CN104635509B - 多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制器及控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多轴联动系统精度控制的反步‑滑模控制器及控制方法，主要针对某搭载在浮动平台上的多轴联动系统非线性特性控制，主要技术特点：基于拉格朗日‑麦克斯韦(Lagrange‑Maxwell)动力学方法建立多轴联动系统机电耦合动力学模型；根据搭载在浮动平台上的多轴联动系统在特定力学工况下的力学行为要求，提出一种用于多输入多输出(MIMO)系统的反步‑滑模控制方法；利用提出的控制方法设计搭载在浮动平台上的多轴联动系统控制器并进行性能仿真。一种用于搭载在浮动平台上的多轴联动系统精度控制的反步‑滑模方法，为非典型力学环境下的多轴联动系统力学性能设计提供了新的思路，控制鲁棒性好，较易硬件实现，具有工程价值。

Description

多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制器及控制方法

技术领域

本发明属于多轴联动系统控制技术领域，涉及的一种反步-滑模方法(Backstep-Slidingmodecontrol)，具体涉及一种多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制器及控制方法。

背景技术

多轴跟踪系统是典型的多转子系统，它通常安装浮动载体上，是进行灾难预测、气象观测和环境监测的有效手段之一，研究应用于特殊环境下的多轴跟踪系统的动力学特性具有重要的意义。这是因为，一方面系统运行中多轴间的运动学耦合和动力学耦合会影响系统动力学特性及指向精度；另一方面滚动轴承的摩擦力矩、线缆及弹性力矩，在轨抖动及动不平衡等不确定因素将大大影响系统的精度。

解决上述难题通常有两个途径，一是通过机械方面的手段使得耦合及干扰因素降低，另一个即是通过研究策略的研究设计出合理实用的控制器，对耦合因素及干扰因素进行主动控制。目前来看第一种途径已经取得了相当多的成果，但也受到了诸如加工制造等方面的限制；而第二种途径则是研究比较活跃的领域，并且存在诸如控制精度及控制稳定性等热点。

发明内容

本发明的目的是克服目前多轴联动系统动力学控制中存在跟踪精度低、控制方法稳定性低等缺陷，提出一种用于搭载在浮动平台上的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制器及控制方法，从而为具有此类特征及拓扑结构的 非线性动力学系统提供控制方法及控制器。

为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案包括以下步骤：

1)在浮动平台上搭载多轴联动系统，多轴联动系统具有用于共同实现所有有效载荷精确指向的正交的两个转动轴；

2)基于拉格朗日-麦克斯韦动力学方法建立多轴联动系统的机电耦合动力学模型，并将多轴联动系统机电耦合动力学模型写为状态方程；

3)结合搭载在浮动平台上的多轴联动系统在非典型力学工况下的力学行为要求，并根据步骤2)所得到的状态方程，设计用于多输入多输出系统的反步-滑模控制方法；

4)利用反步-滑模控制方法设计搭载在浮动平台上的多轴联动系统控制器，并采用半物理样机进行性能仿真。

所述步骤1)中，有效载荷为光学元器件或光电集成元器件。

所述步骤1)中，悬浮平台包括实验用模拟平台、舰船、航空设备或航天器。

所述步骤2)中，多轴联动系统机电耦合动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+B_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+C_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+D_1{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2}^2={\mathrm{ke}}_1{i}_1\\ A_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+B_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+C_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+D_2{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1}^2={\mathrm{ke}}_2{i}_1\\ L_1{\stackrel{\·}{i}}_1+{\mathrm{ke}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+R_1{i}_1=u_i\\ L_2{\stackrel{\·}{i}}_2+{\mathrm{ke}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+R_2{i}_2=u_2\end{array}\right.$

其中，θ₁是方位轴绕O₁Z₁轴转动的角度；θ₂是俯仰轴绕O₂X₂轴转动的角度。θ和_i是广义坐标；A₁,B₁,D₁和A₂,B₂,D₂是θ_2,θ_2, 和的复杂函数关系；C₁,ke₁,L₁,R₁和C₂,ke₂,L₂,R₂为系统参数；u₁和u₂为系统输入变量。

所述步骤2)中，状态方程为：

$\mathrm{\Σ}:\left\{\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ \frac{1}{A_1}(\frac{{\mathrm{ke}}_1}{R_1}{u}_1-B_1{x}_3{x}_4-(C_1+\frac{{{\mathrm{ke}}_1}^2}{R_1})x_3-D_1{x_4}^2)\\ \frac{1}{A_2}(\frac{{\mathrm{ke}}_2}{R_2}{u}_2-B_2{x}_3{x}_4-(C_2+\frac{{{\mathrm{ke}}_2}^2}{R_2})x_4-D_2{x_3}^2)\end{array}\right\}\\ \left\{\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right\}\end{array}\right.$

式中：X＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T为状态变量；U＝[u₁,u₂]^T为输入变量；Y＝[y₁,y₂]^T为输出变量。

所述步骤3)中，反步-滑模控制方法，具体包括以下步骤：

步骤A：定义 $X_1=\left\{\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right\};$ $X_2=\left\{\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\end{array}\right\}$ 为状态方程的状态变量；定义 $\mathrm{Yd}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}{y}_{1d}\\ y_{2d}\end{array}\right\}$ 为系统的目标输入；定义 ${\mathrm{\α}}_1\left(z\right)=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{11}\\ {\mathrm{\α}}_{12}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{-k}_{11}+{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\\ {-k}_{12}+{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\end{array}\right\}$ 为步骤A的期望控制量；根据反步算法， $Z_1=\left\{\begin{array}{c}{z}_{11}\\ z_{21}\end{array}\right\}=X_1\left(t\right)-\mathrm{Yd}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}_1-y_{1d}\\ x_2-y_{2d}\end{array}\right\}$ 和 $Z_2=\left\{\begin{array}{c}{z}_{21}\\ z_{22}\end{array}\right\}=X_2\left(t\right)-{\mathrm{\α}}_1\left(z\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}_3-{\mathrm{\α}}_{11}\\ x_4-{\mathrm{\α}}_{12}\end{array}\right\}$ 为系统的跟踪误差，则其一阶导数为 ${\stackrel{\·}{Z}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1-{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\\ {\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_3-{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\\ x_2-{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{z}_{21}+{\mathrm{\α}}_{11}-{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\\ z_{22}+{\mathrm{\α}}_{12}-{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\end{array}\right\};$

定义步骤A的Lyapunov函数为则V₁的一阶导数表示为：

${\stackrel{\·}{V}}_1={-k}_{11}{z^2}_{11}-k_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}$

上式无法满足继续建立第二个Lyapunov函数；

步骤B：定义如下的滑模面函数

$\mathrm{\σ}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{11}\\ {\mathrm{\σ}}_{12}\end{array}\right\}={\mathrm{\δ}}_1{Z}_1+Z_2=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\δ}}_{11}& 0\\ 0& {\mathrm{\δ}}_{12}\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}{z}_{11}\\ z_{22}\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}{z}_{21}\\ z_{22}\end{array}\right\}$

式中δ₁₁和δ₁₂为根据系统性能需求选定的两个参数；

选择第二Lyapunov函数为：

$V_2^{\′}=V_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\σ}}^T\mathrm{\σ}$

则V₂′的一阶导数写成下式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2^{\′}={-k}_{11}{z^2}_{11}-k_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}+{\mathrm{\σ}}_{11}[{\mathrm{\δ}}_{11}(z_{21}+{\mathrm{\α}}_{11}+{\stackrel{\·}{y}}_{1d})+A_{m1}{f}_1\left(x_i\right)+B_{m1}{u}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{11}]\\ +{\mathrm{\σ}}_{12}[{\mathrm{\δ}}_{12}(z_{22}+{\mathrm{\α}}_{12}-{\stackrel{\·}{y}}_{2d})+A_{m2}{f}_2\left(x_i\right)+B_{m2}{u}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{12}]\end{array}.$

所述步骤4)中，多轴联动系统控制器具体为：

假定趋近律为 $\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}=-\mathrm{\ϵsgn}\left(\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{\β\σ};$ 式中， $\mathrm{\ϵ}=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\ϵ}}_{11}& 0\\ 0& {\mathrm{\ϵ}}_{12}\end{array}\right),$ $\mathrm{\β}=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\β}}_{11}& 0\\ 0& {\mathrm{\β}}_{12}\end{array}\right),$ sgn(σ)＝(sgn(σ₁₁),sgn(σ₁₂))^T，则多轴联动系统控制器设计为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=-\frac{1}{B_{m1}}[{\mathrm{\δ}}_{11}(z_{21}+{\mathrm{\α}}_{11}-{\stackrel{\·}{y}}_{1d})+A_{m1}{f}_1\left(x_i\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{11}+{\mathrm{\ϵ}}_{11}\mathrm{sag}\left({\mathrm{\σ}}_{11}\right)+{\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\σ}}_{11}]\\ u_2=-\frac{1}{B_{m2}}[{\mathrm{\δ}}_{12}(z_{22}+{\mathrm{\α}}_{12}-{\stackrel{\·}{y}}_{2d})+A_{m2}{f}_2\left(x_i\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{12}+{\mathrm{\ϵ}}_{12}\mathrm{sag}\left({\mathrm{\σ}}_{12}\right)+{\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\σ}}_{12}]\end{array}\right.$

由此，V₂′的导数可以写成下式：

${\stackrel{\·}{V}}_2^{\′}={-k}_{11}{z^2}_{11}{-k}_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}-{\mathrm{\σ}}_{11}{\mathrm{\ϵ}}_{11}\mathrm{sag}\left({\mathrm{\σ}}_{11}\right)-{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\σ}}^2}_{11}-{\mathrm{\σ}}_{12}{\mathrm{\ϵ}}_{12}\mathrm{sag}\left({\mathrm{\σ}}_{12}\right)-{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\σ}}^2}_{12}$

可得，

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2^{\′}\≤-[(k_{11}+{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\δ}}^2}_{11}){z^2}_{11}+({2\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-1)z_{11}{z}_{12}+{\mathrm{\β}}_{11}{z^2}_{12}]-\\ \left[(k_{12}+{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\δ}}^2}_{12})\right]{z^2}_{12}+({2\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-1)z_{12}{z}_{22}+{\mathrm{\β}}_{12}{z^2}_{12}]-{\mathrm{\ϵ}}_{11}|{\mathrm{\σ}}_{11}\left|{-\mathrm{\ϵ}}_{12}\right|{\mathrm{\σ}}_{12}|\\ =-(z_{11},z_{21})T_1\left(\begin{array}{c}{z}_{11}\\ z_{21}\end{array}\right)-(z_{12},z_{22})T_2\left(\begin{array}{c}{z}_{12}\\ z_{22}\end{array}\right){-\mathrm{\ϵ}}_{11}\left|{\mathrm{\σ}}_{11}\right|{-\mathrm{\ϵ}}_{12}\left|{\mathrm{\σ}}_{12}\right|\end{array}$

式中：

$T_1=\left(\begin{array}{cc}{k}_{11}+{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\δ}}^2}_{11}& {\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-\frac{1}{2}& {\mathrm{\β}}_{11}\end{array}\right),T_2=\left(\begin{array}{cc}{k}_{12}+{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\δ}}^2}_{12}& {\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-\frac{1}{2}& {\mathrm{\β}}_{12}\end{array}\right)$

如果满足以下条件：|T₁|≥0，|T|₂≥0，ε₁₁≥0，ε₁₂≥0，则有故选择相应的参数满足上述要求。

所述步骤3)中，非典型力学工况包括系统处于高速、高冲击条件下和微重力、交变温度及悬浮平台条件下工作的两种力学环境。

所述步骤4)中，半物理样机采用动力学仿真平台与数值模拟平台的联合仿真。

一种多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制器，包括搭载于浮动平台上的多轴联动系统，多轴联动系统具有用于共同实现所有有效载荷精确指向的正交的两个转动轴；有效载荷为光学元器件或光电集成元器件；悬浮平台包括实验用模拟平台、舰船、航空设备或航天器。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明基于拉格朗日-麦克斯韦动力学方法建立多轴联动系统机电耦合动力学模型，能够完整反映多轴联动系统在复杂场中的力学特性；接着，根据搭载在浮动平台上的多轴联动系统在非典型力学工况下的力学行为要求，提出用于多输入多输出系统的反步-滑模控制方法，该方法结合了反步控制策略及滑模控制方法两者优势的新型控制方法，对多输入输出非线性动力系统控制有效；最后，利用提出的控制方法设计搭载在浮动平台上的多轴联动系统控制器并进行性能仿真。

进一步的，本发明多轴联动系统搭载于浮动平台之上，具有正交的两个转动轴，它们共同实现所载有效载荷的精确指向。

附图说明

图1是本发明的控制原理图；

图2是本发明一种实施例的结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细描述：

参见图1至图2，本发明包括以下步骤：

步骤一：基于拉格朗日-麦克斯韦(Lagrange-Maxwell)动力学方法建立多轴联动系统机电耦合动力学模型；

所述多轴联动系统机电耦合动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+B_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+C_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+D_1{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2}^2={\mathrm{ke}}_1{i}_1\\ A_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+B_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+C_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+D_2{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1}^2={\mathrm{ke}}_2{i}_1\\ L_1{\stackrel{\·}{i}}_1+{\mathrm{ke}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+R_1{i}_1=u_i\\ L_2{\stackrel{\·}{i}}_2+{\mathrm{ke}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+R_2{i}_2=u_2\end{array}\right.$

上式忽略了直流无刷力矩电机的电感量，从而降低了系统的阶次。θ₁是方位轴绕O₁Z₁轴转动的角度；θ₂是俯仰轴绕O₂X₂轴转动的角度。θ和i是广义坐标；A₁,B₁,D₁和A₂,B₂,D₂是θ₁,θ₂,和的复杂函数关系；C₁,ke₁,L₁,R₁和C₂,ke₂,L₂,R₂为系统参数；u₁和u₂为系统输入变量。

所述多轴联动系统机电耦合动力学模型可改写为状态方程的形式：

$\mathrm{\Σ}:\left\{\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ \frac{1}{A_1}(\frac{{\mathrm{ke}}_1}{R_1}{u}_1-B_1{x}_3{x}_4-(C_1+\frac{{{\mathrm{ke}}_1}^2}{R_1})x_3-D_1{x_4}^2)\\ \frac{1}{A_2}(\frac{{\mathrm{ke}}_2}{R_2}{u}_2-B_2{x}_3{x}_4-(C_2+\frac{{{\mathrm{ke}}_2}^2}{R_2})x_4-D_2{x_3}^2)\end{array}\right\}\\ \left\{\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right\}\end{array}\right.$

式中：X＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T为状态变量；U＝[u₁,u₂]^T为输入变量；Y＝[y₁,y₂]^T为输出变量。

步骤二：根据搭载在浮动平台上的多轴联动系统在特定力学工况下的力学行为要求，提出一种用于多输入多输出(MIMO)系统的反步-滑模控制方法；

所述反步-滑模控制方法，涉及以下步骤：

步骤A：定义 $X_1=\left\{\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right\};$ $X_2=\left\{\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\end{array}\right\}$ 为上述状态方程的状态变量；定义 $\mathrm{Yd}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}{y}_{1d}\\ y_{2d}\end{array}\right\}$ 为系统的目标输入；定义 ${\mathrm{\α}}_1\left(z\right)=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{11}\\ {\mathrm{\α}}_{12}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{-k}_{11}+{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\\ {-k}_{12}+{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\end{array}\right\}$ 为步骤A的期望控制量。根据反步算法，

$Z_1=\left\{\begin{array}{c}{z}_{11}\\ z_{21}\end{array}\right\}=X_1\left(t\right)-\mathrm{Yd}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}_1-y_{1d}\\ x_2-y_{2d}\end{array}\right\}$ 和 $Z_2=\left\{\begin{array}{c}{z}_{21}\\ z_{22}\end{array}\right\}=X_2\left(t\right)-{\mathrm{\α}}_1\left(z\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}_3-{\mathrm{\α}}_{11}\\ x_4-{\mathrm{\α}}_{12}\end{array}\right\}$ 为系统的跟踪误差，则其一阶导数为 ${\stackrel{\·}{Z}}_1=\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1-{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\\ {\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_3-{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\\ x_2-{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{z}_{21}+{\mathrm{\α}}_{11}-{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\\ z_{22}+{\mathrm{\α}}_{12}-{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\end{array}\right\}.$

定义步骤A的Lyapunov函数为则_V1的一阶导数可以表示为：

${\stackrel{\·}{V}}_1={-k}_{11}{z^2}_{11}-k_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}$

上式无法满足因此还需要继续建立第二个Lyapunov函数。

步骤B：定义如下的滑模面函数 $\mathrm{\σ}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{11}\\ {\mathrm{\σ}}_{12}\end{array}\right\}={\mathrm{\δ}}_1{Z}_1+Z_2=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\δ}}_{11}& 0\\ 0& {\mathrm{\δ}}_{12}\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}{z}_{11}\\ z_{22}\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}{z}_{21}\\ z_{22}\end{array}\right\},$ 式中δ₁₁和δ₁₂为根据系统性能需求选定的两个参数。

选择第二Lyapunov函数为：

$V_2^{\′}=V_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\σ}}^T\mathrm{\σ}$

则V₂′的一阶导数可以写成下式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2^{\′}={-k}_{11}{z^2}_{11}-k_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}+{\mathrm{\σ}}_{11}[{\mathrm{\δ}}_{11}(z_{21}+{\mathrm{\α}}_{11}+{\stackrel{\·}{y}}_{1d})+A_{m1}{f}_1\left(x_i\right)+B_{m1}{u}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{11}]\\ +{\mathrm{\σ}}_{12}[{\mathrm{\δ}}_{12}(z_{22}+{\mathrm{\α}}_{12}-{\stackrel{\·}{y}}_{2d})+A_{m2}{f}_2\left(x_i\right)+B_{m2}{u}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{12}]\end{array}$

假定趋近律为 $\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}=-\mathrm{\ϵsgn}\left(\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{\β\σ}.$ 式中， $\mathrm{\ϵ}=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\ϵ}}_{11}& 0\\ 0& {\mathrm{\ϵ}}_{12}\end{array}\right),$ $\mathrm{\β}=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\β}}_{11}& 0\\ 0& {\mathrm{\β}}_{12}\end{array}\right),$ sgn(σ)＝(sgn(σ₁₁),sgn(σ₁₂))^T。

步骤三：利用提出的控制方法设计搭载在浮动平台上的多轴联动系统控制器并进行半物理样机性能仿真。

所述多轴联动系统控制器设计为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=-\frac{1}{B_{m1}}[{\mathrm{\δ}}_{11}(z_{21}+{\mathrm{\α}}_{11}-{\stackrel{\·}{y}}_{1d})+A_{m1}{f}_1\left(x_i\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{11}+{\mathrm{\ϵ}}_{11}\mathrm{sag}\left({\mathrm{\σ}}_{11}\right)+{\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\σ}}_{11}]\\ u_2=-\frac{1}{B_{m2}}[{\mathrm{\δ}}_{12}(z_{22}+{\mathrm{\α}}_{12}-{\stackrel{\·}{y}}_{2d})+A_{m2}{f}_2\left(x_i\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{12}+{\mathrm{\ϵ}}_{12}\mathrm{sag}\left({\mathrm{\σ}}_{12}\right)+{\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\σ}}_{12}]\end{array}\right.$

由此，V₂′的导数可以写成下式：

${\stackrel{\·}{V}}_2^{\′}={-k}_{11}{z^2}_{11}{-k}_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}-{\mathrm{\σ}}_{11}{\mathrm{\ϵ}}_{11}\mathrm{sag}\left({\mathrm{\σ}}_{11}\right)-{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\σ}}^2}_{11}-{\mathrm{\σ}}_{12}{\mathrm{\ϵ}}_{12}\mathrm{sag}\left({\mathrm{\σ}}_{12}\right)-{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\σ}}^2}_{12}$

可得，

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2^{\′}\≤-[(k_{11}+{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\δ}}^2}_{11}){z^2}_{11}+({2\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-1)z_{11}{z}_{12}+{\mathrm{\β}}_{11}{z^2}_{12}]-\\ \left[(k_{12}+{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\δ}}^2}_{12})\right]{z^2}_{12}+({2\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-1)z_{12}{z}_{22}+{\mathrm{\β}}_{12}{z^2}_{12}]-{\mathrm{\ϵ}}_{11}|{\mathrm{\σ}}_{11}\left|{-\mathrm{\ϵ}}_{12}\right|{\mathrm{\σ}}_{12}|\\ =-(z_{11},z_{21})T_1\left(\begin{array}{c}{z}_{11}\\ z_{21}\end{array}\right)-(z_{12},z_{22})T_2\left(\begin{array}{c}{z}_{12}\\ z_{22}\end{array}\right){-\mathrm{\ϵ}}_{11}\left|{\mathrm{\σ}}_{11}\right|{-\mathrm{\ϵ}}_{12}\left|{\mathrm{\σ}}_{12}\right|\end{array}$

式中：

$T_1=\left(\begin{array}{cc}{k}_{11}+{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\δ}}^2}_{11}& {\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-\frac{1}{2}& {\mathrm{\β}}_{11}\end{array}\right),T_2=\left(\begin{array}{cc}{k}_{12}+{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\δ}}^2}_{12}& {\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-\frac{1}{2}& {\mathrm{\β}}_{12}\end{array}\right)$

如果满足以下条件：|T₁|≥0；|T|₂≥0；ε₁₁≥0；ε₁₂≥0，则有因此可以通过选择合适的参数满足上述要求。

本发明的原理：

参见图1，本发明提出的本发明一种用于搭载在浮动平台上的多轴联动系统精度控制的反步-滑模方法的控制原理：根据建立的多轴联动系统非线性动力学模型，首先定义系统状态变量、目标输入，给出期望控制量，并给出误差函数；然后选择恰当的Lyapunov函数，并判断该函数的导函数的性质，如果选定恰当的控制量可使得该导函数恒小于等于零，那么即可确定系统器的设计，如果不存在使得该导函数恒小于等于零的控制量，则需重现选择Lyapunov函数，重复上述判断，该过程中通常的方法是利用反步控制方法，本发明引入滑模控制策略，定义滑模函数，选择Lyapunov函数重复上述判断； 最后，根据确定的控制器完成非线性系统的控制。本发明将反步和滑模两种控制方法的优势有机结合并应用于搭载在浮动平台上的多轴联动系统非线性控制，改善了单纯反步控制中Lyapunov函数选择不易、计算困难、控制器实现难等缺陷。本发明新型控制方法包含反步-滑模控制的经典实施方法，也包括引入智能控制方法的反步-滑模控制实施方法。控制器设计及仿真综合采用了半物理样机仿真技术，半物理样机是采用动力学仿真平台与数值模拟平台两者的联合仿真。

参见图2，本发明的一种实施例结构示意图。本发明多轴联动系统具有强动力学耦合、结构刚柔耦合及多种强干扰共同作用的特点，是典型的非线性多输入多输出动力系统。在性能分析及优化之前，综合考察了理论模型、半物理模型及实验模型，并将它们有机结合。本发明给出的反步-滑模控制方法就是在这样的工作基础上，设计出恰当的控制器，从而达到性能优化的目的。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (10)

1.多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)在浮动平台上搭载多轴联动系统，多轴联动系统具有用于共同实现所有有效载荷精确指向的正交的两个转动轴；

2)基于拉格朗日-麦克斯韦动力学方法建立多轴联动系统的机电耦合动力学模型，并将多轴联动系统机电耦合动力学模型写为状态方程；

3)结合搭载在浮动平台上的多轴联动系统在非典型力学工况下的力学行为要求，并根据步骤2)所得到的状态方程，设计用于多输入多输出系统的反步-滑模控制方法；

4)利用反步-滑模控制方法设计搭载在浮动平台上的多轴联动系统控制器，并采用半物理样机进行性能仿真。

2.根据权利要求1所述的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于，所述步骤1)中，有效载荷为光学元器件或光电集成元器件。

3.根据权利要求1所述的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于：所述步骤1)中，浮动平台包括实验用模拟平台、舰船、航空设备或航天器。

4.根据权利要求1或2或3所述的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于，所述步骤2)中，多轴联动系统机电耦合动力学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+B_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+C_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+D_1{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2}^2={\mathrm{ke}}_1{i}_1\\ A_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+B_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+C_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+D_2{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1}^2={\mathrm{ke}}_2{i}_2\\ L_1{\stackrel{\·}{i}}_1+{\mathrm{ke}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+R_1{i}_1=u_1\\ L_2{\stackrel{\·}{i}}_2+{\mathrm{ke}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+R_2{i}_2=u_2\end{array}\right.$

其中，θ₁是方位轴绕O₁Z₁轴转动的角度；θ₂是俯仰轴绕O₂X₂轴转动的角度；θ和i是广义坐标；A₁,B₁,D₁和A₂,B₂,D₂是θ₂,θ₂,和的复杂函数关系；C₁,ke₁,L₁,R₁和C₂,ke₂,L₂,R₂为系统参数；u₁和u₂为系统输入变量。

5.根据权利要求4所述的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于，所述步骤2)中，状态方程为：

$\mathrm{\Σ}:\left\{\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ \frac{1}{A_1}\left(\frac{{\mathrm{ke}}_1}{R_1}{u}_1-B_1{x}_3{x}_4-\left(C_1+\frac{{{\mathrm{ke}}_1}^2}{R_1}\right)x_3-D_1{x_4}^2\right)\\ \frac{1}{A_2}\left(\frac{{\mathrm{ke}}_2}{R_2}{u}_2-B_2{x}_3{x}_4-\left(C_2+\frac{{{\mathrm{ke}}_2}^2}{R_2}\right)x_4-D_2{x_3}^2\right)\end{array}\right\}\\ \left\{\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right\}\end{array}\right.$

式中：X＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T为状态变量；U＝[u₁,u₂]^T为输入变量；Y＝[y₁,y₂]^T为输出变量。

6.根据权利要求5所述的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于，所述步骤3)中，反步-滑模控制方法，具体包括以下步骤：

步骤A：定义为状态方程的状态变量；定义为系统的目标输入；定义为步骤A的期望控制量；根据反步算法，和为系统的跟踪误差，则其一阶导数为

定义步骤A的Lyapunov函数为则V₁的一阶导数表示为：

${\stackrel{\·}{V}}_1=-k_{11}{z^2}_{11}-k_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}$

上式无法满足继续建立第二个Lyapunov函数；

步骤B：定义如下的滑模面函数

$\mathrm{\σ}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{11}\\ {\mathrm{\σ}}_{12}\end{array}\right\}={\mathrm{\δ}}_1{Z}_1+Z_2=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\δ}}_{11}& 0\\ 0& {\mathrm{\δ}}_{12}\end{array}\right)\left\{\begin{array}{c}{z}_{11}\\ z_{21}\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}{z}_{21}\\ z_{22}\end{array}\right\}$

式中δ₁₁和δ₁₂为根据系统性能需求选定的两个参数；

选择第二Lyapunov函数为：

$V_2^{\′}=V_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\σ}}^T\mathrm{\σ}$

则V₂′的一阶导数写成下式：

$\begin{array}{c}{{\stackrel{\·}{V}}_2}^{\′}=-k_{11}{z^2}_{11}-k_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}+{\mathrm{\σ}}_{11}\[{\mathrm{\δ}}_{11}\left(z_{21}+{\mathrm{\α}}_{11}-{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\right)+A_{m1}{f}_1\left(x_i\right)+B_{m1}{u}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{11}\]\\ +{\mathrm{\σ}}_{12}\[{\mathrm{\δ}}_{12}\left(z_{22}+{\mathrm{\α}}_{12}-{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\right)+A_{m2}{f}_2\left(x_i\right)+B_{m2}{u}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{12}\]\end{array}.$

7.根据权利要求6所述的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于，所述步骤4)中，多轴联动系统控制器具体为：

假定趋近律为式中，sgn(σ)＝(sgn(σ₁₁),sgn(σ₁₂))^T，则多轴联动系统控制器设计为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=-\frac{1}{B_{m1}}\[{\mathrm{\δ}}_{11}\left(z_{21}+{\mathrm{\α}}_{11}-{\stackrel{\·}{y}}_{1d}\right)+A_{m1}{f}_1\left(x_i\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{11}+{\mathrm{\ϵ}}_{11}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\σ}}_{11}\right)+{\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\σ}}_{11}\]\\ u_2=-\frac{1}{B_{m2}}\[{\mathrm{\δ}}_{12}\left(z_{22}+{\mathrm{\α}}_{12}-{\stackrel{\·}{y}}_{2d}\right)+A_{m2}{f}_2\left(x_i\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_{12}+{\mathrm{\ϵ}}_{12}\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\σ}}_{12}\right)+{\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\σ}}_{12}\]\end{array}\right.$

由此，V₂′的导数可以写成下式：

${{\stackrel{\·}{V}}_2}^{\′}=-k_{11}{z^2}_{11}-k_{12}{z^2}_{12}+z_{11}{z}_{12}+z_{12}{z}_{22}-{\mathrm{\σ}}_{11}{\mathrm{\ϵ}}_{11}sgn\left({\mathrm{\σ}}_{11}\right)-{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\σ}}^2}_{11}-{\mathrm{\σ}}_{12}{\mathrm{\ϵ}}_{12}sgn\left({\mathrm{\σ}}_{12}\right)-{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\σ}}^2}_{12}$

可得，

$\begin{array}{c}{{\stackrel{\·}{V}}_2}^{\′}\≤-\[\left(k_{11}+{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\δ}}^2}_{11}\right){z^2}_{11}+\left(2{\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-1\right)z_{11}{z}_{12}+{\mathrm{\β}}_{11}{z^2}_{12}\]-\\ \[\left(k_{12}+{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\δ}}^2}_{12}\right){z^2}_{12}+\left(2{\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-1\right)z_{12}{z}_{22}+{\mathrm{\β}}_{12}{z^2}_{12}\]-{\mathrm{\ϵ}}_{11}\left|{\mathrm{\σ}}_{11}\right|-{\mathrm{\ϵ}}_{12}\left|{\mathrm{\σ}}_{12}\right|\\ =-\left(z_{11},z_{21}\right)T_1\left(\begin{array}{c}{z}_{11}\\ z_{21}\end{array}\right)-\left(z_{12},z_{22}\right)T_2\left(\begin{array}{c}{z}_{12}\\ z_{22}\end{array}\right)-{\mathrm{\ϵ}}_{11}\left|{\mathrm{\σ}}_{11}\right|-{\mathrm{\ϵ}}_{12}\left|{\mathrm{\σ}}_{12}\right|\end{array}$

式中：

$T_1=\left(\begin{array}{cc}{k}_{11}+{\mathrm{\β}}_{11}{{\mathrm{\δ}}^2}_{11}& {\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\β}}_{11}{\mathrm{\δ}}_{11}-\frac{1}{2}& {\mathrm{\β}}_{11}\end{array}\right),T_2=\left(\begin{array}{cc}{k}_{12}+{\mathrm{\β}}_{12}{{\mathrm{\δ}}^2}_{12}& {\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\β}}_{12}{\mathrm{\δ}}_{12}-\frac{1}{2}& {\mathrm{\β}}_{12}\end{array}\right)$

如果满足以下条件：|T₁|≥0，|T|₂≥0，ε₁₁≥0，ε₁₂≥0，则有故选择相应的参数满足上述要求。

8.根据权利要求6所述的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于：所述步骤3)中，非典型力学工况包括系统处于高速、高冲击条件下和微重力、交变温度及浮动平台条件下工作的两种力学环境。

9.根据权利要求1所述的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制方法，其特征在于：所述步骤4)中，半物理样机采用动力学仿真平台与数值模拟平台的联合仿真。

10.一种如权利要求1-3任意一项所述控制方法的多轴联动系统精度控制的反步-滑模控制器，其特征在于：包括搭载于浮动平台上的多轴联动系统，多轴联动系统具有用于共同实现所有有效载荷精确指向的正交的两个转动轴；有效载荷为光学元器件或光电集成元器件；浮动平台包括实验用模拟平台、舰船、航空设备或航天器。