CN103077729A - 一种两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应用于硬盘驱动器的两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法，首先，考虑了柔性模态以及模型参数的不确定性，建立了柔性取数臂系统的动力学模型；其次，提出了一种三阶非奇异终端滑模控制方法，对控制信号进行一次低通滤波，有效地削弱了抖振现象。该方法利用Lagrange方法和假设模态法，推导出柔性取数臂两级系统的动力学方程，采用输出重定义的方法，将柔性两级系统模型分解为输入输出子系统和内部子系统。针对输入输出子系统结合二阶非奇异终端滑模控制和线性滑模控制，设计了三阶非奇异终端滑模控制器，并通过Lyapunov稳定性理论证明了系统在有限时间内收敛的特性，最后利用Matlab/Simulink软件进行仿真验证方法的有效性。

Description

一种两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法

技术领域

本发明属于控制工程领域，具体是一种针对硬盘驱动器柔性的两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法，用于实现高速、高精度的跟踪定位。

背景技术

随着硬盘驱动器磁道密度的不断增加，对磁头定位系统的快速性和准确性提出了更高的要求，而两级磁头定位系统是实现更高伺服带宽和更高定位精度的一种有效方式。在该系统中，第一级音圈电机作为粗调电机，有较大的行程范围；第二级压电陶瓷材料制成的微作动器位于悬臂梁的弹性区和滑块之间，可快速实现磁头的高精度定位。两级磁头定位系统的出现使得控制器的设计面临着严峻的挑战，国内外的学者对此做出大量研究，通过改进两级系统的控制结构，尽可能的提高系统的控制性能。同时提出了多种控制算法，基本上可以分成两类：

一类是基于单输入单输出的控制算法。其原理是将系统分解为两个单输入单输出的子系统，针对两个子系统分别设计控制器，Jinchuan Zheng,Minyue Fu,Youyi Wang,Chunl ing Du在《IEEE/ASME Transactions onMechatronics》，2008年5月第13期发表的论文“Nonlinear TrackingControl for a Hard Disk Drive Dual-Stage Actuator System”中提出一种非线性控制方法，Yazdi,E.A.,Sepasi,M.,Sassani,F.,Nagamune,R.Automated在《IEEE Transactions on Control Systems Technology》，2011年4月第19期发表的论文“Multiple Robust Track-FollowingControl System Design in Hard Disk Drives”中提出一种鲁棒跟踪控制方法。这类方法将系统模型进行了解耦，简化了控制器的设计，虽然在一定的参数摄动下，可以维持系统的稳定性，但是其忽略两级作动器之间的耦合，无法抑制由此导致的振动。

另一类是基于多输入多输出（MIMO）的控制算法。其设计原理是将两级系统作为一个整体进行考虑，此时的被控对象是一个MIMO的模型，也有很多的控制算法用于硬盘领域，Guido Herrmann，Guo G在《ControlEngineering Practice》，2004年3月第12期发表的论文“HDD Dual-stageServo-controller Design Using aμ-analysis Tool”中提出一种μ综合控制方法，Jianbin Nie;Horowitz,R.在《IEEE Transactions onMagnetics》，2011年7月第47期发表的论文“Control Design of HardDisk Drive Concentric Self-Servo Track Writ ing via H₂andH_∞Synthesis”中提出一种H₂/H_∞控制。这类方法考虑到了两级作动器间的耦合，但控制器的阶次比较高。同时H_∞控制方法采用H_∞范数来刻划，只考虑了最坏的情形，使得鲁棒性保守，并且在控制器设计中用到的Riccati方程只存在理论解，从而系统会存在一定的误差。

同时，以上两类现有的方法都将系统看做刚性模型来设计控制器，未考虑取数臂的柔性模态对系统的影响，HLi,C Du,Y Wang.在《IEEE/ASMETransactions Transactions on Mechatronics》，2011年3月第16期发表的论文“Optimal Reset Control for a Dual-Stage Actuator System inHDDs”中研究结果表明采用刚性模型作为被控对象时，虽然仿真结果显示可以很好的跟踪寻道，但实验测试中会有很大的振动出现。

发明内容

本发明的目的在于避免上述现有控制方法的不足，提供一种两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法，以缩短定位时间、减小跟踪误差、抑制抖振现象的。

实现本发明目的的技术方法的特征是：它至少包括如下步骤：

(1)建立柔性取数臂两级系统动力学模型和参数不确定的两级系统动力学模型；

(2)根据(1)中得出的参数不确定的系统模型，采用输出重定义的方法，将柔性两级系统模型分解为输入输出子系统和内部子系统；

(3)将(2)中得到的内部子系统变为零动态子系统，通过设计合理的控制器参数，使模型参数不确定系统末端位移收敛到零附近的较小区域内；

(4)针对(2)中得到的输入输出子系统，设计三阶非奇异终端滑模控制器。

所述的建立柔性取数臂两级系统动力学模型是对两级磁头定位系统，假设其大臂为刚性的，由音圈电机驱动，臂长为L₁,转动惯量为J₁；小臂假设为柔性的，由压电作动器驱动，臂长为L₂，转动惯量为J₂；同时设两臂质量为均匀分布的，其线密度分别为ρ₁,ρ₂，两臂间连接处的弹性系数为k₂、阻尼系数为c₂，柔性小臂的均匀柔性刚度为EI，其中E为弹性模量；I为材料横截面的惯性矩；

仅考虑柔性小臂的挠曲变形，ωx₂,t为小臂在时刻t和空间坐标x₂（0≤x₂≤L₂）点处的横向变形，通常近似为有限项模态函数和柔性模态乘积之和的形式，则有

$\mathrm{\ω}(x_2,t)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_i\left(x_2\right)q_i\left(t\right)---\left(1\right)$

其中q_i(t)(i=1,2,…,n)是相应的广义坐标；φ_i(x₂)为系统的假设模态；n为截断项数，各阶模态对系统振动的贡献度不同，一般前几阶比较大，越往后越小，可利用能量判据确定合适的模态截断项数，本发明中只取两阶模态，便可到达所需精度，即n＝2；

在以下的推导中，用上点表示对时间t的导数，即

用撇表示对坐标x₂的导数，即

对于大臂和小臂，其上任意一点的坐标分别为：

$r_1=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ Y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1\\ x_2\sin {\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right]$

(2)

$r_2=\left[\begin{array}{c}{X}_2\\ Y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1+x_2\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)-\mathrm{\ω}\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)\\ L_2\sin {\mathrm{\θ}}_1+x_2\sin ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)+\mathrm{\ω}\cos ({\mathrm{\θ}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)\end{array}\right]$

系统总动能T：

$T=\frac{1}{2}{J}_1{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_1^2+\frac{1}{2}{J}_2{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{0}{\overset{L_i}{\∫}}{\mathrm{\ρ}}_i{\stackrel{.}{r}}_i^T{\stackrel{.}{r}}_{i}d{x}_i$

(3)

$=\frac{1}{2}{J}_1{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_1^2+\frac{1}{2}{J}_2{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{0}{\overset{L_i}{\∫}}{\mathrm{\ρ}}_i({\stackrel{.}{X}}_i^2+{\stackrel{.}{Y}}_i^2)d{x}_i$

系统总势能V：

$V=\frac{1}{2}{k}_2{\mathrm{\θ}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{l_2}{\∫}}\mathrm{EI}{\left(w^{\′\′}(x_2,t)\right)}^{2}d{x}_2$

(4)

$=\frac{1}{2}{k}_2{\mathrm{\θ}}_2^2+\frac{{\mathrm{\π}}^4\mathrm{EI}}{4L_2^3}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{i}^4{q}_i^2\left(t\right)$

根据D’Alembert-Lagrange原理，可以得到下列Lagrange方程：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\∂T}{\∂{\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}}_i}\right)-\frac{\∂T}{\∂{\mathrm{\θ}}_i}+\frac{\∂V}{\∂{\mathrm{\θ}}_i}={\mathrm{\τ}}_i,i=\mathrm{1,2},$

(5)

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\∂T}{\∂{\stackrel{.}{q}}_i}\right)-\frac{\∂T}{\∂q_i}+\frac{\∂V}{\∂q_i}={\mathrm{\τ}}_j,j=\mathrm{3,4}.$

其中μ₂为阻尼系数，K_τ1和K_τ2为力矩常数；

两级系统动力学模型表示为：

$M(\mathrm{\θ},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{E}_1& 0\\ 0& E_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{K}_1& 0\\ 0& K_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{g}_1\\ g_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]u---\left(6\right)$

其中θ=[θ₁(t) θ₂(t)]^T为各臂转角；q=[q₁(t) q₂(t)]^T为柔性模态；E₁和E₂为正定阻尼阵；K₁和K₂为正定刚度阵；g₁和g₂分别为受哥氏力和离心力影响的向量；u=[u₁(t) u₂(t)]^T为控制输入；M(θ，q)为正定对称惯量阵。

所述的步骤1中参数不确定的两级系统动力学模型是考虑到柔性模型参数的不确定性，假设和分别为两级系统中相应的不确定参数的标称量，定义 $M=\tilde{M}+\mathrm{\ΔM},$ $E_1={\tilde{E}}_1+\mathrm{\Δ}{E}_1,$ $E_2={\tilde{E}}_2+\mathrm{\Δ}{E}_2,$ $K_1={\tilde{K}}_1+\mathrm{\Δ}{K}_1,$ $K_2={\tilde{K}}_2+\mathrm{\Δ}{K}_2,$ $g_1={\tilde{g}}_1+\mathrm{\Δ}{g}_1,$ $g_2={\tilde{g}}_2+\mathrm{\Δ}{g}_2,$ $B=\tilde{B}+\mathrm{\ΔB}$ 并代入(6)式中得到

$[\tilde{M}+\mathrm{\ΔM}]\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{E}}_1+\mathrm{\Δ}{E}_1& 0\\ 0& {\tilde{E}}_2+\mathrm{\Δ}{E}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{K}}_1+\mathrm{\Δ}{K}_1& 0\\ 0& {\tilde{K}}_2+\mathrm{\Δ}{K}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]$

(7)

$+\left[\begin{array}{c}{\tilde{g}}_1+\mathrm{\Δ}{g}_1\\ {\tilde{g}}_2+\mathrm{\Δ}{g}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\tilde{B}+\mathrm{\ΔB}\\ 0\end{array}\right]u$

定义上式中的不确定项为：

$\mathrm{\ΔM}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{M}_r(\mathrm{\θ},q)& \mathrm{\Δ}{M}_{\mathrm{rf}}^T(\mathrm{\θ},q)\\ \mathrm{\Δ}{M}_{\mathrm{rf}}(\mathrm{\θ},q)& \mathrm{\Δ}{M}_f(\mathrm{\θ},q)\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_1(\mathrm{\θ},q)\\ {\mathrm{\Δ}}_2(\mathrm{\θ},q)\end{array}\right]=-\mathrm{\ΔM}\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{E}_1& 0\\ 0& \mathrm{\Δ}{E}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{K}_1& 0\\ 0& \mathrm{\Δ}{K}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{g}_1\\ \mathrm{\Δ}{g}_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

则两级系统动力学模型参数不确定性模型表示为:

$\tilde{M}\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{E}}_1& 0\\ 0& {\tilde{E}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{K}}_1& 0\\ 0& {\tilde{K}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\tilde{g}}_1\\ {\tilde{g}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\tilde{B}+\mathrm{\ΔB}\\ 0\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_1\\ {\mathrm{\Δ}}_2\end{array}\right]---\left(10\right)$

所述的两级系统被分解为输入输出子系统和内部子系统是通过如下步骤实现的：重新定义系统的输出为各臂转角和柔性模态的线性组合，如下：

z(t)=λ₀(θ-θ_r)+λ₁q    (11)

其中θ_r为参考输入；z(t)=[z₁(t) z₂(t)]^T∈R²；λ₀=diag(λ₀₁ λ₀₂)∈R^2×2， ${\mathrm{\λ}}_1=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ {\mathrm{\λ}}_{11}& {\mathrm{\λ}}_{12}\end{array}\right]$ 为参数矩阵，并且λ₀₁,λ₀₂,λ₁₁,λ₁₂≠0；

对于模型参数不确定的系统(10)，矩阵

的逆矩阵

定义如下：

$\tilde{N}(\mathrm{\θ},q)={\tilde{M}}^{-1}(\mathrm{\θ},q)=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{N}}_{11}& {\tilde{N}}_{12}\\ {\tilde{N}}_{21}& {\tilde{N}}_{22}\end{array}\right]---\left(12\right)$

式中 ${\tilde{N}}_{11},{\tilde{N}}_{12,}{\tilde{N}}_{21,}{\tilde{N}}_{22}\∈R^{2\×2};$

重写系统(10)的方程，得到

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]=N(\mathrm{\θ},q)(\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]u\left(t\right)-\left[\begin{array}{c}{g}_1+E_1\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}+K_1\mathrm{\θ}\\ g_2+E_2\stackrel{.}{q}+K_{2}q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_1\\ {\mathrm{\Δ}}_2\end{array}\right])---\left(13\right)$

得到系统的输入输出子系统为：

$\stackrel{..}{z}\left(t\right)={\mathrm{\λ}}_0(\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_r)+{\mathrm{\λ}}_1\stackrel{..}{q}=\mathrm{\α}+\mathrm{\βu}\left(t\right)-{\mathrm{\λ}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_r$

(14)

$=(\widetilde{\mathrm{\α}}+\mathrm{\Δ\α})+(\widetilde{\mathrm{\β}}+\mathrm{\Δ\β})u\left(t\right)-{\mathrm{\λ}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}}_r$

其中

$\{\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\α}}=-({\mathrm{\λ}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\λ}}_1{\tilde{N}}_{21})({\tilde{g}}_1+{\tilde{E}}_1\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{K}}_1\mathrm{\θ})-({\mathrm{\λ}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\λ}}_1{\tilde{N}}_{22})({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{.}{q}+{\tilde{K}}_{2}q)\\ \widetilde{\mathrm{\β}}=({\mathrm{\λ}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\λ}}_1{\tilde{N}}_{21})\tilde{B}\end{array}---\left(15\right)$

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ\α}=({\mathrm{\λ}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\λ}}_1{\tilde{N}}_{21}){\mathrm{\Δ}}_1+({\mathrm{\λ}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\λ}}_1{\tilde{N}}_{22}){\mathrm{\Δ}}_2\\ \mathrm{\Δ\β}=({\mathrm{\λ}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\λ}}_1{\tilde{N}}_{21})\mathrm{\ΔB}\end{array}---\left(16\right)$

假设||Δ₁||<ε₁，||Δ₂||<ε₃，其中ε₁,ε₂,ε₃都是正数；

从式(13)直接可以得到柔性取数臂两级系统的内部子系统：

$\stackrel{..}{q}=-{\tilde{N}}_{21}({\tilde{g}}_1+{\tilde{E}}_1\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}+{\tilde{K}}_1\mathrm{\&theta;})-{\tilde{N}}_{22}({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{.}{q}+{\tilde{K}}_{2}q)+{\tilde{N}}_{21}(\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B})u\left(t\right)+{\tilde{N}}_{21}{\mathrm{\&Delta;}}_1+{\tilde{N}}_{22}{\mathrm{\&Delta;}}_2---\left(17\right)$

所述的步骤（3)将内部子系统变为零动态子系统，通过设计合理的控制器参数，使模型参数不确定系统末端位移收敛到零附近的较小区域内是通过如下步骤实现：由零动态子系统的定义，可知当输出为零时的内部子系统即为零动态子系统，当输入输出子系统的输出z(t)＝0时，此时z(t)的各阶导数也为零，即由可得到此时的控制输入u(t)为：

$u\left(t\right)={\mathrm{\&beta;}}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\mathrm{\&alpha;})---\left(18\right)$

代入到式(17)，得到零动态子系统为：

$\stackrel{..}{q}=[-{\tilde{N}}_{22}+{\tilde{N}}_{21}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{22})]({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{.}{q}+{\tilde{K}}_{2}q-{\mathrm{\&Delta;}}_2)$

(19)

$+{\tilde{N}}_{21}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})}^{-1}\left({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r\right)$

定义一个状态变量 $x={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&theta;}}^T& q^T& {\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}^T& {\stackrel{.}{q}}^T\end{array}\right]}^T,$ 将零动态子系统(19)在平衡点x＝0处进行线性化。定义x＝0的邻域Ω，将矩阵

在x＝0处按Taylor级数展开为：

$\tilde{N}{(\mathrm{\&theta;},q)|}_{x\&Element;\mathrm{\&Omega;}}={\tilde{N}}_0+g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)---\left(20\right)$

${\tilde{g}}_2{(\mathrm{\&theta;},q)|}_{x\&Element;\mathrm{\&Omega;}}=g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)---\left(21\right)$

式(20)中，表示常值矩阵，其表示形式如下：

${\tilde{N}}_0=\tilde{N}{(\mathrm{\&theta;},q)|}_{x=0}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{N}}_{110}& {\tilde{N}}_{120}\\ {\tilde{N}}_{210}& {\tilde{N}}_{220}\end{array}\right]---\left(22\right)$

g_hot(x)是状态x的高阶项，并且令||g_hot(x)||≤ε₄,ε₄>0；将式(20)，(21)代入到式(19)中，并表示成状态空间的形式为

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{q}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]=\tilde{A}({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)\left[\begin{array}{c}q\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&Delta;G}\end{array}\right]---\left(23\right)$

状态转移阵

表示如下：

$\tilde{A}({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=\left[\begin{array}{cc}0& I\\ {\tilde{F}}_1({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)& {\tilde{F}}_2({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)\end{array}\right]---\left(24\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{F}}_1({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]{\tilde{K}}_2\\ {\tilde{F}}_2({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]\tilde{E}\end{array}\right.---\left(25\right)$

扰动项ΔG可以表示为

$\mathrm{\&Delta;G}=g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)+[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]{\mathrm{\&Delta;}}_2$

(26)

$+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}\left({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r\right)$

则系统(23)即为零动态子系统在平衡点x＝0处的局部线性化系统，其扰动项ΔG的上界应满足如下所示的范数关系：

$\left|\right|\mathrm{\&Delta;G}\left|\right|\&le;{\mathrm{\&epsiv;}}_4+{\mathrm{\&epsiv;}}_3\left|\right|{[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})\left]\right||$

(27)

$+{\mathrm{\&epsiv;}}_5\left|\right|{{\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{210}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}\left|\right|=\mathrm{\&epsiv;},\mathrm{\&epsiv;}>0$

不同的λ₀和λ₁对应

不同的特征值，从而决定零动态子系统的动态特性，由Lyapunov稳定性定理可知，当矩阵

的特征值全为负时，零动态子系统将在平衡点x=0处达到局部渐近稳定。

所述的针对输入输出子系统，设计三阶非奇异终端滑模控制器包括：

1）滑模面及控制律的选取

对于输入输出子系统(14)，采用三阶非奇异终端滑模控制方法，滑模面设计为：

$\left\{\begin{array}{c}s\left(t\right)=z\left(t\right)+G_1\stackrel{.}{z}\left(t\right)\\ s_1\left(t\right)=s\left(t\right)+G_2{\stackrel{.}{s}}^{p/b}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(28\right)$

其中s∈R²，s₁∈R²,G₁=diag(c₁₁ c₁₂)，c₁₁>0,c₁₂>0，G₂=diag(c₂₁ c₂₂)且c₂₁>0,c₂₂>0，p和b均为奇数，满足p>b＞0,1<p/b<2，选取p=5，b=3；

控制律设计为：

$\left\{\begin{array}{c}u\left(t\right)=u_{\mathrm{eq}}\left(t\right)+u_n\left(t\right)\\ u_{\mathrm{eq}}\left(t\right)=-{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}\\ u_n\left(t\right)={\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}v\left(t\right)\end{array}\right.---\left(29\right)$

函数v(t)通过如下低通滤波后得到：

$v\left(t\right)+G_1\stackrel{.}{v}\left(t\right)=-[\frac{b}{p}{G}_2^{-1}{\stackrel{.}{s}}^{2-p/b}+({\mathrm{\&sigma;}}_1+G_1{\mathrm{\&sigma;}}_2+\mathrm{\&eta;})\mathrm{sgn}\left(s_1\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-{\mathrm{\&lambda;}}_0{G}_1{\stackrel{...}{\mathrm{\&theta;}}}_r]---\left(30\right)$

其中控制增益η>0

2）系统稳定性原理

选取Lyapunov函数

对V(t)时间求导，其中 ${\widetilde{\mathrm{\&beta;\&beta;}}}^{-1}=(\widetilde{\mathrm{\&beta;}}+\mathrm{\&Delta;\&beta;}){\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}=I+\mathrm{\&Delta;}{\widetilde{\mathrm{\&beta;\&beta;}}}^{-1}\&GreaterEqual;I$ 并将相应控制律代入，得到

$\stackrel{.}{V}\left(t\right)={s_1}^T{\stackrel{.}{s}}_1$

$={s_1}^T(\stackrel{.}{s}+\frac{p}{b}{G}_2{\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\stackrel{..}{s})$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\right)(\stackrel{..}{s}+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{.}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\right)((\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;u}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r)+C_1(\stackrel{.}{\text{\&alpha;}}+\stackrel{.}{\mathrm{\&beta;}}u+\mathrm{\&beta;}\stackrel{.}{u}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{...}{\mathrm{\&theta;}}}_r)+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{.}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\right)(v+C_1\stackrel{.}{v}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-{\mathrm{\&lambda;}}_0{C}_1{\stackrel{...}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{.}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T(-\mathrm{\&eta;}\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\right))\mathrm{sgn}\left(s_1\right)$

$\&le;-\frac{p}{b}\mathrm{\&eta;}(s_{11}^2{c}_{21}{\stackrel{.}{s}}_1^{p/q-1}+s_{12}^2{c}_{22}{\stackrel{.}{s}}_2^{p/q-1})$

$\&le;-\frac{p}{b}\mathrm{\&eta;}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_{2i}{\stackrel{.}{s}}_i^{p/q-1}{s}_{1i}^2$

因为p、b为奇数，对任意的

当且仅当

时，

系统并不会一直停留在点(

z_i＝0)上，所以

并且不会一直保持在

这种状态上，满足了滑模到达条件，如果||s₁||≠0，那么滑模面s₁总能在有限的时间内到达s₁=0，之后线性滑模变量s和

将进入

这种滑动状态，保证滑模运动状态

即表示

和同时成立，因为z、

和

是线性滑模，所以渐进实现

三阶滑模运动状态，即说明输入输出子系统渐进地趋于稳定。

本方法优点：

1)在确立了硬盘驱动器两级磁头定位结构后，建立了更符合实际工程应用的柔性小臂两级系统模型。

2)提出了一种三阶非奇异终端滑模控制方法，对控制信号进行一次低通滤波，提高了系统的伺服带宽，降低了寻道时间，有效抑制了由柔性模态引起的振动，同时削弱了抖振对柔性控制系统的影响。

附图说明

下面结合实施例附图对本发明作进一步说明：

图1是两级作动器结构图；

图2a是本发明中柔性取数臂两级系统的简化模型图；图2b为小臂的横截面图；

图3是针对同一柔性模型采用两种不同控制方法的控制系统框图；

图4是Simulink下的高阶非奇异终端滑模控制器仿真框图；

图5a是采用本发明方法仿真得到的系统输出曲线图，图5a1是图5a的局部放大图；

图5b是采用已有方法（复合非线性控制方法）仿真得到的系统输出曲线图；图5b1是图5b的局部放大图；

图6是仿真得到的两种方法的系统带宽图；图6a是幅频曲线图；图6b是相频曲线图；

图7a是采用本发明方法仿真得到的系统各阶柔性模态图；图7a1是一阶模态曲线；图7a2是二阶模态曲线；

图7b是采用已有方法（复合非线性控制方法）仿真得到的系统各阶柔性模态图；图7b1是一阶模态曲线；图7b2是二阶模态曲线。

图中:1、磁头；2、磁盘；3、取数臂；4、音圈电机；5、压电作动器。

具体实施方式

参照图1所示的两级驱动硬盘驱动器的结构图，其主要是由磁头1、磁盘2、取数臂3（大臂和小臂）、音圈电机4及压电作动器5五部分组成。

本发明的技术原理：

(1)柔性取数臂两级系统动力学模型的建立

对于图1所示的两级磁头定位系统，假设取数臂3的大臂为刚性的，由音圈电机4驱动，臂长为L₁,转动惯量为J₁；取数臂3的小臂假设为柔性的，由压电作动器5驱动，臂长为L₂，转动惯量为J₂；同时设两臂质量为均匀分布的，其线密度分别为ρ₁,ρ₂，两臂间连接处的弹性系数为k₂、阻尼系数为c₂，柔性小臂的均匀柔性刚度为EI，其中E为弹性模量；I为材料横截面的惯性矩，如图2所示，图2a是本发明中柔性取数臂两级系统的简化模型图；图2b为小臂的横截面图；其中OXY为固定参考坐标系，OX₁和O′X₂分别表示两臂均为刚性时的中心线，OX₁Y₁和O′X₂Y₂分别表示绕中心O和O′旋转的局部坐标系。

仅考虑柔性小臂的挠曲（弹性）变形，ωx₂,t为小臂在时刻t和空间坐标x₂（0≤x₂≤L₂）点处的横向（挠曲）变形，通常近似为有限项模态函数和柔性模态乘积之和的形式，则有

$\mathrm{\&omega;}(x_2,t)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&phi;}}_i\left(x_2\right)q_i\left(t\right)---\left(1\right)$

其中q_i(t)(i=1,2,…,n)是相应的广义坐标；φ_i(x₂)为系统的假设模态；n为截断项数，各阶模态对系统振动的贡献度不同，一般前几阶比较大，越往后越小，可利用能量判据确定合适的模态截断项数，本发明中只取两阶模态，便可到达所需精度，即n＝2；

在以下的推导中，用上点表示对时间t的导数，即

用撇表示对坐标x₂的导数，即

对于大臂和小臂，其上任意一点的坐标分别为：

$r_1=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ Y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\\ x_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\end{array}\right]$

(2)

$r_2=\left[\begin{array}{c}{X}_2\\ Y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_1+x_2\cos ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)-\mathrm{\&omega;}\sin ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)\\ L_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1+x_2\sin ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)+\mathrm{\&omega;}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)\end{array}\right]$

系统总动能T：

$T=\frac{1}{2}{J}_1{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1^2+\frac{1}{2}{J}_2{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{0}{\overset{L_i}{\&Integral;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\stackrel{.}{r}}_i^T{\stackrel{.}{r}}_{i}d{x}_i$

(3)

$=\frac{1}{2}{J}_1{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_1^2+\frac{1}{2}{J}_2{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{0}{\overset{L_i}{\&Integral;}}{\mathrm{\&rho;}}_i({\stackrel{.}{X}}_i^2+{\stackrel{.}{Y}}_i^2)d{x}_i$

系统总势能V：

$V=\frac{1}{2}{k}_2{\mathrm{\&theta;}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{l_2}{\&Integral;}}\mathrm{EI}{\left(w^{\&prime;\&prime;}(x_2,t)\right)}^{2}d{x}_2$

(4)

$=\frac{1}{2}{k}_2{\mathrm{\&theta;}}_2^2+\frac{{\mathrm{\&pi;}}^4\mathrm{EI}}{4L_2^3}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^4{q}_i^2\left(t\right)$

根据D’Alembert-Lagrange原理，可以得到下列Lagrange方程：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;{\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}}_i}\right)-\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;{\mathrm{\&theta;}}_i}+\frac{\&PartialD;V}{\&PartialD;{\mathrm{\&theta;}}_i}={\mathrm{\&tau;}}_i,i=\mathrm{1,2},$

(5)

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;{\stackrel{.}{q}}_i}\right)-\frac{\&PartialD;T}{{\&PartialD;q}_i}+\frac{\&PartialD;V}{{\&PartialD;q}_i}={\mathrm{\&tau;}}_j,j=\mathrm{3,4}.$

其中μ₂为阻尼系数，K_τ1和K_τ2为力矩常数；

两级系统动力学模型表示为：

$M(\mathrm{\&theta;},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{E}_1& 0\\ 0& E_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{K}_1& 0\\ 0& K_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{g}_1\\ g_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]u---\left(6\right)$

其中θ=[θ₁(t) θ₂(t)]^T为各臂转角；q=[q₁(t) q₂(t)]^T为柔性模态；E₁和E₂为正定阻尼阵；K₁和K₂为正定刚度阵；g₁和g₂分别为受哥氏力和离心力影响的向量；u=[u₁(t) u₂(t)]^T为控制输入；M(θ,q)为正定对称惯量阵。

考虑到柔性模型参数的不确定性，假设

和

分别为两级系统中相应的不确定参数的标称量，定义 $E_1={\tilde{E}}_1+\mathrm{\&Delta;}{E}_1,$ $E_2={\tilde{E}}_2+\mathrm{\&Delta;}{E}_2,$ $K_1={\tilde{K}}_1+\mathrm{\&Delta;}{K}_1,$ $K_2={\tilde{K}}_2+\mathrm{\&Delta;}{K}_2,$ $g_1={\tilde{g}}_1+\mathrm{\&Delta;}{g}_1,$ $g_2={\tilde{g}}_2+\mathrm{\&Delta;}{g}_2,$ $B=\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B};$ 并代入(6)式中得到

$[\tilde{M}+\mathrm{\&Delta;M}]\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{E}}_1+\mathrm{\&Delta;}{E}_1& 0\\ 0& {\tilde{E}}_2+\mathrm{\&Delta;}{E}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{K}}_1+\mathrm{\&Delta;}{K}_1& 0\\ 0& {\tilde{K}}_2+\mathrm{\&Delta;}{K}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\\ q\end{array}\right]$

(7)

$+\left[\begin{array}{c}{\tilde{g}}_1+\mathrm{\&Delta;}{g}_1\\ {\tilde{g}}_2+\mathrm{\&Delta;}{g}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B}\\ 0\end{array}\right]u$

定义上式中的不确定项为：

$\mathrm{\&Delta;M}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&Delta;}{M}_r(\mathrm{\&theta;},q)& \mathrm{\&Delta;}{M}_{\mathrm{rf}}^T(\mathrm{\&theta;},q)\\ \mathrm{\&Delta;}{M}_{\mathrm{rf}}(\mathrm{\&theta;},q)& \mathrm{\&Delta;}{M}_f(\mathrm{\&theta;},q)\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_1(\mathrm{\&theta;},q)\\ {\mathrm{\&Delta;}}_2(\mathrm{\&theta;},q)\end{array}\right]=-\mathrm{\&Delta;M}\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&Delta;}{E}_1& 0\\ 0& \mathrm{\&Delta;}{E}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&Delta;}{K}_1& 0\\ 0& \mathrm{\&Delta;}{K}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\\ q\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{g}_1\\ \mathrm{\&Delta;}{g}_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

则两级系统动力学模型参数不确定性模型表示为:

$\tilde{M}\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{E}}_1& 0\\ 0& {\tilde{E}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{K}}_1& 0\\ 0& {\tilde{K}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\tilde{g}}_1\\ {\tilde{g}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B}\\ 0\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_1\\ {\mathrm{\&Delta;}}_2\end{array}\right]---\left(10\right)$

(2)系统模型分解原理

采用输出重定义方法，重新定义系统的输出为各臂转角和柔性模态的线性组合，如下：

z(t)=λ₀(θ-θ_r)+λ₁q    (11)

其中θ_r为参考输入；z(t)=[z₁(t) z₂(t)]^T∈R²；λ₀=diag(λ₀₁ λ₀₂)∈R^2×2， ${\mathrm{\&lambda;}}_1=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&lambda;}}_{12}\end{array}\right]$ 为参数矩阵，并且λ₀₁,λ₀₂,λ₁₁,λ₁₂≠0；

对于模型参数不确定的系统(10)，矩阵

的逆矩阵

定义如下：

$\tilde{N}(\mathrm{\&theta;},q)={\tilde{M}}^{-1}(\mathrm{\&theta;},q)=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{N}}_{11}& {\tilde{N}}_{12}\\ {\tilde{N}}_{21}& {\tilde{N}}_{22}\end{array}\right]---\left(12\right)$

式中 ${\tilde{N}}_{11},{\tilde{N}}_{12,}{\tilde{N}}_{21,}{\tilde{N}}_{22}\&Element;R^{2\&times;2};$

重写系统(10)的方程，得到

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]=N(\mathrm{\&theta;},q)(\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]u\left(t\right)-\left[\begin{array}{c}{g}_1+E_1\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}+K_1\mathrm{\&theta;}\\ g_2+E_2\stackrel{.}{q}+K_{2}q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_1\\ {\mathrm{\&Delta;}}_2\end{array}\right])---\left(13\right)$

得到系统的输入输出子系统为：

$\stackrel{..}{z}\left(t\right)={\mathrm{\&lambda;}}_0(\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}-{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r)+{\mathrm{\&lambda;}}_1\stackrel{..}{q}=\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;u}\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r$

(14)

$=(\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}+\mathrm{\&Delta;\&alpha;})+(\widetilde{\mathrm{\&beta;}}+\mathrm{\&Delta;\&beta;})u\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r$

其中

$\{\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}=-({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})({\tilde{g}}_1+{\tilde{E}}_1\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}+{\tilde{K}}_1\mathrm{\&theta;})-({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{22})({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{.}{q}+{\tilde{K}}_{2}q)\\ \widetilde{\mathrm{\&beta;}}=({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})\tilde{B}\end{array}---\left(15\right)$

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;\&alpha;}=({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21}){\mathrm{\&Delta;}}_1+({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{22}){\mathrm{\&Delta;}}_2\\ \mathrm{\&Delta;\&beta;}=({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})\mathrm{\&Delta;B}\end{array}---\left(16\right)$

假设||Δ₁||<ε₁，

||Δ₂||<ε₃，其中ε₁,ε₂,ε₃都是正数；

从式(13)直接可以得到柔性取数臂两级系统的内部子系统：

$\stackrel{..}{q}=-{\tilde{N}}_{21}({\tilde{g}}_1+{\tilde{E}}_1\stackrel{.}{\mathrm{\&theta;}}+{\tilde{K}}_1\mathrm{\&theta;})-{\tilde{N}}_{22}({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{.}{q}+{\tilde{K}}_{2}q)+{\tilde{N}}_{21}(\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B})u\left(t\right)+{\tilde{N}}_{21}{\mathrm{\&Delta;}}_1+{\tilde{N}}_{22}{\mathrm{\&Delta;}}_2---\left(17\right)$

两级系统被分解为输入输出子系统和内部子系统。

1）零动态系统原理

在设计控制器时，不仅要保证输入输出子系统在有限时间内收敛，还应该保证其内部子系统的状态有界。然而内部子系统的动力学行为相对比较复杂，其动态响应不仅与控制输入有关，同时还受到输入输出子系统的影响，不易直接进行分析。因此，需要将内部子系统转化为较简单的零动态子系统。

由零动态子系统的定义，可知当输出为零时的内部子系统即为零动态子系统，当输入输出子系统的输出z(t)=0时，此时z(t)的各阶导数也为零，即由可得到此时的控制输入u(t)为：

$\left(t\right)={\mathrm{\&beta;}}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\mathrm{\&alpha;})---\left(18\right)$

代入到式(17)，得到零动态子系统为：

$\stackrel{..}{q}=[-{\tilde{N}}_{22}+{\tilde{N}}_{21}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{22})]({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{.}{q}+{\tilde{K}}_{2}q-{\mathrm{\&Delta;}}_2)$

(19)

$+{\tilde{N}}_{21}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})}^{-1}\left({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r\right)$

定义一个状态变量 $x={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&theta;}}^T& q^T& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^T& {\stackrel{\&CenterDot;}{q}}^T\end{array}\right]}^T,$ 将零动态子系统(19)在平衡点x＝0处进行线性化。定义x＝0的邻域Ω，将矩阵

在x＝0处按Taylor级数展开为：

$\tilde{N}{(\mathrm{\&theta;},q)|}_{x\&Element;\mathrm{\&Omega;}}={\tilde{N}}_0+g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)---\left(20\right)$

${\tilde{g}}_2{(\mathrm{\&theta;},q)|}_{x\&Element;\mathrm{\&Omega;}}=g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)---\left(21\right)$

式(20)中，

表示常值矩阵，其表示形式如下：

${\tilde{N}}_0=\tilde{N}{(\mathrm{\&theta;},q)|}_{x=0}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{N}}_{110}& {\tilde{N}}_{120}\\ {\tilde{N}}_{210}& {\tilde{N}}_{220}\end{array}\right]---\left(22\right)$

g_hot(x)是状态x的高阶项，并且令||g_hot(x)||≤ε₄,ε₄>0；将式(20)，(21)代入到式(19)中，并表示成状态空间的形式为

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{q}\\ \stackrel{..}{q}\end{array}\right]=\tilde{A}({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)\left[\begin{array}{c}q\\ \stackrel{.}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&Delta;G}\end{array}\right]---\left(23\right)$

状态转移阵

表示如下：

$\tilde{A}({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=\left[\begin{array}{cc}0& I\\ {\tilde{F}}_1({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)& {\tilde{F}}_2({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)\end{array}\right]---\left(24\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{F}}_1({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]{\tilde{K}}_2\\ {\tilde{F}}_2({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]\tilde{E}\end{array}\right.---\left(25\right)$

扰动项ΔG可以表示为

$\mathrm{\&Delta;G}=g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)+[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]{\mathrm{\&Delta;}}_2$

(26)

$+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}\left({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r\right)$

则系统(23)即为零动态子系统在平衡点x＝0处的局部线性化系统，其扰动项ΔG的上界应满足如下所示的范数关系：

$\left|\right|\mathrm{\&Delta;G}\left|\right|\&le;{\mathrm{\&epsiv;}}_4+{\mathrm{\&epsiv;}}_3\left|\right|{[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})\left]\right||$

(27)

$+{\mathrm{\&epsiv;}}_5\left|\right|{{\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{210}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}\left|\right|=\mathrm{\&epsiv;},\mathrm{\&epsiv;}>0$

不同的λ₀和λ₁对应不同的特征值，从而决定零动态子系统的动态特性，由Lyapunov稳定性定理可知，当矩阵

的特征值全为负时，零动态子系统将在平衡点x=0处达到局部渐近稳定。

(3)输入输出子系统的非奇异终端滑模控制

1）滑模面及控制律的选取

对于输入输出子系统(14)，采用三阶非奇异终端滑模控制方法，滑模面设计为：

$\left\{\begin{array}{c}s\left(t\right)=z\left(t\right)+G_1\stackrel{.}{z}\left(t\right)\\ s_1\left(t\right)=s\left(t\right)+G_2{\stackrel{.}{s}}^{p/b}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(28\right)$

其中s∈R²，s₁∈R²,G₁=diag(c₁₁ c₁₂)，c₁₁>0,c₁₂>0，G₂=diag(c₂₁ c₂₂)且c₂₁>0,c₂₂>0，p和b均为奇数，满足p>b＞0,1<p/b<2，选取p=5，b=3；

控制律设计为：

$\left\{\begin{array}{c}u\left(t\right)=u_{\mathrm{eq}}\left(t\right)+u_n\left(t\right)\\ u_{\mathrm{eq}}\left(t\right)=-{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}\\ u_n\left(t\right)={\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}v\left(t\right)\end{array}\right.---\left(29\right)$

函数v(t)通过如下低通滤波后得到：

$v\left(t\right)+G_1\stackrel{.}{v}\left(t\right)=-[\frac{b}{p}{G}_2^{-1}{\stackrel{.}{s}}^{2-p/b}+({\mathrm{\&sigma;}}_1+G_1{\mathrm{\&sigma;}}_2+\mathrm{\&eta;})\mathrm{sgn}\left(s_1\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-{\mathrm{\&lambda;}}_0{G}_1{\stackrel{...}{\mathrm{\&theta;}}}_r]---\left(30\right)$

其中控制增益η>0

2）系统稳定性原理

选取Lyapunov函数

对V(t)时间求导，其中 ${\widetilde{\mathrm{\&beta;\&beta;}}}^{-1}=(\widetilde{\mathrm{\&beta;}}+\mathrm{\&Delta;\&beta;}){\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}=I+\mathrm{\&Delta;}{\widetilde{\mathrm{\&beta;\&beta;}}}^{-1}\&GreaterEqual;I$ 并将相应控制律代入，得到

$\stackrel{.}{V}\left(t\right)={s_1}^T{\stackrel{.}{s}}_1$

$={s_1}^T(\stackrel{.}{s}+\frac{p}{b}{G}_2{\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\stackrel{..}{s})$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\right)(\stackrel{..}{s}+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{.}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\right)((\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;u}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r)+C_1(\stackrel{.}{\mathrm{\&alpha;}}+\stackrel{.}{\mathrm{\&beta;}}u+\mathrm{\&beta;}\stackrel{.}{u}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{...}{\mathrm{\&theta;}}}_r)+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{.}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\right)(v+C_1\stackrel{.}{v}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{..}{\mathrm{\&theta;}}}_r-{\mathrm{\&lambda;}}_0{C}_1{\stackrel{...}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{.}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T(-\mathrm{\&eta;}\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{.}{s}}^{p/b-1}\right))\mathrm{sgn}\left(s_1\right)$

$\&le;-\frac{p}{b}\mathrm{\&eta;}(s_{11}^2{c}_{21}{\stackrel{.}{s}}_1^{p/q-1}+s_{12}^2{c}_{22}{\stackrel{.}{s}}_2^{p/q-1})$

$\&le;-\frac{p}{b}\mathrm{\&eta;}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_{2i}{\stackrel{.}{s}}_i^{p/q-1}{s}_{1i}^2$

因为p、b为奇数，对任意的

当且仅当

时，

系统并不会一直停留在点(

z_i＝0)上，所以

并且不会一直保持在

这种状态上，满足了滑模到达条件，如果||s₁||≠0，那么滑模面s₁总能在有限的时间内到达s₁=0，之后线性滑模变量s和

将进入

这种滑动状态，保证滑模运动状态

即表示

和

同时成立，因为z、

和

是线性滑模，所以渐进实现

三阶滑模运动状态，即说明输入输出子系统渐进地趋于稳定。

下面结合一个典型的、具有二级磁头定位系统的硬盘驱动器说明本发明的具体实施过程，该磁头定位系统如图2所示，结构参数如表1所示。

表1

模型参数	大臂	小臂
			臂长	L1=0.035m	L2=0.015m

密度	ρ1=6.4×10-3kg/m	ρ2=3×10-3kg/m
			抗扰刚度		EI=0.416×10-2Nm2
转动惯量	J1=32.9×10-6kg·m2	J2=3.29×10-8kg·m2
			力矩常数	Kτ1=79.6×10-2N·m/V	Kτ2=1.2267×10-3N·m/V
阻尼系数		c2=7.4443×10-5N·m·s
			弹性系数		k2=50N/m

本发明用到的控制模型见图3，对于不确定系统（10），用Δ₁＝[1*10^-6sin(t),1*10^-6sin(t)]^T，Δ₂＝[1*10^-6sin(t),1*10^-6sin(t)]^T来模拟参数的不确定项。式（11）中所示的系统输出重定义参数为λ₀=diag(0.0000088 0.00000203)， ${\mathrm{\&lambda;}}_1=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&lambda;}}_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0.000005825& 0.000005068\end{array}\right],$ 滑模控制器设计中式（28）和式（29）所涉及到的参数，分别为G₁=diag(0.00008 0.00008)，G₂=diag(0.08 0.08)，p=5，b=3，η=0.05。应用Matlab/Simulink软件进行仿真分析，验证本发明方法的有效性。

该方法的具体步骤如下：

(1)采用Lagrange方法和假设模态法得到不确定柔性系统的模型后，通过输出重定义将系统分解为输入输出子系统和内部子系统，同时将内部子系统变为零动态子系统，分析了重定义输出组合系数对零动态子系统稳定性的影响。

(2)给出控制器详细的设计步骤，包括滑模面的选取和控制律的设计，并通过Lyapunov稳定性定理验证所设计的控制器的有效性。最后利用Matlab/Simulink软件进行仿真分析，其Simulink仿真框图如图4所示。

(3)系统输出精度对比：得到图5a和图5b所示的输出曲线，图5a1是图5a的局部放大图；图5b1是图5b的局部放大图；通过局部放大图可以看出，针对同一个被控对象，采用本发明提出的控制方法比已有的控制方法得到的总体误差小很多，达到提高定位精度的效果。

(4)系统带宽：图6给出了不同方法的系统带宽，其中，图6a是幅频曲线图；图6b是相频曲线图；可以看出采用高阶非奇异终端滑模控制方法得到的带宽约为2510Hz，寻道时间约为0.266ms，而采用复合非线性控制方法得到的带宽约为2180Hz，寻道时间约为0.296ms。相比之下，本发明中的控制方法达到了增加带宽、降低寻道时间的效果，实现了快速定位。

(5)系统各阶柔性模态：由图7a和图7b所示的各阶柔性模态曲线，图7a是采用本发明方法仿真得到的系统各阶柔性模态图；图7a1是一阶模态曲线；图7a2是二阶模态曲线。图7b是采用已有方法（复合非线性控制方法）仿真得到的系统各阶柔性模态图，图7b1是一阶模态曲线；图7b2是二阶模态曲线。可以看出本发明的方法明显比复合非线性控制方法小很多，进一步表明，非奇异终端滑模控制方法在提高定位精度方面的有效性。

结果分析：本发明针对柔性取数臂两级系统模型提出了相对有效的控制方法，可以有效地提高伺服带宽和定位精度，这对实际的工程应用有着重要的指导价值。

Claims (5)

1.一种两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法，其特征是：它至少包括如下步骤：

(1)建立柔性取数臂两级系统动力学模型和参数不确定的两级系统动力学模型；

(2)根据(1)中得出的参数不确定的系统模型，采用输出重定义的方法，将柔性两级系统模型分解为输入输出子系统和内部子系统；

(3)将(2)中得到的内部子系统变为零动态子系统，通过设计合理的控制器参数，使模型参数不确定系统末端位移收敛到零附近的较小区域内；

(4)针对(2)中得到的输入输出子系统，设计三阶非奇异终端滑模控制器。

2.根据权利要求1所述的一种两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法，其特征是：所述的建立柔性取数臂两级系统动力学模型是对两级磁头定位系统，假设其大臂为刚性的，由音圈电机驱动，臂长为L₁,转动惯量为J₁；小臂假设为柔性的，由压电作动器驱动，臂长为L₂，转动惯量为J₂；同时设两臂质量为均匀分布的，其线密度分别为ρ₁,ρ₂，两臂间连接处的弹性系数为k₂、阻尼系数为c₂，柔性小臂的均匀柔性刚度为EI，其中E为弹性模量；I为材料横截面的惯性矩；

仅考虑柔性小臂的挠曲变形，ωx₂,t为小臂在时刻t和空间坐标x₂（0≤x₂≤L₂）点处的横向变形，通常近似为有限项模态函数和柔性模态乘积之和的形式，则有

$\mathrm{\&omega;}(x_2,t)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&phi;}}_i\left(x_2\right)q_i\left(t\right)---\left(1\right)$

其中q_i(t)(i=1,2,…,n)是相应的广义坐标；φ_i(x₂)为系统的假设模态；n为截断项数，各阶模态对系统振动的贡献度不同，一般前几阶比较大，越往后越小，可利用能量判据确定合适的模态截断项数，只取两阶模态，便可到达所需精度，即n＝2；

在以下的推导中，用上点表示对时间t的导数，即用撇表示对坐标x₂的导数，即

对于大臂和小臂，其上任意一点的坐标分别为：

$r_1=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ Y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_1\\ x_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1\end{array}\right]$ $\left(2\right)$

$r_2=\left[\begin{array}{c}{X}_2\\ Y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{L}_1\cos {\mathrm{\&theta;}}_1+x_2\cos ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)-\mathrm{\&omega;}\sin ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)\\ L_2\sin {\mathrm{\&theta;}}_1+x_2\sin ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)+\mathrm{\&omega;}\cos ({\mathrm{\&theta;}}_1+{\mathrm{\&theta;}}_2)\end{array}\right]$

系统总动能T：

$T=\frac{1}{2}{J}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1^2+\frac{1}{2}{J}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{0}{\overset{L_i}{\&Integral;}}{\mathrm{\&rho;}}_i{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_i^T{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_i{\mathrm{dx}}_i$ $\left(3\right)$

$=\frac{1}{2}{J}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1^2+\frac{1}{2}{J}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{0}{\overset{L_i}{\&Integral;}}{\mathrm{\&rho;}}_i({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_i^2+{\stackrel{\&CenterDot;}{Y}}_i^2){\mathrm{dx}}_i$

系统总势能V：

$V=\frac{1}{2}{k}_2{\mathrm{\&theta;}}_2^2+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{l_2}{\&Integral;}}\mathrm{EI}{\left(w^{\&Prime;}(x_2,t)\right)}^2{\mathrm{dx}}_2$ $\left(4\right)$

$=\frac{1}{2}{k}_2{\mathrm{\&theta;}}_2^2+\frac{{\mathrm{\&pi;}}^4\mathrm{EI}}{4L_2^3}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}^4{q}_i^2\left(t\right)$

根据D’Alembert-Lagrange原理，可以得到下列Lagrange方程：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_i}\right)-\frac{\&PartialD;T}{{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}}_i}+\frac{\&PartialD;V}{{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}}_i}={\mathrm{\&tau;}}_i,i=\mathrm{1,2},$ $\left(5\right)$

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_i}\right)-\frac{\&PartialD;T}{{\&PartialD;q}_i}+\frac{\&PartialD;V}{{\&PartialD;q}_i}={\mathrm{\&tau;}}_j,j=\mathrm{3,4}.$

其中μ₂为阻尼系数，K_τ1和K_τ2为力矩常数；

两级系统动力学模型表示为：

$M(\mathrm{\&theta;},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{E}_1& 0\\ 0& E_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{K}_1& 0\\ 0& K_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{g}_1\\ g_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]u---\left(6\right)$

其中θ=[θ₁(t)  θ₂(t)]^T为各臂转角；q=[q₁(t)  q₂(t)]^T为柔性模态；E₁和E₂为正定阻尼阵；K₁和K₂为正定刚度阵；g₁和g₂分别为受哥氏力和离心力影响的向量；u=[u₁(t)  u₂(t)]^T为控制输入；M(θ,q)为正定对称惯量阵；

所述的步骤1中参数不确定的两级系统动力学模型是考虑到柔性模型参数的不确定性，假设

和

分别为两级系统中相应的不确定参数的标称量，定义 $M=\tilde{M}+\mathrm{\&Delta;M},$ $E_1={\tilde{E}}_1+\mathrm{\&Delta;}{E}_1,$ $E_2={\tilde{E}}_2+\mathrm{\&Delta;}{E}_2,$ $K_1={\tilde{K}}_1+{\mathrm{\&Delta;K}}_1,$ $K_2={\tilde{K}}_2+{\mathrm{\&Delta;K}}_2,$ $g_1={\tilde{g}}_1+{\mathrm{\&Delta;g}}_1,$ $g_2={\tilde{g}}_2+{\mathrm{\&Delta;g}}_2,$ $B=\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B}$ 并代入(6)式中得到

$[\tilde{M}+\mathrm{\&Delta;M}]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\tilde{E}}_1+{\mathrm{\&Delta;E}}_1& 0\\ 0& {\tilde{E}}_2+{\mathrm{\&Delta;E}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{K}}_1+{\mathrm{\&Delta;K}}_1& 0\\ 0& {\tilde{K}}_2+{\mathrm{\&Delta;K}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\\ q\end{array}\right]$ $\left(7\right)$

$+\left[\begin{array}{c}{\tilde{g}}_1+{\mathrm{\&Delta;g}}_1\\ {\tilde{g}}_2+{\mathrm{\&Delta;g}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B}\\ 0\end{array}\right]u$

定义上式中的不确定项为：

$\mathrm{\&Delta;M}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Delta;M}}_r(\mathrm{\&theta;},q)& {\mathrm{\&Delta;M}}_{\mathrm{rf}}^T(\mathrm{\&theta;},q)\\ {\mathrm{\&Delta;M}}_{\mathrm{rf}}(\mathrm{\&theta;},q)& {\mathrm{\&Delta;M}}_f(\mathrm{\&theta;},q)\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_1(\mathrm{\&theta;},q)\\ {\mathrm{\&Delta;}}_2(\mathrm{\&theta;},q)\end{array}\right]=-\mathrm{\&Delta;M}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Delta;E}}_1& 0\\ 0& {\mathrm{\&Delta;E}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Delta;K}}_1& 0\\ 0& {\mathrm{\&Delta;K}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\\ q\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;g}}_1\\ {\mathrm{\&Delta;g}}_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

则两级系统动力学模型参数不确定性模型表示为:

$\tilde{M}\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{E}}_1& 0\\ 0& {\tilde{E}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{K}}_1& 0\\ 0& {\tilde{K}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\\ q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\tilde{g}}_1\\ {\tilde{g}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B}\\ 0\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_1\\ {\mathrm{\&Delta;}}_2\end{array}\right]---\left(10\right)$

3.根据权利要求1所述的一种两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法，其特征是：所述的两级系统被分解为输入输出子系统和内部子系统是通过如下步骤实现的：重新定义系统的输出为各臂转角和柔性模态的线性组合，如下：

z(t)=λ₀(θ-θ_r)+λ₁q   (11)

其中θ_r为参考输入；z(t)=[z₁(t)  z₂(t)]^T∈R²；λ₀=diag(λ₀₁  λ₀₂)∈R^2×2， ${\mathrm{\&lambda;}}_1=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&lambda;}}_{12}\end{array}\right]$ 为参数矩阵，并且λ₀₁,λ₀₂,λ₁₁,λ₁₂≠0；

对于模型参数不确定的系统(10)，矩阵的逆矩阵

定义如下：

$\tilde{N}(\mathrm{\&theta;},q)={\tilde{M}}^{-1}(\mathrm{\&theta;},q)=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{N}}_{11}& {\tilde{N}}_{12}\\ {\tilde{N}}_{21}& {\tilde{N}}_{22}\end{array}\right]---\left(12\right)$

式中 ${\tilde{N}}_{11},{\tilde{N}}_{12},{\tilde{N}}_{21},{\tilde{N}}_{22}\&Element;R^{2\&times;2};$

重写系统(10)的方程，得到

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]=N(\mathrm{\&theta;},q)\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]\end{array}u\left(t\right)-\left[\begin{array}{c}{g}_1+E_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+K_1\mathrm{\&theta;}\\ g_2+E_2\stackrel{\&CenterDot;}{q}+K_{2}q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;}}_1\\ {\mathrm{\&Delta;}}_2\end{array}\right]\right)---\left(13\right)$

得到系统的输入输出子系统为：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}\left(t\right)={\mathrm{\&lambda;}}_0(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r)+{\mathrm{\&lambda;}}_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}=\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;u}\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r$     

$=(\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}+\mathrm{\&Delta;\&alpha;})+(\widetilde{\mathrm{\&beta;}}+\mathrm{\&Delta;\&beta;})u\left(t\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r$

其中

$\left\{\begin{array}{c}\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}=-({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})({\tilde{g}}_1+{\tilde{E}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+{\tilde{K}}_1\mathrm{\&theta;})-({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{22})({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{q}+{\tilde{K}}_{2}q)\\ \widetilde{\mathrm{\&beta;}}=({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})\tilde{B}\end{array}\right.---\left(15\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;\&alpha;}=({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21}){\mathrm{\&Delta;}}_1+({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{22}){\mathrm{\&Delta;}}_2\\ \mathrm{\&Delta;\&beta;}=({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})\mathrm{\&Delta;B}\end{array}\right.---\left(16\right)$

假设||Δ₁||<ε₁，

||Δ₂||<ε₃，其中ε₁,ε₂,ε₃都是正数；

从式(13)直接可以得到柔性取数臂两级系统的内部子系统：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}=-{\tilde{N}}_{21}({\tilde{g}}_1+{\tilde{E}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+{\tilde{K}}_1\mathrm{\&theta;})-{\tilde{N}}_{22}({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{q}+{\tilde{K}}_{2}q)+{\tilde{N}}_{21}(\tilde{B}+\mathrm{\&Delta;B})u\left(t\right)+{\tilde{N}}_{21}{\mathrm{\&Delta;}}_1+{\tilde{N}}_{22}{\mathrm{\&Delta;}}_2---\left(17\right)$

4.根据权利要求1所述的一种两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法，其特征是：所述的步骤（3)将内部子系统变为零动态子系统，通过设计合理的控制器参数，使模型参数不确定系统末端位移收敛到零附近的较小区域内是通过如下步骤实现：由零动态子系统的定义，可知当输出为零时的内部子系统即为零动态子系统，当输入输出子系统的输出z(t)=0时，此时z(t)的各阶导数也为零，即由

可得到此时的控制输入u(t)为：

$u\left(t\right)={\mathrm{\&beta;}}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-\mathrm{\&alpha;})---\left(18\right)$

代入到式(17)，得到零动态子系统为：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}=[-{\tilde{N}}_{22}+{\tilde{N}}_{21}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{12}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{22})]({\tilde{g}}_2+{\tilde{E}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{q}+{\tilde{K}}_{2}q-{\mathrm{\&Delta;}}_2)$ $\left(19\right)$ $+{\tilde{N}}_{21}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{11}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{21})}^{-1}\left({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r\right)$

定义一个状态变量 $x={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&theta;}}^T& q^T& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^T& {\stackrel{\&CenterDot;}{q}}^T\end{array}\right]}^T,$ 将零动态子系统(19)在平衡点x＝0处进行线性化。定义x＝0的邻域Ω，将矩阵

在x＝0处按Taylor级数展开为：

$\tilde{N}(\mathrm{\&theta;},q){|}_{x\&Element;\mathrm{\&Omega;}}={\tilde{N}}_0+g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)---\left(20\right)$

${\tilde{g}}_2(\mathrm{\&theta;},q){|}_{x\&Element;\mathrm{\&Omega;}}=g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)---\left(21\right)$

式(20)中，表示常值矩阵，其表示形式如下：

${\tilde{N}}_0=\tilde{N}(\mathrm{\&theta;},q){|}_{x=0}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{N}}_{110}& {\tilde{N}}_{120}\\ {\tilde{N}}_{210}& {\tilde{N}}_{220}\end{array}\right]---\left(22\right)$

g_hot(x)是状态x的高阶项，并且令||g_hot(x)||≤ε₄,ε₄>0；将式(20)，(21)代入到式(19)中，并表示成状态空间的形式为

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{q}\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]=\tilde{A}({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)\left[\begin{array}{c}q\\ \stackrel{\&CenterDot;}{q}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{\&Delta;G}\end{array}\right]---\left(23\right)$

状态转移阵

表示如下：

$\tilde{A}({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=\left[\begin{array}{cc}0& I\\ {\tilde{F}}_1({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)& {\tilde{F}}_2({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)\end{array}\right]---\left(24\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{F}}_1({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]{\tilde{K}}_2\\ {\tilde{F}}_2({\mathrm{\&lambda;}}_0,{\mathrm{\&lambda;}}_1)=[{-\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{220}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]\tilde{E}\end{array}\right.---\left(25\right)$

扰动项ΔG可以表示为

$\mathrm{\&Delta;G}=g_{\mathrm{hot}}\left(x\right)+[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]{\mathrm{\&Delta;}}_2$ $\left(26\right)$ $+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}\left({\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r\right)$

则系统(23)即为零动态子系统在平衡点x＝0处的局部线性化系统，其扰动项ΔG的上界应满足如下所示的范数关系：

$\left|\right|\mathrm{\&Delta;G}\left|\right|\&le;{\mathrm{\&epsiv;}}_4+{\mathrm{\&epsiv;}}_3\left|\right|[-{\tilde{N}}_{220}+{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{120}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{220})]\left|\right|$ $\left(27\right)$ $+{\mathrm{\&epsiv;}}_5\left|\right|{\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{210}{({\mathrm{\&lambda;}}_0{\tilde{N}}_{110}+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\tilde{N}}_{210})}^{-1}\left|\right|=\mathrm{\&epsiv;},\mathrm{\&epsiv;}>0$

不同的λ₀和λ₁对应

不同的特征值，从而决定零动态子系统的动态特性，由Lyapunov稳定性定理可知，当矩阵

的特征值全为负时，零动态子系统将在平衡点x=0处达到局部渐近稳定。

5.根据权利要求1所述的一种两级磁头定位系统的高阶非奇异终端滑模控制方法，其特征是：所述的针对输入输出子系统，设计三阶非奇异终端滑模控制器包括：

1）滑模面及控制律的选取

对于输入输出子系统(14)，采用三阶非奇异终端滑模控制方法，滑模面设计为：

$\left\{\begin{array}{c}s\left(t\right)=z\left(t\right)+G_1\stackrel{\&CenterDot;}{z}\left(t\right)\\ s_1\left(t\right)=s\left(t\right)+G_2{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{p/b}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(28\right)$

其中s∈R²，s₁∈R²,G₁=diag(c₁₁  c₁₂)，c₁₁>0,c₁₂>0，G₂=diag(c₂₁  c₂₂)且c₂₁>0,c₂₂>0，p和b均为奇数，满足p>b＞0,1<p/b<2，选取p=5，b=3；

控制律设计为：

$\left\{\begin{array}{c}u\left(t\right)=u_{\mathrm{eq}}\left(t\right)+u_n\left(t\right)\\ u_{\mathrm{eq}}\left(t\right)=-{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&alpha;}}\\ u_n\left(t\right)={\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}v\left(t\right)\end{array}\right.---\left(29\right)$

函数v(t)通过如下低通滤波后得到：

$v\left(t\right)+G_1\stackrel{\&CenterDot;}{v}\left(t\right)=-[\frac{b}{p}{G}_2^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{2-p/b}+({\mathrm{\&sigma;}}_1+G_1{\mathrm{\&sigma;}}_2+\mathrm{\&eta;})\mathrm{sgn}\left(s_1\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-{\mathrm{\&lambda;}}_0{G}_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r]---\left(30\right)$

其中控制增益η>0

2）系统稳定性原理

选取Lyapunov函数

对V(t)时间求导，其中 $\mathrm{\&beta;}{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}=(\widetilde{\mathrm{\&beta;}}+\mathrm{\&Delta;\&beta;}){\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}=I+\mathrm{\&Delta;\&beta;}{\widetilde{\mathrm{\&beta;}}}^{-1}\&GreaterEqual;I$ 并将相应控制律代入，得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)={s_1}^T{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_1$

$={s_1}^T(\stackrel{\&CenterDot;}{s}+\frac{p}{b}{G}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{p/b-1}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{s})$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{p/b-1}\right)(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{s}+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{p/b-1}\right)((\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;u}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r)+C_1(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}u+\mathrm{\&beta;}\stackrel{\&CenterDot;}{u}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r)+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T\left[\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{p/b-1}\right)(v+C_1\stackrel{\&CenterDot;}{v}-{\mathrm{\&lambda;}}_0{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r-{\mathrm{\&lambda;}}_0{C}_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_r+\frac{b}{p}{G_2}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{2-p/b})\right]$

$={s_1}^T(-\mathrm{\&eta;}\frac{p}{b}{G}_2\mathrm{diag}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{s}}^{p/b-1}\right))\mathrm{sgn}\left(s_1\right)$

$\&le;-\frac{p}{b}\mathrm{\&eta;}(s_{11}^2{c}_{21}{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_1^{p/q-1}+s_{12}^2{c}_{22}{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_2^{p/q-1})$

$\&le;-\frac{p}{b}\mathrm{\&eta;}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_{2i}{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_i^{p/q-1}{s}_{1i}^2$

因为p、b为奇数，对任意的

当且仅当

时，系统并不会一直停留在点

上，所以

并且不会一直保持在

这种状态上，满足了滑模到达条件，如果||s₁|≠0，那么滑模面s₁总能在有限的时间内到达s₁=0，之后线性滑模变量s和

将进入

这种滑动状态，保证滑模运动状态

即表示

和

同时成立，因为z、

和

是线性滑模，所以渐进实现

三阶滑模运动状态，即说明输入输出子系统渐进地趋于稳定。

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