CN102654772A - 一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法，该方法有四大步骤：步骤一：飞行器纵向模型构建与状态变换；步骤二：基于控制输入饱和的反演控制设计；步骤三：跟踪性能检验与参数调节；步骤四：设计结束。本发明是针对飞行器纵向平面动态模型，通过定义辅助分析系统，采用输入饱和误差动态放大的方法，实现一种基于控制输入饱和的反演控制方法，用于飞行器航迹倾角的控制。它在航天航空自动控制技术领域里具有较好的实用价值和广阔的应用前景。

Description

一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法

(一)技术领域

本发明涉及一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法，它是针对飞行器纵向平面动态模型，通过定义辅助分析系统，采用输入饱和误差动态放大的方法，实现一种基于控制输入饱和的反演控制方法，用于飞行器航迹倾角的控制，属于自动控制技术领域。

(二)背景技术

飞行器的航迹倾角就是飞行速度方向与水平方向夹角，是重要的飞行器运动参数。通过稳定精确控制航迹倾角，不仅能保证飞行器按照预定轨迹航行，还能保证飞行器的飞行高度。飞行器纵向模型属于非线性强耦合系统，对于它的控制具有一定难度。由于要求飞行器航迹倾角能快速精确跟踪预定轨迹，所以对控制方法的设计提出了较高要求。

近年来，许多先进的控制方法被用到飞行器航迹倾角的控制中，其中反馈线性化方法是最常用的一种。但是反馈线性化方法存在一些缺陷，比如要求不确定部分满足匹配条件，对建模误差敏感等。反演控制是针对下三角系统而提出的控制方法，通过把一个系统分成多个子系统，结合Lyapunov函数对每个子系统设计虚拟控制量，逐层递进，最终得到实际控制律。在实际的动态系统中，饱和是最常见的执行器非线性。它严重影响系统的性能从而导致计算的不准确。对于飞行器系统，按照实际工程的要求，由于执行器的限制，控制律的大小通常有一定的限制，过大的控制律值难以实现，在这种限制下进行系统控制设计是一个很有意义的命题，这就是“控制输入饱和”问题。

这种技术背景下，本发明给出一种基于控制输入饱和的反演控制方法，用于控制飞行器航迹倾角。采用这种控制保证了闭环系统在限定大小的控制输入下全局稳定性，实现了飞行器航迹倾角对预定轨迹的快速且精确跟踪。

（三）发明内容

1、发明目的

本发明的目的是：克服现有控制技术的不足，提供一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法，用以控制飞行器航迹倾角，它保证闭环系统全局稳定，实现飞行器航迹倾角对预定轨迹的快速且精确跟踪。

本发明是一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法，其设计思想是：针对飞行器纵向模型，设计辅助分析系统，将输入饱和误差动态放大，补偿控制输入的不足；将整个系统分成三个子系统，逐步设计虚拟控制量，最终得到大小受限的实际控制律，不仅能保证闭环控制系统的全局稳定性，同时实现了飞行器航迹倾角对预定轨迹的快速且精确跟踪。

2、技术方案

下面结合流程框图4中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法，该方法具体步骤如下：

第一步飞行器纵向模型构建与状态变换

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量是飞行器航迹倾角，输入量是舵面偏角。所设计的闭环控制系统主要包括控制器环节、辅助分析系统环节和系统模型这三个部分，其结构布局情况见图1所示。

飞行器纵向模型描述如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}={\stackrel{\‾}{L}}_o+{\stackrel{\‾}{L}}_{\mathrm{\α}}\mathrm{\α}-\frac{g}{V_T}\cos \mathrm{\γ}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}=q\\ \stackrel{\·}{q}=M_o+M_{q}q+M_{\mathrm{\δ}}\mathrm{\δ}\end{array}\right.---\left(1\right)$

且有

${\stackrel{\‾}{L}}_o=\frac{L_o}{{\mathrm{mV}}_T},$ ${\stackrel{\‾}{L}}_{\mathrm{\α}}=\frac{L_{\mathrm{\α}}}{{\mathrm{mV}}_T}$

其中：γ表示飞行器航迹倾角；α表示飞行器迎角；ψ表示飞行器俯仰角；

q表示飞行器俯仰率；m表示飞行器质量；g表示重力加速度；

V_T表示飞行器航速；L_α表示升力曲线斜率；L_o表示其它升力影响因素；

M_δ表示控制俯仰力矩；M_q表示与俯仰率相关的力矩系数；

M_o表示其它力矩；δ表示舵面偏角的控制输入信号。

分别定义三个状态变量x₁，x₂，x₃如下：

x₁＝γ，x₂＝ψ，x₃＝q

根据飞行器实际物理特性，有γ=ψ-α成立，这时式（1）可写成

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=a_1{x}_2+f_1\left(x_1\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=a_3\mathrm{\δ}+f_3\left(x_3\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中

a₃=M_δ，

f₃(x₃)=M_o+M_qx₃，δ=sat(δ₀)。取最大控制输入值为δ₀，Δδ=δ-δ₀。

控制输入饱和函数sat(δ₀)表示为

$\mathrm{sat}\left({\mathrm{\&delta;}}_0\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&delta;}}_0& \mathrm{\&delta;}>{\mathrm{\&delta;}}_0\\ \mathrm{\&delta;}& \left|\mathrm{\&delta;}\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_0\\ -{\mathrm{\&delta;}}_0& \mathrm{\&delta;}<-{\mathrm{\&delta;}}_0\end{array}\right.---\left(2.46\right)$

饱和函数示意图如图2所示。

为了便于控制设计，需对式（2）进行状态变换。定义

w₁=x₁，w₂=a₁x₂，w₃=a₁x₃，u=a₁a₃δ

则式（2）变换为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1=w_2+f_1\left(w_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2=w_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3=u+a_1{f}_3\left(w_3\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $f_1\left(w_1\right)={\stackrel{\&OverBar;}{L}}_o-{\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{\&alpha;}}{w}_1-\frac{g}{V_T}\cos w_1,$ f₃(w₃)=M_o+M_qw₃。

第二步基于控制输入饱和的反演控制设计

飞行器航迹倾角控制内部结构如图3所示。由于控制输入受限，需要采用输入饱和误差动态放大的方法。定义辅助分析系统

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_2-c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2={\mathrm{\&lambda;}}_3-c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_3=\mathrm{\&Delta;u}-c_3{\mathrm{\&lambda;}}_3\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中：λ₁、λ₂、λ₃是辅助分析系统状态，c₁、c₂、c₃是待设计正数，Δu=u-u₀，u=sat(u₀)。

定义误差变量z₁，z₂，z₃为

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=w_1-w_{1d}{-\mathrm{\&lambda;}}_1\\ z_2=w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2\\ z_3=w_3-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，w_1d为预定轨迹，w_2d和w_3d为虚拟控制项。

设计过程是逐步递进的过程，一共分三个小步。

第一小步：对于预定轨迹为w_1d，定义第一个误差变量

z₁=w₁-w_1d-λ₁                            （6）

对式（6）求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=w_2+f_1\left(w_1\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2+c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1$

$=z_2+w_{2d}+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}+{\mathrm{\&lambda;}}_2+f_1\left(w_1\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2+c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1---\left(7\right)$

$=z_2+w_{2d}+f_1\left(w_1\right)+c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1$

设计第一个虚拟控制量

w_2d＝-c₁(w₁-w_1d)-f₁                     （8）

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-c_1(w_1-w_{1d})+c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1=z_2-c_1{z}_1---\left(9\right)$

定义Lyapunov函数

$V_1=\frac{1}{2}{z}_1^2---\left(10\right)$

对式（10）求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=z_1(z_2-c_1{z}_1)={-c}_1{z}_1^2+z_1{z}_2---\left(11\right)$

第二小步：定义第二个误差变量

$z_2=w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2---\left(12\right)$

对式（12）求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=w_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3+c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2$

$=z_3+w_{3d}+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}+{\mathrm{\&lambda;}}_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3+c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2---\left(13\right)$

$=z_3+w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}+c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2$

设计第二个虚拟控制量为

$w_{3d}=-z_1-c_2(w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d})+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}---\left(14\right)$

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-z_1-c_2(w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d})+c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2---\left(15\right)$

$=z_3-z_1-c_2{z}_2$

定义Lyapunov函数

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{z}_2^2---\left(16\right)$

对式（16）求导

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=z_2{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2$

$=-c_1{z}_1^2+z_1{z}_2+z_2\left({\text{z}}_3-z_1-c_2{z}_2\right)---\left(17\right)$

$=-c_1{z}_1^2-c_2{z}_2^2+z_2{z}_3$

第三小步：定义第三个误差变量

$z_3=w_3-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3---\left(18\right)$

对式（18）求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=u+a_1{f}_3\left(w_3\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-\mathrm{\&Delta;u}+c_3{\mathrm{\&lambda;}}_3$ （19）

$=u_0+a_1{f}_3\left(w_3\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}+c_3{\text{\&lambda;}}_3$

设计实际制量u₀为

$u_0=-z_2-c_3(w_3-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d})+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{3d}-a_1{f}_3+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}---\left(20\right)$

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-z_2-c_3(w_{\text{3}}-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d})+c_3{\mathrm{\&lambda;}}_3---\left(21\right)$

$=-z_2-c_3{z}_3$

定义Lyapunov函数

$V=V_2+\frac{1}{2}{z}_3^2---\left(22\right)$

对（22）求导得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}={\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2+z_3{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3$

$=-c_1{z}_1^2-c_2{z}_2^2+z_2{z}_3+z_3(-z_2-c_3{z}_3)---\left(23\right)$

$=-c_1{z}_1^2-c_2{z}_2^2-c_3{z}_3^2$

$\&le;0$

至此，完成了飞行器航迹倾角的反演控制以及稳定性分析。可以看出，超出饱和的Δu作为辅助分析系统的输入，对z_i不产生任何影响，因此对所设计的控制器也不产生影响。

第三步跟踪性能检验与参数调节

这一步将给出参数的调节方法，并且检验系统跟踪性能是否满足设计要求，见图4所示。借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab 7.0进行。

由于控制输入有限制，所以跟踪效果与不受限的情况相比必然会受到影响。然而按照实际工程需要，这种以略微牺牲跟踪效果换取控制输入受限的做法又是合理的。参数c₁、c₂、c₃是调节参数，在确定控制输入的上下界后，适度增大c₁、c₂、c₃的值能够提高跟踪速率，同时可兼顾跟踪效果。根据控制输入限制要求以及跟踪速率要求，反复调节参数，利用Matlab 7.0软件检验跟踪性能。

第四步设计结束

整个设计过程重点考虑控制输入饱情况，设计控制律保证系统全局稳定并且快速精确跟踪预定轨迹。围绕这一要求，首先在上述第一步中确定了闭环控制系统的具体构成并且进行状态变换；第二步在引入辅助分析系统之后，重点给出了基于控制输入饱的反演控制设计方法，主要包括三个小步骤；第三步中主要介绍了跟踪性能检验与参数调节；经上述各步骤后，设计结束。

3、优点及功效

本发明一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法。具体优点包括三个方面：其一，该反演控制方法十分便于此类下三角系统控制器设计，并且方法容易推广到不确定非匹配系统；其二，该方法充分考虑实际工程需要，可以在控制输入饱和的情况下完成快速精确跟踪控制；其三，设计参数较少，便于调参。

（四）附图说明

图1：本发明闭环控制系统结构和组件连接关系示意图

图2：本发明控制输入饱和函数示意图

图3：本发明控制系统内部结构示意图

图4：本发明基于控制输入饱和的飞行器纵向控制设计流程示意图

图5.1：本发明实施方式（一）中控制输入限制为-30≤u≤30、c₁=c₂=c₃=2时的跟踪误差图

图5.2：本发明实施方式（一）中控制输入限制为-30≤u≤30、c₁=c₂=c₃=2时的控制输入图

图6.1：本发明实施方式（一）中控制输入不受限、c₁=c₂=c₃=2时的跟踪误差图

图6.2：本发明实施方式（一）中控制输入不受限、c₁=c₂=c₃=2时的控制输入图

图7.1：本发明实施方式（一）中控制输入限制为-30≤u≤30、c₁=c₂=c₃=4时的跟踪误差图

图7.2：本发明实施方式（一）中控制输入限制为-30≤u≤30、c₁=c₂=c₃=4时的控制输入图

图中的标号、符号和线条等说明如下：

图2中，横坐标t表示时间，单位为秒，纵坐标δ表示控制输入信号，单位为度，δ₀表示控制输入的限制值，单位为度。

图5.1-5.2、图6.1-6.2、图7.1-7.2中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；图5.1、图6.1、图7.1中纵坐标表示飞行器航迹倾角跟踪误差，单位是度；图5.2、图6.2、图7.2中纵坐标表示控制输入，单位是度。

（五）具体实施方式

本发明设计目标包括两个方面：其一，在控制输入饱和的情况下设计控制律保证系统全局稳定；其二，实现闭环系统的飞行器航迹倾角快速精确跟踪预定轨迹，具体指标是：根据应用需求，舵面偏角控制输入需要保持在±30度以内，在2秒内跟踪误差保持在0.1度以内。

具体实施中，基于控制输入饱和的飞行器航迹倾角控制以及闭环控制系统的仿真和检验都借助于Matlab7.0中的Simulink工具箱来实现。这里通过介绍一个具有一定代表性的实施方式，来进一步说明本发明技术方案中的相关设计以及设计参数的调节方法。

实施方式（一）在确定控制输入上下限后，通过调节c₁、c₂、c₃的值以实现飞行器航迹倾角对预定轨迹的跟踪并满足指标要求。

实施方式（一）

见图4，本发明一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法，该方法具体步骤如下：

第一步：飞行器纵向模型构建与状态变换

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量为飞行器航迹倾角，输入量为舵面偏角。所设计的闭环控制系统主要是控制器环节、辅助分析系统环节和系统模型这三个部分，其结构布局情况见图1所示。

飞行器纵向模型 $\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}={\stackrel{\&OverBar;}{L}}_o+{\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}-\frac{g}{V_T}\cos \mathrm{\&gamma;}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=q\\ \stackrel{\&CenterDot;}{q}=M_o+M_{q}q+M_{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.$ 中，根据实际工程系统数据，参数选取如下：

M_δ=1，M_q=-0.02，M_o=0.1，V_T=200m/s。状态变量初值设置为x₁=-0.2、x₂=0、x₃=0。

第二步：基于控制输入饱和的反演控制设计

如图1所示，系统是采用输出量(角度信号)的单位负反馈控制结构，控制输入受限的饱和函数示意图如图2所示。基于控制输入饱和的反演控制器内部结构如图3所示。利用Matlab 7.0环境下的.m语言编程实现反演控制器的结构和功能。设计控制器需要预定轨迹、辅助分析系统的三个状态量以及飞行器系统状态变量。在获得第一个误差变量的基础上设计第一个虚拟控制量；由第一个虚拟控制量构建第二个误差变量，由此设计第二个虚拟控制量；由第二个虚拟控制量构建第三个误差变量，由此得到基于控制输入饱和的实际反演控制量。

构造辅助分析系统 $\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_2-c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2={\mathrm{\&lambda;}}_3-c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_3=\mathrm{\&Delta;u}-c_3{\mathrm{\&lambda;}}_3\end{array}\right.,$ 将Δu作为该辅助系统输入，得到状态λ₁、λ₂、λ₃用于反演控制设计。

第一小步：设定飞行器航迹倾角预定轨迹w_1d=5sint，与反馈获得的状态w₁以及辅助系统状态λ₁得到误差变量z₁=w₁-w_1d-λ₁。参数c₁取值为2，计算得到w_2d=-c₁(w₁-w_1d)-f₁。

第二小步：由虚拟控制w_2d与反馈得到的状态w₂以及辅助系统状态λ₂得到误差变量 $z_2=w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2.$ 参数c₂取值为2，根据 $w_{3d}=-z_1-c_2(w_{\text{2}}-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d})+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}$ 计算得到w_3d。

第三小步：由虚拟控制w_3d与反馈得到的状态w₃以及辅助系统状态λ₃得到误差变量 $z_3=w_3-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3.$ 参数c₃取值为2，计算得到实际基于控制输入饱和的反演控制 $u_0=-z_2-c_3(w_3-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d})+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{3d}-a_1{f}_3+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}.$ 在Matlab 7.0环境下对实际系统进行仿真，仿真结果见图5.1-5.2所示。

第三步：跟踪性能检验与参数调节

这一步将检验系统跟踪性能是否满足设计要求，见图4所示。借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab 7.0进行。

在控制输入不受限的情况下，保持参数c₁、c₂、c₃的值不变，仿真结果见图6.1-6.2所示。可以看出，控制输入最大值达到65度，以致实际系统难以提供这么大的舵面偏角，这显示了研究基于控制输入饱和的控制方法的必要性。

再将控制输入限定在±30度，将c₁、c₂、c₃分别增大到4、4、4，参数调节后的仿真结果见图7.1-7.2所示。参数调节后，跟踪性能的精确性和快速性大为提高，因此这种调节参数办法有助于提高系统跟踪性能。

第四步：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别设计的简便性，闭环系统的稳定性，跟踪的快速精确性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了闭环控制系统的具体构成；第二步中重点给出了基于控制输入饱和的反演控制设计方法，主要包括三个小步骤；第三步中主要介绍了用以提高跟踪性能的参数调节方法；经上述各步骤后，设计结束。

Claims (1)

1.一种基于控制力受限情况下飞行器航迹倾角反演控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：飞行器纵向模型构建与状态变换

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量是飞行器航迹倾角，输入量是舵面偏角；所设计的闭环控制系统包括控制器环节、辅助分析系统环节和系统模型这三个部分；

飞行器纵向模型描述如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}={\stackrel{\&OverBar;}{L}}_o+{\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&alpha;}-\frac{g}{V_T}\cos \mathrm{\&gamma;}\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=q\\ \stackrel{\&CenterDot;}{q}=M_o+M_{q}q+M_{\mathrm{\&delta;}}\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.---\left(1\right)$

且有

${\stackrel{\&OverBar;}{L}}_o=\frac{L_o}{{\mathrm{mV}}_T},$ ${\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{\&alpha;}}=\frac{L_{\mathrm{\&alpha;}}}{{\mathrm{mV}}_T}$

其中：γ表示飞行器航迹倾角；α表示飞行器迎角；ψ表示飞行器俯仰角；

q表示飞行器俯仰率；m表示飞行器质量；g表示重力加速度；

V_T表示飞行器航速；L_α表示升力曲线斜率；L_o表示其它升力影响因素；

M_δ表示控制俯仰力矩；M_q表示与俯仰率相关的力矩系数；

M_o表示其它力矩；δ表示舵面偏角的控制输入信号；

分别定义三个状态变量x₁，x₂，x₃如下：

x₁＝γ，x₂＝ψ，x₃＝q

根据飞行器实际物理特性，有γ=ψ-α成立，这时式（1）写成

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=a_1{x}_2+f_1\left(x_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=a_3\mathrm{\&delta;}+f_3\left(x_3\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中

a₃=M_δ，

f₃(x₃)=M_o+M_qx₃，δ=sat(δ₀)；取最大控制输入值为δ₀，Δδ=δ-δ₀；

控制输入饱和函数sat(δ₀)表示为

$\mathrm{sat}\left({\mathrm{\&delta;}}_0\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&delta;}}_0& \mathrm{\&delta;}>{\mathrm{\&delta;}}_0\\ \mathrm{\&delta;}& \left|\mathrm{\&delta;}\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_0\\ -{\mathrm{\&delta;}}_0& \mathrm{\&delta;}<-{\mathrm{\&delta;}}_0\end{array}\right.---\left(2.46\right)$

为了便于控制设计，需对式（2）进行状态变换，定义

w₁=x₁，w₂=a₁x₂，w₃＝a₁x₃，u=a₁a₃δ

则式（2）变换为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_1=w_2+f_1\left(w_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_2=w_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_3=u+a_1{f}_3\left(w_3\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $f_1\left(w_1\right)={\stackrel{\&OverBar;}{L}}_o-{\stackrel{\&OverBar;}{L}}_{\mathrm{\&alpha;}}{w}_1-\frac{g}{V_T}\cos w_1,$ f₃(w₃)=M_o+M_qw₃；

步骤二：基于控制输入饱和的反演控制设计

由于控制输入受限，需要采用输入饱和误差动态放大的方法，定义辅助分析系统

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1={\mathrm{\&lambda;}}_2-c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2={\mathrm{\&lambda;}}_3-c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_3=\mathrm{\&Delta;u}-c_3{\mathrm{\&lambda;}}_3\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中：λ₁、λ₂、λ₃是辅助分析系统状态，c₁、c₂、c₃是待设计正数，Δu=u-u₀，u=sat(u₀)；

定义误差变量z₁，z₂，z₃为

$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=w_1-w_{1d}{-\mathrm{\&lambda;}}_1\\ z_2=w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2\\ z_3=w_3-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，w_1d为预定轨迹，w_2d和w_3d为虚拟控制项；

设计过程是逐步递进的过程，一共分三个小步；

第一小步：对于预定轨迹为w_1d，定义第一个误差变量

z₁＝w₁-w_1d-λ₁                        （6）

对式（6）求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=w_2+f_1\left(w_1\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2+c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1$

$=z_2+w_{2d}+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}+{\mathrm{\&lambda;}}_2+f_1\left(w_1\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2+c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1---\left(7\right)$

$=z_2+w_{2d}+f_1\left(w_1\right)+c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1$

设计第一个虚拟控制量

w_2d＝-c₁(w₁-w_1d)-f₁                    （8）

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-c_1(w_1-w_{1d})+c_1{\mathrm{\&lambda;}}_1=z_2-c_1{z}_1---\left(9\right)$

定义Lyapunov函数

$V_1=\frac{1}{2}{z}_1^2---\left(10\right)$

对式（10）求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=z_1(z_2-c_1{z}_1)={-c}_1{z}_1^2+z_1{z}_2;---\left(11\right)$

第二小步：定义第二个误差变量

$z_2=w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_2---\left(12\right)$

对式（12）求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=w_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3+c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2$

$=z_3+w_{3d}+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}+{\mathrm{\&lambda;}}_3-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3+c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2---\left(13\right)$

$=z_3+w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}+c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2$

设计第二个虚拟控制量为

$w_{3d}=-z_1-c_2(w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d})+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{2d}---\left(14\right)$

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-z_1-c_2(w_2-w_{2d}-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{1d})+c_2{\mathrm{\&lambda;}}_2---\left(15\right)$

$=z_3-z_1-c_2{z}_2$

定义Lyapunov函数

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{z}_2^2---\left(16\right)$

对式（16）求导

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=z_2{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2$

$=-c_1{z}_1^2+z_1{z}_2+z_2\left({\text{z}}_3-z_1-c_2{z}_2\right);---\left(17\right)$

$=-c_1{z}_1^2-c_2{z}_2^2+z_2{z}_3$

第三小步：定义第三个误差变量

$z_3=w_3-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-{\mathrm{\&lambda;}}_3---\left(18\right)$

对式（18）求导得

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=u+a_1{f}_3\left(w_3\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}-\mathrm{\&Delta;u}+c_3{\mathrm{\&lambda;}}_3---\left(19\right)$

$=u_0+a_1{f}_3\left(w_3\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}+c_3{\text{\&lambda;}}_3$

设计实际制量u₀为

$u_0=-z_2-c_3(w_3-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d})+{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_{3d}-a_1{f}_3+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d}---\left(20\right)$

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-z_2-c_3(w_{\text{3}}-w_{3d}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{1d})+c_3{\mathrm{\&lambda;}}_3---\left(21\right)$

$=-z_2-c_3{z}_3$

定义Lyapunov函数

$V=V_2+\frac{1}{2}{z}_3^2---\left(22\right)$

对（22）求导得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}={\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2+z_3{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3$

$=-c_1{z}_1^2-c_2{z}_2^2+z_2{z}_3+z_3(-z_2-c_3{z}_3)---\left(23\right)$

$=-c_1{z}_1^2-c_2{z}_2^2-c_3{z}_3^2$

$\&le;0$

至此，完成了飞行器航迹倾角的反演控制以及稳定性分析；由此看出，超出饱和的Δu作为辅助分析系统的输入，对z_i不产生任何影响，因此对所设计的控制器也不产生影响；

步骤三：跟踪性能检验与参数调节

这一步将给出参数的调节方法，并且检验系统跟踪性能是否满足设计要求，借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab 7.0进行；

由于控制输入有限制，所以跟踪效果与不受限的情况相比必然会受到影响；然而按照实际工程需要，这种以略微牺牲跟踪效果换取控制输入受限的做法又是合理的；参数c₁、c₂、c₃是调节参数，在确定控制输入的上下界后，适度增大c₁、c₂、c₃的值能够提高跟踪速率，同时可兼顾跟踪效果；根据控制输入限制要求以及跟踪速率要求，反复调节参数，利用Matlab 7.0软件检验跟踪性能；

步骤四：设计结束

整个设计重点考虑控制输入饱情况，设计控制律保证系统全局稳定并且快速精确跟踪预定轨迹；围绕这一要求，首先在上述第一步中确定了闭环控制系统的具体构成并且进行状态变换；第二步在引入辅助分析系统之后，重点给出了基于控制输入饱的反演控制设计方法，包括三个小步骤；第三步中介绍了跟踪性能检验与参数调节；经上述各步骤后，设计结束。

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