CN102765665A

CN102765665A - 基于负载广义运动的桥式吊车非线性耦合控制方法

Info

Publication number: CN102765665A
Application number: CN2012102435367A
Authority: CN
Inventors: 方勇纯; 孙宁; 孙秀云; 张雪波
Original assignee: Nankai University
Current assignee: Nankai University
Priority date: 2012-07-13
Filing date: 2012-07-13
Publication date: 2012-11-07

Abstract

基于负载广义运动的桥式吊车非线性耦合控制方法。针对欠驱动吊车系统，提出了一种基于负载广义运动的非线性耦合控制方法，该方法具有良好的台车定位与负载摆动消除性能。相比较已有的吊车控制方法，该方法既适用于镇定控制又适用于轨迹跟踪控制。该方法包括：设计了一个类似于负载水平位移的信号，并在此基础之上构造了一种新的误差信号，增强了台车与负载之间的耦合关系；提出了一种新颖的非线性耦合控制方法，将吊车系统转化为一个由负载摆动子系统与误差信号子系统组成的互联系统。借助输入—状态稳定性理论与拉塞尔不变性原理证明了闭环系统的控制性能。实验结果表明，本发明所提出的控制方法能取得良好的控制效果，具有很好的实际应用价值。

Description

基于负载广义运动的桥式吊车非线性耦合控制方法

技术领域

本发明属于非线性欠驱动机电系统自动控制的技术领域，特别是涉及一种基于负载广义运动的桥式吊车非线性耦合控制方法。

背景技术

目前，桥式吊车在工业、加工业、建筑业等领域已经得到了非常广泛的应用。由桥式吊车的机械结构可知，台车在电机的驱动下沿桥架在水平方向上运动，而负载则通过吊绳悬挂在台车下随之运动，无法对其进行直接控制，因此吊车属于典型的欠驱动机电系统[1]。由于受到惯性及外界干扰的影响，在运送过程中，负载会不可避免地产生摆动，这样不仅降低了整个系统的工作效率，而且可能会导致较大的安全隐患。桥式吊车的工作目标是将负载（如钢材、建筑材料、货物等）从其初始位置运送到目标位置正上方，然后将其平稳地放置在目标位置。因此，对于吊车控制而言，一方面需要台车尽可能快地到达目标位置上方；另一方面，在整个运送过程中，应将负载摆动控制在一个合理的范围内。遗憾的是，由于系统的欠驱动特性，难以同时兼顾这两个方面。就目前而言，绝大多数在实际中应用的桥式吊车仍然采用人工控制方法，系统的运行效率在很大程度上依赖于工人师傅的操作经验，而培训一个熟练的操作人员则需花费大量的时间与财力。此外，在一些极端的应用场合，如核物质运送，人工操作具有极高的危险性。为此，高性能桥式吊车自动控制方法的设计与实现显得愈加重要。

目前，桥式吊车的控制方法大致可分为开环控制[2-6]、闭环控制[7-10]以及智能控制[11-12]三类。开环控制方法在没有外界干扰的情况下能取得良好的控制效果。然而，实际应用场合中不可避免地存在各种外界干扰，如风力、摩擦等，这些因素在一定程度上降低了开环方法的实用性。相比之下，闭环控制与智能控制方法则可较好的解决这一问题。就目前而言，绝大多数闭环反馈控制方法都面向镇定控制策略，而由工业机器人的控制经验可知，轨迹跟踪控制往往能取得优于镇定策略的控制效果。而已有的轨迹跟踪控制方法，如文献[9],[10]中提出的跟踪策略，均要求所规划的轨迹应满足大量的约束条件，如参考轨迹中台车的速度应为非负，这些条件限制了其在桥式吊车系统上的实际应用性能。

发明内容

本发明目的是解决现有技术存在的上述不足，提供一种既适用于镇定控制，又能用以轨迹跟踪控制的桥式吊车非线性耦合控制方法，旨在提高控制系统的瞬态性能，同时放宽对参考轨迹所作的约束条件。

本发明致力于通过分析台车与负载之间的动态耦合关系，构造一种新颖的基于负载广义运动的非线性耦合控制方法，放宽对参考轨迹的限制条件，提高台车的跟踪性能与实现负载摆动的快速消除，并将其应用于实际吊车平台进行实验，提高系统的工作效率。

本发明提供的基于负载广义运动的桥式吊车非线性耦合控制方法，包括如下步骤：

步骤1、参考轨迹选取

首先，确定一条台车参考轨迹x_d(t)，以便引导台车到达目标位置p_d，其中，t表示时间；满足如下条件的轨迹均能够用作参考轨迹x_d(t)：

a)x_d(t)有界，即x_d(t)∈L_∞，且在有限的时间t_f内，x_d(t)趋于台车目标的位置p_d，

其中，起始时间为0时刻，起始位置为0；

b)x_d(t)的一阶导数

与二阶导数

均有界，即且经过t_f后，

{\overset{\cdot}{x}}_{d} (t) = 0,

{\overset{\cdot \cdot}{x}}_{d} (t) = 0;

对于镇定控制，直接选取x_d(t)≡p_d。

步骤2、误差信号构造

定义如下误差信号ξ(t)及其前二阶导数信号

ξ (t) = η_{d} (t) - η (t) + k_{Θ} {&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ = x_{d} (t) - η (t) + k_{Θ} {&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ - - - (10)

\dot{ξ} (t) = {\dot{η}}_{d} (t) - \dot{η} (t) + k_{Θ} θ (t) = {\dot{x}}_{d} (t) - \dot{η} (t) + k_{Θ} θ (t) - - - (11)

\overset{. .}{ξ} (t) = {\overset{. .}{η}}_{d} (t) - \overset{. .}{η} (t) + k_{Θ} θ (t) = {\overset{. .}{x}}_{d} (t) - \overset{. .}{η} (t) + k_{Θ} θ (t) - - - (12)

其中，η(t)＝x(t)+λsinθ(t)为负载的广义水平位移信号，x(t)为台车位置，θ(t)为负载摆角，

分别表示η(t)关于时间的一阶、二阶导数；η_d(t)＝x_d(t)+λsin(0)＝x_d(t)表示负载广义期望轨迹，

分别为η_d(t)关于时间的一阶、二阶导数，0<λ<l为广义绳长，在0～l之间调节，l为吊绳长度；k_Θ为正的控制增益；为θ(t)关于时间的一阶导数（即角速度），

为θ(t)关于时间的积分。

步骤3、控制律的确定

确定一种既能用于跟踪、又能用于镇定的非线性状态反馈控制律F_a(t)如下：

\begin{matrix} F_{a} (t) = m (λ, θ) [2 k_{ξ} \dot{ξ} (t) + 2 k_{ξ}^{2} (t) + k_{θ} \dot{θ} (t) + ({\overset{. .}{x}}_{d} (t) + k_{Θ} \dot{θ} (t))] \\ + f (λ, θ, \dot{θ}) + f_{r} (t) \end{matrix} - - - (15)

其中，k_ξ，k_θ为正的控制增益，根据系统响应进行调节，其中k_Θ，k_θ满足k_Θ/k_θ>1；f_γ(t)为轨道摩擦力前馈补偿项；

f_{r} (t) = f_{r 0} \tanh (\dot{x} (t) / γ) - k_{r} | \dot{x} (t) | \dot{x} (t),

f_γo，k_γ，γ为摩擦参数，通过离线实验事先标定获得，tanh(·)表示双曲正切函数；

表示台车速度，辅助函数m(λ，θ)与分别表示：

m (λ, θ) = \frac{M + m si n^{2} θ (t)}{l - λ \cos^{2} θ (t)} l,

(9)

f (λ, θ, \dot{θ}) = [(M + m) λ - ml] \sin θ (t) \frac{g \cos θ (t) + l {\dot{θ}}^{2} (t)}{l - λ \cos^{2} θ (t)}

式中，M，m分别表示台车与负载质量，g为重力加速度。

步骤4、控制方法的实现

通过借助传感器在线获取的台车位置x(t)、速度

负载摆角θ(t)、及角速度

结合选取参考轨迹x_d(t)，根据式(15)实时计算得到相应的控制信号，控制吊车系统的驱动器与电机输出控制力，实现控制目标。

本发明理论依据分析

1.系统模型与变换

二维桥式吊车系统的动力学模型表示如下：

(M + m) \overset{. .}{x} + ml \overset{. .}{θ} \cos θ - ml {\dot{θ}}^{2} \sin θ {= F}_{a} (t) - f_{r} (t)

(1)

{ml}^{2} \overset{. .}{θ} + ml \cos θ \overset{. .}{x} + mgl \sin θ = 0

其中，M，m分别表示台车与负载的质量；x(t)表示台车位置，

表示台车加速度；t表示时间，变量后面(t)表示该变量为关于时间的变量，为简明起见，在公式中略去大部分变量中的(t)；θ(t)为负载摆角，

为角速度，

为角加速度；l为吊绳长度；g为重力加速度；F_a(t)为电机提供给台车的驱动力；f_γ(t)则为轨道摩擦力，具有如下形式：

f_{r} (t) = f_{r 0} \tanh (\dot{x} (t) / γ) - k_{r} | \dot{x} (t) | \dot{x} (t) - - - (2)

其中，f_γo，k_γ，γ为摩擦参数，可通过离线实验事先标定获得，tanh(·)表示双曲正切函数，

表示台车速度。在本发明中，摩擦力模型(2)将用于轨道摩擦力的前馈补偿。

负载的水平位移x_p(t)表示为：

x_p＝x+lsinθ (3)

基于其结构，在此构造如下的负载广义水平位移信号η(t)：

η＝x+λsinθ (4)

其中，0<λ<l为广义绳长（并非真实绳长），而是一个0～l之间的可调参数，方便调节控制系统的性能。进一步，对式(4)关于时间求一阶、二阶导数得：

\dot{η} = \dot{x} + λ \dot{θ} \cos θ - - - (5)

\overset{. .}{η} = \overset{. .}{x} + λ \overset{. .}{θ} \cos θ - λ {\dot{θ}}^{2} \sin θ - - - (6)

其中，

分别表示η(t)关于时间的一阶、二阶导数。将式(6)代入式(1)中第2个方程，并整理得：

(l - λ \cos^{2} θ) \overset{. .}{θ} + λ {\dot{θ}}^{2} \sin θ \cos θ + g \sin θ + \cos θ \overset{. .}{η} = 0 - - - (7)

将式(6)与(7)代入式(1)中第1个公式，将其整理为：

m (λ, θ) \overset{. .}{η} + f (λ, θ, \dot{θ}) = F_{a} (t) - f_{r} (t) - - - (8)

其中，为简明起见，用辅助函数m(λ，θ)与

分别表示如下关系式：

m (λ, θ) = \frac{M + m \sin^{2} θ (t)}{l - λ \cos^{2} θ (t)} l,

(9)

f (λ, θ, \dot{θ}) = [(M + m) λ - ml] \sin θ (t) \frac{g \cos θ (t) + l {\dot{θ}}^{2} (t)}{l - λ \cos^{2} θ (t)}

经过上述一系列变换，已将原吊车系统动力学模型(1)转换为一个由θ-子系统(7)与η-子系统(8)组成的新系统，它们是随后进行控制器设计的基础。

考虑到实际吊车系统的工作情况，在运送过程中，负载不可能到达桥架上方，在此做如下假设[3-7]：

假设1：在运送过程中，负载始终位于桥架下方，即：

-π/2<θ(t)<π/2，t≥0

2.控制律设计与稳定性分析

本发明提供的基于负载广义运动的桥式吊车非线性耦合控制方法包括：

第2.1、参考轨迹选取

在进行控制器设计之前，需确定一条台车参考轨迹，引导台车到达目标位置。在此，参考轨迹x_d(t)应满足如下条件：

a)x_d(t)有界，即x_d(t)∈L_∞，且在有限的时间t_f内（起始时间为0时刻），x_d(t)趋于台车目标位置p_d（起始位置为0）；

b)x_d(t)的一阶导数与二阶导数

均有界，即

且经过t_f后，

{\overset{\cdot}{x}}_{d} (t) = 0,

{\overset{\cdot \cdot}{x}}_{d} (t) = 0 .

常规轨迹跟踪控制方法往往需要x_d(t)的三阶导数

有界且要求参考轨迹的一阶导数为非负，即

这些附加约束极大地限制了参考轨迹的选取范围，一些经典且高效的轨迹，如机器人控制中常用的梯形速度轨迹，由于不满足这些约束而不能与常规的吊车轨迹跟踪控制方法相结合。然而，从上述条件a)—b)知，本发明提出的方法无需这些假设，拓宽了可用于跟踪的参考轨迹的范围，在很大程度上提高了本方法的实用性。并且，如果选取x_d(t)≡p_d，则该方法可用以镇定控制。

本发明的控制目标是使台车定位到目标位置，同时使负载摆角快速衰减为零。为此，定义如下误差ξ(t)及其前二阶导数信号

ξ (t) = η_{d} (t) - η (t) + k_{Θ} {&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ = x_{d} (t) - η (t) + k_{Θ} {&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ - - - (10)

\dot{ξ} (t) = {\dot{η}}_{d} (t) - \dot{η} (t) + k_{Θ} θ (t) = {\dot{x}}_{d} (t) - \dot{η} (t) + k_{Θ} θ (t) - - - (11)

\overset{. .}{ξ} (t) = {\overset{. .}{η}}_{d} (t) - \overset{. .}{η} (t) + k_{Θ} θ (t) = {\overset{. .}{x}}_{d} (t) - \overset{. .}{η} (t) + k_{Θ} θ (t) - - - (12)

其中，η_d(t)＝x_d(t)+λsin(0)＝x_d(t)表示负载广义期望轨迹，x_d(t)表示台车参考轨迹，k_Θ为正的控制增益，为θ(t)关于时间的积分。利用式(12)，将式(7)与(8)改写如下：

(l - λ \cos^{2} θ) \overset{. .}{θ} + λ {\dot{θ}}^{2} \sin θ \cos θ + g \sin θ = \cos θ (\overset{. .}{ξ} - {\overset{. .}{x}}_{d} - k_{Θ} \dot{θ}) - - - (13)

m (λ, θ) \overset{. .}{ξ} - m (λ, θ) ({\overset{. .}{x}}_{d} + k_{Θ} \dot{θ}) - f (λ, θ, \dot{θ}) + F_{a} (t) - f_{r} (t) = 0 - - - (14)

基于式(13)与(14)，设计如下控制律：

\begin{matrix} F_{a} (t) = m (λ, θ) [2 k_{ξ} \dot{ξ} (t) + 2 k_{ξ}^{2} (t) + k_{θ} \dot{θ} (t) + ({\overset{. .}{x}}_{d} (t) + k_{Θ} \dot{θ} (t))] \\ + f (λ, θ, \dot{θ}) + f_{r} (t) \end{matrix} - - - (15)

其中，k_ξ，k_θ为正的控制增益，f_γ(t)为摩擦力前馈补偿项（见式(2)）。在此，控制增益选取应满足k_Θ/k_θ>1，该关系表明总存在足够小的正数δ>0使得k_Θ/k_θ＝1+δ>1，进一步能够推知，只要k_Θ/k_θ>1，总存在正数0<α<1使得下面不等式成立：

\frac{k_{Θ}}{k_{θ}} > \frac{2}{α} - 1 - - - (16)

将控制律(15)代入式(14)，得如下ξ-子系统：

\overset{. .}{ξ} + 2 k_{ξ} \dot{ξ} + {2 k}_{ξ}^{2} ξ + k_{θ} \dot{θ} = 0 - - - (17)

可以证明，控制律(15)能使得台车快速地到达目标位置并有效地消除负载的摆动。

第2.2、稳定性分析

该部分将通过严格的数学分析，说明控制律(15)能保证台车位置快速收敛到目标位置p_d，同时负载摆角趋于零，即：

\lim_{t &RightArrow; \infty} {[x (t), \dot{x} (t), θ (t), \dot{θ} (t)]}^{T} = {[p_{d}, 0,0,0]}^{T} - - - (18)

其中，上标T表示向量的转置。

为证明结论(18)，首先定义如下信号e(t)：

e = {[\dot{ξ} + k_{ξ} ξ, k_{ξ} ξ]}^{T} - - - (19)

并考虑如下Lyapunov候选函数V_ξ(t)：

V_{ξ} (t) = \frac{1}{2} {| | e | |}^{2} = \frac{1}{2} {(\dot{ξ} + k_{ξ} ξ)}^{2} + \frac{1}{2} k_{ξ}^{2} ξ^{2} - - - (20)

式中，‖·‖表示向量的欧几里德范数。对式(20)关于时间求导，代入式(17)，并整理得：

{\overset{\cdot}{V}}_{ξ} (t) \leq - k_{ξ} (1 - α_{1}) {| | e | |}^{2} - | | e | | (k_{ξ} α_{1} | | e | | - k_{θ} | \dot{θ} |) - - - (21)

其中，为V_ξ(t)关于时间的导数，0<α₁<1为常数。那么，由式(21)知，只要下式成立：

| | e | | &GreaterEqual; \frac{k_{θ}}{k_{ξ} α_{1}} | \dot{θ} (t) | \overset{Δ}{=} κ_{e}^{\dot{θ}} | \dot{θ} (t) | - - - (22)

其中，

为定义符号，

κ_{e}^{\dot{θ}} \overset{Δ}{=} k_{θ} / (k_{ξ} α_{1}) .

我们有：

{\dot{V}}_{ξ} \leq k_{ξ} (1 - α_{1}) {| | e | |}^{2} = - 2 k_{ξ} (1 - α_{1}) V_{ξ} (t) \leq 0 - - - (23)

结合式(20)，得：

V_{ξ} (t) \leq V_{ξ} (0) \cdot \exp {- 2 k_{ξ} (1 - α_{1}) t} &DoubleRightArrow; | | e (t) | | \leq | | e (0) | | \cdot \exp {- k_{ξ} (1 - α_{1}) t} - - - (24)

其中，V_ξ(0)，e(0)分别表示V_ξ(t)，e(t)的初始值。那么，联立式(22)至(24)，得：

| | e (t) | | \leq | | e (0) | | \cdot \exp {- k_{ξ} (1 - α_{1}) t} + κ_{e}^{\dot{θ}} | \dot{θ} (t) | - - - (25)

因此，以

为输入、e(t)为输出的ξ-子系统(17)为指数输入—状态稳定（exp-ISS，exponentially input-to-state stable）。

接下来，考虑第2个Lyapunov候选函数V_θ(t)：

V_{θ} (t) = \frac{1}{2} (l - λ \cos^{2} θ) {\dot{θ}}^{2} + g (1 - \cos θ) - - - (26)

在此，对式(26)关于时间求导，并整理得：

{\dot{V}}_{θ} (t) = \dot{θ} \cos θ (\overset{. .}{ξ} - {\overset{. .}{x}}_{d} - k_{Θ} \dot{θ})

= - \cos θ (k_{θ} + k_{Θ}) {\dot{θ}}^{2} - 2 k_{ξ} (\dot{ξ} + k_{ξ} ξ) \dot{θ} \cos θ - \dot{θ} \cos θ {\overset{. .}{x}}_{d}

(27)

\leq - (1 - α_{2} - α_{3}) \cos θ (k_{θ} + k_{Θ}) {| \dot{θ} |}^{2} - \cos θ | \dot{θ} | [α_{2} (k_{θ} + k_{Θ}) | \dot{θ} |

- 2 k_{ξ} | | e | |] - \cos θ | \dot{θ} | [α_{3} (k_{θ} + k_{Θ}) | \dot{θ} | - | {\overset{. .}{x}}_{d} |]

其中，

为V_θ(t)关于时间的导数。0<α₂，α₃<1为常数，且满足0<α₂+α₃<1。因此，只要

满足：

| \dot{θ} | &GreaterEqual; \frac{2 k_{ξ}}{α_{2} (k_{θ} + k_{Θ})} | | e | | + \frac{1}{α_{3} (k_{θ} + k_{Θ})} | {\overset{. .}{x}}_{d} | \overset{Δ}{=} κ_{\dot{θ}}^{e} | | e | | + κ_{\dot{θ}}^{{\overset{. .}{x}}_{d}} | {\overset{. .}{x}}_{d} | - - - (28)

就有：

{\dot{V}}_{θ} (t) \leq - (1 - α_{2} - α_{3}) μ (k_{θ} + k_{Θ}) {| \dot{θ} |}^{2} \leq 0 - - - (29)

式中，

κ_{\dot{θ}}^{e} \overset{Δ}{=} 2 k_{ξ} / [α_{2} (k_{θ} + k_{Θ})],

κ_{\dot{θ}}^{{\overset{. .}{x}}_{d}} \overset{Δ}{=} 1 / [α_{3} (k_{θ} + k_{Θ})],

μ＝cos(max{|θ(t)|})>0表示负载的最大摆幅的余弦值。那么，由式(27)至(29)得存在一个类函数β(·，·)[13]，使得如下结论成立：

| \dot{θ} (t) | \leq β (| \dot{θ} (0) |, t) + κ_{\dot{θ}}^{e} | | e | | + κ_{\dot{θ}}^{{\overset{. .}{x}}_{d}} | {\overset{. .}{x}}_{d} | - - - (30)

其中，为

的初始值。因此，如果将e(t)，

作为输入、

作为输出，则θ-子系统(13)为输入—状态稳定（ISS，input-to-state stable）[13]。

在此，将θ-子系统(13)与ξ-子系统(17)的组合看作一个互联系统。那么，考虑式(16)，如果取α＝α₁·α₂，易知如下小增益条件（small gain condition）成立[13]：

κ_{e}^{\dot{θ}} \cdot κ_{\dot{θ}}^{e} = \frac{κ_{θ}}{k_{ξ} α_{1}} \cdot \frac{2 k_{ξ}}{α_{2} (k_{θ} + k_{Θ})} = \frac{2 k_{θ}}{α (k_{θ} + k_{Θ})} < 1 - - - (31)

因此，如果将

作为输入，由小增益定理（small gain theorem）[13]知，互联系统(13)与(17)为输入—状态稳定，即：

| | e (t) | | \leq \frac{1}{1 - κ_{e}^{\dot{θ}} κ_{\dot{θ}}^{e}} [κ_{e}^{\dot{θ}} β (| \dot{θ} (0) |, t) + κ_{e}^{\dot{θ}} κ_{\dot{θ}}^{{\overset{. .}{x}}_{d}} | {\overset{. .}{x}}_{d} | + | | e (0) | | \exp {- k_{ξ} (1 - α_{1}) t}],

(32)

| \dot{θ} (t) | \leq \frac{1}{1 - κ_{e}^{\dot{θ}} κ_{\dot{θ}}^{e}} [β (| \dot{θ} (0) |, t) + κ_{\dot{θ}}^{{\overset{. .}{x}}_{d}} | {\overset{. .}{x}}_{d} | + κ_{\dot{θ}}^{e} | | e (0) | | \exp {- k_{ξ} (1 - α_{1}) t}]

此外，由条件b)知，

在经过有限时间t_f后收敛为零，那么互联系统(13)与(17)在t_f后变为渐近稳定。为证明这一结论，令Φ为如下不变集：

Φ \overset{Δ}{=} {(x, \dot{x}, θ, \dot{θ}), t &GreaterEqual; t_{f} : ξ = 0, \dot{ξ} = 0, \dot{θ} = 0, x_{d} (t) = p_{d}, {\dot{x}}_{d} (t) = 0} - - - (33)

在Φ中，易得如下结果：

ξ = p_{d} - x - λ \sin θ + k_{Θ} {&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ = 0,

\dot{ξ} = - \dot{x} - λ \dot{θ} \cos θ + k_{Θ} θ = 0

\dot{θ} = 0 (34)

由式(34)知，在不变集Φ中，θ(t)＝c，其中c表示一待定常数。由式(34)知：

\overset{. .}{θ} = 0,

\dot{x} = k_{Θ} θ = k_{Θ} c &DoubleRightArrow; \overset{. .}{x} = 0 - - - (35)

将式(35)的结论代入式(1)的第2个方程（两边同除以ml后），并结合假设1，得如下结论：

l \overset{. .}{θ} + \cos θ \overset{. .}{x} + g \sin θ = 0 &DoubleRightArrow; g \sin θ = 0 &DoubleRightArrow; θ (t) = c = 0 - - - (36)

进一步，由式(34)与(36)得在不变集Φ中：

\dot{x} = 0,

p_{d} - x + k_{Θ} {&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dt = 0 - - - (37)

对于实际吊车系统而言，式(1)中的第2个方程（两边同除以ml后）可近似并整理如下[3-6]：

l \overset{. .}{θ} + \overset{. .}{x} + gθ = 0 &DoubleRightArrow; θ - \frac{l \overset{. .}{θ} + \overset{. .}{x}}{g} - - - (38)

对式(38)两边关于时间求积分（考虑零初始条件），有如下结果：

{&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ = - \frac{1}{g} (l \dot{θ} + \dot{x}) - - - (39)

那么结合式(34)、(36)与(39)，得：

{&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ = 0 &DoubleRightArrow; p_{d} - x = 0 &DoubleRightArrow; x = p_{d} - - - (40)

于是，综合式(34)、(36)、(37)及(40)，知不变集Φ为：

Φ = {(x, \dot{x}, θ \dot{, θ}), t &GreaterEqual; t_{f} : x (t) = p_{d}, \dot{x} (t) = 0, θ (t) = 0, \dot{θ} (t) = 0} - - - (41)

那么，由拉塞尔不变性原理[14]知系统状态渐近收敛于不变集Φ，即本发明所提出的控制律(15)能保证台车快速到达目标位置p_d，同时将负载摆角衰减至零。

此外，由假设1知θ(t)∈L_∞。基于式(32)，有e(t)，

由式(5)与(11)，得

进一步由式(39)、(4)、(10)得到x(t)∈L_∞。最后，由式(2)与(15)知F_a(t)∈L_∞。因此，本发明提出的控制方法能够保证在整个控制过程中，所有信号有界，不会出现奇异性的问题。

本发明的优点和有益效果：

本发明基于工程实际需要，提出了一种既能用于跟踪、又能用于镇定的非线性耦合控制方法。通过引入广义负载位移变量并定义一种新颖的误差信号，增强了台车与负载之间的动态耦合关系。随后，应用严格的数学分析证明了整个闭环控制系统的渐近稳定性，从理论上保证了该控制方法的有效性。相比已有的轨迹跟踪控制方法，本方法放宽了对参考轨迹的约束条件，极大地提高了其实用性。此外，即便是在跟踪同样轨迹的情况下，由于本发明的方法增强了台车与负载之间的动态耦合关系并使用了输入-状态稳定的控制器结构设计，它也能取得优于常规跟踪控制方法的控制结果。值得指出的是，借助输入—状态稳定性分析，能够证明定位误差子系统（ξ-子系统(17)）为指数输入—状态稳定，在一定程度上体现了本发明所提方法的快速跟踪性能。最后，经过实验进一步验证了本方法能很好地实现控制目标。

就目前而言，绝大多数已有的吊车操作都由工人师傅完成，但人工操作具有定位精度差、效率低、易出现安全事故等不足，此外，一些特定场合（如核物质运输等）不适合人工操作。因此，高性能桥式吊车自动控制方法的研究迫在眉睫。本发明所设计的实时控制方法适用于镇定与跟踪控制，能够极大地提升台车的运送速度与有效地抑制负载的摆动，提高整个控制系统的工作效率与安全性，有着非常重大的应用价值与实际工程意义。

附图说明：

图1为本发明提出方法的镇定控制结果图；

图2为文献[7]中能量耦合控制方法的镇定控制结果图；

图3为本发明提出方法的轨迹跟踪控制结果图；

图4为文献[10]中所提出方法的轨迹跟踪控制结果图。

具体实施方式：

实施例1：

第1、实验步骤描述

步骤1、参考轨迹选取

第1.1、在镇定控制时，选取x_d(t)为：

x_d(t)≡p_d (42)

其中，p_d表示台车的目标位置。

第1.2、在轨迹跟踪控制中，选取文献[10]中所设计的S形曲线作为x_d(t)：

x_{d} (t) = \frac{p_{d}}{2} + \frac{1}{{2 k}_{2}} \ln [\frac{\cosh (k_{1} t - ϵ)}{\cosh (k_{1} t - ϵ - k_{2} p_{d})}] - - - (43)

其中，p_d表示台车的目标位置，k₁，k₂，ε为相应的轨迹参数，根据实际要求（如台车最大速度、加速度）进行选取，具体含义见文献[10]，ln(·)表示自然对数函数，cosh(·)表示双曲余弦函数。

步骤2、误差信号构造

定义如下误差信号ξ(t)及其前二阶导数信号

ξ (t) = η_{d} (t) - η (t) + k_{Θ} {&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ = x_{d} (t) - η (t) + k_{Θ} {&Integral;}_{0}^{t} θ (τ) dτ - - - (10)

\dot{ξ} (t) = \dot{η} (t) - \dot{η} (t) + k_{Θ} θ (t) = {\dot{x}}_{d} (t) - \dot{η} (t) + k_{Θ} θ (t) - - - (11)

\overset{. .}{ξ} (t) = {\overset{. .}{η}}_{d} (t) - \overset{. .}{η} (t) + k_{Θ} \dot{θ} (t) = {\overset{. .}{x}}_{d} (t) - \overset{. .}{η} (t) + k_{Θ} \dot{θ} (t) - - - (12)

分别为η_d(t)关于时间的一阶、二阶导数，0<λ<l为广义绳长，在0～l之间调节，l为吊绳长度；k_Θ为正的控制增益；为θ(t)关于时间的一阶导数，即角速度，

为θ(t)关于时间的积分。

步骤3、控制律的确定

\begin{matrix} F_{a} (t) = m (λ, θ) [2 k_{ξ} \dot{ξ} (t) + 2 k_{ξ}^{2} (t) + k_{θ} \dot{θ} (t) + ({\overset{. .}{x}}_{d} (t) + k_{Θ} \dot{θ} (t))] \\ + f (λ, θ, \dot{θ}) + f_{r} (t) \end{matrix} - - - (15)

f_{r} (t) = f_{r 0} \tanh (\dot{x} (t) / γ) - k_{r} | \dot{x} (t) | \dot{x} (t),

f_γo，k_γ，γ为摩擦参数，通过离线实验事先标定获得，tanh(·)表示双曲正切函数；表示台车速度，辅助函数m(λ，θ)与

分别表示：

m (λ, θ) = \frac{M + m \sin^{2} θ (t)}{l - λ \cos^{2} θ (t)} l,

(9)

f (λ, θ, \dot{θ}) = [(M + m) λ - ml] \sin θ (t) \frac{g \cos θ (t) + l {\dot{θ}}^{2} (t)}{l - λ \cos^{2} θ (t)}

式中，M，m分别表示台车与负载质量，g为重力加速度。

步骤4、控制方法的实现

通过借助传感器在线获取的台车位置x(t)、速度

负载摆角θ(t)、及角速度

第2、实验效果描述

为了验证本发明所提出控制方法的有效性，根据上述步骤，在文献[15]所设计的桥式吊车实验平台上进行了实验。实验中，台车质量、负载质量、吊绳长度以及重力加速度分别取为：

M＝7kg，m＝1.025kg，l＝0.8m，g＝9.8m/s² (44)

台车的目标位置以及参考轨迹(43)中的参数分别设为：

p_d＝0.6m，k₁＝1，k₂＝2.5，ε＝2.2 (45)

经过离线标定，摩擦力补偿项f_γ(t)中的参数值如下[4]：

f_γo＝4.4，γ＝0.01,k_γ＝-0.5 (46)

系统的控制周期为5毫秒。

实验分为两部分进行，第一部分用以验证本发明方法的镇定控制效果，第二部分将验证其跟踪控制性能。

第2.1、镇定控制实验，选取x_d(t)≡p_d＝0.6m（见式(42)与(45)）。为验证本发明所提出方法的优越性，将其与文献[7]所设计的能量耦合控制方法进行了对比实验，能量耦合控制律的表达式如下：

F_{E^{2}} (t) = \frac{- m (θ) (k_{p} e + k_{d} \dot{x}) + k_{v} ζ (θ, \dot{θ})}{k_{E} m (θ) E + k_{v}} + f_{r} (t) - - - (47)

其中，k_p，k_d，k_υ，k_E为正的控制增益，

表示台车速度，e(t)＝x(t)-p_d表示台车位移与目标位置之间的误差，f_e(t)为前馈摩擦力补偿项（见式(2)与(46)）；E(t)表示吊车系统的机械能，m(θ)与

为辅助函数，它们的具体表达式为：

E (t) \frac{1}{2} (M + m) {\dot{x}}^{2} + ml \dot{x} \dot{θ} \cos θ + \frac{1}{2} {ml}^{2} {\dot{θ}}^{2} + mgl (1 - \cos θ)

(48)

m (θ) = M + m si n^{2} θ, ζ (θ, \dot{θ}) = - m \sin θ (l {\dot{θ}}^{2} + g \cos θ)

在实验中，本发明所提出控制方法(15)及对比控制方法(47)的控制增益选取见表1。实验效果依次为附图1至附图2，其中，实线刻画了台车位移、负载摆角以及控制量随时间变化的曲线，虚线则表示台车的目标位置，为直观表示，在图中将负载摆角的单位由弧度（rad）转换为角度（°）。

表1镇定控制实验中控制方法增益的选取值

控制方法

k_ξ

k_θ

k_Θ

λ

k_p

k_d

k_E

k_υ

控制律(15)

0.74

2

2.5

0.5

无

控制律(47)

无

5

2.5

1

1.2

由附图1与附图2看出，本发明提出的控制方法(15)与能量耦合控制方法(47)均能够在8秒内将台车运送至目标位置（图1与图2中虚线），且最终定位误差均在4毫米以内。进一步对比两者的实验结果知，本发明提出的方法能够更好地抑制负载的最大摆幅与残余摆动，提高了吊车系统的整体工作效率。

第2.2、跟踪控制实验，选取S形轨迹(43)作为参考轨迹x_d(t)。同样，为验证本发明所提出方法的优越性，在此将其与文献[10]设计的跟踪控制方法进行实验对比，文献[10]中的控制方法具有如下形式：

F_{at} = - k_{pt} e_{t} - k_{dt} {\dot{e}}_{t} - Y^{T} \hat{ω} - - - (49)

其中，k_pt＝150，k_dt＝45为正的控制增益，e_t(t)＝x(t)-x_d(t)则表示台车位移与参考轨迹(43)之间的误差，为e_t(t)关于时间的一阶导数；Y表示回归向量（其详细定义见文献[10]，在此不再赘述），

表示参数估计，由

在线生成，Γ＝10I₅为更新矩阵，I₅为5×5单位阵；上标T表示向量的转置。本发明提出的方法(15)控制增益的选取与镇定控制实验中的一致（表1）。实验效果依次为附图3至附图4，其中实线刻画了台车位移、负载摆角以及控制量随时间变化的曲线，虚线则表示参考轨迹(43)随时间变化的曲线，为直观表示，已在图中将负载摆角的单位由弧度（rad）转换为角度（°）。

由附图3和附图4看出，相比较文献[10]的方法，本发明所提出的控制方法能更好地抑制与消除负载的摆动，且需要更少的控制量。进一步对比两图知，本发明的方法能使台车更好地跟踪参考轨迹（在图3与图4中由虚线标出），证明了其良好的实际应用性能。

综合上述实验结果知，本发明所设计的控制方法在吊车的镇定控制与跟踪控制方面均能取得良好的控制性能，具有很好的应用价值。

参考文献

1.孙宁,方勇纯.一类欠驱动系统的控制方法综述[J].智能系统学报,2011,6(3):200-207.

2.翟军勇,费树岷.集装箱桥吊防摆切换控制研究[J].电机与控制学报,2009,13(6):933-936.

3.Garrido S,Abderrahim M,Gimenez A,Diez R,Balaguer C.Anti-Swinging Input ShapingControl of an Automatic Construction Crane[J].IEEE Transactions on Automation Scienceand Engineering,2008,5(3):549-557.

4.Sun N,Fang Y C,Zhang Y D,Ma B J.A Novel Kinematic Coupling Based TrajectoryPlanning Method for Overhead Cranes[J].IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2012,17(1):166-173.

5.Sun N,Fang Y C,Zhang X B,Yuan Y H.Phase Plane Analysis Based Motion Planning forUnderactuated Overhead Cranes[C]//Proceedings of the 2011 IEEE InternationalConference on Robotics and Automation.2011:3483-3488.

6.李伟,曹涛,王滨,吕景惠,孙乐美,李超.基于二次型最优控制的起重机开环消摆方法[J].电气传动,2007,37(3):33-36.

7.Fang Y，Dixon W E,Dawson D M,and Zergeroglu E.Nonlinear Coupling Control Laws foran Underactuated Overhead Crane System[J].IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2003,8(3):418-423.

8.Liu D,Yi J,Zhao D,Wang W.Adaptive Sliding Mode Fuzzy Control for aTwo-Dimensional Overhead Crane[J].Mechatronics,2005,15(5):505-522.

9.孙宁,方勇纯,王鹏程,张雪波.欠驱动三维桥式吊车系统自适应跟踪控制器设计[J].自动化学报,2010,36(9):1287-1294.

10.Fang Y C,Ma B J,Wang P C,Zhang X B.A Motion Planning-Based Adaptive ControlMethod for an Underactuated Crane System[J].IEEE Transactions on Control SystemsTechnology，2012,20(1):241-248.

11.王晓军,邵惠鹤.基于模糊的桥式起重机的定位和防摆控制研究[J].系统仿真学报,2005,17(4):936-939.

12.Chang C Y.Adaptive Fuzzy Controller of the Overhead Cranes with Nonlinear Disturbance[J].IEEE Transactions on Industrial Informatics,2007,3(2):164-172.

13.Jiang Z P，Mareels I.Linear Robust Control of a Class of Nonlinear Systems with DynamicPerturbations[C]//Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control.1995:2239-2244.

14.Khalil H K.Nonlinear Systems[M].New Jersey:Prentice-Hall,2002.

15.马博军,方勇纯,王鹏程,苑英海.三维桥式吊车自动控制实验系统[J].控制工程,2011,18(2):239-243。