CN106315414A - 基于滑模面的桥式吊车控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于滑模面的桥式吊车控制方法。针对桥式吊车运送过程的定位和消摆任务，本发明提出了一种新颖的基于滑模面的控制方法。首先通过坐标变换将原吊车模型转换成一种类线性的模式，然后设计一种新颖的滑模面，并构造出相应的非线性控制算法使得系统状态始终保持在滑模面上，最后，通过李雅普诺夫方法严格证明，只要参数选取满足本发明所给出的条件，系统平衡点可达到近似指数稳定。相比于现有吊车控制方法(只能保证渐近收敛)，本发明的收敛速度更快(近似指数收敛)。而且本发明的控制输入相对一般全状态反馈方法更加平滑，有利于实际应用。仿真和实验结果均表明，本发明定位速度快、消摆效果好，且对各类外界干扰具有很强的鲁棒性。

Description

基于滑模面的桥式吊车控制方法

技术领域

本发明属于非线性欠驱动桥式吊车控制领域，特别是一种基于滑模面的非线性桥式吊车控制方法。

背景技术

欠驱动桥式吊车是一种被广泛应用的物料运输工具，在很多行业中都发挥着非常重要的作用。桥式吊车的主要任务是将负载快速准确地运送到目标位置并保证其摆动尽可能小。然而，由于吊车的欠驱动本质，这两者很难兼顾。目前，吊车控制仍然主要依赖于人工操作，其运送效率比较低下，台车定位和负载消摆效果差，且容易因为操作员的疲劳操作等诸多原因引发安全事故。为了解决这些问题，近年来，很多控制领域的学者都致力于欠驱动桥式吊车自动控制的研究，并取得了很多有意义的成果[1-4]。

目前，桥式吊车的控制方法主要可以分为两类，即开环控制方法和闭环控制方法。开环控制方法主要包括输入整形[5-9]和轨迹规划[10,11]。经典输入整形器包括ZV输入整形器、ZVD输入整形器、EI输入整形器等。它们将系统的给定输入与一系列脉冲信号卷积，从而产生新的具有消摆功能的输入信号。轨迹规划则是由研究人员设计一条光滑轨迹，使得台车在沿着给定轨迹运行时负载摆角被抑制在一个较小的范围内。开环控制不需要反馈信息，且结构简单，便于实践，因此已经在吊车的自动控制领域取得很大的成功。但是开环控制器的鲁棒性很差，一旦受到明显的外界干扰，其性能将会大大降低。与此相对的，闭环控制方法能根据反馈信号实时调整控制输入，因此它们对于模型误差、外界干扰等具有很强的鲁棒性。典型的闭环控制方法包括基于能量的控制方法[12,13]、滑模控制方法[14,15]、自适应控制方法等[16]，它们都取得了很好的控制效果。近年来，还不断有新的优秀研究成果出现。例如，孙宁[17]等人提出了一种基于末端执行器运动的吊车控制方法，具有很好的消摆效果。在文献[18]中，Khatamianfar等人针对三维吊车提出了一种基于模型预测的新型跟踪控制算法。此外，还有一些研究人员尝试将智能控制方法[19-21]应用于吊车控制，也取得了不错的成果。

但是已有的控制方法最多只能保证闭环系统平衡点的渐近稳定性，其定位和消摆效果有时仍然无法满足需求。此外，大多数闭环控制算法需要速度信号来产生控制输入，而速度信号中经常包含许多高频噪音，这就可能导致系统的控制输入变化剧烈，不利于实际应用，从而大大降低控制效果。在外界干扰较大时，这一现象尤为明显。

发明内容

为了解决现有控制方法的上述不足，本发明提出了一种基于滑模面的非线性桥式吊车控制方法。

本发明提出了一种新颖的滑模控制方法。该方法能够保证在控制参数选取满足本发明所给出的条件时，闭环系统平衡点是近似指数稳定的，从而进一步提升桥式吊车系统的定位和消摆性能。此外，不同于现有方法，本发明所提出的方法用速度反馈信号构造控制输入的导数，从而使得即使在有噪音的情况下，控制输入依然足够光滑。具体而言，首先通过坐标变换将桥式吊车系统转化成一种类线性形式。然后基于新的模型，设计出一种新颖的滑模面，并通过本控制算法的引入，使得系统状态始终保持在所设计的滑模面上。最后，通过李雅普诺夫方法严格证明，只要选取的控制参数满足本发明在证明过程中所给出的条件，闭环系统的期望平衡点可以达到近似指数收敛。仿真和实验结果均表明，所提出方法具有良好的定位和消摆效果，并对于各种外界干扰具有良好的鲁棒性。

本发明提供的基于滑模面的非线性桥式吊车控制方法包括：

第1，基于转化模型的新颖滑模面的构造

桥式吊车一般可由下列动力学方程表示：

$\begin{array}{c}(M+m)\stackrel{\·\·}{x}+ml\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}-ml{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2\sin \mathrm{\θ}=F_a,\\ {\mathrm{ml}}^2\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+ml\cos \mathrm{\θ}\stackrel{\·\·}{x}+mgl\sin \mathrm{\θ}=0,\end{array}---\left(1\right)$

其中，M,m,l分别表示台车质量，负载质量以及吊绳长度，θ(t),分别表示负载摆角及其一阶和二阶导数，x(t),表示台车位移及其二阶导数，而F_a(t)和g分别表示控制输入和重力加速度常数；首先进行如下状态变换：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\η}}_1=x-x_d+l\ln (\frac{1}{\cos \mathrm{\θ}}+\tan \mathrm{\θ}),& {\mathrm{\η}}_2=\stackrel{\·}{x}-{\stackrel{\·}{x}}_d+\frac{l}{\cos \mathrm{\θ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\\ {\mathrm{\η}}_3=-g\tan \mathrm{\θ},& {\mathrm{\η}}_4=-\frac{g}{{\cos }^2\mathrm{\θ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\end{array}---\left(2\right)$

其中，η₁(t),η₂(t)，η₃(t)，η₄(t)为新定义的状态变量，为台车位移一阶导数，x_d(t),表示台车参考轨迹及其一阶导数，那么原模型(1)可等效转化为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_1={\mathrm{\η}}_2,\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_2={\mathrm{\η}}_3-h\left({\mathrm{\η}}_3\right){\mathrm{\η}}_4^2-{\stackrel{\·\·}{x}}_d,\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3={\mathrm{\η}}_4,\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_4=u,\end{array}---\left(3\right)$

其中，分别代表新定义的状态变量η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)关于时间的一阶导数，为已知的函数，为参考轨迹x_d(t)关于时间的二阶导数，u(t)为虚拟控制输入，它与控制输入F_a(t)具有如下关系：

$F_a=\frac{(Ml+{\mathrm{mlsin}}^2\mathrm{\θ})\cos \mathrm{\θ}}{g}u-ml{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2\sin \mathrm{\θ}-(M+m)g\tan \mathrm{\θ}+2\frac{(Ml+{\mathrm{mlsin}}^2\mathrm{\θ})\sin \mathrm{\θ}}{{\cos }^2\mathrm{\θ}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2.---\left(4\right)$

在上述公式(1)-(4)中，t表示时间，变量后面(t)表示该变量为关于时间的变量，此外，除特殊说明，以上所说导数均为关于时间t的导数，下面做相同处理；为了简化，将变量(t),x(t),x_d(t),h(η₃(t)),u(t)和F_a(t)简写成θ,x,x_d,h(η₃),u和F_a，同样地，将η_i(t),i＝1,2,3,4简写成η_i,i＝1,2,3,4，下面的其余公式做同样简化处理；

进一步定义如下辅助函数：

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{(kt-1)}^4,& 0\≤t\≤\frac{1}{k},\\ 0,& t>\frac{1}{k},\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中k为待定的正参数，它决定了f(t)收敛到0的速度，具体来说，k越大，收敛越快，反之则越慢；在此基础上，构造滑模面如下：

Ω＝{(η₁,η₂,η₃,η₄)|aη₁+bη₂+cη₃+dη₄-λf(t)＝0}, (6)

其中，a,b,c,d均为控制参数，而λ＝aη₁(0)+bη₂(0)+cη₃(0)+dη₄(0)为一常数，其中η₁(0),η₂(0),η₃(0),η₄(0)分别表示0时刻η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)的初值信息；

第2，一种新颖的非线性控制算法

构造如下非线性控制算法：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{u}=M(*)+N(*)u,\\ u\left(0\right)=-\frac{1}{d}\{{\mathrm{a\η}}_2\left(0\right)+b\[{\mathrm{\η}}_3\left(0\right)-h\left({\mathrm{\η}}_3\right(0\left)\right){\mathrm{\η}}_4^2\left(0\right)-{\stackrel{\·\·}{x}}_d\left(0\right)\]+{\mathrm{c\η}}_4\left(0\right)-{\mathrm{\λf}}^{\′}\left(0\right)\},\end{array}---\left(8\right)$

其中，表示u(t)的一阶导数，u(0),h(η₃(0)),f'(0)分别为u(t),h(η₃(t)),f'(t)在0时刻的初值，f'(t)则是f(t)的一阶导数，M(*),N(*)均为已知函数，其具体表达式为

$M(*)=-\frac{1}{d}\{F(*)-{\mathrm{\λf}}^{\′\′}\left(t\right)+(k_1+k_2)\[{\mathrm{a\η}}_2+b({\mathrm{\η}}_3-h({\mathrm{\η}}_3){\mathrm{\η}}_4^2-{\stackrel{\·\·}{x}}_d)+{\mathrm{c\η}}_4-{\mathrm{\λf}}^{\′}\left(t\right)\]+H(*)\},$

$N(*)=-\frac{1}{d}\[C(*)+(k_1+k_2)d\],$

其中，f”(t)为f(t)的二阶导数，F(*),G(*),H(*)的具体表达式为

$F(*)=a({\mathrm{\η}}_3-h({\mathrm{\η}}_3){\mathrm{\η}}_4^2-{\stackrel{\·\·}{x}}_d)+b\[{\mathrm{\η}}_4-\frac{\∂h\left({\mathrm{\η}}_3\right)}{\∂{\mathrm{\η}}_3}{\mathrm{\η}}_4^3-x_d^{\left(3\right)}\],$

G(*)＝c-2bh(η₃)η₄,H(*)＝(k₀+1+k₁k₂)x₁+k₂k₀χ,

其中，k₀,k₁,k₂均为正的控制参数，是h(η₃(t))对η₃(t)的一阶偏导数，表示x₁(t)从0到t时刻的积分，为参考轨迹x_d(t)的三阶导数，为了简化，在上述公式中将简写成在所提出的控制算法作用下，系统状态将始终保持在所构造的滑模面上；通过对滑模面上的系统状态进一步分析，可得系统状态将渐近收敛于期望平衡点处，也即：

$\underset{t\→\mathrm{\∞}}{lim}{\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\η}}_1& {\mathrm{\η}}_2& {\mathrm{\η}}_3& {\mathrm{\η}}_4\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T.---\left(32\right);$

第3，控制方法实现

借助传感器实时反馈的台车位移与速度信号x(t),以及摆角及其速度信号(t),并结合已知的初始位置信息η₁(0),η₂(0),η₃(0),η₄(0)和预先选定的参考轨迹信息x_d(t),首先按照权利要求书第1、2步给出的控制算法生成所需的虚拟控制指令u(t)，然后根据(4)式所给出的对应关系搭建真实的控制输入F_a(t)；在生成虚拟控制指令u(t)时，需将控制参数k,k₀,k₁,k₂均调整为正值，并按照说明书中(18)式所给出的条件选取参数a,b,c,d，当以上所选取的参数满足(25)给出的判别条件时，可以实现吊车系统的高效消摆控制。

本发明方法的理论依据及推导过程

第1，将吊车模型转化为一种新的类线性的形式，并基于此构造出合适的滑模面。

桥式吊车一般可由下列动力学方程表示：

$\begin{array}{c}(M+m)\stackrel{\·\·}{x}+ml\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}-ml{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2\sin \mathrm{\θ}=F_a,\\ {\mathrm{ml}}^2\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+ml\cos \mathrm{\θ}\stackrel{\·\·}{x}+mgl\sin \mathrm{\θ}=0,\end{array}---\left(1\right)$

其中，M,m,l分别表示台车质量，负载质量以及吊绳长度，θ(t),分别表示负载摆角及其一阶和二阶导数，x(t),表示台车位移及其二阶导数，而F_a(t)和g分别表示控制输入和重力加速度常数；首先进行如下状态变换：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\η}}_1=x-x_d+l\ln (\frac{1}{\cos \mathrm{\θ}}+\tan \mathrm{\θ}),& {\mathrm{\η}}_2=\stackrel{\·}{x}-{\stackrel{\·}{x}}_d+\frac{l}{\cos \mathrm{\θ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\\ {\mathrm{\η}}_3=-g\tan \mathrm{\θ},& {\mathrm{\η}}_4=-\frac{g}{{\cos }^2\mathrm{\θ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\end{array}---\left(2\right)$

其中，η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)为新定义的状态变量，为台车位移一阶导数，x_d(t)，表示台车参考轨迹及其一阶导数，那么原模型(1)可等效转化为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_1={\mathrm{\η}}_2,\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_2={\mathrm{\η}}_3-h\left({\mathrm{\η}}_3\right){\mathrm{\η}}_4^2-{\stackrel{\·\·}{x}}_d,\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_3={\mathrm{\η}}_4,\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}}_4=u,\end{array}---\left(3\right)$

其中，分别代表新定义的状态变量η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)关于时间的一阶导数，为已知的函数，为参考轨迹x_d(t)关于时间的二阶导数，u(t)为虚拟控制输入，它与控制输入F_a(t)具有如下关系：

$F_a=\frac{(Ml+{\mathrm{mlsin}}^2\mathrm{\θ})\cos \mathrm{\θ}}{g}u-ml{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2\sin \mathrm{\θ}-(M+m)g\tan \mathrm{\θ}+2\frac{(Ml+{\mathrm{mlsin}}^2\mathrm{\θ})\sin \mathrm{\θ}}{{\cos }^2\mathrm{\θ}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2.---\left(4\right)$

在上述描述中，t表示时间，变量后面(t)表示该变量为关于时间的变量，此外，除特殊说明，以上所说导数均为关于时间t的导数，下面做相同处理。为了使公式简明，在公式(1)-(4)中，将变量θ(t),x(t),x_d(t),h(η₃(t)),u(t)和F_a(t)简写成θ,x,x_d,h(η₃),u和F_a，同样地，将η_i(t),i＝1,2,3,4简写成η_i,i＝1,2,3,4，下面的其余公式做同样简化处理；此时，吊车原控制目标可等效转化为[η₁ η₂ η₃ η₄]^T→[0 0 0 0]^T。

定义如下辅助函数：

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{(kt-1)}^4,& 0\≤t\≤\frac{1}{k},\\ 0,& t>\frac{1}{k},\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中k为待定的正参数，它决定了f(t)收敛到0的速度，具体来说，k越大，收敛越快，反之则越慢；在此基础上，构造滑模面如下：

Ω＝{(η₁,η₂,η₃,η₄)|aη₁+bη₂+cη₃+dη₄-λf(t)＝0}, (6)

其中，a,b,c,d均为控制参数，而λ为一个常数，其值为

λ＝aη₁(0)+bη₂(0)+cη₃(0)+dη₄(0) (7)

其中，η₁(0),η₂(0),η₃(0),η₄(0)分别表示0时刻η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)的初值信息。

对于所选择的参考轨迹，作出如下合理假设：

假设1：参考轨迹需满足如下条件：

$x_d\left(0\right)=0,\underset{t\→\mathrm{\∞}}{lim}{x}_d\left(t\right)=p_d,\underset{t\→\mathrm{\∞}}{lim}{\stackrel{\·}{x}}_d\left(i\right),{\stackrel{\·\·}{x}}_d\left(t\right)=0,0\≤{\stackrel{\·}{x}}_d\left(t\right)\≤k_v,$

$\left|{\stackrel{\·\·}{x}}_d\left(t\right)\right|\≤k_{\mathrm{\α}},\left|{x_d}^{\left(3\right)}\left(t\right)\right|\≤k_j,$

其中，p_d代表台车的目标位置，k_v,k_a,k_j分别表示台车参考轨迹的一阶、二阶、三阶导数的上界。

第2，一种新颖的非线性控制算法

对于新构造的吊车模型以及滑模面，进一步设计如下非线性控制算法

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{u}=M(*)+N(*)u,\\ u\left(0\right)=-\frac{1}{d}\{{\mathrm{a\η}}_2\left(0\right)+b\[{\mathrm{\η}}_3\left(0\right)-h\left({\mathrm{\η}}_3\right(0\left)\right){\mathrm{\η}}_4^2\left(0\right)-{\stackrel{\·\·}{x}}_d\left(0\right)\]+{\mathrm{c\η}}_4\left(0\right)-{\mathrm{\λf}}^{\′}\left(0\right)\},\end{array}---\left(8\right)$

其中，表示u(t)的一阶导数，u(0),h(η₃(0)),f'(0)分别为u(t),h(η₃(t)),f'(t)在0时刻的初值，f'(t)则是f(t)的一阶导数，M(*),N(*)为已知函数，其具体形式见附录。

定理1：所提出控制算法(8)，在参数选取满足本发明所给出条件的情况下，可以保证系统状态渐近收敛于期望平衡点处，也即

$\underset{t\→\mathrm{\∞}}{lim}{\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\η}}_1& {\mathrm{\η}}_2& {\mathrm{\η}}_3& {\mathrm{\η}}_4\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T.---\left(9\right)$

该定理的证明可分为两步进行，首先证明系统状态将始终保持在滑模面上，然后证明，系统状态将沿着滑模面逐渐收敛至期望的平衡点处。

1)首先，证明在所提出的控制算法作用下，系统状态将始终保持在滑模面上，也即

aη₁+bη₂+cη₃+dη₄-λf(t)＝0. (10)

为了便于描述，定义x₁(t),x₂(t),χ(t),e(t)等如下新的变量：

$x_1={\mathrm{a\η}}_1+{\mathrm{b\η}}_2+{\mathrm{c\η}}_3+{\mathrm{d\η}}_4-\mathrm{\λ}f\left(t\right),x_2={\stackrel{\·}{x}}_1,\mathrm{\χ}={\∫}_0^t{x}_1\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ},e=x_2+k_1{x}_1+k_0\mathrm{\χ}.---\left(11\right)$

其中，k₀,k₁为正的控制参数。结合式(7)，不难得出

x₁(0)＝x₂(0)＝X(0)＝e(0)＝0. (12)

构造非负李亚普诺夫候选函数如下：

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}{x}_1^2+\frac{1}{2}{k}_0{\mathrm{\χ}}^2+\frac{1}{2}{e}^2\⇒V\left(0\right)=0,---\left(13\right)$

对李雅普诺夫函数求导，将控制输入(8)带入并整理可得

$\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=-k_1{x}_1^2-k_2{e}^2\≤0.---\left(14\right)$

由(13)已知V(t)≥0,V(0)＝0,而式(14)说明V(t)非增，则可推导出下列结论恒成立：

$V\left(t\right)=0\⇒x_1=0\⇒{\mathrm{\η}}_4=-\frac{a}{d}{\mathrm{\η}}_1-\frac{b}{d}{\mathrm{\η}}_2-\frac{c}{d}{\mathrm{\η}}_3+\frac{\mathrm{\λ}}{d}f\left(t\right).---\left(15\right)$

也即，(10)式恒成立，说明系统状态始终保持在构造的滑模面上。

2)接下来证明，当系统状态保持在滑模面上时，它们将逐渐收敛于期望的平衡点处。

将结论(15)带回至(3)，可得如下关于η＝[η₁ η₂ η₃]^T的子系统：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=A\mathrm{\η}+B\mathrm{\ξ},---\left(16\right)$

其中，A,B,ξ的定义如下：

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -\frac{a}{d}& -\frac{b}{d}& -\frac{c}{d}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\mathrm{\ξ}=\left[\begin{array}{c}-h\left({\mathrm{\η}}_3\right){\mathrm{\η}}_4^2-{\stackrel{\·\·}{x}}_d\\ \frac{\mathrm{\λ}}{d}f\left(t\right)\end{array}\right].---\left(17\right)$

如式(16)所示，此时得到了一个关于η＝[η₁ η₂ η₃]^T的准线性系统，其中ξ可以看做是干扰。此时可以通过选取a,b,c,d的值任意配置矩阵A的极点，使得它是赫尔维兹的，也即A的特征根均具有负实部。其具体的参数选取方式如下：

ab,bc,cd,bc-ad＞0. (18)

通过(18)式给出的条件选取参数可以保证矩阵A是赫尔维兹的。根据线性系统理论可得，对于任意正定对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P使得

A^TP+PA＝-Q, (19)

不失一般性，本发明中选择Q为一个三阶单位阵，也即Q＝I_3×3。进一步构造如下李雅普夫候选函数：

V_η(t)＝η^TPη, (20)

对式(20)求导可得

${\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{\η}}\left(t\right)=-\left|\right|\mathrm{\η}|{|}^2+2{\mathrm{\η}}^{T}PB\mathrm{\ξ}\≤-|\left|\mathrm{\η}\right|{|}^2+2\left|\right|\mathrm{\η}\left|\right|\·\left|\right|PB\left|\right|\·\left|\right|\mathrm{\ξ}\left|\right|,---\left(21\right)$

其中，进一步对||ξ||进行放缩可得

$\left|\right|\mathrm{\ξ}\left|\right|\≤2\left|h\left({\mathrm{\η}}_3\right)\right|\[{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{d}\right)}^2{f}^2\left(t\right)+\frac{a^2+b^2+c^2}{d^2}\left|\right|\mathrm{\η}|{|}^2\].---\left(22\right)$

将上式带入(21)并整理，可推出

为了方便描述，在下文中使用R₁,R₂代表式(23)中相应括号内的表达式。那么，式(23)可进一步简化为

${\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{\η}}\left(t\right)\≤\left|\right|\mathrm{\η}\left|\right|\left(R_1\right|\left|\mathrm{\η}\right|{|}^2-\left|\right|\mathrm{\η}\left|\right|+R_2).---\left(24\right)$

由于||η||≥0恒成立，那么的正负性完全取决于(24)式右侧括号中的项，也即R₁||η||²-||η||+R₂，又因为R₁,R₂均为正值，那么R₁||η||²-||η||+R₂就表示着一个关于||η||的开口向上的抛物线，根据二次方程的相关性质，不难得出，当

Δ＝1-4R₁R₂＞0 (25)

时，R₁||η||²-||η||+R₂＝0总是有解的，那么进一步可得出总是具有如下性质：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{\&eta;}}\left(t\right)\left\{\begin{array}{cc}<0,& \left|\right|\mathrm{\&eta;}\left|\right|\&Element;(\frac{1-\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{2R_1},\frac{1+\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{2R_1}),\\ \&GreaterEqual;0,& \left|\right|\mathrm{\&eta;}\left|\right|\&Element;(0,\frac{1-\sqrt{\mathrm{\&Delta;}}}{2R_1}),\end{array}\right.---\left(26\right)$

为了进行定理的进一步证明，接下来引入如下引理：

引理1：若是一个n维正定对称矩阵，则如下性质恒成立[22]：

其中，h₁,h₂代表矩阵H的最小和最大特征根，表示任一n维向量。

选取控制参数使得其中，λ_min,λ_max分别是正定对称矩阵P最小和最大的特征根。不妨假设并设t₁,t₂为0的某极小邻域内的两个数，且满足0＜t₁＜t₂，此时根据(26)可得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{\&eta;}}\left(0\right)<0\&DoubleRightArrow;V_{\mathrm{\&eta;}}\left(t_1\right)<V_{\mathrm{\&eta;}}\left(0\right),---\left(27\right)$

进一步地，可根据引理1推导出λ_min||η(0)||²≤V_η(0)＝η(0)^TP_η(0)≤λ_max||η(0)||²，λ_min||η(t_j)||²≤V_η(t_j)＝η(t_j)^TPη(t_j)≤λ_max||η(t_j)||²，j＝1，2，结合(27)可进一步推出

$\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\&eta;}\left(t_1\right)\left|\right|\&le;\sqrt{\frac{V_{\mathrm{\&eta;}}\left(t_1\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }}}\&le;\sqrt{\frac{V_{\mathrm{\&eta;}}\left(0\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }}}\&le;\sqrt{\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }}}\left|\right|\mathrm{\&eta;}\left(0\right)\left|\right|<\frac{1}{2R_1}\\ \&DoubleRightArrow;{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{\&eta;}}\left(t_1\right)<0\&DoubleRightArrow;V_{\mathrm{\&eta;}}\left(t_2\right)<V_{\mathrm{\&eta;}}\left(t_1\right)\\ \&DoubleRightArrow;\left|\right|\mathrm{\&eta;}\left(t_2\right)\left|\right|\&le;\sqrt{\frac{V_{\mathrm{\&eta;}}\left(t_2\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }}}\&le;\sqrt{\frac{V_{\mathrm{\&eta;}}\left(t_1\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }}}<\frac{1}{2R_1}.\end{array}---\left(28\right)$

随着这个过程不断继续，根据式(26)可得始终成立，那么V_η(t)将不断衰减直至(此时根据式(26)可得也即

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{lim}\left|\right|\mathrm{\&eta;}\left|\right|=\frac{1-\mathrm{\&Delta;}}{2R_1}.---\left(29\right)$

根据式(5)和假设1可得，f(t),根据(23)中R₂的表达式可得

$R_2\&RightArrow;0\&DoubleRightArrow;\mathrm{\&Delta;}=1-4R_1{R}_2\&RightArrow;1\&DoubleRightArrow;\frac{1-\mathrm{\&Delta;}}{2R_1}\&RightArrow;0,---\left(30\right)$

这也意味着

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{lim}\left|\right|\mathrm{\&eta;}\left|\right|=0\&DoubleRightArrow;\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{lim}{\mathrm{\&eta;}}_1,{\mathrm{\&eta;}}_2,{\mathrm{\&eta;}}_3=0.---\left(31\right)$

又因为f(t)在有限时间内收敛至0，可通过式(15)得出η₄→0。因此，可最终得出

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{lim}{\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&eta;}}_1& {\mathrm{\&eta;}}_2& {\mathrm{\&eta;}}_3& {\mathrm{\&eta;}}_4\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T.---\left(32\right)$

综上可得，定理1得证，闭环系统是渐近收敛的。又因为(16)中的准线性系统的非线性部分实际上是快速收敛的，所以整个闭环系统实际上的收敛速度接近于线性系统，是近似指数收敛的。

注1：证明过程中假设实际上，当时，可以通过与(27)-(32)类似的分析得到相同的结论。

注2：为了使得公式的表达尽可能的简洁，在本发明的叙述中，对公式中相关时变变量θ(t),x(t),x_d(t),h(η₃(t)),u(t)和F_a(t)的“(t)”进行了省略，同理对η_i(t),i＝1,2,3,4的“(t)”也进行了省略处理。而在一般文字描述中，为了区分常数变量与时变变量，保留了上述时变变量的符号“(t)”。

第3，附录

本发明在此给出式(8)中M(*),N(*)的具体形式。

M(*),N(*)具体表达式如下：

$M(*)=-\frac{1}{d}\{F(*)-{\mathrm{\&lambda;f}}^{\&prime;\&prime;}\left(t\right)+(k_1+k_2)\&lsqb;{\mathrm{a\&eta;}}_2+b({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)+{\mathrm{c\&eta;}}_4-{\mathrm{\&lambda;f}}^{\&prime;}\left(t\right)\&rsqb;+H(*)\},$

$N(*)=-\frac{1}{d}\&lsqb;C(*)+(k_1+k_2)d\&rsqb;,$

其中，f”(t)为f(t)的二阶导数，F(*),G(*),H(*)的具体表达式为

$F(*)=a({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)+b\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_4-\frac{\&part;h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right)}{\&part;{\mathrm{\&eta;}}_3}{\mathrm{\&eta;}}_4^3-x_d^{\left(3\right)}\&rsqb;,$

G(*)＝c-2bh(η₃)η₄,H(*)＝(k₀+1+k₁k₂)x₁+k₂k₀χ,

其中，k₀，k₁，k₂为正的控制参数，是h(η₃(t))对η₃(t)的一阶偏导数，表示x₁(t)从0到t时刻的积分，为参考轨迹x_d(t)的三阶导数，为了简化，在上述公式中将简写成

本发明的优点和有益效果

本发明提出了一种基于滑模面的非线性桥式吊车控制方法。本发明可以保证在参数选取满足本发明给出条件的情况下，系统状态能够近似指数收敛到平衡点处，从而达到更好的台车定位和负载消摆效果。此外，相对于已有方法，本发明并非直接设计控制输入，而是设计其导数，通过动态生成的方法产生控制率(见(8))，这样能够保证即使在存在明显外界干扰或者采集信号的噪声较大的情况下，系统的控制输入仍然能够较为光滑，从而保证该方法在各种工作环境下都能有效运作。仿真与实验结果也表明，本发明对外界干扰具有较强的鲁棒性。

附图说明：

图1为桥式吊车模型示意图；

图2为理想情况下(即无任何干扰)本发明的仿真结果。图中的四条曲线自上至下分别表示台车位移x(t)、负载摆角θ(t)、辅助信号u(t)以及控制输入F_a(t)。

图3为吊车系统有负载上的外界干扰时本发明的仿真结果。图中的四条曲线自上至下分别台车位移x(t)、负载摆角θ(t)、辅助信号u(t)以及控制输入F_a(t)。

图4为吊车控制的实际实验结果。其中(a)为本发明的实验结果图；(b)为LQR对比方法的实验结果图；(c)为文献[17]中基于末端执行器运动方法的实验结果图。各子图的三条曲线自上至下分别表示台车位移x(t)、负载摆角θ(t)以及控制输入F_a(t)。

图5为本发明在负载上有外界扰动时的实验结果，图中的三条曲线自上至下分别表示台车位移x(t)、负载摆角θ(t)以及控制输入F_a(t)。

图6为本发明在系统参数发生变化时的实验结果，图中的三条曲线自上至下分别表示台车位移x(t)、负载摆角θ(t)以及控制输入F_a(t)。

具体实施方式：

实施例1：

第1，基于转化模型的新颖滑模面的构造

桥式吊车一般可由下列动力学方程表示：

$\begin{array}{c}(M+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+ml\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\cos \mathrm{\&theta;}-ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2\sin \mathrm{\&theta;}=F_a,\\ {\mathrm{ml}}^2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+ml\cos \mathrm{\&theta;}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+mgl\sin \mathrm{\&theta;}=0,\end{array}---\left(1\right)$

其中，M,m,l分别表示台车质量，负载质量以及吊绳长度，θ(t),分别表示负载摆角及其一阶和二阶导数，x(t),表示台车位移及其二阶导数，而F_a(t)和g分别表示控制输入和重力加速度常数；首先进行如下状态变换：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\&eta;}}_1=x-x_d+l\ln (\frac{1}{\cos \mathrm{\&theta;}}+\tan \mathrm{\&theta;}),& {\mathrm{\&eta;}}_2=\stackrel{\&CenterDot;}{x}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d+\frac{l}{\cos \mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},\\ {\mathrm{\&eta;}}_3=-g\tan \mathrm{\&theta;},& {\mathrm{\&eta;}}_4=-\frac{g}{{\cos }^2\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},\end{array}---\left(2\right)$

其中，η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)为新定义的状态变量，为台车位移一阶导数，x_d(t)表示台车参考轨迹及其一阶导数，那么原模型(1)可等效转化为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1={\mathrm{\&eta;}}_2,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2={\mathrm{\&eta;}}_3-h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3={\mathrm{\&eta;}}_4,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_4=u,\end{array}---\left(3\right)$

其中，分别代表新定义的状态变量η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)关于时间的一阶导数，为已知的函数，为参考轨迹x_d(t)关于时间的二阶导数，u(t)为虚拟控制输入，它与控制输入F_a(t)具有如下关系：

$F_a=\frac{(Ml+{\mathrm{mlsin}}^2\mathrm{\&theta;})\cos \mathrm{\&theta;}}{g}u-ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2\sin \mathrm{\&theta;}-(M+m)g\tan \mathrm{\&theta;}+2\frac{(Ml+{\mathrm{mlsin}}^2\mathrm{\&theta;})\sin \mathrm{\&theta;}}{{\cos }^2\mathrm{\&theta;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2.---\left(4\right)$

在上述公式(1)-(4)中，t表示时间，变量后面(t)表示该变量为关于时间的变量，此外，除特殊说明，以上所说导数均为关于时间t的导数，下面做相同处理；为了简化，将变量θ(t),x(t),x_d(t),h(η₃(t)),u(t)和F_a(t)简写成θ,x,x_d,h(η₃),u和F_a，同样地，将η_i(t),i＝1,2,3,4简写成η_i,i＝1,2,3,4，下面的其余公式做同样简化处理；

进一步定义如下辅助函数：

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{(kt-1)}^4,& 0\&le;t\&le;\frac{1}{k},\\ 0,& t>\frac{1}{k},\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中k为待定的正参数，它决定了f(t)收敛到0的速度，具体来说，k越大，收敛越快，反之则越慢；在此基础上，构造滑模面如下：

Ω＝{(η₁，η₂，η₃，η₄)|aη₁+bη₂+cη₃+dη₄-λf(t)＝0}， (6)

其中，a,b,c,d均为控制参数，而λ＝aη₁(0)+bη₂(0)+cη₃(0)+dη₄(0)为一常数，其中η₁(0)，η₂(0)，η₃(0),η₄(0)分别表示0时刻η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)的初值信息；

第2，一种新颖的非线性控制算法

构造如下非线性控制算法：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{u}=M(*)+N(*)u,\\ u\left(0\right)=-\frac{1}{d}\{{\mathrm{a\&eta;}}_2\left(0\right)+b\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_3\left(0\right)-h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right(0\left)\right){\mathrm{\&eta;}}_4^2\left(0\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\left(0\right)\&rsqb;+{\mathrm{c\&eta;}}_4\left(0\right)-{\mathrm{\&lambda;f}}^{\&prime;}\left(0\right)\},\end{array}---\left(8\right)$

其中，表示u(t)的一阶导数,u(0),h(η₃(0)),f′(0)分别为u(t)，h(η₃(t))，f′(t)在0时刻的初值，f′(t)则是f(t)的一阶导数，M(*),N(*)均为已知函数，其具体表达式为

$M(*)=-\frac{1}{d}\{F(*)-{\mathrm{\&lambda;f}}^{\&prime;\&prime;}\left(t\right)+(k_1+k_2)\&lsqb;{\mathrm{a\&eta;}}_2+b({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)+{\mathrm{c\&eta;}}_4-{\mathrm{\&lambda;f}}^{\&prime;}\left(t\right)\&rsqb;+H(*)\},$

$N(*)=-\frac{1}{d}\&lsqb;C(*)+(k_1+k_2)d\&rsqb;,$

其中，f″(t)为f(t)的二阶导数，F(*),G(*),H(*)的具体表达式为

$F(*)=a({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)+b\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_4-\frac{\&part;h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right)}{\&part;{\mathrm{\&eta;}}_3}{\mathrm{\&eta;}}_4^3-x_d^{\left(3\right)}\&rsqb;,$

G(*)＝c-2bh(η₃)η₄，H(^*)＝(k₀+1+k₁k₂)x₁+k₂k₀χ，

其中，k₀，k₁,k₂均为正的控制参数，是h(η₃(t))对η₃(t)的一阶偏导数，表示x₁(t)从0到t时刻的积分，为参考轨迹x_d(t)的三阶导数，为了简化，在上述公式中将简写成在所提出的控制算法作用下，系统状态将始终保持在所构造的滑模面上；通过对滑模面上的系统状态进一步分析，可得系统状态将渐近收敛于期望平衡点处，也即：

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{lim}{\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&eta;}}_1& {\mathrm{\&eta;}}_2& {\mathrm{\&eta;}}_3& {\mathrm{\&eta;}}_4\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T.---\left(32\right);$

第3，控制方法实现

借助传感器实时反馈的台车位移与速度信号x(t),以及摆角及其速度信号θ(t),并结合已知的初始位置信息η₁(0),η₂(0),η₃(0),η₄(0)和预先选定的参考轨迹信息x_d(t),首先按照权利要求书第1、2步给出的控制算法生成所需的虚拟控制指令u(t)，然后根据(4)式所给出的对应关系搭建真实的控制输入F_a(t)；在生成虚拟控制指令u(t)时，需将控制参数k,k₀,k₁,k₂均调整为正值，并按照说明书中(18)式所给出的条件选取参数a,b,c,d，当以上所选取的参数满足(25)给出的判别条件时，可以实现吊车系统的高效消摆控制。

第4，仿真与实验效果描述

第4.1，仿真结果

本节首先对理想工作条件下的吊车进行了仿真验证。为了模拟真实的吊车，将系统参数选取为

M＝500kg，m＝1000kg，l＝15m.

目标位置设置为p_d＝15m，则选取参考轨迹为

$x_d=15(1-e^{-0.001t^3}).$

结合式(18)中的条件，选取控制参数为

k＝0.2,k₀＝2,k₁＝5,k₂＝5,a＝27,b＝27,c＝9,d＝1.

仿真选择0初始条件，即结合之前的参数及参考轨迹选择，发现它满足条件(25)。进一步地，滑模面具体设计为

Ω＝{(η₁,η₂,η₃,η₄)|27η₁+27η₂+9η₃+η₄＝0},

控制输入由下式动态产生：

$\stackrel{\&CenterDot;}{u}=M(*)+N(*)u,$

u(0)＝0,

其中，

$\begin{array}{c}M(*)=-27({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)-27\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_4-\frac{\&part;h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right)}{\&part;{\mathrm{\&eta;}}_3}{\mathrm{\&eta;}}_4^3-x_d^{\left(3\right)}\&rsqb;\\ -10\&lsqb;27{\mathrm{\&eta;}}_2+27({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)+9{\mathrm{\&eta;}}_4\&rsqb;-28x_1-10\mathrm{\&chi;},\end{array}$

N(*)＝-[19-54h(η₃)η₄].

仿真结果如附图2-3所示，为直观表示，仿真结果图中负载摆角的单位均为角度(°)，此外，对于所有的仿真结果图，在其台车位移子图中，实线代表台车的实际位移，虚线表示参考轨迹，点画线则表示期望的台车目标位置。从图2中可以看出，台车位移非常准确地沿着给定的参考轨迹运动到目标位置，且在整个运送过程中，负载摆角始终保持在2度以内。当台车到达目标位置以后，负载摆角也准确收敛到0，没有出现任何残余摆动。这些都说明本发明具有优良的控制效果。为了进一步测试本发明的鲁棒性，进行了如下仿真，即在吊车运送过程的第5-6秒时间段和24-25秒时间段，分别对负载添加一个10000N的力扰动。仿真结果如附图3所示，由图中可以看出，在两次扰动添加后，吊车系统都迅速地回归到稳定状态，这说明本发明对外界干扰具有很强的鲁棒性。

第4.2，实验结果

在实验过程中，自搭建吊车平台的实际物理参数为

M＝3.5kg,m＝0.5kg,l＝0.5m.

目标位置设置为p_d＝0.4m，则选取参考轨迹为

$x_d=0.4(1-e^{-0.04t^3}).$

结合式(18)中的条件，控制参数调整为

k＝0.2,k₀＝1,k₁＝10,k₂＝10,a＝27,b＝27,c＝9,d＝1.

在实验过程中，也选择零初始条件，即 发现它满足条件(25)，则控制器可用。滑模面的具体形式为

Ω＝{(η₁,η₂,η₃,η₄)|27η₁+27η₂+9η₃+η₄＝0},

控制输入由下式动态产生：

$\stackrel{\&CenterDot;}{u}=M(*)+N(*)u,$

u(0)＝0,

其中，

$\begin{array}{c}M(*)=-27({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)-27\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_4-\frac{\&part;h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right)}{\&part;{\mathrm{\&eta;}}_3}{\mathrm{\&eta;}}_4^3-x_d^{\left(3\right)}\&rsqb;\\ -10\&lsqb;27{\mathrm{\&eta;}}_2+27({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)+9{\mathrm{\&eta;}}_4\&rsqb;-28x_1-10\mathrm{\&chi;},\end{array}$

N(*)＝-[29-54h(η₃)η₄].

实验结果图中负载摆角的单位也均为角度(°)，并且在所有的台车位移子图中，实线代表台车的实际位移，虚线表示参考轨迹，点画线则表示期望的台车目标位置(图4(b)中LQR对比方法无参考轨迹，故未画出)。为检验本发明的控制效果，首先分别与经典的LQR方法和文献[17]中的方法进行对比，其实验结果如附图4所示。从图中可看出，在摆角抑制方面，本发明的表现(最大摆角约为2度)明显优于LQR方法(最大摆角约为6度)。文献[17]的方法虽然也能将摆角抑制在较小范围内(最大摆角约为3度)，但是其控制输入变化更加剧烈(变化频率高)，这一点不利于实际吊车操作。

为了从实验角度验证本发明的鲁棒性，进行了以下两组实验：(1)在负载上施加人为的扰动；(2)系统参数改变为M＝4.5kg,l＝0.7m，而控制参数等不变。实验结果分别如附图5-6所示。从图5中可以看出，在外界干扰施加以后，吊车系统仍能快速稳定，系统状态也都很快回到了期望值。而在图6中，尽管系统参数已经发生较大改变，所提出的控制算法仍然保证了快速的台车定位与负载消摆，实际的吊车控制效果保持良好。这些都说明了本发明对外界干扰的优良鲁棒性，因此具有很高的实际应用价值。

参考文献

1.F.A.Leban,J.Diaz-Gonzalez,G.G.Parker,and W.F.Zhao,Inverse kinematiccontrol of a dual crane system experiencing base motion,IEEE Transactions onControl Systems Technology,23(1):331-339,2015.

2.Z.Wu,X.H.Xia,Optimal motion planning for overhead cranes,IETControl Theory and Applications,8(17):1833-1842,2014.

3.C.Y.Chang,H.W.Lie,Real-time visual tracking and measurement tocontrol fast dynamics

of overhead cranes,IEEE Transactions on Industrial Electronics,259(3):1640-1649,2012.

4.E.Maleki,W.Singhose,and S.S.Gurleyuk,Increasing crane payload swingby shaping human operator commands,IEEE Transactions on Human-MachineSystems,44(1):106-114,2014.

5.S.Garrido,M.Abderrahim,A.Gimnez,R.Diez,and C.Balaguer,Anti-swinginginput shaping control of an automatic construction crane,IEEE Transactions onAutomation Science and Engineering,5(3):549-557,2008.

6.K.Sorensen,W.Singhose,Command-induced vibration analysis usinginput shaping principles,Automatica,44(9):2392-2397,2008.

7.W.Singhose,D.Kim,and M.Kenison,Input shaping control of double-pendulum bridge crane oscillations,ASME Journal of Dynamic Systems,Measurement,and Control,130(3):1-7,2008.

8.H.X.Jia,W.Singhose,Using two-mode input shaping to repress theresidual vibration of cherry pickers,Measuring Technology and MechatronicsAutomation,3:1091-1094,2011.

9.K.T.Hong,C.D.Huh,and K.S.Hong,Command shaping control for limitingthe transient sway angle of crane systems,International Journal of Control,Automation,and Systems,1(1):43-53,2003.

10.N.Sun,Y.Fang,Y.D.Zhang,B.Ma,A novel kinematic coupling basedtrajectory planning method for overhead cranes,IEEE/ASME Transactions onMechatronics,17(1):166-173,2012.

11.N.Sun,Y.Fang,X.Zhang,Y.Yuan,Transportation task-orientedtrajectory planning for underactuated overhead cranes using geometricanalysis,IET Control Theory and Applications,6(10):1410-1423,2012.

12.A.K.Kamath,N.M.Singh,F.Kazi,and R.Pasumarthy,Dynamics and controlof the 2D-spidercrane:A controlled Larrangian approach,Proceedings of theIEEE Conference on Decision and Control,Atlanta,USA:3596-3601,2010.

13.N.Sun,Y.Fang,Partially saturated nonlinear control for gantrycranes with hardware experiments,Nonlinear Dynamics,77(3):655-666,2014.

14.Q.H.Ngo,K.S.Hong,Adaptive sliding mode control of containercranes,2013IET Control Theory and Applications,6(5):662-668,2013.

15.Q.H.Ngo,K.S.Hong,Sliding-mode antisway control of an offshorecontainer crane,IEEE-ASME Transactions on Mechtronics,17(2):201-209,2012.

16.C.Y.Chang,Adaptive fuzzy controller of the overhead cranes withnonlinear disturbance,IEEE Transactions on Industrial Informatics,3(2):164-172,2007.

17.N.Sun,Y.Fang,New energy analytical results for the regulation ofunderactuated overhead cranes:An end-effector motion-based approach,IEEETransactions on Industrial Electronics,59(12):4723-4734,2012.

18.A.Khatamianfar,A.V.Savkin,A new tracking control approach for 3Doverhead crane systems using model predictive control,Proceedings of the2014European Control Conference,796-801,2014.

19.C.Chang,T.Chiang,Overhead cranes fuzzy control design withdeadzone compensation,Neural Computation and Applications,18(7):749-757,2009.

20.C.Chang,K.Chiang,Fuzzy projection control law and its applicationto the overhead crane,Mechatronics,18(10):607-615,2008.

21.Y.Li and Y.Liu,Real-time tip-over prevention and path followingcontrol for redundant nonholonomic mobile modular manipulators via fuzzy andneural-fuzzy approaches,ASMEJournal of Dynamic Systems,Measurement,andControl,128(4):753-764,2006.

22.方勇纯,卢桂章.非线性系统理论[M].北京:清华大学出版社,2009.

Claims (1)

1.一种基于滑模面的桥式吊车控制方法，其特征在于该方法包括：

第1，基于转化模型的新颖滑模面的构造

桥式吊车一般可由下列动力学方程表示：

$\begin{array}{c}(M+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+ml\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\cos \mathrm{\&theta;}-ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2\sin \mathrm{\&theta;}=F_a,\\ {\mathrm{ml}}^2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+ml\cos \mathrm{\&theta;}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+mgl\sin \mathrm{\&theta;}=0,\end{array}---\left(1\right)$

其中，M,m,l分别表示台车质量，负载质量以及吊绳长度，θ(t),分别表示负载摆角及其一阶和二阶导数，x(t),表示台车位移及其二阶导数，而F_a(t)和g分别表示控制输入和重力加速度常数；首先进行如下状态变换：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\&eta;}}_1=x-x_d+l\ln \left(\frac{1}{\cos \mathrm{\&theta;}}+\tan \mathrm{\&theta;}\right),& {\mathrm{\&eta;}}_2=\stackrel{\&CenterDot;}{x}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d+\frac{l}{\cos \mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},\\ {\mathrm{\&eta;}}_3=-g\tan \mathrm{\&theta;},& {\mathrm{\&eta;}}_4=-\frac{g}{{\cos }^2\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}},\end{array}---\left(2\right)$

其中，η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)为新定义的状态变量，为台车位移一阶导数，x_d(t),表示台车参考轨迹及其一阶导数，那么原模型(1)可等效转化为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_1={\mathrm{\&eta;}}_2,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_2={\mathrm{\&eta;}}_3-h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_3={\mathrm{\&eta;}}_4,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&eta;}}}_4=u,\end{array}---\left(3\right)$

其中，分别代表新定义的状态变量η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)关于时间的一阶导数，为已知的函数，为参考轨迹x_d(t)关于时间的二阶导数，u(t)为虚拟控制输入，它与控制输入F_a(t)具有如下关系：

$F_a=\frac{\left(Ml+ml{\sin }^2\mathrm{\&theta;}\right)\cos \mathrm{\&theta;}}{g}u-ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^{2}sin\mathrm{\&theta;}-(M+m)gtan\mathrm{\&theta;}+2\frac{(Ml+ml{\sin }^2\mathrm{\&theta;})sin\mathrm{\&theta;}}{{\cos }^2\mathrm{\&theta;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2.---\left(4\right)$

在上述公式(1)-(4)中，t表示时间，变量后面(t)表示该变量为关于时间的变量，此外，除特殊说明，以上所说导数均为关于时间t的导数，下面做相同处理；为了简化，将变量θ(t),x(t),x_d(t),h(η₃(t)),u(t)和F_a(t)简写成θ,x,x_d,h(η₃),u和F_a，同样地，将η_i(t),i＝1,2,3,4简写成η_i,i＝1,2,3,4，下面的其余公式做同样简化处理；

进一步定义如下辅助函数：

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\left(kt-1\right)}^4,& 0\&le;t\&le;\frac{1}{k},\\ 0,& t>\frac{1}{k},\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中k为待定的正参数，它决定了f(t)收敛到0的速度，具体来说，k越大，收敛越快，反之则越慢；在此基础上，构造滑模面如下：

Ω＝{(η₁,η₂,η₃,η₄)|aη₁+bη₂+cη₃+dη₄-λf(t)＝0}, (6)

其中，a,b,c,d均为控制参数，而λ＝aη₁(0)+bη₂(0)+cη₃(0)+dη₄(0)为一常数，其中η₁(0),η₂(0),η₃(0),η₄(0)分别表示0时刻η₁(t),η₂(t),η₃(t),η₄(t)的初值信息；

第2，一种新颖的非线性控制算法

构造如下非线性控制算法：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{u}=M(*)+N(*)u,\\ u\left(0\right)=-\frac{1}{d}\{{\mathrm{a\&eta;}}_2\left(0\right)+b\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_3\left(0\right)-h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right(0\left)\right){\mathrm{\&eta;}}_4^2\left(0\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\left(0\right)\&rsqb;+{\mathrm{c\&eta;}}_4\left(0\right)-{\mathrm{\&lambda;f}}^{\&prime;}\left(0\right)\},\end{array}---\left(8\right)$

其中，表示u(t)的一阶导数，u(0),h(η₃(0)),f'(0)分别为u(t),h(η₃(t)),f'(t)在0时刻的初值，f'(t)则是f(t)的一阶导数，M(*),N(*)均为已知函数，其具体表达式为

其中，f”(t)为f(t)的二阶导数，F(*),G(*),H(*)的具体表达式为

$F(*)=a({\mathrm{\&eta;}}_3-h({\mathrm{\&eta;}}_3){\mathrm{\&eta;}}_4^2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d)+b\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_4-\frac{\&part;h\left({\mathrm{\&eta;}}_3\right)}{\&part;{\mathrm{\&eta;}}_3}{\mathrm{\&eta;}}_4^3-x_d^{\left(3\right)}\&rsqb;,$

G(*)＝c-2bh(η₃)η₄,H(*)＝(k₀+1+k₁k₂)x₁+k₂k₀χ,

其中，k₀,k₁,k₂均为正的控制参数，是h(η₃(t))对η₃(t)的一阶偏导数，表示x₁(t)从0到t时刻的积分，为参考轨迹x_d(t)的三阶导数，为了简化，在上述公式中将简写成在所提出的控制算法作用下，系统状态将始终保持在所构造的滑模面上；通过对滑模面上的系统状态进一步分析，可得系统状态将渐近收敛于期望平衡点处，也即：

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&eta;}}_1& {\mathrm{\&eta;}}_2& {\mathrm{\&eta;}}_3& {\mathrm{\&eta;}}_4\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T.---\left(32\right);$

第3，控制方法实现

借助传感器实时反馈的台车位移与速度信号x(t),以及摆角及其速度信号θ(t),并结合已知的初始位置信息η₁(0),η₂(0),η₃(0),η₄(0)和预先选定的参考轨迹信息x_d(t),首先按照权利要求书第1、2步给出的控制算法生成所需的虚拟控制指令u(t)，然后根据(4)式所给出的对应关系搭建真实的控制输入F_a(t)；在生成虚拟控制指令u(t)时，需将控制参数k,k₀,k₁,k₂均调整为正值，并按照说明书中(18)式所给出的条件选取参数a,b,c,d，当以上所选取的参数满足(25)给出的判别条件时，可以实现吊车系统的高效消摆控制。