CN106886149B - 一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法 - Google Patents

一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法 Download PDF

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Abstract

一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法，本发明涉及航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法。为了解决存在模型不确定性、外界干扰力矩和执行器饱和等情况下的刚体航天器姿态跟踪控制问题，针对已有方法中存在的控制器抖振、控制器结构复杂、整定参数较多、控制算法适用范围受限等问题。本发明包括：一：建立刚体航天器姿态运动学与动力学模型，即姿态跟踪系统；二：根据步骤一定义快速非奇异终端滑模面和辅助系统；三：进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计；当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知常数时，进行制器设计；当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知函数时，进行自适应控制器设计。本发明用于航天领域。

Description

一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法
技术领域
本发明涉及航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法。
背景技术
随着对空间研究和应用能力的提高，对在轨服务技术的需求日益迫切，各航天大国已意识到其重要性，围绕未来的在轨服务体系进行了相应的研究。这些研究可用于清除轨道垃圾、在轨维修等任务。在轨服务包含五个关键技术：对空间非合作目标的测量技术、接近停靠技术、抓捕机构技术，抓捕过程中接触碰撞动力学建模技术以及抓捕后的联合体镇定技术。其中，针对抓捕完成后形成的组合体的姿态控制技术，对于成功实施在轨操作任务具有十分重要的作用，因而受到了普遍关注。在轨抓捕的目标航天器包括燃料耗尽的卫星、空间碎片、废弃卫星和敌方卫星等非合作航天器，其质量特性以及惯量特性通常是未知的。对非合作目标的抓捕也将使得最终的联合体航天器成为一个质量特性参数变化甚至构型变化的复杂非线性不确定系统。该系统动力学特性复杂、参数变化较大，这必然引起较大的干扰，使姿态控制系统和轨道控制系统面临失效的风险。这给组合体姿态控制器的设计带来了一定的挑战。此外，宇宙空间中还存在各种干扰力矩，并且星载执行机构非理想特性也会进一步增加系统的不确定性，为了成功实现各项航天任务，必须确保所设计的姿态控制算法在上述各种不确定性存在的情况下，依然能够确保较高的控制性能。
相对于传统的具有渐近收敛和指数收敛特性的控制方法，终端滑模(Y.Tang,“Terminal sliding mode control for rigid robots,”Automatica,vol.34,no.1,pp.51–56,1998)(S.Yu,X.Yu,B.Shirinzadeh,and Z.Man,“Continuous finite timecontrol for robotic manipulators with terminal sliding mode,”Automatica,vol.41,no.11,pp.1957–1964,2005)控制具有很多优良特性：收敛速度更快、鲁棒性更强和控制精度更高等，因而适于一些要求较高的控制任务中。近来，基于终端滑模方法的控制器设计问题吸引了国内外众多学者的注意，并涌现出较多的研究成果。例如，文献(E.Jin andZ.Sun,“Robust controllers design with finite time convergence for rigidspacecraft attitude tracking control,”Aerospace Science&Technology,vol.12,no.4,pp.324–330,2008)和(P.M.Tiwari,S.Janardhanan,and M.U.Nabi,“A finite-timeconvergent continuous time sliding mode controller for spacecraft attitudecontrol,”International Workshop on Variable Structure Systems,pp.399–403,2010)基于传统的终端滑模面，提出了相应的有限时间姿态控制算法。此外，为了解决经典终端滑模控制中存在的控制奇异以及在远离平衡位置时系统收敛速度较慢等问题，研究人员提出了一些改进的终端滑模面及相应的控制算法。文献(K.Lu and Y.Xia,“Finite-timefault-tolerant control for rigid spacecraft with actuator saturations,”IETControl Theory&Applications,vol.7,no.11,pp.1529–1539,2013)以文献(Y.Tang,“Terminal sliding mode control for rigid robots,”Automatica,vol.34,no.1,pp.51–56,1998)中的终端滑模面为基础，经过适当修正，提出了一种新型的终端滑模面，设计了非奇异终端滑模控制器。文献(S.Wu,G.Radice,Y.Gao,and Z.Sun,“Quaternion-basedfinite time control for spacecraft attitude tracking,”Acta Astronautica,vol.69,no.1-2,pp.48-58,2011)通过在传统的终端滑模面函数中加入包含系统状态的线性项以加快系统收敛速度，构造了快速终端滑模面，并设计了快速有限时间姿态跟踪控制器。然而，文献(E.Jin and Z.Sun,“Robust controllers design with finite timeconvergence for rigid spacecraft attitude tracking control,”AerospaceScience&Technology,vol.12,no.4,pp.324–330,2008)(P.M.Tiwari,S.Janardhanan,andM.U.Nabi,“Afinite-time convergent continuous time sliding mode controller forspacecraft attitude control,”International Workshop on Variable StructureSystems,pp.399–403,2010)(K.Lu and Y.Xia,“Finite-time fault-tolerant controlfor rigid spacecraft with actuator saturations,”IET Control Theory&Applications,vol.7,no.11,pp.1529–1539,2013)(S.Wu,G.Radice,Y.Gao,and Z.Sun,“Quaternion-based finite time control for spacecraft attitude tracking,”ActaAstronautica,vol.69,no.1-2,pp.48-58,2011)均要求系统不确定性的上界已知，这在实际环境中通常无法获得，所以为了增强控制器的鲁棒性和实用性，必须研究存在未知系统不确定性情形下的控制器设计问题。
能够解决存在未知系统不确定性的控制方法包括：自适应控制(Z.Zhu,Y.Xia,andM.Fu,“Attitude stabilization of rigid spacecraft with finite-timeconvergence,”International Journal of Robust&Nonlinear Control,vol.21,no.6,pp.686–702,2011)(Z.Song,H.Li,and K.Sun,“Finite-time control for nonlinearspacecraft attitude based on terminal sliding mode technique,”ISATransactions,vol.53,no.1,pp.117–124,2014)神经网络控制(L.Wang,T.Chai,andL.Zhai,“Neural-Network-Based Terminal Sliding-Mode Control of RoboticManipulators Including Actuator Dynamics,”IEEE Transactions on IndustrialElectronics,vol.56,no.9,pp.3296–3304,2009)(A.M.Zou,K.D.Kumar,Z.G.Hou,and XLiu,“Finite-Time Attitude Tracking Control for Spacecraft Using TerminalSliding Mode and Chebyshev Neural Network,”IEEE Transactions on Systems Man&Cybernetics,Part B,Cybernetics,vol.41,no.4,pp.950–963,2011)和基于观测器的控制方法(C.Pukdeboon and P.Siricharuanun,“Nonsingular terminal sliding mode basedfinite-time control for spacecraft attitude tracking,”International Journalof Control Automation&Systems,vol.12,no.3,pp.530–540,2014)(Q.Hu,B.Li,andJ.Qi,“Disturbance observer based finite-time attitude control for rigidspacecraft under input saturation,”Aerospace Science&Technology,vol.39,pp.13–21,2014)(K.Lu,Y.Xia,and M.Fu,“Controller design for rigid spacecraft attitudetracking with actuator saturation,”Information Sciences,vol.220,no.220,pp.343–366,2013)等。文献(Z.Zhu,Y.Xia,and M.Fu,“Attitude stabilization of rigidspacecraft with finite-time convergence,”International Journal of Robust&Nonlinear Control,vol.21,no.6,pp.686–702,2011)(Z.Song,H.Li,and K.Sun,“Finite-time control for nonlinear spacecraft attitude based on terminal sliding modetechnique,”ISA Transactions,vol.53,no.1,pp.117–124,2014)以终端滑模控制为基础进行控制器设计，并采用自适应律对系统未知干扰的上界进行在线估计，解决了卫星跟踪系统的有限时间控制，增强了系统的鲁棒性。在文献(L.Wang,T.Chai,and L.Zhai,“Neural-Network-Based Terminal Sliding-Mode Control of Robotic ManipulatorsIncluding Actuator Dynamics,”IEEE Transactions on Industrial Electronics,vol.56,no.9,pp.3296–3304,2009)(A.M.Zou,K.D.Kumar,Z.G.Hou,and X Liu,“Finite-Time Attitude Tracking Control for Spacecraft Using Terminal Sliding Mode andChebyshev Neural Network,”IEEE Transactions on Systems Man&Cybernetics,PartB,Cybernetics,vol.41,no.4,pp.950–963,2011)中，主要基于神经网络的万能逼近特性实现了对系统综合不确定性的在线拟合和补偿，进而结合终端滑模控制构造了鲁棒的有限时间跟踪控制器。文献(C.Pukdeboon and P.Siricharuanun,“Nonsingular terminalsliding mode based finite-time control for spacecraft attitude tracking,”International Journal of Control Automation&Systems,vol.12,no.3,pp.530–540,2014)(Q.Hu,B.Li,and J.Qi,“Disturbance observer based finite-time attitudecontrol for rigid spacecraft under input saturation,”Aerospace Science&Technology,vol.39,pp.13–21,2014)通过构造非齐次干扰观测器对系统未知干扰进行实时估计，并以此构造了反馈控制器，削弱了系统抖振。但非齐次干扰观测器仍然需要已知系统干扰的二阶导数上界。文献(K.Lu,Y.Xia,and M.Fu,“Controller design for rigidspacecraft attitude tracking with actuator saturation,”Information Sciences,vol.220,no.220,pp.343–366,2013)采用的扩张状态观测器无需系统的先验信息就能实时估计系统不确定性。其中，文献(Z.Zhu,Y.Xia,and M.Fu,“Attitude stabilization ofrigid spacecraft with finite-time convergence,”International Journal ofRobust&Nonlinear Control,vol.21,no.6,pp.686–702,2011)(Z.Song,H.Li,and K.Sun,“Finite-time control for nonlinear spacecraft attitude based on terminalsliding mode technique,”ISA Transactions,vol.53,no.1,pp.117–124,2014)(L.Wang,T.Chai,and L.Zhai,“Neural-Network-Based Terminal Sliding-Mode Control ofRobotic Manipulators Including Actuator Dynamics,”IEEE Transactions onIndustrial Electronics,vol.56,no.9,pp.3296–3304,2009)(A.M.Zou,K.D.Kumar,Z.G.Hou,and X Liu,“Finite-Time Attitude Tracking Control for Spacecraft UsingTerminal Sliding Mode and Chebyshev Neural Network,”IEEE Transactions onSystems Man&Cybernetics,Part B,Cybernetics,vol.41,no.4,pp.950–963,2011)(C.Pukdeboon and P.Siricharuanun,“Nonsingular terminal sliding mode basedfinite-time control for spacecraft attitude tracking,”International Journalof Control Automation&Systems,vol.12,no.3,pp.530–540,2014)未考虑到由执行器输出幅值受限所带来的控制饱和问题对系统性能可能造成的影响。在实际工程中，航天器星载执行机构的输出幅值均受到一定限制，若不进行相应处理，系统性能将会受到很大影响，甚至导致航天器整体失稳。(Q.Hu,B.Li,and J.Qi,“Disturbance observer basedfinite-time attitude control for rigid spacecraft under input saturation,”Aerospace Science&Technology,vol.39,pp.13–21,2014)(K.Lu,Y.Xia,and M.Fu,“Controller design for rigid spacecraft attitude tracking with actuatorsaturation,”Information Sciences,vol.220,no.220,pp.343–366,2013)考虑到了控制饱和问题，但在进行系统建模时，系统综合不确定性中同时包含了模型误差、外界干扰以及由执行器饱和引起的控制信号误差，既增加了观测器或自适应控制器的计算负担，也使得系统性能更易受到执行器饱和效应的影响。因此，有必要继续研究存在执行器饱和情况下航天器鲁棒有限时间姿态跟踪控制问题。
截至当前，研究人员已提出多种可行的饱和控制方法。其中，最普遍的方法为在进行控制器设计时，结合若干具有饱和特性的特殊函数，例如双曲正切函数等，借此使得控制器输出幅值满足一定的限制，例如文献(J.D.Boskovic,S.M.Li,and R.K.Mehra,“RobustTracking Control Design for Spacecraft Under Control Input Saturation,”Journal of Guidance Control&Dynamics,vol.27,no.4,pp.627–633,2004)(R.J.Wallsgrove and M.R.Akella,“Globally Stabilizing Saturated AttitudeControl in the Presence of Bounded Unknown Disturbances,”Journal of GuidanceControl&Dynamics,vol.28,no.5,pp.957–963,2005)(M.R.Akella,A.Valdivia,andG.R.Kotamraju,“Velocity-Free Attitude Controllers Subject to ActuatorMagnitude and Rate Saturations,”Journal of Guidance Control&Dynamics,vol.28,no.4,pp.659–666,2005)(D.Bustan,N.Pariz,and S.K.Sani,“Robust fault-toleranttracking control design for spacecraft under control input saturation,”ISATransactions,vol.53,no.4,pp.1073–1080,2014)(A.M.Zou,K.D.Kumar,andA.H.J.D.Ruiter,“Robust attitude tracking control of spacecraft under controlinput magnitude and rate saturations,”International Journal of Robust&Nonlinear Control,no.26,pp.799–815,2016)(J.Hu and H.Zhang,“A simple saturatedcontrol framework for spacecraft with bounded disturbances,”InternationalJournal of Robust&Nonlinear Control,vol.26,no.3,pp.367–384,2015)等，但文献所设计控制器，均只能保证闭环系统具有渐近稳定收敛特性，致使系统收敛速度较慢，且其控制器参数选取过程较为复杂。将齐次方法(H.Du and S.Li,“Finite-time attitudestabilization for a rigid spacecraft using homogeneous method,”Journal ofGuidance Control&Dynamics,vol.35,no.3,pp.2620–2625,2015)(Q.Hu,J.Zhang,andM.I.Friswell,“Finite-Time Coordinated Attitude Control for SpacecraftFormation Flying Under Input Saturation,”Journal of Dynamic SystemsMeasurement&Control,vol.137,no.6,2015)同双曲正切函数结合，既可以实现闭环系统的有限时间收敛，满足执行器饱和的约束，也无需复杂参数整定过程，但该方法一般只适用于解决无系统干扰的理想条件下的控制问题。文献(J.Ma,P.Li,L.Geng,and Z.Zheng,“Adaptive finite-time attitude tracking control of an uncertain spacecraftwith input saturation,”IEEE Conference on Control Application(CAA),Part of2015IEEE Multi-Conference on Systems and Control,Sydney,Australia,pp.930–935,2015)(B.Xiao,Q.Hu,and M.I.Friswell,“Active fault-tolerant attitude controlfor flexible spacecraft with loss of actuator effectiveness,”InternationalJournal of Adaptive Control&Signal Processing,vol.27,no.11,pp.925–943,2013)中利用辅助系统方法，即构造一个扩展的动态系统，实现了对由执行器饱和引起的控制误差信号的直接补偿。但从文献可见，传统的辅助系统在应用过程中必须与反步法相结合，才能实现对闭环系统的有限时间控制，致使其应用范围受到一定限制。而且文献(J.Ma,P.Li,L.Geng,and Z.Zheng,“Adaptive finite-time attitude tracking control of anuncertain spacecraft with input saturation,”IEEE Conference on ControlApplication(CAA),Part of 2015IEEE Multi-Conference on Systems and Control,Sydney,Australia,pp.930–935,2015)中依然需要关于系统干扰的先验信息。文献(B.Xiao,Q.Hu,and M.I.Friswell,“Active fault-tolerant attitude control forflexible spacecraft with loss of actuator effectiveness,”InternationalJournal of Adaptive Control&Signal Processing,vol.27,no.11,pp.925–943,2013)中，虽然系统未知干扰可以通过神经网络进行补偿，但是由于神经网络中需要调节的参数较多，增加了控制器的复杂程度，致使其参数整定难度增大。
发明内容
本发明的目的是为了解决存在模型不确定性、外界干扰力矩和执行器饱和等情况下的刚体航天器姿态跟踪控制问题，并针对已有方法中存在的控制器抖振、控制器结构复杂、整定参数较多、控制算法适用范围受限等问题，而提出一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法。
一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法包括以下步骤：
步骤一：建立刚体航天器姿态运动学与动力学模型，即姿态跟踪系统；
步骤二：根据步骤一定义快速非奇异终端滑模面和辅助系统；
步骤三：进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计；
当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知常数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计；
当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知函数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统并结合自适应算法进行自适应鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计。
本发明基于快速非奇异终端滑模面、快速终端滑模趋近律、辅助系统以及自适应控制算法对航天器存在未知系统不确定性和执行器饱和等条件下的航天器姿态跟踪控制问题进行研究分析。主要结论如下：
首先，针对系统综合不确定性具有常数上界的情况，基于快速非奇异终端滑模面、快速终端滑模趋近律以及辅助系统设计了鲁棒有限时间饱和控制器。其中，通过构造改进的辅助系统，使其可以直接和滑模控制方法相结合，既补偿了由执行器饱和带来的输入误差，又不影响闭环系统的有限时间收敛特性。
其次，为扩大本发明所提出控制算法的适用范围，进一步结合快速非奇异终端滑模面、快速终端滑模趋近律、辅助系统以及自适应控制算法，设计了鲁棒自适应有限时间饱和控制器，使所设计的控制器能够处理扰动上界与闭环系统状态的范数直接相关的情况。
最后，利用李雅普诺夫理论对所设计的控制器给出了严格的理论证明，表明系统状态为有限时间稳定的，且能保证控制器输出幅值始终有界。并对所设计的控制器进行了数值仿真，进一步验证了所设计控制器的有效性。
本发明的有益效果为：
为解决现有技术中存在的问题，本发明设计了具有抗饱和特性的鲁棒有限时间姿态跟踪控制器。相对于已有文献，本发明的创新之处在于：
(1)实现了姿态跟踪系统的控制器设计，并同时考虑了执行器饱和、未知模型不确定性、未知环境干扰、控制器奇异和控制器抖振等问题；
(2)使得闭环姿态跟踪控制系统具有有限时间收敛特性，加快了系统的收敛速度；
(3)改进了原有的辅助系统，使其可以直接与快速非奇异终端滑模、快速终端滑模型趋近律和自适应控制算法等方法相结合，实现了航天器姿态跟踪系统的有限时间饱和控制，增强了辅助系统方法的适用性；
(4)结合快速终端滑模型趋近律和自适应控制算法等方法，能有效处理系统的综合不确定性，同时使得所得控制算法具有更简单的结构，控制参数整定过程更加简洁。
附图说明
图1为控制器u1作用下的误差四元数矢量部分曲线图；
图2为控制器u1作用下的误差四元数标量部分曲线图；
图3为控制器u1作用下的角速度误差曲线图；
图4为控制器u1作用下的实际控制力矩曲线图；
图5为控制器u1作用下的滑模面变量曲线图；
图6为控制器u1作用下的输入误差信号曲线图；
图7为控制器u1作用下的辅助系统状态变量曲线图；
图8为控制器u2作用下的误差四元数矢量部分曲线图；
图9为控制器u2作用下的误差四元数标量部分曲线图；
图10为控制器u2作用下的角速度误差变量曲线图；
图11为控制器u2作用下的实际控制力矩曲线图；
图12为控制器u2作用下的滑模变量曲线图；
图13为控制器u2作用下的输入误差信号曲线图；
图14为控制器u2作用下的辅助系统状态变量曲线图；
图15为控制器u2作用下的自适应参数曲线图。
具体实施方式
具体实施方式一：本实施方式的一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法包括以下步骤：
步骤一：建立刚体航天器姿态运动学与动力学模型，即姿态跟踪系统；
步骤二：根据步骤一定义快速非奇异终端滑模面和辅助系统；
步骤三：进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计；
当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知常数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计；
当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知函数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统并结合自适应算法进行自适应鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中建立刚体航天器姿态运动学与动力学模型的具体过程为：
选择四元数作为描述航天器姿态的参数，并建立系统的运动学模型和动力学模型如公式(1)和公式(2)所述：
和分别表示航天器本体坐标系Eb与期望坐标系Ed之间的相对四元数和相对角速度，其计算法则如下：
其中，表示航天器本体坐标系Eb相对于地心惯性坐标系En的姿态，q0和qv满足约束 表示四元数乘法运算；表示期望坐标系Ed相对地心惯性坐标系En的姿态参数；ω∈R3×1表示航天器的角速度矢量，并将其表示在航天器本体坐标系Eb下；表示由期望坐标系Ed到航天器本体坐标系Eb之间的坐标转换矩阵；ωd∈R3×1表示期望坐标系Ed相对于地心惯性坐标系En的角速度矢量，并将其表示在期望坐标系Ed下；J∈R3×3表示航天器的惯量矩阵，u∈R3×1是执行器输入指令信号，sat(u)为实际执行器输入(在步骤三中当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知常数时u＝u1，当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知函数时u＝u2)，d∈R3×1表示外界干扰力矩，I3为单位矩阵；是qd的共轭四元数；
对于任意三维向量a＝[a1,a2,a3]T∈R3×1，a×表示由a生成的反对称矩阵；a×具体表示为 和
期望坐标系Ed由航天器需要跟踪的目标信号所确定。地心惯性坐标系En的原点位于地心On，其OnXn轴沿地球赤道平面和黄道平面的交线指向春分点，OnZn轴指向北极，OnYn轴垂直于OnXn和OnZn构成的平面，且OnXn、OnYn和OnZn构成右手直角坐标系。航天器本体坐标系Eb与航天器固连，其原点位于航天器质心Ob，ObXb轴指向航天器飞行方向，ObZb轴指向地心，ObYb与ObXb和ObZb构成右手直角坐标系。
将航天器的惯量矩阵进一步表示为J＝J0+ΔJ，其中，J0为已知的正定矩阵，表示惯量矩阵的标称部分，ΔJ表示惯量矩阵中的未知部分；因此，公式(2)表示为：
进一步整理可以得到与文献(K.Lu,Y.Xia,and M.Fu,“Controller design forrigid spacecraft attitude tracking with actuator saturation,”InformationSciences,vol.220,no.220,pp.343-366,2013)具有类似形式的系统动力学方程：
整理得到：
其中，
Δu＝sat(u)-u (11)
定义δ＝[δ1 δ2 δ3]T＝ΔF+d，表示包含模型不确定性和外界干扰的系统综合不确定性。
其它步骤及参数与具体实施方式一相同。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中根据步骤一定义快速非奇异终端滑模面和辅助系统的具体过程为：
为方便后文控制器的设计及系统稳定性的分析，本节首先给出快速非奇异终端滑模面的定义、辅助系统的定义以及相关引理。
为了保证在滑模面上系统状态具有较快收敛速度，并且控制器无奇异现象，构造如下快速非奇异终端滑模面(FNTSMS)：
其中，
r1＝(2-γ)ηγ-1,r2＝(γ-1)ηγ-2,0＜γ,η＜1 (15)
其中，i＝1,2,3表示相对四元数中矢量部分各元素的下标；γ和η为滑模面的结构参数，其取值均介于(0,1)区间内，并且可根据实际情况对其进行调节。
为了补偿由执行器饱和而引起的输入误差信号Δu，定义如下辅助系统：
其中Δu＝sat(u)-u为由执行器饱和而引起的输入误差信号，ζ∈R3×1表示辅助系统的状态变量，S∈R3×1即为式(12)定义的滑模面变量，k1和k2为辅助系统的结构参数，其取值均为正数，且可根据实际情况对其进行调节。
为方便下文系统稳定性的分析，引入如下几个重要引理：
引理1(S.Yu,X.Yu,B.Shirinzadeh,and Z.Man,“Continuous finite timecontrol for robotic manipulators with terminal sliding mode,”Automatica,vol.41,no.11,pp.1957–1964,2005)：设α1>0，α2>0，0＜c＜1，则有如下结论成立：
引理2(E.Jin and Z.Sun,“Robust controllers design with finite timeconvergence for rigid spacecraft attitude tracking control,”AerospaceScience&Technology,vol.12,no.4,pp.324–330,2008)：设系统y＝f(x)，x∈Rn，f(0)＝0，存在连续可微函数V(x)，其定义域为使得其满足如下条件：
1)V为正定函数。
2)存在a>0，0＜ρ＜1，使得成立。
则存在使得初始时刻位于中的V(x)能在有限时间内到达V(x)≡0。此外，V(x)≡0的到达时间T为
T≤V(x(t0))1-ρ/a(1-ρ) (20)其中V(x(t0))为V(x)的初值。因此，y＝f(x)是有限时间稳定的。
引理3(S.Yu,X.Yu,B.Shirinzadeh,and Z.Man,“Continuous finite timecontrol for robotic manipulators with terminal sliding mode,”Automatica,vol.41,no.11,pp.1957–1964,2005)：设系统y＝f(x)，x∈Rn，f(0)＝0，存在如引理2中所定义的函数V(x)并且满足其中a>0，b>0，0＜ρ＜1。那么V(x)≡0将在有限时间T内到达，且
引理4：对于姿态跟踪系统(1)和(2),定义滑模变量S如(12)所示,如果S＝0成立，那么闭环系统的状态变量和能在有限时间内收敛到期望平衡点的邻域。
证明：姿态跟踪系统的平衡点包括：
由S＝0得：
对于定义李雅普诺夫函数
对其沿系统轨线求导，得
根据李雅普诺夫稳定性理论可知，是不稳定平衡点，一旦存在干扰，则系统将远离平衡点(K.Lu and Y.Xia,“Adaptive attitudetracking control for rigid spacecraft with finite-time convergence,”Automatica,vol.49,no.12,pp.3591–3599,2013)。
对于李雅普诺夫函数
对其沿系统轨线求导，得
此时，根据滑模面定义(12)，需针对的不同取值情况，即和分两种情况进行讨论。
首先，当时，V2的导数为
因此，是稳定且吸引的。结合前述分析，能在有限时间内到达，所以有
综合(25)和(28)，得
所以有
根据引理3，能在有限时间内到达。由滑模面定义(12)，同样可以在有限时间内收敛到原点的邻域，且该邻域可表示为
其次，当时，V2的导数变为
根据李雅普诺夫稳定性理论，将会指数收敛于原点。同理也将渐近收敛至平衡点。引理4证毕。
其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤三中当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知常数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计的具体过程为：
文献(E.Jin and Z.Sun,“Robust controllers design with finite timeconvergence for rigid spacecraft attitude tracking control,”AerospaceScience&Technology,vol.12,no.4,pp.324–330,2008)(P.M.Tiwari,S.Janardhanan,andM.U.Nabi,“A finite-time convergent continuous time sliding mode controllerfor spacecraft attitude control,”International Workshop on Variable StructureSystems,pp.399–403,2010)(K.Lu and Y.Xia,“Finite-time fault-tolerant controlfor rigid spacecraft with actuator saturations,”IET Control Theory&Applications,vol.7,no.11,pp.1529–1539,2013)(S.Wu,G.Radice,Y.Gao,and Z.Sun,“Quaternion-based finite time control for spacecraft attitude tracking,”ActaAstronautica,vol.69,no.1-2,pp.48-58,2011)中控制器均需要假设模型不确定性和外界干扰的特性已知，因而其应用范围受到很大限制。因此，本节将结合快速非奇异终端滑模面、快速终端滑模型趋近律和辅助系统进行控制器设计，以实现存在未知系统不确定性条件下的姿态跟踪系统有限时间饱和控制。为方便控制器设计，需作出如下假设：
姿态跟踪系统的综合不确定性δ具有未知上界，即存在未知正数l，使得|δi|＜l，其中，i＝1,2,3；(S.Wu,G.Radice,Y.Gao,and Z.Sun,“Quaternion-based finite timecontrol for spacecraft attitude tracking,”Acta Astronautica,vol.69,no.1-2,pp.48-58,2011)(K.Lu,Y.Xia,and M.Fu,“Controller design for rigid spacecraftattitude tracking with actuator saturation,”Information Sciences,vol.220,no.220,pp.343–366,2013)(D.J.Zhao and D.G.Yang,“Model-free control of quad-rotor vehicle via finite-time convergent extended state observer”,International Journal of Control,Automation and Systems,vol.14,no.1,pp.242–254,2016)
基于以上分析，设计如下指令控制信号u1：
其中，
ur＝-τ1S-τ2sigρ(S), (34)
其中，k1和ζ定义如(18)所示，τ1，τ2，k3，k4和ρ均为控制器参数，均为正数，ρ的取值位于区间(0,1)内，且各个参数均可根据实际情况进行调节。
对于系统姿态跟踪系统(8)和(9)，当系统综合不确定性δ上界为未知常数时，辅助系统设计如(18)，且控制器设计如(33)所示，则有如下结论：
(i)滑模面变量S＝[S1 S2 S3]T在有限时间内收敛至如下区域：
其中，|δi|为δ的第i个变量的绝对值，τ1、τ2和ρ的定义如(34)；
(ii)闭环系统状态变量和在有限时间内收敛至如下区域：
其中，φi定义如(37)，η，α1，α2和γ定义如(12)。
证明：(i)定义李雅普诺夫函数如下：
对V沿系统轨线求导，并带入控制器(33)以及辅助系统(18)，可得
考虑到和可得
利用式(36)，得
进一步整理得
若τ1≥|δi|/|Si|或τ2≥δi/|Si|ρ成立，其中i＝1,2,3，则diag(τ1-δi/Si)或diag(τ2-δi/sgn(Si)|Si|ρ)为正定矩阵，由此可得
其中，λmax(J0)是J0的最大特征值。基于引理2，所以有
其中，利用引理2，系统状态将趋近于期望平衡点，并且到τ1≤|δi|/|Si|和τ2≤δi/|Si|ρ对于i＝1,2,3均成立时，趋近过程结束。由此可得，滑模面变量S将在有限时间内收敛至如下区域
结论(i)得证。
(ii)为了分析和的收敛特性，其中i＝1,2,3，需根据的取值从两种情况分别进行讨论：
首先，当时，有
将其整理为如下两种形式
根据引理4可知，若或成立，则式(50)和(51)具有一般滑模面形式，系统状态将渐近趋近于期望平衡点。此外，由于
将不等式和重新整理为和并考虑到|Si|≤φi和则闭环系统状态变量将在有限时间内收敛于下述区域
当时，有如下等式成立
整理可得
根据引理4，只要或对于i＝1,2,3成立，则(56)和(57)具有快速终端滑模面的形式，闭环系统状态将快速趋近于期望平衡点，这一过程到和对于i＝1,2,3均成立时结束，考虑到|Si|≤φi和则闭环系统状态变量将在有限时间内收敛于下述区域
综合考虑上述两种不同的情况，和的最终收敛区域将由式(58)和(59)决定。
结论(ii)得证。定理1证毕。
注1：如文献(Q.Hu,J.Zhang,and M.I.Friswell,“Finite-Time CoordinatedAttitude Control for Spacecraft Formation Flying Under Input Saturation,”Journal of Dynamic Systems Measurement&Control,vol.137,no.6,2015)(J.Ma,P.Li,L.Geng,and Z.Zheng,“Adaptive finite-time attitude tracking control of anuncertain spacecraft with input saturation,”IEEE Conference on ControlApplication(CAA),Part of 2015IEEE Multi-Conference on Systems and Control,Sydney,Australia,pp.930–935,2015)中所定义的辅助系统，必须同反步法结合才能够实现控制系统的有限时间镇定，且满足执行器输出饱和的限制。但是，在本文中，由于在传统的辅助系统中添加了-k2sgn(ζ)一项，使该辅助系统可以直接与快速非奇异终端滑模面和快速终端滑模型趋近律等结合并保证闭环系统的有限时间收敛特性，简化了控制器的设计和分析过程。
注2：由式(58)和(59)给出的稳态时状态收敛域上界的估计，能够同时涵盖和两种情况。但考虑控制精度较高的情况时，即由(53)和(54)给出的收敛域估计具有更低保守性以及更好的实用性。
注3：控制器(33)中包含切换项un，但同文献(E.Jin and Z.Sun,“Robustcontrollers design with finite time convergence for rigid spacecraft attitudetracking control,”Aerospace Science&Technology,vol.12,no.4,pp.324–330,2008)(S.Wu,G.Radice,Y.Gao,and Z.Sun,“Quaternion-based finite time control forspacecraft attitude tracking,”Acta Astronautica,vol.69,no.1-2,pp.48-58,2011)中所设计的切换控制器不同的是，本文中un的系数可以是一个任意小的整数，这对于削弱控制器抖振具有明显的作用。而对于文献(E.Jin and Z.Sun,“Robust controllersdesign with finite time convergence for rigid spacecraft attitude trackingcontrol,”Aerospace Science&Technology,vol.12,no.4,pp.324–330,2008)(S.Wu,G.Radice,Y.Gao,and Z.Sun,“Quaternion-based finite time control for spacecraftattitude tracking,”Acta Astronautica,vol.69,no.1-2,pp.48-58,2011)所给出的切换控制器，其控制增益必须足够大以满足系统稳定性的要求，这通常会导致较为严重的控制器抖振现象，并给系统性能带来极大负面影响。
其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。
具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：所述步骤三中当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知函数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统并结合自适应算法进行自适应鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计的具体过程为：
由定理1给出的控制器(33)，能够确保闭环系统在有限时间内收敛于期望平衡点附近的小邻域，且该邻域的大小可通过对控制器参数的整定而调节。但上述结论的得出，需要假设系统综合不确定性存在常数上界。而在更一般情况下，系统不确定性通常与系统状态直接相关，且是闭环系统状态变量范数的函数。因此，为进一步提高本文所提出控制算法的适用性，本节将基于快速非奇异终端滑模面、快速终端滑模型趋近律和自适应律进行控制器设计。首先，需作出如下假设：
姿态跟踪系统(1)和(2)的综合不确定性δ有界，且满足如下约束(Q.Shen,D.Wang,S.Zhu and E.K.Poh,“Finite-time fault-tolerant attitude stabilization forspacecraft with actuator saturation,”IEEE Transactions on Aerospace&Electronic Systems,vol.51,no.3,pp.2390–2405,2015)：
其中，为角速度误差矢量的2-范数，c0，c1和c2是不确定性delta的上界函数中的系数，其取值均为正。
控制指令信号u2的设计如下：
ur＝-τ1S-τ2sigρ(S) (65)
其中，k1和ζ定义如(18)所示，α1和α2定义如(12)，ε，k4>0，0＜γ＜1，k3>0且满足(67)中不等式约束，k3，k4，ρ，p0，p1，p2，χ0，χ1和χ2均为控制器参数，均为正数，ρ的取值位于区间(0,1)内，且各个参数均可根据实际情况进行调节；和为自适应参数，且分别为c0，c1和c2的估计值；
对于(1)和(2)描述的姿态跟踪系统，当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知函数时，辅助系统设计如(18)，且控制器设计如(61)所示，则有如下结论成立：
(i)滑模面变量S在有限时间收敛到如下区间；
其中，并且cn和χn(n＝0,1,2)的定义分别如(60)和(64)所示，ε的定义如(62)所示，τ1、τ2和ρ的定义如(65)所示。
(ii)姿态误差四元数和角速度误差矢量在有限时间内收敛至如下区间：
其中，定义如(68)所示，η，α1，α2和γ定义如(12)所示。
证明：定义李雅普诺夫函数
其中，为自适应参数的估计误差。
对V沿着系统轨线求导，并代入控制器(61)和辅助系统(18)得
考虑到和可得
利用式(67)，得
当时，(74)可整理为
代入(64)，得
利用下述不等式关系
进而可得
其中主要利用了自适应律(64)低通滤波器的特性，因而可知以及
利用引理1,(78)可整理为
其中为正数。
(75)可进一步写为
如果τ1>χ/STS或τ2>χ/(STS)(1+ρ)/2对于i＝1,2,3成立，则有根据引理2，滑模面变量S将渐近趋近于原点，该趋近过程直到τ1≤χ/STS以及τ2≤χ/(STS)(1+ρ)/2对于i＝1,2,3均成立时结束。由此可知，滑模面变量S将在有限时间内收敛于下述区域：：
当时，(74)可整理为
利用(67)式可得
其中ε表示边界层的厚度，并如(62)式所定义。
与(74)至(79)的分析过程类似，可知下式成立
其中且为正。
所以有
因此，滑模面变量S将在有限时间内收敛于下述区域：
综合考虑和两种情况，滑模面变量S的稳态值将满足下述约束：
与定理1中结论(ii)的证明过程相似，和的稳态值满足如下约束：
定理2证毕。
注4：由式(90)和(91)给出的稳态时状态收敛域上界的估计，涵盖了和两种情况。但是当控制精度较高时，对于稳态时状态收敛域上界的更准确的估计应为：
注5：控制器结合边界层法(K.Lu and Y.Xia,“Adaptive attitude trackingcontrol for rigid spacecraft with finite-time convergence,”Automatica,vol.49,no.12,pp.3591-3599,2013),以削弱执行器的抖振，且通过上述分析过程可知，闭环系统跟踪误差信号的稳态值均与边界层的厚度ε直接相关。
注6：由定理2可知，尽管此时系统的综合不确定性δ具有更复杂的上界，但依然可以通过控制器u2使得闭环姿态跟踪系统的状态收敛于期望平衡点的小邻域内，且该邻域大小可通过控制系统参数进行调节。
其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。
采用以下实施例验证本发明的有益效果：
实施例一：
本发明为验证本文控制算法的有效性，下面对所设计的控制器进行仿真验证。所涉及各仿真参数均根据文献(C.Pukdeboon and P.Siricharuanun,“Nonsingularterminal sliding mode based finite-time control for spacecraft attitudetracking,”International Journal of Control Automation&Systems,vol.12,no.3,pp.530–540,2014)(K.Lu,Y.Xia,and M.Fu,“Controller design for rigid spacecraftattitude tracking with actuator saturation,”Information Sciences,vol.220,no.220,pp.343–366,2013)(K.Lu and Y.Xia,“Adaptive attitude tracking controlfor rigid spacecraft with finite-time convergence,”Automatica,vol.49,no.12,pp.3591–3599,2013)确定。
其中，转动惯量的标称值为：
J0＝[20,1.2,0.9；1.2,17,1.4；0.9,1.4,15]kg·m2
航天器初始姿态四元数为：
q(0)＝[0.4031,-0.2584,0.7386,0.4745]T
航天器的初始角速度矢量为：
ω(0)＝[0,0,0]T rad/s
转动惯量不确定性为：
ΔJ＝diag{sin(0.1t),2sin(0.2t),3sin(0.3t)}kg·m2
环境干扰力矩为：
d＝0.1×[sin(0.1t),2cos(0.2t),3sin(0.3t)]T N·m
期望角速度为：
ωd＝[0.1sin(t/40),-0.1sin(t/50),-0.1sin(t/60)]T rad/s
分别针对控制器(33)和(61)进行仿真试验，为了方便对仿真结果进行对比分析，假设所有仿真试验均在相同的初始条件下进行，其具体设置如前文所示。控制器的相关参数设置如表1所示。
表1.控制器参数设置
控制器u1的仿真结果如图1-图7所示，图1-图2为航天器姿态跟踪误差四元数的曲线图。图3为航天器跟踪角速度误差的曲线图，图4为滑模面变量的曲线图。从图中可以看出系统能在有限时间内快速收敛到平衡点附近，且该过程在20秒内完成。各闭环状态变量的稳态控制精度分别为：5×10-4，3×10-4和5×10-3。图5为闭环系统的实际控制力矩曲线图，由图可知，控制力矩在整个控制过程中均保持有界且无明显抖振现象发生。图6给出由执行器饱和产生的输入误差信号的曲线图，在控制过程结束之后，Δu为零，表明控制器退出饱和状态。图7为辅助系统状态变量曲线，从图7可以看出，辅助系统变量最终收敛于原点的一个小邻域内。
控制器u2的仿真结果如图8-15所示，图8-图9为姿态跟踪误差四元数的曲线图，图10为航天器跟踪角速度误差的曲线图，图11为滑模面变量的曲线图。从图中可以看出系统能在有限时间内快速收敛到平衡点附近，整个控制过程在22秒内实现。且各闭环状态变量的稳态控制精度分别为：1.5×10-4，8×10-5和2×10-3。图12为闭环系统的实际控制力矩曲线图，由图可知，控制力矩在整个控制过程中有界且无明显抖振现象。图13给出由执行器饱和产生的输入误差信号，且在控制过程结束之后，Δu为零，表明执行机构已退出饱和现象。图14为辅助系统状态变量曲线，从图14可以看出，辅助系统变量将趋于原点邻域内。图15为自适应参数的曲线图，从图中可以看出，所有自适应参数均有界，并最终趋近于某一正数。
将仿真结果列于表2。
表2.仿真结果统计表
由上述仿真结果可得如下结论：
(1)控制器u1和u2均无明显抖振现象发生，且在整个控制过程中均满足给定的幅值约束，表明了闭环系统的稳定性，以及所设计控制算法能够的有效性。
(2)对比分析两个控制器的仿真结果，控制器u2相对于控制器u1能够获得相对较高的控制精度，证明其具有更强的鲁棒性。而由于自适应控制算法的引入，系统需要调节的参数增多，导致在应用控制器u2时，闭环系统需要经过更多的时间达到稳态。但是，两组仿真试验结果中各项指标相近，且均达到了允许范围。进一步证明了所提出控制算法的有效性以及稳定性。
本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (3)

1.一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法，其特征在于：所述航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法的具体过程包括：
步骤一：建立刚体航天器姿态运动学与动力学模型，即姿态跟踪系统；
步骤二：根据步骤一定义快速非奇异终端滑模面和辅助系统，其具体过程为；
构造如下快速非奇异终端滑模面：
其中，
r1＝(2-γ)ηγ-1,r2＝(γ-1)ηγ-2,0＜γ,η＜1 (15)
其中，γ和η为滑模面的结构参数；
定义如下辅助系统：
其中Δu＝sat(u)-u由执行器饱和而引起的输入误差信号，ζ∈R3×1表示辅助系统的状态变量，S∈R3×1即为式(12)定义的滑模面变量，k1和k2为辅助系统的结构参数；
步骤三：进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计；
当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知常数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计；
当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知函数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统并结合自适应算法进行自适应鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计，其具体过程为：
姿态跟踪系统(1)和(2)的综合不确定性δ有界，且满足如下约束：
其中，为角速度误差矢量的2-范数，c0，c1和c2为未知正数；
控制指令信号u2的设计如下：
ur＝-τ1S-τ2sigρ(S) (65)
其中，p0，p1，p2，χ0，χ1和χ2均为控制器参数，和为c0，c1和c2的估计值；
对于(1)和(2)描述的姿态跟踪系统，当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知函数时，辅助系统设计如(18)，且控制器设计如(61)所示，则有如下结论成立：
(i)滑模面变量S在有限时间收敛到原点的小邻域内；
其中，
(ii)姿态误差四元数和角速度误差矢量在有限时间内收敛至期望平衡点的小邻域内：
2.根据权利要求1所述一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤一中建立刚体航天器姿态运动学与动力学模型的具体过程为：
选择四元数作为描述航天器姿态的参数，并建立姿态跟踪系统如公式(1)和公式(2)所述：
和分别表示航天器本体坐标系Eb与期望坐标系Ed之间的相对四元数和相对角速度，其计算法则如下：
其中，表示航天器本体坐标系Eb相对于地心惯性坐标系En的姿态，q0和qv满足约束 表示四元数乘法运算；表示期望坐标系Ed相对地心惯性坐标系En的姿态参数；ω∈R3×1表示航天器的角速度矢量，并将其表示在航天器本体坐标系Eb下；表示由期望坐标系Ed到航天器本体坐标系Eb之间的坐标转换矩阵；ωd∈R3×1表示期望坐标系Ed相对于地心惯性坐标系En的角速度矢量，并将其表示在期望坐标系Ed下；J∈R3×3表示航天器的惯量矩阵，u∈R3×1是执行器输入指令信号，sat(u)为实际执行器输入，d∈R3×1表示外界干扰力矩，I3为单位矩阵；是qd的共轭四元数；
对于任意三维向量a＝[a1,a2,a3]T∈R3×1，a×表示由a生成的反对称矩阵；a×具体表示为a×＝[0,-a3,a2；a3,0,-a1；-a2,a1,0]；
将航天器的惯量矩阵表示为J＝J0+ΔJ，其中，J0为已知的正定矩阵，表示惯量矩阵的标称部分，ΔJ表示惯量矩阵中的未知部分；公式(2)表示为：
得到系统动力学方程：
整理得到：
其中，
Δu＝sat(u)-u (11)
定义δ＝[δ1 δ2 δ3]T＝ΔF+d，表示包含模型不确定性和外界干扰力矩的系统综合不确定性。
3.根据权利要求1所述一种航天器鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制方法，其特征在于：所述步骤三中当姿态跟踪系统综合不确定性δ上界为未知常数时，根据步骤二中得到的快速非奇异终端滑模面和辅助系统进行鲁棒有限时间饱和姿态跟踪控制器设计的具体过程为：
当姿态跟踪系统的综合不确定性δ具有未知上界，即存在未知正数l，使|δi|＜l，其中，i＝1,2,3；
设计如下指令控制信号u1：
ur＝-τ1S-τ2sigρ(S) (34)
其中，τ1，τ2，k3，k4和ρ均为控制器参数；
对于公式(8)和公式(9)，当系统综合不确定性δ上界为未知常数时，辅助系统设计如公式(18)，且控制器设计如公式(33)所示，则有如下结论：
(i)滑模面变量S＝[S1 S2 S3]T在有限时间内收敛至如下区域：
其中，|δi|为δ的第i个变量的绝对值；
(ii)闭环系统状态变量和在有限时间内收敛至如下区域：
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