CN106094520A - 一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，本发明包括以下步骤：(1)构建三元弓网耦合动力学模型；(2)状态反馈线性化；(3)求线性方程，得到传递函数；(4)零极点配置。本发明通过对受电弓施行主动控制，降低弓网间耦合振动情况，缓解因弓网间接触压力的剧烈波动引起的离线、燃弧和受电弓滑板磨损等非正常情况的发生，保证列车的运行安全。

Description

一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法

技术领域

本发明涉及一种受电弓主动控制方法，具体涉及一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法。

背景技术

近年来，高铁技术的研究及其应用发展迅猛，有效地改善了铁路客运运能的不足。高速列车的主要特征为运行速度快、弓网耦合复杂，因此，在振动、噪声、受流质量等方面对弓网系统提出了更高的要求。随着列车运行速度的进一步提高，弓网间耦合振动将更加剧烈，弓网系统间接触压力的剧烈波动会造成离线、燃弧和受电弓滑板磨损，严重影响受流质量，对列车的高速运行带来安全隐患。因此，研究高速运行弓网系统间接触压力的动态特性及其抑制措施，对高速列车的安全运行具有重要的意义。

为克服弓网系统接触压力的大幅波动，国内外学者提出了受电弓主动控制的思想，其基本思路是基于弓网系统当前的状态特征量，对受电弓施加可控外力，灵活调节受电弓抬升量，从而实现降低弓网间接触压力波动的目的。基于上述思想，目前已提出多种受电弓主动控制策略，包括，LQR最优控制、滑膜变结构控制以及模糊控制等。其中，LQR最优控制以系统性能指标最小为评价函数，从而确定受电弓的最优主动控制力；滑膜变结构控制通过设计合理的切换函数，实现最优主动控制力的鲁棒控制；而模糊控制则基于受电弓接触压力的非线性变化以及时变特性，可以建立合适的模糊推理机，实现有效的模糊规则控制。

然而，上述控制策略的具体实现过程，均不可避免的需要关键参数的经验设计。对于受电弓的LQR最优控制，其状态加权矩阵和控制力权重系数需要经验选取；对于滑膜变结构控制，其预测因子和目标特征值等关键参量需要经验计算；而模糊控制规则的建立以及输入量的合理选择均需要先验知识的积累。

综上所述，既有文献在控制策略设计中不仅需要关键参数的经验设计，无法通过较为严格的理论分析进行精确的模型控制，而且由此也不可避免的弱化了目标接触压力的作用，如对于LQR优化设计而言，其动态最优接触压力受状态加权矩阵和控制权重系数的动态调节。因此，需要在弓网耦合模型基础上，通过模型分析构造更加有效的控制策略设计方法，实现既定目标控制力指标下的弓网接触压力动态波动抑制。

发明内容

本发明的目的在于因轮轨冲击导致轮轨瞬间失去接触的特大隐患，提供一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，避免车辆发生脱轨的可能性出现。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，包括以下步骤：

(1)构建三元弓网耦合动力学模型；

(2)状态反馈线性化；

(3)求线性方程，得到传递函数；

(4)零极点配置。

进一步地，所述步骤(1)中，对三元弓网耦合动力学模型进行受力分析，得弓网简化耦合动力学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\·\·}{z}}_1+k_1(z_1-z_2)+c_1({\stackrel{\·}{z}}_1-{\stackrel{\·}{z}}_2)+k\left(t\right)z_1=0\\ m_2{\stackrel{\·\·}{z}}_2+k_1(z_2-z_1)+k_2(z_2-z_3)+c_1({\stackrel{\·}{z}}_2-{\stackrel{\·}{z}}_1)+c_2({\stackrel{\·}{z}}_2-{\stackrel{\·}{z}}_3)=0\\ m_3{\stackrel{\·\·}{z}}_3+k_2(z_3-z_2)+c_2({\stackrel{\·}{z}}_3-{\stackrel{\·}{z}}_2)+c_3({\stackrel{\·}{z}}_3-{\stackrel{\·}{z}}_r)=F\end{array}\right.---\left(1\right)$

取状态向量：

输入变量：u(t)＝F；

则，弓网耦合非线性控制系统状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}=AX+Bu+Dw\\ Y=CX\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}& -\frac{c_1}{m_1}& \frac{k_1}{m_1}& \frac{c_1}{m_1}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ \frac{k_1}{m_2}& \frac{c_1}{m_2}& -\frac{k_1+k_2}{m_2}& -\frac{c_1+c_2}{m_2}& \frac{k_2}{m_2}& \frac{c_2}{m_2}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& \frac{k_2}{m_3}& \frac{c_2}{m_3}& -\frac{k_2}{m_3}& -\frac{c_2+c_3}{m_3}\end{array}\right]$

$B={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{m_3}\end{array}\right]}^T,C=\[\begin{array}{cccccc}k\left(t\right)& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\],D={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{c_3}{m_3}\end{array}\right]}^T;$

由w来模拟动车对受电弓的激扰，为白噪声处理；

令输出变量：y＝h(x)＝k(t)x₁；

由此得到弓网接触力仿射非线性控制系统状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g_1\left(x\right)u+g_w\left(x\right)w\\ y=h\left(x\right)=k\left(t\right)x_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，

$f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4\\ x_4\\ \frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6\\ x_6\\ \frac{k_2}{m_3}{x}_3+\frac{c_2}{m_3}{x}_4-\frac{k_2}{m_3}{x}_5-\frac{c_2+c_3}{m_3}{x}_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ f_3\\ f_4\\ f_5\\ f_6\end{array}\right]$

$g_1\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{m_3}\end{array}\right]}^T,g_w\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{c_3}{m_3}\end{array}\right]}^T.$

再进一步地，所述步骤(2)中，对式(3)给定的系统求得以下Lie导数，得

$L_{g_1}{L}_f^{0}h\left(x\right)=L_{g_1}h\left(x\right)=0---\left(4\right)$

$L_{f}h\left(x\right)=\frac{\∂h}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)x_2---\left(5\right)$

$L_{g_1}{L}_{f}h\left(x\right)=\[\begin{array}{cccccc}0& k\left(t\right)& 0& 0& 0& 0\end{array}\]\·{\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{m_3}\end{array}\right]}^T=0---\left(6\right)$

$L_f^{2}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_{f}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)f_2---\left(7\right)$

$L_g{L}_f^{2}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(k\right(t\left)f_2\right)}{\∂x}g\left(x\right)=0---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{2}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)\\ =k\left(t\right)\[\begin{array}{cccccc}-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}& -\frac{c_1}{m_1}& \frac{k_1}{m_1}& \frac{c_1}{m_1}& 0& 0\end{array}\]\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4\\ x_4\\ \frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6\\ x_6\\ \frac{k_2}{m_3}{x}_3+\frac{c_2}{m_3}{x}_4-\frac{k_2}{m_3}{x}_5-\frac{c_2+c_3}{m_3}{x}_6\end{array}\right]\\ =k\left(t\right)\left[\begin{array}{c}-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_2-\frac{c_1}{m_1}(-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4)+\frac{k_1}{m_1}{x}_4\\ +\frac{c_1}{m_1}(\frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6)\end{array}\right]\end{array}---\left(9\right)$

$L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x}g\left(x\right)=k\left(t\right)\frac{c_1{c}_2}{m_1{m}_2{m}_3}\≠0---\left(10\right)$

$L_f^{4}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_i}{f}_i\right(x\left)\right)---\left(11\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_1}=\frac{c_1(k_1+k(t\left)\right)}{m_1^2}+\frac{c_1{k}_1}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_2}=-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}+\frac{c_1^2}{m_1^2}+\frac{c_1^2}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_3}=-\frac{c_1{k}_1}{m_1^2}-\frac{c_1(k_1+k_2)}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_4}=-\frac{c_1^2}{m_1^2}+\frac{k_1}{m_1}-\frac{c_1(c_1+c_2)}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_5}=\frac{c_1{k}_2}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_6}=\frac{c_1{c}_2}{m_1{m}_2}\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，(12)

由式(4)～(12)的Lie导数求解可知，该仿射非线性控制系统的相对阶为4，其解耦矩阵A(x)定义为

$A\left(x\right)=L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=k\left(t\right)\frac{c_1{c}_2}{m_1{m}_2{m}_3}---\left(13\right)$

并且，解耦矩阵(13)在x＝x₀处非奇异。

更进一步地，所述步骤(3)中，对于相对阶系统，输出y的r阶导数可以表示为：

$y^{\left(r\right)}=L_f^{r}h\left(x\right)+L_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)u---\left(15\right)$

GLC控制律表示为：

其中，{β_k}为控制器整定参数；联立式(14)和式(15)并化简，得

$u=\frac{y^{\left(r\right)}-L_f^{r}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)}=\frac{{\mathrm{\β}}_r{y}^{\left(r\right)}-{\mathrm{\β}}_r{L}_f^{r}h\left(x\right)}{{\mathrm{\β}}_r{L}_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)}---\left(17\right)$

对比式(16)和式(17)可知，上述GLC控制律对应式(18)所示的线性输入-输出映射：

$v=\underset{k=0}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_k{y}^{\left(k\right)}---\left(18\right)$

因此，通过式(19)所示的PI控制器来逼近输入-输出线性化系统，即

$v=K_p(y_{sp}-y)+K_i{\∫}_0^t(y_{sp}-y)d\mathrm{\τ}---\left(19\right)$

从而得到如下闭环传递函数

$\frac{y\left(s\right)}{y_{sp}\left(s\right)}=\frac{K_{p}s+K_i}{{\mathrm{\β}}_r{s}^{r+1}+{\mathrm{\β}}_{r-1}{s}^r+\mathrm{...}+({\mathrm{\β}}_0+K_p)s+K_i}---\left(20\right).$

另外，所述步骤(4)中，式(20)中的控制器参数{β_k}、K_p和K_i需要整定以获得期望的闭环极点配置。

综上可得三元弓网耦合动力学模型的基于状态反馈精确线性化的全局线性最优控制策略。

本发明较现有技术相比，具有以下优点及有益效果：

本发明通过对受电弓施行主动控制，降低弓网间耦合振动情况，缓解因弓网间接触压力的剧烈波动引起的离线、燃弧和受电弓滑板磨损等非正常情况的发生，保证列车的运行安全。

附图说明

图1为本发明中三元弓网耦合动力学模型。

图2为本发明的原理示意图。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明，本发明的实施方式包括但不限于下列实施例。

实施例

一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，包括以下步骤：

三元弓网耦合动力学模型如图1所示，对该模型进行受力分析，可得弓网简化耦合动力学方程：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\·\·}{z}}_1+k_1(z_1-z_2)+c_1({\stackrel{\·}{z}}_1-{\stackrel{\·}{z}}_2)+k\left(t\right)z_1=0\\ m_2{\stackrel{\·\·}{z}}_2+k_1(z_2-z_1)+k_2(z_2-z_3)+c_1({\stackrel{\·}{z}}_2-{\stackrel{\·}{z}}_1)+c_2({\stackrel{\·}{z}}_2-{\stackrel{\·}{z}}_3)=0\\ m_3{\stackrel{\·\·}{z}}_3+k_2(z_3-z_2)+c_2({\stackrel{\·}{z}}_3-{\stackrel{\·}{z}}_2)+c_3({\stackrel{\·}{z}}_3-{\stackrel{\·}{z}}_r)=F\end{array}\right.---\left(1\right)$

取状态向量：

输入变量：u(t)＝F；

则，弓网耦合非线性控制系统状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}=AX+Bu+Dw\\ Y=CX\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}& -\frac{c_1}{m_1}& \frac{k_1}{m_1}& \frac{c_1}{m_1}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ \frac{k_1}{m_2}& \frac{c_1}{m_2}& -\frac{k_1+k_2}{m_2}& -\frac{c_1+c_2}{m_2}& \frac{k_2}{m_2}& \frac{c_2}{m_2}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& \frac{k_2}{m_3}& \frac{c_2}{m_3}& -\frac{k_2}{m_3}& -\frac{c_2+c_3}{m_3}\end{array}\right]$

$B={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{m_3}\end{array}\right]}^T$

C＝[k(t) 0 0 0 0 0]

$D={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{c_3}{m_3}\end{array}\right]}^T$

由w来模拟动车对受电弓的激扰，为白噪声处理。

令输出变量：y＝h(x)＝k(t)x₁；

由此得到适用于微分几何方法的单输入单输出弓网接触力仿射非线性控制系统状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g_1\left(x\right)u+g_w\left(x\right)w\\ y=h\left(x\right)=k\left(t\right)x_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，

$f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4\\ x_4\\ \frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6\\ x_6\\ \frac{k_2}{m_3}{x}_3+\frac{c_2}{m_3}{x}_4-\frac{k_2}{m_3}{x}_5-\frac{c_2+c_3}{m_3}{x}_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ f_3\\ f_4\\ f_5\\ f_6\end{array}\right]$

$g_1\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{m_3}\end{array}\right]}^T$

$g_w\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{c_3}{m_3}\end{array}\right]}^T$

式(3)表明，弓网接触力仿射非线性控制系统的输入-输出特性表现为非线性耦合特性，为了达到控制目标，得到作用于受电弓下框架的最优主动控制力，需要进行以下两步计算：

所涉及的非线性控制率必须满足两个条件，即进行系统非线性补偿的同时实现输入输出之间的解耦和线性化；

通过闭环极点设计，以比例积分控制器的方式实现输出最优主动控制力的有效跟踪。

对于式(3)给定的系统求得以下Lie导数，有

$L_{g_1}{L}_f^{0}h\left(x\right)=L_{g_1}h\left(x\right)=0---\left(4\right)$

$L_{f}h\left(x\right)=\frac{\∂h}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)x_2---\left(5\right)$

$L_{g_1}{L}_{f}h\left(x\right)=\[\begin{array}{cccccc}0& k\left(t\right)& 0& 0& 0& 0\end{array}\]\·{\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{m_3}\end{array}\right]}^T=0---\left(6\right)$

$L_f^{2}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_{f}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)f_2---\left(7\right)$

$L_g{L}_f^{2}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(k\right(t\left)f_2\right)}{\∂x}g\left(x\right)=0---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{2}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)\\ =k\left(t\right)\[\begin{array}{cccccc}-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}& -\frac{c_1}{m_1}& \frac{k_1}{m_1}& \frac{c_1}{m_1}& 0& 0\end{array}\]\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4\\ x_4\\ \frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6\\ x_6\\ \frac{k_2}{m_3}{x}_3+\frac{c_2}{m_3}{x}_4-\frac{k_2}{m_3}{x}_5-\frac{c_2+c_3}{m_3}{x}_6\end{array}\right]\\ =k\left(t\right)\left[\begin{array}{c}-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_2-\frac{c_1}{m_1}(-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4)+\frac{k_1}{m_1}{x}_4\\ +\frac{c_1}{m_1}(\frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6)\end{array}\right]\end{array}---\left(9\right)$

$L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x}g\left(x\right)=k\left(t\right)\frac{c_1{c}_2}{m_1{m}_2{m}_3}\≠0---\left(10\right)$

$L_f^{4}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_i}{f}_i\right(x\left)\right)---\left(11\right)$

其中，

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_1}=\frac{c_1(k_1+k(t\left)\right)}{m_1^2}+\frac{c_1{k}_1}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_2}=-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}+\frac{c_1^2}{m_1^2}+\frac{c_1^2}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_3}=-\frac{c_1{k}_1}{m_1^2}-\frac{c_1(k_1+k_2)}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_4}=-\frac{c_1^2}{m_1^2}+\frac{k_1}{m_1}-\frac{c_1(c_1+c_2)}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_5}=\frac{c_1{k}_2}{m_1{m}_2}\\ \frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_6}=\frac{c_1{c}_2}{m_1{m}_2}\end{array}\right.---\left(12\right)$

由式(4)～(12)的Lie导数求解可知，该仿射非线性控制系统的相对阶为4，其解耦矩阵A(x)定义为：

$A\left(x\right)=L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=k\left(t\right)\frac{c_1{c}_2}{m_1{m}_2{m}_3}---\left(13\right)$

并且，解耦矩阵(13)在x＝x₀处非奇异。

对于相对阶系统，输出y的r阶导数可以表示为

$y^{\left(k\right)}=L_f^{k}h\left(x\right),k=0,1,\mathrm{...},r-1---\left(14\right)$

$y^{\left(r\right)}=L_f^{r}h\left(x\right)+L_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)u---\left(15\right)$

于是GLC控制律可以表示为

$u=-\frac{\underset{k=0}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_k{L}_f^{k}h\left(x\right)}{{\mathrm{\β}}_r{L}_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)}+\frac{1}{{\mathrm{\β}}_r{L}_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)}v---\left(16\right)$

其中，{β_k}为控制器整定参数。联立式(14)和式(15)并化简，有

$u=\frac{y^{\left(r\right)}-L_f^{r}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)}=\frac{{\mathrm{\β}}_r{y}^{\left(r\right)}-{\mathrm{\β}}_r{L}_f^{r}h\left(x\right)}{{\mathrm{\β}}_r{L}_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)}---\left(17\right)$

对比式(16)和式(17)可知，上述GLC控制律对应式(18)所示的线性输入-输出映射：

因此，可以通过式(19)所示的PI控制器来逼近该输入-输出线性化系统，即，

$v=K_p(y_{sp}-y)+K_i{\∫}_0^t(y_{sp}-y)d\mathrm{\τ}---\left(19\right)$

从而得到如下闭环传递函数，

$\frac{y\left(s\right)}{y_{sp}\left(s\right)}=\frac{K_{p}s+K_i}{{\mathrm{\β}}_r{s}^{r+1}+{\mathrm{\β}}_{r-1}{s}^r+\mathrm{...}+({\mathrm{\β}}_0+K_p)s+K_i}---\left(20\right)$

式(20)中的控制器参数{β_k}、K_p和K_i需要整定以获得期望的闭环极点配置。

综上可得三元弓网耦合动力学模型的基于状态反馈精确线性化的全局线性最优控制策略，如图2所示。

根据式(20)，系统的相对阶为r＝4，因此，其闭环传递函数展开为：

$\frac{y\left(s\right)}{y_{sp}\left(s\right)}=\frac{\frac{1}{{\mathrm{\β}}_4}(K_{p}s+K_i)}{s^5+\frac{{\mathrm{\β}}_3}{{\mathrm{\β}}_4}{s}^4+\frac{{\mathrm{\β}}_2}{{\mathrm{\β}}_4}{s}^3+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{{\mathrm{\β}}_4}{s}^2+\frac{{\mathrm{\β}}_0+K_p}{{\mathrm{\β}}_4}s+\frac{K_i}{{\mathrm{\β}}_4}}---\left(21\right)$

由式(21)可得系统的特征方程为

$s^5+\frac{{\mathrm{\β}}_3}{{\mathrm{\β}}_4}{s}^4+\frac{{\mathrm{\β}}_2}{{\mathrm{\β}}_4}{s}^3+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{{\mathrm{\β}}_4}{s}^2+\frac{{\mathrm{\β}}_0+K_p}{{\mathrm{\β}}_4}s+\frac{K_i}{{\mathrm{\β}}_4}=0---\left(22\right)$

对于高阶系统，通常设置一对共轭复数极点s12，由该共轭复数极点确定的分量在系统单位阶跃函数中起主导作用，即作为主导极点，因为衰减速度最慢，其他远离虚轴的极点s3、s4、s5做对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。因此，对系统过渡过程进行近似分析时。可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响，因此，可以将系统近似为二阶系统来基于性能指标求解未知参数，于是有

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\σ}=e^{-\mathrm{\ξ}\mathrm{\π}/\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}^2}}\≤5\%\\ t_s\≈\frac{4}{{\mathrm{\ξ\ω}}_n}\≤0.1s\end{array}\right.---\left(23\right)$

其中，σ和ts分别为系统的超调和调整时间；ξ和ωn为系统的阻尼比和无阻尼自然振荡角频率。根据系统性能指标要求，取阻尼比为ξ为1，ωn为50，因此，主导极点配置为实轴上的共轭极点，

$s_{1,2}=-{\mathrm{\ξ\ω}}_n\±{\mathrm{\ω}}_n\sqrt{1-{\mathrm{\ξ}}^2}=-50---\left(24\right)$

此外，极点s3需满足：距虚轴距离不小于共轭复数极点s1、s2距虚轴距离的5倍，即

|Res_3,4,5|≥5|Res₁|＝5ξω_n (25)

故，取s3＝s4＝s5＝-400。则系统的期望闭环特征方程为：

(s+50)²(s+400)³＝s⁵+1.3×10³s⁴+6.025×10⁵s³+1.15×10⁸s²+7.6×10⁹s+1.6×10¹¹

令β4＝1×10-5，则β3＝0.13，β2＝6.025，β1＝1150，β0+Kp＝7.6×104，Ki＝1.6×106。同时，为确保极点s1、s2的附近不存在系统的零点，令Ki/Kp＝500，即，零点距离为主导极点距离的10倍，于是Kp＝0.32×104，β0＝7.28×104。

按照上述实施例，便可很好地实现本发明。

Claims (5)

1.一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)构建三元弓网耦合动力学模型；

(2)状态反馈线性化；

(3)求线性方程，得到传递函数；

(4)零极点配置。

2.根据权利要求1所述的一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，其特征在于，所述步骤(1)中，对三元弓网耦合动力学模型进行受力分析，得弓网简化耦合动力学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\·\·}{z}}_1+k_1(z_1-z_2)+c_1({\stackrel{\·}{z}}_1-{\stackrel{\·}{z}}_2)+k\left(t\right)z_1=0\\ m_2{\stackrel{\·\·}{z}}_2+k_1(z_2-z_1)+k_2(z_2-z_3)+c_1({\stackrel{\·}{z}}_2-{\stackrel{\·}{z}}_1)+c_2({\stackrel{\·}{z}}_2-{\stackrel{\·}{z}}_3)=0\\ m_3{\stackrel{\·\·}{z}}_3+k_2(z_3-z_2)+c_2({\stackrel{\·}{z}}_3-{\stackrel{\·}{z}}_2)+c_3({\stackrel{\·}{z}}_3-{\stackrel{\·}{z}}_r)=F\end{array}\right.---\left(1\right)$

取状态向量：

输入变量：u(t)＝F；

则，弓网耦合非线性控制系统状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}=AX+Bu+Dw\\ Y=CX\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}& -\frac{c_1}{m_1}& \frac{k_1}{m_1}& \frac{c_1}{m_1}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ \frac{k_1}{m_2}& \frac{c_1}{m_2}& -\frac{k_1+k_2}{m_2}& -\frac{c_1+c_2}{m_2}& \frac{k_2}{m_2}& \frac{c_2}{m_2}\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& \frac{k_2}{m_3}& \frac{c_2}{m_3}& -\frac{k_2}{m_3}& -\frac{c_2+c_3}{m_3}\end{array}\right]$

C＝[k(t) 0 0 00 0]，由w来模拟动车对受电弓的激扰，为白噪声处理；

令输出变量：y＝h(x)＝k(t)x₁；

由此得到弓网接触力仿射非线性控制系统状态方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g_1\left(x\right)u+g_w\left(x\right)w\\ y=h\left(x\right)=k\left(t\right)x_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，

$f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4\\ x_4\\ \frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6\\ x_6\\ \frac{k_2}{m_3}{x}_3+\frac{c_2}{m_3}{x}_4-\frac{k_2}{m_3}{x}_5-\frac{c_2+c_3}{m_3}{x}_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ f_3\\ f_4\\ f_5\\ f_6\end{array}\right]$

$g_1\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{m_3}\end{array}\right]}^T,g_w\left(x\right)={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{c_3}{m_3}\end{array}\right]}^T.$

3.根据权利要求2所述的一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，其特征在于，所述步骤(2)中，对式(3)给定的系统求得以下Lie导数，得

$L_{g_1}{L}_f^{0}h\left(x\right)=L_{g_1}h\left(x\right)=0---\left(4\right)$

$L_{f}h\left(x\right)=\frac{\∂h}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)x_2---\left(5\right)$

$L_{g_1}{L}_{f}h\left(x\right)=\[\begin{array}{cccccc}0& k\left(t\right)& 0& 0& 0& 0\end{array}\]\·{\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{m_3}\end{array}\right]}^T=0---\left(6\right)$

$L_f^{2}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_{f}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)f_2---\left(7\right)$

$L_g{L}_f^{2}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(k\right(t\left)f_2\right)}{\∂x}g\left(x\right)=0---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{2}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)\\ =k\left(t\right)\[\begin{array}{cccccc}-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}& -\frac{c_1}{m_1}& \frac{k_1}{m_1}& \frac{c_1}{m_1}& 0& 0\end{array}\]\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4\\ x_4\\ \frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6\\ x_6\\ \frac{k_2}{m_3}{x}_3+\frac{c_2}{m_3}{x}_4-\frac{k_2}{m_3}{x}_5-\frac{c_2+c_3}{m_3}{x}_6\end{array}\right]\\ =k\left(t\right)\left[\begin{array}{c}-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_2-\frac{c_1}{m_1}(-\frac{k_1+k\left(t\right)}{m_1}{x}_1-\frac{c_1}{m_1}{x}_2+\frac{k_1}{m_1}{x}_3+\frac{c_1}{m_1}{x}_4)+\frac{k_1}{m_1}{x}_4\\ +\frac{c_1}{m_1}(\frac{k_1}{m_2}{x}_1+\frac{c_1}{m_2}{x}_2-\frac{k_1+k_2}{m_2}{x}_3-\frac{c_1+c_2}{m_2}{x}_4+\frac{k_2}{m_2}{x}_5+\frac{c_2}{m_2}{x}_6)\end{array}\right]\end{array}---\left(9\right)$

$L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x}g\left(x\right)=k\left(t\right)\frac{c_1{c}_2}{m_1{m}_2{m}_3}\≠0---\left(10\right)$

$L_f^{4}h\left(x\right)=\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x}f\left(x\right)=k\left(t\right)\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{\∂\left(L_f^{3}h\right(x\left)\right)}{\∂x_i}{f}_i\right(x\left)\right)---\left(11\right)$

其中，

由式(4)～(12)的Lie导数求解可知，该仿射非线性控制系统的相对阶为4，其解耦矩阵A(x)定义为

$A\left(x\right)=L_g{L}_f^{3}h\left(x\right)=k\left(t\right)\frac{c_1{c}_2}{m_1{m}_2{m}_3}---\left(13\right)$

并且，解耦矩阵(13)在x＝x₀处非奇异。

4.根据权利要求3所述的一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，其特征在于，所述步骤(3)中，对于相对阶系统，输出y的r阶导数可以表示为：

$y^{\left(r\right)}=L_f^{r}h\left(x\right)+L_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)u---\left(15\right)$

GLC控制律表示为：

其中，{β_k}为控制器整定参数；联立式(14)和式(15)并化简，得

$u=\frac{y^{\left(r\right)}-L_f^{r}h\left(x\right)}{L_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)}=\frac{{\mathrm{\β}}_r{y}^{\left(r\right)}-{\mathrm{\β}}_r{L}_f^{r}h\left(x\right)}{{\mathrm{\β}}_r{L}_g{L}_f^{r-1}h\left(x\right)}---\left(17\right)$

对比式(16)和式(17)可知，上述GLC控制律对应式(18)所示的线性输入-输出映射：

$v=\underset{k=0}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_k{y}^{\left(k\right)}---\left(18\right)$

因此，通过式(19)所示的PI控制器来逼近输入-输出线性化系统，即

$v=K_p(y_{sp}-y)+K_i{\∫}_0^t(y_{sp}-y)d\mathrm{\τ}---\left(19\right)$

从而得到如下闭环传递函数

$\frac{y\left(s\right)}{y_{sp}\left(s\right)}=\frac{K_{p}s+K_i}{{\mathrm{\β}}_r{s}^{r+1}+{\mathrm{\β}}_{r-1}{s}^r+\mathrm{...}+({\mathrm{\β}}_0+K_p)s+K_i}---\left(20\right).$

5.根据权利要求4所述的一种基于状态反馈精确线性化的受电弓主动控制方法，其特征在于，所述步骤(4)中，式(20)中的控制器参数{β_k}、K_p和K_i需要整定以获得期望的闭环极点配置。