CN104216417B - 一种基于四矢量螺旋桨的平流层飞艇的动态控制分配方法 - Google Patents

Abstract

一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，步骤如下：(一)确定飞艇状态空间方程；(二)给定期望俯仰角θ_c、期望滚转角φ_c；给定期望速度。(三)计算当前状态与期望状态误差公式；(四)利用反馈线性化求得状态反馈控制律；(五)计算伪指令；(六)计算期望控制指令u；(七)伪逆分配；设定初始控制效率矩阵；(八)设定执行机构的位置约束和速度约束；计算R₁,R₂；(九)确定权重矩阵W₁,W₂,W₃；计算控制指令u′(1),u′(2)；(十)利用动态控制分配后的u′(t)、u′(t‑T)、u′(t‑2T)与带干扰的控制输入u(t)误差的2‑范数作为目标函数，求解得到控制指令u′(t)；(十一)观测器得到控制效率矩阵。该方法减小了关键操纵面的关键性，在故障发生时可将控制指令重新分配，提高了系统的安全可靠性。

Description

一种基于四矢量螺旋桨的平流层飞艇的动态控制分配方法

技术领域

本发明提供了一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，主要针对过驱动平流层飞艇的动态控制问题提供了一种在线考虑执行机构物理约束等实际情况并且具有容错结构的控制方法，属于自动控制技术领域。

背景技术

四矢量螺旋桨平流层飞艇是为提高飞艇飞行安全性，操纵性和可靠性的过驱动模型。对于过驱动平流层飞艇的控制分配问题，目前的控制方法均基于广义逆法、链式递增法、直接分配法和数学规划法，可有效保证各分配指令到达各个执行机构，但是上述方法均未考虑执行器的动态特性，当模型不确定时，就不能保证有效地分配控制指令。实际上执行机构作为影响飞行控制系统可靠性和安全性的关键部件之一，大量参数存在非线性和不确定性，常规方法难以建立其精确的数学模型。当执行器出现舵面漂浮卡死等意外故障时，模型的动态不确定性将更为突出。

为解决这些问题，本发明“一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法”，针对四矢量螺旋桨平流层飞艇，提出了一种包含执行机构动态特性的控制分配方法。该方法在控制操纵面的位置偏转和飞行速率存在约束的情况下，可将系统的控制输入以最优的任务目标分配到对应的执行机构，实现冗余控制最优分配。同时，在飞行系统出现故障的情况下，可以利用控制指令的重分配来调整系统性能，重构控制系统，以确保平流层飞艇飞行的安全可靠性。

发明内容

(1)目的：本发明的目的在于提供一种四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，控制工程师可以按照该方法并结合实际参数实现控制指令最优分配。

(2)技术方案：

本发明“一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法”，其主要内容及程序是：先确定四矢量螺旋桨平流层飞艇的动力学模型，根据输入输出反馈线性化确定上层控制器，生成控制系统中的伪控制指令。伪指令生成后，利用伪逆法及基于二次规划的动态控制分配方法将期望指令分配到冗余的、考虑物理约束的各个操纵面。动态控制分配环节完成一个控制扩展和稳定的功能，从而使每一可利用的执行器输出期望指令并且满足系统物理约束及能量输出最小等要求。实际情况中，当执行器出现损伤等意外情况时，不用重新设计上层控制器，可利用本发明中的方法更改控制效率矩阵D，重新分配控制指令即可保证执行器正常响应控制指令，完成控制目标。

本发明“一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法”，采用分层设计原理，分为上层控制器模块和控制分配器模块。具体如下：

1.上层控制器设计

上层控制器采用输入输出反馈线性化的方法进行设计，其具体步骤如下：

步骤一确定四矢量螺旋桨飞艇运动学方程和动力学方程；

步骤二给定期望跟踪值：给定期望俯仰角θ_c、期望滚转角给定期望速度。

步骤三计算当前状态与期望状态误差；计算误差公式；

步骤四利用反馈线性化求得状态反馈控制律；

步骤五求得底层控制分配器所需的伪指令。

其中，在步骤一所述的飞艇运动学方程和动力学方程按照如下方法推导得到：

1)四矢量螺旋桨飞艇非线性六自由度运动学方程

四矢量螺旋桨飞艇与常规飞艇相比仅动力装置部分不同，因此飞艇运动学方程与常规飞艇运动学方程一致，则飞艇位置运动学方程与姿态运动学方程表示如下：

其中X₂＝[u v wp q r]^T均为状态方程的状态向量。其中[x_g,y_g,h]为飞艇质心在地面坐标系下的位置坐标，分别为滚转角，俯仰角和偏航角；[u,v,w]为艇体坐标系下原点的速度矢量在艇体坐标系下的投影，[p,q,r]为艇体坐标系下飞艇角速度矢量在艇体坐标系下的投影。f₁(X₁)是非线性动态函数。

2)四矢量螺旋桨飞艇非线性六自由度动力学方程

四矢量螺旋桨飞艇在飞行过程中受到的广义力可表示如下:

Γ＝Γ_a+Γ_G+Γ_add+Γ_T(*)

其中Γ为飞艇飞行过程中合力和合力矩。Γ_a为飞艇飞行过程中受到的气动力和气动力矩；Γ_G为飞艇飞行过程中受到的重力和重力矩；Γ_add为飞艇飞行过程中受到的附加力和附加力矩。Γ_T为飞艇飞行过程中受到的螺旋桨动力及螺旋桨动力矩。Γ_a,Γ_G,Γ_add可依据常规飞艇模型计算。螺旋桨动力及螺旋桨动力矩Γ_T计算如下：

记F_Ti(i＝1,2,3,4)螺旋桨推力，δ_Ti(i＝1,2,3,4)为螺旋桨矢量角，且

四个螺旋桨位置分别为(x_T,-y_T,-z_T)，(x_T,y_T,-z_T)，(x_T,-y_T,z_T)，(x_T,y_T,z_T)，由力矩计算公式求分别计算求得四个螺旋桨在艇体坐标下下力矩表达式，如下：

四个螺旋桨采用正反桨安装形式，K为螺旋桨反扭矩系数。则螺旋桨由于转动受到空气阻力而产生的反扭矩计算如下：

则螺旋桨沿艇体坐标系各动力矩表示如下：

综合以上推导，则可得到四矢量螺旋桨推力及螺旋桨动力矩方程，如下：

将上式带入(*)式即可求得四矢量螺旋桨动力学方程，如下：

其中，f₂(X₁,X₂)是关于变量X₁,X₂的非线性动态函数，g₂是非线性控制分配函数。

其中，在步骤二中所述的给定期望俯仰角θ_c、期望滚转角均为零，期望偏航角ψ_c＝K，K＞0为常数；所述的给定期望速度为υ_c＝[u_c,v_c,w_c]^T＝[C,0,0]^T，C＞0为常数，u_c,v_c,w_c为期望速度沿艇体坐标系的分解量。

其中，在步骤三中所述的误差公式按如下计算方法得到。

1)已知飞艇状态空间方程如下：

其中，为方便计算，将等价表示为选取姿态角和速度矢量分解量[u,v,w]作为输出量，表示为h(X)＝[x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉]^T，记y₁＝[x₄,x₅,x₆]^T，y₂＝[x₇,x₈,x₉]^T。

2)计算飞艇姿态误差公式

根据所设定的期望值可得到当前姿态角与期望姿态误差为e₁₂＝θ-0；e₁₃＝ψ-K；

e₁＝[e₁₁,e₁₂,e₁₃]^T＝[x₄,x₅,x₆-k]^T

3)计算飞艇速度误差公式

根据所设定的期望值可得到当前速度与期望速度误差为e₂₁＝u-C；e₂₂＝v-0；e₂₃＝w-0；

e₂＝[e₂₁,e₂₂,e₂₃]^T＝[x₇-C,x₈,x₉]^T

其中，步骤四中所述的系统控制律具体计算方法如下：

1)先对误差量微分可得:

上式中第一式中控制矩阵系数Lie导数为0，继续对求其二阶微分，得到下式：

{[f₂(X₁,X₂)+g₂u]_6×6}_i表示取六阶方阵[f₂(X₁,X₂)+g₂u]_6×6中第i行。 分别对应[f₂(X₁,X₂)+g₂u]_6×6第4,5,6行。

第二式中且g₂不为0。得到系统的相对阶(r＝2)＜n。

2)求解控制律表达式

令Θ_i＝[f₂(X₁,X₂)]_i，则根据选取控制律：

合理设计k₁,k₂,k₃,k₄,k₅,k₆，使输出能良好地跟踪期望值。

其中，在步骤五所述的伪指令为控制器计算得出的控制律，即

控制工程师在应用过程中可以根据实际飞艇给定运动学模型和动力学模型，并将由上述方法得到有效的上层控制器，输出所需要的伪控制指令。

2.控制分配器设计

控制分配器采用动态控制分配算法设计，其具体步骤如下；

步骤六计算期望控制指令u；

步骤七伪逆分配；设定初始控制效率矩阵；

步骤八考虑工程实际，设定执行机构的位置约束和速度约束限制；判断是否满足约束，计算R₁,R₂；

步骤九确定正定权重矩阵W₁,W₂,W₃；计算初始两步控制指令v(1),v(2)；

步骤十利用动态控制分配后的力矩u′(t)、前一步u′(t-T)、前两步u′(t-2T)与带干扰的控制输入u(t)误差的2-范数作为控制分配的目标函数，对优化问题求解得到控制指令u′(t)。

步骤十一观测器得到控制效率矩阵

其中，在步骤六所述的期望控制指令u＝[u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,u₈,u₉,u₁₀]^T，根据模型动力学方程，控制各项为u_i＝F_ticosδ_ti,u_i＝F_tisinδ_ti(i∈[1,4]),u₉＝δ_ELV,u₁₀＝δ_RUD；所述的期望控制指令u为上层控制分配器输出的伪指令即令

其中，在步骤七所述的设定初始控制效率矩阵D，飞艇操纵面处于正常工作状态，无舵面漂浮卡死等意外状况发生，各项权重系数设为1，D＝diag(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)。所述的伪逆分配法计算，先利用伪指令与实际控制指令的映射关系Dv(t)＝u(t)，计算实际控制指令，其中

其中，在步骤八所述的设定执行机构的位置约束和速度约束限制，表示如下：

式中，δ_min,δ_max为执行机构位置上下限，为执行机构速率上限。T为采样时间。

1)执行机构位置上下限具体计算方法如下：

2)执行机构速率上下限具体计算方法如下：

3)所述的R₁,R₂计算方法如下：

其中，在步骤九所述的正定权重矩阵W_i＝diag(w_i1,w_i2,w_i3,w_i4,w_i5,w_i6,w_i7,w_i8,w_i9,w_i10)，(i＝1,2,3)。W₁,W₂,W₃各项系数需根据模型合理选取。R₁,R₂根据步骤三所述方法解算。所述的v₁,v₂计算方法如下：

式中u(1),u(2)为带干扰控制输入指令。

其中，在步骤十所述的控制指令u′(t)计算方法如下：

1)定义控制分配优化的目标函数。利用动态控制分配后的力矩u′(t)、前一步u′(t-T)、前两步u′(t-2T)与带干扰的控制输入u(t)误差的2-范数作为控制分配的目标函数，如下：

2)利用拉格朗日乘子法求得最优解，对目标函数进行求解可以得到：

u′(t)＝(R₁W₁+R₂W₂+W₃)^-1(R₁W₁u(t)+R₂W₂u′(t-T)+W₃u′(t-2T))

其中，在步骤十一中所述的控制效率矩阵D确定方法如下：

实际工程应用中，各操纵机构不能一直处于正常工作状态，当执行机构发生损伤等意外情况时，需要控制系统在线及时更改控制律。控制效率矩阵D的重新设定使系统可以在不用重新设计上层控制器的情况下仍然保证有效达到控制目标。已知各执行机构正常运作下，D＝diag(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)。设：

当出现如下工况时，控制效率矩阵D各项为：

1)第k台电机堵转

2)第k个矢量螺旋桨卡死在δ_s角度

此时存在干扰性不变控制量：δ_Tk＝δ_s

3)升降舵故障

a.舵面漂浮

b.舵效缺损为

c.卡死在δ_s角度

此时存在干扰性不变控制量：δ_ELV＝δ_s

4)方向舵故障

a)舵面漂浮

b)舵效缺损为

c)卡死在δ_s角度

此时存在干扰性不变控制量：δ_RUD＝δ_s

(3)优点及效果：

本发明“一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法”，与现有技术比，其优点是：

1)减小了传统飞行器中关键操纵面的关键性，在故障发生时可将控制指令重新分配，降低故障操纵面的使用率以提高系统的安全可靠性。

2)基于模块化控制分配的重构过程不再需要重新调整复杂的控制律；当多种故障同时发生导致必须调整控制律的情况下，重构方式可选。

3)充分利用系统自身内在的气动冗余，可减少飞行器的硬件余度配置。而减少作动器硬件配置余度可以简化系统设计、减轻飞行器重量、降低设计成本等。

4)该方法采用模块化设计结构，将复杂的系统分别设计，避免了出现故障全系统重新设计的复杂问题，简化了控制计算。

控制工程师在应用过程中可以根据实际飞艇给定运动学模型和动力学模型，并将由该方法分配控制指令保证执行机构有效地作动以实现上层路径跟踪功能。

附图说明

图1为本发明控制方法控制框图；

图2为本发明控制分配算法具体流程图；

图3为本发明四矢量螺旋桨平流层飞艇模型CATIA示意图；

图4为本发明飞艇模型螺旋桨推力示意图；

附图符号说明如下：

u₁为控制飞艇姿态达到期望滚转角，期望俯仰角，期望偏航角的状态反馈控制律；

u₂为控制飞艇速度达到期望速度的状态反馈控制律；

U为经过伪逆解算得到的伪指令；

v₁为DCA模块解算后所得的满足约束的控制指令；

D为系统控制效率矩阵；

u,v,w为艇体坐标系下原点速度矢量在艇体坐标系下的分量；

θ,ψ为飞艇三个姿态角，分别对应为滚转角，俯仰角，偏航角；

OXYZ为艇体坐标系；

OXY为艇体坐标系下XY平面；

OXZ为艇体坐标系下XZ平面；

具体实施方式

本发明“一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法”，结合附图进一步说明如下：

步骤一：确定四矢量螺旋桨飞艇运动学方程和动力学方程：

1)四矢量螺旋桨飞艇非线性六自由度运动学方程

四矢量螺旋桨飞艇与常规飞艇相比仅动力装置部分不同，因此飞艇运动学方程与常规飞艇运动学方程一致，则飞艇位置运动学方程与姿态运动学方程表示如下：

其中X₂＝[u v wp q r]^T均为状态方程的状态向量。其中[x_g,y_g,h]为飞艇质心在地面坐标系下的位置坐标，分别为滚转角，俯仰角和偏航角；[u,v,w]为艇体坐标系下原点的速度矢量在艇体坐标系下的投影，[p,q,r]为艇体坐标系下飞艇角速度矢量在艇体坐标系下的投影。f₁(X₁)是非线性动态函数。

2)四矢量螺旋桨飞艇非线性六自由度动力学方程

四矢量螺旋桨飞艇在飞行过程中受到的广义力可表示如下:

Γ＝Γ_a+Γ_G+Γ_add+Γ_T(*)

其中Γ为飞艇飞行过程中合力和合力矩。Γ_a为飞艇飞行过程中受到的气动力和气动力矩；Γ_G为飞艇飞行过程中受到的重力和重力矩；Γ_add为飞艇飞行过程中受到的附加力和附加力矩。Γ_T为飞艇飞行过程中受到的螺旋桨动力及螺旋桨动力矩。Γ_a,Γ_G,Γ_add可依据常规飞艇模型计算。螺旋桨动力及螺旋桨动力矩Γ_T计算如下：

如图4所示螺旋桨推力方向位于XOY平面内。由于螺旋桨在转动过程中会产生反扭矩，因此采用正反桨布局。1,3为正桨，2,4为反桨。F_Ti(i＝1,2,3,4)螺旋桨推力，δ_Ti(i＝1,2,3,4)为螺旋桨矢量角，且

四个螺旋桨位置分别为(x_T,-y_T,-z_T)，(x_T,y_T,-z_T)，(x_T,-y_T,z_T)，(x_T,y_T,z_T)，由力矩计算公式求分别计算求得四个螺旋桨在艇体坐标下下力矩表达式，如下：

四个螺旋桨采用正反桨安装形式，K为螺旋桨反扭矩系数。则螺旋桨由于转动受到空气阻力而产生的反扭矩计算如下：

则螺旋桨沿艇体坐标系各动力矩表示如下：

综合以上推导，则可得到四矢量螺旋桨推力及螺旋桨动力矩方程，如下：

将上式带入(*)式即可求得四矢量螺旋桨动力学方程，如下：

其中，f₂(X₁,X₂)是关于变量X₁,X₂的非线性动态函数，g₂是非线性控制分配函数。

记F_Ti(i＝1,2,3,4)螺旋桨推力，δ_Ti(i＝1,2,3,4)为螺旋桨矢量角，且所述的螺旋桨动力及螺旋桨动力矩计算如下：

步骤二：令期望俯仰角θ_c、期望滚转角均为零，期望偏航角ψ_c＝K，K＞0为常数；令期望速度为υ_c＝[u_c,v_c,w_c]^T＝[C,0,0]^T，C＞0为常数。

步骤三：误差公式具体推导如下：

1)已知飞艇状态空间方程如下：

其中，为方便计算，将等价表示为选取三个姿态角和速度矢量分解量[u,v,w]作为输出量，表示为h(X)＝[x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉]^T，记y₁＝[x₄,x₅,x₆]^T，y₂＝[x₇,x₈,x₉]^T。

2)计算飞艇姿态误差公式

根据所设定的期望值可得到当前姿态角与期望姿态误差为e₁₂＝θ-0；e₁₃＝ψ-K；

e₁＝[e₁₁,e₁₂,e₁₃]^T＝[x₄,x₅,x₆-k]^T

3)计算飞艇速度误差公式

根据所设定的期望值可得到当前速度与期望速度误差为e₂₁＝u-C；e₂₂＝v-0；e₂₃＝w-0；

e₂＝[e₂₁,e₂₂,e₂₃]^T＝[x₇-C,x₈,x₉]^T

步骤四：系统状态反馈控制律具体计算方法如下：

1)先对误差量微分可得:

上式(1)中第一式中控制矩阵系数Lie导数为0，继续对求其二阶微分，得到下式：

{[f₂(X₁,X₂)+g₂u]}_i表示取[f₂(X₁,X₂)+g₂u]中第i行。分别对应[f₂(X₁,X₂)+g₂u]第4,5,6行。

(1)式中第二式中且g₂不为0。得到系统的相对阶(r＝2)＜n。

2)求解控制律表达式

令Θ_i＝[f₂(X₁,X₂)]_i，则根据选取控制律：

合理设计k₁,k₂,k₃,k₄,k₅,k₆，使输出能良好地跟踪期望值。

步骤五：底层控制分配器所需的伪指令即为步骤四控制器计算得到的控制律，即

步骤六：已知期望控制指令u＝[u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,u₈,u₉,u₁₀]^T，根据模型动力学方程，控制各项为u_i＝F_ticosδ_ti,u_i＝F_tisinδ_ti(i∈[1,4]),u₉＝δ_ELV,u₁₀＝δ_RUD；所述的期望控制指令u为上层控制分配器输出的伪指令即令

步骤七：设定初始控制效律矩阵D，初始情况设飞艇操纵面处于正常工作状态，无舵面漂浮卡死等意外状况发生，各项权重系数设为1，即D＝diag(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)。所述的伪逆分配法计算，先利用伪指令与实际控制指令的映射关系Dv(t)＝u(t)，计算实际控制指令，其中

步骤八：设定执行机构的位置约束和速度约束限制，表示如下：

式中，δ_min,δ_max为执行机构位置上下限，为执行机构速率上限。T为采样时间。

1)执行机构位置上下限具体计算方法如下：

2)执行机构速律上下限具体计算方法如下：

3)所述的R₁,R₂计算方法如下：

步骤九：设定正定权重矩阵W_i＝diag(w_i1,w_i2,w_i3,w_i4,w_i5,w_i6,w_i7,w_i8,w_i9,w_i10)，(i＝1,2,3)。W₁,W₂,W₃各项系数需根据模型合理选取。R₁,R₂根据步骤三所述方法解算。所述的v₁,v₂计算方法如下：

式中u(1),u(2)为带干扰控制输入指令。

步骤十：控制指令u′(t)计算方法如下：

1)定义控制分配优化的目标函数。利用动态控制分配后的力矩u′(t)、前一步u′(t-T)、前两步u′(t-2T)与带干扰的控制输入u(t)误差的2-范数作为控制分配的目标函数，如下：

2)利用拉格朗日乘子法求得最优解，对目标函数进行求解可以得到：

u′(t)＝(R₁W₁+R₂W₂+W₃)^-1(R₁W₁u(t)+R₂W₂u′(t-T)+W₃u′(t-2T))

步骤十一：控制效率矩阵D确定方法如下：

控制效率矩阵D的重新设定使系统可以在不用重新设计上层控制器的情况下仍然保证有效达到控制目标。已知各执行机构正常运作下，D＝diag(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)。设：

当出现如下工况时，控制效率矩阵D各项为：

1)第k台电机堵转

2)第k个矢量螺旋桨卡死在δ_s角度

此时存在干扰性不变控制量：δ_Tk＝δ_s

3)升降舵故障

d.舵面漂浮

e.舵效缺损为

f.卡死在δ_s角度

此时存在干扰性不变控制量：δ_ELV＝δ_s

4)方向舵故障

d)舵面漂浮

e)舵效缺损为

f)卡死在δ_s角度

此时存在干扰性不变控制量：δ_RUD＝δ_s

Claims (11)

1.一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：采用分层设计原理，分为上层控制器模块和控制分配器模块，具体如下：

1)上层控制器设计

上层控制器采用输入输出反馈线性化的方法进行设计，其具体步骤如下：

步骤一确定四矢量螺旋桨飞艇运动学方程和动力学方程；

步骤二给定期望跟踪值：给定期望俯仰角θ_c、期望滚转角给定期望速度；

步骤三计算当前状态与期望状态误差；计算误差公式；

步骤四利用反馈线性化求得状态反馈控制律；

步骤五求得底层控制分配器所需的伪指令；

2)控制分配器设计

控制分配器采用动态控制分配算法设计，其具体步骤如下；

步骤六计算期望控制指令u；

步骤七伪逆分配；设定初始控制效率矩阵；

步骤八考虑工程实际，设定执行机构的位置约束和速度约束限制；判断是否满足约束，计算R₁，R₂；所述R₁，R₂分别表示第一约束系数矩阵和第二约束系数矩阵；

步骤九确定正定权重矩阵W₁，W₂，W₃；计算初始两步控制指令u′(1)，u′(2)；所述u′(1)，u′(2)分别表示动态控制分配后的第一力矩和第二力矩；

步骤十利用动态控制分配后的力矩u′(t)、前一步u′(t-T)、前两步u′(t-2T)与带干扰的控制输入u(t)误差的2-范数作为控制分配的目标函数，对优化问题求解得到控制指令u′；

步骤十一观测器得到控制效率矩阵。

2.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：

在步骤一所述的飞艇运动学方程和动力学方程按照如下方法推导得到：

1)四矢量螺旋桨飞艇非线性六自由度运动学方程

四矢量螺旋桨飞艇与常规飞艇相比仅动力装置部分不同，因此飞艇运动学方程与常规飞艇运动学方程一致，则飞艇位置运动学方程与姿态运动学方程表示如下：

<mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow>

其中X₂＝[u，v，w，p，q，r]^T均为状态方程的状态向量，其中[x_g，y_g，h]为飞艇质心在地面坐标系下的位置坐标，分别为滚转角，俯仰角和偏航角；[u，v，w]为艇体坐标系下原点的速度矢量在艇体坐标系下的投影，[p，q，r]为艇体坐标系下飞艇角速度矢量在艇体坐标系下的投影，f₁(X₁)是非线性动态函数；

2)四矢量螺旋桨飞艇非线性六自由度动力学方程

四矢量螺旋桨飞艇在飞行过程中受到的广义力可表示如下：

<mrow> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mo>&amp;part;</mo> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>G</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>d</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>T</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中Γ为飞艇飞行过程中合力和合力矩；为飞艇飞行过程中受到的气动力和气动力矩；r_G为飞艇飞行过程中受到的重力和重力矩；Γ_αdd为飞艇飞行过程中受到的附加力和附加力矩，Γ_T为飞艇飞行过程中受到的螺旋桨动力及螺旋桨动力矩，Γ_G，Γ_αdd可依据常规飞艇模型计算，螺旋桨动力及螺旋桨动力矩Γ_T计算如下：

记F_Ti为螺旋桨推力，其中i＝1，2，3，4；记δ_Ti为螺旋桨矢量角，其中i＝1，2，3，4；且

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，F_Tx、F_Ty分别表示艇体坐标系下XOY平面内螺旋桨推力在X轴方向和Y轴方向的大小；

四个螺旋桨位置分别为(x_T，-y_T，-z_T)，(xT，yT，-zT)，(xT，-yT，zT)，(xT，yT，zT)，由力矩计算公式分别计算求得四个螺旋桨在艇体坐标下力矩表达式，如下：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>T</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

四个螺旋桨采用正反桨安装形式，K为螺旋桨反扭矩系数，则螺旋桨由于转动受到空气阻力而产生的反扭矩计算如下：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>y</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，M_Txf和M_Tyf分别表示艇体坐标系下XOY平面内螺旋桨由于转动受到空气阻力而产生的X轴方向和Y轴方向的反扭矩大小；

则螺旋桨沿艇体坐标系各动力矩表示如下：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>y</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

综合以上推导，则可得到四矢量螺旋桨推力及螺旋桨动力矩方程，如下：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>K</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>K</mi> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mi>K</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>K</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> 2

将上式带入(1)式即可求得四矢量螺旋桨动力学方程，如下：

<mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>u</mi> </mrow>

其中，f₂(X₁，X₂)是关于变量X₁，X₂的非线性动态函数，g₂是非线性控制分配函数。

3.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：

在步骤二中所述的给定期望俯仰角θ_c、期望滚转角均为零，期望偏航角ψ_c＝K，K＞0为常数；所述的给定期望速度为υ_c＝[u_c，v_c，w_c]^T＝[C，0，0]^T，C＞0为常数，u_c，v_c，w_c为期望速度沿艇体坐标系的分解量。

4.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：在步骤三中所述的误差公式按如下计算方法得到：

1)已知飞艇状态空间方程如下：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>u</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，为方便计算，将等价表示，选取姿态角和速度矢量分解量[u，v，w]作为输出量，则h(X)＝[x₄，x₅，x₆，x₇，x₈，x₉]^T，记y₁＝[x₄，x₅，x₆]^T，y₂＝[x₇，x₈，x₉]^T；

2)计算飞艇姿态误差公式

根据所设定的期望值可得到当前姿态角与期望姿态误差为e₁₂＝θ-0；e₁₃＝ψ-K；

e₁＝[e₁₁，e₁₂，e₁₃]^T＝[x₄，x₅，x₆-k^]T

3)计算飞艇速度误差公式

根据所设定的期望值可得到当前速度与期望速度误差为e₂₁＝u-C；e₂₂＝v-0；e₂₃＝w-0；

e₂＝[e₂₁，e₂₂，e₂₃]^T＝[x₇-C，x₈，x₉]^T。

5.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：步骤四中所述的状态反馈控制律具体计算方法如下：

1)先对误差量微分可得：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>11</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>12</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>13</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>21</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>22</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>23</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>7</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>8</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>9</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

上式第一式中控制矩阵系数Lie导数为0，继续对求其二阶微分，得到下式：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>5</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>10</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>11</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>12</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <munder> <msub> <mrow> <mo>{</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>u</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>6</mn> </mrow> </munder> </mrow>

{[f₂(X₁，X₂)+g₂u]}_i表示取[f₂(X₁，X₂)+g₂u]中第i行，

第二式中且g₂不为0，得到系统的相对阶r＜n，其中r＝2；

2)求解控制律表达式

令Q_i＝[f₂(X₁，X₂)]_i，则根据选取控制律：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>5</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>6</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>13</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Theta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>6</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>23</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

合理设计k₁，k₂，k₃，k₄，k₅，k₆，使输出能良好地跟踪期望值。

6.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：在步骤五所述的伪指令为控制器计算得出的控制律，即

7.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：

在步骤六所述的期望控制指令u＝[u₁，u₂，u₃，u₄，u₅，u₆，u₇，u₈，u₉，u₁₀]^T，根据模型动力学方程，控制各项为u_i＝F_ticosδ_ti，u_i＝F_tisinδ_ti，其中i∈[1，4]，u₉＝δ_ELV，u₁₀＝δ_RUD；所述的期望控制指令u为上层控制分配器输出的伪指令即令所述δ_ELV表示升降舵故障中存在的干扰性不变控制量，所述δ_RUD表示方向舵故障中存在的干扰性不变控制量。

8.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：

在步骤七所述的设定初始控制效率矩阵D，飞艇操纵面处于正常工作状态，无舵面漂浮卡死等意外状况发生，各项权重系数设为1，D＝diag(1，1，1，1，1，1，1，1，1，1)；所述的伪逆分配计算，先利用伪指令与实际控制指令的映射关系Dv(t)＝u(t)，计算实际控制指令，其中

9.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：在步骤九所述的正定权重矩阵W_i＝diag(w_i1，w_i2，w_i3，w_i4，w_i5，w_i6，w_i7，w_i8，w_i9，w_i10)，其中i＝1，2，3，W₁，W₂，W₃各项系数需根据模型合理选取，R₁，R₂根据步骤八所述方法解算，所述的u′(1)，u′(2)计算方法如下：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>W</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>W</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>

式中u(1)，u(2)为带干扰控制输入指令。

10.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：在步骤十所述的控制指令u′计算方法如下：

1)定义控制分配优化的目标函数：利用动态控制分配后的力矩u′(t)、前一步u′(t-T)、前两步u′(t-2T)与带干扰的控制输入u(t)误差的2-范数作为控制分配的目标函数，如下：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>min</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>u</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

2)利用拉格朗日乘子法求得最优解，对目标函数进行求解可以得到：

u′(t)＝(R₁W₁+R₂W₂+W₃)^-1(R₁W₁u(t)+R₂W₂u′(t-T)+W₃u′(t-2T))。

11.根据权利要求1所述的一种基于四矢量螺旋桨平流层飞艇动态控制分配方法，其特征如下：在步骤十一中所述的控制效率矩阵D确定方法如下：

已知各执行机构正常运作下，D＝diag(1，1，1，1，1，1，1，1，1，1)；设：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

当出现如下工况时，控制效率矩阵D各项为：

1)第k台电机堵转

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow>

2)第k个矢量螺旋桨卡死在c_s角度

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow>

此时存在干扰性不变控制量：δ_Tk＝δ_s

3)升降舵故障

a.舵面漂浮

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow>

b.舵效缺损为

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;part;</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow>

c.卡死在c_s角度

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow>

此时存在干扰性不变控制量：δ_ELV＝δ_s

4)方向舵故障

a)舵面漂浮

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>

b)舵效缺损为

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;part;</mo> </mrow>

c)卡死在c_s角度

<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>cos&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sin&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>L</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mi>U</mi> <mi>D</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow>

此时存在干扰性不变控制量：δ_RUD＝δ_s。