CN108153322B - 一种考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制方法，包括建立不考虑执行器故障，但含有外部扰动以及时变转动惯量的航天器姿态跟踪动力学模型，以及建立时变的转动惯量模型；基于航天器姿态跟踪动力学模型，设计标称控制器以及相应的自适应律，保证无故障时系统的稳定以及跟踪误差的收敛；在航天器姿态跟踪动力学模型中加入执行器故障，基于标称控制器设计辅助控制器，解决了航天器在轨工作时执行器发生故障且存在时变转动惯量及受到外部扰动力矩影响的问题，保证了系统的容错能力和鲁棒性。

Description

一种考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制 方法

技术领域

本发明涉及航天器控制技术领域，具体涉及一种考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制方法。

背景技术

航天事业的大力发展对国民经济、社会发展等方面起到了不可忽视的作用，越来越受到国家及社会各界的广泛重视，2017年上半年，“天舟一号”货运飞船顺利发射并成功完成与天宫二号的首次推进剂在轨补加试验，我国首颗高轨道高通量通信卫星“实践十三号”顺利发射升空，2017年下半年预计发射2组“北斗三号”全球组网卫星，计划发射“嫦娥五号”月球探测器，以及多载荷、高精度地震监测试验卫星“张衡一号”。为了进行轨道维持、自身姿态调整等目的，这些人造卫星都会携带一定量的燃料，而卫星自身携带燃料的消耗会造成转动惯量的变化以及卫星质心的变化，质心的变化又会引起转动惯量的进一步变化。例如2017年发射的“中星9A”广播电视直播卫星，由于火箭工作异常未达到预定轨道，后卫星通过轨道调整成功到达预定轨道，这一过程会消耗大量燃料，会引起卫星质心以及转动惯量的变化，影响卫星控制系统的精度，因此控制器设计过程中将由于燃料消耗而引起的时变的转动惯量考虑在内可有效提高控制精度。此外，航天器姿态控制系统是航天器最为关键的分系统之一，具有一定的容错能力和鲁棒性能十分重要。航天器在轨运行过程中，恶劣的航天环境、航天器执行机构长期暴露在失重、低温、强辐射的环境中，加上自身部件的老化磨损致使执行机构出现故障，这可能会在很短时间内导致航天器翻滚、姿态丢失，甚至导致航天器完全失控，从而造成航天任务完全失败，因此设计具有容错能力的控制器，使得航天器在轨运行中能应对多种可能发生的故障，可有效提高控制系统的可靠性。另外，航天器还会受到来自空间的各种扰动力矩的影响，因此，提高系统的鲁棒性也是卫星姿态控制系统的重要任务。

针对航天器姿态跟踪问题，专利CN201410668391.4首先定义模态振动状态从而将挠性卫星姿态动力学方程改写为状态空间表达式，然后采用滑模观测器观测得到模态振动位移和模态振动状态的实时信息，最后根据测量得到的卫星姿态四元数、姿态角速度信息与估计的模态量值对误差姿态跟踪模型采用滑模控制率进行跟踪控制，然而，此方法没有考虑到执行器故障的可能性，因此不具备容错能力；专利CN201510232385.9设计一个三轴力矩有效性故障因子观测器，然后基于观测器获得的有效性故障因子估计值设计一种自适应控制方法以实现在执行机构出现故障情况下的航天器机动控制，但是其中没有考虑执行器完全失效以及加性故障的情况，因此对可能故障类型的考虑不够完备；专利CN201210559209.2设计一个线性扩张状态观测器，并利用观测器估计出来的状态和广义扰动设计鲁棒容错控制律，但是在航天器动力学模型的建立过程中并未考虑转动惯量的时变特性；因此，现有的航天器姿态跟踪控制方法较少的具备容错能力，而现有的航天器容错控制方法较少将多种可能的故障类型同时考虑在内，并且忽略了转动惯量的时变特性。

发明内容

由于航天器姿态跟踪过程中会同时受到空间环境扰动力，燃料消耗也会造成的转动惯量的变化，以及可能出现执行器发生故障的问题，本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制方法，主要应用于卫星在轨工作时发生执行器故障且受到来自空间的外部扰动力矩以及由于燃料消耗而产生的时变的转动惯量的姿态跟踪控制系统，解决了航天器在轨工作时执行器发生故障且存在时变转动惯量及受到外部扰动力矩影响的问题，保证了系统的容错能力和鲁棒性。

本发明提供了一种考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制方法，包括如下步骤：

(1)建立不考虑执行器故障，但含有外部扰动以及时变转动惯量的航天器姿态跟踪动力学模型，以及建立时变的转动惯量模型；

(2)基于航天器姿态跟踪动力学模型，设计标称控制器以及相应的自适应律，保证无故障时系统的稳定以及跟踪误差的收敛；

(3)在航天器姿态跟踪动力学模型中加入执行器故障，基于标称控制器设计辅助控制器，实现对执行器故障、外部扰动以及时变转动惯量特性的鲁棒性。

所述步骤(1)中不考虑执行器故障，但含有外部扰动以及时变转动惯量的航天器姿态跟踪动力学模型如下：

ω_e＝ω-C(q_e)ω_r

其中，ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T为航天器在本体坐标系下相对于惯性坐标系的姿态角速度，ω₁,ω₂,ω₃分别为在本体坐标系的x轴、y轴和z轴上的角速度分量；ω_r＝[ω_r1,ω_r2,ω_r3]^T为航天器本体坐标系相对于惯性坐标系的期望角速度；ω_e＝[ω_e1,ω_e2,ω_e3]^T为航天器期望角速度与本体角速度的差；q_e＝[q_e0,q_ev]^T＝[q_e0,q_e1,q_e2,q_e3]^T为航天器姿态跟踪误差，表达式为q_ev＝q_r0q_v-q_rv×q_v-q₀q_rv，且满足其中(·)×(·)表示向量叉乘，q＝[q₀,q_v]^T＝[q₀,q₁,q₂,q₃]^T为航天器的姿态单位四元数，其中为与绕欧拉轴旋转的角度有关的标量，α表示绕着欧拉轴转过的一个角度，q_v＝[q₁,q₂,q₃]^T为与欧拉轴方向有关的含有三个元素的列向量，e_x,e_y,e_z代表欧拉轴三个方向上的旋转轴，且满足q₀ ²+q_v ^Tq_v＝1，q_r＝[q_r0,q_rv]^T＝[q_r0,q_r1,q_r2,q_r3]^T为期望的单位四元数，且也满足J为航天器的转动惯量矩阵，且是3×3的正定对称矩阵；u＝[u₁,u₂,u₃]^T为航天器执行机构输出的控制力矩；d为航天器所受实际环境扰动力矩，虽然其值未知但是有界，可以表示为||d||≤d_m，d_m定义为外部扰动的上界值，是一个正的常数；S(ω_e)为斜对称矩阵，其形式为 为运动学方程中与姿态四元数有关的矩阵，其中I为3×3的单位矩阵，C(q_e)∈R³×³为航天器期望姿态到航天器实际姿态的转换矩阵，其表达式为：C(qe)＝C(q)(C(q_r))^T，其中 记

进一步地，外部扰动包括重力梯度力矩、气动力矩和/或太阳辐射压力矩。

进一步地，所述步骤(1)中，建立时变的转动惯量模型如下：

J(t)＝J₀+J₁Ψ(t)

其中，为转动惯量矩阵中未知的不随时间变化的部分；J₁Ψ(t)为转动惯量矩阵中时变的部分，其中m(t)为t时刻剩余的燃料质量；r_f为燃料箱与航天器初始质心之间的距离；r(t)为t时刻航天器瞬时质心与航天器初始质心之间的距离；c为体现燃料质量消耗与控制力矩之间关系的参数，是一个正的常数；||u||为控制力矩的范数。

进一步地，所述步骤(2)中设计标称控制器以及相应的自适应律如下：

s＝ω_e+kq_e

其中，s为用于设计控制器所选取的滑模面；k＞0为待选取的控制参数；θ＝[J₀₁₁,J₀₂₂,J₀₃₃]^T为包含转动惯量未知部分J₀所有特征参数的向量；为向量θ的估计值；γ为自适应律增益参数，且为正的常数；回归矩阵W满足：Wθ＝-S(ω)J₀ω+J₀φ+kJ₀Qω_e，其中 控制器中的H定义为H＝-S(ω)J₁Ψω+J₁Ψφ+kJ₁ΨQω_e，Ω定义为K为控制器增益参数，是正的常数，且满足K＞d_m；上式中的符号函数sgn(·)定义为

进一步地，所述步骤(3)具体为：

加入执行器故障后的航天器姿态跟踪动力学模型以及设计的辅助控制器如下：

u＝D^T(u_nom+u_aux)

其中，航天器动力学方程中的W₁θ定义为W₁θ＝-S(ω)J₀ω+J₀φ，H₁定义为H₁＝-S(ω)J₁Ψω+J₁Ψφ；D为执行机构分配矩阵，且满足秩为rank(D)＝3，使用多于三个的执行器冗余配置的方式，对各个轴向的执行器力矩进行分配；D^T为矩阵D的转置；为执行器实际输出的控制力矩，其中，u＝[u₁,u₂,...,u_n]^T为对应的n个执行器的控制力矩信号，且n≥4，E(t)＝diag(g₁(t),g₂(t),...,g_n(t))为执行机构失效矩阵，是n×n的对角矩阵，g_i(t)，i＝1,2,...,n为各个执行器的失效因子，且满足0≤g_i(t)≤1，这里，如果g_i(t)＝1表示第i个执行器正常工作，如果0＜g_i(t)＜1表示第i个执行器部分失效，如果g_i(t)＝0则表示第i个执行器完全失效，为执行器加性故障力矩，其值未知但是有界，且满足 其中f₀和f_m为两个正的常数；u_aux为设计的辅助控制器；σ_max和σ_min定义为矩阵DED^T特征值的上界值与下界值；K^*为控制器增益参数，是正的常数，且满足K^*≥d_m+f_m。

本发明设计的考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制方法与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明建立了将由于燃料消耗而引起的时变的转动惯量考虑在内的航天器姿态跟踪动力学模型，更加符合实际，能有效地提高控制精度；

(2)此外，建立了明确的基于单燃料箱航天器的时变转动惯量模型，且该模型同样适用于具有对称的多燃料箱的航天器，具有较好的工程实用性；

(3)对于适用的故障类型，本发明对执行器部分失效、全部失效以及执行器加性故障同时存在的情况具有很强的容错能力，能有效地提高航天器可靠性，并且在控制器设计过程中没有用到故障信息，因此不需要设计任何故障检测与诊断模块。

附图说明

图1为航天器姿态跟踪自适应容错控制方法的系统框图；

图2为航天器姿态跟踪自适应容错控制方法的航天器本体坐标系平面示意图；

图3为航天器姿态跟踪自适应容错控制方法的设计流程图。

具体实施方式

下面详细说明本发明的具体实施，有必要在此指出的是，以下实施只是用于本发明的进一步说明，不能理解为对本发明保护范围的限制，该领域技术熟练人员根据上述本发明内容对本发明做出的一些非本质的改进和调整，仍然属于本发明的保护范围。

本发明提供了一种考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制方法，步骤为：首先建立不考虑执行器故障但含有外部扰动和时变转动惯量的航天器姿态跟踪动力学模型，以及时变的转动惯量矩阵模型；然后基于航天器姿态跟踪系统模型设计标称控制器以及相应的自适应律，保证在无故障情况下系统的稳定以及跟踪误差的收敛；接着将故障信息引入到所建立的航天器姿态跟踪动力学模型中，并在标称控制器的基础上设计辅助控制器，实现系统的容错能力；具体步骤如下：

第一步，建立不考虑执行器故障但含有外部扰动和时变转动惯量的航天器姿态跟踪动力学模型为：

ω_e＝ω-C(q_e)ω_r

其中，ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T为航天器在本体坐标系下相对于惯性坐标系的姿态角速度，ω₁,ω₂,ω₃分别为在本体坐标系的x轴、y轴和z轴上的角速度分量，角速度初值可选为ω(0)＝[0.01,-0.01,0.01]^T；ω_r＝[ω_r1,ω_r2,ω_r3]^T为航天器本体坐标系相对于惯性坐标系的期望角速度，可选ω_r(t)＝x(t)[1,1,1]^T，ω_e＝[ω_e1,ω_e2,ω_e3]^T为航天器期望角速度与本体角速度的差，其值可由ω，ω_r和C(q_e)得到；q_e＝[q_e0,q_ev]^T＝[q_e0,q_e1,q_e2,q_e3]^T为航天器姿态跟踪误差，表达式为q_ev＝q_r0q_v-q_rv×q_v-q₀q_rv，且满足其中(·)×(·)表示向量叉乘，q＝[q₀,q_v]^T＝[q₀,q₁,q₂,q₃]^T为航天器的姿态单位四元数，其中为标量，与绕欧拉轴旋转的角度有关，α表示绕着欧拉轴转过的一个角度，q_v＝[q₁,q₂,q₃]^T为含有三个元素的列向量，与欧拉轴方向有关，e_x,e_y,e_z代表欧拉轴三个方向上的旋转轴，且满足q₀ ²+q_v ^Tq_v＝1，其初始值选为q_r＝[q_r0,q_rv]^T＝[q_r0,q_r1,q_r2,q_r3]^T为期望的单位四元数，且也满足其初始值为q_r(0)＝[1,0,0,0]^T；J为航天器的转动惯量矩阵，且是3×3的正定对称矩阵；u＝[u₁,u₂,u₃]^T为航天器执行机构输出的控制力矩；d为航天器所受实际环境扰动力矩，虽然其值未知但是有界，可以表示为||d||≤d_m，d_m定义为外部扰动的上界值，是一个正的常数,这里可取d＝0.06[sin(0.8t)cos(0.5t)cos(0.3t)]^T N·m；S(ω_e)为斜对称矩阵，其形式为 为运动学方程中与姿态四元数有关的矩阵，其中I为3×3的单位矩阵，C(q_e)∈R^3×3为航天器期望姿态到航天器实际姿态的转换矩阵，其表达式为C(q_e)＝C(q)(C(q_r))^T，其中 其值可由q及q_r得到。为书写简便，记

时变的转动惯量矩阵模型如下：

J(t)＝J₀+J₁Ψ(t)

其中，转动惯量矩阵中为未知的不随时间变化的部分，，其值可选取为J₁Ψ(t)为转动惯量矩阵中时变的部分，m(t)为t时刻剩余的燃料质量，其初值为m(0)＝50kg；r_f为燃料箱与航天器初始质心之间的距离，其值选择为r_f＝0.2m；r(t)为t时刻航天器瞬时质心与航天器初始质心之间的距离，其初始值为r(0)＝0；c为体现燃料质量消耗与控制力矩之间关系的参数，是一个正的常数，在这里选择c＝0.03；||u||为控制力矩的范数。

第二步，基于第一步建立的航天器姿态跟踪控制系统模型，设计标称控制器及相应的自适应律如下：

s＝ω_e+kq_e

其中，s为选取的滑模面；k＞0为待选取的控制参数，针对所选取的航天器模型参数，为了取得较好的控制效果，经过调参，其值可选为k＝1；θ＝[J₀₁₁,J₀₂₂,J₀₃₃]^T为包含转动惯量未知部分J₀所有特征参数的向量；为向量θ的估计值，其初始值选为γ为自适应律增益参数，且为正的常数，经过调参，这里选取为γ＝15；回归矩阵W满足Wθ＝-S(ω)J₀ω+J₀φ+kJ₀Qω_e，控制器中的H定义为用于简化控制器表达式；Ω定义为K为控制器增益参数，是正的常数，且满足K＞d_m，这里可选取K＝1.5；上式中的符号函数sgn(·)定义为

第三步，在航天器姿态跟踪动力学模型中加入执行器故障以及设计的辅助控制器如下：

u＝D^T(u_nom+u_aux)

其中，航天器动力学方程中的W₁θ定义为Wθ＝-S(ω)J₀ω+J₀φ，H₁定义为H₁＝-S(ω)J₁Ψω+J₁Ψφ；D为执行机构分配矩阵，且满足秩为rank(D)＝3，这里引入执行器分配矩阵是因为考虑到由于执行器故障可能会引起的执行器输出力矩不足以达到控制目的的问题，为了从硬件角度提高卫星姿态跟踪控制系统的容错能力，考虑使用多于三个的执行器冗余配置的方式，因此需要对各个轴向的执行器力矩进行分配，这里采用6个对称安装的双侧推进器，分配矩阵选择为D^T为矩阵D的转置；为执行器实际输出的控制力矩，其中，u＝[u₁,u₂,...,u_n]^T为对应的n个执行器的控制力矩信号，这里n＝6，E(t)＝diag(g₁(t),g₂(t),...,g_n(t))为执行机构失效矩阵，是n×n的对角矩阵，g_i(t)，i＝1,2,...,n为各个执行器的失效因子，且满足0≤g_i(t)≤1，这里，如果g_i(t)＝1表示第i个执行器正常工作，如果0＜g_i(t)＜1表示第i个执行器部分效能损失，如果g_i(t)＝0则表示第i个执行器完全失效，考虑执行器工作时可能出现的实际故障情况，将其表示为g_i(t)＝0.7＝0.1rand(t_i)+0.1sin(0.5t+iπ/3)，t_i＝mod(t+Δt_i,T)，i＝1,2,...,6，其中为一个产生随机数的函数，Δt_i＝2(i-1)，取样时间T取为T＝13s，并在11s,15s,19s时设置执行器2,4和6完全失效，为执行器加性故障力矩，其值未知但是有界，且满足其值选择为：

其中f₀和f_m为两个正的常数；u_aux为设计的辅助控制器；σ_max和σ_min定义为矩阵DED^T特征值的上界值与下界值，可选取为σ_max＝1.2，σ_min＝0.3；K^*为控制器增益参数，且满足K^*≥d_m+f_m，这里选择K^*＝2。另外，滑模面中的增益参数k以及自适应律中的增益参数γ在这里分别取k＝1.5，γ＝8。

尽管为了说明的目的，已描述了本发明的示例性实施方式，但是本领域的技术人员将理解，不脱离所附权利要求中公开的发明的范围和精神的情况下，可以在形式和细节上进行各种修改、添加和替换等的改变，而所有这些改变都应属于本发明所附权利要求的保护范围，并且本发明要求保护的产品各个部门和方法中的各个步骤，可以以任意组合的形式组合在一起。因此，对本发明中所公开的实施方式的描述并非为了限制本发明的范围，而是用于描述本发明。相应地，本发明的范围不受以上实施方式的限制，而是由权利要求或其等同物进行限定。

Claims (5)

1.一种考虑时变的转动惯量的航天器姿态跟踪自适应容错控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)建立不考虑执行器故障，但含有外部扰动以及时变转动惯量的航天器姿态跟踪动力学模型，以及建立时变的转动惯量模型；

(2)基于航天器姿态跟踪动力学模型，设计标称控制器以及相应的自适应律，保证无故障时系统的稳定以及跟踪误差的收敛；

(3)在航天器姿态跟踪动力学模型中加入执行器故障，基于标称控制器设计辅助控制器，实现对执行器故障、外部扰动以及时变转动惯量特性的鲁棒性；

所述步骤(1)中不考虑执行器故障，但含有外部扰动以及时变转动惯量的航天器姿态跟踪动力学模型如下：

ω_e＝ω-C(q_e)ω_r

其中，ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T为航天器在本体坐标系下相对于惯性坐标系的姿态角速度，ω₁,ω₂,ω₃分别为在本体坐标系的x轴、y轴和z轴上的角速度分量；

ω_r＝[ω_r1,ω_r2,ω_r3]^T为航天器本体坐标系相对于惯性坐标系的期望角速度；

ω_e＝[ω_e1,ω_e2,ω_e3]^T为航天器期望角速度与本体角速度的差；

q_e＝[q_e0,q_ev]^T＝[q_e0,q_e1,q_e2,q_e3]^T为航天器姿态跟踪误差，表达式为

q_ev＝q_r0q_v-q_rv×q_v-q₀q_rv，且满足其中(·)×(·)表示向量叉乘，q＝[q₀,q_v]^T＝[q₀,q₁,q₂,q₃]^T为航天器的姿态单位四元数，其中为与绕欧拉轴旋转的角度有关的标量，α表示绕着欧拉轴转过的一个角度，q_v＝[q₁,q₂,q₃]^T为与欧拉轴方向有关的含有三个元素的列向量， e_x,e_y,e_z代表欧拉轴三个方向上的旋转轴，且满足q₀ ²+q_v ^Tq_v＝1，q_r＝[q_r0,q_rv]^T＝[q_r0,q_r1,q_r2,q_r3]^T为期望的单位四元数，且也满足J为航天器的转动惯量矩阵，且是3×3的正定对称矩阵；u＝[u₁,u₂,u₃]^T为航天器执行机构输出的控制力矩；d为航天器所受实际环境扰动力矩，虽然其值未知但是有界，可以表示为||d||≤d_m，d_m定义为外部扰动的上界值，是一个正的常数；S(ω_e)为斜对称矩阵，其形式为 为运动学方程中与姿态四元数有关的矩阵，其中I为3×3的单位矩阵，C(q_e)∈R^3×3为航天器期望姿态到航天器实际姿态的转换矩阵，其表达式为：C(q_e)＝C(q)(C(q_r))^T，其中 记

2.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：外部扰动包括重力梯度力矩、气动力矩和/或太阳辐射压力矩。

3.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：所述步骤(1)中，建立时变的转动惯量模型如下：

J(t)＝J₀+J₁Ψ(t)

其中，为转动惯量矩阵中未知的不随时间变化的部分；J₁Ψ(t)为转动惯量矩阵中时变的部分，其中m(t)为t时刻剩余的燃料质量；r_f为燃料箱与航天器初始质心之间的距离；r(t)为t时刻航天器瞬时质心与航天器初始质心之间的距离；c为体现燃料质量消耗与控制力矩之间关系的参数，是一个正的常数；||u||为控制力矩的范数。

4.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：所述步骤(2)中设计标称控制器以及相应的自适应律如下：

s＝ω_e+kq_e

其中，s为用于设计控制器所选取的滑模面；k＞0为待选取的控制参数；θ＝[J₀₁₁,J₀₂₂,J₀₃₃]^T为包含转动惯量未知部分J₀所有特征参数的向量；为向量θ的估计值；γ为自适应律增益参数，且为正的常数；回归矩阵W满足：Wθ＝-S(ω)J₀ω+J₀φ+kJ₀Qω_e，其中

控制器中的H定义为H＝-S(ω)J₁Ψω+J₁Ψφ+kJ₁ΨQω_e，Ω定义为K为控制器增益参数，是正的常数，且满足K＞d_m；上式中的符号函数sgn(·)定义为

5.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：所述步骤(3)具体为：

加入执行器故障后的航天器姿态跟踪动力学模型以及设计的辅助控制器如下：

u＝D^T(u_nom+u_aux)

其中，航天器动力学方程中的W₁θ定义为W₁θ＝-S(ω)J₀ω+J₀φ，H₁定义为H₁＝-S(ω)J₁Ψω+J₁Ψφ；D为执行机构分配矩阵，且满足秩为rank(D)＝3，使用多于三个的执行器冗余配置的方式，对各个轴向的执行器力矩进行分配；D^T为矩阵D的转置；为执行器实际输出的控制力矩，其中，u＝[u₁,u₂,...,u_n]^T为对应的n个执行器的控制力矩信号，且n≥4，E(t)＝diag(g₁(t),g₂(t),...,g_n(t))为执行机构失效矩阵，是n×n的对角矩阵，g_i(t)，i＝1,2,...,n为各个执行器的失效因子，且满足0≤g_i(t)≤1，这里，如果g_i(t)＝1表示第i个执行器正常工作，如果0＜g_i(t)＜1表示第i个执行器部分失效，如果g_i(t)＝0则表示第i个执行器完全失效，为执行器加性故障力矩，其值未知但是有界，且满足其中f₀和f_m为两个正的常数；u_aux为设计的辅助控制器；σ_max和σ_min定义为矩阵DED^T特征值的上界值与下界值；K^*为控制器增益参数，是正的常数，且满足K^*≥d_m+f_m。