CN108303874A - 一种针对绳系空间拖船系统摆振的小推力切换控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种针对绳系空间拖船系统摆振的小推力切换控制方法，步骤如下：一、前提假设；二、推导动力学方程；三、设计推力切换控制器；四、分析控制器的稳定性；五、数值仿真验证；通过以上步骤，将系统动力学方程和推力切换控制器结合，得到所设计的针对绳系空间拖船摆振的小推力切换控制方法；该方法设计的控制器能够通过两个常值推力的切换控制，使得目标物脱离轨道并控制系统的摆振；通过步骤五进行数值仿真，验证了控制系统的可行性、正确性；该方法设计的绳系空间拖船系统摆振的小推力切换控制能够高效地控制系统的摆振，具有较高的实用性和灵活性，能够在使用绳系空间拖船对空间碎片进行快速离轨的同时有效地抑制系绳的摆振。

Description

一种针对绳系空间拖船系统摆振的小推力切换控制方法

【技术领域】

本发明提供一种针对绳系空间拖船系统摆振的小推力切换控制 方法，即一种针对绳系空间拖船系统(简称：TST系统)摆振的小推 力切换控制方法，它涉及一种通过两个常值低推力的切换控制来实现 空间碎片快速拖曳离轨同时对系统的摆振进行控制的控制方法，属于 航天工程中绳系卫星技术领域。

【背景技术】

随着航空工业、航空技术的飞速发展，在低地球轨道(LEOs) 中，废弃的人造太空飞行器数量激增，导致太空环境越来越严重。用 于清理空间碎片和废弃卫星等轨道目标的TST系统(即绳系空间拖 船系统，下同)的提出，引起了学者们的广泛兴趣。TST系统具有成本低廉、应用安全性高、适用于非合作目标等优点，技术前景广阔。

TST系统具有复杂的非线性动力学特性、系统摆振控制等问题， 前人对TST系统上做了很多研究，得出了许多具有独创性的控制方 法，例如开关式推力或者混合动力控制系统的设计。

该项技术创新点和难点在于通过常值小推力切换控制，在拖曳离 轨的同时实现TST系统的摆振控制。目前通常用来稳定系绳摆振的 控制系统输入是系绳的长度和系绳的张力。由于可变推力的推力器很 难生产得到，并且推进器的输出精确度也很难得到保证，这必将影响 控制效果，不适用于实际摆振控制情况，所以星上推力更适合用来作 为对系绳张力控制的辅助而不是作为单一输入。而推力较系绳长度和 张力控制效率更高，所以设计一种针对TST系统摆振的常值小推力 的切换控制方法是有必要的。

【发明内容】

(一)发明的目的

本发明的目的是针对现有TST系统系绳摆振控制方法的不足， 提出一种通过两个常值低推力的切换控制来实现空间碎片快速拖曳 离轨的同时对系绳的摆振进行控制的方法。

(二)本发明的技术方案：

本发明设计了一种针对绳系空间拖船系统摆振的小推力切换控 制方法，即一种针对TST系统摆振的小推力切换控制方法，具体步 骤如下：

步骤一、前提假设

该TST系统包括拖船、目标物和系绳在内的整体，拖船和目标 物位于系绳两端；

为了突出重点问题并简化动力学方程，做如下假设：

(1)地球的重力场是均匀的球形引力场，不考虑其他摄动；

(2)位于系绳两端的拖船和目标物视为质点；

(3)系绳视为一根刚性杆；

(4)系统质心在近圆轨道上做轨道运动；

(5)系绳的长度远小于轨道尺寸；

(6)推力作用于拖船的质量中心并总是沿着轨道坐标轴的-x方 向。

步骤二、推导动力学方程

本发明针对系统摆振控制，建模采用的坐标系为地心惯性坐标系 和系统轨道坐标系。其中，m₁和m₂分别代表目标物和拖船；OXYZ为 地心惯性坐标系，用来描述TST系统的轨道运动；oxyz为定义的轨 道坐标系；轨道坐标系采用y-x旋转顺序进行旋转后与系统的本体坐 标系重合，其中得到的两个夹角α和β分别为轨道平面内的摆角和垂 直于轨道平面的面外摆角；如图1所示；

对于系统质心轨道运动，采用关于下列六个独立的轨道要素 (a,Ω,i,e_x,e_y,u)的高斯摄动方程

其中，a为轨道半长轴，Ω为升交点赤经，i为轨道倾角；为了避 免在近圆轨道情况下产生奇异，将轨道要素偏心率e在轨道平面内分 解为e_x＝e cosω和e_y＝e sinω；(σ_x,σ_y,σ_z)为摄动加速度在轨道坐标系三 个坐标轴上的分量；u为真近点角ν与近地点幅角ω之和；

对于系统绕质心的摆振运动，由于TST系统的理想构型为当地 水平构型，所以将系统摆振的面内摆角α替换为得到系统 摆振运动的拉格朗日方程为

其中为系统的约化的质量，

m_TST＝m₁+m₂+m_t为TST系统的总质量；m₁,m₂和m_t分别为目标物、 拖船、系绳的质量；和Q_β为系统面内、面外摆振运动相应的广义 力；

通常来讲，空间拖船的姿态可以通过自身姿态控制机构很好地保 持镇定；因此，为了简化运算，假设空间拖船产生的推力单独作用于 系统摆振运动动力学方程中的广义力，并且推力方向总是与轨道坐标 系-x轴方向一致；由此得到广义力和Q_β的表达式为

由于系统处于近圆轨道上，轨道角加速度可以忽略，将式(2)线 性化之后，系统摆振运动动力学方程为

其中，当时，易知k₂＞k₁＞0，即在推力足够大的条件 下，系统在轨道平面内和垂直于轨道平面的摆振都能看成是简单的简 谐振动；此外，由于k₁≠k₂，面内与面外振动的频率不同；

综上所述，本步骤二所述的“推导动力学方程”，归纳总结如下：

TST系统质心轨道运动采用关于六个独立的轨道要素 (a,Ω,i,e_x,e_y,u)的高斯摄动方程；把系统绕质心的摆振运动解耦为轨道 平面内和垂直于轨道平面的摆振，推导出分别在面内、面外摆振的拉 格朗日方程并对其线性化；分析得到摆振运动的动力学特性。

步骤三、设计推力切换控制器

假设拖船可以产生两个大小不等的推力F _p和 对系统 面内和面外摆振运动分别定义两个不同的K_∞类函数V₁和V₂，V₁和V₂之 和V表示完整的摆振运动

上标(1,2,…,n,…)表示推力切换的顺序，k₁和k₂与推力F_p有如等式 (4)所示的关系；K_∞类函数上标为奇数时对应为控制器切换到较小 的F _p作用，相应的k₁和k₂为较小的k ₁和k ₂，上标为偶数时则对应较大 的作用，对应的k₁和k₂为较大的和

假设V₁ ⁿ和的函数值在转换过程中是有界的，并且满足

其中ε≥0是一个实常数；和分别为系统在面内和面外第n次切 换控制过程K_∞类函数的初值，下标数字1和2分别表示面内与面外， 后面的数字0表示第n次切换控制过程K_∞类函数的初值；给出推力切 换控制律

其中0＜δ＜1是一个实常数；

综上所述，本步骤三所述的“设计推力切换控制器”，归纳总结 如下：

首先给出TST系统在轨道平面内和垂直于轨道平面摆振运动的 K_∞类函数；根据K_∞类函数在每个切换时间段内有界的假设，推导出 推力的切换控制律，并给出切换发生需要满足的条件。

步骤四、分析控制器的稳定性

由等式(5),(6),(7)所示方程知，对于n为奇数的情况，推导面内 与面外的摆振在第n+1次切换控制过程K_∞类函数的初值和表达式为

进一步得到第n+2次切换控制过程K_∞类函数的初值和

由于n为奇数，均对应于较小的F _p作用下系统 在面内和面外摆振的K_∞类函数，对应的k₁和k₂为较小的k ₁和k ₂；为使 系统稳定，应当有解得

可见如果和k ₁满足不等式(12)，和k ₂满足不等式(13)，只要推力切 换过程是可持续的，对于任意的奇数n，都有n为偶数时得 到的结论相同；由于系统在面内和面外的摆振频率不同，只要选择一 个合适的0＜δ＜1，等式(7)描述的切换控制就一定会持续进行；所以Vⁿ会指数收敛到零，系统是渐进稳定的；

求解不等式(12)和(13)，得到

其中不等式(14)和(15)需要不等式右边项和根号里 面的数大于零，得到

需要指出ε的值与等式(2)中的非线性项相关和其他摄动相关，可以选 取大一点的ε的值来保证系统的鲁棒性；满足等式(16)的δ是存在的， 加上切换控制能够持续进行，保证了控制器的稳定性；

从不等式(16)中可以看出，当ε的值趋于无穷，右边项趋近于1， 而让左边项(2δ-1)²＝1只有δ＝0或者δ＝1；因此，对于任意大小有限的ε， 都存在δ满足不等式(16)；对于一个TST系统，在一个确定的小推力 切换间隔中，当系绳振动微弱时，根据等式(4)的线性化结果，K_∞类 函数V₁ ⁿ和基本上为定值；可以合理地假设ε＝0，不等式(14)和不等 式(15)变为

这表明δ的值需要满足δ＜0.5；

由于附加条件δ＜0.5的出现，我们需要检验切换控制是否能够持 续进行；为了使得分析过程更加直观，将线性化的系统轨道平面面内 和面外的振动运动描述为

其中和分别是系统在面内和面外振动的振幅；和分别是振动频率，和代表它们的初始相位；

为了找到在哪种情况下切换控制不能持续下去，也就是意味着 不存在能同时满足和的时刻t；相应的范围 在单位圆中以阴影部分表示，如图2所示；

假设角某一时刻处于阴影区，而角处于非阴影区； 为了保证离开阴影区之前角不会进入阴影区，需要满足 ω₁≥ω₂；同理，同时也需要满足ω₁≤ω₂；因此，只有ω₁＝ω₂并且两个角 度一开始相位差为这种情况下，切换控制是不可持续进行的；然而， 对空间绳系拖船系统，k₁＜k₂必然有ω₁＜ω₂，所以总存在一个δ＜0.5使 得切换控制是可持续进行的；

但是对于一个确定的δ＜0.5，ω₁,ω₂,和的选择不正确依然会破 坏切换控制的持续进行；下面给出保证切换控制能持续进行ω₁,ω₂, 和δ需要满足的条件以及推导证明过程；

等式(19)和等式(20)描述的两个简谐振动，如果是无理数， 等式(7)中的切换控制是可持续进行的；如果是有理数，并且等 于其中c和d是两个正整数，那么，切换控制可持续进行的充分 条件是δ,ω₁和ω₂满足

其中

推导证明过程如下：

问题等价于找到和不会同时进入的单位圆的最大区 域，如果阴影区域比这一区域大，则切换控制是可持续的；首先，如 图3所示，如果将图3中单位圆通过虚线切分为两半，对于我们讨论 的问题上半部分和下半部分情况是完全等同的；因此，将两个半圆的 任意一个扩充为一个圆周角为π的拓展单位半圆来讨论，拓展单位半 圆如图4所示；

对于的情况，和的重合点可以在扩展半单 位圆中表示为

其中K为一个正整数；

如果为无理数，当K趋于无穷时，对于扩展半单位圆中的 一个任意小的区域，都至少有一个重合点；和总会同时 到达任意一个阴影区域中，因此这种情况下切换控制是可持续进行的；

如果是有理数，重合点的位置是确定的；假设其中c和d是两个互质的正整数，于是，这些重合点将均匀地将拓展 半单位圆分成d部分；和不会同时进入的最大区域可表 示为

因此，如果切换控制是可持续进行的；

总结如下，TST系统切换控制率的渐进稳定性需要满足方程(17) 和方程(18)的条件，另外对于ε＝0的情况还需要满足附加条件

综上所述，本步骤四所述的“分析推力切换控制器的稳定性”， 归纳总结如下：

首先推导得到K_∞类函数收敛控制器需要满足的条件，得出切换 控制器渐进稳定需要满足的条件；进而结合小推力作用下系统摆振微 弱的实际情况，做出合理的简化令ε＝0，研究了切换控制器渐进稳定 性需要满足的附加条件。

步骤五、数值仿真验证

本发明数值仿真软件的编写平台为矩阵实验室平台(Matlab平 台)，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用， 被证明是在动力学和控制相关问题研制开发过程中十分可靠的数值 仿真软件；

结合上述发明内容，编写动力学模型算法和控制系统算法，给定 参数进行数值仿真，结合仿真结果验证了切换控制方法的正确性；并 且显示了切换控制方法的灵活性和实用性；

通过以上步骤，将步骤二推导的系统动力学方程和步骤三所得到 的推力切换控制器结合，得到所设计的针对绳系空间拖船摆振的小推 力切换控制方法；该方法设计的控制器能够通过两个常值推力的切换 控制，使得目标物脱离轨道并控制系统的摆振；步骤五进行数值仿真， 验证了控制系统的可行性、正确性；该方法设计的TST系统摆振的 小推力切换控制能够高效地控制系统的摆振，具有较高的实用性和灵 活性；本发明所述控制方法能够在使用绳系空间拖船对空间碎片进行 快速离轨的同时有效地抑制系绳的摆振。

(三)本发明的优点和功效

本发明所述控制方法能够在使用绳系空间拖船系统对空间碎片 进行快速离轨的同时有效地抑制系绳的摆振。相比于一般的控制方法， 该控制方法仅使用两个常值的小推力，对系绳的影响不大，工程应用 性高。另外，切换控制转换律只依赖于当下系统的状态，对系统拖船 推力的输出精度要求不高。并且该方法切换控制方案可以通过调整来 适应不同的实际需求，显示了该控制方法的可行性和灵活性。

【附图说明】

图1系统建模采用的坐标系示意图。

图2δ＜0.5条件下切换可持续性验证单位圆示意图。

图3确定的δ条件下切换可持续性验证单位圆示意图。

图4拓展单位半圆示意图。

图5不同推进力下未受控制的系统摆振运动示意图。

图6 δ＝0.1情况下受控TST系统摆振运动、轨道高度、推力变 化示意图。

图7 δ＝0.1情况下受控TST系统面内、面外摆振角变化示意图。

图8改进控制律情况下受控TST系统摆振运动、轨道高度、推 力变化示意图。

图9改进控制律情况下受控TST系统面内、面外摆振角变化示 意图。

图10本发明所述方法流程图。

图中标号说明如下：

o为TST系统质心，x为轨道坐标系x轴，y为轨道坐标系y轴， z为轨道坐标系z轴，m₁为目标物质量，m₂为拖船质量，α为系统在 轨道平面内的摆振角，β为系统在垂直于轨道平面上的摆振角，Earth 为地球，O为地球球心，X为地心惯性坐标系X轴，Y为地心惯性坐 标系Y轴，Z为地心惯性坐标系Z轴。为系统在轨道平面面内 摆振的相位，为系统在垂直于轨道平面上摆振的相位。为 控制率中常系数的平方根。τ_α为系统面内摆振角，β为系统面外摆振 角，F_p为拖船的推力，V₁/V₁₀为面内摆振的某一次切换控制的K_∞类函 数值与该次切换控制K_∞类函数的初值的比值，V₂/V₂₀为面外摆振的某 一次切换控制的K_∞类函数值与该次切换控制K_∞类函数的初值的比 值，Orbit altitude为TST系统的轨道高度，time为时间变量。

【具体实施方式】

下面结合附图1、5、6、7、8、9、10对发明内容进一步详述如 下：

首先对系统进行必要假设，对系统进行动力学建模。然后推导出 系统质心轨道运动的高斯摄动方程和系统绕质心摆振的动力学方程， 并对摆振运动线性化得出动力学特性。接下来给出出摆振运动的K_∞ 类函数，给出两个常值推力切换控制的控制律。进一步分析了切换控 制是否可持续进行和系统的稳定性，并给出切换控制可持续进行的条 件和系统稳定性的条件。最后将所设计模型与控制器结合，进行数值 仿真验证控制方法的正确性。

本发明所述的一种针对绳系空间拖船摆振的小推力切换控制方 法，见图10所示，其具体步骤如下：

步骤一、前提假设

本专利中所谓的绳系空间拖船是包括拖船、目标物和弹性连接系 绳在内的整体，拖船和目标物位于系绳两端。如图1所示。

为了突出重点问题并简化运动方程，做如下假设：(1)地球的重 力场是均匀的球形引力场，不考虑其他摄动；(2)位于系绳两端的拖 船和目标物视为质点；(3)系绳视为一根刚性杆；(4)系统质心在近 圆轨道上做轨道运动；(5)系绳的长度远小于轨道尺寸；(6)推力作 用于拖船的质量中心并总是沿着轨道坐标轴-x方向。

步骤二、推导动力学方程

首先根据假设，推导了系统质心轨道运动的高斯摄动方程和绕质 心的摆振运动的拉格朗日方程。结合前提假设对摆振运动拉格朗日方 程线性化，得出摆振运动的动力学特性。

具体方案，如发明内容所述，这里不再赘述。

步骤三、设计推力切换控制器

给出摆振运动的K_∞类函数，根据K_∞类函数给出推力切换控制律。

具体方案，如发明内容所述，这里不再赘述。

步骤四、分析控制器的稳定性

首先分析切换控制中切换到n为奇数的情况，得到系统稳定推力 大小及相应参数需要满足的条件，n为偶数时得到的结论相同，进而 得到切换控制器渐进稳定的条件。结合小推力作用下系统摆振微弱的 实际情况，做出合理的简化令ε＝0，给出切换控制器渐进稳定性需要 满足的附加条件以及推导证明过程。

具体方案，如发明内容所述，这里不再赘述。

步骤五、数值仿真验证

TST系统参数如表1所示，初始时刻轨道要素如表2所示。

属性	数值
		拖船质量(kg)	20
目标质量(kg)	50
		系绳长度(m)	500
系绳密度(g/cm3)	131
		系绳横截面直径(mm)	2

表1 TST系统材料和几何参数

轨道要素	数值
		半长轴(km)	7378.8
偏心率	1×10-3
		倾斜角(rad)	π/4
升交点赤经(rad)	0
		真近点角(rad)	0
近地点幅角(rad)	π/4
		轨道高度(km)	1000

表2 初始时刻轨道要素

首先，对该系统未受到控制的动力学响应进行仿真。仿真结果如 图5所示，系统在轨道平面面内和面外的摆振角度均选为20度，仿 真持续时间是6个小时，两个常值推力选为0.5N和1N。从图5中可 以观察到面内和面外的摆振振幅几乎不变，尽管20度的摆振角已经 相当大，并且摆振角α和β的变化曲线不是严格的正弦曲线，V₁/V₁₀和V₂/V₂₀曲线仍然显示是有界的，ε是存在的。仿真结果证明K_∞类函数 是有界的，即ε是真实存在的。

接下来，对系统引入小推力切换控制方法。两个常值推力仍然为 前面仿真时的选择的0.5N和1N，δ的值选为0.1。如图6所示，随 着推力切换控制过程一直持续进行，面内和面外摆振幅值能够效果显 著地衰减。图7显示出来切换控制方法的直观的物理本质，就是通过 一个个不同偏心率的椭圆相切来使得系统的轨迹稳定于一个确定的 位置。

在工程学角度，面内和面外摆振有着不同的幅值，可能其中一个 需要迅速地衰减下来。在图6中可以观察到经过相对较长的一段时间， τ_α和β的振幅均保持恒定，这种切换控制方案应当进行改进。可以通 过在面内摆振和面外摆振分别选择不同的δ来解决这一缺点。在接下 来的一个数值仿真中，面内的初始摆振角选择的相对大一些，为20 度，面外初始摆振角定为0.5度。方程(7)中的切换控制律修改为

其中δ₁和δ₂是分别是面内摆振和面外摆振运动方程的系数。在现在的 仿真中，为了优先衰减面内摆振，δ₁和δ₂规定为

如图8、图9所示，面内摆振角τ_α的幅值在一个小时内迅速地衰 减到一个很小的值，面外摆振角β的振幅在这段时间内却明显地增大。 但是，由于V₁的减小，面内和面外摆振都很好地保持稳定。事实上， V₂将渐进地趋于零。仿真结果表明切换控制方案可以调整来适应不同 的实际需求，显示了切换控制方法的灵活性。

以上所述仅是本发明的具体实施方式，应当指出，对于本技术领 域的普通技术人员来说，在不脱离本发明方法的前提下，还可以做出 若干改进，或者对其中部分技术特征进行等同替换，这些改进和替换 也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种针对绳系空间拖船系统摆振的小推力切换控制方法，即一种针对TST系统摆振的小推力切换控制方法，其特征在于：其步骤如下：

步骤一、前提假设

该TST系统包括拖船、目标物和系绳在内的整体，拖船和目标物位于系绳两端；

为了突出重点问题并简化动力学方程，做如下假设：

(1)地球的重力场是均匀的球形引力场，不考虑其他摄动；

(2)位于系绳两端的拖船和目标物视为质点；

(3)系绳视为一根刚性杆；

(4)系统质心在近圆轨道上做轨道运动；

(5)系绳的长度远小于轨道尺寸；

(6)推力作用于拖船的质量中心并总是沿着轨道坐标轴的-x方向；

步骤二、推导动力学方程

本发明针对系统摆振控制，建模采用的坐标系为地心惯性坐标系和系统轨道坐标系；其中，m₁和m₂分别代表目标物和拖船；OXYZ为地心惯性坐标系，用来描述TST系统的轨道运动；oxyz为定义的轨道坐标系；轨道坐标系采用y-x旋转顺序进行旋转后与系统的本体坐标系重合，其中得到的两个夹角α和β分别为轨道平面内的摆角和垂直于轨道平面的面外摆角；

对于系统质心轨道运动，采用关于六个独立的轨道要素即a,Ω,i,e_x,e_y,u的高斯摄动方程

其中，a为轨道半长轴，Ω为升交点赤经，i为轨道倾角；为了避免在近圆轨道情况下产生奇异，将轨道要素偏心率e在轨道平面内分解为e_x＝ecosω和e_y＝esinω；σ_x,σ_y,σ_z为摄动加速度在轨道坐标系三个坐标轴上的分量；u为真近点角ν与近地点幅角ω之和；

对于系统绕质心的摆振运动，由于TST系统的理想构型为当地水平构型，所以将系统摆振的面内摆角α替换为得到系统摆振运动的拉格朗日方程为

其中为系统的约化的质量，m_TST＝m₁+m₂+m_t为TST系统的总质量；m₁,m₂和m_t分别为目标物、拖船、系绳的质量；和Q_β为系统面内、面外摆振运动相应的广义力；

通常来讲，空间拖船的姿态能通过自身姿态控制机构很好地保持镇定；因此，为了简化运算，假设空间拖船产生的推力单独作用于系统摆振运动动力学方程中的广义力，并且推力方向总是与轨道坐标系-x轴方向一致；由此得到广义力和Q_β的表达式为

由于系统处于近圆轨道上，轨道角加速度能忽略，将式(2)线性化之后，系统摆振运动动力学方程为

其中，当时，易知k₂＞k₁＞0，即在推力足够大的条件下，系统在轨道平面内和垂直于轨道平面的摆振都能看成是简单的简谐振动；此外，由于k₁≠k₂，面内与面外振动的频率不同；

综上所述，本步骤二所述的“推导动力学方程”，归纳总结如下：

该TST系统质心轨道运动采用关于六个独立的轨道要素即a,Ω,i,e_x,e_y,u的高斯摄动方程；把系统绕质心的摆振运动解耦为轨道平面内和垂直于轨道平面的摆振，推导出分别在面内、面外摆振的拉格朗日方程并对其线性化；分析得到摆振运动的动力学特性；

步骤三、设计推力切换控制器

假设拖船能产生两个大小不等的推力F _p和对系统面内和面外摆振运动分别定义两个不同的K_∞类函数V₁和V₂，V₁和V₂之和V表示完整的摆振运动

上标1,2,…,n,…表示推力切换的顺序，k₁和k₂与推力F_p有如等式(4)所示的关系；K_∞类函数上标为奇数时对应为控制器切换到较小的F _p作用，相应的k₁和k₂为较小的k ₁和k ₂，上标为偶数时则对应较大的作用，对应的k₁和k₂为较大的和

假设V₁ ⁿ和的函数值在转换过程中是有界的，并且满足

其中ε≥0是一个实常数；和分别为系统在面内和面外第n次切换控制过程K_∞类函数的初值，下标数字1和2分别表示面内与面外，后面的数字0表示第n次切换控制过程K_∞类函数的初值；给出推力切换控制律

其中0＜δ＜1是一个实常数；

综上所述，本步骤三所述的“设计推力切换控制器”，归纳总结如下：

首先给出该TST系统在轨道平面内和垂直于轨道平面摆振运动的K_∞类函数；根据K_∞类函数在每个切换时间段内有界的假设，推导出推力的切换控制律，并给出切换发生需要满足的条件；

步骤四、分析控制器的稳定性

由等式(5),(6),(7)所示方程知，对于n为奇数的情况，推导面内与面外的摆振在第n+1次切换控制过程K_∞类函数的初值和表达式为

进一步得到第n+2次切换控制过程K_∞类函数的初值和

由于n为奇数，均对应于较小的F _p作用下系统在面内和面外摆振的K_∞类函数，对应的k₁和k₂为较小的k ₁和k ₂；为使系统稳定，应当有解得

如果和k ₁满足不等式(12)，和k ₂满足不等式(13)，只要推力切换过程是持续的，对于任意的奇数n，都有n为偶数时得到的结论相同；由于系统在面内和面外的摆振频率不同，只要选择一个合适的0＜δ＜1，等式(7)描述的切换控制就一定会持续进行；所以Vⁿ会指数收敛到零，系统是渐进稳定的；

求解不等式(12)和(13)，得到

其中不等式(14)和(15)需要不等式右边项和根号里面的数大于零，得到

需要指出ε的值与等式(2)中的非线性项相关和其他摄动相关，能选取大一点的ε的值来保证系统的鲁棒性；满足等式(16)的δ是存在的，加上切换控制能够持续进行，保证了控制器的稳定性；

从不等式(16)中能看出，当ε的值趋于无穷，右边项趋近于1，而让左边项(2δ-1)²＝1只有δ＝0及δ＝1；因此，对于任意大小有限的ε，都存在δ满足不等式(16)；对于一个TST系统，在一个确定的小推力切换间隔中，当系绳振动微弱时，根据等式(4)的线性化结果，K_∞类函数V₁ ⁿ和基本上为定值；能合理地假设ε＝0，不等式(14)和不等式(15)变为

这表明δ的值需要满足δ＜0.5；

由于附加条件δ＜0.5的出现，我们需要检验切换控制是否能够持续进行；为了使得分析过程更加直观，将线性化的系统轨道平面面内和面外的振动运动描述为

其中和分别是系统在面内和面外振动的振幅；和分别是振动频率，和代表它们的初始相位；

为了找到在哪种情况下切换控制不能持续下去，也就是意味着不存在能同时满足和的时刻t；相应的范围在单位圆中以阴影部分表示；

假设角某一时刻处于阴影区，而角处于非阴影区；为了保证离开阴影区之前角不会进入阴影区，需要满足ω₁≥ω₂；同理，同时也需要满足ω₁≤ω₂；因此，只有ω₁＝ω₂并且两个角度一开始相位差为这种情况下，切换控制是不可持续进行的；然而，对空间绳系拖船系统，k₁＜k₂必然有ω₁＜ω₂，所以总存在一个δ＜0.5使得切换控制是能持续进行的；

但是对于一个确定的δ＜0.5，ω₁,ω₂,和的选择不正确依然会破坏切换控制的持续进行；下面给出保证切换控制能持续进行ω₁,ω₂,和δ需要满足的条件以及推导证明过程；

等式(19)和等式(20)描述的两个简谐振动，如果是无理数，等式(7)中的切换控制是能持续进行的；如果是有理数，并且等于其中c和d是两个正整数，那么，切换控制能持续进行的充分条件是δ,ω₁和ω₂满足

其中

推导证明过程如下：

问题等价于找到和不会同时进入的单位圆的最大区域，如果阴影区域比这一区域大，则切换控制是能持续的；首先，如果将单位圆通过虚线切分为两半，对于我们讨论的问题上半部分和下半部分情况是完全等同的；因此，将两个半圆的任意一个扩充为一个圆周角为π的拓展单位半圆来讨论；

对于的情况，和的重合点能扩展半单位圆中表示为

其中K为一个正整数；

如果为无理数，当K趋于无穷时，对于扩展半单位圆中的一个任意小的区域，都至少有一个重合点；和总会同时到达任意一个阴影区域中，因此这种情况下切换控制是能持续进行的；

如果是有理数，重合点的位置是确定的；假设其中c和d是两个互质的正整数，于是，这些重合点将均匀地将拓展半单位圆分成d部分；和不会同时进入的最大区域能表示为

因此，如果切换控制是能持续进行的；

总结如下，该TST系统切换控制率的渐进稳定性需要满足方程(17)和方程(18)的条件，另外对于ε＝0的情况还需要满足附加条件

综上所述，本步骤四所述的“分析推力切换控制器的稳定性”，归纳总结如下：

首先推导得到K_∞类函数收敛控制器需要满足的条件，得出切换控制器渐进稳定需要满足的条件；进而结合小推力作用下系统摆振微弱的实际情况，做出合理的简化令ε＝0，研究了切换控制器渐进稳定性需要满足的附加条件；

步骤五、数值仿真验证

本发明数值仿真软件的编写平台为矩阵实验室平台即Matlab平台，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用，被证明是在动力学和控制相关问题研制开发过程中十分可靠的数值仿真软件；

结合上述发明内容，搭建模型进行数值仿真，结合仿真结果验证了切换控制方法的正确性；并且显示了切换控制方法的灵活性和实用性；

通过以上步骤，将系统动力学方程和推力切换控制器结合，得到所设计的针对绳系空间拖船摆振的小推力切换控制方法；该方法设计的控制器能够通过两个常值推力的切换控制，使得目标物脱离轨道并控制系统的摆振；通过数值仿真，验证了控制系统的可行性、正确性；该方法设计的TST系统摆振的小推力切换控制能够高效地控制系统的摆振，具有很高的实用性和灵活性；本发明所述控制方法能够在使用绳系空间拖船对空间碎片进行快速离轨的同时有效地抑制系绳的摆振。