CN104483835A - 一种基于t-s模糊模型的柔性航天器多目标综合控制方法 - Google Patents

Abstract

提供一种基于T-S模糊模型的柔性航天器多目标综合控制方法，通过建立柔性航天器的T-S模糊动态模型，证明航天器T-S模糊模型的一致逼近性，考虑柔性部件的相对运动引起的航天器惯量不确定性和各种空间干扰力矩，采用控制性能的LMI描述和多目标综合的LMI方法，基于柔性航天器T-S模糊模型设计使闭环系统满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制器。数值仿真结果表明，所设计的状态反馈控制系统动态调节时间短，响应快，超调量小，稳态精度高，能有效地抑制由于姿态变化引起的柔性附件振动，对航天器的模型不确定性具有良好的鲁棒性和适应性。

Description

一种基于T-S模糊模型的柔性航天器多目标综合控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于T-S模糊模型的柔性航天器多目标综合控制方法，属于航天器动力学与控制技术领域。

背景技术

随着现代科学技术的发展，航天器的大型化、柔性化、多功能化是一个重要的发展方向。由此产生了具有代表性的航天器结构，即中心刚体带外伸柔性附件的航天器，这类外伸柔性附件包括各种太阳能帆板、柔性天线及其支撑臂、机械臂、起重机等，这类航天器在航天领域中正在得到广泛的应用。对于这种带柔性附件的多体系统，本体的机动不可避免地会引起附件的振动，而附件的振动反过来也影响本体的姿态。这类航天器是一个高阶、非线性、强耦合且具有参数不确定性的复杂系统，对这类航天器的动力学建模和控制成为近年来的研究热点。

从空间任务的角度看，这些柔性附件具有良好的性能，便于制造和空间装配，具有广泛的应用前途。但由于其尺寸大、重量轻、柔性大、阻尼弱，在太空工作时将不可避免地受到各种外界和内部因素的干扰，从而激起低频、非线性、大幅度的振动，且振动一旦被激起将很难自行衰减，并与航天器主体的姿态运动高度耦合，干扰了姿态控制系统的正常工作，也给航天器的定位精度带来了严重的影响(如美国的哈勃望远镜)，有时甚至可以造成系统发散，从而导致毁灭性的灾难(如美国的探险者-1号卫星)。为了满足任务需求，一方面，卫星等航天器的结构跨度越来越大，从而使柔性影响更加突出；另一方面，有些航天器提出了比以往更高的姿态精度要求，这些都给控制系统的设计带来了严峻的挑战。

目前，航天器的刚柔耦合动力学与控制已取得了很大的成效，但是柔性航天器的姿态控制仍停留在需要精确的数学模型基础之上。一方面，大柔性多体航天器结构具有复杂的动力学特性；另一方面，刚柔耦合的建模问题虽然取得了很大的成就，但是建立其精确的数学模型还是很困难的。这对依赖于精确数学模型的经典控制理论和现代控制理论提出了挑战。然而，模糊控制理论不需要精确的数学模型，适应于这一复杂大系统的控制问题。

柔性航天器的模糊控制研究最早起于上个世纪80年代。此后，Lea，Hoblit和Jani针对航天飞机的初步实验展示了模糊控制的应用前景，接着众多研究者涉入了这一研究领域。Richard和Jyh-Shing设计了用于Cassini土星探测器的模糊姿态控制器，并且和Bang-Bang控制相比较，结果表明了模糊控制器在跟踪控制、推进器开/关时间控制等方面的优越性。此外，针对NASA的FAST(Fast Auroral Snapshot Explorer)航天器也进行了姿态的模糊控制研究。考虑到现实可行性，此后模糊控制在这一领域逐渐和其它控制技术结合使用，如Kwan，Xu和Lewis使用小脑模型算法(Cerebellar ModelArithmetic Computer)，通过优化模糊控制器来研究姿态控制问题；Chen，Wu和Jan针对带有未知或不确定惯量矩阵的非线性航天器，将自适应模糊控制和H₂/H_∞控制相结合进行姿态控制仿真；Guan和Liu研究了柔性卫星姿态的自适应模糊滑模控制，用一个自适应模糊控制器逼近滑模控制中的等效控制器，推导了规则参数调整的自适应律，以保证闭环控制系统的稳定性，仿真结果表明了该方法实现了较高精度的卫星姿态控制。但是这些研究一方面没有充分考虑到柔性部件的振动问题，直接使用从结构动力学分析中得到的结构动力学模型；另一方面，虽然将现代控制理论的控制方法结合到模糊控制器中去，但是这些成果大部分是在模糊控制方法尚未成熟时的研究，对于模糊控制的核心即模糊控制规则库没有充分考虑和进行优化，也没有考虑到论域问题。

发明内容

本发明解决的技术问题为：克服现有技术不足，提供一种基于T-S模糊模型的柔性航天器多目标综合控制，为柔性多体航天器设计使闭环系统满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制器。

本发明解决的技术方案为：一种基于T-S模糊模型的柔性航天器多目标综合控制方法，包括建立系统模型阶段、建立柔性航天器的T-S模糊模型阶段、证明柔性航天器T-S模糊模型的一致逼近性阶段、模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器设计阶段；

所述的建立系统模型阶段步骤如下：

(1)对于带有大型柔性太阳帆板的柔性航天器，使用有限元方法对柔性航天器的大型柔性太阳帆板进行离散得到各阶的柔性模态，选择前三阶的柔性模态；

(2)将步骤(1)选择的前三阶柔性模态和柔性航天器的姿态角作为柔性航天器的广义坐标，使用真-伪坐标形式的拉格朗日方程，得到柔性航天器具有惯量不确定性的动力学方程：

$\begin{array}{c}(I+\mathrm{\ΔI})\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+{\mathrm{\ω}}^{\×}[(I+\mathrm{\ΔI})\mathrm{\ω}+C\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}]+C\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}=u+w\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+D\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+\mathrm{K\η}+C^T\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=0\end{array}---\left(1\right)$

式中，I是航天器的转动惯量矩阵，ΔI是由于太阳帆板转动引起的惯量不确定性增量，C是柔性附件与星体的耦合系数，u是三轴控制力矩，w是干扰力矩，η是柔性模态坐标，D＝2ξΛ，K＝Λ²，ξ为柔性附件模态阻尼系数矩阵，Λ为柔性附件模态频率矩阵，并假设D，K均正定，即柔性结构含有非负的惯性阻尼；

(3)选择修正罗德里格斯参数描述的柔性航天器姿态运动学方程，该柔性航天器姿态运动学方程如下：

$\stackrel{\·}{p}=\frac{1}{4}\{(1-p^{T}p)I_3+2(p^{\×}+p{p}^T)\}\mathrm{\ω}=F\left(p\right)\mathrm{\ω}---\left(2\right)$

式中：ω＝[ω₁ ω₂ ω₃]^T为星体角速度，ω^×代表向量ω的反对称矩阵；p＝[p₁ p₂ p₃]^T代表航天器本体相对于惯性空间的修正罗德里格斯参数MRPs，p^×代表向量p的反对称矩阵，I₃是航天器的转动惯量矩阵，F(p)是以p为自变量的函数；

(4)由步骤(2)的柔性航天器具有惯量不确定性的动力学方程和步骤(3)的修正罗德里格斯参数描述的柔性航天器姿态运动学方程组成柔性航天器的数学模型，通过调整柔性航天器的数学模型中的三轴控制力矩u，使得当姿态控制时间t→∞时，p→p_t，ω→0，η→0，其中p_t代表目标姿态；

所述建立柔性航天器的T-S模糊模型阶段步骤如下：

(5)将步骤(2)的带有大型柔性太阳帆板的具有惯量不确定性的动力学方程和步骤(3)的柔性航天器姿态运动学方程联合组成柔性多体航天器姿态动态系统，则有

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\left(t\right)+{\mathrm{\Δ}}_f\left(x\right)+{\mathrm{\Δ}}_g\left(x\right)u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(3\right)$

式中，

$f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)\\ f_2\left(x\right)\\ f_3\left(x\right)\\ f_4\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4}[(1-p^{T}p)I_3+2(p^{\×}+{\mathrm{pp}}^T)]\mathrm{\ω}\\ {[I-{\mathrm{CC}}^T]}^{-1}[-{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{I\ω}-{\mathrm{\ω}}^{\×}C\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+\mathrm{CD}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+\mathrm{CK\η}]\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\η}}\\ -D\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}-\mathrm{K\η}-C^T{[I-{\mathrm{CC}}^T]}^{-1}[-{\mathrm{\ω}}^{\×}\mathrm{I\ω}-{\mathrm{\ω}}^{\×}C\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+\mathrm{CD}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+\mathrm{CK\η}]\end{array}\right]$ $g\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ {(I-{\mathrm{CC}}^T)}^{-1}\\ 0\\ -C^T{(I-{\mathrm{CC}}^T)}^{-1}\end{array}\right];G=\left[\begin{array}{cccc}{I}_3& 0& 0& 0\\ 0& I_3& 0& 0\end{array}\right];$ Δ_f(x)，Δ_g(x)是系统中的不确定项；

x(t)，y(t)，u(t)为随时间变化的状态量，输出量和输入量；

(6)定义 $x={\left[\begin{array}{cccc}{p}^T& {\mathrm{\ω}}^T& {\mathrm{\η}}^T& {\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}^T\end{array}\right]}^T$ 为航天器姿态模糊动态模型的状态量，y＝[p^T ω^T]^T为航天器姿态模糊动态模型的输出，u＝T_c为航天器姿态模糊动态模型的输入；

(7)根据T-S模糊逼近理论，步骤(5)的式(3)表示的柔性多体航天器姿态动态系统能够由T-S模糊系统无限逼近，结合步骤(6)定义的x、y、u，T-S模糊系统的第i条模糊规则表示为：

规则i：如果z₁(t)是M_i1，并且z₂(t)是M_i2，……，并且z_n(t)是M_in

那么 $\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)x\left(t\right)+(B_i+\mathrm{\Δ}{B}_i)u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array},i=\mathrm{1,2},...,r---\left(4\right)$

式中，z＝z(t)为前件模糊变量，z＝z(t)中的元素为z₁(t)，z₂(t)，……，z_n(t)，x(t)∈Rⁿ为状态向量，u(t)∈R^m为控制向量，r为模糊规则数，A_i,B_i为适当维数的常数矩阵，ΔA_i,ΔB_i是具有适当维数的反映系统不确定的参数矩阵,M_ij为z_j(t)在第i条模糊规则下对应的隶属度，j＝1，2，……，n，n为正整数,Rⁿ为n维实数集，R^m为m维实数集；

(8)定义模糊权值h_i[z(t)]，也能表示为h_i(z)：

$h_i[z\left(t\right])=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{M}_{\mathrm{ij}}p{[z}_j\left(t\right)]}{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{M}_{\mathrm{ij}}p\left[z_j\left(t\right)\right]},i=\mathrm{1,2},...,r---\left(5\right)$

式中M_ij[z_j(t)]为z_j(t)在第i条模糊规则下对应的隶属度；

(9)根据步骤(8)定义的模糊权值h_i[z(t)]，通过重心法解模糊，得到基于步骤(7)的T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统，该系统表示为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(z\right)[(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)x\left(t\right)+(B_i+\mathrm{\Δ}{B}_i)u\left(t\right)]\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(6\right)$

所述证明柔性航天器T-S模糊模型的一致逼近性阶段步骤如下：

(10)定义函数f_TS(x)，Δ_fTS(x)和Δ_gTS(x)

$f_{\mathrm{TS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(z\right)A_{i}x\left(t\right)={[f_{\mathrm{TS}1}\left(x\right),f_{\mathrm{TS}2}\left(x\right),...,f_{\mathrm{TSn}}\left(x\right)]}^T---\left(7\right)$

${\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fTS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(z\right){\mathrm{\ΔA}}_{i}x\left(t\right)={[{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fTS}1}\left(x\right),{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fTS}2}\left(x\right),...,{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{fTSn}}\left(x\right)]}^T---\left(8\right)$

${\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{gTS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(z\right){\mathrm{\ΔB}}_i={[{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{gTS}1}\left(x\right),{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{gTS}2}\left(x\right),...,{\mathrm{\Δ}}_{\mathrm{gTSn}}\left(x\right)]}^T---\left(9\right)$

式中，f_TS1……f_TSn，Δ_fTS1……Δ_fTSn，Δ_gTS1……Δ_fTSn分别为f_TS(x)，Δ_fTS(x)和Δ_gTS(x)的元素；

(11)根据步骤(10)中的式(7)、式(8)、式(9)，提出如下定理1：

定理1：步骤(9)的基于T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统能够以任意精度一致逼近紧致集上的步骤(3)的柔性多体航天器姿态动态系统，即ε_f，和为任意小量，存在T-S模糊系统(6)使得

||f_TS(x)-f(x)||_∞<ε_f                (10)

||Δ_fTS(x)-Δ_f(x)||_∞<ε_Δf              (11)

||Δ_gTS(x)-Δ_g(x)||_∞<ε_Δg                (12)

式中，Rⁿ为实数集，x＝(x₁,x₂,…,x_n)^T，无穷范数||·||_∞的定义为：对任意定义在紧致集上的函数a(z)，||a(z)||_∞＝sup|a(z)|,z∈U；

所述的模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器设计阶段步骤如下：

(12)将大型柔性太阳帆板的柔性航天器的外部干扰引入柔性多体航天器姿态运动方程(3)，则新的柔性多体航天器姿态运动方程可写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)+g\left(x\left(t\right)\right)u\left(t\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_f\left(x\left(t\right)\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_g\left(x\left(t\right)\right)u\left(t\right)+g_{\mathrm{\&pi;}}\left(x\left(t\right)\right)\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(13\right)$

式中x(t)∈Rⁿ，u(t)∈R^m，y(t)∈R^l，Δ_f(x)∈Rⁿ，Δ_g(x)∈R^n×m，π(t)∈R^m分别为系统的状态、输入、输出、不确定项和外部干扰，f(x)∈Rⁿ，g(x)∈R^n×m，g_π(x)∈R^n×m为连续光滑函数，矩阵G∈R^l×n为常数矩阵；

(13)基于T-S模糊理论，式(13)的存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程由如下模糊规则描述：

规则i：如果z₁(t)是M_i1，并且z₂(t)是M_i2，……，并且z_n(t)是M_in

那么 $\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A_i+\mathrm{\&Delta;}{A}_i)x\left(t\right)+(B_i+\mathrm{\&Delta;}{B}_i)u\left(t\right)+H_i\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array},i=\mathrm{1,2},...,r---\left(14\right)$

式中，H_i为具有适当维数的常数矩阵，矩阵ΔA_i和ΔB_i表示系统的范数有界不确定性，并且矩阵ΔA_i和ΔB_i满足如下广义匹配条件

[ΔA_i ΔB_i]＝U_iF_i(t)[E_ai E_bi]             (15)

式中，U_i，E_ai和E_bi是已知的具有相容维数的常数矩阵，F_i(t)是时变矩阵，F_i(t)中的元素是Lebesgue可测的，并且满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I，其余变量定义同式(4)；

(14)假设式(14)，即存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程所表示的动态系统状态可测，且该动态系统的各线性子系统可控，则针对存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程，提出并行分配补偿(PDC)模糊控制器，该模糊控制器的控制规则如下：

控制器规则j：如果z₁(t)是M_j1，并且z₂(t)是M_j2，……，并且z_n(t)是M_jn

那么u(t)＝K_jx(t)，j＝1,2,…,r                 (16)

则整个系统的模糊状态反馈控制器可表述为：

$u\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_j\left(z\right)K_{j}x\left(t\right)---\left(17\right)$

式中，h_j(z)是模糊权值，K_j(j＝1,2,…,r)是模糊控制器增益矩阵；

将式(17)代入式(14),即存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程和模糊状态反馈控制器组成的整个闭环系统的表达式如下：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i{h}_j\left\{\right[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)]x\left(t\right)+H_i\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\}\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(18\right)$

式中，h_i，h_j是模糊权值；

(15)给出LMI区域的定义1如下：

定义1：对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵L∈R^m×m和实矩阵M∈R^m×m，使得

$D=\{L+\mathrm{sM}+\stackrel{\&OverBar;}{s}{M}^T<0\}---\left(19\right)$

式中，s为任意复数，则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)；矩阵值函数

$f_D\left(s\right)=L+\mathrm{sM}+\stackrel{\&OverBar;}{s}{M}^T---\left(20\right)$

称为LMI区域D的特征函数，s是复数变量；

特征函数f_D(s)的取值是m×m维的Hermite矩阵，f_D(s)<0表示矩阵f_D(s)是负定的；

由定义1可知复平面上的一个LMI区域就是某个以s和为变量的线性矩阵不等式，或者以x＝Re(s)和y＝Im(s)为变量的线性矩阵不等式的可行域，且此时的LMI区域是凸的；进而，对任意的s∈D，特征函数故因此，LMI区域关于复平面上的实轴是对称的；

(16)根据步骤(15)定义的LMI区域D，给出了线性闭环系统是D-稳定的充分必要条件，如下定理2所示：

定理2：闭环系统极点位于LMI区域D中，当且仅当存在一个对称正定实矩阵X_pol使得如下不等式成立

[λ_klX_pol+μ_kl(A+BK)X_pol+μ_klX_pol(A+BK)^T]_1≤k,l≤m<0     (21)

式中，A，B和K分别是线性系统的系统、输入和反馈增益实矩阵，L＝L^T＝[λ_kl]_1≤k,l≤m和M＝[μ_kl]_1≤k,l≤m是根据理想闭环系统极点区域确定的已知实矩阵，λ_kl，μ_kl是L,M中的元素；

在此基础上，将定理2描述的LMI区域稳定理论，推广至基于T-S模糊模型的非线性系统中；

(17)由于系统的不确定性，并假设外界干扰有界且可抑制，提出如下定理3：

定理3：式(18)表示的闭环系统的所有极点位于LMI区域D中，当且仅当存在一个对称正定实矩阵X使得如下不等式成立

[λ_klX+μ_klQ_ijX+μ_klX(Q_ij)^T]_1≤k,l≤m<0    (22)

式中，Q_ij＝[A_i+B_iK_j+U_iF_i(t)(E_ai+E_biK_j)]_1≤i,j≤r；

(18)由于存在外界干扰，给出如下假设和定义；

假设1：干扰π(t)有界，且在其连续区域内满足π^T(t)π(t)≤x^T(t)G^TGx(t)；

假设2：控制输入约束为||u||_∞≤u_lim，u_lim为输入上限，干扰输入满足||π||_∞≤π_max，π_max为干扰上限，定义γ＝u_lim/π_max；

定义3：式(18)表示的闭环系统的状态可达集为R_up

$R_{\mathrm{up}}=\{x\left(t\right):x,\mathrm{\&pi;s}.t.\left(31\right),x\left(0\right)=0,{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}\&le;{\mathrm{\&pi;}}_{\max }^2,t\&GreaterEqual;0\}---\left(23\right)$

x，π为系统(18)的状态量和干扰量；

(19)根据步骤(18)提出的假设1、假设2和定义3，针对式(18)表示的闭环系统，通过使控制律u(t)同时满足如下条件，从而控制律u(t)成为满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制律，所述同时满足的条件如下；

(i)存在有界干扰的情况下，式(18)表示的闭环系统对所有允许的不确定性是渐近稳定的；

(ii)式(18)表示的闭环系统的极点均配置在指定的D区域内，使闭环系统获得满意的动态性能和D-稳定性；

(iii)在零初始条件下，式(18)表示的闭环系统满足H_∞性能，即||y(t)||₂<γ||π(t)||₂对任意非零的π(t)成立，式中γ>0表示预置的干扰抑制常数；

(iv)在零初始条件下，设椭球包含状态可达集R_up，式中ξ为实矩阵，P为对称正定实矩阵，在椭球Ω内，式(18)表示的闭环系统的控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；

(20)针对步骤(19)的闭环系统的鲁棒稳定性，区域极点约束，H_∞性能，状态可达集，控制输入饱和问题，提出如下定理4；

定理4：对于i,j＝1,…,r，给定标量ρ>0,γ>0，针对复平面上稳定的LMI区域D和模糊闭环系统(18)，如果对所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，存在对称正定实矩阵P、实矩阵K_j，使得如下不等式成立

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+G^{T}G& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -I\end{array}\right]<0---\left(24\right)$

${[{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}P+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}{\left(Q_{\mathrm{ij}}\right)}^{T}P]}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(25\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+G^{T}G& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -{\mathrm{\&rho;}}^{2}I\end{array}\right]<0---\left(26\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+P& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -I\end{array}\right]<0---\left(27\right)$

$\left[\begin{array}{cc}P& K_j^T\\ K_j& {\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]>0---\left(28\right)$

则状态反馈控制律可以使式(18)表示的闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵P为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

(21)由于定理4中的不等式并非线性矩阵不等式LMI，难以求解，为得到式(24)-(28)的LMI表达，使步骤(20)中的不等式(24)-式(28)能够用Matlab求解，假设M＝M^T＝[μ_kl]_1≤k,l≤m并提出如下定理5，如下：

定理5：对于i,j＝1,…,r，给定标量ρ>0,γ>0，针对复平面上稳定的LMI区域D和式(18)表示的闭环系统，如果对所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，存在对称正定实矩阵V、实矩阵W_j、标量ε>0，使得如下不等式成立

θ_ii<0(i＝1,…,r)；θ_ij+θ_ji<0(i<j≤r)    (30)

ψ_ii<0(i＝1,…,r)；ψ_ij+ψ_ji<0(i<j≤r)    (31)

α_ii<0(i＝1,…,r)；α_ij+α_ji<0(i<j≤r)    (32)

β_ii>0(i＝1,…,r)；β_ij+β_ji>0(i<j≤r)    (33)

${\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}={\left[\begin{array}{cc}{S}_2& {\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}({\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)\\ {\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j)& -I\end{array}\right]}_{1\&le;k,l\&le;m}---\left(35\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{ccc}{S}_3& {\mathrm{VG}}^T& {\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T\\ \mathrm{GV}& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0\\ E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j& 0& -I\end{array}\right]---\left(36\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{ccc}{S}_4& 0& {\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T\\ 0& -I& 0\\ E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j& 0& -I\end{array}\right]---\left(37\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cc}V& W_j^T\\ W_j& {\mathrm{\&epsiv;\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]---\left(38\right)$

$S_1=A_{i}V+{\mathrm{VA}}_i^T+B_i{W}_j{+W}_j^T{B}_i^T+{\mathrm{\&epsiv;H}}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(39\right)$

$S_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}V+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(A_{i}V+B_i{W}_j)+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}({\mathrm{VA}}_i^T+W_j^T{B}_i^T)+U_i{U}_i^T---\left(40\right)$

$S_3=A_{i}V+{\mathrm{VA}}_i^T+B_i{W}_j{+W}_j^T{B}_i^T+{\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&rho;}}^{-2}H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(41\right)$

$S_4=A_{i}V+{\mathrm{VA}}_i^T+B_i{W}_j{+W}_j^T{B}_i^T+V+{\mathrm{\&epsiv;H}}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(42\right)$

式中，为(34)所示矩阵的元素，θ_ii,θ_ij,θ_ji为(35)所示矩阵的元素，ψ_ii,ψ_ij,ψ_ji为(36)所示矩阵的元素，α_ii,α_ij,α_ji为(37)所示矩阵的元素，β_ii,β_ij,β_ji为(38)所示矩阵的元素，则状态反馈控制律可以使为闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵εV^-1为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

(22)根据定理5可知，针对式(18)表示的闭环系统，构造通过matlab的求解，即得到闭环系统满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制律，根据该控制律从而形成闭环系统的模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)首先，控制系统的设计对象采用完整未进行任何简化，线性化的柔性多体航天器动力学与运动学模型，完整保留了航天器的各种复杂动力学特性，这样的设计对象更接近真实的情况，更能反映出真实系统可能会出现的各种现象和问题；

(2)首次将T-S模糊建模理论应用于柔性多体航天器动力学建模中，根据柔性多体航天器姿态控制系统模型，建立柔性多体航天器姿态动态系统的T-S模糊模型，为后续基于T-S模型的模糊控制器设计奠定基础；

(3)在柔性航天器T-S模糊模型的基础上，设计了使闭环系统满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制器。实现了对非线性系统进行控制性能设计，解决了带有控制输入约束的柔性航天器本体姿态控制和附件振动抑制问题。

附图说明

图1为本发明的方法流程图

图2为本发明的姿态角的时间响应曲线示意图

图3为本发明的姿态角速度的时间响应曲线示意图

图4为本发明的前三阶模态坐标的时间响应曲线示意图

图5为本发明的前三阶模态坐标导数的时间响应曲线示意图

具体实施方式

本发明的基本思路为：给出完整的系统非线性动力学模型，在此基础上通过建立柔性航天器的T-S模糊动态模型，证明航天器T-S模糊模型的一致逼近性，考虑柔性部件的相对运动引起的航天器惯量不确定性和各种空间干扰力矩，采用控制性能的LMI描述和多目标综合的LMI方法，基于柔性航天器T-S模糊模型设计使闭环系统满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制器。数值仿真结果表明，所设计的状态反馈控制系统动态调节时间短，响应快，超调量小，稳态精度高，能有效地抑制由于姿态变化引起的柔性附件振动，对航天器的模型不确定性具有良好的鲁棒性和适应性。

下面结合附图对本发明做进一步详细描述

如图1所示，本发明总体上分为四个步骤：第一建立系统模型、第二建立柔性航天器的T-S模糊模型、第三证明柔性航天器T-S模糊模型的一致逼近性阶段、第四模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器设计；

所述的建立系统模型阶段步骤如下：

(1)对于带有大型柔性太阳帆板的柔性航天器，使用有限元方法对柔性航天器的大型柔性太阳帆板进行离散得到各阶的柔性模态，选择前三阶的柔性模态；

(2)将步骤(1)选择的前三阶柔性模态和柔性航天器的姿态角作为柔性航天器的广义坐标，使用真-伪坐标形式的拉格朗日方程，得到柔性航天器具有惯量不确定性的动力学方程：

$\begin{array}{c}(I+\mathrm{\&Delta;I})\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}+{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}[(I+\mathrm{\&Delta;I})\mathrm{\&omega;}+C\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}]+C\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}=u+w\\ \stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+D\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{K\&eta;}+C^T\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}=0\end{array}---\left(1\right)$

式中，I是航天器的转动惯量矩阵，ΔI是由于太阳帆板转动引起的惯量不确定性增量，C是柔性附件与星体的耦合系数，u是三轴控制力矩，w是干扰力矩，η是柔性模态坐标，D＝2ξΛ，K＝Λ²，ξ为柔性附件模态阻尼系数矩阵，Λ为柔性附件模态频率矩阵，并假设D，K均正定，即柔性结构含有非负的惯性阻尼；

(3)为避免欧拉角带来的大角度奇异问题，选择修正罗德里格斯参数描述的柔性航天器姿态运动学方程，该柔性航天器姿态运动学方程如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{p}=\frac{1}{4}\{(1-p^{T}p)I_3+2(p^{\&times;}+{\mathrm{pp}}^T)\}\mathrm{\&omega;}=F\left(p\right)\mathrm{\&omega;}---\left(2\right)$

式中：ω＝[ω₁ ω₂ ω₃]^T为星体角速度，ω^×代表向量ω的反对称矩阵；p＝[p₁ p₂ p₃]^T代表航天器本体相对于惯性空间的MRPs，p^×代表向量p的反对称矩阵，I₃是航天器的转动惯量矩阵，F(p)是以p为自变量的函数；

由上面的柔性航天器动力学和姿态运动学方程可知，刚体的姿态运动与柔性体的振动互相影响、互为激励。外力矩在促使刚体姿态变动的同时，也引起柔性体变形，另一方面，柔性体的任何变形都引起刚体的角位移变化。此外，还有一些干扰力矩直接影响刚体的姿态运动，如引力梯度力矩、大气阻力力矩、太阳光压力矩、地磁力矩等对卫星姿态的影响都不可忽略。为此，所设计的控制器必须能有效地抑制外界干扰，同时对刚体与柔性体之间的影响应有自适应能力，以保证卫星姿态的控制精度；

(4)由步骤(2)的柔性航天器具有惯量不确定性的动力学方程和步骤(3)的修正罗德里格斯参数描述的柔性航天器姿态运动学方程组成柔性航天器的数学模型，通过调整柔性航天器的数学模型中的三轴控制力矩u，使得当姿态控制时间t→∞时，p→p_t，ω→0，η→0，其中p_t代表目标姿态；

所述建立柔性航天器的T-S模糊模型阶段步骤如下：

(5)将步骤(2)的带有大型柔性太阳帆板的具有惯量不确定性的动力学方程和步骤(3)的柔性航天器姿态运动学方程联合组成柔性多体航天器姿态动态系统，则有

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\left(t\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_f\left(x\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_g\left(x\right)u\left(t\right)$

               (3)

y(t)＝Gx(t)

式中，

$f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)\\ f_2\left(x\right)\\ f_3\left(x\right)\\ f_4\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4}[(1-p^{T}p)I_3+2(p^{\&times;}+{\mathrm{pp}}^T)]\mathrm{\&omega;}\\ {[I-{\mathrm{CC}}^T]}^{-1}[{-\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}\mathrm{I\&omega;}-{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}C\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{CD}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{CK\&eta;}]\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}\\ -D\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}-\mathrm{K\&eta;}-C^T{[I-{\mathrm{CC}}^T]}^{-1}[{-\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}\mathrm{I\&omega;}-{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}C\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{CD}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{CK\&eta;}]\end{array}\right]$ $g\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ {(I-{\mathrm{CC}}^T)}^{-1}\\ 0\\ -C^T{(I-{\mathrm{CC}}^T)}^{-1}\end{array}\right];G=\left[\begin{array}{cccc}{I}_3& 0& 0& 0\\ 0& I_3& 0& 0\end{array}\right];$ Δ_f(x),Δ_g(x)是系统中的不确定项；

(6)定义 $x={\left[\begin{array}{cccc}{p}^T& {\mathrm{\&omega;}}^T& {\mathrm{\&eta;}}^T& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}^T\end{array}\right]}^T$ 为航天器姿态模糊动态模型的状态量，y＝[p^T ω^T]^T为航天器姿态模糊动态模型的输出，u＝T_c为航天器姿态模糊动态模型的输入；

(7)根据T-S模糊逼近理论，步骤(5)的式(3)表示的柔性多体航天器姿态动态系统能够由T-S模糊系统无限逼近，结合步骤(6)定义的x、y、u，T-S模糊系统的第i条模糊规则表示为：

规则i：如果z₁(t)是M_i1，并且z₂(t)是M_i2，……，并且z_n(t)是M_in

那么 $\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A_i+{\mathrm{\&Delta;A}}_i)x\left(t\right)+(B_i+{\mathrm{\&Delta;B}}_i)u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array},i=\mathrm{1,2},...,r---\left(4\right)$

式中，z为前件模糊变量，z中的元素为z₁(t)，z₂(t)，……，z_n(t)，x(t)∈Rⁿ为状态向量，u(t)∈R^m为控制向量，r为模糊规则数，A_i,B_i为适当维数的常数矩阵，ΔA_i,ΔB_i是具有适当维数的反映系统不确定的参数矩阵,M_ij为z_j(t)在第i条模糊规则下对应的隶属度，j＝1，2，……，n，n为正整数，Rⁿ为n维实数集，R^m为m维实数集；

(8)定义模糊权值h_i[z(t)]，也能表示为h_i(z)：

$h_i\left[z\left(t\right)\right]=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{M}_{\mathrm{ij}}\left[z_j\left(t\right)\right]}{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{M}_{\mathrm{ij}}\left[z_j\left(t\right)\right]},i=\mathrm{1,2},...,r---\left(5\right)$

式中M_ij[z_j(t)]为z_j(t)在第i条模糊规则下对应的隶属度；

(9)根据步骤(8)定义的模糊权值h_i[z(t)]，通过重心法解模糊，得到基于步骤(7)的T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统，该系统表示为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right)[(A_i+{\mathrm{\&Delta;A}}_i)x\left(t\right)+(B_i+{\mathrm{\&Delta;B}}_i)u\left(t\right)]$

          (6)

y(t)＝Gx(t)

由于式(3)中的g(x)是常数阵，因此在模糊建模时，关于g(x)的模糊逼近极易确定，不再详述，下面重点讨论非线性函数f(x)以及不确定项Δ_f(x),Δ_g(x)的模糊建模和相应T-S模糊模型的一致逼近性；

所述证明柔性航天器T-S模糊模型的一致逼近性阶段步骤如下：

(10)定义函数f_TS(x)，Δ_fTS(x)和Δ_gTS(x)

$f_{\mathrm{TS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right)A_{i}x\left(t\right)={[f_{\mathrm{TS}1}\left(x\right),f_{\mathrm{TS}2}\left(x\right),...,f_{\mathrm{TSn}}\left(x\right)]}^T---\left(7\right)$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fTS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right){\mathrm{\&Delta;A}}_{i}x\left(t\right)={[{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fTS}1}\left(x\right),{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fTS}2}\left(x\right),...,{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fTSn}}\left(x\right)]}^T---\left(8\right)$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{gTS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right){\mathrm{\&Delta;B}}_i={[{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{gTS}1}\left(x\right),{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{gTS}2}\left(x\right),...,{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{gTSn}}\left(x\right)]}^T---\left(9\right)$

式中，f_TS1……f_TSn，Δ_fTS1……Δ_fTSn，Δ_gTS1……Δ_fTSn分别为f_TS(x)，Δ_fTS(x)和Δ_gTS(x)的元素；

(11)根据步骤(10)中的式(7)、式(8)、式(9)，提出如下定理1：

定理1：步骤(9)的基于T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统能够以任意精度一致逼近紧致集上的步骤(3)的柔性多体航天器姿态动态系统，即ε_f，和为任意小量，存在T-S模糊系统(6)使得

||f_TS(x)-f(x)||_∞<ε_f     (10)

||Δ_fTS(x)-Δ_f(x)||_∞<ε_Δf   (11)

||Δ_gTS(x)-Δ_g(x)||_∞<ε_Δg   (12)

式中x＝(x₁,x₂,…,x_n)^T，无穷范数||·||_∞的定义为：对任意定义在紧致集上的函数a(z)，||a(z)||_∞＝sup|a(z)|,z∈U；

(12)为证明步骤(11)的定理1，提出引理1：典型T-S模糊系统能够以任意精度一致逼近Cⁿ上的q次n元多项式函数P_q(z)，即ε为任意小量，存在典型T-S模糊系统使得

||f_TS(z)-P_q(z)||_∞<ε   (13)

(13)步骤(11)提出的定理1的证明如下：

根据Weierstrass逼近定理，在上存在q次n元多项式函数P_qi(x),i＝1,2,…,n一致逼近式(3)中的任意连续实函数f_i(x),i＝1,2,…,n，即ε_pfi为任意小量，存在P_qi(x)使得

||P_qi(x)-f_i(x)||_∞<ε_pfi   (14)

由步骤(12)提出的引理1可知，ε_fpi为任意小量，存在T-S模糊系统f_TSi(x),i＝1,2,…,n，使得

||f_TSi(x)-P_qi(x)||_∞<ε_fpi   (15)

设ε_fi＝ε_fpi+ε_pfi,i＝1,2,…,n，ε_fi为任意小量，从而有

||f_TSi(x)-f_i(x)||_∞＝||f_TSi(x)-P_qi(x)+P_qi(x)-f_i(x)||_∞

≤||f_TSi(x)-P_qi(x)||_∞+||P_qi(x)-f_i(x)||_∞   (16)

<ε_fpi+ε_pfi＝ε_fi

定义变量ε_f＝max{ε_fi,i＝1,2,…,n}，则有

||f_TS(x)-f(x)||_∞＝max{||f_TSi(x)-f_i(x)||_∞,i＝1,2,…,n}

                                  (17)

<max{ε_fi,i＝1,2,…,n}＝ε_f

同理，在上存在q次n元多项式函数Δ_fqi(x),i＝1,2,…,n一致逼近式(3)中的任意连续实函数Δ_fi(x),i＝1,2,…,n，即ε_qΔfi为任意小量存在Δ_fqi(x)使得

||Δ_fqi(x)-Δ_fi(x)||_∞<ε_qΔfi   (18)

由由步骤(12)提出的引理1可知，ε_Δfqi为任意小量存在T-S模糊系统Δ_fTSi(x),i＝1,2,…,n，使得：

||Δ_fTSi(x)-Δ_fqi(x)||_∞<ε_Δfqi   (19)

设ε_Δfi＝ε_Δfqi+ε_qΔfi,i＝1,2,…,n，ε_Δfi为任意小量，从而有

||Δ_fTSi(x)-Δ_fi(x)||_∞＝||Δ_fTSi(x)-Δ_fqi(x)+Δ_fqi(x)-Δ_fi(x)||_∞

≤||Δ_fTSi(x)-Δ_fqi(x)||_∞+||Δ_fqi(x)-Δ_fi(x)||_∞   (20)

<ε_Δfqi+ε_qΔfi＝ε_Δfi

定义ε_Δf＝max{ε_Δfi,i＝1,2,…,n}，则有

||Δ_fTS(x)-Δ_f(x)||_∞＝max{||Δ_fTSi(x)-Δ_fi(x)||_∞,i＝1,2,…，n}

   (21)

<max{ε_Δfi,i＝1,2,…,n}＝ε_Δf

同理，在上存在q次n元多项式函数Δ_gqi(x),i＝1,2,…,n一致逼近式(3)中的任意连续实函数Δ_gi(x),i＝1,2,…,n，即ε_qΔgi为任意小量，存在Δ_gqi(x)使得

||Δ_gqi(x)-Δ_gi(x)||_∞<ε_qΔgi   (22)

由由步骤(12)提出的引理1可知，ε_Δgqi为任意小量，存在T-S模糊系统Δ_gTSi(x),i＝1,2,…,n，使得

||Δ_gTSi(x)-Δ_gqi(x)||_∞<ε_Δgqi   (23)

设ε_Δgi＝ε_Δgqi+ε_qΔgi,i＝1,2,…,n，ε_Δgi为任意小量，从而有

||Δ_gTSi(x)-Δ_gi(x)||_∞＝||Δ_gTSi(x)-Δ_gqi(x)+Δ_gqi(x)-Δ_gi(x)||_∞

≤||Δ_gTSi(x)-Δ_gqi(x)||_∞+||Δ_gqi(x)-Δ_gi(x)||_∞   (24)

<ε_Δgqi+ε_qΔgi＝ε_Δgi

定义ε_Δg＝max{ε_Δgi,i＝1,2,…,n}，则有

||Δ_gTS(x)-Δ_g(x)||_∞＝max{||Δ_gTSi(x)-Δ_gi(x)||_∞,i＝1,2,…,n}

                                           (25)

<max{ε_Δgi,i＝1,2,…,n}＝ε_Δg

根据式(17)、式(21)和式(25)，且式(3)中的g(x)是常数阵，得式(6)表示的基于T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统能够以任意精度一致逼近紧致集上的式(3)表示的柔性多体航天器姿态动态系统，即步骤(11)的定理1成立；

所述的模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器设计阶段步骤如下：

(14)将大型柔性太阳帆板的柔性航天器的外部干扰引入柔性多体航天器姿态运动方程(3)，则新的柔性多体航天器姿态运动方程可写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)+g\left(x\left(t\right)\right)u\left(t\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_f\left(x\left(t\right)\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_g\left(x\left(t\right)\right)u\left(t\right)+g_{\mathrm{\&pi;}}\left(x\left(t\right)\right)\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(26\right)$

式中x(t)∈Rⁿ，u(t)∈R^m，y(t)∈R^l，Δ_f(x)∈Rⁿ，Δ_g(x)∈R^n×m，π(t)∈R^m分别为系统的状态、输入、输出、不确定项和外部干扰，f(x)∈Rⁿ，g(x)∈R^n×m，g_π(x)∈R^n×m为连续光滑函数，矩阵G∈R^l×n为常数矩阵；

(15)基于T-S模糊理论，步骤(14)的存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程由如下模糊规则描述：

规则i：如果z₁(t)是M_i1，并且z₂(t)是M_i2，……，并且z_n(t)是M_in

那么 $\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=(A_i+\mathrm{\&Delta;}{A}_i)x\left(t\right)+(B_i+\mathrm{\&Delta;}{B}_i)u\left(t\right)+H_i\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array},$ i＝1,2,…,r   (27)

式中，H_i为具有适当维数的常数矩阵，矩阵ΔA_i和ΔB_i表示系统的范数有界不确定性，并且矩阵ΔA_i和ΔB_i满足如下广义匹配条件

[ΔA_i ΔB_i]＝U_iF_i(t)[E_ai E_bi]   (28)

式中，U_i，E_ai和E_bi是已知的具有相容维数的常数矩阵，F_i(t)是时变矩阵，F_i(t)中的元素是Lebesgue可测的，并且满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I，其余变量定义同式(4)；

(16)假设式(27)，即存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程所表示的动态系统状态可测，且该动态系统的各线性子系统可控，则针对存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程，提出并行分配补偿(PDC)模糊控制器，该模糊控制器的控制规则如下：

控制器规则j：如果z₁(t)是M_j1，并且z₂(t)是M_j2，……，并且z_n(t)是M_jn

那么u(t)＝K_jx(t)，j＝1,2,…,r   (29)

则整个系统的模糊状态反馈控制器可表述为：

$u\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_j\left(z\right)K_{j}x\left(t\right)---\left(30\right)$

式中，h_j(z)是模糊权值，K_j(j＝1,2,…,r)是模糊控制器增益矩阵；

将式(30)代入式(27),即存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程和模糊状态反馈控制器组成的整个闭环系统的表达式如下：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i{h}_j\left\{\right[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)]x\left(t\right)+H_i\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\}\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(31\right)$

(17)在最初的极点配置问题研究中，考虑的是精确的极点配置问题，即将闭环极点配置在复平面中事先给定的区域。然而，由于模型的非线性、不精确性和各种扰动的存在，使得这样一种精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。事实上，只要将闭环系统的极点配置在复平面上的一个适当区域中，就可以保证系统具有一定的动态特性和稳定性。对于一类可以用线性矩阵不等式刻画的复平面区域，称之为LMI区域。给出LMI区域的定义1如下：

定义1：对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵L∈R^m×m和实矩阵M∈R^m×m，使得

$D=\{L+\mathrm{sM}+\stackrel{\&OverBar;}{s}{M}^T<0\}---\left(32\right)$

式中，s为任意复数，则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)；矩阵值函数

$f_D\left(s\right)=L+\mathrm{sM}+\stackrel{\&OverBar;}{s}{M}^T---\left(33\right)$

称为LMI区域D的特征函数，s是复数变量；

特征函数f_D(s)的取值是m×m维的Hermite矩阵，f_D(s)<0表示矩阵f_D(s)是负定的；

由定义1可知复平面上的一个LMI区域就是某个以s和为变量的线性矩阵不等式，或者以x＝Re(s)和y＝Im(s)为变量的线性矩阵不等式的可行域，且此时的LMI区域是凸的；进而，对任意的s∈D，特征函数故因此，LMI区域关于复平面上的实轴是对称的；

(18)根据步骤(17)定义的LMI区域D，给出了线性闭环系统是D-稳定的充分必要条件，如下定理2所示：

定理2：闭环系统极点位于LMI区域D中，当且仅当存在一个对称正定实矩阵X_pol使得如下不等式成立

${[{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}{X}_{\mathrm{pol}}+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(A+\mathrm{BK})X_{\mathrm{pol}}+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}{X}_{\mathrm{pol}}{(A+\mathrm{BK})}^T]}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(34\right)$

式中，A，B和K分别是线性系统的系统、输入和反馈增益实矩阵，L＝L^T＝[λ_kl]_1≤k,l≤m和M＝[μ_kl]_1≤k,l≤m是根据理想闭环系统极点区域确定的已知实矩阵，λ_kl，μ_kl是L,M中的元素；

在此基础上，将定理2描述的LMI区域稳定理论，推广至基于T-S模糊模型的非线性系统中；

(19)由于系统的不确定性，并假设外界干扰有界且可抑制，提出如下定理3：

定理3：式(31)表示的闭环系统的所有极点位于LMI区域D中，当且仅当存在一个对称正定实矩阵X使得如下不等式成立

${[{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}{Q}_{\mathrm{ij}}X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}X{\left(Q_{\mathrm{ij}}\right)}^T]}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(35\right)$

式中， $Q_{\mathrm{ij}}={[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)]}_{1\&le;i,j\&le;r};$

(20)步骤(19)中的定理3证明如下：

若存在一个对称正定实矩阵X使得

${\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}{[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)]}_{1\&le;i,j\&le;r}X\\ +{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}X{\left({[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)]}_{1\&le;i,j\&le;r}\right)}^T\end{array}\right]}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(36\right)$

则下面的式子成立：

$\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right)h_j\left(z\right)\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)]X\\ +{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}X{[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)]}^T\end{array}\right]<0---\left(37\right)$

式(37)等价于

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}\left\{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right)h_j\left(z\right)\right[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)\left]\right\}X\\ +{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}X{\left\{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right)h_j\left(z\right)\right[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)\left]\right\}}^T\end{array}\right]<0---\left(38\right)$

由定理2可知，若上式成立，则闭环系统(31)的所有极点位于LMI区域D中，是D-稳定的；于是定理3成立；

(21)根据后文控制器设计的需要，首先给出矩阵不等式变换中用到的如下引理：

引理2(Schur补引理)：对于给定的对称矩阵 $Q=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{11}& Q_{12}\\ Q_{12}^T& Q_{22}\end{array}\right]<0,$ 其中Q_ii是一个r_i×r_i对称矩阵，r_i为整数，i＝1,2，则下列条件等价：

(i)Q<0；

(ii)Q₁₁＜0且 $Q_{22}-Q_{12}^T{Q}_{11}^{-1}{Q}_{12}<0;$

(iii)Q₂₂＜0且 $Q_{11}-{Q_{12}Q}_{22}^{-1}{Q}_{12}^T<0;$

引理5：给定具有相容维数的矩阵Q＝Q^T，设存在正定矩阵M,E,Y>0，对所有满足F^T(t)F(t)≤Y的矩阵F(t)：

Q+MF(t)E+E^TF^T(t)M^T<0    (39)

成立的充分必要条件是，存在一个标量ε>0，使得

Q+εMM^T+ε^-1E^TYE<0    (40)

(22)由于存在外界干扰，给出如下假设和定义；

假设1：干扰π(t)有界，且在其连续区域内满足π^T(t)π(t)≤x^T(t)G^TGx(t)；

假设2：控制输入约束为||u||_∞≤u_lim，干扰输入满足||π||_∞≤π_max，定义γ＝u_lim/π_max；

定义3：式(31)表示的闭环系统的状态可达集为

$R_{\mathrm{up}}=\{x\left(t\right):x,\mathrm{\&pi;s}.t.\left(31\right),x\left(0\right)=0,{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}\&le;{\mathrm{\&pi;}}_{\max }^2,t\&GreaterEqual;0\}---\left(41\right)$

x，π为系统(18)的状态量和干扰量；

(23)根据步骤(22)提出的假设1、假设2和定义3，针对式(31)表示的闭环系统，通过使控制律u(t)同时满足如下条件，从而控制律u(t)成为满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制律，所述同时满足的条件如下；

(i)存在有界干扰的情况下，式(31)表示的闭环系统对所有允许的不确定性是渐近稳定的；

(ii)式(31)表示的闭环系统的极点均配置在指定的D区域内，使闭环系统获得满意的动态性能和D-稳定性；

(iii)在零初始条件下，式(31)表示的闭环系统满足H_∞性能，即||y(t)||₂<γ||π(t)||₂对任意非零的π(t)成立，式中γ>0表示预置的干扰抑制常数；

(iv)在零初始条件下，设椭球包含状态可达集R_up，式中ξ为实矩阵，P为对称正定实矩阵，在椭球Ω内，式(31)表示的闭环系统的控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；

(24)针对步骤(23)的闭环系统的鲁棒稳定性，区域极点约束，H_∞性能，状态可达集，控制输入饱和问题，提出如下定理4；

定理4：对于i,j＝1,…,r，给定标量ρ>0,γ>0，针对复平面上稳定的LMI区域D和模糊闭环系统(31)，如果对所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，存在对称正定实矩阵P、实矩阵K_j，使得如下不等式成立

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+G^{T}G& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -I\end{array}\right]<0---\left(42\right)$

${[{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}P+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}{\left(Q_{\mathrm{ij}}\right)}^{T}P]}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(43\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+G^{T}G& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -{\mathrm{\&rho;}}^{2}I\end{array}\right]<0---\left(44\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+P& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -I\end{array}\right]<0---\left(45\right)$

$\left[\begin{array}{cc}P& K_j^T\\ K_j& {\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]>0---\left(46\right)$

则状态反馈控制律可以使式(31)表示的闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵P为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

(25)步骤(24)提出的定理4证明如下：

(a)若存在对称正定实矩阵P使不等式(42)成立，则必有

${\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\&pi;}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}+G^{T}G& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\&pi;}\end{array}\right]<0---\left(47\right)$

经整理得

$x^T[Q_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}]x+{\mathrm{\&pi;}}^T{H}_i^T\mathrm{Px}+x^T{\mathrm{PH}}_i\mathrm{\&pi;}+x^T{G}^T\mathrm{Gx}-{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}<0---\left(48\right)$

于是则有

$\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i{h}_j\left\{x^T\right[Q_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}]x+{\mathrm{\&pi;}}^T{H}_i^T\mathrm{Px}+x^{T}P{H}_i\mathrm{\&pi;}+x^T{G}^T\mathrm{Gx}-{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}\}<0---\left(49\right)$

定义闭环系统的Lyapunov函数为V(x)＝x^TPx，则有

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i{h}_j\left\{x^T\right[Q_{\mathrm{ij}}^{T}P+{\mathrm{PQ}}_{\mathrm{ij}}]x+{\mathrm{\&pi;}}^T{H}_i^T\mathrm{Px}+x^T{\mathrm{PH}}_i\mathrm{\&pi;}\}---\left(50\right)$

把式(50)代入式(49)得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)+x^T{G}^T\mathrm{Gx}-{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}<0---\left(51\right)$

由假设1可知

x^TG^TGx-π^Tπ≥0    (52)

因此

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)<0---\left(53\right)$

于是式(31)表示的闭环系统是渐近稳定的；

(b)若式(43)成立，则对式(43)两边分别左乘右乘实对称正定矩阵P^-1，并记X＝P^-1，得

[λ_klX+μ_klQ_ijX+μ_klX(Q_ij)^T]_1≤k,l≤m<0    (54)

由定理3可知，闭环系统极点位于LMI区域D中；

(c)针对给定的常数ρ>0，若存在对称正定实矩阵P使不等式(44)成立，则必有

${\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\&pi;}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}+G^{T}G& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -{\mathrm{\&rho;}}^{2}I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\&pi;}\end{array}\right]<0---\left(55\right)$

经整理得

$x^T[Q_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}]x+{\mathrm{\&pi;}}^T{H}_i^T\mathrm{Px}+x^{T}P{H}_i\mathrm{\&pi;}+x^T{G}^T\mathrm{Gx}-{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}<0---\left(56\right)$

于是则有

$\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i{h}_j\left\{x^T\right[Q_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}]x+{\mathrm{\&pi;}}^T{H}_i^T\mathrm{Px}+x^{T}P{H}_i\mathrm{\&pi;}+x^T{G}^T\mathrm{Gx}-{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}\}<0---\left(57\right)$

把式(50)代入式(57)得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)+y^{T}y-{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}<0---\left(58\right)$

若给定初始条件x(0)＝0，对式(58)从0到T_f积分，T_f为标量，得

$V\left(x\left(T_f\right)\right)-V\left(x\left(0\right)\right)+{\&Integral;}_0^{T_f}(y^{T}y-{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;})\mathrm{dt}<0---\left(59\right)$

由V(x)≥0得V(x(T_f))≥0，在零初始条件下，由式(59)得

$y^{T}y-{\mathrm{\&rho;}}^2{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}<0\&DoubleRightArrow;\frac{{\left|\right|y\left|\right|}_2}{{\left|\right|\mathrm{\&pi;}\left|\right|}_2}<\mathrm{\&rho;}---\left(60\right)$

即得式(31)表示的闭环系统的L₂增益小于ρ，其中式(31)表示的闭环系统的L₂增益定义为||T_yπ(s)||_∞：

${\left|\right|T_{\mathrm{y\&pi;}}\left(s\right)\left|\right|}_{\&infin;}=\sup \frac{{\left|\right|y\left|\right|}_2}{{\left|\right|\mathrm{\&pi;}\left|\right|}_2},{\left|\right|\mathrm{\&pi;}\left|\right|}_2\&NotEqual;0---\left(61\right)$

于是式(31)表示的闭环系统满足H_∞性能指标ρ；

(d)若存在对称正定实矩阵P使不等式(45)成立，则必有

${\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\&pi;}\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}+P& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\&pi;}\end{array}\right]<0---\left(62\right)$

经整理得

$x^T[Q_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}]x+{\mathrm{\&pi;}}^T{H}_i^T\mathrm{Px}+x^{T}P{H}_i\mathrm{\&pi;}+x^T\mathrm{Px}-{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}<0---\left(63\right)$

于是则有

$\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i{h}_j\left\{x^T\right[Q_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}]x+{\mathrm{\&pi;}}^T{H}_i^T\mathrm{Px}+x^{T}P{H}_i\mathrm{\&pi;}+x^T\mathrm{Px}-{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}\}<0---\left(64\right)$

把式(50)代入式(64)得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)+x^T\mathrm{Px}-{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}<0---\left(65\right)$

若给定初始条件x(0)＝0，对式(70)从0到T_f积分，得

$V\left(x\left(T_f\right)\right)-V\left(x\left(0\right)\right)+{\&Integral;}_0^{T_f}(x^T\mathrm{Px}-{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;})\mathrm{dt}<0---\left(66\right)$

由V(x)≥0得V(x(T_f))≥0，在零初始条件下，由式(66)得

$x^T\mathrm{Px}-{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}<0\&DoubleRightArrow;V\left(x\right)<{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}\&le;{\mathrm{\&pi;}}_{\max }^2---\left(67\right)$

于是椭球包含状态可达集R_up

根据Schur补引理2，不等式(46)等价于

${\mathrm{\&gamma;}}^{-2}{K}_j^T{K}_j-P<0---\left(68\right)$

对式(68)分别左乘x^T右乘x得到

${\mathrm{\&gamma;}}^{-2}{x}^T{K}_j^T{K}_{j}x<x^T\mathrm{Px}=V\left(x\right)---\left(69\right)$

在椭球Ω内，从而有

||u||_∞＝||K_jx||_∞<γπ_max＝u_lim    (70)

于是在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；

根据以上证明可知定理4成立；

实际设计控制器时，设计者应根据控制对象的具体情况及控制目标合理选择定理5中涉及的部分或全部不等式，并非必须全部满足才能达到满意的控制效果；

(26)由于定理4中的不等式并非线性矩阵不等式LMI，难以求解，为得到式(42)-(46)的LMI表达，使步骤(19)中的不等式(42)-式(46)能够用Matlab求解，假设M＝M^T＝[μ_kl]_1≤k,l≤m并提出如下定理5，如下：

定理5：对于i,j＝1,…,r，给定标量ρ>0,γ>0，针对复平面上稳定的LMI区域D和式(31)表示的闭环系统，如果对所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，存在对称正定实矩阵V、实矩阵W_j、标量ε>0，使得如下不等式成立

θ_ii<0(i＝1,…,r)；θ_ij+θ_ji<0(i<j≤r)    (72)

ψ_ii<0(i＝1,…,r)；ψ_ij+ψ_ji<0(i<j≤r)    (73)

α_ii<0(i＝1,…,r)；α_ij+α_ji<0(i<j≤r)    (74)

β_ii>0(i＝1,…,r)；β_ij+β_ji>0(i<j≤r)    (75)

${\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}={\left[\begin{array}{cc}{S}_2& {\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}({\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)\\ {\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j)& -I\end{array}\right]}_{1\&le;k,l\&le;m}---\left(77\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{ccc}{S}_3& {\mathrm{VG}}^T& {\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T\\ \mathrm{GV}& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0\\ E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j& 0& -I\end{array}\right]---\left(78\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{ccc}{S}_4& 0& {\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T\\ 0& -I& 0\\ E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j& 0& -I\end{array}\right]---\left(79\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cc}V& W_j^T\\ W_j& \mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]---\left(80\right)$

$S_1=A_{i}V+V{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T+\mathrm{\&epsiv;}{H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(81\right)$

$S_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}V+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(A_{i}V+B_i{W}_j)+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}({\mathrm{VA}}_i^T+W_j^T{B}_i^T)+U_i{U}_i^T---\left(82\right)$

$S_3=A_{i}V+V{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T+\mathrm{\&epsiv;}{{\mathrm{\&rho;}}^{-2}H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(83\right)$

$S_4=A_{i}V+V{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T+V+\mathrm{\&epsiv;}{H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(84\right)$

式中，为(76)所示矩阵的元素，θ_ii,θ_ij,θ_ji为(77)所示矩阵的元素，ψ_ii,ψ_ij,ψ_ji为(78)所示矩阵的元素，α_ii,α_ij,α_ji为(79)所示矩阵的元素，β_ii,β_ij,β_ji为(80)所示矩阵的元素，则状态反馈控制律可以使为闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵εV^-1为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

(27)证明步骤(20)提出的定理5的步骤如下：

(a)对式(42)分别左乘和右乘矩阵：

diag{P^-1,I}    (85)

记X＝P^-1，得

$\left[\begin{array}{cc}X{Q}_{\mathrm{ij}}^T+Q_{\mathrm{ij}}X+X{G}^T\mathrm{GX}& H_i\\ H_i^T& -I\end{array}\right]<0---\left(86\right)$

应用Schur补引理2，式(86)等价于

$\left[\begin{array}{cc}X{Q}_{\mathrm{ij}}^T+Q_{\mathrm{ij}}X+H_i{H}_i^T& {\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{GX}& -I\end{array}\right]<0---\left(87\right)$

将Q_ij＝[A_i+B_iK_j+U_iF_i(t)(E_ai+E_biK_j)]_1≤i,j≤r代入上式，并展开得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+H_i{H}_i^T& {\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{GX}& -I\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}{U}_i\\ 0\end{array}\right]F_i\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}X{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T\\ 0\end{array}\right]{F_i}^T\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}{U}_i^T& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(88\right)$

由引理3可知，对于所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，式(88)成立的充分必要条件是，存在一个标量ε>0，使得下述不等式成立

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+H_i{H}_i^T& {\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{GX}& -I\end{array}\right]\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{U}_i\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{U}_i^T& 0\end{array}\right]+\mathrm{\&epsiv;}\left[\begin{array}{c}X{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(89\right)$

式(89)还可以写成

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+H_i{H}_i^T& {\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{GX}& -I\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}{U}_i{U}_i^T+\mathrm{\&epsiv;X}{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\\ 0& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(90\right)$

对式(90)两边数乘标量ε得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&epsiv;X}{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)\mathrm{\&epsiv;X}+\mathrm{\&epsiv;}{H}_i{H}_i^T& \mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{\&epsiv;GX}& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{U}_i{U}_i^T+\mathrm{\&epsiv;X}{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)\mathrm{\&epsiv;X}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(91\right)$

记V＝εX，W_j＝K_jV，经整理得

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{VA}}_i^T+W_j^T{B}_i^T+A_{i}V+B_i{W}_j+\mathrm{\&epsiv;}{H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T+({\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)(E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j)& {\mathrm{VG}}^T\\ \mathrm{GV}& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]<0---\left(92\right)$

根据Schur补引理2可知，式(92)等价于

根据T-S模糊系统的二次稳定性条件，减少不等式的计算量，降低保守性，则式(93)等价于式(71)，式(71)为式(42)的LMI表述，由定理4可知，当式(71)成立时，闭环系统是渐近稳定的；

(b)对式(43)分别左乘和右乘P^-1，记X＝P^-1，得

[λ_klX+μ_klQ_ijX+μ_klX(Q_ij)^T]_1≤k,l≤m<0  (94)

将Q_ij＝[A_i+B_iK_j+U_iF_i(t)(E_ai+E_biK_j)]_1≤i,j≤r代入上式，并展开得

${\left\{\begin{array}{c}[{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(A_i+B_i{K}_j)X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}X(A_i^T+K_j^T{B}_i^T)]\\ +\left[U_i{F}_i\left(t\right){\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X\right]+\left[{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}X(E_{\mathrm{ai}}^T+K_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T){F_i}^T\left(t\right)U_i^T\right]\end{array}\right\}}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(95\right)$

由引理3可知，对于所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，式(95)成立的充分必要条件是，存在一个标量ε>0，使得下述不等式成立

${\left\{\begin{array}{c}[{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(A_i+B_i{K}_j)X+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}X(A_i^T+K_j^T{B}_i^T)]\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}{U}_i{U}_i^T+\mathrm{\&epsiv;}\left[{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}^{2}X(E_{\mathrm{ai}}^T+K_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X\right]\end{array}\right\}}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(96\right)$

对式(96)两边数乘标量ε得

${\left\{\begin{array}{c}[{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}\mathrm{\&epsiv;X}+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(A_i+B_i{K}_j)\mathrm{\&epsiv;X}+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}\mathrm{\&epsiv;X}(A_i^T+K_j^T{B}_i^T)]\\ +U_i{U}_i^T+\left[{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}^2\mathrm{\&epsiv;X}(E_{\mathrm{ai}}^T+K_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)\mathrm{\&epsiv;X}\right]\end{array}\right\}}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(97\right)$

记V＝εX，W_j＝K_jV，经整理得

${\left\{\begin{array}{c}[{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}V+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(A_{i}V+B_i{W}_j)+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(V{A}_i^T+W_j^T{B}_i^T)]\\ +U_i{U}_i^T+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}^2(V{E}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)(E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j)]\end{array}\right\}}_{1\&le;k,l\&le;m}<0---\left(98\right)$

根据Schur补引理2可知，式(98)等价于

θ_ij<0,1≤i,j≤r  (99)

根据T-S模糊系统的二次稳定性条件，减少不等式的计算量，降低保守性，则式(94)等价于式(72)，式(72)为式(43)的LMI表述，由定理4可知，当式(72)成立时，闭环系统极点位于LMI区域D中；

(c)对式(44)分别左乘和右乘矩阵diag{P^-1,I}，记X＝P^-1，得

应用Schur补引理2，式(100)等价于

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{XQ}}_{\mathrm{ij}}^T+Q_{\mathrm{ij}}X+{\mathrm{\&rho;}}^{-2}{H}_i{H}_i^T& {\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{GX}& -I\end{array}\right]<0---\left(101\right)$

将Q_ij＝[A_i+B_iK_j+U_iF_i(t)(E_ai+E_biK_j)]_1≤i,j≤r代入上式，并展开得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+{{\mathrm{\&rho;}}^{-2}H}_i{H}_i^T& {\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{GX}& -I\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}{U}_i\\ 0\end{array}\right]F_i\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}X{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T\\ 0\end{array}\right]{F_i}^T\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}{U}_i^T& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(102\right)$

由引理3可知，对于所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，式(102)成立的充分必要条件是，存在一个标量ε>0，使得下述不等式成立

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+{-\mathrm{\&rho;}}^{-2}{H}_i{H}_i^T& {\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{GX}& -I\end{array}\right]\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{U}_i\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{U}_i^T& 0\end{array}\right]+\mathrm{\&epsiv;}\left[\begin{array}{c}X{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(103\right)$

式(103)还可以写成

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+{{\mathrm{\&rho;}}^{-2}H}_i{H}_i^T& {\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{GX}& -I\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}U}_i{U}_i^T+\mathrm{\&epsiv;X}{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\\ 0& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(104\right)$

对式(104)两边数乘标量ε得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&epsiv;X}{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)\mathrm{\&epsiv;X}+\mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&rho;}}^{-2}{H}_i{H}_i^T& \mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{XG}}^T\\ \mathrm{\&epsiv;GX}& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{U}_i{U}_i^T+\mathrm{\&epsiv;X}{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)\mathrm{\&epsiv;X}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(105\right)$

记V＝εX，W_j＝K_jV，经整理得

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{VA}}_i^T+W_j^T{B}_i^T+A_{i}V+B_i{W}_j+\mathrm{\&epsiv;}{{\mathrm{\&rho;}}^{-2}H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T+({\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)(E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j)& {\mathrm{VG}}^T\\ \mathrm{GV}& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]<0---\left(106\right)$

根据Schur补引理2可知，式(106)等价于

ψ_ij<0,1≤i,j≤r  (107)

根据T-S模糊系统的二次稳定性条件，减少不等式的计算量，降低保守性，则式(107)等价于式(73)，式(73)为式(44)的LMI表述，由定理4可知，当式(73)成立时，闭环系统对预置的标量ρ>0满足H_∞性能；

(d)对式(45)分别左乘和右乘矩阵diag{P^-1,I}，记X＝P^-1，得

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{XQ}}_{\mathrm{ij}}^T+Q_{\mathrm{ij}}X+X& H_i\\ H_i^T& -I\end{array}\right]<0---\left(108\right)$

应用Schur补引理2，式(108)等价于

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{XQ}}_{\mathrm{ij}}^T+Q_{\mathrm{ij}}X+X+H_i{H}_i^T& 0\\ 0& -I\end{array}\right]<0---\left(109\right)$

将Q_ij＝[A_i+B_iK_j+U_iF_i(t)(E_ai+E_biK_j)]_1≤i,j≤r代入上式，并展开得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+X+H_i{H}_i^T& 0\\ 0& -I\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}{U}_i\\ 0\end{array}\right]F_i\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}X{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T\\ 0\end{array}\right]{F_i}^T\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}{U}_i^T& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(110\right)$

由引理3可知，对于所有满足式(110)成立的充分必要条件是，存在一个标量ε>0，使得下述不等式成立

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+X+H_i{H}_i^T& 0\\ 0& -I\end{array}\right]\\ +{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{U}_i\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{U}_i^T& 0\end{array}\right]+\mathrm{\&epsiv;}\left[\begin{array}{c}X{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(111\right)$

式(111)还可以写成

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}X{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)X+X+H_i{H}_i^T& 0\\ 0& -I\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}{U}_i{U}_i^T+\mathrm{\&epsiv;X}{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)X& 0\\ 0& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(112\right)$

对式(112)两边数乘标量ε得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&epsiv;X}{(A_i+B_i{K}_j)}^T+(A_i+B_i{K}_j)\mathrm{\&epsiv;X}+\mathrm{\&epsiv;X}+\mathrm{\&epsiv;}{H}_i{H}_i^T& 0\\ 0& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cc}{U}_i{U}_i^T+\mathrm{\&epsiv;X}{(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)}^T(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)\mathrm{\&epsiv;X}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]<0\end{array}---\left(113\right)$

记V＝εX，W_j＝K_jV，经整理得

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{VA}}_i^T+W_j^T{B}_i^T+A_{i}V+B_i{W}_j+V+\mathrm{\&epsiv;}{H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T+({\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)(E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j)& 0\\ 0& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]<0---\left(114\right)$

根据Schur补引理2可知，式(114)等价于

α_ij<0,1≤i,j≤r      (115)

根据T-S模糊系统的二次稳定性条件，减少不等式的计算量，降低保守性，则式(115)等价于式(74)，式(74)为式(45)的LMI表述；

对式(46)分别左乘和右乘矩阵diag{P^-1,I}，记X＝P^-1，得

$\left[\begin{array}{cc}X& {\mathrm{XK}}_j^T\\ K_{j}X& {\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]>0---\left(116\right)$

对式(116)两边数乘标量ε得

$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&epsiv;X}& \mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{XK}}_j^T\\ K_j\mathrm{\&epsiv;X}& \mathrm{\&epsiv;}{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]>0---\left(117\right)$

记V＝εX，W_j＝K_jV，经整理可知式(117)等价于

β_ij<0,1≤i,j≤r      (118)

根据T-S模糊系统的二次稳定性条件，减少不等式的计算量，降低保守性，则式(118)等价于式(75)，式(75)为式(46)的LMI表述，由定理4可知，当式(75)成立时，椭球Ω包含状态可达集R_up，在椭球Ω内闭环系统满足控制输入约束||u||_∞<u_lim；

将定理4中的控制器存在的条件，即式(42)-(46)，分别用其LMI表述(71)-(75)代替，利用Matlab的LMI工具箱，解得矩阵W_j，V和标量ε，则控制增益K_j＝W_jV^-1，二次性能矩阵P＝X^-1＝εV^-1，此时状态反馈控制律使闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵εV^-1为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

由以上证明过程可知定理5成立；

(28)根据步骤(21)证明得到的定理5可知，针对式(31)表示的闭环系统，构造通过mat lab的求解，即得到闭环系统满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制律，根据该控制律从而形成闭环系统的模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器。

对该控制系统进行数值仿真分析，从图2，图3，图4，图5中可以看出，所设计的状态反馈控制系统动态调节时间短，响应快，超调量小，稳态精度高，能有效地抑制由于姿态变化引起的柔性附件振动，对航天器的模型不确定性具有良好的鲁棒性和适应性。

本发明未详细阐述部分属于本领域公知技术。

Claims (1)

1.一种基于T-S模糊模型的柔性航天器多目标综合控制方法，其特征在于：包括建立系统模型阶段、建立柔性航天器的T-S模糊模型阶段、证明柔性航天器T-S模糊模型的一致逼近性阶段、模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器设计阶段；

所述的建立系统模型阶段步骤如下：

(1)对于带有大型柔性太阳帆板的柔性航天器，使用有限元方法对柔性航天器的大型柔性太阳帆板进行离散得到各阶的柔性模态，选择前三阶的柔性模态；

(2)将步骤(1)选择的前三阶柔性模态和柔性航天器的姿态角作为柔性航天器的广义坐标，使用真-伪坐标形式的拉格朗日方程，得到柔性航天器具有惯量不确定性的动力学方程：

$\begin{array}{c}(I+\mathrm{\&Delta;I})\stackrel{.}{\mathrm{\&omega;}}+{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}[(I+\mathrm{\&Delta;I})\mathrm{\&omega;}+C\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}]+C\stackrel{..}{\mathrm{\&eta;}}=u+w\\ \stackrel{..}{\mathrm{\&eta;}}+D\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{K\&eta;}+C^T\stackrel{.}{\mathrm{\&omega;}}=0\end{array}---\left(1\right)$

式中，I是航天器的转动惯量矩阵，ΔI是由于太阳帆板转动引起的惯量不确定性增量，C是柔性附件与星体的耦合系数，u是三轴控制力矩，w是干扰力矩，η是柔性模态坐标，D＝2ξΛ，K＝Λ²，ξ为柔性附件模态阻尼系数矩阵，Λ为柔性附件模态频率矩阵，并假设D，K均正定，即柔性结构含有非负的惯性阻尼；

(3)选择修正罗德里格斯参数描述的柔性航天器姿态运动学方程，该柔性航天器姿态运动学方程如下：

$\stackrel{.}{p}=\frac{1}{4}\{(1-p^{T}p)I_3+2(p^{\&times;}+{\mathrm{pp}}^T)\}\mathrm{\&omega;}=F\left(p\right)\mathrm{\&omega;}---\left(2\right)$

式中：ω＝[ω₁ ω₂ ω₃]^T为星体角速度，ω^×代表向量ω的反对称矩阵；p＝[p₁ p₂ p₃]^T代表航天器本体相对于惯性空间的修正罗德里格斯参数MRPs，p^×代表向量p的反对称矩阵，I₃是航天器的转动惯量矩阵，F(p)是以p为自变量的函数；

(4)由步骤(2)的柔性航天器具有惯量不确定性的动力学方程和步骤(3)的修正罗德里格斯参数描述的柔性航天器姿态运动学方程组成柔性航天器的数学模型，通过调整柔性航天器的数学模型中的三轴控制力矩u，使得当姿态控制时间t→∞时，p→p_t，ω→0，η→0，其中p_t代表目标姿态；

所述建立柔性航天器的T-S模糊模型阶段步骤如下：

(5)将步骤(2)的带有大型柔性太阳帆板的具有惯量不确定性的动力学方程和步骤(3)的柔性航天器姿态运动学方程联合组成柔性多体航天器姿态动态系统，则有

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\left(t\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_f\left(x\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_g\left(x\right)u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，

$f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)\\ f_2\left(x\right)\\ f_3\left(x\right)\\ f_4\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4}[(1-p^{T}p)I_3+2(p^{\&times;}+{\mathrm{pp}}^T)]\mathrm{\&omega;}\\ {[I-{\mathrm{CC}}^T]}^{-1}[-{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}\mathrm{I\&omega;}-{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}C\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{CD}\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{CK\&eta;}]\\ \stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}\\ -D\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}-\mathrm{K\&eta;}-C^T{[I-{\mathrm{CC}}^T]}^{-1}[-{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}\mathrm{I\&omega;}-{\mathrm{\&omega;}}^{\&times;}C\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{CD}\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}+\mathrm{CK\&eta;}]\end{array}\right]$

$g\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ {(I-{\mathrm{CC}}^T)}^{-1}\\ 0\\ {-C}^T{(I-{\mathrm{CC}}^T)}^{-1}\end{array}\right];G=\left[\begin{array}{cccc}{I}_3& 0& 0& 0\\ 0& I_3& 0& 0\end{array}\right];$ Δ_f(x),Δ_g(x)是系统中的不确定项；

x(t)，y(t)，u(t)为随时间变化的状态量，输出量和输入量；

(6)定义 $x={\left[\begin{array}{cccc}{p}^T& {\mathrm{\&omega;}}^T& {\mathrm{\&eta;}}^T& {\stackrel{.}{\mathrm{\&eta;}}}^T\end{array}\right]}^T$ 为航天器姿态模糊动态模型的状态量，y＝[p^T ω^T]^T为航天器姿态模糊动态模型的输出，u＝T_c为航天器姿态模糊动态模型的输入；

(7)根据T-S模糊逼近理论，步骤(5)的式(3)表示的柔性多体航天器姿态动态系统能够由T-S模糊系统无限逼近，结合步骤(6)定义的x、y、u，T-S模糊系统的第i条模糊规则表示为：

规则i：如果z₁(t)是M_i1，并且z₂(t)是M_i2，……，并且z_n(t)是M_in

那么 $\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=(A_i+\mathrm{\&Delta;}{A}_i)x\left(t\right)+(B_i+\mathrm{\&Delta;}{B}_i)u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array},i=\mathrm{1,2},...,r---\left(4\right)$

式中，z＝z(t)为前件模糊变量，z＝z(t)中的元素为z₁(t)，z₂(t)，……，z_n(t)，x(t)∈Rⁿ为状态向量，u(t)∈R^m为控制向量，r为模糊规则数，A_i,B_i为适当维数的常数矩阵，ΔA_i,ΔB_i是具有适当维数的反映系统不确定的参数矩阵,M_ij为z_j(t)在第i条模糊规则下对应的隶属度，j＝1，2，……，n，n为正整数,Rⁿ为n维实数集，R^m为m维实数集；

(8)定义模糊权值h_i[z(t)]，也能表示为h_i(z)：

$h_i\left[z\left(t\right)\right]=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{M}_{\mathrm{ij}}\left[z_j\left(t\right)\right]}{\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{M}_{\mathrm{ij}}\left[z_j\left(t\right)\right]},i=\mathrm{1,2},...,r---\left(5\right)$

式中M_ij[z_j(t)]为z_j(t)在第i条模糊规则下对应的隶属度；

(9)根据步骤(8)定义的模糊权值h_i[z(t)]，通过重心法解模糊，得到基于步骤(7)的T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统，该系统表示为：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right)[(A_i+\mathrm{\&Delta;}{A}_i)x\left(t\right)+(B_i+\mathrm{\&Delta;}{B}_i)u\left(t\right)]\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(6\right)$

所述证明柔性航天器T-S模糊模型的一致逼近性阶段步骤如下：

(10)定义函数f_TS(x)，Δ_fTS(x)和Δ_gTS(x)

$f_{\mathrm{TS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right)A_{i}x\left(t\right)={[f_{\mathrm{TS}1}\left(x\right),f_{\mathrm{TS}2}\left(x\right),...,f_{\mathrm{TSn}}\left(x\right)]}^T---\left(7\right)$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fTS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right){\mathrm{\&Delta;A}}_{i}x\left(t\right)={[{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fTS}1}\left(x\right),{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fTS}2}\left(x\right),...,{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{fTSn}}\left(x\right)]}^T---\left(8\right)$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{gTS}}\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right){\mathrm{\&Delta;B}}_i{=[{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{gTS}1}\left(x\right),{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{gTS}2}\left(x\right),...,{\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{gTSn}}\left(x\right)]}^T---\left(9\right)$

式中，f_TS1……f_TSn，Δ_fTS1……Δ_fTSn，Δ_gTS1……Δ_fTSn分别为f_TS(x)，Δ_fTS(x)和Δ_gTS(x)的元素；

(11)根据步骤(10)中的式(7)、式(8)、式(9)，提出如下定理1：

定理1：步骤(9)的基于T-S模糊系统的模糊规则的T-S模糊航天器姿态动态系统能够以任意精度一致逼近紧致集上的步骤(3)的柔性多体航天器姿态动态系统，即ε_f，和为任意小量，存在T-S模糊系统(6)使得

||f_TS(x)-f(x)||_∞<ε_f              (10)

||Δ_fTS(x)-Δ_f(x)||_∞<ε_Δf         (11)

||Δ_gTS(x)-Δ_g(x)||_∞<ε_Δg         (12)

式中，Rⁿ为实数集，x＝(x₁,x₂,…,x_n)^T，无穷范数||·||_∞的定义为：对任意定义在紧致集上的函数a(z)，||a(z)||_∞＝sup|a(z)|,z∈U；

所述的模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器设计阶段步骤如下：

(12)将大型柔性太阳帆板的柔性航天器的外部干扰引入柔性多体航天器姿态运动方程(3)，则新的柔性多体航天器姿态运动方程可写为：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=f\left(x\left(t\right)\right)+g\left(x\left(t\right)\right)u\left(t\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_f\left(x\left(t\right)\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_g\left(x\left(t\right)\right)u\left(t\right)+g_{\mathrm{\&pi;}}\left(x\left(t\right)\right)\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(13\right)$

式中x(t)∈Rⁿ，u(t)∈R^m，y(t)∈R^l，Δ_f(x)∈Rⁿ，Δ_g(x)∈R^n×m，π(t)∈R^m分别为系统的状态、输入、输出、不确定项和外部干扰，f(x)∈Rⁿ，g(x)∈R^n×m，g_π(x)∈R^n×m为连续光滑函数，矩阵G∈R^l×n为常数矩阵；

(13)基于T-S模糊理论，式(13)的存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程由如下模糊规则描述：

规则i：如果z₁(t)是M_i1，并且z₂(t)是M_i2，……，并且z_n(t)是M_in

那么 $\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=(A_i+\mathrm{\&Delta;}{A}_i)x\left(t\right)+(B_i+\mathrm{\&Delta;}{B}_i)u\left(t\right)+H_i\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array},i=\mathrm{1,2},...,r---\left(14\right)$

式中，H_i为具有适当维数的常数矩阵，矩阵ΔA_i和ΔB_i表示系统的范数有界不确定性，并且矩阵ΔA_i和ΔB_i满足如下广义匹配条件

[ΔA_i ΔB_i]＝U_iF_i(t)[E_ai E_bi]          (15)

式中，U_i，E_ai和E_bi是已知的具有相容维数的常数矩阵，F_i(t)是时变矩阵，F_i(t)中的元素是Lebesgue可测的，并且满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I，其余变量定义同式(4)；

(14)假设式(14)，即存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程所表示的动态系统状态可测，且该动态系统的各线性子系统可控，则针对存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程，提出并行分配补偿(PDC)模糊控制器，该模糊控制器的控制规则如下：

控制器规则j：如果z₁(t)是M_j1，并且z₂(t)是M_j2，……，并且z_n(t)是M_jn

那么u(t)＝K_jx(t)，j＝1,2,…,r          (16)

则整个系统的模糊状态反馈控制器可表述为：

$u\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\left(z\right)K_{j}x\left(t\right)---\left(17\right)$

式中，h_j(z)是模糊权值，K_j(j＝1,2,…,r)是模糊控制器增益矩阵；

将式(17)代入式(14),即存在外部干扰的新的柔性多体航天器姿态运动方程和模糊状态反馈控制器组成的整个闭环系统的表达式如下：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i{h}_j\left\{\right[A_i+B_i{K}_j+U_i{F}_i\left(t\right)(E_{\mathrm{ai}}+E_{\mathrm{bi}}{K}_j)]x\left(t\right)+H_i\mathrm{\&pi;}\left(t\right)\}\\ y\left(t\right)=\mathrm{Gx}\left(t\right)\end{array}---\left(18\right)$

式中，h_i，h_j是模糊权值；

(15)给出LMI区域的定义1如下：

定义1：对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵L∈R^m×m和实矩阵M∈R^m×m，使得

$D=\{L+\mathrm{sM}+\stackrel{\&OverBar;}{s}{M}^T<0\}---\left(19\right)$

式中，s为任意复数，则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)；矩阵值函数

$f_D\left(s\right)=L+\mathrm{sM}+\stackrel{\&OverBar;}{s}{M}^T---\left(20\right)$

称为LMI区域D的特征函数，s是复数变量；

特征函数f_D(s)的取值是m×m维的Hermite矩阵，f_D(s)<0表示矩阵f_D(s)是负定的；

由定义1可知复平面上的一个LMI区域就是某个以s和为变量的线性矩阵不等式，或者以x＝Re(s)和y＝Im(s)为变量的线性矩阵不等式的可行域，且此时的LMI区域是凸的；进而，对任意的s∈D，特征函数故因此，LMI区域关于复平面上的实轴是对称的；

(16)根据步骤(15)定义的LMI区域D，给出了线性闭环系统x是D-稳定的充分必要条件，如下定理2所示：

定理2：闭环系统极点位于LMI区域D中，当且仅当存在一个对称正定实矩阵X_pol使得如下不等式成立

[λ_klX_pol+μ_kl(A+BK)X_pol+μ_klX_pol(A+BK)^T]_1≤k,l≤m<0       (21)

式中，A，B和K分别是线性系统的系统、输入和反馈增益实矩阵，L＝L^T＝[λ_kl]_1≤k,l≤m和M＝[μ_kl]_1≤k,l≤m是根据理想闭环系统极点区域确定的已知实矩阵，λ_kl，μ_kl是L,M中的元素；

在此基础上，将定理2描述的LMI区域稳定理论，推广至基于T-S模糊模型的非线性系统中；

(17)由于系统的不确定性，并假设外界干扰有界且可抑制，提出如下定理3：

定理3：式(18)表示的闭环系统的所有极点位于LMI区域D中，当且仅当存在一个对称正定实矩阵X使得如下不等式成立

[λ_klX+μ_klQ_ijX+μ_klX(Q_ij)^T]_1≤k,l≤m<0          (22)

式中，Q_ij＝[A_i+B_iK_j+U_iF_i(t)(E_ai+E_biK_j)]_1≤i,j≤r；

(18)由于存在外界干扰，给出如下假设和定义；

假设1：干扰π(t)有界，且在其连续区域内满足π^T(t)π(t)≤x^T(t)G^TGx(t)；

假设2：控制输入约束为||u||_∞≤u_lim，u_lim为输入上限，干扰输入满足||π||_∞≤π_max，π_max为干扰上限，定义γ＝u_lim/π_max；

定义3：式(18)表示的闭环系统的状态可达集为R_up

$R_{\mathrm{up}}=\{x\left(t\right):x,\mathrm{\&pi;s}.t.\left(31\right),x\left(0\right)=0,{\mathrm{\&pi;}}^T\mathrm{\&pi;}\&le;{\mathrm{\&pi;}}_{\max }^2,t\&GreaterEqual;0\}---\left(23\right)$

x，π为系统(18)的状态量和干扰量；

(19)根据步骤(18)提出的假设1、假设2和定义3，针对式(18)表示的闭环系统，通过使控制律u(t)同时满足如下条件，从而控制律u(t)成为满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制律，所述同时满足的条件如下；

(i)存在有界干扰的情况下，式(18)表示的闭环系统对所有允许的不确定性是渐近稳定的；

(ii)式(18)表示的闭环系统的极点均配置在指定的D区域内，使闭环系统获得满意的动态性能和D-稳定性；

(iii)在零初始条件下，式(18)表示的闭环系统满足H_∞性能，即||y(t)||₂<γ||π(t)||₂对任意非零的π(t)成立，式中γ>0表示预置的干扰抑制常数；

(iv)在零初始条件下，设椭球包含状态可达集R_up，式中ξ为实矩阵，P为对称正定实矩阵，在椭球Ω内，式(18)表示的闭环系统的控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；

(20)针对步骤(19)的闭环系统的鲁棒稳定性，区域极点约束，H_∞性能，状态可达集，控制输入饱和问题，提出如下定理4；

定理4：对于i,j＝1,…,r，给定标量ρ>0,γ>0，针对复平面上稳定的LMI区域D和模糊闭环系统(18)，如果对所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，存在对称正定实矩阵P、实矩阵K_j，使得如下不等式成立

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}+G^{T}G& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -I\end{array}\right]<0---\left(24\right)$

[λ_klP+μ_klPQ_ij+μ_kl(Q_ij)^TP]_1≤k,l≤m<0      (25)

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}+G^{T}G& P{H}_i\\ H_i^{T}P& -{\mathrm{\&rho;}}^{2}I\end{array}\right]<0---\left(26\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{ij}}^{T}P+P{Q}_{\mathrm{ij}}+P& {\mathrm{PH}}_i\\ H_i^{T}P& -I\end{array}\right]<0---\left(27\right)$

$\left[\begin{array}{cc}P& K_j^T\\ K_j& {\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]>0---\left(28\right)$

则状态反馈控制律可以使式(18)表示的闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵P为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

(21)由于定理4中的不等式并非线性矩阵不等式LMI，难以求解，为得到式(24)-(28)的LMI表达，使步骤(20)中的不等式(24)-式(28)能够用Matlab求解，假设M＝M^T＝[μ_kl]_1≤k,l≤m并提出如下定理5，如下：

定理5：对于i,j＝1,…,r，给定标量ρ>0,γ>0，针对复平面上稳定的LMI区域D和式(18)表示的闭环系统，如果对所有满足F_i ^T(t)F_i(t)≤I的F_i(t)，存在对称正定实矩阵V、实矩阵W_j、标量ε>0，使得如下不等式成立

θ_ii<0(i＝1,…,r)；θ_ij+θ_ji<0(i<j≤r)       (30)

ψ_ii<0(i＝1,…,r)；ψ_ij+ψ_ji<0(i<j≤r)       (31)

α_ii<0(i＝1,…,r)；α_ij+α_ji<0(i<j≤r)       (32)

β_ii>0(i＝1,…,r)；β_ij+β_ji>0(i<j≤r)       (33)

${\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}={\left[\begin{array}{cc}{S}_2& {\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}({\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T)\\ {\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j)& -I\end{array}\right]}_{1\&le;k,l\&le;m}---\left(35\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{ccc}{S}_3& {\mathrm{VG}}^T& {\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T\\ \mathrm{GV}& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0\\ E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j& 0& -I\end{array}\right]---\left(36\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{ccc}{S}_4& 0& {\mathrm{VE}}_{\mathrm{ai}}^T+W_j^T{E}_{\mathrm{bi}}^T\\ 0& -I& 0\\ E_{\mathrm{ai}}V+E_{\mathrm{bi}}{W}_j& 0& -I\end{array}\right]---\left(37\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cc}V& W_j^T\\ W_j& {\mathrm{\&epsiv;\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]---\left(38\right)$

$S_1=A_{i}V+V{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T+\mathrm{\&epsiv;}{H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(39\right)$

$S_2={\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{kl}}V+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(A_{i}V+B_i{W}_j)+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{kl}}(V{A}_i^T+W_j^T{B}_i^T)+U_i{U}_i^T---\left(40\right)$

$S_3=A_{i}V+V{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T+\mathrm{\&epsiv;}{{\mathrm{\&rho;}}^{-2}H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(41\right)$

$S_4=A_{i}V+V{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T+V+\mathrm{\&epsiv;}{H}_i{H}_i^T+U_i{U}_i^T---\left(42\right)$

式中，为(34)所示矩阵的元素，θ_ii,θ_ij,θ_ji为(35)所示矩阵的元素，ψ_ii,ψ_ij,ψ_ji为(36)所示矩阵的元素，α_ii,α_ij,α_ji为(37)所示矩阵的元素，β_ii,β_ij,β_ji为(38)所示矩阵的元素，则状态反馈控制律可以使为闭环系统渐近稳定，满足区域极点约束和H_∞性能，并且椭球包含状态可达集R_up，在椭球Ω内，控制输入满足约束||u||_∞≤u_lim；实矩阵εV^-1为闭环系统的一个二次D性能矩阵，系统的H_∞性能指标为ρ，控制输入约束的指标为γ；

(22)根据定理5可知，针对式(18)表示的闭环系统，构造通过matlab的求解，即得到闭环系统满足极点约束和控制输入约束的鲁棒H_∞状态反馈控制律，根据该控制律从而形成闭环系统的模糊鲁棒状态反馈多目标综合控制器。