CN109033585B - 不确定网络控制系统的pid控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于T‑S模糊模型的不确定网络控制系统的PID控制器设计方法，利用T‑S模糊模型对还有不确定项的网络控制系统进行建模，增加了系统的鲁棒性；在控制器设计方面采用具有更优控制效果的PID控制器，增加了系统的控制效果；在对系统稳定性进行判定的时候，选择了构造Lyapunov函数的方法，减少了系统的保守性；在系统所能承受的最大时延以及控制器增益的时候，结合所得到的线性矩阵不等式设计了一个求解方法，对系统所能承受的最大时延及其控制器增益进行了求解。

Description

不确定网络控制系统的PID控制器设计方法

技术领域

本发明涉及一种网络控制系统，具体涉及一种不确定网络控制系统的PID控制器设计方法。

背景技术

网络控制系统是指通过通讯网络形成闭环的反馈控制系统。在网络控制系统中，传感器、控制器和执行器等系统组件作为网络节点直接挂接在网络上，通过共享的有线或者无线通讯网络进行传感和控制信息的交换，因此网络控制系统与传统的直接点对点连接的控制系统相比，具有连线少、成本低、安装维护方便和灵活性高等优点，被广泛应用于汽车制造、机器人和飞行器控制系统等多个领域。

近年来，随着控制系统从集中封闭式体系向开放分布式体系迅猛过渡，网络化控制系统已被各行业广泛应用。网络控制系统由传感器、控制器和执行器三部分组成，传感器和控制器以及控制器和执行器之间是通过网络进行数据传输的。由于网络控制系统在复杂的工业控制系统和航天器领域有很强的应用背景，因此其研究成为热点，并取得了不错的成果。

影响网络控制系统性能的主要因素为系统传输时延以及丢包现象，其中由于时延而对系统性能的影响最为显著，而对于一个网络控制系统其时延得到是需要通过大量的时延数据所得到的。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于提出一种不确定网络控制系统的PID控制器设计方法，首先构造Lyapunov泛函，利用各种不等式放缩技巧，降低结果的保守性。

技术方案：本发明提供了一种基于T-S模糊模型的不确定网络控制系统的PID控制器设计方法，包括以下步骤：

(1)建立带有时滞的不确定网络控制系统模型

网络控制系统由一组微分代数方程描述，在系统运行点附近对其线性化，最终系统表示为：

式中，x为系统状态变量，A为系统状态矩阵，B为系统输入矩阵，C为系统输出矩阵，u为系统控制输入，y为系统控制输出，G为扰动项的系数矩阵，ω(k)为系统扰动状态矩阵，k＝0,1,2,3.....为第k时刻(k为正整数)，ΔA和ΔB为不确定系数矩阵；

并且，

[ΔA(k) ΔB(k)]＝DF(k)[H₁ H₂]

式中，D、H₁、H₂为已知的常数矩阵，F(k)为未知矩阵，但为Lebesque可测量的，并且满足F^T(k)F(k)≤I，其中I代表单位矩阵；

(2)利用T-S模糊模型对不确定网络控制系统模型进行变换：

如果模糊前提变量θ_j(k)是模糊集合F_ij，j＝1,2,...,r，那么

x(k+1)＝(A_i+ΔA_i(k))x(k)+(B_i+ΔB_i(k))u(k)+G_iω(k)

进而可以推导为：

式中，i表示与横坐标有关的第i个模糊规则，i＝1,2,...r，j表示与横坐标有关的第j个模糊规则，j＝1,2,...r，r是模糊规则的数目；A_i、ΔA_i、B_i、ΔB_i、G_i,分别为第i个模糊规则下的A、ΔA、B、ΔB、G；θ_i(k)(i＝1,2,...r)为模糊前提变量；并且常数μ_i满足：μ_i≥0，

(3)将整个不确定网络控制系统当中的控制器设计为PID控制器：

如果模糊前提变量θ_j(k)是模糊集合F_ij，j＝1,2,...,r，那么

因为系统误差项e(k)＝-Cx(k)，进而上式可以推导为：

式中，K_pi、K_Ii、K_Di分别为第i项模糊规则的系统控制器的比例系数、积分系数、微分系数，K_pj、K_Ij、K_Dj分别为第j项模糊规则的系统控制器的比例系数、积分系数、微分系数，m为一个有序数列，k表示此时状态所处的时刻，T_s为系统采样周期，μ_j表示与纵坐标相关的μ的第j项取值；

将控制器的整合公式(2)代入系统模型公式(1)可得：

将复杂的网络控系统模型转化为简单的网络控制系统模型：

对以下矩阵进行整合与定义：

则式(3)可化为：

定义一个新的增广矩阵：

则式(4)可化简为：

设：

则上式可化简为：

设d(k)表示信号在k时刻传输过程当中的总的时延，d_M＝max(d(k))表示取d(k)的最大值，所以有：

0≤d(k)≤d_M≤T_s

设δ(k)＝z(k)-z(k-d(k))

则式(5)变换为：

其中，δ^T(k)δ(k)≤αx^T(k)Ωx(k)，δ(k)是正定矩阵，常数α∈[0,1)；

以上将含有PID控制器的T-S模糊模型的不确定网络控制系统模型(3)转化为了简单的含有时延的不确定网络控制系统(6)。

将系统模型建立为了含有不确定系数项的系统模型，增加了系统的鲁棒性。并且，将系统模型设计为基于T-S模糊模型的网络控制系统模型，减少了系统模型的保守性。最后，将系统控制器设计为PID控制器，增加了系统控制器的控制效果和性能。

进一步，利用Lyapunov函数方法以及线性矩阵不等式的方法对含有时延的不确定网络控制系统(6)的H_∞稳定性进行验证：

首先，给出本发明所提方法用到的两个重要引理：

引理1：给定适当维数的矩阵∑₁，∑₂，∑₃，并且

则

对所有的满足Δ(k)Δ^T(k)≤I的矩阵Δ(k)成立，当且仅当存在一个常数ε＞0，使得

成立。

引理2(矩阵的Schur补引理)：若已知三个矩阵，

Z₃，则

当且仅当

或

判据：对于给定的系数α＞0以及d_M，存在以下状态反馈模糊PID控制器

如果存在正定矩阵

S₁＞0、S₂＞0、

以及矩阵

和任意小的标量γ＞0，ε＞0，满足下列线性矩阵不等式，那么不确定网络控制系统(6)是H_∞稳定的：

其中，

D_i、H₁ ⁱ和H₂ ⁱ(i＝1,2,...,r)分别为第i个模糊规则下的D、H₁和H₂。

证明：

构造Lyapunov函数为：

其中，P，Q，R为正定矩阵，

对V(k)进行求导可得：

ΔV(k)＝ΔV₁(k)+ΔV₂(k)+ΔV₃(k)

其中：

ΔV₂(k)＝z^T(k)Qz(k)-z^T(k-d_M)Qz(k-d_M)^T

在规定的衰减水平λ＞0的条件下有消耗方程

而当J≤0，网络控制系统的为H_∞稳定的。因此，应当对J≤0进行求解。

又因为

所以J≤0可以转化为

又因为δ(k)＝z(k)-z(k-d(k))以及δ^T(k)δ(k)≤αx^T(k)Ωx(k)，所以可以得到：

其中，M＞0，为具有适当维数的正定矩阵。

设：

则(8)式可化为：

设：

Γ＝[X Y-X -Y 0_5n×2n]

则(9)式可以简化为：

所以，如果ΔV(k)＜0，则

以及

均成立。

公式(11)利用Schur补定理可得：

在公式(13)中，将

替换为

将

替换为

又因为[ΔA_i(k) ΔB_i(k)]＝D_iF_i(k)[H₁ ⁱ H₂ ⁱ]，

其中，

D_i，F_i(k)，H₁ ⁱ和H₂ ⁱ分别为第i个模糊规则下的

D，F(k)，H₁和H₂。

所以有：

其中，

又因为：

设：

则可得：

同理可得

其中，

则，(13)式可以换为：

设：

Π＝diag(Q-P,αΩ,-Q,-Ω,-λ²)，Γ＝[X Y-X -Y 0_5n×2n]

则(14)式可以简化为：

令：

则，(15)式可以改写为：

Σ₁+Σ₂F(k)Σ₃+Σ^T ₃F^T(k)Σ^T ₂＜0 (16)

由引理1可以得到，对任意的ε＞0都有：

Σ₁+εΣ₂Σ^T ₂+εΣ^T ₃Σ₃＜0 (17)

令：Γ＝diag(Γ₁,P^-1,R^-1)，其中Γ₁＝diag(P^-1,P^-1,P^-1,P^-1,P^-1)。

下面在(17)式的左右两边分别左乘和右乘Γ，我们可以得到ΓΣ₁Γ+εΓΣ₂Σ^T ₂Γ+εΓΣ^T ₃Σ₃Γ＜0，对任意小的ε＞0均成立。又因为Γ＝Γ^T，所以有ΓΣ₁Γ+εΓΣ₂(ΓΣ₂)^T+ε(ΓΣ₃)^TΓΣ₃＜0(18)成立。

根据引理2，则(18)式可以化为：

以及

由以上的分析结果可以得到：

再次利用Schur补定理可以得到：

下面，我们定义一些新的变量：S₁＝P^-1，S₂＝R^-1，

则，(20)式可以简化为：

则(21)式可以简化为：

则公式(10)可化为J＜0，对于任意小的ε＞0，γ＞0均成立。

综上所述，可以得到不确定网络控制系统为H_∞稳定的。最后，判据得以证明。

进一步，利用Matlab中的线性矩阵(LMI)工具箱，根据系统给定的所能承受的最大的时滞，可以判定时滞网络控制系统的H_∞稳定性，通过求解稳定性判据中的线性矩阵不等式可以同时对系统的PID控制器的控制器增益进行求解：

首先给定不确定网络控制系统的各项常数项，并且给定初始系统时延d_M，然后，利用所给数据对判据中的线性矩阵不等式进行求解，如果判据是成立的，那么对系统时延d_M选择步长为Δd_M＝0.01进行增加并逐渐对系统时延d_M进行更新，然后再进行上一步，直到判据是不成立的，此时输出在求解过程中的最终的系统时延d_M，即为系统所能承受的最大时延。反之，如果在初始给定的系统时延d_M以及各项系数下，系统为不稳定的，那么对其进行调整，直到循环得以进行。最后可以得到系统在稳定情况下所能承受的最大系统时延，以及系统的控制器增益。

有益效果：本发明利用T-S模糊模型对还有不确定项的网络控制系统进行建模，增加了系统的鲁棒性；在控制器设计方面采用具有更优控制效果的PID控制器，增加了系统的控制效果；在对系统稳定性进行判定的时候，选择了构造Lyapunov函数的方法，减少了系统的保守性；在系统所能承受的最大时延以及控制器增益的时候，结合所得到的线性矩阵不等式设计了一个求解方法，对系统所能承受的最大时延及其控制器增益进行了求解。

附图说明

图1为本发明所提的时滞电力系统稳定性判定方法流程图；

图2为在初始条件x(0)＝[1.6 -1.8]^T下系统的状态变量x(k)变化情况；

图3为在初始条件x(0)＝[1.6 -1.8]^T下系统的控制输入u(k)的变化情况。

具体实施方式

下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

一种基于T-S模糊模型的不确定网络控制系统的PID控制器设计方法，如图1所示；在整个系统的分析当中我们设r＝3，

又因为：

其中，设

μ₁＝0.3，μ₂＝0.4，μ₃＝0.3，

α＝0.4，T_s＝1.8

对判据中的F(k)进行定义，将F(k)设为服从泊松分布的离散型概率分布，

并且相应的设λ₁＝0.9，λ₂＝0.7，λ₃＝0.8。

在求解过程中，首先令d_M＝0.1，利用Matlab中的LMI工具箱通过求解线性矩阵不等式(23)，(24)选择步长为Δd_M＝0.01对系统时延的逐渐增加与更新，可以得到在上述所给的系统条件下系统所能承受的最大时延为d_M＝1.60，此时系统的状态反馈增益为：

在对整个变化系统的研究当中，所取的离散变化的值域为k∈[0,100]。系统的初始条件选为：x(0)＝[1.6 -1.8]^T，则，状态变量以及控制输入的变化情况如图2，图3所示。

由图2，图3可以看出大约在k＝15时，系统的状态变量以及控制输入都趋于稳定，但由于系统中高斯白噪声的影响，系统的状态变量以及控制输入的变化都不是光滑的。由仿真结果可以看出当初始条件为x(0)＝[1.6 -1.8]^T时，从总体趋势来看该带有扰动的不确定网络控制系统是渐近稳定的。即上述模型的建立以及所建立的控制器是可行的。

Claims (2)

1.一种基于T-S模糊模型的不确定网络控制系统的PID控制器设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)建立带有时滞的不确定网络控制系统模型

网络控制系统由一组微分代数方程描述，在系统运行点附近对其线性化，最终系统表示为：

式中，x为系统状态变量，A为系统状态矩阵，B为系统输入矩阵，C为系统输出矩阵，u为系统控制输入，y为系统控制输出，G为扰动项的系数矩阵，ω(k)为系统扰动状态矩阵，k＝0,1,2,3.....为第k时刻，ΔA和ΔB为不确定系数矩阵；

并且，

[ΔA(k) ΔB(k)]＝DF(k)[H₁ H₂]

式中，D、H₁、H₂为已知的常数矩阵，F(k)为未知矩阵，但为Lebesque可测量的，并且满足F^T(k)F(k)≤I，其中I代表单位矩阵；

(2)利用T-S模糊模型对不确定网络控制系统模型进行变换：

如果模糊前提变量θ_j(k)是模糊集合F_ij，j＝1,2,...,r，那么

x(k+1)＝(A_i+ΔA_i(k))x(k)+(B_i+ΔB_i(k))u(k)+G_iω(k)

进而可以推导为：

式中，i表示与横坐标有关的第i个模糊规则，i＝1,2,...r，j表示与横坐标有关的第j个模糊规则，j＝1,2,...r，r是模糊规则的数目；A_i、ΔA_i、B_i、ΔB_i、G_i,分别为第i个模糊规则下的A、ΔA、B、ΔB、G；θ_i(k)为模糊前提变量,i＝1,2,...r；并且常数μ_i满足：

(3)将整个不确定网络控制系统当中的控制器设计为PID控制器：

如果模糊前提变量θ_j(k)是模糊集合F_ij，j＝1,2,...,r，那么

因为系统误差项e(k)＝-Cx(k)，进而上式可以推导为：

式中，K_pi、K_Ii、K_Di分别为第i项模糊规则的系统控制器的比例系数、积分系数、微分系数，K_pj、K_Ij、K_Dj分别为第j项模糊规则的系统控制器的比例系数、积分系数、微分系数，m为一个有序数列，k表示此时状态所处的时刻，T_s为系统采样周期，μ_j表示与纵坐标相关的μ的第j项取值；

将控制器的整合公式(2)代入系统模型公式(1)可得：

将复杂的网络控系统模型转化为简单的网络控制系统模型：

对以下矩阵进行整合与定义：

μ＝[μ₁ μ₂…μ_r]，

则式(3)可化为：

定义一个新的增广矩阵：

则式(4)可化简为：

设：

则上式可化简为：

设d(k)表示信号在k时刻传输过程当中的总的时延，d_M＝max(d(k))表示取d(k)的最大值，所以有：

0≤d(k)≤d_M≤T_s

设δ(k)＝z(k)-z(k-d(k))

则式(5)变换为：

其中，δ^T(k)δ(k)≤αx^T(k)Ωx(k)，δ(k)是正定矩阵，常数α∈[0,1)；

以上将含有PID控制器的T-S模糊模型的不确定网络控制系统模型(3)转化为了简单的含有时延的不确定网络控制系统(6)；

利用Lyapunov函数方法以及线性矩阵不等式的方法对含有时延的不确定网络控制系统(6)的H_∞稳定性进行验证：

对于给定的系数α＞0以及d_M，存在以下状态反馈模糊PID控制器

如果存在正定矩阵

S₁＞0、S₂＞0、

以及矩阵

和任意小的标量γ＞0，ε＞0，满足下列线性矩阵不等式，那么不确定网络控制系统(6)是H_∞稳定的：

其中，

D_i、H₁ ⁱ和H₂ ⁱ分别为第i个模糊规则下的D、H₁和H₂,i＝1,2,...,r，λ表示衰减水平。

2.根据权利要求1所述的基于T-S模糊模型的不确定网络控制系统的PID控制器设计方法，其特征在于：利用Matlab中的线性矩阵工具箱，根据系统给定的所能承受的最大的时滞，可以判定时滞网络控制系统的H_∞稳定性，通过求解稳定性判据中的线性矩阵不等式可以同时对系统的PID控制器的控制器增益进行求解：

首先给定不确定网络控制系统的各项常数项，并且给定初始系统时延d_M，然后，利用所给数据对判据中的线性矩阵不等式进行求解，如果判据是成立的，那么对系统时延d_M选择步长为Δd_M＝0.01进行增加并逐渐对系统时延d_M进行更新，然后再进行上一步，直到判据是不成立的，此时输出在求解过程中的最终的系统时延d_M，即为系统所能承受的最大时延；反之，如果在初始给定的系统时延d_M以及各项系数下，系统为不稳定的，那么对其进行调整，直到循环得以进行；最后可以得到系统在稳定情况下所能承受的最大系统时延，以及系统的控制器增益。

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