CN105911865A - 一种pid控制器的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种PID控制器的控制方法，其包括以下步骤：S1)选择BP神经网络的结构，BP神经网络包括输入层，隐含层和输出层，确定神经网络各层的节点的个数，并对权系数的初值进行初始化，然后来选定学习速率η以及惯性系数α，并令k＝1；S2)釆样得到r(k)和y(k)，r(k)是参考输入，y(k)是系统输出,计算e(k)＝z(k)＝r(k)‑y(k)；S3)对r(i)、y(i)、e(i)，i＝k,k‑1,...,k‑p进行归一化处理，作为BP网络的输入；S4)前向计算BP神经网络的各层输入和输出，其中，输出层的输出即为PID控制器的三个可调参数k_p、k_i、k_d；S5)计算PID控制器的控制输出u(k)，并将u(k)参与下面的进一步控制和计算；S6)调整各层的加权系数和S7)置k＝k+1，返回S2继续运行。

Description

一种PID控制器的控制方法

技术领域

本发明涉及一种PID控制器的控制方法。

背景技术

传统的PID控制器结构简单，对模型误差具有鲁棒性及易于操作等优点，被广泛应用于冶金、化工、电力、轻工和机械等工业过程控制领域中。随着工业的发展，被控对象的复杂程度不断加深，尤其对于大滞后、时变的、非线性的复杂系统，传统PID控制己经无法满足目标控制精确化的要求。传统PID控制中，常规做法都是采用人工设定或离线方式进行整定，当控制对象的结构或参数特性发生变化时(如外界条件改变、或外部干扰介入等)，PID参数无法及时修正，使得PID控制器难以取得好的控制性能，对于供热系统来说，就会出现温差过大和电泵频率不稳定等诸多问题，给用户带来极大困扰，甚至导致失控。

现有的控制方法通常采用参数整定法，其大多都需要提前获取被控对象的特征参数，然后根据已知的经验公式进行计算，这样比较适用于手工离线整定，然而其过程比较复杂，效率也比较低，很难达到控制的最佳效果。由于现代控制系统中存在着某些不确定性，为了解决这些不确定性带来的影响，就必须解决常规PID控制器在线实时调整三个PID控制参数的能力。在实际应用中人们一般采用人工凑试整定的方法，这种方法不仅费时费事，而且需要有熟练的技巧和丰富的经验。此外，对于某一复杂的控制对象，整定好一组PID控制参数后，在稳定的情况下系统正常运行，但是当被控对象的特性发生变化(如外界条件发生改变、或者突然有外部干扰介入)时，就需要PID控制器的控制参数作出相应的调整以免影响系统的控制品质。然而，往往PID控制参数是通过经验公式或凑试法得到的，其控制参数只能对某一特定条件下的控制效果比较理想，而并没有这种对控制参数的“自适应”或“自调整”的能力，只能够依靠人为的再重新整定出一组较为适当的控制参数。但是由于控制过程的实时性、复杂性和连续性，人工实时重新整定控制参数存在着很大的难度，所以常规PID控制器存在着参数难以整定、抗干扰能力差等问题。

神经网络分类广泛，通常所说的神经网络结构，主要是指它的联结方式。按联结方式分，主要有前馈网络(如BP网络)和反馈网络(如Hopfield网络)两种，从作用效果看，前者主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。按对能量函数的所有从学习方式角度，可分为有导师学习网络和无导师学习网络。按连接突触性质不同，可分为一阶线性关联网络和高阶非线性关联网络。通过向环境学习获取知识极小点的利用情况，可将反馈网络分为两类：一类是能量函数的所有极小点都起作用，主要用作各种联想存储器；另一类只利用全局极小点，主要用于求解优化问题。并改进自身性能是神经网络的一个重要特点。在一般情况下，性能的改善是按某种预定的度量通过调节自身参数(如权值)随时间逐步达到的。

发明内容

本发明为了解决现有技术的问题，提供了一种能够使供热系统出现温差较小和电泵频率较稳定的PID控制器的控制方法。

具体技术方案如下：一种PID控制器的控制方法，包括以下步骤：S1)选择BP神经网络的结构，BP神经网络包括输入层，隐含层和输出层，确定神经网络各层的节点的个数，并对权系数的初值进行初始化，然后来选定学习速率η以及惯性系数α，并令k＝1；S2)釆样得到r(k)和y(k)，r(k)是参考输入，y(k)是系统输出,计算e(k)＝z(k)＝r(k)-y(k)；S3)对r(i)、y(i)、e(i)，i＝k,k-1,...,k-p进行归一化处理，作为BP网络的输入；S4)前向计算BP神经网络的各层输入和输出，其中，输出层的输出即为PID控制器的三个可调参数k_p、k_i、k_d；S5)计算PID控制器的控制输出u(k)，并将u(k)参与下面的进一步控制和计算；S6)调整各层的加权系数和S7)置k＝k+1，返回S2继续运行。

以下为本发明的附属技术方案。

作为优选方案，所述步骤S4中，BP神经网络的各层输入和输出根据以下公式计算：

网络输入层的输出为：

$\left\{\begin{array}{c}{O}_j^{\left(1\right)}=x_j,j=0,1,...,M-1\\ O_M^{\left(1\right)}\≡1\end{array}\right.$

网络隐含层的输入、输出分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{net}}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)=\underset{j=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}{O}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)\\ O_i^{\left(2\right)}\left(k\right)=f\[{\mathrm{net}}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\],i=0,1,...,Q\end{array}\right.$

式中，为隐含层加权系数，为阈值，f(·)为激发函数，其中f(·)＝tanh(x)，而上角标中的(1)、(2)、(3)分别表示着三层网络。

网络输出层的输入、输出分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)=\underset{l=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}{O}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\\ O_l^{\left(3\right)}\left(k\right)=g\[{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)\],l=0,1,2\\ k_p=O_0^{\left(3\right)},k_i=O_1^{\left(3\right)},k_d=O_2^{\left(3\right)}\end{array}\right.$

式中，为输出层加权系数，为阈值，g(·)为激发函数，输出层分别对应着三个参数k_p、k_i、k_d，由于三个参数k_p、k_i、k_d不能为负，g(·)＝[1+tanh(x)]/2。

作为优选方案，所述步骤S5中，根据以下公式计算PID控制器的控制输出u(k)，

u(k)＝u(k-1)+k_p(e(k)-e(k-1))+k_ie(k)T+

k_d(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))

其中，u(k)为当前时刻的控制输出量，u(k-1)为前一时刻的控制输出量。

作为优选方案，在步骤S6中，根据下式调整各层的加权系数和

网络输出层的权系数的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k+1\right)={\mathrm{\η\δ}}_l^{\left(3\right)}{O}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)+{\mathrm{\α\Δ\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k\right)\\ {\mathrm{\δ}}_l^{\left(3\right)}=e\left(k+1\right)\mathrm{sgn}\[\frac{\∂y\left(k+1\right)}{\∂u\left(k\right)}\]\·\frac{\∂u\left(k\right)}{\∂O_l^{\left(3\right)}\left(k\right)}\·g^{\′}\[{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)\],l=0,1,2\end{array}\right.$

也可得隐含层的权系数的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}\left(k+1\right)={\mathrm{\η\δ}}_i^{\left(2\right)}{O}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)+{\mathrm{\α\Δ\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}\left(k\right)\\ {\mathrm{\δ}}_i^{\left(2\right)}=f^{\′}\[{\mathrm{net}}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\]\underset{l=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\δ}}_l^{\left(3\right)}{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k\right),i=0,1,...,Q\end{array}\right.$

式中，

$\left\{\begin{array}{c}{g}^{\′}\[\·\]=g\left(x\right)\[1-g\left(x\right)\]\\ f^{\′}\[\·\]=\frac{1}{2}\[1-f^2\left(x\right)\]\end{array}\right.$

本发明的技术效果：本实施例的PID控制器的控制方法利用神经网络的自学习和非线性逼近能力，对PID控制器的比例(k_p)、积分(k_i)和微分(k_d)这三个参数进行在线调整或自整定，使得PID控制器能够实现对供热系统的温差和电泵频率等状态的动态跟踪控制。

附图说明

图1是本发明实施例的PID控制器的结构图。

图2是本发明实施例的BP神经网络的结构图。

图3是传统PID控制器的输出y₁示意图。

图4是传统PID控制器的输出y₂示意图。

图5是本发明实施例的PID控制器控制输入u₁示意图。

图6是本发明实施例的PID控制器的误差e₁示意图。

图7是本发明实施例的PID控制器的输出y₁示意图。

图8是本发明实施例的PID控制器的u₁的自整定参数示意图。

图9是本发明实施例的PID控制器控制输入u₂示意图。

图10是本发明实施例的PID控制器的误差e₂示意图。

图11是本发明实施例的PID控制器的输出y₂示意图。

图12是本发明实施例的PID控制器控制输入u₂的自整定参数示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

如图1至图3所示，本实施例的PID控制器包括三层BP神经网络，有M个输入节点，Q个隐层节点，3个输出节点。M个输入节点取决于被控系统的复杂程度，对应着的是整个系统运行的状态量，在不同时刻如果系统的输入量与输出量相等，必要时要进行归一化处理。3个输出节点分别对应于PID控制器的三个控制参数k_p、k_i、k_d，由于三个参数不能取负值，所以把输出层神经元的激发函数选取为非负的Sigmoid函数。BP神经网络包括输入层，隐含层和输出层，通过上述各层得到三个控制参数k_p、k_i、k_d，从而对PID控制器进行控制。

本实施例的PID控制表达式为：

$\begin{array}{c}u\left(k\right)=u\left(k-1\right)+k_p\left(e\left(k\right)-e\left(k-1\right)\right)+k_{i}e\left(k\right)T+\\ k_d\left(e\left(k\right)-2e\left(k-1\right)+e\left(k-2\right)\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，u(k)为当前时刻的控制输出量，u(k-1)为前一时刻的控制输出量。

网络输入层的输出为：

$\left\{\begin{array}{c}{O}_j^{\left(1\right)}=x_j,j=0,1,...,M-1\\ O_M^{\left(1\right)}\≡1\end{array}\right.---\left(2\right)$

网络隐含层的输入、输出分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{net}}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)=\underset{j=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}{O}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)\\ O_i^{\left(2\right)}\left(k\right)=f\[{\mathrm{net}}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\],i=0,1,...,Q\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，为隐含层加权系数，为阈值，f(·)为激发函数，其中f(·)＝tanh(x)，而上角标中的(1)、(2)、(3)分别表示着三层网络。

网络输出层的输入、输出分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)=\underset{l=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}{O}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\\ O_l^{\left(3\right)}\left(k\right)=g\[{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)\],l=0,1,2\\ k_p=O_0^{\left(3\right)},k_i=O_1^{\left(3\right)},k_d=O_2^{\left(3\right)}\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，为输出层加权系数，为阈值，g(·)为激发函数，输出层分别对应着三个参数k_p、k_i、k_d，由于三个参数k_p、k_i、k_d不能为负，g(·)＝[1+tanh(x)]/2。

选取性能指标函数为：

$J=\frac{1}{2}{\[r(k+1)-y(k+1)\]}^2=\frac{1}{2}{z}^2(k+1)---\left(5\right)$

按照梯度下降法来修正网络的权系数，即按J对加权系数的负梯度方向进行修正，并且附加一个全局极小的惯性项，则有：

${\mathrm{\Δ\ω}}_{li}^{\left(3\right)}(k+1)=-\mathrm{\η}\frac{\∂J}{\∂{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}}+{\mathrm{\α\Δ\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k\right)---\left(6\right)$

式中，η为学习速率，α为惯性系数。

$\frac{\∂J}{\∂{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}}=\frac{\∂J}{\∂y(k+1)}\·\frac{\∂y(k+1)}{\∂u\left(k\right)}\·\frac{\∂u\left(k\right)}{\∂O_l^{\left(3\right)}\left(k\right)}\·\frac{\∂O_l^{\left(3\right)}\left(k\right)}{\∂{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)}\·\frac{\∂{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)}{\∂{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}}---\left(7\right)$

考虑到是未知的，所以在这里用近似的符号函数来取代，由此产生的误差将通过调整学习速率η来补偿。

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂u\left(k\right)}{\∂O_0^{\left(3\right)}\left(k\right)}=e\left(k\right)-e(k-1)\\ \frac{\∂u\left(k\right)}{\∂O_1^{\left(3\right)}\left(k\right)}=e\left(k\right)\\ \frac{\∂u\left(k\right)}{\∂O_2^{\left(3\right)}\left(k\right)}=e\left(k\right)-2e(k-1)+e(k-2)\end{array}\right.---\left(8\right)$

于是可得网络输出层的权系数的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k+1\right)={\mathrm{\η\δ}}_l^{\left(3\right)}{O}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)+{\mathrm{\α\Δ\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k\right)\\ {\mathrm{\δ}}_l^{\left(3\right)}=e\left(k+1\right)\mathrm{sgn}\[\frac{\∂y\left(k+1\right)}{\∂u\left(k\right)}\]\·\frac{\∂u\left(k\right)}{\∂O_l^{\left(3\right)}\left(k\right)}\·g^{\′}\[{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)\],l=0,1,2\end{array}\right.---\left(9\right)$

同理，也可得隐含层的权系数的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}\left(k+1\right)={\mathrm{\η\δ}}_i^{\left(2\right)}{O}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)+{\mathrm{\α\Δ\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}\left(k\right)\\ {\mathrm{\δ}}_i^{\left(2\right)}=f^{\′}\[{\mathrm{net}}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\]\underset{l=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\δ}}_l^{\left(3\right)}{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k\right),i=0,1,...,Q\end{array}\right.---\left(10\right)$

式中，

$\left\{\begin{array}{c}{g}^{\′}\[\·\]=g\left(x\right)\[1-g\left(x\right)\]\\ f^{\′}\[\·\]=\frac{1}{2}\[1-f^2\left(x\right)\]\end{array}\right.---\left(11\right)$

根据上述说明，可归纳出PID控制器的控制方法如下：

S1：选择BP神经网络的结构，确定神经网络各层的节点的个数，并对权系数的初值进行初始化，然后来选定学习速率η以及惯性系数α，并令k＝1；

S2：釆样得到r(k)和y(k)，r(k)是参考输入，y(k)是系统输出,计算e(k)＝z(k)＝r(k)-y(k)；

S3：对r(i)、y(i)、e(i)，i＝k,k-1,...,k-p进行归一化处理，作为BP网络的输入；

S4：根据公式(2)至(4)，前向计算神经网络的各层输入和输出，其中，输出层的输出即为PID控制器的三个可调参数k_p、k_i、k_d；

S5：根据式(1)，计算PID控制器的控制输出u(k)，并将u(k)参与下面的进一步控制和计算；

S6：根据式(9)和式(10)，调整各层的加权系数和

S7：置k＝k+1，返回S2继续运行。

本实施例采用基于BP神经网络的参数自整定PID控制器，实现了对理想解耦后的质调量调通道的单回路控制。它根据设定的控制率，通过神经网络在线调整PID控制器的比例、积分和微分参数，再利用自整定后的PID控制器对系统实施控制。其中，在使用BP自学习算法进行PID控制器参数整定时，优选采用以下设置：1、自学习开始时，各隐含层连接权系数的初值，应设置为较小的随机数较为适宜。2、本实施例采用Sigmoid激发函数，由于输出层各神经元的输出只能趋于1或0，不能达到或等于0，因此在设置各训练样本时，期望的输出分量不能设置为1或0，应设置为接近1或接近0的常数，如0.9或0.1。3、学习速率η的选择，在学习开始阶段，η选较为大的值可以加快学习速度；但在学习接近优化区时，η值必须相当小，否则权系数将产生震荡而不收敛；此外，惯性系数α的选值在0.9左右。

如图3至图12所示为本实施例的实验仿真示例。针对供热耦合系统，采用理想解耦方法对量调和质调通道进行解耦，从而使得质调通道输入变量ΔT、量调通道的输入变量Q与其他通道的输出之间不存在相互影响，方便设计各个通道的控制器。采用传统增量式PID控制器，分别对供热系统解耦后的质调通道和量调通道进行控制。其中，当质调通道的输入阶跃信号r₁＝5，即参考温差ΔT＝5时，PID控制器的三个参数分别设置为k_p1＝0.15,k_i1＝1,k_d1＝0.0001；当量调通道的输入阶跃信号r₂＝10即电泵频率Q＝10时，PID控制器的三个参数分别设置为k_p2＝0.06,k_i2＝0.11,k_d2＝0.0001。质调和量调通道的控制效果分别如图3和图4所示。从图3与图4可以清晰的看出，通过不断调整传统PID控制的三个参数，增量式PID控制器能够快速准确的对供热系统的两条通道进行控制，并且不会出现超调等现象，取得了较好的控制效果，即温差和电泵频率可以较好的达到理想值，从而使得整个供热系统能够正常工作。

如图5至图12所示，采用BP神经网络对传统PID控制器的三个参数可进行自整定，从而实现对解耦后的质调和量调通道的控制器设计。实验中，参考信号均为1，BP网络采用上述三层网络结构。其中，对于质调通道η₁＝0.6,α₁＝0.002，其控制效果如图5至图8所示。对于量调通道η₂＝0.25,α₂＝0.001，其控制效果如图5至图8所示。从图7和图11的输出曲线可以看出，尽管系统开始时会有波动，但输出能够较快的跟踪参考输入，即得到的输入输出误差不断减小，与图6和图10的误差曲线相吻合。因为采用了BPNN来调整PID控制器的三个参数，就不需要人为进行调整，图8和图12是PID控制器参数的自适应动态变化曲线图。

本实施例的PID控制器的控制方法利用神经网络的自学习和非线性逼近能力，对PID控制器的比例(k_p)、积分(k_i)和微分(k_d)这三个参数进行在线调整或自整定，使得PID控制器能够实现对供热系统的温差和电泵频率等状态的动态跟踪控制。

需要指出的是，上述较佳实施例仅为说明本发明的技术构思及特点，其目的在于让熟悉此项技术的人士能够了解本发明的内容并据以实施，并不能以此限制本发明的保护范围。凡根据本发明精神实质所作的等效变化或修饰，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种PID控制器的控制方法，其特征在于，其包括以下步骤：

S1)选择BP神经网络的结构，BP神经网络包括输入层，隐含层和输出层，确定神经网络各层的节点的个数，并对权系数的初值进行初始化，然后来选定学习速率η以及惯性系数α，并令k＝1；

S2)釆样得到r(k)和y(k)，r(k)是参考输入，y(k)是系统输出,计算e(k)＝z(k)＝r(k)-y(k)；

S3)对r(i)、y(i)、e(i)，i＝k,k-1,...,k-p进行归一化处理，作为BP网络的输入；

S4)前向计算BP神经网络的各层输入和输出，其中，输出层的输出即为PID控制器的三个可调参数k_p、k_i、k_d；

S5)计算PID控制器的控制输出u(k)，并将u(k)参与下面的进一步控制和计算；

S6)调整各层的加权系数和

S7)置k＝k+1，返回S2继续运行。

2.如权利要求1所述的PID控制器的控制方法，其特征在于：所述步骤S4中，BP神经网络的各层输入和输出根据以下公式计算：

网络输入层的输出为：

$\left\{\begin{array}{c}{O}_j^{\left(1\right)}=x_j,j=0,1,...,M-1\\ O_M^{\left(1\right)}\≡1\end{array}\right.$

网络隐含层的输入、输出分别为：

$\left\{\begin{array}{c}ne{t}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)=\underset{j=0}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}{O}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)\\ O_i^{\left(2\right)}\left(k\right)=f\[ne{t}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\],i=0,1,...,Q\end{array}\right.$

式中，为隐含层加权系数，为阈值，f(·)为激发函数，其中f(·)＝tanh(x)，而上角标中的(1)、(2)、(3)分别表示着三层网络。

网络输出层的输入、输出分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)=\underset{l=0}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}{O}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\\ O_l^{\left(3\right)}\left(k\right)=g\[{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)\],l=0,1,2\\ k_p=O_0^{\left(3\right)},k_i=O_1^{\left(3\right)},k_d=O_2^{\left(3\right)}\end{array}\right.$

式中，为输出层加权系数，为阈值，g(·)为激发函数，输出层分别对应着三个参数k_p、k_i、k_d，由于三个参数k_p、k_i、k_d不能为负，g(·)＝[1+tanh(x)]/2。

3.如权利要求2所述的PID控制器的控制方法，其特征在于：所述步骤S5中，根据以下公式计算PID控制器的控制输出u(k)，

u(k)＝u(k-1)+k_p(e(k)-e(k-1))+k_ie(k)T+k_d(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))

其中，u(k)为当前时刻的控制输出量，u(k-1)为前一时刻的控制输出量。

4.如权利要求3所述的PID控制器的控制方法，其特征在于：在步骤S6中，根据下式调整各层的加权系数和

网络输出层的权系数的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k+1\right)={\mathrm{\η\δ}}_l^{\left(3\right)}{O}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)+{\mathrm{\α\Δ\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k\right)\\ {\mathrm{\δ}}_l^{\left(3\right)}=e\left(k+1\right)\mathrm{sgn}\[\frac{\∂y\left(k+1\right)}{\∂u\left(k\right)}\]\·\frac{\∂u\left(k\right)}{\∂O_l^{\left(3\right)}\left(k\right)}\·g^{\′}\[{\mathrm{net}}_l^{\left(3\right)}\left(k\right)\],l=0,1,2\end{array}\right.$

也可得隐含层的权系数的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}\left(k+1\right)={\mathrm{\η\δ}}_i^{\left(2\right)}{O}_j^{\left(1\right)}\left(k\right)+{\mathrm{\α\Δ\ω}}_{ij}^{\left(2\right)}\left(k\right)\\ {\mathrm{\δ}}_i^{\left(2\right)}=f^{\′}\[{\mathrm{net}}_i^{\left(2\right)}\left(k\right)\]\underset{l=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\δ}}_l^{\left(3\right)}{\mathrm{\ω}}_{li}^{\left(3\right)}\left(k\right),i=0,1,...,Q\end{array}\right.$

式中，

$\left\{\begin{array}{c}{g}^{\′}\[\·\]=g\left(x\right)\[1-g\left(x\right)\]\\ f^{\′}\[\·\]=\frac{1}{2}\[1-f^2\left(x\right)\]\end{array}\right.$