CN103592850A - 非线性多时标时延系统建模与控制方法 - Google Patents

Abstract

一种非线性多时标时延系统建模与控制方法，复杂系统控制技术领域。该方法基于UDTTDFSPM,结合谱范数与线性矩阵不等式方法，为被控NMTSTDSs设计鲁棒组合控制器，实现NMTSTDSs的高精度稳定控制。根据NMTSTDSs的动力学模型，建立其不确定性连续时间时延模糊奇异摄动模型，选择适当的采样周期，采用零阶保持器方法，对所获连续模型进行离散化，获得NMTSTDSs的UDTTDFSPM，在此基础上设计鲁棒组合控制器，组合控制器由模糊慢状态反馈控制器和输出积分器组成。优点在于，解决现有建模与控制方法无法消除NMTSTDSs系统外扰及快模态引起的稳态误差问题，大幅提高NMTSTDSs的控制性能。采用本发明控制CE150直升机姿态的仿真结果表明了本发明方法的有效性。

Description

非线性多时标时延系统建模与控制方法

技术领域

本发明属于复杂系统控制技术领域，特别是提供了一种非线性多时标时延系统建模与控制方法；针对具有非线性、多时标及时延三种特性并存的复杂系统，提供了一种基于不确定性离散时间时延模糊奇异摄动模型(Uncertain Discrete-timeTime-Delay Fuzzy Singularly Perturbed Model，简记UDTTDFSPM)的高精度鲁棒控制方法，适用于薄或超薄板带热连轧控制系统的高精度控制，也可用于复杂挠性卫星及直升机的姿态稳定控制以及机器人、电力系统与钻井平台等其他具有上述特征的复杂系统建模与控制。

背景技术

非线性、多时标及时延特性常常并存于同一个系统，此类系统可统称为非线性多时标时延系统(Nonlinear Multiple Time-Scales Time-Delay Systems，简记为NMTSTDSs)，广泛存在于航空航天、冶金过程、机器人及电力电子等领域，典型的NMTSTDSs有复杂挠性卫星、柔性机械臂、直升机以及带钢热连轧过程控制系统等。NMTSTDSs的多时标特性是指NMTSTDSs中存在慢、快两种模态而呈现的病态动力学特性。NMTSTDSs的快模态很难用测量仪器直接测量，而且常常影响慢状态响应，引起稳态误差或使系统失去稳定。针对NMTSTDSs的控制问题，如果采用传统建模方法，将得到高阶模型，这将大大增加设计控制器的难度，甚至无法设计控制器；如果忽略NMTSTDSs的快变模态或将其作为外部扰动，达到模型降阶，则大大牺牲控制精度。现存NMTSTDSs控制方法多数只考虑NMTSTDSs的一种或两种特征并存情形，三种特性(非线性、多时标及时延)并存的结果尚未发现，因为将三种特性融入统一模型框架下，将大大提高控制器设计难度。然而，同时考虑NMTSTDSs的三种特性，建立NMTSTDSs的数学模型，能够更加准确的描述NMTSTDSs的动力学特征，从而大幅提高NMTSTDSs控制性能，为此迫切需要新理论、新技术的提出。

奇异摄动方法是处理多时标问题的有效工具，自60年代由Klimushev等人提出后，广泛应用于非时延多时标系统的建模与控制，能够获得较好的控制性能。其核心思想是将被控系统的状态变量分解为慢、快两组状态变量，然后先忽略快变量以降低系统阶数，再通过引入边界层校正项来提高近似程度，得到慢、快两个子系统，即一部分是在时间尺度上变化缓慢且不计边界层影响的慢变系统，另一个则由边界层影响确定的边界层校正项，只在边界层内起作用且变化迅速的快变系统，最后，根据不同的控制要求分别设计慢、快两个控制器。最近学者们又将其发展为只分慢、快变量，不分慢、快子系统的整体建模方法。然而，现存基于奇异摄动模型的非线性多时标系统控制方法多数未考虑时延因素，不能直接应用于NMTSTDSs。

综上所述，研究NMTSTDSs的建模与高精度控制具有重要的理论意义和实际应用价值。在统一模型框架下，考虑NMTSSTDs的非线性、多时标及时延三种特性并存问题，描述其病态动力学，并基于所获模型，设计出能够减少或消除外扰和快模态引起的稳态误差的控制率是解决NMTSTDSs的高精度控制问题的关键，本发明为此做出了实质性的突破。

发明内容

本发明的目的在于提供一种非线性多时标时延系统建模与控制方法，基于UDTTDFSPM的NMTSTDSs高精度控制方法，解决现有NMTSTDSs控制方法无法消除快变模态、外扰和系统参数存在不确定性引起的稳态误差问题，大幅改善NMTSTDSs的整体控制性能。

本发明的技术方案是：

NMTSTDSs的UDTTDFSPM建立与高精度鲁棒控制方法，该方法基于UDTTDFSPM，结合谱范数与线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequalities，简记LMIs)方法，为被控NMTSTDSs设计鲁棒组合控制器，实现NMTSTDSs的高精度稳定控制。根据NMTSTDSs的动力学模型，建立其不确定性连续时间时延模糊奇异摄动模型，选择适当的采样周期，采用零阶保持器方法，对所获连续模型进行离散化，获得NMTSTDSs的UDTTDFSPM，在此基础上设计鲁棒组合控制器，组合控制器由模糊慢状态反馈控制器和输出积分器组成。

具体包括：

如图2所示，本发明在NMTSTDSs上实施，所述控制系统的硬件部分主要包括：被控NMTSTDSs，传感器，控制器和执行器，其中执行器包括缓冲器和零阶保持器。

步骤一、根据NMTSTDSs的动力学方程，建立被控NMTSTDSs的不确定性连续时间时延模糊奇异摄动模型：

规则i：如果ξ₁(t)是φ_i1，...，ξ_g(t)是φ_ig，那么

$\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=(A_{\mathrm{ci}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{ci}})x\left(t\right)+(A_{\mathrm{cdi}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{cdi}})x(t-\mathrm{\τ})+B_{\mathrm{ci}}u\left(t\right)+\mathrm{D\ω}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，

$E_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n\×n}& 0\\ 0& \mathrm{\ϵ}{I}_{m\×m}\end{array}\right],x\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_s\left(t\right)\\ x_f\left(t\right)\end{array}\right],$

x_s(t)∈Rⁿ为慢变量，x_f(t)∈R^m为快变量，u(t)∈R^q为控制输入，y(t)∈R^l为系统输出，ω(t)∈R^q为外扰，φ_i1，...，φ_ig(i＝1，2，...，r)均为模糊集合，ξ₁(t)，...，ξ_g(t)为可测量的系统变量，A_ci，A_cdi，B_ci，D，C为合适维数矩阵，ΔA_ci andΔA_cdi为合适维数的不确定性矩阵，ε是奇异摄动参数，τ(0＜τ＜τ_m)为时延常数，τ_m为上确界。

步骤二、建立被控NMTSTDSs的不确定性离散时间时延模糊奇异摄动模型

控制系统中的传感器和执行器均采用时间驱动方式，且二者采用相同的采样时间T_s，在零阶保持器的作用下，将以上连续时间模型(1)，离散化为UDTTDFSPM：

规则i：如果ξ₁(k)是φ_i1，...，ξ_g(k)是φ_ig，那么

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(k\right)=E_{\mathrm{\ϵ}}(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)x\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}(A_{\mathrm{di}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{di}})x(k-\mathrm{\τ})+E_{\mathrm{\ϵ}}{B}_{i}u\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{D\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\end{array}---\left(2\right)$

其中，ΔA_i，ΔA_di为适当维数的不确定性矩阵，

$A_i=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{ci}}{T}_s},A_{\mathrm{di}}=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{cdi}}{T}_s},B_i=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{\∫}_0^h{E}_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{ci}}\mathrm{\τ}}\mathrm{d\τ}{B}_{\mathrm{ci}}$

给定[x(k)；u(k)；w(k)]，应用标准模糊推理方法，得到全局UDTTDFSPM：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(k\right)=E_{\mathrm{\ϵ}}(A\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))x\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}(A_d\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\Δ}{A}_d\left(\mathrm{\μ}\right))x(k-\mathrm{\τ})+E_{\mathrm{\ϵ}}B\left(\mathrm{\μ}\right)u\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{D\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\end{array}---\left(3\right)$

其中，隶属度函数 ${\mathrm{\μ}}_i\left(\mathrm{\ξ}\left(k\right)\right)=\frac{{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\ξ}\left(k\right)\right)}{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\ξ}\left(k\right)\right)},{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\ξ}\left(k\right)\right)=\underset{j=1}{\overset{g}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ij}}\left({\mathrm{\ξ}}_j\left(k\right)\right),{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ij}}\left({\mathrm{\ξ}}_j\left(k\right)\right)$ 为ξ_j(k)在φ_ij

中的隶属度，设ω_i(ξ(k))≥0，for i＝1，2，…，r，r为规则数，μ_i(ξ(k))≥0，

为了便于记录我们令μ_i＝μ_i(ξ(k))，

$A\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{A}_i,B\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{B}_i,A_d\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{A}_{\mathrm{di}}$

$\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i\mathrm{\Δ}{A}_i,\mathrm{\Δ}{A}_d\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{di}}.$

步骤三、基于UDTTDFSPM(3)，对被控对象设计鲁棒模糊组合控制器；

设计如下模糊组合控制器，其模糊规则前件与系统(3)的模糊规则前件相同。

$u\left(k\right)=K\left(\mathrm{\μ}\right)x\left(k\right)+K_I\underset{p=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}y\left(p\right)---\left(4\right)$

其中，K(μ)＝[K₁(μ) 0_q×m]，

K_1i，K_I为控制器增益，是系统(3)的输出积分器。

步骤四、对被控对象的输出进行积分，并将其用状态方程描述；

引入一个新状态变量x_I(k)并令

那么

x_I(k+1)＝x_I(k)+y(k)  (5)

控制率方程(4)可等同于

u(k)＝K(μ)x(k)+K_Ix_I(k)  (6)

步骤五、建立闭环系统模型

针对被控系统模型(3)，应用控制率(6)，获得闭环系统模型：

x(k+1)＝E_ε(A(μ)+B(μ)K(μ)+ΔA(μ))x(k)+E_ε(A_d(μ)+ΔA_d(μ))x(k-τ)+E_εB(μ)K_Ix_I(k)+E_εDω(k)  (7)

y(k)＝Cx(k)

为了便于求解控制器增益，将上述闭环系统模型改写为

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x(k+1)\\ x_I(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{E}_{\mathrm{\ϵ}}(A\left(\mathrm{\μ}\right)+B\left(\mathrm{\μ}\right)K\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))& E_{\mathrm{\ϵ}}B\left(\mathrm{\μ}\right)K\left(\mathrm{\μ}\right)\\ C& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(k\right)\\ x_I\left(k\right)\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}(A_d\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))\\ 0\end{array}\right]x(k-\mathrm{\τ})+\left[\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}D\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\end{array}---\left(8\right)$

步骤六、采用谱范数方法和线性矩阵不等式方法，推导出鲁棒模糊组合控制器存在的充分条件，推导过程不要求知道系统不确定性参数的上确界。下面是求解控制器增益的线性矩阵不等式组：

其中，γ(0＜γ≤1)为给定常数，S₁∈R^{(n+m)τ×(n+m)τ}为对称正定矩阵， $S_2=\left[\begin{array}{cc}{S}_{21}& 0\\ 0& S_{22}\end{array}\right]$ (S₂₁∈R^n×n与S₂₂∈R^m×m为对称正定矩阵)，L∈R^l×l，W_j＝[W_1j 0_q×m]，W_1j∈R^q×nand V∈R^q×l，

Ψ_i＝[A_di 0_{(n+m)×(n+m)(τ-1)}]，

时延τ＝1时

时延τ≥2时

$\mathrm{\Π}={\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& ...& 0& I\end{array}\right]}_{(n+m)\mathrm{\τ}\×(n+m)}^T,$

控制器增益：

$K_{1i}=W_{1i}*S_{21}^{-1},K_I=V*L^{-1}.\mathrm{for\; i}=\mathrm{1,2},...,r.---\left(11\right)$

步骤七、将所得控制器Matlab代码传化为C语言代码，植入控制器。控制器采用事件驱动方式，当采样数据到达控制器时，控制器立刻进行计算，并将控制信号传给执行器，执行器按照固定的采样周期读取控制信号，生成控制输入，作用于被控NMTSTDSs，从而实现NMTSTDSs的高精度控制。

本发明的优点：

(1)、在统一模型框架下考虑复杂系统的非线性、多时标及时延特性，建立NMTSTDSs的UDTTDFSPM，解决现存NMTSTDSs模型无法准确描述NMTSTDSs动力学而导致的控制性能低问题；

(2)、在国内外，首次采用基于UDTTDFSPM的模糊鲁棒组合控制(慢状态反馈控制与输出积分器融合控制)技术，研究NMTSTDSs的建模与高精度控制问题，解决现存控制方法难以消除系统快模态和时延引起的稳态误差难题，达到NMTSTDSs的高精度控制。

(3)、本发明提出在控制器增益求解过程中无需知道不确定性参数的上确界的新方法，解决现存不确定性系统控制方法在处理实际系统时难以预估参数不确定性的上界问题，为不确定性控制理论提供新途径。

(4)、本发明提出的模糊鲁棒组合控制率，能够有效克服外扰，尤其能够消除常值干扰引起的稳态误差。

(5)、本发明提出的控制率，能够处理系统状态不完全可测的复杂非线性多时标时延系统的高精度控制，而且控制器增益可通过求解一组LMI获得，可避免传统PID控制中的试凑方法的不便。

附图说明

图1为本发明方法的流程图。

图2为NMTSTDSs结构图。

图3为直升机结构示意图。

图4为隶属度函数。

图5为姿态角响应曲线。

图6为电枢电压响应曲线。

图7为姿态角进入稳态后的响应曲线。

图8为电枢电压进入稳态后的响应曲线。

具体实施方法

直升机姿态控制系统是典型的NMTSTDSs，下面将本发明方法应用于Humusoft公司的CE150直升机姿态控制系统，并结合图1和图2，说明其实施方法，具体过程如下：

步骤一：根据现有的直升机动力学模型，建立直升机姿态控制系统连续时间不确定性时延模糊奇异摄动模型。

CE150直升机姿态控制结构示意图如图3所示，直升机的动力学模型为：

其中，I_d是直升机沿水平轴的转动惯量，T(t)是驱动力矩，T_f(t)是摩擦力矩，T_m(t)是重力力矩，

是姿态角，τ是时延常数。

其中，

是摩擦系数，m是直升机的质量，g是重力加速度，l直升机重心到支撑点的距离

$\begin{array}{c}T(t-\mathrm{\τ})=a{u}_d^2(t-\mathrm{\τ})+{\mathrm{bu}}_d(t-\mathrm{\τ})\\ G^2{\stackrel{\·\·}{u}}_d\left(t\right)+2G{\stackrel{\·}{u}}_d\left(t\right)+u_d\left(t\right)=u\left(t\right)\end{array}---\left(14\right)$

其中，u_d(t)是电枢电压，u(t)是控制输入，a，b，G均为给定标量，其值与其他系统参数取值如下：

上述参数有些辨识误差，因此建立直升机姿态控制系统连续时间时延模糊奇异摄动模型时，采用不确定性参数描述此辨识误差。

下面建立直升机姿态控制系统的不确定性连续时间时延模糊奇异摄动模型：

规则i：如果

是φ_i1，那么

$\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=(A_{\mathrm{ci}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{ci}})x\left(t\right)+(A_{\mathrm{cdi}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{cdi}})x(t-\mathrm{\τ})+B_{c}u\left(t\right)+\mathrm{D\ω}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)\\ \mathrm{for\; i}=\mathrm{1,2,3}\end{array}---\left(16\right)$

其中，x(t)＝[x_s(t) x_f(t)]^T，

ε＝0.1，φ₁₁＝-5*π/180，φ₂₁＝0，φ₃₁＝5*π/180，u_d1＝0.7196，u_d2＝0.7212，u_d3＝0.7196，ΔA_ci，ΔA_cdi适当维数的不确定性矩阵，

$E_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{\ϵ}& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right],$

$A_{\mathrm{cdi}}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& (2a{u}_{\mathrm{di}}+b)/I_d& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],B_c=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1/G^2\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\\ 0\\ 0.1\end{array}\right],$

$C=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],$

步骤二：根据上述直升机姿态控制系统的连续时间不确定性时延模糊奇异摄动模型，建立直升机姿态控制系统的UDTTDFSPM。

取采样周期为T_s＝0.1，应用零阶保持器法离散化模型(16)，得到直升机姿态控制系统的UDTTDFSPM，

规则i：如果是φ_i1，那么

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(k\right)=E_{\mathrm{\ϵ}}(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)x\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}(A_{\mathrm{di}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{di}})x(k-\mathrm{\τ})+E_{\mathrm{\ϵ}}{B}_{i}u\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{D\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\\ \mathrm{for\; i}=\mathrm{1,2,3}\end{array}---\left(17\right)$

其中，x(k)＝[x_s(k) x_f(k)]^T，

ΔA_i，ΔA_di∈R^4×4为不确定性矩阵，

$D=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.1\\ 0\\ 0.1\end{array}\right],E_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0.1& 0\\ 0& 0& 0& 0.1\end{array}\right].$

应用如下公式

$A_i=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{ci}}{T}_s},A_{\mathrm{di}}=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{cdi}}{T}_s},B_i=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{\∫}_0^h{E}_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{ci}}\mathrm{\τ}}\mathrm{d\τ}{B}_{\mathrm{ci}}$

得：

$A_1=\left[\begin{array}{cccc}0.9882& 0.3202& 0.0900& 0.0086\\ 0& 0.9098& 0& 0.0607\\ -2.2760& 54.6588& 8.0310& 2.3380\\ 0& -13.6467& 0& 3.0330\end{array}\right],A_{d1}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 6.0732& 0& 0\\ 0& -1.5163& 0& 0\end{array}\right],$

$A_2=\left[\begin{array}{cccc}1.0000& 0.3215& 0.0904& 0.0087\\ 0& 0.9098& 0& 0.0607\\ 0& 54.9990& 8.1410& 2.3480\\ 0& -13.6467& 0& 3.0330\end{array}\right],A_{d2}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 6.1110& 0& 0\\ 0& -1.5163& 0& 0\end{array}\right],$

$A_3=\left[\begin{array}{cccc}1.0118& 0.3215& 0.0908& 0.0087\\ 0& 0.9098& 0& 0.0607\\ 2.2950& 55.1322& 8.2520& 2.3490\\ 0& -13.6467& 0& 3.0330\end{array}\right],A_{d3}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 6.1258& 0& 0\\ 0& -1.5163& 0& 0\end{array}\right],$

$B_1=\left[\begin{array}{c}0.0057\\ 0.0902\\ 2.1606\\ 15.1633\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{c}0.0058\\ 0.0902\\ 2.1606\\ 15.1633\end{array}\right],B_3=\left[\begin{array}{c}0.0057\\ 0.0902\\ 2.1606\\ 15.1633\end{array}\right].$

给定[x(k)；u(k)；w(k)]，应用标准模糊推理方法，得到全局UDTTDFSPM：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(k\right)=E_{\mathrm{\ϵ}}(A\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))x\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}(A_d\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\Δ}{A}_d\left(\mathrm{\μ}\right))x(k-\mathrm{\τ})+E_{\mathrm{\ϵ}}B\left(\mathrm{\μ}\right)u\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{D\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\end{array}---\left(18\right)$

隶属度函数取如图4所示的函数，为了便于记录，将隶属度函数

简记为μ_i，其具体分别为

$A\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{A}_i,B\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{B}_i,A_d\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{A}_{\mathrm{di}},$

$\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i\mathrm{\Δ}{A}_i,\mathrm{\Δ}{A}_d\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{di}}.$

步骤三、在建立全局UDTTDFSPM(18)的基础上，对直升机姿态控制系统设计模糊鲁棒组合控制器。

控制器规则i：如果

是φ_i1，那么

$u\left(k\right)=K\left(\mathrm{\μ}\right)x\left(k\right)+K_I\underset{p=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}y\left(p\right)---\left(20\right)$

其中，K(μ)＝[K₁(μ) 0 0]，

K_1i，K_I为控制器增益，

是系统(18)的输出积分器。

步骤四、对被控对象的输出进行积分，并将其用状态方程描述

引入一个新状态变量x_I(k)并令

那么

x_I(k+1)＝x_I(k)+y(k)  (21)

控制率方程(21)可等同于

u(k)＝K(μ)x(k)+K_Ix_I(k)  (22)

步骤五、建立闭环系统模型

针对被控系统模型(18)，应用控制率(22)，获得闭环系统模型：

x(k+1)＝E_ε(A(μ)+B(μ)K(μ)+ΔA(μ))x(k)+E_ε(A_d(μ)+ΔA_d(μ))x(k-τ)+E_εB(μ)K_Ix_I(k)+E_εDω(k)  (23)

y(k)＝Cx(k)

为了便于求解控制器增益，将上述闭环系统模型改写为

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x(k+1)\\ x_I(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{E}_{\mathrm{\ϵ}}(A\left(\mathrm{\μ}\right)+B\left(\mathrm{\μ}\right)K\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))& E_{\mathrm{\ϵ}}B\left(\mathrm{\μ}\right)K\left(\mathrm{\μ}\right)\\ C& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(k\right)\\ x_I\left(k\right)\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}(A_d\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))\\ 0\end{array}\right]x(k-\mathrm{\τ})+\left[\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}D\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\end{array}---\left(24\right)$

步骤四、采用谱范数方法和线性矩阵不等式方法，推导出鲁棒模糊组合控制器存在的充分条件，推导过程不要求知道系统不确定性参数的上确界。下面是求解控制器增益的线性矩阵不等式组：

其中，γ＝0.9，S₁∈R^8×8为对称正定矩阵， $S_2=\left[\begin{array}{cc}{S}_{21}& 0\\ 0& S_{22}\end{array}\right]$ (S₂₁∈R^2×2与S₂₂∈R^2×2为对称正定矩阵)，L∈R^2×2，W_j＝[W_1j 0_1×2]，W_1j∈R^1×2and V∈R^1×2，

Ψ_i＝[A_di 0_4×4]，

控制器增益：

$K_{11}=W_{11}*S_{21}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-3.8969& -11.0935\end{array}\right],K_{12}=W_{12}*S_{21}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-4.0170& -11.1213\end{array}\right],$

$K_{13}=W_{13}*S_{21}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-4.0904& -11.1299\end{array}\right],K_I=V*L^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-0.03381& -0.0048\end{array}\right]$

步骤五、将所得控制器Matlab代码传化为C语言代码，植入直升机姿态控制系统。

步骤六、运行控制器中的控制程序，对直升机姿态进行稳定控制，整体控制系统结构图如图2所示，具体控制过程为：传感器采用时间驱动方式，按照固定的采样时间，将采样信号及其时间戳封装成数据包(简称采样数据包)传送给控制器；控制器采用事件驱动方式，当采样数据包到达时，控制器立刻进行控制信号计算，并将控制信号传给执行器；执行器由缓冲器和零阶保持器组成。当控制数据到达执行器后，执行器将其携带的时间戳与缓冲区内控制信号的时间戳进行比较，并判断新到达的控制数据包是否“新”；“是”则将新到达的控制信号及其时间戳保存在缓冲区中，“否”则丢弃此控制数据包。零阶保持器采用时间驱动方式，即零阶保持器按照固定的采样周期，从缓冲区读取控制信号，并生成控制输入调整直升机姿态，从而实现直升机系统的稳定控制。值得注意的是传感器和执行器采用相同的采样周期，并且二者应保持时钟同步。

仿真验证：

初始值取x(k)＝[6*π/180 0 0 0]^T，外部干扰 $\mathrm{\ω}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}0.2,& 20\≤k\≤25\\ 0.01,& \mathrm{others}\end{array}\right.,$ 采用matlab软件对直升机姿态控制系统进行仿真，其结果如图5-8所示。图5和图6显示了CE150直升机姿态角与电枢电压的响应曲线，图7和图8显示了系统进入稳态后姿态角与电枢电压响应曲线的放大图。仿真结果表明：所设计控制器不仅使闭环系统渐进稳定而且能够有效减少外扰和快变模态引起的稳态误差，姿态角控制精度达1.05*10^-3度，电枢电压控制精度达-1.364*10^-4V。

综合上述，针对CE150直升机姿态控制系统的仿真结果表明，采用本发明能够有效处理NMTSTDSs的快变量和外扰引起的不稳定或稳态误差大的问题，达到NMTSTDSs的高精度稳定控制目标。

Claims (1)

1.一种非线性多时标时延系统建模与控制方法，其特征在于：

步骤1、根据NMTSTDSs的动力学方程，建立被控NMTSTDSs的不确定性连续时间时延模糊奇异摄动模型：

规则i：如果ξ₁(t)是φ_i1，…，ξ_g(t)是φ_ig，那么

$\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=(A_{\mathrm{ci}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{ci}})x\left(t\right)+(A_{\mathrm{cdi}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{cdi}})x(t-\mathrm{\τ})+B_{\mathrm{ci}}u\left(t\right)+\mathrm{D\ω}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，

$E_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n\×n}& 0\\ 0& \mathrm{\ϵ}{I}_{m\×m}\end{array}\right],x\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_s\left(t\right)\\ x_f\left(t\right)\end{array}\right],$

x_s(t)∈Rⁿ为慢变量，x_f(t)∈R^m为快变量，u(t)∈R^q为控制输入，y(t)∈R^l为系统输出，ω(t)∈R^q为外扰，φ_i1，...，φ_ig(i＝1，2，...，r)均为模糊集合，ξ₁(t)，...，ξ_g(t)为可测量的系统变量，A_ci，A_cdi，B_ci，D，C为合适维数矩阵，ΔA_ci andΔA_cdi为合适维数的不确定性矩阵，ε是奇异摄动参数，τ(0＜τ＜τ_m)为时延常数，τ_m为上确界；

步骤2、建立被控NMTSTDSs的不确定性离散时间时延模糊奇异摄动模型控制系统中的传感器和执行器均采用时间驱动方式，且二者采用相同的采样时间T_s，在零阶保持器的作用下，将以上连续时间模型(1)，离散化为UDTTDFSPM：

规则i：如果ξ₁(k)是φ_i1，…，ξ_g(k)是φ_ig，那么

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(k\right)=E_{\mathrm{\ϵ}}(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)x\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}(A_{\mathrm{di}}+\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{di}})x(k-\mathrm{\τ})+E_{\mathrm{\ϵ}}{B}_{i}u\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{D\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\end{array}---\left(2\right)$ 其中，ΔA_i，ΔA_di为适当维数的不确定性矩阵，

$A_i=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{ci}}{T}_s},A_{\mathrm{di}}=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{cdi}}{T}_s},B_i=E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{\∫}_0^h{E}_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{e}^{E_{\mathrm{\ϵ}}^{-1}{A}_{\mathrm{ci}}\mathrm{\τ}}\mathrm{d\τ}{B}_{\mathrm{ci}}$

给定[x(k)；u(k)；w(k)]，应用标准模糊推理方法，得到全局UDTTDFSPM：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(k\right)=E_{\mathrm{\ϵ}}(A\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))x\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}(A_d\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\Δ}{A}_d\left(\mathrm{\μ}\right))x(k-\mathrm{\τ})+E_{\mathrm{\ϵ}}B\left(\mathrm{\μ}\right)u\left(k\right)+E_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{D\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\end{array}---\left(3\right)$

其中，隶属度函数 ${\mathrm{\μ}}_i\left(\mathrm{\ξ}\left(k\right)\right)=\frac{{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\ξ}\left(k\right)\right)}{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\ξ}\left(k\right)\right)},{\mathrm{\ω}}_i\left(\mathrm{\ξ}\left(k\right)\right)=\underset{j=1}{\overset{g}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{ij}}\left({\mathrm{\ξ}}_j\left(k\right)\right),,$ φ_ij(ξ_j(k))为ξ_j(k)在φ_ij中的隶属度，设ω_i(ξ(k))≥0，for i＝1，2，…，r，r为规则数，μ_i(ξ(k))≥0，

为了便于记录我们令μ_i＝μ_i(ξ(k))，

$A\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{A}_i,B\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{B}_i,A_d\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i{A}_{\mathrm{di}}$

$\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i\mathrm{\Δ}{A}_i,\mathrm{\Δ}{A}_d\left(\mathrm{\μ}\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i\mathrm{\Δ}{A}_{\mathrm{di}}.$

步骤3、基于UDTTDFSPM(3)，对被控对象设计鲁棒模糊组合控制器；

设计如下模糊组合控制器，其模糊规则前件与系统(3)的模糊规则前件相同。

$u\left(k\right)=K\left(\mathrm{\μ}\right)x\left(k\right)+K_I\underset{p=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}y\left(p\right)---\left(4\right)$

其中，K(μ)＝[K₁(μ) 0_q×m]，

K_1i，K_I为控制器增益，

是系统(3)的输出积分器。

步骤4、对被控对象的输出进行积分，并将其用状态方程描述；

引入一个新状态变量x_I(k)并令

那么

x_I(k+1)x_I(k)+y(k)  (5)

控制率方程(4)可等同于

u(k)＝K(μ)x(k)+K_Ix_I(k)  (6)

步骤5、建立闭环系统模型

针对被控系统模型(3)，应用控制率(6)，获得闭环系统模型：

x(k+1)＝E_ε(A(μ)+B(μ)K(μ)+ΔA(μ))x(k)+E_ε(A_d(μ)+ΔA_d(μ))x(k-τ)+E_εB(μ)K_Ix_I(k)+E_εDω(k)  (7)

y(k)＝Cx(k)

为了便于求解控制器增益，将上述闭环系统模型改写为

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x(k+1)\\ x_I(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{E}_{\mathrm{\ϵ}}(A\left(\mathrm{\μ}\right)+B\left(\mathrm{\μ}\right)K\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))& E_{\mathrm{\ϵ}}B\left(\mathrm{\μ}\right)K\left(\mathrm{\μ}\right)\\ C& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(k\right)\\ x_I\left(k\right)\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}(A_d\left(\mathrm{\μ}\right)+\mathrm{\ΔA}\left(\mathrm{\μ}\right))\\ 0\end{array}\right]x(k-\mathrm{\τ})+\left[\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{\ϵ}}D\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\ω}\left(k\right)\\ y\left(k\right)=\mathrm{Cx}\left(k\right)\end{array}---\left(8\right)$

步骤6、采用谱范数方法和线性矩阵不等式方法，推导出鲁棒模糊组合控制器存在的充分条件，推导过程不要求知道系统不确定性参数的上确界。下面是求解控制器增益的线性矩阵不等式组：

其中，γ(0＜γ＜≤1)为给定常数，S₁∈R^{(n+m)τ×(n+m)τ}为对称正定矩阵， $S_2=\left[\begin{array}{cc}{S}_{21}& 0\\ 0& S_{22}\end{array}\right]$ (S₂₁∈R^n×n与S₂₂∈R^m×m为对称正定矩阵)，L∈R^l×l，W_j＝[W_1j 0_q×m]，W_1j∈R^q×nand V∈R^q×l，

Ψ_i＝[A_di 0_{(n+m)×(n+m)(τ-1)}]，

时延τ＝1时

∏＝I_(n+m)×(n+m)，

时延τ≥2时

$\mathrm{\Π}={\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& ...& 0& I\end{array}\right]}_{(n+m)\mathrm{\τ}\×(n+m)}^T,$

控制器增益：

$K_{1i}=W_{1i}*S_{21}^{-1},K_I=V*L^{-1}.\mathrm{for\; i}=\mathrm{1,2},...,r.---\left(11\right)$

步骤7、将所得控制器Matlab代码传化为C语言代码，植入控制器。控制器采用事件驱动方式，当采样数据到达控制器时，控制器立刻进行计算，并将控制信号传给执行器，执行器按照固定的采样周期读取控制信号，生成控制输入，作用于被控NMTSTDSs，从而实现NMTSTDSs的高精度控制。

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