CN102030263A - 基于运动规划的桥式吊车自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于运动规划的桥式吊车自适应控制方法。该方法包括：制定运动规划，为吊车台车设计一条期望的位置-时间曲线，如果台车沿其运动，可使台车相对快速到达目标位置，而负载摆角也在一个较小的可以接受的范围内。同时，针对不同情况与需求可调整其中参数，使其运输最大速度、加速性能满足实际工况要求与约束；设计自适应跟踪控制器，通过在线实时测量台车位置、速度与负载摆角、角速度，得到控制输出。该控制器可以在未知吊车台车负载质量、吊绳长度、摩擦等阻力参数时，较好地跟踪设定运动曲线，最终使误差、摆角和控制力全程保持在较小范围内，并最终收敛至0。可见，本发明轨迹规划与自适应跟踪控制方法的优越性。

Description

基于运动规划的桥式吊车自适应控制方法

技术领域

本发明属于非线性欠驱动系统自动控制的技术领域，特别是涉及一种基于运动规划的桥式吊车自适应控制方法。

背景技术

桥式吊车是一种十分常见的装配运输工具，它利用绳索将负载与吊车上的台车相连，并通过台车的运动来将负载运送到指定的位置，桥式吊车在港口、仓库、建筑工地等场所得到了广泛的应用。

桥式吊车在运行时，吊车上台车的运动会引起负载的摆动，使得负载可能会和周围的操作工人或者是其它物体发生碰撞，致使负载损坏，甚至导致发生人员伤亡事故，尤其是当台车到达指定位置停止运行后，吊车所悬挂的负载会发生比较强烈的残余摆动，这样不仅会带来较大的安全隐患，同时也严重影响了吊车的工作效率。因此，为了有效避免安全隐患，提高吊车的工作效率，在操作吊车时，一方面需要实现台车的快速准确定位，以满足准确运送负载的要求；另一方面，需要有效地抑制负载的摆动，实现负载的“无摆”或者“微摆”操作。特别是当台车到达指定位置时，负载必须很快地停止摆动，以期提高吊车的工作效率。

目前，为了满足台车的快速准确定位和有效地抑制负载的摆动这两方面的吊车操作要求，一般是通过有经验的工人操纵吊车来实现，具体在操作过程中，工人需要利用他们的经验并通过其眼睛的观测来估计台车的位置与摆角大小，然后选择合理的动作序列来有效抑制负载的摆动，并尽快将它运送到指定的位置，所以一个工人只有在具备多年吊车操作经验，并且掌握娴熟的吊车操作技巧之后，才能利用吊车快速地将负载运送到指定的位置，并有效地抑制负载的摆动。

虽然国内外自动化领域的许多学者针对桥式吊车系统开展了大量研究，针对这种欠驱动系统提出了多种不同的控制方法，力图实现桥式吊车的安全、高效运输，但是目前还没有开发出一种方便、可靠的桥式吊车自动控制系统或方法。

且在已有的控制算法中，又缺乏对未知参数的适应能力。而随任务和状态不同导致的未知参数的变化对各控制算法均有较大影响，很大程度上局限了控制器的功能实现和实用化。

发明内容

本发明目的是克服现有技术存在的上述不足，提供一种基于运动规划的桥式吊车自适应控制方法。

一、系统模型

对于2D桥式吊车系统，如图1所示，其动力学模型用拉格朗日方程表述为：

$M\left(q\right)\stackrel{\·\·}{q}+V_m(q,\stackrel{\·}{q})\stackrel{\·}{q}+G\left(q\right)=U+F_d$

$M\left(q\right)=\left[\begin{array}{cc}{m}_x+m& \mathrm{ml}{C}_x\\ {\mathrm{mlC}}_x& {\mathrm{ml}}^2\end{array}\right]$

$V_m(q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathrm{mlS}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ 0& .0\end{array}\right]$

G(q)＝[0 mglS_x]^T

U(t)＝[f_x 0]^T

$F_d\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}-f_{\mathrm{rx}}-(d_x+d_f)\stackrel{\·}{x}-d_{f}l{C}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\\ -d_{f}l{C}_x\stackrel{\·}{x}-d_f{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\end{array}\right]$

其中q＝[x θ_x]^T代表系统状态向量，包括台车位置x与负载摆角θ_x，U(t)为控制输入力向量，其中f_x为对台车牵引力。M(q)、

与G(q)分别为惯量矩阵、科氏-向心力矩阵与重力向量。而F_d(t)代表摩擦阻力向量，两分量为在广义坐标下的摩擦力分量，包含台车轨道与台车之间摩擦与空气阻尼等。其中，对其主要作用的台车-轨道间摩擦机型如下建模：

$f_{\mathrm{rx}}=f_{r0x}(\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x)-w_{\mathrm{rx}}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x-h_{\mathrm{rx}}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x)))+k_{\mathrm{rx}}\stackrel{\·}{x}$

该模型可有效描述静摩擦、动摩擦以及低速时的stribeck现象，同时在速度为零时的近似兼顾控制器设计时的连续要求。同时在各矩阵与向量中普遍存在台车质量m_x、负载质量m及吊绳长度l等未知参数。当参数未知时，控制器无法对模型进行精确地补偿，从而降低控制精度，甚至影响系统稳定性，即吊车台车不能达到目标位置并使负载摆角收敛至0。

二、控制算法

如前所述，桥式吊车是一类欠驱动系统，所以难以兼顾台车快速运动，而同时使负载摆角的快速抑制。以上两指标需要相互协调达到整个系统的最优。在台车运行时，一类通用的方法为根据负载的摆动情况及时调节台车速度或加速度。而现有调整过程一般基于经验，这就导致了运输效率的低下与操作失败的风险性加大。为此，本发明提出了一种两步控制策略：运动规划与自适应跟踪。

本发明提供的基于运动规划的桥式吊车自适应控制方法基于运动规划的桥式吊车自适应控制方法，包括：

第一、制定运动规划

为吊车台车设计一条期望的运动位置时间曲线，如果台车沿其运动，可使台车相对快速到达目标位置，而负载摆角也在一个较小的可以接受的范围内；为此，将台车位移时间曲线设计为单向平滑的S形曲线，即：

$x_d\left(t\right)=\frac{p_d}{2}+\frac{k_v^2}{{4k}_a}\ln \left(\frac{\cosh (2k_{a}t/k_v-\∈)}{\cosh (2k_{a}t/k_v-\∈-{2p}_d{k}_d/k_v^2)}\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_d\left(t\right)=k_v\frac{\tanh (k_1-\∈)-\tanh (k_{1}t-\∈-p_d{k}_2)}{2}$

${\stackrel{\·\·}{x}}_d\left(t\right)=k_a(\frac{1}{{\cosh }^2(k_{1}t-\∈)}-\frac{1}{{\cosh }^2(k_{1}t-\∈-p_d{k}_2)})$

其中p_d为台车所要达到的目标位置(起始位置为0位置)，k_v、k_a分别为规划的台车最大速度与加速度，ε为调整曲线形状的相关参数。

该曲线所设计的台车位移x_d(t)、速度

加速度

均为光滑连续曲线，且比一般现有的指令曲线有更好的摆角抑制能力，其光滑连续性又为控制器的设计提供了便利；

第二、自适应跟踪控制器的设计

对于实际应用情况，当某些实验参数(吊车台车负载质量、吊绳长度、摩擦等阻力)未知时，为使台车较好的实现对以上设计曲线的跟踪，设计了一种控制器，通过在线实时测量台车位置、速度与负载摆角、角速度，得到控制输出，控制电机等执行器提供相应输出力，带动台车运动，完成运动曲线的跟踪，该控制器具体形式为：

$f_x\left(t\right)={-Y}^T\widehat{\mathrm{\ω}}-k_{p}r-k_d\stackrel{\·}{r}$

其中

r(t)＝x(t)-x_d(t)

为台车现有位置与同时刻运动规划中运动位置时间曲线中的轨迹位置间的误差，而

为误差导数，

为控制器中的PD控制项，而

为参数适应项。其中：

ω＝[f_r0x f_r0xw_rx k_rx+d_x+d_f d_fl m_x+m]^T

为未知参数向量，而

$Y\left(t\right)={\left[\begin{array}{ccccc}-\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x)& \tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x-h_x\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x))& -\stackrel{\·}{x}& -2C_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x& -{\stackrel{\·\·}{x}}_d\end{array}\right]}^T$

为未知适应项系数；

n(t)＝Y^Tω

$n\left(t\right)=-f_{r0x}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x)-k_{\mathrm{rx}}\stackrel{\·}{x}+f_{r0x}{w}_{\mathrm{rx}}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x-h_{\mathrm{rx}}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x))$

$-(d_x+d_f)\stackrel{\·}{x}-{2d}_f{\mathrm{lC}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-(m_x+m){\stackrel{\·\·}{x}}_d$

为控制器设计时所需适应的未知参数式。

我们对其中的未知参数项进行估计，有参数更新率：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}\left(t\right)=\mathrm{\ΓY}\stackrel{\·}{r}$

其中Γ为一正定对称阵，而对

进行在线积分可得到ω的估计值

代入上述控制器。

三、控制器稳定性证明

该部分从理论上说明了控制器的作用和参数适应功能，即在存在未知参数时，台车位置误差与负载摆角误差在控制器左右下随时间可趋于0：

$\underset{t\→\∞}{\lim }\left(\begin{array}{cccc}x\left(t\right)& \stackrel{\·}{x}\left(t\right)& {\mathrm{\θ}}_x\left(t\right)& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\left(t\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{x}_d\left(t\right)& {\stackrel{\·}{x}}_d\left(t\right)& 0& 0\end{array}\right)$

首先，定义系统能量函数：

$V\left(t\right)=E+\frac{1}{2}{k}_p{r}^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\ω}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\ω}}$

其对时间的导数为

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=-k_d{\stackrel{\·}{r}}^2-d_f{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2-{\mathrm{lC}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x(d_f{\stackrel{\·}{x}}_d+m{\stackrel{\·\·}{x}}_d)$

由不等式

$\underset{\‾}{-{\mathrm{lC}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x(d_f{\stackrel{\·}{x}}_d+m{\stackrel{\·\·}{x}}_d)\≤\frac{1}{4}{d}_f{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2+\frac{{(d_f{\stackrel{\·}{x}}_d+m{\stackrel{\·\·}{x}}_d)}^2}{d_f}}$

可得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-k_d{\stackrel{\·}{r}}^2-\frac{3}{4}{d}_f{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2+\frac{{(d_f{\stackrel{\·}{x}}_d+m{\stackrel{\·\·}{x}}_d)}^2}{d_f}$

即 $V\left(t\right)\≤V\left(0\right)+{\∫}_0^t\frac{{(d_f{\stackrel{\·}{x}}_d+m{\stackrel{\·\·}{x}}_d)}^2}{d_f}\mathrm{dt}-k_d{\∫}_0^t{\stackrel{\·}{r}}^2\mathrm{dt}-\frac{3}{4}{d}_f{l}^2{\∫}_0^t{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2\mathrm{dt}$

由于所设计轨迹的有界性：

可知以下变量的有界性：

同时由于

$k_d{\∫}_0^t{\stackrel{\·}{r}}^2\mathrm{dt}+\frac{3}{4}{d}_f{l}^2{\∫}_0^t{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2\mathrm{dt}\≤{\∫}_0^t\frac{{(d_f{\stackrel{\·}{x}}_d+m{\stackrel{\·\·}{x}}_d)}^2}{\%d_f}\mathrm{dt}+V\left(0\right)-V\left(t\right)$

可得

所以由barbalat引理可得

$\underset{t\→\∞}{\lim }\stackrel{\·}{r}\left(t\right)=0,\underset{t\→\∞}{\lim }{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x\left(t\right)=0$

又

$\underset{t\→\∞}{\lim }{\stackrel{\·}{x}}_d\left(t\right)=0,\underset{t\→\∞}{\lim }{\stackrel{\·}{x}}_d\left(t\right)=0$

于是

$\underset{t\→\∞}{\lim }\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=0,\underset{t\→\∞}{\lim }Y\left(t\right)=0$

台车加速度可写为：

$\stackrel{\·\·}{x}\left(t\right)=f_{\mathrm{aux}1}\left(t\right)+f_{\mathrm{aux}2}\left(t\right)$

其中

$f_{\mathrm{aux}1}\left(t\right)=({\mathrm{mlS}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2+d_f{C}_x^2\stackrel{\·}{x}-k_d\stackrel{\·}{r}-f_{\mathrm{rx}}-(d_x+d_f)\stackrel{\·}{x}-Y^T\widehat{\mathrm{\ω}})/(m_x+{\mathrm{mS}}_x^2)$

$f_{\mathrm{aux}2}\left(t\right)=({\mathrm{mgS}}_x{C}_x-k_{p}r)/(m_x+{\mathrm{mS}}_x^2)$

由以上分析，可得：

应用barbalat扩展引理可得

$\underset{\‾}{\underset{t\→\∞}{\lim }\stackrel{\·\·}{x}\left(t\right)}=0.$

对摆角的分析：

由摆角动力学方程可得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x\left(t\right)=-\frac{C_x}{l}\stackrel{\·\·}{x}-\frac{{\mathrm{gS}}_x}{l}-\frac{d_f{C}_x}{\mathrm{ml}}\stackrel{\·}{x}-\frac{d_f}{m}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x$

由以上分析有

${\lim }_{t\→\∞}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x\left(t\right)=0,$ 与 $\underset{t\→\∞}{\lim }{S}_x\left(t\right)=0$

有

$\underset{t\→\∞}{\lim }{\mathrm{\θ}}_x\left(t\right)=0$

同时

$\underset{t\→\∞}{\lim }{f}_x\left(t\right)=0,\underset{t\→\∞}{\lim }r\left(t\right)=0$

证明完成。

本发明的优点和积极效果：

本发明基于工程实际需要，将自适应控制方法应用于具体被控对象桥式吊车负载的水平运输控制上。针对可能随任务、工作环境等变化的参数吊绳长度、负载及台车质量、相应各部分摩擦力水平等参数进行自适应，即克服未知参数的影响，将负载运至目标位置，并使摆角收敛至0。对设计的以上算法，经过理论证明稳定性，从理论上表明了控制器的可靠性。同时经过试验平台的验证进一步说明了改控制器可较好地完成上述控制要求。

考虑到各国现有吊车的控制基本均由人工进行操纵，研究该方向的自动控制方法无疑对安全、效率、精确性的提升有较大帮助，同时针对实际操作中位置参数的适应，进一步加强了自动控制算法的实用性，具有明显的优点与积极效果。

附图说明

图1是现有技术中2D桥式吊车系统示意图。

图2是实验平台示意图。

图3是试验1结果图。

图4是试验2结果图。

图5是试验3结果图。

图中，1--台车，2--桥架，3--负载，4--台车，5--卷轴，6--桥架，7--轨道，8--负载。

具体实施方式

实施例1：

第一、制定运动规划

目的是为台车设计一条期望的运动位置时间曲线，如果台车沿其运动，可使台车相对快速到达目标位置，而负载摆角也在一个较小的可以接受的范围内。为此，本发明将台车位移时间曲线设计为单向平滑的S形曲线，即：

$x_d\left(t\right)=\frac{p_d}{2}+\frac{k_v^2}{{4k}_a}\ln \left(\frac{\cosh (2k_{a}t/k_v-\∈)}{\cosh (2k_{a}t/k_v-\∈-{2p}_d{k}_d/k_v^2)}\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_d\left(t\right)=k_v\frac{\tanh (k_1-\∈)-\tanh (k_{1}t-\∈-p_d{k}_2)}{2}$

${\stackrel{\·\·}{x}}_d\left(t\right)=k_a(\frac{1}{{\cosh }^2(k_{1}t-\∈)}-\frac{1}{{\cosh }^2(k_{1}t-\∈-p_d{k}_2)})$

该曲线所设计的台车位移x_d(t)、速度

加速度

均为光滑连续曲线。且比一般现有的指令曲线有更好的摆角抑制能力。同时，针对不同情况与需求可调整其中参数。使其运输最大速度、加速性能满足实际工况要求与约束。

第二、自适应跟踪控制器的设计

对于实际应用情况，为使台车较好的实现对以上设计曲线的跟踪，本发明设计了一种控制器，通过在线实时测量台车位置、速度与负载摆角、角速度，得到控制输出，使电机等执行器提供相应输出力，带动台车运动，完成运动曲线的跟踪。而对于一般控制器而言，台车本身质量、所运输负载质量、吊绳长度以及台车与轨道之间的摩擦力中的某些参数是控制器设计的必需参数，而本发明的控制器可以在以上参数未知时提供较好的控制输出，即具有相应的自适应能力。

该控制器具体形式为：

$f_x\left(t\right)={-Y}^T\widehat{\mathrm{\ω}}-k_{p}r-k_d\stackrel{\·}{r}$

其中

r(t)＝x(t)-x_d(t)

为台车现有位置与同时刻运动规划中运动位置时间曲线中的轨迹位置见的误差。而为误差导数，

$-k_{p}r-k_d\stackrel{\·}{r}$

为控制器中的PD控制项。而

为参数适应项。其中：

ω＝[f_r0x f_r0xw_rx d_rx+d_x+d_f d_flm_x+m]^T

为未知参数向量，而

$Y\left(t\right)={\left[\begin{array}{ccccc}-\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x)& \tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x-h_x\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x))& -\stackrel{\·}{x}& -2C_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x& -{\stackrel{\·\·}{x}}_d\end{array}\right]}^T$

为未知适应项系数。

n(t)＝Y^Tω

$n\left(t\right)=-f_{r0x}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x)-k_{\mathrm{rx}}\stackrel{\·}{x}+f_{r0x}{w}_{\mathrm{rx}}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x-h_{\mathrm{rx}}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x))$

$-(d_x+d_f)\stackrel{\·}{x}-{2d}_f{\mathrm{lC}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-(m_x+m){\stackrel{\·\·}{x}}_d$

为控制其设计时所需适应的未知参数式。

本发明对其中的位置参数项进行估计，有参数更新率：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}\left(t\right)=\mathrm{\ΓY}\stackrel{\·}{r}$

其中Γ为一正定对称阵，而对

进行在线积分可得到ω的估计值

代入上述控制器。完成控制器的求解过程。

四、实验效果描述

为验证说明上述控制器的有效性，本发明在桥式吊车模拟机械平台进行了实际实验验证，见图2。

其控制器与系统参数为：

k_v＝0.4，k_a＝0.15，ε＝2.2

k_p＝200，k_d＝50，Γ＝2I₅

三组实验参数(负载质量、吊绳长度)为：

1.l＝0.60m，m＝1.025kg

2.l＝0.80m，m＝1.025kg

3.l＝0.75m，m＝2.025kg

实验效果依次为附图3至图5所示，

图3为试验1结果图，由该图说明控制器在条件l＝0.60m，m＝1.025kg下的台车位置曲线跟踪情况(实现为台车实际未知变化，虚线为规划的轨迹)及负载摆角变化关系，以及控制器输出的力指令曲线，均有较好的性能，即台车较好跟踪了规划的轨迹，同时保证摆角的收敛，同时整个过程中力指令始终在合理的范围内。

图4为试验2结果图，由该图说明控制器在条件l＝0.80m，m＝1.025kg下的台车位置曲线跟踪情况(实现为台车实际未知变化，虚线为规划的轨迹)及负载摆角变化关系，以及控制器输出的力指令曲线，均有较好的性能，即台车较好跟踪了规划的轨迹，同时保证摆角的收敛，同时整个过程中力指令始终在合理的范围内。

图5为试验3结果图，由该图说明控制器在条件l＝0.75m，m＝2.025kg下的台车位置曲线跟踪情况(实现为台车实际未知变化，虚线为规划的轨迹)及负载摆角变化关系，以及控制器输出的力指令曲线，均有较好的性能，即台车较好跟踪了规划的轨迹，同时保证摆角的收敛，同时整个过程中力指令始终在合理的范围内。

综合以上三组实验结果可以看出，对不同的负载质量、吊绳长度，和相应不同的摩擦力水平，控制器均可对其进行适应，从而较好跟踪设定运动曲线(虚线)，且最终误差很小，而摆角也全程保持在较小范围内，最终收敛至0，控制力也全程保持在较小范围内。

可见，实验体现了本发明控制方法的优越性。

Claims (1)

1.一种基于运动规划的桥式吊车自适应控制方法，其特征在于该方法包括：

第一、台车运动规划

为吊车台车设计一条期望的位置一时间曲线，如果台车沿其运动，可使台车快速到达目标位置，而负载摆角也在一个可以接受的范围内；为此，将位置-时间曲线设计为单向平滑的S形曲线，即：

$x_d\left(t\right)=\frac{p_d}{2}+\frac{k_v^2}{{4k}_a}\ln \left(\frac{\cosh (2k_{a}t/k_v-\∈)}{\cosh (2k_{a}t/k_v-\∈-{2p}_d{k}_d/k_v^2)}\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_d\left(t\right)=k_v\frac{\tanh (k_1-\∈)-\tanh (k_{1}t-\∈-p_d{k}_2)}{2}$

${\stackrel{\·\·}{x}}_d\left(t\right)=k_a(\frac{1}{{\cosh }^2(k_{1}t-\∈)}-\frac{1}{{\cosh }^2(k_{1}t-\∈-p_d{k}_2)})$

其中p_d为台车所要达到的目标位置(起始位置为0位置)，k_v、k_a分别为允许的台车最大速度与加速度，ε为调整曲线形状的相关参数；该曲线所设计的台车位移x_d(t)、速度

加速度

均为光滑连续曲线，且比现有的指令曲线有更好的摆角抑制能力；

第二、自适应跟踪控制器的设计

对于实际应用情况，当负载质量、吊绳长度、摩擦阻力未知时，为使台车跟踪以上曲线，设计了一种自适应控制器，通过在线实时测量台车位置、速度与负载摆角、角速度，得到控制输出，控制电机与执行器提供相应输出力，带动台车运动，完成运动曲线的跟踪，并适应未知参数，该控制器具体形式如下：

$f_x\left(t\right)={-Y}^T\widehat{\mathrm{\ω}}-k_{p}r-k_d\stackrel{\·}{r}$

其中

r(t)＝x(t)-x_d(t)

为台车现有位置与运动规划曲线的误差，而

为该误差导数；为控制器中的PD控制项，而

为参数适应项，其中：

ω＝[f_r0x f_r0xw_rx k_rx+d_x+d_f d_fl m_x+m]^T

为位置参数向量，而

$Y\left(t\right)={\left[\begin{array}{ccccc}-\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x)& \tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x-h_x\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x))& -\stackrel{\·}{x}& -2C_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x& -{\stackrel{\·\·}{x}}_d\end{array}\right]}^T$

为未知适应项系数；

n(t)＝Y^Tω

$n\left(t\right)=-f_{r0x}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x)-k_{\mathrm{rx}}\stackrel{\·}{x}+f_{r0x}{w}_{\mathrm{rx}}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x-h_{\mathrm{rx}}\tanh (\stackrel{\·}{x}/{\mathrm{\η}}_x))$

$-(d_x+d_f)\stackrel{\·}{x}-{2d}_f{\mathrm{lC}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-(m_x+m){\stackrel{\·\·}{x}}_d$

为控制器设计时所需适应的未知参数式，为吊车各部分质量m_x与m、吊绳长度l、摩擦阻力f_r0x及其阻力因数k_rx、d_x、d_f与w_rx的线性组合项；我们对其中的未知参数项进行在线估计，参数更新律如下：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}\left(t\right)=\mathrm{\ΓY}\stackrel{\·}{r}$

其中Γ为一正定对称阵，而对

进行在线积分即可得到ω的估计值。

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