CN103792945B - 一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种充液航天器系统的姿态控制和燃料晃动抑制方法。所述方法首先根据Lagrange-Euler方程建立充液航天器的系统模型，并得到系统的降阶模型，将降阶模型分成两个子系统分别进行设计。针对子系统一进行反馈控制设计，并将系统的状态作为子系统二的外部输入。针对子系统二（其表现为一个欠驱动系统的形式），先将其化为标准型，分析系统特性，然后采用一类适用于欠驱动系统的滑模控制方法进行控制器的设计。该发明能够在航天器贮箱内液体发生晃动的时候，实现航天器的姿态控制同时抑制液体的晃动，最终能够使整体航天器系统保持稳定，完成预定的作动目标，保证航天器的飞行安全。

Description

一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，尤其是涉及贮箱内液体燃料晃动效应的一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法。

背景技术

随着航天事业的飞速发展和空间任务的不断增多，对火箭、卫星等航天器提出了更高的性能要求，这就需要航天器携带更多的液体燃料。大量液体的运动会对航天器的姿态控制和稳定性产生关键性的影响，这主要表现在两个方面：一方面随着液体晃动质量的不断增加，其晃动频率逐渐降低，固有晃动频率往往在零点几到几赫兹之间，这种越来越低的晃动频率容易与航天器的结构振动频率或控制系统的特征频率相交耦，而致使航天器出现动力不稳定性。另一方面，大量液体燃料的晃动会对航天器产生显著的干扰力、干扰力矩以及冲击压力。通过物理方法抑制液体的晃动会增加航天器的重量和结构的复杂度，相当于降低了航天器的性能。因此，需要采用控制的方法来抑制液体燃料的晃动对航天器的影响。

目前针对此类充液航天器系统的控制研究已有一些研究成果。Reyhanoglu等人基于Lyapunov函数方法设计了非线性反馈控制器(Maneuveringcontrolproblemsforaspacecraftwithunactuatedfuelsloshdynamics.IEEEConferenceonControlApplications,2003)。杜辉等人基于滑模控制方法设计了一种分层滑模控制方案(一类带液体晃动航天器的姿态控制.空间控制技术与应用，2010)。Shageer等人基于线性系统理论、自适应控制等理论与方法对系统进行了特性分析并设计了一种自适应极点配置控制方法(Modelingandadaptivecontrolofspacecraftwithfuelslosh:overviewandcasestudies.AIAA,2007)。滑模控制对非线性对象有着较强的控制作用，并且有着响应迅速、对建模误差、参数不确定和扰动不敏感、物理实现简单等优点，但目前针对充液航天器系统的滑模控制方案有一定的局限性，要求在两个子滑模面s₁和s₂没有收敛到0之前，它们的乘积s₁s₂符号恒定，这在实践中难以保证。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法，该方法不需要设计两个子滑模面并要求两个子滑模面的乘积符号恒定，不仅能保证航天器姿态的稳定性，而且有效地抑制了液体燃料的晃动。

本发明所述的一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法包括以下步骤：

1)采用单摆模型等效液体的晃动，建立充液航天器系统在固定平面内的动力学模型。所述模型表示为：

$(m+m_f)({\stackrel{\·}{v}}_x+\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_z)+m_{f}a(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}})sin\mathrm{\ψ}+mb{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+m_{f}a{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}})}^{2}cos\mathrm{\ψ}=F---\left(1\right)$

$(m+m_f)({\stackrel{\·}{v}}_z-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_x)+m_{f}a(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}})cos\mathrm{\ψ}+mb\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-m_{f}a{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}})}^{2}sin\mathrm{\ψ}=f---\left(2\right)$

$(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+mb({\stackrel{\·}{v}}_z-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_x)-\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}=M+bf---\left(3\right)$

$(I_f+m_f{a}^2)(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}})+m_{f}a({\stackrel{\·}{v}}_x+\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_z)sin\mathrm{\ψ}+m_{f}a({\stackrel{\·}{v}}_z-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_x)cos\mathrm{\ψ}+\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}=0---\left(4\right)$

其中，θ、v_x、v_z分别表示航天器的姿态角、轴向和横向速度；m、I分别表示航天器的质量和转动惯量；m_f、I_f、ε分别表示液体的质量、转动惯量和晃动的阻尼系数；a、ψ分别表示等效单摆的摆长和摆角；F、f、M分别表示作用于航天器末端的推力、通过航天器质心的侧向推力和作用于航天器质心处的控制力矩；b表示航天器质心到贮箱中心的距离；

2)建立系统的降阶模型，并将其分成两个子系统：首先，考虑推力F为常值的情况，并且假设航天器作动时姿态角变化和液体燃料晃动幅度较小(即很小)，航天器的轴向加速度变化不大(近似为常量)，将方程(1)简化为：

${\stackrel{\·}{v}}_x+\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_z=\frac{F}{m+m_f}---\left(5\right)$

然后，将方程(5)分别代入方程(2)、(3)、(4)，可以得到降阶系统模型，将航天器的轴向速度v_x作为降阶系统的外部输入，降阶系统分为两个子系统，分别表示为：

子系统一：

$(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+mb({\stackrel{\·}{v}}_z-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_x)-\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}=M+bf---\left(6\right)$

子系统二：

$(m+m_f)({\stackrel{\·}{v}}_z-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_x)+m_{f}a(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}})cos\mathrm{\ψ}+mb\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-m_{f}a{(\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}})}^{2}sin\mathrm{\ψ}=f---\left(7\right)$

$(I_f+m_f{a}^2)(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}})+\frac{m_{f}aF}{m+m_f}sin\mathrm{\ψ}+m_{f}a({\stackrel{\·}{v}}_z-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_x)cos\mathrm{\ψ}+\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}=0---\left(8\right)$

其中，子系统二输入为通过航天器质心的侧向推力f，输出为航天器的姿态角θ、等效单摆的摆角ψ；

3)将子系统二简化为标准型：令x₁＝θ+ψ、将子系统二简化为如下的标准型：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2---\left(9\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_2=f_1\left(x\right)---\left(10\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=x_4---\left(11\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_4=u---\left(12\right)$

其中，

$f_1\left(x\right)=-\frac{1}{I_f+m_f{a}^2}\[\frac{m_{f}aF}{m+m_f}{\mathrm{sinx}}_3+m_f{\mathrm{aa}}_z{\mathrm{cosx}}_3+{\mathrm{\ϵx}}_4\]---\left(13\right)$

$u=\frac{1}{mb}\[(m_{f}a{\mathrm{cosx}}_3+mb)f_1\left(x\right)+(m+m_f)a_z-m_f{\mathrm{ax}}_2^2{\mathrm{sinx}}_3-f\]---\left(14\right)$

x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T(15)

$a_z={\stackrel{\·}{v}}_z-(x_2-x_4)v_x---\left(16\right)$

4)针对子系统一设计反馈控制器：设计控制输入控制力矩M为：

$M=mb(-k_1{v}_z-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{v}_x)-bf-\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}+(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}---\left(17\right)$

其中，k₁为控制力矩M的可调参数，取值范围为k₁＞0；

5)针对子系统二设计滑模控制器:定义误差变量为：

e₁＝x₁、e₂＝x₂、e₃＝f₁(x)

设计滑模面为：

s＝c₁e₁+c₂e₂+e₃(18)

其中，参数c₁、c₂的选择需满足条件使得A₁为Hurwitz矩阵，

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -c_1& -c_2\end{array}\right]$

设计滑模控制器等效控制量和切换控制量分别为：

$u_{eq}=-{\left(\frac{\∂f_1}{\∂x_4}\right)}^{-1}\[c_1{x}_2+c_2{f}_1+\frac{\∂f_1}{\∂x_1}{x}_2+\frac{\∂f_1}{\∂x_2}{f}_1+\frac{\∂f_1}{\∂x_3}{x}_4\]---\left(19\right)$

$u_{sw}=-{\left(\frac{\∂f_1}{\∂x_4}\right)}^{-1}\[\mathrm{\ρ}sat\left(s\right)+\mathrm{\λ}s\]---\left(20\right)$

其中，ρ、λ为可调参数；当|s|≤0.1时，sat(s)＝s；|s|＞0.1时，sat(s)＝0.1sign(s)，其中，

$sign\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=1\\ -1& s<0\end{array}\right.;$

设计滑模控制器为：

u＝u_eq+u_sw(21)

6)得到系统的控制输入：通过步骤4)和5)的设计得到子系统二的控制输入侧向推力f和控制力矩M分别为：

$f=(m_{f}a{\mathrm{cosx}}_3+mb)f_1\left(x\right)+(m+m_f)a_z-m_f{\mathrm{ax}}_2^2{\mathrm{sinx}}_3-mbu---\left(22\right)$

$M=mb(-k_1{v}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-bf-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}+(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(23\right)$

7)通过调节系统的控制输入侧向推力f和控制力矩M来控制航天器系统的姿态和抑制液体晃动。

作为上述技术方案的进一步改进，所述步骤4)中的可调参数k₁取值范围为0.5≤k₁≤3。

作为上述技术方案的更进一步改进，所述步骤5)中的可调参数ρ取值范围为1≤ρ≤8，λ的取值范围为2ρ≤λ≤10ρ。

本发明公开的一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法，在系统的整体控制输入个数小于系统自由度的情况下，在保证航天器系统渐近稳定的同时抑制了液体燃料的晃动。该发明不需要额外的控制器对液体燃料晃动进行单独的控制，而只需要对作用于刚体航天器的控制器进行调整，通过固液之间的耦合作用实现对液体燃料晃动的抑制，不仅能实现航天器的姿态控制目标，而且能够减弱贮箱内的液体燃料晃动。最终能够使整体航天器系统保持稳定，完成预定的作动目标，保证航天器的飞行安全。

附图说明

图1为本发明所述方法的流程图；

图2(a)为仿真过程中航天器轴向速度响应图；

图2(b)为仿真过程中航天器横向速度响应图；

图3(a)为仿真过程中滑模面响应图；

图3(b)为仿真过程中等效单摆摆角响应图；

图3(c)为仿真过程中航天器姿态角响应图；

图4(a)为仿真过程中通过航天器质心的侧向推力响应图；

图4(b)为仿真过程中作用于航天器质心处的控制力矩响应图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明提出的一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法进行详细说明。

如图1所示，本发明的方法通过以下步骤实现：

1)采用单摆模型等效液体的晃动，根据Lagrange-Euler方程建立充液航天器系统在固定平面内的动力学模型。所述模型表示为：

$(m+m_f)({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_x+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_z)+m_{f}a(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})sin\mathrm{\&psi;}+mb{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2+m_{f}a{(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})}^{2}cos\mathrm{\&psi;}=F---\left(1\right)$

$(m+m_f)({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)+m_{f}a(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})cos\mathrm{\&psi;}+mb\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-m_{f}a{(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})}^{2}sin\mathrm{\&psi;}=f---\left(2\right)$

$(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+mb({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=M+bf---\left(3\right)$

$(I_f+m_f{a}^2)(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})+m_{f}a({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_x+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_z)sin\mathrm{\&psi;}+m_{f}a({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)cos\mathrm{\&psi;}+\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=0---\left(4\right)$

其中，θ、v_x、v_z分别表示航天器的姿态角、轴向和横向速度；m、I分别表示航天器的质量和转动惯量；m_f、I_f、ε分别表示液体的质量、转动惯量和晃动的阻尼系数；a、ψ分别表示等效单摆的摆长和摆角；F、f、M分别表示作用于航天器末端的推力、通过航天器质心的侧向推力和作用于航天器质心处的控制力矩；b表示航天器质心到贮箱中心的距离；

2)建立系统的降阶模型，并将其分成两个子系统：

步骤1中描述的模型是一个复杂的多输入多输出非线性系统，为了便于控制器的设计，在合理的假设下对所述充液航天器系统动力学模型进行降阶处理。考虑推力F为常值的情况，并且在航天器作动时，可以假设在航天器姿态角θ变化和液体燃料晃动幅度较小时，航天器的轴向加速度v_x变化不大，可以假定为常量。

所以，首先考虑推力F为常值的情况，并且假设航天器作动时姿态角变化和液体晃动幅度较小(即很小)，航天器的轴向加速度变化不大(近似为常量)，将方程(1)简化为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_x+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_z=\frac{F}{m+m_f}---\left(5\right)$

然后，将方程(5)分别代入方程(2)、(3)、(4)，可以得到降阶系统模型，将航天器的轴向速度v_x作为降阶系统的外部输入，为了分别设计f和M，将降阶系统分为两个子系统，针对一个子系统设计f保证航天器姿态渐近稳定并抑制液体燃料晃动，针对另一个子系统设计M保证v_z渐近稳定。两个子系统分别表示为：

子系统一：

$(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+mb({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=M+bf---\left(6\right)$

子系统二：

$(m+m_f)({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)+m_{f}a(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})cos\mathrm{\&psi;}+mb\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-m_{f}a{(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})}^{2}sin\mathrm{\&psi;}=f---\left(7\right)$

$(I_f+m_f{a}^2)(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})+\frac{m_{f}aF}{m+m_f}sin\mathrm{\&psi;}+m_{f}a({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)cos\mathrm{\&psi;}+\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=0---\left(8\right)$

其中，子系统二输入为通过航天器质心的侧向推力f，输出为航天器的姿态角θ、等效单摆的摆角ψ，表现为欠驱动系统的形式；

3)将子系统二简化为标准型：令x₁＝θ+ψ、代入子系统二中，则有：

$(m_{f}a{\mathrm{cosx}}_3+mb){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-mb{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4+(m+m_f)a_z-m_f{\mathrm{ax}}_2^2{\mathrm{sinx}}_3=f$

$(I_f+m_f{a}^2){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2+\frac{m_{f}aF}{m+m_f}{\mathrm{sinx}}_3+m_f{\mathrm{aa}}_z{\mathrm{cosx}}_3+{\mathrm{\&epsiv;x}}_4=0$

其中， $a_z={\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-(x_2-x_4)v_x,---\left(16\right)$

进一步可以整理为如下的标准型：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2---\left(9\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_1\left(x\right)---\left(10\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4---\left(11\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=u---\left(12\right)$

其中，

$f_1\left(x\right)=-\frac{1}{I_f+m_f{a}^2}\&lsqb;\frac{m_{f}aF}{m+m_f}{\mathrm{sinx}}_3+m_f{\mathrm{aa}}_z{\mathrm{cosx}}_3+{\mathrm{\&epsiv;x}}_4\&rsqb;---\left(13\right)$

$u=\frac{1}{mb}\&lsqb;(m_{f}a{\mathrm{cosx}}_3+mb)f_1\left(x\right)+(m+m_f)a_z-m_f{\mathrm{ax}}_2^2{\mathrm{sinx}}_3-f\&rsqb;---\left(14\right)$

x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T(15)

如果控制力矩M和横向推力f为0，轴向推力F为恒定值，那么可以定义原系统的一个平衡点为：

$v_x=\frac{F}{m+m_f}t+v_x\left(0\right),v_z=v_z^{*},\mathrm{\&theta;}={\mathrm{\&theta;}}^{*},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=0,\mathrm{\&psi;}=0,\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=0$

其中和θ^*为任意常量，v_x(0)为航天器的初始轴向速度。不失一般性，可以选择θ^*＝0，则子系统二的平衡点为：

x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T＝[0,0,0,0]^T

4)针对子系统一设计反馈控制器：设计控制输入控制力矩M为：

$M=mb(-k_1{v}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-bf-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}+(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(17\right)$

其中，k₁为作用于航天器质心处的控制力矩M的可调参数，取值范围为k₁＞0；其大小影响v_z的控制性能。选择越大的正常数k₁越可以加快v_z的收敛，但同时需要的控制输入也会相应的增大。选择较小的k₁可以降低控制输入，但无疑也会降低系统的收敛速度。为了输入M和f控制在一个比较合适的范围内，同时系统的收敛速度也较为合适，优选0.5≤k₁≤3。此设计可以实现系统状态量v_z的渐近稳定，在针对子系统二的设计中可以将v_z作为外部输入；

5)针对子系统二设计滑模控制器:

子系统二的函数f₁(x)需要满足一定性质，这样才能进行滑模控制器的设计。可以验证，函数f₁(x)满足如下的性质：

(1)f₁(0,0,0,0)＝0；

$\left(2\right)---\&part;f_1/\&part;x_4=-\frac{m_f{\mathrm{av}}_x{\mathrm{cosx}}_3+\mathrm{\&epsiv;}}{I_f+m_f{a}^2}<0;$

(3)f₁(0,0,x₃,x₄)＝0是渐近稳定流形，即在f₁(0,0,x₃,x₄)＝0时，x₃、x₄会趋于0。

定义误差变量为：

e₁＝x₁、e₂＝x₂、e₃＝f₁(x)

设计滑模面为：

s＝c₁e₁+c₂e₂+e₃(18)

其中，参数c₁、c₂的选择需满足条件使得A₁为Hurwitz矩阵，

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -c_1& -c_2\end{array}\right]$

为了满足A₁为Hurwitz矩阵，需保证A₁的特征值实部为负，即 $\left|\mathrm{\&lambda;}I-A\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathrm{\&lambda;}& -1\\ c_1& \mathrm{\&lambda;}+c_2\end{array}\right|={\mathrm{\&lambda;}}^2+c_2\mathrm{\&lambda;}+c_1=0$ 的根的实部为负。取特征值为λ₁＝-0.95，λ₂＝-21.05，得到c₁＝20和c₂＝22。

令则可以设计等效控制量为：

$u_{eq}=-{\left(\frac{\&part;f_1}{\&part;x_4}\right)}^{-1}\&lsqb;c_1{x}_2+c_2{f}_1+\frac{\&part;f_1}{\&part;x_1}{x}_2+\frac{\&part;f_1}{\&part;x_2}{f}_1+\frac{\&part;f_1}{\&part;x_3}{x}_4\&rsqb;---\left(19\right)$

其中

$\frac{\&part;f_1}{\&part;x_1}=0---\left(24\right)$

$\frac{\&part;f_1}{\&part;x_2}=\frac{m_f{\mathrm{av}}_x{\mathrm{cosx}}_3}{I_f+m_f{a}^2}---\left(25\right)$

$\frac{\&part;f_1}{\&part;x_3}=-\frac{1}{I_f+m_f{a}^2}\&lsqb;\frac{m_{f}aF}{m+m_f}{\mathrm{cosx}}_3-m_f{\mathrm{aa}}_z{\mathrm{sinx}}_3\&rsqb;---\left(26\right)$

$\frac{\&part;f_1}{\&part;x_4}=-\frac{m_f{\mathrm{av}}_x{\mathrm{cosx}}_3+\mathrm{\&epsiv;}}{I_f+m_f{a}^2}---\left(27\right)$

根据Lyapunov函数稳定性原理设计切换控制量为：

$u_{sw}=-{\left(\frac{\&part;f_1}{\&part;x_4}\right)}^{-1}\&lsqb;\mathrm{\&rho;}sat\left(s\right)+\mathrm{\&lambda;}s\&rsqb;---\left(20\right)$

其中，ρ、λ为可调参数；选取它们为正即可保证闭环系统的稳定性，但其大小影响滑模控制下的系统性能。ρ、λ的选择是为了能使滑模面s尽快的趋于零。选择较大的ρ、λ值虽然可以加快滑模面的收敛，但会使得系统的控制输入波动较大。为了使系统的控制输入较为平缓，并且有较好的收敛速度，其中ρ的取值在1-8之间，而λ的取值比ρ要大一些，取ρ的2-10倍，以减小控制量的抖动。当|s|≤0.1时，sat(s)＝s；|s|＞0.1时，sat(s)＝0.1sign(s)，其中，

$sign\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=1\\ -1& s<0\end{array}\right.;$

设计滑模控制器为：

u＝u_eq+u_sw(21)

采用上述控制方法，可以选择Lyapunov函数为V＝s^Ts/2，对其求导得到说明系统稳定且滑模面能够在有限时间内趋于零。在s＝0或e₃＝-c₁e₁-c₂e₂时，子系统二退化为由于A₁为Hurwitz矩阵，此系统渐近稳定。因此，e₁＝x₁、e₂＝x₂将收敛到零。即有s＝0、e₃＝f₁＝0。由函数f₁(x)的性质(3)可知，x₃、x₄将收敛到零，即ψ＝x₃＝0、θ＝x₁-x₃＝0。由此，可以证明设计的滑模控制器可以在有限时间内，使航天器的姿态角，横向速度及等效摆角都达到平衡点，达到了设计目的。

6)得到系统的控制输入：通过步骤4)和5)的设计得到子系统二的控制输入侧向推力f和控制力矩M分别为：

$f=(m_{f}a{\mathrm{cosx}}_3+mb)f_1\left(x\right)+(m+m_f)a_z-m_f{\mathrm{ax}}_2^2{\mathrm{sinx}}_3-mbu---\left(22\right)$

$M=mb(-k_1{v}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-bf-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}+(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(23\right)$

7)通过调节系统的控制输入侧向推力f和控制力矩M来控制航天器系统的姿态和抑制液体燃料晃动。

下面通过仿真验证本发明的有效性。调节控制器中的关键设计参数k₁、ρ和λ，观察仿真结果，直到闭环系统的控制性能满足期望要求。仿真参数如下：

航天器及液体燃料的参数：m＝600kg、I＝720kg/m²、m_f＝100kg、I_f＝90kg/m²、a＝0.32m、b＝0.25m、F＝500N、ε＝0.19kg·m²/s。

状态初始值：v_x(0)＝500m/s、v_z(0)＝20m/s、x₁(0)＝5°、x₂(0)＝0°/s、x₃(0)＝2.71°、x₄(0)＝0°/s。

控制器参数：k₁＝1、c₁＝20、c₂＝22、ρ＝2、λ＝10。

仿真结果说明：

从图2(a)可以看出，航天器的轴向速度v_x保持恒定的加速度，符合之前的假设。从图2(b)可以看出，航天器的横向速度v_z很快收敛到平衡点。

从图3(a)可以看出，设计的滑模面s很快收敛到零。图3(b)中等效单摆的摆角ψ收敛到平衡点，即表示抑制了液体燃料的晃动。图3(c)中航天器的姿态角θ也很快收敛到平衡点。

从图4(a)和(b)可以看出，系统的控制量变化曲线比较平滑。

本发明具体应用途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：

1)采用单摆模型等效液体的晃动，建立充液航天器系统在固定平面内的动力学模型，所述模型表示为：

$(m+m_f)({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_x+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_z)+m_{f}a(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})sin\mathrm{\&psi;}+mb{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2+m_{f}a{(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})}^{2}cos\mathrm{\&psi;}=F---\left(1\right)$

$(m+m_f)({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)+m_{f}a(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})cos\mathrm{\&psi;}+mb\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-m_{f}a{(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})}^{2}sin\mathrm{\&psi;}=f---\left(2\right)$

$(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+mb({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=M+bf---\left(3\right)$

$(I_f+m_f{a}^2)(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})+m_{f}a({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_x+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_z)sin\mathrm{\&psi;}+m_{f}a({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)cos\mathrm{\&psi;}+\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=0---\left(4\right)$

其中，θ、v_x、v_z分别表示航天器的姿态角、轴向和横向速度；m、I分别表示航天器的质量和转动惯量；m_f、I_f、ε分别表示液体的质量、转动惯量和晃动的阻尼系数；a、ψ分别表示等效单摆的摆长和摆角；F、f、M分别表示作用于航天器末端的推力、通过航天器质心的侧向推力和作用于航天器质心处的控制力矩；b表示航天器质心到贮箱中心的距离；

2)建立系统的降阶模型，并将其分成两个子系统：

首先，将方程(1)简化为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_x+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_z=\frac{F}{m+m_f}---\left(5\right)$

然后，将方程(5)分别代入方程(2)、(3)、(4)，可以得到降阶系统模型，将航天器的轴向速度v_x作为降阶系统的外部输入，降阶系统分为两个子系统，分别表示为：

子系统一：

$(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+mb({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=M+bf---\left(6\right)$

子系统二：

$(m+m_f)({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)+m_{f}a(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})cos\mathrm{\&psi;}+mb\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-m_{f}a{(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})}^{2}sin\mathrm{\&psi;}=f---\left(7\right)$

$(I_f+m_f{a}^2)(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}})+\frac{m_{f}aF}{m+m_f}sin\mathrm{\&psi;}+m_{f}a({\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)cos\mathrm{\&psi;}+\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}=0---\left(8\right)$

其中，子系统二输入为通过航天器质心的侧向推力f，输出为航天器的姿态角θ、等效单摆的摆角ψ；

3)将子系统二简化为标准型：令x₁＝θ+ψ、x₃＝ψ、将子系统二简化为如下的标准型：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2---\left(9\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_1\left(x\right)---\left(10\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4---\left(11\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=u---\left(12\right)$

其中，

$f_1\left(x\right)=-\frac{1}{I_f+m_f{a}^2}\&lsqb;\frac{m_{f}aF}{m+m_f}\sin x_3+m_f{\mathrm{aa}}_z\cos x_3+{\mathrm{\&epsiv;x}}_4\&rsqb;---\left(13\right)$

$u=\frac{1}{mb}\&lsqb;(m_{f}a\cos x_3+mb)f_1\left(x\right)+(m+m_f)a_z-m_f{\mathrm{ax}}_2^2{\mathrm{sinx}}_3-f\&rsqb;---\left(14\right)$

x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T(15)

$a_z={\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_z-(x_2-x_4)v_x---\left(16\right)$

4)针对子系统一设计反馈控制器：设计控制输入控制力矩M为：

$M=mb(-k_1{v}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-bf-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}+(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(17\right)$

其中，k₁为控制力矩M可调参数，取值范围为k₁＞0；

5)针对子系统二设计滑模控制器:定义误差变量为：

e₁＝x₁、e₂＝x₂、e₃＝f₁(x)

设计滑模面为：

s＝c₁e₁+c₂e₂+e₃(18)

其中，参数c₁、c₂的选择需满足条件使得A₁为Hurwitz矩阵，

$A_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -c_1& -c_2\end{array}\right]$

设计滑模控制器等效控制量和切换控制量分别为：

$u_{eq}=-{\left(\frac{\&part;f_1}{\&part;x_4}\right)}^{-1}\&lsqb;c_1{x}_2+c_2{f}_1+\frac{\&part;f_1}{\&part;x_1}{x}_2+\frac{\&part;f_1}{\&part;x_2}{f}_1+\frac{\&part;f_1}{\&part;x_3}{x}_4\&rsqb;---\left(19\right)$

$u_{sw}=-{\left(\frac{\&part;f_1}{\&part;x_4}\right)}^{-1}\&lsqb;\mathrm{\&rho;}sat\left(s\right)+\mathrm{\&lambda;}s\&rsqb;---\left(20\right)$

其中，ρ、λ为可调参数；当时，sat(s)＝s；时，sat(s)＝0.1sign(s)，其中，

$sign\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=1\\ -1& s<0\end{array}\right.;$

设计滑模控制器为：

u＝u_eq+u_sw(21)

6)得到系统的控制输入：通过步骤4)和5)的设计得到子系统二的控制输入侧向推力f和控制力矩M分别为：

$f=(m_{f}a\cos x_3+mb)f_1\left(x\right)+(m+m_f)a_z-m_f{\mathrm{ax}}_2^2\sin x_3-mbu---\left(22\right)$

$M=mb(-k_1{v}_z-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{v}_x)-bf-\mathrm{\&epsiv;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}+(I+{\mathrm{mb}}^2)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(23\right)$

7)通过调节系统的控制输入侧向推力f和控制力矩M来控制航天器系统的姿态和抑制液体燃料晃动。

2.根据权利要求1所述的一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法，其特征在于：所述步骤4)中的可调参数k₁取值范围为0.5≤k₁≤3。

3.根据权利要求2所述的一种充液航天器系统的姿态控制和液体燃料晃动抑制方法，其特征在于：所述步骤5)中的可调参数ρ取值范围为1≤ρ≤8，λ的取值范围为2ρ≤λ≤10ρ。