CN102501251A - 带有动态摩擦补偿的机械臂关节定位控制方法 - Google Patents

Abstract

一种带有动态摩擦补偿功能的机械臂关节定位控制方法，通过全局控制单元和局部控制单元来实现。全局控制单元用来完成整体大范围内的机械臂关节轨迹跟踪，由机械臂关节中应用广泛的PD控制器实现，PD控制器的输入向量包括机械臂关节的位置误差和位置误差的变化率；局部控制单元用来完成局部微小范围内的动态摩擦补偿，由具有观测层的五层型自回归小波神经网络控制器实现，自回归小波神经网络控制器的输入向量包括机械臂关节的期望位置、期望速度和实际位置。自回归小波神经网络控制器中需要的机械臂关节的实际速度通过观测层计算得出。本发明提出的机械臂关节定位控制方法只需要机械臂关节中安装一个位置传感器就能实现，无需安装速度传感器。

Description

带有动态摩擦补偿的机械臂关节定位控制方法

技术领域

本发明涉及机器人自动控制技术领域，具体地说，涉及带有动态摩擦补偿功能的机械臂关节定位控制方法，通过所设计的控制方法在完成动态摩擦补偿的同时实现机械臂关节的高精度位置跟踪。

背景技术

随着工业自动化及机器人技术的飞速发展，关节型机械臂在生产线装配、喷涂、切割、太空操作等多个工程技术领域发挥着不可替代的重要作用。机械臂在执行操作任务时，其末端处手爪的定位是通过多个机械臂关节的联合动作来实现的。从机器人运动学的观点进行分析，当机械臂关节的定位精度不高，尤其是当各机械臂关节之间的连杆为大跨度尺寸时，即使机械臂关节处非常小的定位误差，经过运动学求解后换算到连杆末端引起的位置误差也将是工程领域难以接受的，因此，若不对机械臂关节实行高精度的位置控制，机械臂整体执行高精度操作任务的能力将会受到很大限制。

在实际的工程领域中，机械臂关节往往在低速条件下工作，而低速运行时机械臂关节内的动态摩擦作用突显，这引起机械臂关节位置跟踪时出现严重的爬行、平顶现象，造成机械臂关节位置控制精度大大下降，使机械臂的操作任务以失败告终。例如，在重工业机械臂的工程应用中，50％的位置跟踪误差是由机械臂关节的动态摩擦引起的。因此，对动态摩擦进行补偿控制以提高机械臂关节的位置控制精度，成为机器人自动控制领域的研究热点。国内外诸多学者对该课题进行了深入研究，并取得了一系列相应的研究成果，代表性的有：基于模型的多采样率摩擦补偿、自适应模糊补偿、遗传算法、基于速度观测器的模型参考自适应摩擦补偿方法、高增益鲁棒补偿、RBF神经网络、CMAC小脑神经网络等方法。现有的研究成果已证明动态摩擦是一种零点处不连续的复杂非线性函数，因此以上方法存在的主要缺陷是：

1、需要预知摩擦模型的结构和部分特性参数，在实际应用中难以实现；

2、为了提高精度采用的高反馈增益往往会受到硬件设备的限制；

3、已有的人工智能补偿方法的实现通常需要机械臂关节的位置、速度、加速度等全状态测量，而且为了逼近零点非连续状态必须采用更多的神经单元和迭代次数，但逼近效果却很不理想。

机械臂实时控制系统对于所有机械臂关节的定位精度要求都很高，因此，高精度的机械臂关节位置控制方法成为机器人自动控制领域中的研究热点。

发明内容

针对机械臂关节低速运行时突出的动态摩擦问题，本发明提出一种带有动态摩擦补偿功能的机械臂关节定位控制方法，使机械臂关节在不同的工作环境下(如负载变化、润滑状况不确定、温差变化、压差变化等)都能够完成高精度定位，从而提高多关节机械臂整体的定位精度。

本发明的技术方案如下：

一种带有动态摩擦补偿功能的机械臂关节定位控制方法，通过全局控制单元和局部控制单元来实现，其中：

全局控制单元用来完成整体大范围内的机械臂关节轨迹跟踪，由机械臂关节中应用广泛的PD控制器实现；PD控制器的输入向量包括机械臂关节的位置误差和位置误差的变化率；

局部控制单元用来完成局部微小范围内的非线性动态摩擦补偿，由具有观测层的五层型自回归小波神经网络控制器实现；自回归小波神经网络控制器的输入向量包括机械臂关节的期望位置、期望速度和实际位置，自回归小波神经网络控制器中需要的机械臂关节实际速度通过观测层计算得出；

采用叠加式控制模式，将PD控制器与自回归小波神经网络控制器并联，在PD控制器输出量上直接叠加自回归小波神经网络控制器的输出量作为机械臂关节的总控制量。

进一步的，PD控制器输出量为

其中，参数k表示伺服周期数，K_p为位置增益参数，K_d为速度增益参数，e(k)为机械臂关节的位置误差，

为机械臂关节位置误差的变化率，分别定义为e(k)＝θ_d(k)-θ(k)，

θ_d(k)、分别为机械臂关节的期望位置和期望速度，θ(k)、

分别为机械臂关节的实际位置和实际速度。

进一步的，自回归小波神经网络控制器的结构共包括五层，分别为输入层、观测层、隐含层、乘积层、输出层，其中，自回归小波神经网络控制器的设计包括以下步骤：

步骤一：

输入层的输入向量定义为 $v\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\θ}}_d\left(k\right)& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_d\left(k\right)& \mathrm{\θ}\left(k\right)\end{array}\right];$

步骤二：

观测层输入量为向量v(k)的第三个元素即机械臂关节的实际位置θ(k)，观测层的作用是利用位置传感器检测的机械臂关节的实际位置θ(k)完成机械臂关节实际速度

的观测计算，采用如下二阶微分方程组求解：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(k\right)=x_2\left(k\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(k\right)=-10\×[x_1\left(k\right)-\mathrm{\θ}\left(k\right)]-1.5\×\sqrt{x_1\left(k\right)-\mathrm{\θ}\left(k\right)}-3x_2\left(k\right)-0.15\sqrt{x_2\left(k\right)}\end{array}\right.$

二阶微分方程组中的两个状态变量x₁(k)和x₂(k)分别是机械臂关节的实际位置θ(k)和机械臂关节的实际速度

的逼近量，求解二阶微分方程组后得到的状态变量x₂(k)作为观测层的输出量即机械臂关节的实际速度

步骤三：

隐含层神经单元的激活函数选取典型的墨西哥帽小波函数：f(χ)＝(1-χ²)·exp(-χ²/2)，式中χ为广义自变量，f(χ)为广义因变量；

隐含层的输入向量为： $v_h\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\θ}}_d\left(k\right)& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_d\left(k\right)& \mathrm{\θ}\left(k\right)& \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(k\right)& v_o^i(k-1)\end{array}\right];$

隐含层第i个神经单元在第k个伺服周期时的输出量表示为：

其中的上角标i表示隐含层中的第i个神经单元，

的上角标i表示隐含层的输入向量v_h(k)中的第i个变量；表示隐含层第i个神经单元在第k-1个伺服周期时的输出量；

步骤四：

乘积层输入向量即为隐含层各个神经单元的输出量

乘积层的输出量为：其中的上角标j表示乘积层的第j个神经单元，向量

对应于乘积层的第j个神经单元的输出量，N_i为隐含层神经单元的总个数；

步骤五：

输出层的输入量即为乘积层每个神经单元的输出量

输出层的输出量为： $u_2\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N_j}{\mathrm{\Σ}}}{W}_j\left(k\right)\·v_p^j\left(k\right);$

式中N_j为乘积层神经单元的总个数，W_j(k)表示乘积层第j个神经单元和输出层间的连接权值，W_j(k)采用如下在线自适应更新调整微分算法：

${\stackrel{\·}{W}}_j\left(k\right)=\mathrm{\λ}{v}_o\left(k\right)[\stackrel{\·}{e}\left(k\right)+\mathrm{\ζe}\left(k\right)]-\mathrm{\δ}|\stackrel{\·}{e}\left(k\right)+\mathrm{\ζe}\left(k\right)|W_j\left(k\right)$

式中，λ＞0是权值收敛系数，ζ＞0是滤波系数，δ＞0是误差逼近系数；

进一步的，机械臂关节的总控制量为u(k)＝u₁(k)+u₂(k)；

进一步的，只需在乘积层和输出层之间进行网络权值的调整更新，且该更新算法为在线自适应调整，从而避免了传统梯度下降法出现的局部极小缺陷。

本发明提供的一种带有动态摩擦补偿功能的机械臂关节定位控制方法，通过全局控制单元和局部控制单元来实现。全局控制单元用来完成整体大范围内的关节轨迹跟踪，由机械臂关节中应用广泛的PD控制器实现，PD控制器的输入向量包括机械臂关节位置跟踪过程中的位置误差和位置误差的变化率；局部控制单元用来完成局部微小范围内的非线性动态摩擦补偿，由五层型自回归小波神经网络控制器实现，自回归小波神经网络控制器的输入向量包括机械臂关节的期望位置、期望速度和实际位置，自回归小波神经网络控制器中需要的机械臂关节的实际速度通过观测层计算得出。本发明提出的控制方法只需要机械臂关节中安装一个位置传感器就能实现，避免了安装速度传感器和加速度传感器，使实际的机械臂关节系统大大简化。

该控制方法采用简便易行的叠加式控制模式，将PD控制器与自回归小波神经网络控制器并联，然后将这两个控制器的输出量直接叠加即作为控制器关节的总控制量，在总控制量的作用下，机械臂关节完成高精度的位置跟踪。

本发明设计了五层型自回归小波神经网络控制器逼近动态摩擦进行补偿控制。由于动态摩擦与速度有关，所以自回归小波神经网络控制器的输入向量中必须包含机械臂关节的实际速度这一变量，而机械臂关节在低速条件下运行时依靠传统的位置差分法求取实际速度不仅存在时延和滞后，还容易产生检测盲区，为实现机械臂关节实际速度的检测，在自回归小波神经网络控制器的结构中包含了观测层用来计算机械臂关节的实际速度。因此，本发明设计的自回归小波神经网络控制器共包含了输入层、观测层、隐含层、乘积层、输出层五层结构。其中输入层中的机械臂关节实际位置这一变量由位置传感器测量得到后直接输入观测层，然后将输入层中的另外两个变量即机械臂关节的期望位置、期望速度与观测层的输出量组合为一个新向量后直接输入隐含层。隐含层的激励函数选取典型的如墨西哥帽小波函数。由于乘积层和输出层之间的连接权值对网络最终输出值的影响最大，因此本发明设计的自回归小波神经网络控制器只对乘积层和输出层之间的连接权值采用在线自适应调整算法进行实时更新，调整算法无需事先训练，而是直接进行在线调整且保证系统的跟踪误差是收敛的。

本发明的原理是：自回归小波神经网络不同于BP、RBF、CMAC等常规神经网络，它在多分辨分析的框架中具有对突变函数逐步精细的描述特性，因而对非线性函数进行逼近时并不要求被逼近函数的连续性，且其自身具备的自反馈功能使自回归小波神经网络本身具有记忆功能，可以映射突变的动态特征，因而适合对零点处不连续的非线性动态摩擦进行逼近，而无需在进行补偿控制时人为地对动态摩擦进行零点分离这一繁琐的操作。利用自回归小波神经网络的这一优越特性设计自回归小波神经网络控制器可以实现在局部微小范围内对动态摩擦进行补偿控制，弥补了现有方法的不足，与传统PD控制器结合使用可以同时实现全局大范围轨迹跟踪和局部微小范围的动态摩擦补偿，最终显著提高机械臂关节的定位精度。

本发明的优点在于：

1.全局采用实时性好的PD控制器，而只在局部对非线性动态摩擦进行自回归小波神经网络控制器的补偿控制，大大缩减了自回归小波神经网络控制器的调整时间，从而保证了机械臂关节整体控制的快速性；

2.关节中只需要安装角位置传感器，仅利用位置信息即可实现包含零点非连续状态的动态摩擦补偿；

3.五层型自回归小波神经网络控制器具有强鲁棒性和自适应性，无需辨识机械臂关节内部的摩擦特性参数，即在不依赖摩擦模型的前提下就能实现对非连续、非线性摩擦的无间断补偿，克服了已有技术中必须单独提取动态摩擦的零点非连续状态进行补偿的缺陷；

4.在保持PD控制器位置增益和速度增益参数不变的基础上，只需并联本发明中设计的自回归小波神经网络控制器即能提高机械臂关节的位置跟踪精度近14倍(通过对比附图4和附图7得到)，在实际工程应用中易于实现。

附图说明

图1是本发明设计的带有动态摩擦补偿的机械臂关节定位控制方法的总体结构框图。

图2是本发明设计的五层型自回归小波神经网络控制器的结构图。

图3是某型机械臂关节低速下考虑动态摩擦作用的传统PD控制位置跟踪效果曲线。

图4是与图3对应的位置误差曲线。

图5是传统PD控制器的输出力。

图6是利用本发明设计的控制方法实现的位置跟踪效果。作为与图3效果的对比，采用了同一个机械臂关节模型，而且是在图3采用的PD控制器所有参数不变的基础上直接叠加了本发明设计的自回归小波神经网络控制器。为显示清晰，图中的两条曲线均设置为细实线。

图7是与图6对应的位置误差曲线，并与图4的效果作对比。

图8是本发明设计的PD控制器叠加自回归小波神经网络控制器后的总控制力，并与图5的效果作对比。

图9是本发明设计的自回归小波神经网络控制器乘积层与输出层间的网络权值2范数。

图10是机械臂关节内零点处不连续的动态摩擦。

具体实施方式

本发明涉及的控制方法的总体结构框图如附图1，通过全局控制单元和局部控制单元来实现，其中：

全局控制单元用来完成整体大范围内的机械臂关节轨迹跟踪，由机械臂关节中应用广泛的PD控制器实现；PD控制器的输入向量包括机械臂关节的位置误差和位置误差的变化率；

局部控制单元用来完成局部微小范围内的非线性动态摩擦补偿，由具有观测层的五层型自回归小波神经网络控制器实现；自回归小波神经网络控制器的输入向量包括机械臂关节的期望位置、期望速度和实际位置，自回归小波神经网络控制器中需要的机械臂关节的实际速度通过观测层计算得出；

采用叠加式控制模式，将PD控制器与自回归小波神经网络控制器并联，在PD控制器的输出量上直接叠加自回归小波神经网络控制器的输出量作为机械臂关节的总控制量。

令参数k表示伺服周期数，机械臂关节的期望位置和期望速度分别定义为θ_d(k)、

这两个变量均为预先已知的机械臂关节输入量。机械臂关节的实际位置和实际速度分别定义为θ(k)、其中θ(k)这个变量需要由位置传感器在线实时检测，

可以由速度传感器在线检测，也可以通过设计速度观测器计算求得。机械臂关节的位置误差和位置误差的变化率分别定义为e(k)＝θ_d(k)-θ(k)、

机械臂关节的总控制量u(k)分三步进行设计，具体步骤如下：

步骤1：全局控制单元——PD控制器的设计

全局控制单元用来完成整体大范围内机械臂关节的位置轨迹跟踪。

定义PD控制器的位置增益参数为K_p、速度增益参数为K_d，则PD控制器的输出量为：

$u_1\left(k\right)=K_{p}e\left(k\right)+K_d\stackrel{\·}{e}\left(k\right)---\left(1\right)$

步骤2：局部控制单元——自回归小波神经网络控制器的设计

局部控制单元用来完成局部微小范围内的非线性动态摩擦补偿。自回归小波神经网络控.制器的结构共包括五层，见附图2，分别为输入层、观测层、隐含层、乘积层、输出层。本步骤可分为如下5个子步骤：

步骤2-1：

输入层的输入向量定义为 $v\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\θ}}_d\left(k\right)& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_d\left(k\right)& \mathrm{\θ}\left(k\right)\end{array}\right].$

步骤2-2：

观测层输入量为向量v(k)的第三个元素即机械臂关节的实际位置θ(k)，观测层的作用是利用位置传感器检测的机械臂关节的实际位置θ(k)完成机械臂关节的实际速度

的观测计算，采用如下二阶微分方程组求解：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(k\right)=x_2\left(k\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(k\right)=-10\×[x_1\left(k\right)-\mathrm{\θ}\left(k\right)]-1.5\×\sqrt{x_1\left(k\right)-\mathrm{\θ}\left(k\right)}-3x_2\left(k\right)-0.15\sqrt{x_2\left(k\right)}\end{array}\right.---\left(2\right)$

二阶微分方程组中的两个状态变量x₁(k)和x₂(k)分别是机械臂关节的实际位置θ(k)和机械臂关节饿实际速度

的逼近量，求解二阶微分方程组后得到的状态变量x₂(k)作为观测层的输出量即机械臂关节的实际速度

之所以采用二阶微分方程组求解机械臂关节的实际速度

是因为机械臂关节在低速条件下运行时依靠传统的位置差分法

(式中Δt为采样周期，

为采样周期内关节位置的变化量)求取速度不仅存在时延和滞后，还容易产生检测盲区。而二阶微分方程组给出的实际速度计算方法具有快速逼近能力，可作为机械臂关节实际速度

的无限近似量。同时，利用二阶微分方程组求取机械臂关节的实际速度还避免了在系统中安装速度传感器，大大简化了机械臂关节的机械结构。

步骤2-3：

隐含层神经单元的激活函数选取典型的墨西哥帽小波函数：

f(χ)＝(1-χ²)·exp(-χ²/2)

式中χ为广义自变量，f(χ)为广义因变量。

隐含层的输入向量为： $v_h\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\θ}}_d\left(k\right)& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_d\left(k\right)& \mathrm{\θ}\left(k\right)& \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(k\right)& v_o^i(k-1)\end{array}\right],$ 下角标“h”的含义为词组“隐含层”的英译文“hidden layer”的首字母“h”，表示向量v_h(k)是对应于隐含层的输入向量。表示隐含层第i个神经单元在第k-1个伺服周期时的输出量。下角标“o”的含义为词组“输出量”的英译文“output”的首字母“o”，上角标“i”表示隐含层中的第i个神经单元。

隐含层第i个神经单元在第k个伺服周期时的输出量可表示为：

其中

的上角标i表示隐含层中的第i个神经单元，

的上角标i表示隐含层的输入向量v_h(k)中的第i个变量。

步骤2-4：

乘积层输入向量即为隐含层各个神经单元的输出量

乘积层的输出量为：其中

的上角标j表示乘积层的第j个神经单元，下角标“p”的含义为词组“乘积层”的英译文“product layer”的首字母“p”，表示向量

对应于乘积层的第j个神经单元的输出量，N_i为隐含层神经单元的总个数。

步骤2-5：

输出层的输入量即为乘积层每个神经单元的输出量

输出层的输出量为：

$u_2\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N_j}{\mathrm{\Σ}}}{W}_j\left(k\right)\·v_p^j\left(k\right)---\left(3\right)$

式中N_j为乘积层神经单元的总个数，W_j(k)表示乘积层第j个神经单元和输出层间的连接权值，W_j(k)采用如下在线自适应更新调整微分算法：

${\stackrel{\·}{W}}_j\left(k\right)=\mathrm{\λ}{v}_o\left(k\right)[\stackrel{\·}{e}\left(k\right)+\mathrm{\ζe}\left(k\right)]-\mathrm{\δ}|\stackrel{\·}{e}\left(k\right)+\mathrm{\ζe}\left(k\right)|W_j\left(k\right)---\left(4\right)$

λ＞0是权值收敛系数，ζ＞0是滤波系数，δ＞0是误差逼近系数，三个参数为自回归小波神经网络控制器的可调参数，在实际应用中通过在线调试这三个参数来调节自回归小波神经网络控制器的控制效果。由微分方程(4)求得的权值W_j(k)是通过第k个伺服周期内机械臂关节的位置误差e(k)和位置误差的变化率进行在线更新调整的，算法在更新第k个伺服周期的网络权值W_j(k)时只需利用第k-1个伺服周期的相应误差数据e(k)、

和网络权值W_j(k-1)，也就是说网络权值的调整只在第k个伺服周期内就能完成，而无需再从初始时刻开始全局搜索重新调整，这样能大大节约调整时间。

步骤3：机械臂关节的总控制量为：

u(k)＝u₁(k)+u₂(k)    (5)

将求得的u(k)作为机械臂关节的总控制量，能实现对机械臂关节期望轨迹θ_d(k)的高精度跟踪。

针对运行在低速条件下的某型机械臂关节，充分考虑动态摩擦(见附图10)的影响，附图3和图4给出了传统PD控制器的跟踪效果和位置误差曲线，而附图6和图7给出了本发明设计的机械臂关节定位控制方法的跟踪效果和位置误差曲线。

经过以上各个附图之间的对比可以发现，在传统PD控制器参数保持不变的基础上，只需要按照本发明给出的方法对已有的PD控制器进行改进，即在PD控制器上再并联本发明设计的自回归小波神经网络控制器，就能使机械臂关节的位置控制精度提高近14倍。同时，附图5和图8的对比说明本发明设计的控制方法的总控制量仍保持在原有PD控制器输出量的同等数量级上，并未使机械臂关节消耗过多的能量，却达到了更好的控制效果。对于这一点，附图9给出了证明，即自回归小波神经网络控制器网络权值的2范数处于有界范围内，这表明自回归小波神经网络控制器的输出量是有界的。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种带有动态摩擦补偿功能的机械臂关节定位控制方法，通过全局控制单元和局部控制单元来实现，其特征在于：

全局控制单元用来完成整体大范围内的机械臂关节轨迹跟踪，由机械臂关节中应用广泛的PD控制器实现；PD控制器的输入向量包括机械臂关节位置误差和位置误差的变化率；

局部控制单元用来完成局部微小范围内的非线性动态摩擦补偿，由具有观测层的五层型自回归小波神经网络控制器实现；自回归小波神经网络控制器的输入向量包括机械臂关节的期望位置、期望速度和实际位置，自回归小波神经网络控制器中需要的机械臂关节实际速度通过观测层计算得出；

采用叠加式控制模式，将PD控制器与自回归小波神经网络控制器并联，在PD控制器输出量上直接叠加自回归小波神经网络控制器的输出量作为机械臂关节的总控制量。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，PD控制器输出量为

其中，参数k表示伺服周期数，K_p为位置增益参数，K_d为速度增益参数，e(k)为机械臂关节的位置误差，

为机械臂关节位置误差的变化率，分别定义为e(k)＝θ_d(k)-θ(k)，

θ_d(k)、

分别为机械臂关节的期望位置和期望速度，θ(k)、

分别为机械臂关节的实际位置和实际速度。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，自回归小波神经网络控制器的结构共包括五层，分别为输入层、观测层、隐含层、乘积层、输出层，其中，自回归小波神经网络控制器的设计包括以下步骤：

步骤一：

输入层的输入向量定义为 $v\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\θ}}_d\left(k\right)& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_d\left(k\right)& \mathrm{\θ}\left(k\right)\end{array}\right];$

步骤二：

观测层输入量为向量v(k)的第三个元素即机械臂关节的实际位置θ(k)，观测层的作用是利用位置传感器检测的机械臂关节的实际位置θ(k)完成机械臂关节实际速度

的观测计算，采用如下二阶微分方程组求解：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(k\right)=x_2\left(k\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(k\right)=-10\×[x_1\left(k\right)-\mathrm{\θ}\left(k\right)]-1.5\×\sqrt{x_1\left(k\right)-\mathrm{\θ}\left(k\right)}-3x_2\left(k\right)-0.15\sqrt{x_2\left(k\right)}\end{array}\right.$

二阶微分方程组中的两个状态变量x₁(k)和x₂(k)分别是机械臂关节的实际位置θ(k)和机械臂关节的实际速度

的逼近量，求解二阶微分方程组后得到的状态变量x₂(k)作为观测层的输出量即机械臂关节的实际速度

步骤三：

隐含层神经单元的激活函数选取典型的墨西哥帽小波函数：f(χ)＝(1-χ²)·exp(-χ²/2)，式中χ为广义自变量，f(χ)为广义因变量；

隐含层的输入向量为： $v_h\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\θ}}_d\left(k\right)& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_d\left(k\right)& \mathrm{\θ}\left(k\right)& \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(k\right)& v_o^i(k-1)\end{array}\right];$

隐含层第i个神经单元在第k个伺服周期时的输出量表示为：

其中

的上角标i表示隐含层中的第i个神经单元，

的上角标i表示隐含层的输入向量v_h(k)中的第i个变量；表示隐含层第i个神经单元在第k-1个伺服周期时的输出量；

步骤四：

乘积层输入向量即为隐含层各个神经单元的输出量

乘积层的输出量为：

其中

的上角标j表示乘积层的第j个神经单元，向量对应于乘积层的第j个神经单元的输出量，N_i为隐含层神经单元的总个数；

步骤五：

输出层的输入量即为乘积层每个神经单元的输出量

输出层的输出量为： $u_2\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N_j}{\mathrm{\Σ}}}{W}_j\left(k\right)\·v_p^j\left(k\right);$

式中N_j为乘积层神经单元的总个数，W_j(k)表示乘积层第j个神经单元和输出层间的连接权值，W_j(k)采用如下在线自适应更新调整微分算法：

${\stackrel{\·}{W}}_j\left(k\right)=\mathrm{\λ}{v}_o\left(k\right)[\stackrel{\·}{e}\left(k\right)+\mathrm{\ζe}\left(k\right)]-\mathrm{\δ}|\stackrel{\·}{e}\left(k\right)+\mathrm{\ζe}\left(k\right)|W_j\left(k\right)$

λ＞0是权值收敛系数，ζ＞0是滤波系数，δ＞0是误差逼近系数；

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，机械臂关节的总控制量为u(k)＝u₁(k)+u₂(k)；

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，只需在乘积层和输出层之间进行网络权值的调整更新，且该更新算法为在线自适应调整，从而避免了传统梯度下降法出现的局部极小缺陷。

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