right)}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4-y_d^{\left(4\right)}={\stackrel{\text{-}}{x}}_5+b_{0}u-y_d^{\left(4\right)}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中y_d为参考轨迹；

3.2,设计如下全阶滑模面

$\begin{array}{c}s=e^{\left(4\right)}+{\mathrm{\λ}}_4\stackrel{\·\·\·}{e}+{\mathrm{\λ}}_3\stackrel{\·\·}{e}+{\mathrm{\λ}}_2\stackrel{\·}{e}+{\mathrm{\λ}}_{1}e\\ ={\stackrel{\‾}{x}}_5+b_{0}u-y_d^{\left(4\right)}+{\mathrm{\λ}}_4({\stackrel{\‾}{x}}_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_3({\stackrel{\‾}{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_2({\stackrel{\‾}{x}}_2-{\stackrel{\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\‾}{x}}_1-y_d)\end{array}---\left(8\right)$

其中，λ_i＞0,i＝1,2,3,4为控制参数，且选择时要保证p⁴+λ₄p³+λ₃p²+λ₂p+λ₁是赫尔维兹多项式；

3.3,根据式(8)，设计全阶滑模控制器为

$u=\frac{1}{b_0}(u_{eq}+u_n)---\left(9\right)$

$u_{eq}=-z_5+y_d^{\left(4\right)}-{\mathrm{\λ}}_4(z_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_3(z_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_2(z_2-{\stackrel{\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_1(z_1-y_d)---\left(10\right)$

${\stackrel{\·}{u}}_n+{\mathrm{Tu}}_n=v---\left(11\right)$

v＝-ksgn(s)(12)其中，T≥0，k＝k_p+k_T+η，η＞0，k_p＞0，k_T＞0为控制器参数；

3.4,设计李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(13\right)$

对V求导并将式(8)-(12)代入，如果判定系统是稳定的。

本发明基于扩张状态观测器，设计了一种机械臂伺服系统的全阶滑模控制方法，有效消除了传统滑模控制中的抖振问题，并提高系统的鲁棒性，实现伺服系统地精确跟踪控制。

本发明的技术构思为：针对传统滑模在机械臂伺服控制中存在的抖振问题，且机械臂伺服系统中往往存在在未知状态和非线性不确定项，本发明采用扩张状态观测器来估计系统的未知状态和不确定项，并根据观测到的状态值设计了一种全阶滑模控制器，在该控制器中采用了一阶滤波器，使得在实际控制信号中并不包含传统滑模的切换项，与传统的降阶滑模控制信号相比，控制信号是连续的，从而有效消除了传统滑模的抖振问题。本发明提供了一种能够有效改善滑模抖振问题，并在一定程度上提高系统鲁棒性的基于扩张状态观测器的全阶滑模控制方法，确保机械臂伺服系统能够实现精确的跟踪控制。

本发明的优点为：实现机械臂伺服系统的精确跟踪控制，有效消除传统滑模控制中的抖振问题，提高系统的鲁棒性。

附图说明

图1为本发明的控制流程图；

图2为参考轨迹为θ＝0.1sin(πt)时本发明的位置跟踪轨迹示意图；

图3为参考轨迹为θ＝0.1sin(πt)时本发明的位置跟踪误差示意图；

图4为参考轨迹为θ＝0.1sin(πt)时本发明控制信号示意图；

图5为参考轨迹为θ＝0.1sin(πt)时本发明的观测器误差示意图,其中(a)是观测器1的误差示意图；(b)是观测器2的误差示意图；(c)是观测器3的误差示意图；(d)是观测器4的误差示意图；(e)是观测器5的误差示意图；

图6为参考轨迹为时本发明的位置跟踪轨迹示意图；

图7为参考轨迹为时本发明的位置跟踪误差示意图；

图8为参考轨迹为θ＝0.4sin(2t)+0.2cos(t)时本发明控制信号的示意图；

图9为参考轨迹为θ＝0.4sin(2t)+0.2cos(t)时本发明的观测器误差示意图,其中(a)是观测器1的误差示意图；(b)是观测器2的误差示意图；(c)是观测器3的误差示意图；(d)是观测器4的误差示意图；(e)是观测器5的误差示意图；

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图9，一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1,建立机械臂伺服系统模型，初始化系统状态及控制参数；

1.1,机械臂伺服系统模型表示成如下形式

$\left\{\begin{array}{c}I{\stackrel{\·\·}{q}}_1+MgLsin\left(q_1\right)+K(q_1-q_2)=0\\ J{\stackrel{\·\·}{q}}_2-K(q_1-q_2)=u\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中q₁,q₂是连杆和电机的转角；I是连杆的惯性环节；J是电机的转动惯量；K是弹簧的刚度；u是输入转矩；M和L分别表示连杆的质量和长度；y＝q₁是系统的输出；

1.2,定义状态变量 $x_1=q_1,x_2={\stackrel{\·}{q}}_1={\stackrel{\·}{x}}_1,x_3=q_2,x_4={\stackrel{\·}{q}}_2={\stackrel{\·}{x}}_3,$ 则伺服系统方程可写成如下状态空间形式

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\\ y=x_1\end{array}---\left(2\right)$

其中，f(x)＝[x₂-(MgL/I)sin(x₁)-K/I(x₁-x₃)x₄(K/J)(x₁-x₃)]^T，g(x)＝[0001/J]^T；经坐标变换后式(2)转化为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2={\stackrel{\‾}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3={\stackrel{\‾}{x}}_4\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4=a\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+bu\\ y={\stackrel{\‾}{x}}_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $a\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)({\stackrel{\‾}{x}}_2^2-\frac{K}{J})-\left(\frac{MgL}{I}cos\right({\stackrel{\‾}{x}}_1)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I}){\stackrel{\‾}{x}}_3;b=\frac{K}{IJ};y={\stackrel{\‾}{x}}_1$ 是系统的输出；

1.3,令其中b₀为b的估计值，定义扩展状态则式(3)写成以下等效形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2={\stackrel{\‾}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3={\stackrel{\‾}{x}}_4\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4={\stackrel{\‾}{x}}_5+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_5=h\\ y={\stackrel{\‾}{x}}_1\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中， $h=\stackrel{\·}{b}\left(\stackrel{\‾}{x}\right);$

步骤2,设计扩张状态观测器；

令z_i,i＝1,2,3,4,5,为系统(4)中状态变量的观测值，并定义观测误差为则扩张状态观测器的表达式设计为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1=z_1-{\stackrel{\‾}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\β}}_1{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\β}}_{2}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_1,\mathrm{\δ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4-{\mathrm{\β}}_{3}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_2,\mathrm{\δ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_4=z_5-{\mathrm{\β}}_{4}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_3,\mathrm{\δ})+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_5=-{\mathrm{\β}}_{5}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_4,\mathrm{\δ})\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，β₁,β₂,β₃,β₄,β₅＞0为观测器增益.fal(·)为如下形式的幂次函数

$fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_i,\mathrm{\δ})=\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\δ}}^{1-{\mathrm{\α}}_i}},& \left|{\mathrm{\ϵ}}_1\right|\≤\mathrm{\δ},\\ |{\mathrm{\ϵ}}_1{|}^{{\mathrm{\α}}_i}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\ϵ}}_1\right)& \left|{\mathrm{\ϵ}}_1\right|>\mathrm{\δ}\end{array}i=1,2,3,4---\left(6\right)$

其中，δ＞0，0＜α_i＜1，为小的正常数；sgn(·)为符号函数；假设观测误差满足条件|x_i-z_i|≤l_i，其中l_i＞0为很小的正数；

步骤3,设计无抖振全阶滑模控制器，过程如下：

3.1,定义跟踪误差e及其各阶导数为

$\left\{\begin{array}{c}e=y-y_d={\stackrel{\‾}{x}}_1-y_d\\ \stackrel{\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1-{\stackrel{\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_2-{\stackrel{\·}{y}}_d\\ \stackrel{\·\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2-{\stackrel{\·\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d\\ \stackrel{\·\·\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d\\ e^{\left(4\right)}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4-y_d^{\left(4\right)}={\stackrel{\text{-}}{x}}_5+b_{0}u-y_d^{\left(4\right)}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中y_d为参考轨迹；

3.2,设计如下全阶滑模面

$\begin{array}{c}s=e^{\left(4\right)}+{\mathrm{\λ}}_4\stackrel{\·\·\·}{e}+{\mathrm{\λ}}_3\stackrel{\·\·}{e}+{\mathrm{\λ}}_2\stackrel{\·}{e}+{\mathrm{\λ}}_{1}e\\ ={\stackrel{\‾}{x}}_5+b_{0}u-y_d^{\left(4\right)}+{\mathrm{\λ}}_4({\stackrel{\‾}{x}}_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_3({\stackrel{\‾}{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_2({\stackrel{\‾}{x}}_2-{\stackrel{\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\‾}{x}}_1-y_d)\end{array}---\left(8\right)$

其中，λ_i＞0,i＝1,2,3,4为控制参数，且选择时要保证p⁴+λ₄p³+λ₃p²+λ₂p+λ₁是赫尔维兹多项式；

3.3，根据式(8)，设计全阶滑模控制器为

$u=\frac{1}{b_0}(u_{eq}+u_n)---\left(9\right)$

$u_{eq}=-z_5+y_d^{\left(4\right)}-{\mathrm{\λ}}_4(z_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_3(z_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_2(z_2-{\stackrel{\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_1(z_1-y_d)---\left(10\right)$

${\stackrel{\·}{u}}_n+{\mathrm{Tu}}_n=v---\left(11\right)$

v＝-ksgn(s)(12)

其中，T≥0，k＝k_p+k_T+η，η＞0，k_p＞0，k_T＞0为控制器参数；

3.4,设计李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(13\right)$

对V求导并将式(8)-(12)代入，如果判定系统是稳定的。

为验证所提方法的有效性，本发明对由式(9)-(11)所示的基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制器(full-orderslidingmodecontrolbasedonextendedstateobserver,FSMC+ESO)的控制效果进行仿真实验，并与基于扩张状态观测器的降阶滑模控制器(reduced-orderslidingmodecontrolbasedonextendedstateobserver,RSMC+ESO)效果进行了对比。设置实验中的初始条件和控制参数为：初始状态x₁(0)＝x₂(0)＝x₃(0)＝x₄(0)＝x₅(0)＝0，z₁(0)＝z₂(0)＝z₃(0)＝z₄(0)＝z₅(0)＝0；系统参数MgL＝10，K＝100，I＝J＝1；扩张状态观测器参数β₁＝200，β₂＝1.5×10⁴，β₃＝5.8×10⁵，β₄＝5×10⁶，β₅＝1.5×10⁸，α₁＝0.5，α₂＝0.25，α₃＝0.125，α₄＝0.0625，δ＝0.1；控制参数λ₁＝1.8×10⁴，λ₂＝5000，λ₃＝800，λ₄＝20，k＝300，T＝1。

图2-图5是当参考轨迹为θ＝0.1sin(πt)时的仿真效果图。图2和图3分别为跟踪轨迹和跟踪误差示意图，图4是控制信号示意图，图5是观测器误差示意图。由图2和图3可以看出RSMC+ESO的稳态跟踪误差比FSMC+ESO要略大(约1.1×10^-4rad)，但从图4中知RSMC+ESO的控制信号具有严重的抖振现象，抖振范围在-4.2～4.2rad之间，而FSMC+ESO稳态后几乎无抖振，信号波动在-0.98～0.98rad之间。通过牺牲一个极小的稳态跟踪误差换取控制信号的无抖振是很有意义的。图6-图9是对参考轨迹θ＝0.4sin(2t)+0.2cos(t)的仿真实验。从图6和图7可以看出FSMC+ESO比RSMC+ESO有更快的瞬态响应，并且从图3和图7的变化中可以看出RSMC+ESO的瞬态响应在更换参考轨迹后变差了，而FSMC+ESO在更换信号后仍具有较快的瞬态响应，与RSMC+ESO相比，FSMC+ESO具有更强的鲁棒性。图8可以看出RSMC+ESO的控制信号在整个实验过程中都具有较严重的抖振现象，而FSMC+ESO在4.7秒后就无抖振现象出现。从仿真实验的结果来看，基于扩张状态观测器的全阶滑模控制在机械臂伺服系统控制中能有效消除传统滑模的抖振问题，增强系统的鲁棒性，使系统具有较好的跟踪控制效果。

以上阐述的是本发明给出的两个仿真对比实验用以表明所设计方法的优越性，显然本发明不只是限于上述实例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。本发明所设计的控制方案对含有未知状态和不确定项的机械臂伺服系统具有良好的控制效果，能有效消除系统的抖振问题，并增强系统的鲁棒性，使机械臂伺服系统能够实现精确的跟踪控制。

Claims (1)

1.一种基于扩张状态观测器的机械臂伺服系统全阶滑模控制方法，其特征在于：

所述控制方法包括以下步骤：

步骤1,建立机械臂伺服系统模型，初始化系统状态及控制参数；

1.1,机械臂伺服系统模型表示成如下形式

$\left\{\begin{array}{c}I{\stackrel{\·\·}{q}}_2+M\mathrm{gL}\sin \left(q_1\right)+K(q_1-q_2)=0\\ J{\stackrel{\·\·}{q}}_2-K(q_1-q_2)=u\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中q₁,q₂是连杆和电机的转角；I是连杆的惯性环节；J是电机的转动惯量；K是弹簧的刚度；u是输入转矩；M和L分别表示连杆的质量和长度；y＝q₁是系统的输出；

1.2,定义状态变量x₁＝q₁，x₃＝q₂，则伺服系统方程写成如下状态空间形式

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，f(x)＝[x₂-(MgL/I)sin(x₁)-K/I(x₁-x₃)x₄(K/J)(x₁-x₃)]^T，g(x)＝[0001/J]^T；经坐标变换后式(2)转化为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2={\stackrel{\‾}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3={\stackrel{\‾}{x}}_4\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4=a\left(\stackrel{\‾}{x}\right)+bu\\ y={\stackrel{\‾}{x}}_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $a\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)({\stackrel{\‾}{x}}_2^2-\frac{K}{J})-\left(\frac{MgL}{I}cos\right({\stackrel{\‾}{x}}_1)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I}){\stackrel{\‾}{x}}_3;$ $b=\frac{K}{IJ};$ $y=\stackrel{\‾}{x_1}$ 是系统的输出；

1.3,令其中b₀为b的估计值，定义扩展状态则式(3)写成以下等效形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1={\stackrel{\‾}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2={\stackrel{\‾}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3={\stackrel{\‾}{x}}_4\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4={\stackrel{\‾}{x}}_5+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_5=h\\ y={\stackrel{\‾}{x}}_1\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中， $h=\stackrel{\·}{b}\left(\stackrel{\‾}{x}\right);$

步骤2,扩张状态观测器设计；

令z_i,i＝1,2,3,4,5,为系统(4)中状态变量的观测值，并定义观测误差为则扩张状态观测器的表达式可设计为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_1=z_1-{\stackrel{\‾}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\β}}_1{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\β}}_{2}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_1,\mathrm{\δ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4-{\mathrm{\β}}_{3}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_2,\mathrm{\δ})\\ {\stackrel{\·}{z}}_4=z_5-{\mathrm{\β}}_{4}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_3,\mathrm{\δ})+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_5=-{\mathrm{\β}}_{5}fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_4,\mathrm{\δ})\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，β₁,β₂,β₃,β₄,β₅＞0为观测器增益.fal(·)为如下形式的幂次函数

$fal({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_i,\mathrm{\δ})=\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\δ}}^{1-{\mathrm{\α}}_i}},& \left|{\mathrm{\ϵ}}_1\right|\≤\mathrm{\δ}\\ |{\mathrm{\ϵ}}_1{|}^{{\mathrm{\α}}_i}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\ϵ}}_1\right)& \left|{\mathrm{\ϵ}}_1\right|>\mathrm{\δ}\end{array},i=1,2,3,4---\left(6\right)$

其中，δ＞0，0＜α_i＜1，为小的正常数；sgn(·)为符号函数；假设观测误差满足条件|x_i-z_i|≤l_i，其中l_i＞0为很小的正数；

步骤3,无抖振全阶滑模控制器设计，过程如下：

3.1,定义跟踪误差e及其各阶导数为

$\left\{\begin{array}{c}e=y-y_d={\stackrel{\‾}{x}}_1-y_d\\ \stackrel{\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_1-{\stackrel{\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_2-{\stackrel{\·}{y}}_d\\ \stackrel{\·\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_2-{\stackrel{\·\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d\\ \stackrel{\·\·\·}{e}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_3-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d={\stackrel{\‾}{x}}_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d\\ e^{\left(4\right)}={\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{x}}}_4-y_d^{\left(4\right)}={\stackrel{\‾}{x}}_5+b_{0}u-y_d^{\left(4\right)}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中y_d为参考轨迹；

3.2,设计如下全阶滑模面

$\begin{array}{c}s=e^{\left(4\right)}+{\mathrm{\λ}}_4\stackrel{\·\·\·}{e}+L\stackrel{\·\·}{e}+{\mathrm{\λ}}_2\stackrel{\·}{e}+{\mathrm{\λ}}_{1}e\\ {\stackrel{\‾}{x}}_5+b_{0}u-y_d^{\left(4\right)}+{\mathrm{\λ}}_4({\stackrel{\‾}{x}}_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_3({\stackrel{\‾}{x}}_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_2({\stackrel{\‾}{x}}_2-{\stackrel{\·\·}{y}}_d)+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\‾}{x}}_1-y_d)\end{array}---\left(8\right)$

其中，λ_i＞0,i＝1,2,3,4为控制参数，且选择时要保证p⁴+λ₄p³+λ₃p²+λ₂p+λ₁是赫尔维兹多项式；

3.3,根据式(8)，设计全阶滑模控制器为

$u=\frac{1}{b_0}(u_{eq}+u_n)---\left(9\right)$

$u_{eq}=-z_5+y_d^{\left(4\right)}-{\mathrm{\λ}}_4(z_4-{\stackrel{\·\·\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_3(z_3-{\stackrel{\·\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_2(z_2-{\stackrel{\·}{y}}_d)-{\mathrm{\λ}}_1(z_1-y_d)---\left(10\right)$

${\stackrel{\·}{u}}_n+{\mathrm{Tu}}_n=v---\left(11\right)$

v＝-ksgn(s)(12)

其中，T≥0，k＝k_p+k_T+η，η＞0，k_p＞0，k_T＞0为控制器参数；

3.4,设计李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(13\right)$

对V求导并将式(8)-(12)代入，如果判定系统是稳定的。