CN103455035B - 基于反步设计和非线性反馈的pd+姿态控制律设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于反步设计和非线性反馈的PD+姿态控制律设计方法，属于航天器高性能姿态控制技术领域。本方法建立级联形式的相对姿态运动方程，根据反步设计思想将PD+姿态控制律的设计问题分解为两个相对姿态运动子系统的稳定控制律设计问题。进一步根据相对姿态运动方程的级联关系设计PD+姿态控制律，以期望的动态响应稳定整个姿态控制系统。最后通过对平衡点处的闭环系统阻尼比进行约束来避免超调现象。本发明提高了现有基于反馈线性化方法设计PD+姿态控制律的灵活性，能够在不增加控制力矩幅值的前提下能够很大程度上地提高闭环系统的响应速度。

Description

基于反步设计和非线性反馈的PD+姿态控制律设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于反步设计和非线性反馈的PD+(ProportionalDerivativePlus)姿态控制律设计方法，属于航天器高性能姿态控制技术领域。

背景技术

为了完成交会对接、编队飞行、在轨服务等新兴空间应用任务，航天器需要频繁地进行大角度姿态机动/跟踪。在这种情况下，姿态控制系统呈现出强非线性和强耦合的特点。此时，为了获得较高的控制性能，就需要用到非线性控制技术。其中，基于反馈线性化技术设计的PD+姿态控制律因其设计简单便于实现等特点被广泛采用。这种姿态控制律设计方法首先通过反馈线性化技术将相对姿态动力学方程线性化，然后针对线性化后的新系统设计相对姿态变量(相对姿态参数和相对姿态角速度)的反馈项。WieB.[WieB.，WeissH.，ArapostathisA.Quaternionfeedbackregulatorforspacecrafteigenaxisrotations[J].JournalofGuidance，Control，andDynamics，12(3)，1989：375-380.]针对刚性航天器的姿态稳定控制任务设计了PD+姿态调节律，并给出了控制参数的整定方法；WenJ.T.[WenJ.T.，KennethK.D.Theattitudecontrolproblem[J].IEEETransactionsonAutomaticControl，36(10)，1991：1148-1162.]针对刚体姿态跟踪问题设计了PD+姿态控制律，并利用自适应控制技术提高了PD+姿态控制律的鲁棒性。随着滑模控制技术的发展，利用积分滑模控制技术可以保证PD+控制律的鲁棒性[UtkinV.，ShiJ.X.Integralslidingmodeinsystemsoperatingunderuncertaintyconditions[C].Proceedingsofthe35thIEEEConferenceonDecisionandControl，Japan，1996：4591-4596.]。在这种情况下，PD+姿态控制律作为积分滑模姿态控制律中的标称控制律并决定着闭环控制系统的动态性能。

对于根据反馈线性化方法设计的PD+姿态控制律来说，当确定了需要抵消的非线性项后，设计者仅能通过调节控制增益来满足控制需求。而现有PD+姿态控制律中的PD反馈项是相对姿态变量的线性比例放大，若选择大控制增益来加快系统响应，那么当相对姿态变量较大时，姿态控制律会产生很大的控制力矩幅值从而容易导致执行机构的饱和问题；反之，若选择小控制增益来降低执行机构发生饱和的几率，那么同时也会降低系统的响应速度。为了解决这一问题，SchlanbuschR.[SchlanbuschR.，LoriaA.，KristiansenR.，NicklassonP.J.PD+attitudecontrolofrigidbodieswithimprovedperformance[C].Proceedingsofthe49thIEEEConferenceonDecisionandControl，Atlanta，2010：7069-7074.]利用非线性反馈技术使得PD反馈项具有指数增加的控制增益，增加了PD+姿态控制律的设计自由度。然而，这种改进的PD+姿态控制律在相对姿态变量较大时具有大控制增益，在加快系统响应速度的同时更容易导致执行器饱和问题。另外，当相对姿态变量处于平衡点附近时，这种改进的PD+姿态控制律通过减少控制增益来避免超调，但同时也降低了系统的响应速度。

发明内容

本发明的目的是为提高现有PD+姿态控制律的控制性能，提出一种PD+姿态控制律设计方法，结合反步设计方法和非线性反馈技术，在不增加控制力矩幅值的前提下提高系统的响应速度，可用于刚性航天器进行姿态机动/跟踪时的姿态控制。

本发明的技术方案为：建立级联形式的相对姿态运动方程，根据反步设计思想将PD+姿态控制律的设计问题分解为两个相对姿态运动子系统的稳定控制律设计问题。对于相对姿态运动学子系统，利用非线性反馈技术设计虚拟控制律使闭环子系统具有期望的动态响应；再针对相对姿态动力学子系统设计辅助姿态控制律，使实际相对姿态角速度能够快速地跟踪上虚拟控制律的输出值；进一步根据相对姿态运动方程的级联关系设计PD+姿态控制律，以期望的动态响应稳定整个姿态控制系统。最后通过对平衡点处的闭环系统阻尼比进行约束来避免超调现象。

具体包括以下步骤：

步骤1，以进行姿态机动/跟踪的刚性航天器为对象，在姿态运动的构型空间内定义相对姿态变量，在航天器本体坐标系下建立级联形式的相对姿态动力学方程和相对姿态运动学方程。具体方法为：

在航天器本体坐标系下定义相对姿态变量如下：

${\mathrm{\σ}}_e={\mathrm{\σ}}_b\⊕\left({-\mathrm{\σ}}_d\right)=\frac{(1-{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_b\left|\right|}^2){\mathrm{\σ}}_b-(1-{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_b\left|\right|}^2){\mathrm{\σ}}_d+{2\mathrm{\σ}}_b^{\×}{\mathrm{\σ}}_d}{1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_d\left|\right|}^2{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_b\left|\right|}^2+{2\mathrm{\σ}}_d^T{\mathrm{\σ}}_b}---\left(1\right)$

ω_e＝ω_b-R(σ_e)ω_d(2)

式中，σ_b为航天器本体坐标系姿态对应的MRPs(ModifiedRodriguesParameters，修正罗德里格斯参数)矢量在本体坐标系下的向量表示，σ_d为惯性空间系姿态对应的MRPs矢量在惯性空间系下的向量表示，σ_e表示航天器本体坐标系与惯性空间系之间的相对姿态对应的MRPs矢量在本体坐标系下的向量表示，ω_b表示航天器角速度矢量在本体坐标系下的向量表示，ω_d表示参考角速度矢量在惯性空间系下的向量表示，ω_e表示航天器本体坐标系与惯性空间系之间的相对姿态角速度矢量在本体坐标系下的向量表示；||·||表示向量的Euclidean范数，(·)^×表示向量的反对称矩阵算子，(·)^T表示向量或矩阵的转置算子，表示MRPs的乘法算子；航天器本体坐标系与惯性空间系之间的转移矩阵R为：

$R=I_3+\frac{{8\mathrm{\σ}}_e^{\×}-4(1-{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2){\mathrm{\σ}}_e^{\×}}{{(1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2)}^2}---\left(3\right)$

式中，I₃表示3×3的单位矩阵。

建立相对姿态运动学方程为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_e={\mathrm{M\ω}}_e---\left(4\right)$

相对姿态动力学方程为：

$J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=T_c+{\mathrm{J\ω}}_e^{\×}{\mathrm{R\ω}}_d-\mathrm{JR}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d-{\mathrm{\ω}}_e^{\×}{\mathrm{J\ω}}_e-{\mathrm{\ω}}_e^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d-{\left({\mathrm{R\ω}}_d\right)}^{\×}{\mathrm{J\ω}}_e-{\left({\mathrm{R\ω}}_d\right)}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d---\left(5\right)$

式中，雅可比矩阵M为：

$M\left({\mathrm{\σ}}_e\right)=\frac{1}{4}[(1-{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2)I_3+{2\mathrm{\σ}}_e^{\×}+{2\mathrm{\σ}}_e{\mathrm{\σ}}_e^T]---\left(6\right)$

J为航天器惯量阵张量在本体坐标系下的矩阵表示，T_c为控制力矩矢量在本体坐标系下的向量表示。

所述惯性空间系以地心为坐标原点，x_i轴在地球赤道平面内指向春分点，z_i轴指向北极，与地球自旋轴重合，y_i与x_i和z_i成右手正交系。

所述航天器本体坐标系，以航天器质心为坐标原点，本体系的x轴与航天器结构的主轴(对称轴)相重合，符合右手法则。航天器的惯量阵张量在本体系下的矩阵表示为对角阵。

步骤2，针对步骤1建立的相对姿态运动学方程，将相对姿态角速度看作虚拟控制输入，利用非线性反馈技术设计虚拟控制律保证相对姿态运动学子系统的稳定性。基于非线性反馈技术设计的虚拟控制律在相对姿态变量较大时的输出为有界值，能够减少大误差情况下的控制力矩幅值；而在相对姿态变量较小时的输出大于线性反馈虚拟控制律，能够加快系统的响应速度。具体方法为：

将相对姿态角速度看作相对姿态运动学子系统的虚拟控制输入，并将相对姿态运动学方程改写为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_e=M{\mathrm{\ω}}_e^{*}---\left(7\right)$

式中，是虚拟控制输入，表示相对姿态角速度ω_e的期望值。

为达到限制虚拟控制输入在σ_e较大时的输出值，而在σ_e较小时使虚拟控制输入的输出大于线性反馈的目的，设计两种基于非线性反馈技术的虚拟控制律和(只使用一种即可实现PD+控制)：

${\mathrm{\ω}}_{e1}^{*}=-k_a\arctan \left(a{\mathrm{\σ}}_e\right)---\left(8\right)$

${\mathrm{\ω}}_{e2}^{*}=-k_t\tanh \left(a{\mathrm{\σ}}_e\right)---\left(9\right)$

式中，k_a＞0，k_t＞0，向量函数arctan(aσ_e)和tanh(aσ_e)分别为：

arctan(aσ_e)=[arctan(aσ_e1)，arctan(aσ_e2)，arctan(aσ_e3)]^T(10)

tanh(aσ_e)=[tanh(aσ_e1)，tanh(aσ_e2)，tanh(aσ_e3)]^T(11)

arctan和tanh分别为反正切和双曲正切函数，参数a＞0并满足

arctan(a|σ_ei|)＞|σ_ei|，(i=1，2，3)(12)

tanh(a|σ_ei|)＞|σ_ei|，(i=1，2，3)(13)

步骤3，引入辅助变量表示实际相对姿态角速度与步骤2设计的虚拟控制输入之间的误差，并以该辅助变量为状态变量来描述步骤1建立的相对姿态动力学方程，抵消相对姿态动力学方程中的非线性项并设计辅助变量的比例反馈项来建立辅助姿态控制律，保证实际相对姿态角速度对虚拟控制输入的跟踪。

引入辅助变量表示实际相对姿态角速度ω_e与虚拟控制输入之间的误差，进一步以z为状态变量，将相对姿态动力学方程(5)改写为：

$\mathrm{Jz}=T_c^{*}+J{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}R{\mathrm{\ω}}_d-\mathrm{JR}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d-{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}J(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})-{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d$

$\left(18\right)$

$-{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}J(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})-{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e^{*}$

式中，表示辅助姿态控制律。对式(8)和(9)求导，得到虚拟控制率和的新形式分别为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{e1}^{*}=-k_a\mathrm{diag}(\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\σ}}_{e1}^2},\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\σ}}_{e2}^2},\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\σ}}_{e3}^2})M{\mathrm{\ω}}_e---\left(19\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_{e2}^{*}=-k_t\mathrm{diag}\left(a_1\right[1-{\tanh }^2\left(a{\mathrm{\σ}}_{e1}\right)],a_2[1-{\tanh }^2\left(a{\mathrm{\σ}}_{e2}\right)],a_3[1-{\tanh }^2\left(a{\mathrm{\σ}}_{e3}\right)\left]\right)M{\mathrm{\ω}}_e---\left(20\right)$

为稳定相对姿态动力学子系统(18)，将辅助姿态控制律设计为：

$T_e^{*}=J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e^{*}-J{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}R{\mathrm{\ω}}_d+\mathrm{JR}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d+{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}J(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})+{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d$

$\left(21\right)$

$+{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}J(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})+{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d-k_d\mathrm{Jz}$

式中，k_d＞0。

步骤4，考虑相对姿态动力学方程和相对姿态运动学方程的级联关系，综合步骤2设计的虚拟控制律和步骤3设计的辅助姿态控制律，设计PD+姿态控制律以保证整个姿态控制系统的稳定性。具体方法为：

将相对姿态运动学方程(4)和相对姿态动力学方程(5)改写为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_e=M(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})---\left(24\right)$

$\mathrm{Jz}=T_c+J{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}R{\mathrm{\ω}}_d-\mathrm{JR}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d-{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}J(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})-{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d$

$\left(25\right)$

$-{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}J(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})-{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e^{*}$

本发明提出的基于反步设计和非线性反馈技术的PD+姿态控制律包括两个部分。第一部分是相对姿态动力学方程(25)右端的抵消项，第二部分是状态变量σ_e和z的反馈项。具体形式为：

$T_c=J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e^{*}-J{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}R{\mathrm{\ω}}_d+\mathrm{JR}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d+{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}J(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})+{(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d$

$\left(26\right)$

$+{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}J(z+{\mathrm{\ω}}_e^{*})+{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d-k_d\mathrm{Jz}-\mathrm{\μ}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2}{4}J{\mathrm{\σ}}_e$

步骤5，将步骤4设计的PD+姿态控制律代入相对姿态动力学方程中，在平衡点附近利用小角度假设将闭环系统方程近似为以欧拉主轴角为状态变量的二阶阻尼谐振系统方程，限制平衡点处的闭环系统阻尼比以避免超调现象并确定控制参数所需满足的条件。具体方法为：

姿态控制律(26)代入相对姿态动力学方程(25)，整理有：

$\mathrm{Jz}=-k_d\mathrm{Jz}-\mathrm{\μ}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2}{4}J{\mathrm{\σ}}_e$

$J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e-J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e^{*}=-k_{d}J({\mathrm{\ω}}_e-{\mathrm{\ω}}_e^{*})-\mathrm{\μ}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2}{4}J{\mathrm{\σ}}_e$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e^{*}=-k_d({\mathrm{\ω}}_e-{\mathrm{\ω}}_e^{*})-\mathrm{\μ}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{\σ}}_e---\left(29\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e+(k_d{\mathrm{\ω}}_e-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e^{*})+(\mathrm{\μ}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{\σ}}_e-k_d{\mathrm{\ω}}_e^{*})=0$

在相对姿态变量处于平衡点附近时使用小角度假设，即令：

${\mathrm{\ω}}_e\≈{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{e}n,{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e\≈{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_{e}n,{\mathrm{\σ}}_e\≈\frac{{\mathrm{\θ}}_e}{4}n$

(30)

M≈I₃

arctan(aσ_e)≈aσ_e，tanh(aσ_e)≈aσ_e

式中，θ_e表示σ_e对应的欧拉主轴角，n表示σ_e对应的特征轴矢量在航天器本体系下的向量表示。

将式(30)代入式(29)中，对于虚拟控制律(8)有：

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_e+(k_d+k_{a}a){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_e+(\frac{\mathrm{\μ}}{16}+k_d{k}_{a}a){\mathrm{\θ}}_e=0---\left(31\right)$

对于虚拟控制律(9)有：

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_e+(k_d+k_{t}a){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_e+(\frac{\mathrm{\μ}}{16}+k_d{k}_{t}a){\mathrm{\θ}}_e=0---\left(32\right)$

根据二阶阻尼谐振系统的阻尼比和自然振荡频率的概念，为了使闭环系统在σ_e=0时为临界阻尼系统，则参数k_a，k_t，k_d，μ以及a需要满足：

$\frac{{(4k_d+k_{a}a)}^2}{4\mathrm{\μ}+16k_d{k}_{a}a}\≥1,\frac{{(4k_d+k_{t}a)}^2}{4\mathrm{\μ}+16k_d{k}_{t}a}\≥1---\left(33\right)$

有益效果

本发明方法能够有效地提高姿态控制系统的控制性能，与现有技术相比的优点在于：

1)反步设计在很大程度上提高了现有基于反馈线性化方法设计PD+姿态控制律的灵活性。在反步设计框架内，设计者不仅可以通过调节控制增益来改变闭环系统的动态响应，而且在两个子系统的稳定控制律设计上可以采用多种线性或非线性控制方法来实现期望的控制性能；

2)利用非线性反馈技术能够有效地解决现有PD+姿态控制律在加快系统响应速度和减少控制力矩幅值两种性能指标上的权衡问题，本发明提出的PD+姿态控制律通过对相对姿态变量进行非线性反馈，在不增加控制力矩幅值的前提下能够很大程度上地提高闭环系统的响应速度。

附图说明

图1为本发明基于反步设计和非线性反馈技术的PD+姿态控制律设计流程图；

图2为具体实施中基于反步设计和非线性反馈技术的PD+姿态控制律设计框图；

图3为步骤2中虚拟控制律(8)和(9)使用的两种非线性函数在a＝8时的输出曲线；

图4为具体实施中航天器姿态控制系统跟踪给定姿态指令时，采用现有PD+控制以及本发明提出的PD+控制的σ_e响应对比图。其中，(a)为现有PD+控制律作用下的σ_e响应曲线；(b)为本发明在虚拟控制律(8)基础上设计的PD+控制律作用下的σ_e响应曲线；(c)为本发明在虚拟控制律(9)基础上设计的PD+控制律作用下的σ_e响应曲线；

图5为具体实施中航天器姿态控制系统跟踪给定姿态指令时，采用现有PD+控制以及本发明提出的PD+控制的控制力矩对比图。其中，(a)为现有PD+控制律对应的控制力矩曲线；(b)为本发明在虚拟控制律(8)基础上设计的PD+控制律对应的控制力矩曲线；(c)为本发明在虚拟控制律(9)基础上设计的PD+控制律对应的控制力矩曲线。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实施例加以进一步阐述。

本发明的设计流程如图1所示。依据本发明方法实施的PD+姿态控制律设计如图2所示，该控制律能够提高航天器姿态控制系统对期望姿态变量的跟踪性能。

1)建立刚性航天器进行姿态机动/跟踪时的相对姿态运动模型。首先，在航天器本体坐标系下定义相对姿态变量如下：

${\mathrm{\σ}}_e={\mathrm{\σ}}_b\⊕\left({-\mathrm{\σ}}_d\right)=\frac{(1-|\left|{\mathrm{\σ}}_d{\left|\right|}^2\right){\mathrm{\σ}}_b-(1-|\left|{\mathrm{\σ}}_b{\left|\right|}^2\right){\mathrm{\σ}}_d+2{\mathrm{\σ}}_b^{\×}{\mathrm{\σ}}_d}{1+\left|\right|{\mathrm{\σ}}_d{\left|\right|}^2\left|\right|{\mathrm{\σ}}_b{\left|\right|}^2+2{\mathrm{\σ}}_d^T{\mathrm{\σ}}_b}---\left(34\right)$

ω_e＝ω_b-R(σ_e)ω_d(35)

式中，σ_b为航天器本体坐标系姿态对应的MRPs(ModifiedRodriguesParameters，修正罗德里格斯参数)矢量在本体坐标系下的向量表示，σ_d为惯性空间系姿态对应的MRPs矢量在惯性空间系下的向量表示，σ_e表示航天器本体坐标系与惯性空间系之间的相对姿态对应的MRPs矢量在本体坐标系下的向量表示，ω_b表示航天器角速度矢量在本体坐标系下的向量表示，ω_d表示参考角速度矢量在惯性空间系下的向量表示，ω_e表示航天器本体坐标系与惯性空间系之间的相对姿态角速度矢量在本体坐标系下的向量表示；||·||表示向量的Euclidean范数，(·)^×表示向量的反对称矩阵算子，(·)^T表示向量或矩阵的转置算子，表示MRPs的乘法算子；航天器本体坐标系与惯性空间之间的转移矩阵R为：

$R=I_3+\frac{8{\mathrm{\σ}}_e^{\×}-4(1-|\left|{\mathrm{\σ}}_e{\left|\right|}^2\right){\mathrm{\σ}}_2^{\×}}{{(1+|\left|{\mathrm{\σ}}_e{\left|\right|}^2\right)}^2}---\left(36\right)$

式中，I₃表示3×3的单位矩阵。

在相对姿态变量定义的基础上，相对姿态运动学方程为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_e=M{\mathrm{\ω}}_e---\left(37\right)$

相对姿态动力学方程为：

$J{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=T_c+J{\mathrm{\ω}}_e^{\×}R{\mathrm{\ω}}_d-\mathrm{JR}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d-{\mathrm{\ω}}_e^{\×}J{\mathrm{\ω}}_e-{\mathrm{\ω}}_e^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d-{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}J{\mathrm{\ω}}_e-{\left(R{\mathrm{\ω}}_d\right)}^{\×}\mathrm{JR}{\mathrm{\ω}}_d---\left(38\right)$

式中，雅可比矩阵M为：

$M\left({\mathrm{\σ}}_e\right)=\frac{1}{4}(1-|\left|{\mathrm{\σ}}_e{\left|\right|}^2\right)I_3+2{\mathrm{\σ}}_2^{\×}{\mathrm{\σ}}_e{\mathrm{\σ}}_e^T]---\left(39\right)$

J为航天器惯量阵张量在本体坐标系下的矩阵表示，T_c为控制力矩矢量在本体坐标系下的向量表示。

2)相对姿态动力学方程(38)和相对姿态运动学方程(37)通过级联关系共同描述了航天器的相对姿态运动规律。根据反步设计思想，将相对姿态角速度看作相对姿态运动学子系统的虚拟控制输入，并将相对姿态运动学方程(37)改写为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_e=M{\mathrm{\ω}}_e^{*}---\left(40\right)$

式中，是虚拟控制输入，表示相对姿态角速度ω_e的期望值。

为了在不增加控制力矩幅值的前提下增加系统的响应速度，本发明采用非线性反馈技术设计虚拟控制律。具体实施是限制虚拟控制输入在σ_e较大时的输出值，而在σ_e较小时使虚拟控制输入的输出大于线性反馈的情况。为此，设计如下两种基于非线性反馈技术的虚拟控制律：

${\mathrm{\ω}}_{e1}^{*}={-k}_a\arctan \left(a{\mathrm{\σ}}_e\right)---\left(41\right)$

${\mathrm{\ω}}_{e2}^{*}={-k}_t\tanh \left(a{\mathrm{\σ}}_e\right)---\left(42\right)$

式中，k_a>0，k_t>0，向量函数arctan(aσ_e)和tanh(aσ_e)分别为：

arctan(aσ_e)＝[arctan(aσ_e1)，arctan(aσ_e2)，arctan(aσ_e3)]^T(43)

tanh(aσ_e)＝[tanh(aσ_e1)，tanh(aσ_e2)，tanh(aσ_e3)]^T(44)

arctan和tanh分别为反正切和双曲正切函数，参数a>0并满足

arctan(a|σ_ei|)>|σ_ei|，(i＝1，2，3)(45)

tanh(a|σ_ei|)>|σ_ei|，(i＝1，2，3)(46)

下面对所设计的非线性反馈虚拟控制律(41)和(42)进行稳定性分析。

考虑如下正定的Lyapunov函数：

$V_{\mathrm{\σ}}=\frac{\mathrm{\μ}}{2}{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2=\frac{\mathrm{\μ}}{2}{\mathrm{\σ}}_e^T{\mathrm{\σ}}_e---\left(47\right)$

式中，μ>0。

对式(47)求关于时间的导数：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{\σ}}=\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_e^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_e\\ =\mathrm{\μ}{\mathrm{\σ}}_e^{T}M{\mathrm{\ω}}_e^{*}\\ =\mathrm{\μ}\frac{1+\left|\right|{\mathrm{\σ}}_2{\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{\σ}}_e^T{\mathrm{\ω}}_2^{*}\end{array}---\left(48\right)$

将虚拟控制律(41)代入上式，可进一步表示为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{\σ}}={-k}_a\mathrm{\μ}\frac{1+\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e{\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{\σ}}_e^T\arctan \left(a{\mathrm{\σ}}_e\right)\\ ={-k}_a\mathrm{\μ}\frac{1+\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e{\left|\right|}^2}{4}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ei}}\arctan \left(a{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ei}}\right)\right]\end{array}---\left(49\right)$

由于arctan(aσ_ei)与σ_ei同号，上式负定。

类似地，虚拟控制律(42)代入式(48)，同样由于tanh(aσ_ei)与σ_ei同号有：

${\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{\σ}}=-k_a\mathrm{\μ}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{\σ}}_e^T\tanh \left({\mathrm{a\σ}}_e\right)$

$=-k_a\mathrm{\μ}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\σ}}_e\left|\right|}^2}{4}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ei}}\tanh \left({\mathrm{a\σ}}_{\mathrm{ei}}\right)\right]---\left(50\right)$

$\≤0$

根据式(49)和(50)的推导结果可知，采用虚拟控制律(41)和(42)时，相对姿态运动学子系统是全局一致渐近稳定的。

虚拟控制律(41)和(42)采用的非线性函数具有有界的输出值。其中，反正切函数arctan的值域为(-π/2，π/2)，双曲正切函数tanh的值域为(-1,1)。因此，虚拟控制律(41)和(42)可以通过参数k_a和k_t来调节虚拟控制输入的幅值，从而减少相对姿态动力学子系统需要跟踪的期望值并降低控制力矩幅值。另一方面，参数a能够改变非线性函数的变化规律。特别地，图3描述了arctan(aσ_e1)和tanh(aσ_e1)在a=8时的输出曲线。可以看出，当σ_e1<1.5时，arctan(aσ_e1)>σ_e1，当σ_e1<1时，tanh(aσ_e1)>σ_e1，即非线性虚拟控制律(41)和(42)在σ_e较小时的输出大于线性反馈的情况，从而能够加快系统的响应速度。

由此证明所设计的虚拟控制律(41)和(42)能在不增加控制力矩幅值的前提下加快系统的响应速度，从而提高现有PD+姿态控制律的控制性能。

3)在步骤2的基础上，引入辅助变量表示实际相对姿态角速度ω_e与虚拟控制输入之间的误差，进一步以z为状态变量，将相对姿态动力学方程(38)改写为：

$\mathrm{Jz}=T_c^{*}+J{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d-\mathrm{JR}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d-{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}\mathrm{JR}{\mathrm{\&omega;}}_d---\left(51\right)$

$-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}$

式中，表示辅助姿态控制律。对于虚拟控制律(41)和(42)来说，和分别为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{e1}^{*}=-k_a\mathrm{diag}(\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\&sigma;}}_{e1}^2},\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\&sigma;}}_{e2}^2},\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\&sigma;}}_{e3}^2})M{\mathrm{\&omega;}}_e---\left(52\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{e2}^{*}=-k_t\mathrm{diag}\left(a_1\right[1-{\tanh }^2\left({\mathrm{a\&sigma;}}_{e1}\right)],a_2[1-{\tanh }^2\left({\mathrm{a\&sigma;}}_{e2}\right)],a_3[1-{\tanh }^2\left({\mathrm{a\&sigma;}}_{e3}\right)\left]\right){\mathrm{M\&omega;}}_e---\left(53\right)$

为稳定相对姿态动力学子系统(51)，将辅助姿态控制律设计为：

$T_c^{*}={J\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}-J{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d+\mathrm{JR}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d+{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})+{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d$ $\left(54\right)$

$+{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})+{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-k_d\mathrm{Jz}$

式中，k_d>0。

下面对所设计的辅助姿态控制律(54)进行稳定性分析。

考虑如下正定的Lyapunov函数：

$V_z=\frac{1}{2}{\left|\right|z\left|\right|}^2=\frac{1}{2}{z}^{T}z---\left(55\right)$

对式(55)求关于时间的导数并代入辅助姿态控制律(54)：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_z=z^T\stackrel{\&CenterDot;}{z}$

$=z^T{J}^{-1}J\stackrel{\&CenterDot;}{z}---\left(56\right)$

$=-k_d{z}^{T}z$

根据式(56)的推导结果可知，采用辅助姿态控制律(54)时，相对姿态动力学子系统是全局一致渐近稳定的。

由此证明，辅助姿态控制律(54)能够保证实际相对姿态角速度跟踪上虚拟控制输入，从而使姿态控制系统具有虚拟控制输入确定的期望动态响应。

4)在步骤2和步骤3的基础上，将相对姿态运动学方程(37)和相对姿态动力学方程(38)改写为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_e=M(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})---\left(57\right)$

$\mathrm{Jz}=T_c+J{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d-\mathrm{JR}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d-{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}\mathrm{JR}{\mathrm{\&omega;}}_d---\left(58\right)$

$-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}$

与现有基于反馈线性化方法设计的PD+姿态控制律一样，本发明提出的基于反步设计和非线性反馈技术的PD+姿态控制律也包括两个部分。第一部分是相对姿态动力学方程(58)右端的抵消项，第二部分是状态变量σ_e和z的反馈项。具体形式如下所示：

$T_c=J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}-J{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d+\mathrm{JR}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d+{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})+{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d$

$+{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})+{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-k_d\mathrm{Jz}-\mathrm{\&mu;}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{J\&sigma;}}_e---\left(59\right)$

下面对所设计的PD+姿态控制律(59)进行稳定性分析：

考虑如下正定的Lyapunov函数：

$V=V_{\mathrm{\&sigma;}}+V_z$

$=\frac{\mathrm{\&mu;}}{2}{\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e\left|\right|}^2+\frac{1}{2}{\left|\right|z\left|\right|}^2---\left(60\right)$

$=\frac{\mathrm{\&mu;}}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_e^T{\mathrm{\&sigma;}}_e+\frac{1}{2}{z}^{T}z$

对式(60)求关于时间的导数：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\frac{\mathrm{\&mu;}}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_e^{T}M(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})+\frac{1}{2}{z}^T\stackrel{\&CenterDot;}{z}$

$=\frac{\mathrm{\&mu;}}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_e^{T}M{\mathrm{\&omega;}}_e^{*}+\frac{1}{2}{z}^T({\mathrm{\&mu;M}}^T{\mathrm{\&sigma;}}_e+\stackrel{\&CenterDot;}{z})---\left(61\right)$

$=\frac{\mathrm{\&mu;}}{2}{\mathrm{\&sigma;}}_e^{T}M{\mathrm{\&omega;}}_e^{*}-k_d{z}^{T}z$

由于步骤2设计的虚拟控制律(41)和(42)都能够保证因此Lyapunov函数(60)的导数负定。根据式(61)的推导结果可知，采用PD+姿态控制律(59)时，姿态控制系统是全局一致渐近稳定的。

5)将步骤4设计的姿态控制律(59)代入相对姿态动力学方程(58)，整理有：

$\mathrm{Jz}=-k_d\mathrm{Jz}-\mathrm{\&mu;}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{J\&sigma;}}_e$

$J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}=-k_{d}J({\mathrm{\&omega;}}_e-{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-\mathrm{\&mu;}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{J\&sigma;}}_e$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}=-k_d({\mathrm{\&omega;}}_e-{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-\mathrm{\&mu;}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{\&sigma;}}_e---\left(62\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e+(k_d{\mathrm{\&omega;}}_e-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*})+(\mathrm{\&mu;}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e\left|\right|}^2}{4}{\mathrm{\&sigma;}}_e-k_d{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})=0$

在相对姿态变量处于平衡点附近时使用小角度假设，即令：

${\mathrm{\&omega;}}_e\&ap;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{e}n,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e\&ap;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{e}n,{\mathrm{\&sigma;}}_e\&ap;\frac{{\mathrm{\&theta;}}_e}{4}n$

(63)

M≈I₃

arctan(aσ_e)≈aσ_e，tanh(aσ_e)≈aσ_e

式中，θ_e表示σ_e对应的欧拉主轴角，n表示σ_e对应的特征轴矢量在航天器本体系下的向量表示。

将式(63)代入式(62)中，对于虚拟控制律(41)有：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e+(k_d+k_{a}a){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{16}+k_d{k}_{a}a){\mathrm{\&theta;}}_e=0---\left(64\right)$

对于虚拟控制律(42)有：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e+(k_d+k_{t}a){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{16}+k_d{k}_{t}a){\mathrm{\&theta;}}_e=0---\left(65\right)$

根据二阶阻尼谐振系统的阻尼比和自然振荡频率的概念，为了使闭环系统在σ_e＝0时为临界阻尼系统，则参数k_a(k_t)，k_d，μ以及a需要满足：

$\frac{{({4k}_d+k_{a}a)}^2}{4\mathrm{\&mu;}+{16k}_d{k}_{a}a}\&GreaterEqual;1,\frac{{({4k}_d+k_{t}a)}^2}{4\mathrm{\&mu;}+{16k}_d{k}_{t}a}\&GreaterEqual;1---\left(66\right)$

实施例

本发明在Matlab2009a环境下进行仿真验证。航天器的惯量阵为

$J=\left[\begin{array}{ccc}3472& 10.4& 25.6\\ 10.4& 2280& 736\\ 25.6& 736& 2992\end{array}\right]\left(\mathrm{kg}{\&CenterDot;m}^2\right)---\left(67\right)$

初始惯性姿态变量为：σ_b(t₀)＝[0，0，0]^T，ω_b(t₀)＝[0，0，0]^T(rad／s)。期望姿态变量为目标轨道LVLH系对应的σ_d和ω_d。其中，目标轨道为圆形轨道，轨道半径a＝6899807(m)，偏心率e＝0，轨道倾角i＝30(deg)，升交点赤经Ω＝60(deg)，近地点幅角ω＝0(deg)，初始真近点角f(t₀)＝90(deg)。

控制器参数选择：μ＝0.02，k_d＝0.05，k_a＝0.08，k_t＝0.12，a＝12。

为了体现本发明提出的控制方法的优越性，与现有基于反馈线性化设计的PD+姿态控制律的姿态控制效果进行比较。

本发明基于反步设计和非线性反馈技术设计的PD+姿态控制律和现有基于反馈线性化设计的PD+姿态控制律作用下的σ_e响应曲线如图4所示。若以σ_e收敛至其初始值5％所需的时间作为调节时间，现有PD+姿态控制作用下的调节时间约为60秒，在本发明基于虚拟控制律(8)和(9)设计的PD+控制律作用下的调节时间分别约为33秒和32秒。可以看出，与现有PD+姿态控制相比，采用本发明提出的基于反步设计和非线性反馈技术设计的PD+姿态控制能够有效地减少姿态控制的调节时间，并且利用步骤5的参数整定方法不会引起超调现象。

图5分别给出了采用基于反步设计和非线性反馈技术设计的PD+姿态控制律和基于反馈线性化设计的PD+姿态控制律对应的控制力矩曲线。从图中可以看出本发明提出的PD+姿态控制律在减少调节时间的同时没有增加控制力矩的幅值，从而有效地解决了现有PD+姿态控制在加快系统响应和减少控制力矩幅值两个性能指标上存在的权衡问题。

Claims (3)

1.基于反步设计和非线性反馈的PD+姿态控制律设计方法，其特征在于：具体包括以下步骤：

步骤1，以进行姿态机动/跟踪的刚性航天器为对象，在姿态运动的构型空间内定义相对姿态变量，在航天器本体坐标系下建立级联形式的相对姿态动力学方程和相对姿态运动学方程；具体方法为：

在航天器本体坐标系下定义相对姿态变量如下：

${\mathrm{\&sigma;}}_e={\mathrm{\&sigma;}}_b\&CirclePlus;(-{\mathrm{\&sigma;}}_d)=\frac{(1-|\left|{\mathrm{\&sigma;}}_d\right|{|}^2){\mathrm{\&sigma;}}_b-(1-\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_b\left|{|}^2\right){\mathrm{\&sigma;}}_d+2{\mathrm{\&sigma;}}_b^{\&times;}{\mathrm{\&sigma;}}_d}{1+\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_d\left|{|}^2\right|\left|{\mathrm{\&sigma;}}_b\right|{|}^2+2{\mathrm{\&sigma;}}_d^T{\mathrm{\&sigma;}}_b}---\left(1\right)$

ω_e＝ω_b-R(σ_e)ω_d(2)

式中，σ_b为航天器本体坐标系姿态对应的MRPs矢量在本体坐标系下的向量表示，σ_d为惯性空间系姿态对应的MRPs矢量在惯性空间系下的向量表示，σ_e表示航天器本体坐标系与惯性空间系之间的相对姿态对应的MRPs矢量在本体坐标系下的向量表示，ω_b表示航天器角速度矢量在本体坐标系下的向量表示，ω_d表示参考角速度矢量在惯性空间系下的向量表示，ω_e表示航天器本体坐标系与惯性空间系之间的相对姿态角速度矢量在本体坐标系下的向量表示；||·||表示向量的Euclidean范数，(·)^×表示向量的反对称矩阵算子，(·)^T表示向量或矩阵的转置算子，表示MRPs的乘法算子；航天器本体坐标系与惯性空间系之间的转移矩阵R为：

$R=I_3+\frac{8{\mathrm{\&sigma;}}_e^{\&times;}-4(1-|\left|{\mathrm{\&sigma;}}_e\right|{|}^2){\mathrm{\&sigma;}}_e^{\&times;}}{{(1+|\left|{\mathrm{\&sigma;}}_e\right|{|}^2)}^2}---\left(3\right)$

式中，I₃表示3×3的单位矩阵；

建立相对姿态运动学方程为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_e={\mathrm{M\&omega;}}_e---\left(4\right)$

相对姿态动力学方程为：

$J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e=T_c+{\mathrm{J\&omega;}}_e^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d-JR{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d-{\mathrm{\&omega;}}_e^{\&times;}{\mathrm{J\&omega;}}_e-{\mathrm{\&omega;}}_e^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{J\&omega;}}_e-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d---\left(5\right)$

式中，雅可比矩阵M为：

$M\left({\mathrm{\&sigma;}}_e\right)=\frac{1}{4}\&lsqb;(1-|\left|{\mathrm{\&sigma;}}_e\right|{|}^2)I_3+2{\mathrm{\&sigma;}}_e^{\&times;}+2{\mathrm{\&sigma;}}_e{\mathrm{\&sigma;}}_e^T\&rsqb;---\left(6\right)$

J为航天器惯量阵矢量在本体坐标系下的矩阵表示，T_c为控制力矩矢量在本体坐标系下的向量表示；

步骤2，针对步骤1建立的相对姿态运动学方程，将相对姿态角速度看作虚拟控制输入，利用非线性反馈技术设计虚拟控制律；具体方法为：

将相对姿态角速度看作相对姿态运动学子系统的虚拟控制输入，将相对姿态运动学方程改写为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_e={\mathrm{M\&omega;}}_e^{*}---\left(7\right)$

式中，是虚拟控制输入，表示相对姿态角速度ω_e的期望值；

设计基于非线性反馈技术的虚拟控制律

${\mathrm{\&omega;}}_{e1}^{*}=-k_{a}arctan\left({\mathrm{a\&sigma;}}_e\right)---\left(8\right)$

式中，k_a＞0，向量函数arctan(aσ_e)为：

arctan(aσ_e)＝[arctan(aσ_e1),arctan(aσ_e2),arctan(aσ_e3)]^T(10)arctan为反正切函数，参数a＞0并满足

arctan(a|σ_ei|)＞|σ_ei|,(i＝1,2,3)(12)

步骤3，引入辅助变量表示实际相对姿态角速度ω_e与虚拟控制输入之间的误差，以z为状态变量，相对姿态动力学方程改写为：

$\begin{array}{c}J\stackrel{\&CenterDot;}{z}=T_c^{*}+J{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d-JR{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d-{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d\\ -{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}\end{array}---\left(18\right)$

式中，表示辅助姿态控制律；对虚拟控制律求导：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{e1}^{*}=-k_{a}diag(\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\&sigma;}}_{e1}^2},\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\&sigma;}}_{e2}^2},\frac{a}{1+a^2{\mathrm{\&sigma;}}_{e3}^2}){\mathrm{M\&omega;}}_e---\left(19\right)$

设计辅助姿态控制律为：

$\begin{array}{c}{T}_c^{*}=J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}-J{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d+JR{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d+{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})+{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d\\ -{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})+{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-k_{d}Jz\end{array}---\left(21\right)$

式中，k_d＞0；

步骤4，综合步骤2设计的虚拟控制律和步骤3设计的辅助姿态控制律，设计PD+姿态控制律；具体方法为：

将相对姿态运动学方程和相对姿态动力学方程改写为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_e=M(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})---\left(24\right)$

$\begin{array}{c}J\stackrel{\&CenterDot;}{z}=T_c+J{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d-JR{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d-{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d\\ -{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}\end{array}---\left(25\right)$

所述PD+姿态控制律的具体形式为：

$\begin{array}{c}{T}_c=J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}-J{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{R\&omega;}}_d+JR{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_d+{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})+{(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d\\ -{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}J(z+{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-{\left({\mathrm{R\&omega;}}_d\right)}^{\&times;}{\mathrm{JR\&omega;}}_d-k_{d}Jz-\mathrm{\&mu;}\frac{1+\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e|{|}^2}{4}{\mathrm{J\&sigma;}}_e\end{array}---\left(26\right)$

步骤5，将步骤4设计的PD+姿态控制律代入相对姿态动力学方程中，在平衡点附近利用小角度假设将闭环系统方程近似为以欧拉主轴角为状态变量的二阶阻尼谐振系统方程，限制平衡点处的闭环系统阻尼比；具体方法为：

PD+姿态控制律代入改写后的相对姿态动力学方程，得到：

$J\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-k_{d}Jz-\mathrm{\&mu;}\frac{1+\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e|{|}^2}{4}{\mathrm{J\&sigma;}}_e$

$J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e-J{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}=-k_{d}J({\mathrm{\&omega;}}_e-{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-\mathrm{\&mu;}\frac{1+{\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e\left|\right|}^2}{4}J{\mathrm{\&sigma;}}_e$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*}=-k_d({\mathrm{\&omega;}}_e-{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})-\mathrm{\&mu;}\frac{1+\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e|{|}^2}{4}{\mathrm{\&sigma;}}_e---\left(29\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e+(k_d{\mathrm{\&omega;}}_e-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e^{*})+(\mathrm{\&mu;}\frac{1+\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_e|{|}^2}{4}{\mathrm{\&sigma;}}_e-k_d{\mathrm{\&omega;}}_e^{*})=0$

在相对姿态变量处于平衡点附近时使用小角度假设，令：

${\mathrm{\&omega;}}_e\&ap;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{e}n,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e\&ap;\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}n,{\mathrm{\&sigma;}}_e\&ap;\frac{{\mathrm{\&theta;}}_e}{4}n$

M≈I₃(30)

arctan(aσ_e)≈aσ_e,tanh(aσ_e)≈aσ_e

式中，θ_e表示σ_e对应的欧拉主轴角，n表示σ_e对应的特征轴矢量在航天器本体系下的向量表示；

对于虚拟控制律有：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e+(k_d+k_{a}a){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{16}+k_d{k}_{a}a){\mathrm{\&theta;}}_e=0---\left(31\right)$

参数k_a，k_d，μ以及a满足：

$\frac{{(4k_d+k_{a}a)}^2}{4\mathrm{\&mu;}+16k_d{k}_{a}a}\&GreaterEqual;1.$

2.根据权利要求1所述的基于反步设计和非线性反馈的PD+姿态控制律设计方法，其特征在于：所述惯性空间系以地心为坐标原点，x_i轴在地球赤道平面内指向春分点，z_i轴指向北极，与地球自旋轴重合，y_i与x_i和z_i成右手正交系；所述航天器本体坐标系，以航天器质心为坐标原点，本体系的x轴与航天器结构的主轴，即对称轴相重合，符合右手法则；航天器的惯量阵矢量在本体系下的矩阵表示为对角阵。

3.根据权利要求1所述的基于反步设计和非线性反馈的PD+姿态控制律设计方法，其特征在于：步骤2所述的基于非线性反馈技术的虚拟控制律能够替换为另一种形式的虚拟控制律:

${\mathrm{\&omega;}}_{e2}^{*}=-k_t\tanh \left({\mathrm{a\&sigma;}}_e\right)---\left(9\right)$

其中，k_t＞0，向量函数tanh(aσ_e)为：

tanh(aσ_e)＝[tanh(aσ_e1),tanh(aσ_e2),tanh(aσ_e3)]^T(11)tanh为双曲正切函数，参数a＞0并满足

tanh(a|σ_ei|)＞|σ_ei|,(i＝1,2,3)(13)

求导得到：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{e2}^{*}=-k_{t}diag(a_1\&lsqb;1-{\tanh }^2({\mathrm{a\&sigma;}}_{e1})\&rsqb;,a_2\&lsqb;1-{\tanh }^2\left({\mathrm{a\&sigma;}}_{e2}\right)\&rsqb;,a_3\&lsqb;1-{\tanh }^2\left({\mathrm{a\&sigma;}}_{e3}\right)\&rsqb;{\mathrm{M\&omega;}}_e---\left(20\right)$

对于虚拟控制律有：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e+(k_d+k_{t}a){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e+(\frac{\mathrm{\&mu;}}{16}+k_d{k}_{t}a){\mathrm{\&theta;}}_e=0---\left(32\right)$

参数k_t，k_d，μ以及a满足：

$\frac{{(4k_d+k_{t}a)}^2}{4\mathrm{\&mu;}+16k_d{k}_{t}a}\&GreaterEqual;1.$