CN106647270A - 针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法 - Google Patents

Abstract

一种针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法，基于独立模态空间为每一阶主模态设计自适应模糊控制器，最终将求得的模态控制量转化为实际控制量。模糊规则基于解析表达，实现了从输入振动信息到输出控制量的非线性映射，计算简便直观，并引入投影算法设计解析模糊规则的参数向量自适应律，提高对密频结构模型不确知性和溢出问题的鲁棒性，相比于传统控制方法，能有效提高振动抑制效果。同时，约束了参数向量的界，避免模糊规则过度修改造成不稳定。此外，参数向量的自适应律优化了控制量的非线性组织能力，降低了对控制能量的需求，很好地处理了密频结构低可控度与主动振动控制中作动能力有限之间的矛盾，具有工程实用价值。

Description

针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法

技术领域

本发明涉及一种针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法，适用于带有超大机械口径天线的电子侦察、微波遥感等复杂卫星，可提高平台姿态性能指标和大天线指向精度，并在多天线指向、挠性大载荷运动等空间任务中发挥重要作用。

背景技术

复杂航天器为实现较高的分辨率和天线增益，常带有超大尺寸天线。这对发射平台而言是巨大的负荷，只能通过减小天线质量密度和采用发射收拢、在轨展开的手段来实现。这类材料上超轻超薄、结构上由基本框架周期性延伸拼接而成的挠性结构，其动力学特征体现为大挠度、弱阻尼、模态频率低且密集，属于典型的空间密频结构。这类结构受到空间环境、姿轨控制作用的影响，极易引发挠性振动，不仅严重影响天线指向精度，而且容易造成结构疲劳损伤，更重要的是因其与航天器主体运动高度耦合，将严重影响航天器的姿态精度和稳定度，甚至导致控制系统失稳。

近年来，航天器超静平台以及高性能有效载荷的任务目标不断推广，空间结构的振动控制受到了高度重视。现有的振动控制技术，大致可分为被动振动控制和主动振动控制两种：被动振动控制以频带隔离技术为主，基本思想是依靠改变结构的力学特性，或者压缩控制系统带宽来避免激发模态振动。主动振动控制则是以被控结构对象的振动信息作为反馈，通过设计控制律，对结构主动施加控制作用来改善系统动态特性。

目前复杂任务需求迫使控制系统采用更高的带宽，同时空间密频结构往往具有低频特性，这就使得许多振动模态落在主要干扰频带以及必要控制带宽以内，单纯靠压低控制带宽避免激励振动的手段难以奏效。通过吸振、隔振及阻振来改变结构特性的被动减振方式控制量相对较小，且设计制造完成后性能不易改变，难以适应空间结构的复杂应用要求。因此，以控制器设计为核心的主动振动控制以其高度的有效性和适应性成为空间结构振动抑制的主要技术途径。

然而，挠性大天线周期性构型引起的低频段模态密集问题，是掣肘主动振动控制在轨应用的主要因素之一。包含密集模态的结构，称为密频结构。对于模态密集程度的界定，目前主要有从频率间隔角度出发的判断准则和从振型变化角度出发的振型灵敏度判别法，各类界定方法都是主要考虑密集模态所容易引发的问题，但是针对不同的应用场合，例如模态辨识、结构模态分析和振动控制等。无论以何种方法界定模态密集程度，直观上看，模态密集一定是在很窄的一段频率间隔内分布有很多固有频率。结构频率密集给主动振动控制带来许多困难，主要体现在：(1)密频结构的模态不稳定特性引起模型不确知性，即微小的结构参数摄动可能引起模态参数的巨大变化，因此设计控制器时必须充分考虑这种不确知性的影响；(2)由于传感器和作动器数目有限，密频结构的低阶控制中，控制方法必须处理密集模态低可控度与主动振动控制中作动能力有限之间的矛盾；(3)密集模态之间的强相互作用将加剧控制溢出和观测溢出问题，必须从控制设计上探索对溢出问题鲁棒性强的解决方案。

目前国内外有针对性的研究还很有限，少数成果主要以帆板或臂杆为对象，仅限于考虑一对密集模态。实际上，大规模的抛物面天线或网状天线通常包含一簇密集模态，这些模态的频率在低频段连续分布。由于缺乏对密频结构有效的低阶主动振动控制方法，导致需要大量的作动器，使得控制系统复杂、代价昂贵，甚至难以实现对这类结构稳定的振动抑制。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法，能够有效抑制密频结构振动，克服模态不稳定特性和溢出问题影响，并利用模糊控制量的非线性组织能力节约控制能量；模糊规则基于解析表达，参数向量的自适应律简单易实现；通过约束参数向量的界，间接限制控制量幅值，避免控制规则的过度修改造成不稳定。

本发明的技术解决方案是：一种针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法，步骤如下：

(1)将结构n阶物理空间模型经坐标变换转化到独立模态空间，获得结构n阶独立模态空间模型；

(2)对于上述步骤(1)建立的结构n阶独立模态空间模型，采用模态截断方法进行降阶处理，获得由m阶主模态组成的低阶独立模态空间模型；

(3)对于上述步骤(2)获得的结构低阶独立模态空间模型，为每一阶主模态设计独立的模糊控制器，该模糊控制器的输入变量为从物理坐标的量测信息提取的主模态振动信息；

(4)对于上述步骤(3)中的模糊控制器，设置解析模糊规则数为M，则所述模糊控制器的输出为M维模糊基函数向量和M维参数向量的点积，振动控制开始前对参数向量赋初值，同时引入投影算法设计解析模糊规则的参数向量自适应律，使得振动控制过程中参数向量能够根据控制效果自适应修改，并约束参数向量的界，避免过度修改模糊规则而造成不稳定；

(5)经上述步骤(4)解算得到模糊控制器的输出为独立模态空间内的各阶模态控制量，将各阶模态控制量综合为总的模态控制量，总的模态控制量通过坐标变换转化为物理坐标空间的实际控制量。

所述步骤(3)中模糊控制器的输入变量按如下过程求取：

设降阶处理前模型阶数为n，量测维度为n_o。设为速度量测输出阵，对应物理空间速度量测为位移量测输出阵，对应物理空间位移量测η_c(t)＝[η₁ η₂ … η_m]^T∈R^m×1为前m阶主模态的模态位移，Φ_c为系统前m阶主模态振型组成的n×m维矩阵。当量测维度n_o等于主模态数m时，C_dΦ_c和C_rΦ_c均为方阵，如满足C_dΦ_c及C_rΦ_c非奇异，则通过下式提取主模态信息

当量测维度n_o与主模态数m不相等时，C_dΦ_c及C_rΦ_c非方阵，通过下式提取主模态信息

对独立模态空间内每一阶主模态η_i，i＝1,…,m，取模态位移误差和模态速度误差为

为中的第i阶模态位移信息，η_ti为第i阶模态的理想模态位移；为中的第i阶模态速度信息，为第i阶模态的理想模态速度。η_ti和在振动控制中一般均为零。

第i阶模态对应模糊控制器的输入变量为

所述步骤(4)中模糊控制器的输出为：

f(x|θ)＝θ^Tξ(x)

这里设置解析模糊规则数为M，x＝[x₁ x₂]^T为所述模糊控制器的输入变量。模糊基函数向量ζ(x)＝[ζ₁,…,ζ_M]由模糊基函数ζ_k(x₁,x₂)组成，

其中和均为模糊基函数中隶属度函数的实值参数，用于设计隶属度函数曲线。

为解析模糊规则的参数向量，振动控制开始前对参数向量赋初值，同时设计解析模糊规则的参数向量自适应律如下：

对每一阶主模态设计实值参数k₁、k₂，使得特征方程s²+k₁s¹+…+k₂＝0的特征根都位于复平面内的左半开平面，这里s为拉氏算子。

令矩阵由于|sI-Λ_c|＝s²+k₁s+k₂，可知Λ_c为稳定矩阵。取Q∈R^2×2为任意正定矩阵，根据Lyapunov方程

可解得唯一正定对称矩阵P。

解析模糊规则的参数向量θ的自适应律为

其中，γ为学习率，p_f为矩阵P的最后一列。为保证控制过程中参数向量有界，引入自适应控制中的投影算法，P_r[·]为投影算子，其定义为

其中|·|表示取向量的模。设计模糊规则参数向量的界θ_set，θ_set>0，则可在振动控制全过程确保模糊控制器的输出有界，即-θ_set≤f(x|θ)≤θ_set。

所述步骤(5)中总的模态控制量为：

f＝[f₁,…,f_m]^T，其中m为主模态数，f_i为各主模态对应模糊控制器的输出，即各阶模态控制量，i＝1,…,m。将总的模态控制量通过坐标变换转化为物理坐标空间的实际控制量，过程如下：

设为控制输入阵，其中n为降阶处理前的原有模型阶数，n_c为控制维度，Φ_c为系统前m阶主模态振型组成的n×m维矩阵。当控制维度n_c等于主模态数m时，Φ_c ^TB为方阵，如满足Φ_c ^TB非奇异，则将总的模态控制量f(t)转化为实际控制量u(t)的方法为

u(t)＝(Φ_c ^TB)^-1f(t)

当控制维度n_c与主模态数m不相等时，Φ_c ^TB非方阵，则将总的模态控制量f(t)转化为实际控制量u(t)的方法为

u(t)＝(B^TΦ_c)(Φ_c ^TBB^TΦ_c)^-1f(t)

得到u(t)即为主动振动控制中物理坐标空间的实际控制量。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明利用模糊理论不依赖于被控对象模型的特点，基于独立模态空间为每一阶主模态设计自适应模糊控制器，相比于传统控制方法，能有效优化振动抑制效果，同时通过参数向量的自适应律修改模糊规则，抵抗密频结构模型不确知性的影响，并确保对未建模动态产生的溢出问题具有足够的鲁棒性。

(2)模糊振动控制并非基于模糊语言规则，而是基于解析表达，不仅计算简便直观，而且为稳定性和收敛性分析提供了条件；参数向量的自适应律简单可行、易于工程实现，满足空间密频结构振动控制的实时性要求。

(3)参数向量的自适应律约束了参数向量的界，一方面避免模糊规则过度修改造成不稳定，另一方面间接限制了控制量的幅值，避免了过大的控制量持续激励剩余模态的振动。

(4)解析模糊规则实现了从输入模态振动信息到输出模态控制量的非线性映射，并通过参数向量自适应律增加映射的灵活性，使得控制量调整更为精细，振动幅度大时能充分利用作动能力，振动抑制进入稳态后能有效节约控制能量，很好地处理了密频结构低可控度与主动振动控制中作动能力有限之间的矛盾，具有工程实用价值。

附图说明

图1为本发明空间密频结构稳定自适应模糊主动振动控制流程图；

图2为初始位移叠加持续激励作用下的结构自由响应图；

图3为采用普通模糊控制器主动振动控制效果图；

图4为采用本发明自适应模糊主动振动控制效果图；

图5为采用普通模糊控制器主动振动控制的稳态效果图；

图6为采用本发明自适应模糊主动振动控制的稳态效果图；

图7为采用普通模糊控制器主动振动控制时所需的控制量；

图8为采用本发明自适应模糊主动振动控制时所需的控制量。

具体实施方式

本发明方法的具体实施过程如图1所示。

在此设空间挠性结构有限元模型整体自由度为n，其固有频率在低频段分布密集，为空间密频结构。本发明对该密频结构施加稳定自适应模糊主动振动控制，主要步骤如下：

(1)将结构n阶物理空间模型经坐标变换转化到独立模态空间如下：

结构n阶物理空间模型可表示为

式中M∈R^n×n为质量阵，C∈R^n×n为瑞利阻尼阵，K∈R^n×n为刚度阵，q(t)∈R^n×1为物理空间位移向量，简称物理位移；为控制输入阵，为n_c维控制输入向量；为速度量测输出阵，对应n_o维物理空间速度量测为位移量测输出阵，对应n_o维物理空间位移量测总的量测输出y(t)由y_r和y_d组成。令q(t)＝Φη(t)，η(t)∈R^n×1为模态空间位移向量，简称模态位移，Φ∈R^n×n是由归一化的振型向量组成的振型矩阵，则Φ满足

Φ^TMΦ＝I

Φ^TCΦ＝D＝diag{2ξ₁ω₁,…,2ξ_nω_n}

这里ω_i和ξ_i，i＝1,…,n，分别对应第i阶模态的固有频率和模态阻尼比。将q(t)＝Φη(t)代入结构n阶物理空间模型，则可得到由η(t)表示的结构n阶独立模态空间模型

(2)对于上述步骤(1)建立的n阶独立模态空间模型，采用模态截断方法进行降阶处理如下：

根据结构n阶独立模态空间模型中固有频率分布情况，取前m阶低频模态作为主模态，Φ_c为系统前m阶主模态振型组成的n×m维矩阵，用Φ_c代替Φ，则近似有q(t)＝Φ_cη_c(t)，其中η_c(t)∈R^m×1为前m阶主模态的模态位移。将q(t)＝Φ_cη_c(t)代入结构n阶物理空间模型，即获得由m阶主模态组成的低阶独立模态空间模型

其中D_c＝diag{2ξ₁ω₁,…,2ξ_mω_m}，

(3)对于上述步骤(2)获得的结构低阶独立模态空间模型，为每一阶主模态设计独立的基于解析形式的模糊控制器，该模糊控制器的输入变量按如下过程求取：

首先从结构物理坐标q(t)中提取主模态坐标。当量测维度n_o等于主模态数m时，C_dΦ_c和C_rΦ_c均为方阵，如满足C_dΦ_c及C_rΦ_c非奇异，则通过下式提取主模态信息

当量测维度n_o与主模态数m不相等时，C_dΦ_c及C_rΦ_c非方阵，通过下式提取主模态信息

对独立模态空间内每一阶主模态η_i，i＝1,…,m，取模态位移误差和模态速度误差为

为中的第i阶模态位移信息，η_ti为第i阶模态的理想模态位移；为中的第i阶模态速度信息，为第i阶模态的理想模态速度。η_ti和在振动控制中一般均为零。

第i阶模态对应模糊控制器的输入变量为

(4)对于上述步骤(3)中的模糊控制器，设置解析模糊规则数为M，根据步骤(3)知，输入变量为x＝[x₁ x₂]^T∈R²，可按照如下逻辑设计模糊规则：

THEN y_f is B^k

k＝1,…,M

其中y_f∈R为输出变量，和B^k分别为输入、输出模糊集。令B^k为标准模糊集，其中心为则带有乘积推理机、单点模糊器和中心平均解模糊器的模糊系统可写作

式中，为x_j对于模糊集合的隶属度，f(x)是模糊系统的输出。这样即实现了由x∈R²到f(x)∈R的非线性映射，按照下式求解解模糊控制器的输出：

f(x|θ)＝θ^Tξ(x)

其中，为解析模糊规则的参数向量，ζ(x)＝[ζ₁,…,ζ_M]由模糊基函数ζ_k(x₁,x₂)组成，模糊基函数基于隶属度函数，用于设计各项模糊规则的适用度。带有乘积推理机、单点模糊器、中心平均解模糊器和高斯型隶属度函数的模糊系统中，模糊基函数为

这里和均为模糊基函数中隶属度函数的实值参数，用于设计隶属度函数曲线。

振动控制开始前对参数向量赋初值，同时设计解析模糊规则的参数向量自适应律如下：

对每一阶主模态设计实值参数k₁、k₂，使得特征方程s²+k₁s¹+…+k₂＝0的特征根都位于复平面内的左半开平面，这里s为拉氏算子。

令矩阵由于|sI-Λ_c|＝s²+k₁s+k₂，可知Λ_c为稳定矩阵。取Q∈R^2×2为任意正定矩阵，根据Lyapunov方程

可解得唯一正定对称矩阵P。

解析模糊规则的参数向量θ的自适应律为

其中，γ为学习率，p_f为矩阵P的最后一列。为保证控制过程中参数向量有界，引入自适应控制中的投影算法，P_r[·]为投影算子，其定义为

其中|·|表示取向量的模。设计模糊规则参数向量的界θ_set，θ_set>0，则可在振动控制全过程确保模糊控制器的输出有界，即-θ_set≤f(x|θ)≤θ_set。

(5)经上述步骤(4)解算得到模糊控制器的输出为独立模态空间内的各阶模态控制量，将各阶模态控制量综合为总的模态控制量，则总的模态控制量为f＝[f₁,…,f_m]^T，其中m为主模态数，f_i为各主模态对应模糊控制器的输出，即各阶模态控制量，i＝1,…,m。将总的模态控制量通过坐标变换转化为物理坐标空间的实际控制量，过程如下：

当控制维度n_c等于主模态数m时，Φ_c ^TB为方阵，如满足Φ_c ^TB非奇异，则将总的模态控制量f(t)转化为实际控制量u(t)的方法为

u(t)＝(Φ_c ^TB)^-1f(t)

当控制维度n_c与主模态数m不相等时，Φ_c ^TB非方阵，则将总的模态控制量f(t)转化为实际控制量u(t)的方法为

u(t)＝(B^TΦ_c)(Φ_c ^TBB^TΦ_c)^-1f(t)

这里u(t)即为主动振动控制中物理坐标空间的实际控制量。

对包含密集模态的某空间密频结构，采用4维控制和4维量测，设置初始振动位移和速度，并持续施加接近于基频的激励作用，图2为该空间密频结构的自由响应图，可见无控制作用时，已充分激起各阶模态的振动。

图3为采用普通模糊控制器主动振动控制效果图，图4为采用本发明自适应模糊主动振动控制效果图，可见，相比于图2中无控制作用下的自由响应，两种模糊控制器均可有效抑制初始状态和持续干扰作用下的结构振动，比较图3、图4可见，本发明自适应模糊主动振动控制由于存在参数向量的自适应过程，因此相比于参数设定理想的普通模糊主动振动控制系统而言，初始阶段过度过程稍长，但同样可在短时内有效抑制振动。

图5为采用普通模糊控制器主动振动控制的稳态效果图，图6为采用本发明自适应模糊主动振动控制的稳态效果图，比较图5、图6可见，使用本发明自适应模糊主动振动控制，相比于普通模糊主动振动控制，振动抑制效果能够获得较大提高。

图7为采用普通模糊控制器主动振动控制时所需的控制量，图8为采用本发明自适应模糊主动振动控制时所需的控制量，比较图7、图8可见，使用本发明自适应模糊主动振动控制，相比于普通模糊主动振动控制，所需控制量降低了一个数量级，因此可以有效地节省控制能量。

总之，本发明基于独立模态空间为每一阶主模态设计自适应模糊控制器，最终将求得的模态控制量转化为实际控制量。模糊规则基于解析表达，实现了从输入振动信息到输出控制量的非线性映射，计算简便直观，并引入投影算法设计解析模糊规则的参数向量自适应律，提高对密频结构模型不确知性和溢出问题的鲁棒性，相比于传统控制方法，能有效提高振动抑制效果。同时，约束了参数向量的界，避免模糊规则过度修改造成不稳定。此外，参数向量的自适应律优化了控制量的非线性组织能力，降低了对控制能量的需求，很好地处理了密频结构低可控度与主动振动控制中作动能力有限之间的矛盾，具有工程实用价值。

本发明未详细阐述的部分属于本领域公知技术。

Claims (4)

1.一种针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法，其特征在于步骤如下：

(1)将结构n阶物理空间模型经坐标变换转化到独立模态空间，获得结构n阶独立模态空间模型；

(2)对于上述步骤(1)建立的结构n阶独立模态空间模型，采用模态截断方法进行降阶处理，获得由m阶主模态组成的低阶独立模态空间模型；

(3)对于上述步骤(2)获得的结构低阶独立模态空间模型，为每一阶主模态设计独立的模糊控制器，该模糊控制器的输入变量为从物理坐标的量测信息提取的主模态振动信息；

(4)对于上述步骤(3)中的模糊控制器，设置解析模糊规则数为M，则所述模糊控制器的输出为M维模糊基函数向量和M维参数向量的点积，振动控制开始前对参数向量赋初值，同时引入投影算法设计解析模糊规则的参数向量自适应律，使得振动控制过程中参数向量能够根据控制效果自适应修改，并约束参数向量的界，避免过度修改模糊规则而造成不稳定；

(5)经上述步骤(4)解算得到模糊控制器的输出为独立模态空间内的各阶模态控制量，将各阶模态控制量综合为总的模态控制量，总的模态控制量通过坐标变换转化为物理坐标空间的实际控制量。

2.根据权利要求1所述的针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法，其特征在于：所述步骤(3)中模糊控制器的输入变量按如下过程求取：

设降阶处理前模型阶数为n，量测维度为n_o。设为速度量测输出阵，对应物理空间速度量测 为位移量测输出阵，对应物理空间位移量测η_c(t)＝[η₁ η₂…η_m]^T∈R^m×1为前m阶主模态的模态位移，Φ_c为系统前m阶主模态振型组成的n×m维矩阵；当量测维度n_o等于主模态数m时，C_dΦ_c和C_rΦ_c均为方阵，如满足C_dΦ_c及C_rΦ_c非奇异，则通过下式提取主模态信息

${\widetilde{\mathrm{\η}}}_c\left(t\right)={\left(C_d{\mathrm{\Φ}}_c\right)}^{-1}{y}_d\left(t\right)$

${\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\η}}}}_c\left(t\right)={\left(C_r{\mathrm{\Φ}}_c\right)}^{-1}{y}_r\left(t\right)$

当量测维度n_o与主模态数m不相等时，C_dΦ_c及C_rΦ_c非方阵，通过下式提取主模态信息

${\widetilde{\mathrm{\η}}}_c\left(t\right)=\left({{\mathrm{\Φ}}_c}^T{C}_d^T\right){\left(C_d{\mathrm{\Φ}}_c{{\mathrm{\Φ}}_c}^T{C}_d^T\right)}^{-1}{y}_d\left(t\right)$

${\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\η}}}}_c\left(t\right)=\left({{\mathrm{\Φ}}_c}^T{C}_r^T\right){\left(C_r{\mathrm{\Φ}}_c{{\mathrm{\Φ}}_c}^T{C}_r^T\right)}^{-1}{y}_r\left(t\right)$

对独立模态空间内每一阶主模态η_i，i＝1,…,m，取模态位移误差和模态速度误差为

$e_i={\mathrm{\η}}_{ti}-{\widetilde{\mathrm{\η}}}_i$

${\stackrel{\·}{e}}_i={\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_{ti}-{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\η}}}}_i$

为中的第i阶模态位移信息，η_ti为第i阶模态的理想模态位移；为中的第i阶模态速度信息，为第i阶模态的理想模态速度，η_ti和在振动控制中一般均为零，

第i阶模态对应模糊控制器的输入变量为

$x={\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cc}{e}_i& {\stackrel{\·}{e}}_i\end{array}\right]}^T.$

3.根据权利要求1所述的针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法，其特征在于：所述步骤(4)中模糊控制器的输出为：

f(x|θ)＝θ^Tξ(x)

这里设置解析模糊规则数为M，x＝[x₁ x₂]^T为所述模糊控制器的输入变量，模糊基函数向量ζ(x)＝[ζ₁,…,ζ_M]由模糊基函数ζ_k(x₁,x₂)组成，

${\mathrm{\ζ}}_k(x_1,x_2)=\frac{(\underset{j=1}{\overset{2}{\Π}}{a}_j^k\exp \[-{\left(\frac{x_j-{\stackrel{\‾}{x}}_j^k}{{\mathrm{\σ}}_j^k}\right)}^2\])}{\underset{k=1}{\overset{M}{\Σ}}(\underset{j=1}{\overset{2}{\Π}}{a}_j^k\exp \[-{\left(\frac{x_j-{\stackrel{\‾}{x}}_j^k}{{\mathrm{\σ}}_j^k}\right)}^2\])},k=1,\mathrm{...},M$

其中和均为模糊基函数中隶属度函数的实值参数，用于设计隶属度函数曲线；

为解析模糊规则的参数向量，振动控制开始前对参数向量赋初值，同时设计解析模糊规则的参数向量自适应律如下：

对每一阶主模态设计实值参数k₁、k₂，使得特征方程s²+k₁s¹+…+k₂＝0的特征根都位于复平面内的左半开平面，这里s为拉氏算子；

令矩阵由于|sI-Λ_c|＝s²+k₁s+k₂，可知Λ_c为稳定矩阵，取Q∈R^2×2为任意正定矩阵，根据Lyapunov方程

${\mathrm{\Λ}}_c^{T}P+{\mathrm{P\Λ}}_c=-Q$

可解得唯一正定对称矩阵P；

解析模糊规则的参数向量θ的自适应律为

其中，γ为学习率，p_f为矩阵P的最后一列；为保证控制过程中参数向量有界，引入自适应控制中的投影算法，P_r[·]为投影算子，其定义为

$P_r\[{\mathrm{\γx}}^T{p}_f\mathrm{\ζ}\left(x\right)\]={\mathrm{\γx}}^T{p}_f\mathrm{\ζ}\left(x\right)-{\mathrm{\γx}}^T{p}_f\frac{{\mathrm{\θ\θ}}^T}{|\mathrm{\θ}{|}^2}\mathrm{\ζ}\left(x\right)$

其中|·|表示取向量的模，设计模糊规则参数向量的界θ_set，θ_set>0，则可在振动控制全过程确保模糊控制器的输出有界，即-θ_set≤f(x|θ)≤θ_set。

4.根据权利要求1所述的针对空间密频结构的稳定自适应模糊主动振动控制方法，其特征在于：所述步骤(5)中总的模态控制量为：

f＝[f₁,…,f_m]^T，其中m为主模态数，f_i为各主模态对应模糊控制器的输出，即各阶模态控制量，i＝1,…,m；将总的模态控制量通过坐标变换转化为物理坐标空间的实际控制量，过程如下：

设为控制输入阵，其中n为降阶处理前的原有模型阶数，n_c为控制维度，Φ_c为系统前m阶主模态振型组成的n×m维矩阵；当控制维度n_c等于主模态数m时，Φ_c ^TB为方阵，如满足Φ_c ^TB非奇异，则将总的模态控制量f(t)转化为实际控制量u(t)的方法为

u(t)＝(Φ_c ^TB)^-1f(t)

当控制维度n_c与主模态数m不相等时，Φ_c ^TB非方阵，则将总的模态控制量f(t)转化为实际控制量u(t)的方法为

u(t)＝(B^TΦ_c)(Φ_c ^TBB^TΦ_c)^-1f(t)

得到u(t)即为主动振动控制中物理坐标空间的实际控制量。