CN107065565A

CN107065565A - 一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法

Info

Publication number: CN107065565A
Application number: CN201710353699.3A
Authority: CN
Inventors: 胡敏; 杨茗棋; 宋俊玲; 莫微; 程子龙; 徐家辉; 郭光衍; 杨雅君
Original assignee: PLA Equipment College
Current assignee: PLA Equipment College
Priority date: 2017-05-18
Filing date: 2017-05-18
Publication date: 2017-08-18
Anticipated expiration: 2037-05-18
Also published as: CN107065565B

Abstract

本发明提供一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，充分考虑了集群航天器系统的复杂性和模型的不确定性，建立了电磁力/力矩的模型和相对运动动力学方程，由此设计的由最速跟踪微分器、非线性扩张观测器和非线性反馈控制律组成的自抗扰控制方法具有较好的工作性能，有效地解决了动力学模型的耦合问题，能够实现高精度的电磁拖拽控制，并验证了该方法的有效性和Lyapunov渐进稳定性；通过将该控制方法与有限时间控制方法进行控制性能比较，其快速性、抗抖振能力和抗扰性方面更优，且该控制方法设计方法简单、具有工程可实现性。

Description

一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法

技术领域

本发明属于集群航天器电磁拖拽和轨道相对控制技术领域，具体涉及一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法。

背景技术

传统分布式航天器相对运动控制主要依靠推力器，存在推进剂消耗限制任务寿命、近距离羽流可能污染光学载荷、控制不连续等问题，学者们探索出利用航天器之间产生的可控场力进行相对运动控制。电磁编队飞行是一个较新的概念，采用三个正交的高温超导线圈实现了卫星编队的相对控制；而集群航天器这一概念是所有分布式航天器概念中最新提出的，集群与编队最主要的区别在于编队为同构卫星的集合，而集群多指相互存在无线通信的异构卫星。基于电磁力的集群航天器可靠性更高、成本更低、灵活性更强。

基于电磁力的航天器控制研究目前主要集中在电磁编队控制和空间电磁对接问题，但研究针对基于电磁力的集群航天器的控制较少，针对集群航天器的电磁控制与电磁交会对接和电磁编队在模型建立、控制方法的选取、作用机理等方面区别不大，因此可以互相借鉴。麻省理工大学对电磁编队控制技术开展了深入研究，分别采用基于Lyapunov稳定性理论的自适应控制方法、综合人工势场与LQR方法、滑模变结构控制方法等设计了编队飞行控制律。《Finite-time control for electromagnetic satellite formations》针对基于电磁力的集群航天器设计了基于终端滑模的有限时间控制方法，其收敛速度比线性滑模控制、终端滑模控制收敛更快、控制效果更好。

自抗扰控制技术在很多领域都有非常广泛的应用，但在航空航天领域中，这种控制方法多被应用于姿态控制，较少有关于相对运动控制的研究。《航天器姿态机动及稳定的自抗扰控制》中根据航天器机动任务的需求安排了过渡过程，并将自抗扰控制器与PD控制进行比较，《航天器姿态的自抗扰控制与滑模控制的性能比较》中全面比较了针对航天器姿态的自抗扰控制与滑模控制的性能，对比分析得出自抗扰控制器具有更强的抗干扰能力和鲁棒性。

电磁控制对象有强非线性、强耦合性、远场模型不确定性等问题。由于系统线性化的前提条件是要求非线性动力学模型准确，但这一前提条件在控制工程实践中很难满足；目前采用的非线性控制方法虽然控制精度较高，但设计较复杂、计算量大。

发明内容

针对现有技术存在的缺陷，本发明提供一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，能够实现高精度的电磁拖拽控制，且快速性、抗抖振能力和抗扰性都明显优于有限时间控制。

本发明采用的技术方案如下：

本发明提供一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立电磁力远场模型；

具体的，根据毕奥-萨法尔定律，可以求出载流线圈在空间某点所产生的磁感应强度。根据安培定律，可以求得载流导线在磁场中受到的电磁力。当两个载流线圈相距较远时，可以看作两个磁偶极子，远场模型中两个磁偶极子的三维示意图如图2所示。

假设共有N个航天器，第j个航天器在第i个航天器的位置上产生的磁场强度可以表示为：

其中，

μ₀—真空磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m；

r_ij--第i个航天器和第j个航天器的相对位置矢量；

r_ij--r_ij的模；

μ_j--安装在第j个航天器上的三个正交线圈产生磁矩的和。

第j个航天器对第i个航天器的电磁力和力矩可以表示为：

将式(3)代入(4)可得电磁力和力矩具体表达式为：

其中，

μ_i—卫星i的磁偶极子的强度。

步骤2：建立航天器相对运动动力学模型；

具体的，基于Hill模型，采用航天器系统质心参考系(Center of mass，CoM) 作为参考坐标系，建立基于电磁力的集群航天器的相对运动模型，如图3所示。相对运动模型建立过程中考虑多种摄动力，包括地球J₂项非球形摄动、地球大气阻力摄动、地球潮汐摄动、太阳光压摄动等。由于星间电磁力不影响系统质心运动状态，航天器系统质心的运动轨迹可认为一直保持为圆轨道。

本步骤具体包括：

步骤2.1：航天器Sat2相对航天器Sat1的位置、速度及加速度矢量满足

其中，

ρ—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对位置矢量；

—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对速度矢量；

—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对加速度矢量；

v—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对速度矢量；

a—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对加速度矢量；

ρ_T—航天器Sat1相对系统质心参考系的相对位置矢量；

v_T—航天器Sat1相对系统质心参考系的相对速度矢量；

a_T—航天器Sat1相对系统质心参考系的相对加速度矢量；

ρ_C—航天器Sat2相对系统质心参考系的位置矢量；

v_C—航天器Sat2相对系统质心参考系的速度矢量；

a_C—航天器Sat2相对系统质心参考系的相对加速度矢量。

步骤2.2：航天器系统质心的轨迹为圆轨道，基于Hill模型分别建立航天器 Sat1和航天器Sat2相对系统质心参考系的动力学模型：

其中，

n--航天器系统质心绕地球转动的角速度；

m_T--航天器Sat1的质量；

m_C--航天器Sat2的质量；

f_Td--航天器Sat1的等效干扰加速度；

f_Cd--航天器Sat2的等效干扰加速度；

F_CoM--远场电磁力模型在系统质心参考系的投影分量向量；

坐标变换矩阵

步骤2.3：集群航天器系统相对运动动力学模型：

其中，

f_d--等效干扰加速度，f_d＝f_Cd-f_Td。

步骤3：自抗扰控制器设计；

具体的，为便于分析，假设以反作用飞轮完成卫星的姿态控制，在建模过程中暂不考虑电磁力矩对相对轨道运动的影响。通过相对构形和位置信息能够计算得出期望相对位置ρ_d，航天器的位置信息可测，进而能够获得实时的相对位置信息ρ，设计了集群航天器构形维持的自抗扰控制系统框图如图4所示。

自抗扰控制器的设计包括跟踪微分器、非线性扩张状态观测器和误差反馈的设计，根据分离性原理，这三个部分可以独立设计。由于控制系统中的变量均为包含三个轴信息的向量，应对每一个分量分别进行计算，以下给出每个轴的控制系统设计方法。

本步骤具体包括：

步骤3.1：设计跟踪微分器：

其中，

k--采样步数；

h--采样时间；

r₀--跟踪微分器中决定过渡过程快慢的参数；

fh--中间计算变量；

v₁--每个轴的期望相对位置的跟踪值；

v₂--v₁的微分；

ρ_d--每个轴的期望相对位置；

最速函数fhan(x₁,x₂,r₀,h)的表达式为

根据航天器的相对构形能够从理论上推导两航天器间相对位置，将三个轴的相对位置ρ_d作为期望量分别输入ADRC控制器，由跟踪微分器能够对每个轴的相对位置进行实时跟踪v₁并计算出实时的期望相对速度v₂。

步骤3.2：设计离散的三阶非线性扩张状态观测器：

其中，

b₀--补偿因子，b₀＞0；

e₁--相对位置的观测误差；

ρ--航天器相对运动动力学模型得到实时相对位置；

z₁,z₂,z₃--扩张观测器的输出；

z₁--实时相对位置的观测值；

z₂--实时相对速度的观测值；

z₃--实时观测估计系统的总扰动；

β₁,β₂,β₃--观测增益；

α₁,α₂--扩张观测器中的调节参数，0＜α＜1；

u--控制量；

其中线性段的区间长度0＜δ＜1。

根据，通过设计扩张状态观测器，得到三个观测量，其中，总扰动包括外界干扰d(t)和系统模型不确定性等的总和。

其中，

--航天器相对运动动力学模型得到实时相对速度。

步骤3.3：通过非线性ESO输出的估计量z₃，实现对外界干扰和系统模型不确定性进行实时补偿，设计非线性误差反馈控制律：

其中，

ξ₁,ξ₂--z₁,z₂的输出误差；

c--误差反馈因子，在误差反馈中起着阻尼的作用；

h₁--精度因子，决定跟踪目标值的跟踪精度；

r--非线性误差反馈控制律中决定过渡过程快慢的参数。

将相对位置、速度的期望值与观测值相减得到相对位置误差ξ₁和相对速度误差ξ₂，通过设计非线性反馈控制律，得到非线性反馈控制律u₀。最终的控制量u 包括两部分，一部分是基于系统状态误差设计的非线性反馈控制律，另一部分是未知系统模型和扰动的状态观测值。最终实现反馈误差达到零，即航天器间的相对位置、速度由初始相对位置、速度达到期望相对位置、速度。

步骤3.4：进行自抗扰控制器的参数整定；

具体的，参数取值为：

本发明根据该参数整定方法并进行适当调整最终选取设计的ADRC控制器参数。

步骤4：自抗扰控制器稳定性证明；

具体的，TD的稳定性已经被证明对于离散系统(11)，可以使v₁趋近期望位置ρ_d，其中fhan∈[-r₀ r₀]。本节证明了基于电磁力的集群航天器系统NLESO和 ADRC控制律的稳定性。

本步骤具体包括：

步骤4.1，NLESO的稳定性证明；

具体的，系统方程(11)可以简化为：

其中，

x₁--两航天器相对位置；

x₂--两航天器相对速度；

y--系统输出；

--两航天器相对位置的微分；

--两航天器相对速度的微分；

f(x₁,x₂)--x₁,x₂的函数。

取扩张状态量x₃＝f(x₁,x₂)，且令

其中，

--扩张状态量；

w(t)--总扰动。

则扩张状态方程为

三阶非线性扩张状态观测器的时域方程：

根据公式可以得出结论：fa(l)e与e同号，令fal₁＝fal(e₁,α,₁h)， fal₂＝fal(e₁,α₂,h)，F₁,F₂有界，且

将式(21)与式(20)做差，得

由式(22)可知，当总扰动w(t)＝0时，平衡点为零点。

当w(t)＝0时，式(22)可化为

令e＝[e₁ e₂ e₃]^T，则式(22)可化为

其中，转移矩阵

定理1：若满足β₀₁β₀₂F₁＞β₀₃F₂，则非线性扩张观测器Lyapunov渐进稳定。

证明：

步骤4.1.1：

由引理可知，只要构造出满足条件的矩阵D，即可证明NLESO系统(23)是 Lyapunov渐进稳定的。

其中，

步骤4.1.2：

为保证引理的使用条件DA(e)正定对称，则需满足条件：

条件1(对称性条件)：

D₂₁＝-d₁₁ (29)

D₃₁＝-d₁₂ (30)

d₁₃＝-d₂₂ (31)

条件2(正定性条件)：

D₁₁＞0 (32)

|DA(e)|＞0 (34)

步骤4.1.3：

由条件2(33)得到

B＞0 (38)

其中，B＝β₀₁β₀₂F₁-β₀₃F₂。

该式同时满足条件2中(34)，因此满足引理要求的条件为B＞0，即β₀₁β₀₂F₁＞β₀₃F₂。定理1得证。

步骤4.2，ADRC控制律的稳定性证明；

具体的，期望相对位置为v₁，且一阶导数和二阶导数存在，分别为v₂，(由 TD得到的)。

系统的状态误差反馈控制律：

定理2：非线性反馈控制律在条件下是Lyapunov渐进稳定的，其中

证明：

步骤4.2.1：

平衡点为零点，即ξ₁＝ξ₂＝0。

取b₀＝1，对式(39)求导，得

并将式(21)代入(40)，得

令ξ＝[ξ₁ξ₂]^T，为满足引理，将式(41)整理为：

其中，

只要找到如下形式矩阵

其中q₁₁,q₂₂均大于0，使得QP(ξ)正定对称，则可选作为系统的Lyapunov函数，且可以保证正定性，即可证明系统的状态误差反馈控制律(39) 的零解是渐进稳定的。

其中，

步骤4.2.2：

为保证引理的使用条件QP(ξ)正定对称，则需满足条件：

条件3(对称性条件)：

Q₁₂＝Q₂₁ (47)

条件4(正定性条件)：

Q₁₁＞0 (48)

|QP(ξ)|＞0 (49)

步骤4.2.3：

令取q₁₁＝1，q₂₂＝ε，代入条件3和4，可得到一个充分条件为

由(49)满足式(53)。综上所述，控制系统Lyapunov渐进稳定的充分条件是：取适当参数，使控制系统满足定理2得证。

本发明提供的用于一种集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法具有以下优点：

本发明提供的一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，充分考虑了集群航天器系统的复杂性和模型的不确定性，建立了远场电磁力/力矩的模型和相对运动动力学方程。随后通过设计跟踪微分器、非线性扩张状态观测器及非线性反馈控制律，实现了集群航天器期望相对运动位置、速度的实时估计和对实时相对运动位置、速度的观测，同时能够对模型不确定性和外部干扰进行估计和补偿。设计的自抗扰控制方法具有较好的工作性能，有效地解决了动力学模型的耦合问题，能够实现高精度的电磁拖拽控制，并验证了该方法的有效性和Lyapunov渐进稳定性；通过将该控制方法与有限时间控制方法进行控制性能比较，其快速性、抗抖振能力和抗扰性方面更优，且该控制方法设计方法简单、具有工程可实现性。

附图说明

图1为本发明提供的一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法的流程示意图；

图2为远场电磁模型；

图3为集群航天器系统质心参考系；

图4为集群航天器构形维持的自抗扰控制系统；

图5为稳定性分析仿真结果：a.稳定性情况；b.发散情况；

图6为ADRC控制器的仿真结果：a.相对运动的运动轨迹三维描述；b. ADRC控制律变化；c.控制电磁力变化；d.天器系统三个轴的相对位置误差(无外界干扰)；

图7为控制律变化：a.ADRC控制律；b.有限时间控制控制律

图8为航天器系统三个轴的相对位置误差(存在外界干扰)；

图9为实际干扰与估计干扰。

具体实施方式

为了使本发明所解决的技术问题、技术方案及有益效果更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

结合图1，本发明提供一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立电磁力远场模型；

磁偶极子的强度μ表示为：

其中，

n--线圈匝数；

I--线圈电流；

R_c--线圈半径。

磁偶极子的方向与线圈电流方向符合右手法则。

其中，

μ₀—真空磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m；

r_ij--第i个航天器和第j个航天器的相对位置矢量；

r_ij--r_ij的模；

μ_j--安装在第j个航天器上的三个正交线圈产生磁矩的和。

第j个航天器对第i个航天器的电磁力和力矩可以表示为：

将式(2)代入(3)可得电磁力和力矩具体表达式为：

其中，

μ_i—卫星i的磁偶极子的强度。

对基于电磁力的集群航天器的控制，实际上是通过控制线圈内的电流，进而控制航天器三个正交线圈产生的电磁力实现的。

步骤2：建立航天器相对运动动力学模型；

本步骤具体包括：

步骤2.1：令航天器Sat1和航天器Sat2相对于系统质心参考系的位置矢量为

则航天器Sat2相对航天器Sat1的位置、速度及加速度矢量满足

其中，

ρ—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对位置矢量；

—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对速度矢量；

—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对加速度矢量；

v—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对速度矢量；

a—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对加速度矢量；

v_T—航天器Sat1相对系统质心参考系的相对速度矢量；

a_T—航天器Sat1相对系统质心参考系的相对加速度矢量；

v_C—航天器Sat2相对系统质心参考系的速度矢量；

a_C—航天器Sat2相对系统质心参考系的相对加速度矢量。

步骤2.2：两航天器间相对距离为米量级，且航天器系统质心的轨迹为圆轨道，即参考航天器和环绕航天器相对于系统质心参考系的运动满足Hill模型假设。基于Hill模型分别建立航天器Sat1和航天器Sat2相对系统质心参考系的动力学模型：

其中，

n--航天器系统质心绕地球转动的角速度；

m_T--航天器Sat1的质量；

m_C--航天器Sat2的质量；

f_Td--航天器Sat1的等效干扰加速度；

f_Cd--航天器Sat2的等效干扰加速度；

F_CoM--远场电磁力模型在系统质心参考系的投影分量向量；

坐标变换矩阵

步骤2.3：将式(9)与式(8)做差，得到集群航天器系统相对运动动力学模型：

其中，

f_d--等效干扰加速度，f_d＝f_Cd-f_Td。

步骤3：自抗扰控制器设计；

具体的，为便于分析，假设以反作用飞轮完成卫星的姿态控制，在建模过程中暂不考虑电磁力矩对相对轨道运动的影响。由航天器系统相对运动动力学模型(8)可知，该控制对象为一个三阶系统。通过相对构形和位置信息能够计算得出期望相对位置ρ_d，航天器的位置信息可测，进而能够获得实时的相对位置信息ρ，设计了集群航天器构形维持的自抗扰控制系统框图如图4所示。

本步骤具体包括：

步骤3.1：首先设计跟踪微分器，对航天器系统期望相对位置进行跟踪并对其微分量，即期望相对速度进行计算。设计的跟踪微分器为：

其中，

k--采样步数；

h--采样时间；

r₀--跟踪微分器中决定过渡过程快慢的参数；

fh--中间计算变量；

v₁--每个轴的期望相对位置的跟踪值；

v₂--v₁的微分；

ρ_d--每个轴的期望相对位置；

最速函数fhan(x₁,x₂,r₀,h)的表达式为

步骤3.2：设计离散的三阶非线性扩张状态观测器：

其中，

b₀--补偿因子，b₀＞0；

e₁--相对位置的观测误差；

ρ--航天器相对运动动力学模型得到实时相对位置；

z₁,z₂,z₃--扩张观测器的输出；

z₁--实时相对位置的观测值；

z₂--实时相对速度的观测值；

z₃--实时观测估计系统的总扰动；

β₁,β₂,β₃--观测增益；

α₁,α₂--扩张观测器中的调节参数，0＜α＜1；

u--控制量；

其中线性段的区间长度0＜δ＜1。

其中，

---航天器相对运动动力学模型得到实时相对速度。

其中，

ξ₁,ξ₂--z₁,z₂的输出误差；

c--误差反馈因子，在误差反馈中起着阻尼的作用；

h₁--精度因子，决定跟踪目标值的跟踪精度；

r--非线性误差反馈控制律中决定过渡过程快慢的参数。

步骤3.4：进行自抗扰控制器的参数整定；

具体的，参数取值为：

步骤4：自抗扰控制器稳定性证明；

本步骤具体包括：

步骤4.1，NLESO的稳定性证明；

具体的，系统方程(10)可以简化为：

其中，

x₁--两航天器相对位置；

x₂--两航天器相对速度；

y--系统输出；

---两航天器相对位置的微分；

--两航天器相对速度的微分；

f(x₁,x₂)--x₁,x₂的函数。

取扩张状态量x₃＝f(x₁,x₂)，且令

其中，

--扩张状态量；

w(t)--总扰动。

则扩张状态方程为

三阶非线性扩张状态观测器NLESO的时域方程：

根据公式可以得出结论：fa(l)e与e同号，令fal₁＝fal(e₁,α₁,h)， fal₂＝fal(e₁,α₂,h)，F₁,F₂有界，且

将式(20)与式(19)做差，得

由式(21)可知，当总扰动w(t)＝0时，平衡点为零点。

当w(t)＝0时，式(21)可化为

令e＝[e₁ e₂ e₃]^T，则式(21)可化为

其中，转移矩阵

引理：如果存在如下形式矩阵

其中d₁₁,d₂₂,d₃₃均大于0，使得DA(e)正定对称，则可选作为系统的Lyapunov函数，且可以保证正定性，即可证明系统(23)的零解是渐进稳定的。

证明：

步骤4.1.1：

由引理可知，只要构造出满足条件的矩阵D，即可证明NLESO系统(22)是 Lyapunov渐进稳定的。

其中，

步骤4.1.2：

为保证引理的使用条件DA(e)正定对称，则需满足条件：

条件1(对称性条件)：

D₂₁＝-d₁₁ (28)

D₃₁＝-d₁₂ (29)

d₁₃＝-d₂₂ (30)

条件2(正定性条件)：

D₁₁＞0 (31)

|DA(e)|＞0 (33)

步骤4.1.3：

令d₁₁＝1，d₂₂＝d₃₃＝ε(ε为趋于零的正数，ε→0⁺)，则由条件1可得

d₁₃＝-ε (34)

d₁₂＝-εβ₀₁+d₂₃β₀₂F₁-εβ₀₃F₂ (35)

其中，B＝β₀₁β₀₂F₁-β₀₃F₂。

将(34)至(36)代入条件2中(31)(32)，得到

B＞0 (37)

该式同时满足条件2中(33)，因此满足引理要求的条件为B＞0，即β₀₁β₀₂F₁＞β₀₃F₂。定理1得证。

步骤4.2，ADRC控制律的稳定性证明；

系统的状态误差反馈控制律：

定理2：对于系统(17)，非线性反馈控制律(38)在条件下是Lyapunov渐进稳定的，其中

证明：

步骤4.2.1：

平衡点为零点，即ξ₁＝ξ₂＝0。

取b₀＝1，对式(38)求导，得

并将式(20)代入(39)，得

令ξ＝[ξ₁ ξ₂]^T，为满足引理，将式(40)整理为：

其中，

根据引理，只要找到如下形式矩阵

其中q₁₁,q₂₂均大于0，使得QP(ξ)正定对称，则可选作为系统的Lyapunov函数，且可以保证正定性，即可证明系统的状态误差反馈控制律(38) 的零解是渐进稳定的。

其中，

步骤4.2.2：

为保证引理的使用条件QP(ξ)正定对称，则需满足条件：

条件3(对称性条件)：

Q₁₂＝Q₂₁ (46)

条件4(正定性条件)：

Q₁₁＞0 (47)

|QP(ξ)|＞0 (48)

由式(46)可得

步骤4.2.3：

令取q₁₁＝1，q₂₂＝ε，代入条件3和4，可得到

上式的一个充分条件为

由条件4中式(48)，可得

由于β₀₂F₁≥0,代入式(53)可知

所以满足式(52)。

综上所述，控制系统Lyapunov渐进稳定的充分条件是：取适当参数，使控制系统满足式(54)。定理2得证。

步骤5：实施例；

具体的，验证设计的自抗扰控制器的有效性，并将ADRC与有限时间控制的控制效果进行比较和抗扰性实验。当两航天器的相对位置误差大于2.5m时开始进行控制，由仿真结果可知，控制器从第9390s开始起作用。总仿真时间为4h，采样周期h＝1s，航天器的磁极每50s翻转一次，以减少角动量累积。每个携带电磁线圈的航天器的质量均为36kg。假设参考航天器的磁矩方向正对环绕航天器，其三轴磁矩固定为1.0×10⁴Am²。

参考航天器的初始轨道参数，集群航天器间的相对构形参数和Hill系中的初始相对构形参数如表1至表3所示。

表1参考航天器的初始轨道参数

表2集群航天器间的相对构形参数

表3 Hill系中的初始相对构形参数

本步骤具体包括：

步骤5.1，进行稳定性仿真分析；

具体的，ADRC控制器的稳定性在步骤4.2已经进行了理论上的证明，本节进行仿真验证该控制器的渐进稳定性。给定两组仿真数据如下表所示

表4 ADRC稳定性分析数据

由图5(a)可以看出，稳定性情况下控制器满足而不满足定理2的情况发散，如图5(b)所示。

步骤5.2，将ADRC与有限时间控制性能进行性能比较；

具体的，跟踪微分器从开始控制时进行信号跟踪，三轴设置相同参数，ADRC 控制器的设计参数为：

表5 ADRC控制器的设计参数

有限时间控制律为：

其中，

u_s—终端滑模控制相对加速度；

β—控制系数β＞0；

γ—控制系数0＜γ＜1；

k—控制系数k＞0；

sat(S/φ)—饱和函数，

fsat(S/φ)--饱和函数的函数；

φ₀—一个严格正常数，表示所设计的边界层的厚度；

S—滑模面，滑模面可描述为

|S|—滑模面的模；

有限时间控制的参数为：

表6有限时间控制的参数

ADRC控制器的仿真结果如下图所示：

无外界干扰时，两种控制器各轴到达稳态的调整时间：

表7无外界干扰时控制器各轴的调整时间(s)

由图6和表7可知，无外界干扰时，ADRC虽然超调比有限时间控制大，但是控制精度能够满足针对基于电磁力的集群航天器的轨道控制要求；其调整时间远小于有限时间控制。

ADRC与有限时间控制两种控制器的控制律变化如下图所示：

由图7所示，与有限时间控制相比，ADRC的控制律变化曲线较平滑，而有限时间控制的抖振现象较严重，容易激发系统的高频未建模动态。同时由于有限时间控制律设计时引入了相对位置及其误差的微分信号，但在工程实践中，没有合适的微分器能够直接量测实际行为变化速度；而ADRC控制器中利用跟踪微分器提取微分信号，便于工程实现。

步骤5.3，进行抗扰性实验；

具体的，对ADRC控制器和有限时间控制器进行抗扰性实验，仿真中从控制器起控时开始，取外界干扰量为d＝0.001sin(0.05t)m/s²。

存在外界干扰时，两种控制器各轴到达稳态的调整时间：

表8存在外界干扰时控制器各轴的调整时间(s)

将图6，图8和表7，表8对比分析，增加外界干扰后，两控制器的调整时间和稳态误差均有增多。ADRC控制系统受到外界干扰后仍能够较快实现构形维持，而有限时间控制器相比受到相同外界干扰的影响较大，调整时间增长较多。

存在外界干扰时，外界干扰及对包括外界干扰的总干扰的估计如图9所示。由图9所示，ADRC控制器中的NLESO能够很好地估计外界干扰，x、y、z轴分别经过43、55、54s便可对总干扰进行有效估计。

上述抗扰性实验结果证明，自抗扰控制与有限时间控制相比不仅具有较强的抗扰性，而且能够对总扰动进行实时估计并进行补偿。

本发明提供的一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，充分考虑了集群航天器系统的复杂性和模型的不确定性，建立了电磁力/力矩的模型和相对运动动力学方程，由此设计的由最速跟踪微分器、非线性扩张观测器和非线性反馈控制律组成的自抗扰控制方法具有较好的工作性能。按照本发明提出的用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，能够有效地解决了动力学模型的耦合问题，实现高精度的电磁拖拽控制。具体具有以下优点：

(1)综合考虑集群航天器电磁拖拽系统的复杂性和模型的不确定性，建立了电磁力/力矩的模型和相对运动动力学模型。基于毕奥-萨法尔定律和安培定律，根据不同电磁力模型的应用前提条件，选取远场模型。同时建立集群航天器系统质心参考系，以该坐标系为参考系建立相对运动动力学模型。

(2)提出了一种自抗扰控制方法来实现集群航天器电磁拖拽。设计的自抗扰控制器包括最速跟踪微分器、非线性扩张观测器和非线性反馈控制律三部分的设计，具有较好的工作性能，有效地解决了动力学模型的耦合问题，能够实现高精度的电磁拖拽控制，并验证了该方法的有效性和Lyapunov渐进稳定性。

(3)将用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法与有限时间控制方法进行控制性能比较，该控制方法不仅能够实现对期望相对运动位置、速度的实时估计，同时还能够对模型不确定性和外部干扰等总扰动进行估计并补偿，其快速性、抗抖振能力和抗扰性都明显优于有限时间控制，且该控制方法设计方法简单、具有工程可实现性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视本发明的保护范围。

Claims

1.一种用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立电磁力远场模型；

根据毕奥-萨法尔定律，可以求出载流线圈在空间某点所产生的磁感应强度；根据安培定律，可以求得载流导线在磁场中受到的电磁力；当两个载流线圈相距较远时，可以看作两个磁偶极子；

步骤2：建立航天器相对运动动力学模型；

基于Hill模型，采用航天器系统质心参考系作为参考坐标系，建立基于电磁力的集群航天器的相对运动模型；由于星间电磁力不影响系统质心运动状态，航天器系统质心的运动轨迹可认为一直保持为圆轨道；

步骤3：自抗扰控制器设计；

为便于分析，假设以反作用飞轮完成卫星的姿态控制，在建模过程中暂不考虑电磁力矩对相对轨道运动的影响；自抗扰控制器的设计包括跟踪微分器、非线性扩张状态观测器和误差反馈的设计，根据分离性原理，这三个部分可以独立设计；由于控制系统中的变量均为包含三个轴信息的向量，应对每一个分量分别进行计算，以下给出每个轴的控制系统设计方法；

步骤4：自抗扰控制器稳定性证明；

证明了基于电磁力的集群航天器系统非线性扩张观测器和自抗扰控制律的稳定性。

2.根据权利要求1所述的用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，其特征在于，步骤1中，第j个航天器对第i个航天器的电磁力和力矩可以表示为：

<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msub> <mi>&mu;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>&pi;</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>7</mn> </msubsup> </mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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其中，

μ₀—真空磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m；

r_ij--第i个航天器和第j个航天器的相对位置矢量；

r_ij--r_ij的模；

μ_j--安装在第j个航天器上的三个正交线圈产生磁矩的和；

μ_i—卫星i的磁偶极子的强度。

3.根据权利要求2所述的用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，其特征在于，步骤2中，基于Hill模型，采用航天器系统质心参考系(Center of mass，CoM)作为参考坐标系，建立基于电磁力的集群航天器的相对运动模型，相对运动模型建立过程中考虑多种摄动力，包括地球J₂项非球形摄动、地球大气阻力摄动、地球潮汐摄动、太阳光压摄动等，本步骤具体包括：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&rho;</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>T</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&rho;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>C</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&rho;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>T</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&rho;</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>C</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&rho;</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，

ρ—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对位置矢量；

—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对速度矢量；

—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对加速度矢量；

v—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对速度矢量；

a—航天器Sat2相对航天器Sat1的相对加速度矢量；

ρ_T—航天器Sat1相对系统质心参考系的相对位置矢量；

v_T—航天器Sat1相对系统质心参考系的相对速度矢量；

a_T—航天器Sat1相对系统质心参考系的相对加速度矢量；

ρ_C—航天器Sat2相对系统质心参考系的位置矢量；

v_C—航天器Sat2相对系统质心参考系的速度矢量；

a_C—航天器Sat2相对系统质心参考系的相对加速度矢量；

步骤2.2：航天器系统质心的轨迹为圆轨道，基于Hill模型分别建立航天器Sat1和航天器Sat2相对系统质心参考系的动力学模型：

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其中，

n--航天器系统质心绕地球转动的角速度；

m_T--航天器Sat1的质量；

m_C--航天器Sat2的质量；

f_Td--航天器Sat1的等效干扰加速度；

f_Cd--航天器Sat2的等效干扰加速度；

F_CoM--远场电磁力模型在系统质心参考系的投影分量向量；

坐标变换矩阵

步骤2.3：集群航天器系统相对运动动力学模型：

<mrow> <mover> <mi>&rho;</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&rho;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&rho;</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>T</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>o</mi> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，

f_d--等效干扰加速度，f_d＝f_Cd-f_Td。

4.根据权利要求3所述的用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，其特征在于，步骤3中，通过相对构形和位置信息能够计算得出期望相对位置ρ_d，航天器的位置信息可测，进而能够获得实时的相对位置信息ρ，设计了集群航天器构形维持的自抗扰控制系统，本步骤具体包括：

步骤3.1：设计跟踪微分器：

其中，

k--采样步数；

h--采样时间；

r₀--跟踪微分器中决定过渡过程快慢的参数；

fh--中间计算变量；

v₁--每个轴的期望相对位置的跟踪值；

v₂--v₁的微分；

ρ_d--每个轴的期望相对位置；

最速函数fhan(x₁,x₂,r₀,h)的表达式为

步骤3.2：设计离散的三阶非线性扩张状态观测器：

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其中，

b₀--补偿因子，b₀＞0；

e₁--相对位置的观测误差；

ρ--航天器相对运动动力学模型得到实时相对位置；

z₁,z₂,z₃--扩张观测器的输出；

z₁--实时相对位置的观测值；

z₂--实时相对速度的观测值；

z₃--实时观测估计系统的总扰动；

β₁,β₂,β₃--观测增益；

α₁,α₂--扩张观测器中的调节参数，0＜α＜1；

u--控制量；

其中线性段的区间长度0＜δ＜1；

其中，

ξ₁,ξ₂--z₁,z₂的输出误差；

c--误差反馈因子，在误差反馈中起着阻尼的作用；

h₁--精度因子，决定跟踪目标值的跟踪精度；

r--非线性误差反馈控制律中决定过渡过程快慢的参数；

步骤3.4：进行自抗扰控制器的参数整定，参数取值为：

5.根据权利要求4所述的用于集群航天器电磁拖拽的自抗扰控制方法，其特征在于，步骤4中，证明了基于电磁力的集群航天器系统扩张观测器和自抗扰控制律的稳定性，本步骤具体包括：

步骤4.1，非线性扩张观测器的稳定性证明；

当总扰动w(t)＝0时，平衡点为零点；当w(t)＝0时，有

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令e＝[e₁ e₂ e₃]^T，则上式可化为

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定理1：若满足β₀₁β₀₂F₁＞β₀₃F₂，则非线性扩张观测器Lyapunov渐进稳定；

证明：

步骤4.1.1：

由引理可知，只要构造出满足条件的矩阵D，即可证明NLESO系统(23)是Lyapunov渐进稳定的；

步骤4.1.2：

为保证引理的使用条件DA(e)正定对称，则需满足条件：

条件1(对称性条件)：

D₂₁＝-d₁₁ (29)

D₃₁＝-d₁₂ (30)

d₁₃＝-d₂₂ (31)

条件2(正定性条件)：

D₁₁＞0 (32)

|DA(e)|＞0 (34)

步骤4.1.3：

由条件2中式(33)得到

B＞0 (38)

其中，B＝β₀₁β₀₂F₁-β₀₃F₂；该式同时满足条件2中(34)，因此满足引理要求的条件为B＞0，即β₀₁β₀₂F₁＞β₀₃F₂；定理1得证；

步骤4.2，ADRC控制律的稳定性证明；

系统的状态误差反馈控制律：

证明：

步骤4.2.1：

平衡点为零点，即ξ₁＝ξ₂＝0；

取b₀＝1，则

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令ξ＝[ξ₁ξ₂]^T，将式(41)整理为：

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只要找到如下形式矩阵

其中q₁₁,q₂₂均大于0，使得QP(ξ)正定对称，则可选作为系统的Lyapunov函数，且可以保证正定性，即可证明系统的状态误差反馈控制律(39)的零解是渐进稳定的；

步骤4.2.2：

为保证引理的使用条件QP(ξ)正定对称，则需满足条件：

条件3(对称性条件)：

Q₁₂＝Q₂₁ (47)

条件4(正定性条件)：

Q₁₁＞0 (48)

|QP(ξ)|＞0 (49)

步骤4.2.3：

综上所述，控制系统Lyapunov渐进稳定的充分条件是：取适当参数，使控制系统满足定理2得证。