CN108052117A - 基于部分反馈线性化四旋翼无人机吊挂飞行控制方法 - Google Patents

基于部分反馈线性化四旋翼无人机吊挂飞行控制方法 Download PDF

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CN108052117A CN201711320183.5A CN201711320183A CN108052117A CN 108052117 A CN108052117 A CN 108052117A CN 201711320183 A CN201711320183 A CN 201711320183A CN 108052117 A CN108052117 A CN 108052117A
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Abstract

本发明涉及一种四旋翼无人机负载飞行的控制方法，为提出一种基于部分反馈线性化方法的非线性控制器，实现四旋翼无人机轨迹跟踪的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。本发明采用的技术方案是，基于部分反馈线性化四旋翼无人机吊挂飞行控制方法，在设置有用于吊载物品的吊绳的无人机上实现，步骤是，建立非线性动力学模型，运用部分反馈线性化方法对四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型进行部分线性化，进而设计控制器实现无人机控制。本发明主要应用于四旋翼无人机负载飞行的控制场合。

Description

基于部分反馈线性化四旋翼无人机吊挂飞行控制方法
技术领域
本发明涉及一种四旋翼无人机负载飞行的控制方法，特别是涉及四旋翼无人机以吊挂方式负载物体飞行的控制方法。
背景技术
四旋翼无人机是一种多旋翼结构的飞行器。由于四旋翼无人机便利、廉价、机动性能强的优势，近年来四旋翼无人机吊挂飞行系统越来越受到人们的关注。
目前国内研究人员的相关研究工作多为针对全尺寸直升机吊挂飞行中，面向飞行员的操作控制性性能问题，以及针对吊挂绳索和吊挂载荷的空气动力学特性分析问题(期刊：南京航空航天大学学报；著者：齐万涛，陈仁良；出版年月：2011年；文章题目：直升机吊挂飞行稳定性和操纵性分析；页码：406-412)。而对微、小型多旋翼无人机的吊挂飞行问题涉及相对较少。
国外研究人员针对无人机直升机吊挂飞行的问题提出了一些不同的控制方法。G.Wu等人(期刊：IEEE Access；著者：G.Wu,K.Sreenath；出版年月：2015年；文章题目：Variation-Based Linearization of Nonlinear Systems Evolving on SO(3)and S2；页码：1592–1604)提出一种针对SO(3)系统的时变线性化方法，运用该方法对四旋翼无人机吊挂系统进行了线性化分析，并以此设计了LQR(linear quadratic regulator)控制器实现了对该系统的稳定控制。
另一些研究团队针对四旋翼无人机吊挂飞行系统的轨迹跟踪问题进行了研究。S.Notter等人(期刊：IFAC Papers On Line；著者：S.Notter,A.Heckmann,A.Mcfadyen,F.Gonzalez；出版年月：2016年；文章题目：Modelling,Simulation and Flight Test of aModel Predictive Controlled Multirotor with Heavy Slung Load；页码：182–187)运用模型预测控制(MPC，Model Predictive Control)方法实现了针对多旋翼吊挂飞行的稳定控制和精确定位。K.Sreenath等人(会议：In Proceedings of 2013IEEE InternationalConference on Robotics and Automation；著者：K.Sreenath,N.Michael,and V.Kumar；出版年月：2013年；文章题目：Trajectory Generation and Control of a Quadrotorwith a Cable-Suspended Load–A Differentially-Flat Hybrid System；页码：4888-4895)利用微分平坦方法针对四旋翼吊挂飞行系统设计了非线性控制策略，实现了四旋翼稳定的飞行与吊挂减摆的控制效果。
为实现吊挂减摆的目的，一些研究团队运用了轨迹规划的方法。S.Tang等人(会议：In Proceedings of 2015IEEE International Conference on Robotics andAutomation；著者：S.Tang,V.Kumar；出版年月：2013年；文章题目：Mixed IntegerQuadratic Program Trajectory Generation for a Quadrotor with a Cable-Suspended Payload；页码：2216-2222.)利用Mixed Integer Quadratic Program的轨迹规划方法，实现四旋翼飞行轨迹生成，使其飞行过程中吊挂负载摆动达到预期的效果。
另外一些研究团队针对多无人机同时吊挂同一负载问题、吊挂绳索弹性问题、与吊挂四旋翼无人机带吊挂负载起降问题进行了研究。
发明内容
为克服现有技术的不足，本发明旨在提出一种基于部分反馈线性化方法的非线性控制器，实现四旋翼无人机轨迹跟踪的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。本发明采用的技术方案是，基于部分反馈线性化四旋翼无人机吊挂飞行控制方法，
在设置有用于吊载物品的吊绳的无人机上实现，步骤是，建立非线性动力学模型，运用部分反馈线性化方法对四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型进行部分线性化，进而设计控制器实现无人机控制。
进一步具体步骤是，首先通过对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，γ为绳索与竖直方向的夹角，g为重力加速度，(xQ,zQ)为四旋翼飞行器在二维空间中的位置坐标，Fnx和Fny分别为：
式(2)中，F为四旋翼无人机提供的总升力，θ为其俯仰角；
吊挂绳索上的张力大小T的表达式如下：
之后提出针对如式(1)所示系统的控制器设计：
式(4)中，各符号含义如下：
式(5)中kpx,kpz,kdx,kz,kγ均为控制增益，且大于零；ex和ez分别表示四旋翼飞行器在x轴和z轴方向上的位置误差ex＝xQ-xd，ez＝zQ-zd，(xd,zd)为四旋翼飞行器的目标位置；
式(5)控制增益中的kpx与kdx分别代表控制器中针对x控制方向的“比例项”与“微分项”；控制增益kpz与kdz分别代表控制器中针对z控制方向的“比例项”与“微分项”；控制增益kγ为控制器中针对摆角控制的“微分项”，摆角γ对应的“比例项”为固定值所以kγ的值应据此选择。
对控制器渐近收敛特性进行证明的步骤是：
首先将控制器(4)代入系统非线性模型(1)，得到：
式(6)中，其中为四旋翼无人机的位置与速度误差。则φ满足如下不等式：
|φ|<ρ(||pQ||)||pQ|| ⑺
其中||·||表示2范数，ρ(·)表示一个增函数，满足ρ(0)＝0；
设计备选李雅普诺夫函数
其中为系统的全状态量， 则显然P为正定矩阵；
对式(8)求关于时间的一阶导数，得到
由γ2<γsinγ可知
其中
为正定函数，
则由式(7)可以得到
其中ρ2(·)表示一个增函数，满足ρ2(0)＝0。
所以对于任意初始状态，总存在一组足够大的{kpx,kpz,kdx,kz,kγ}，使得
其中Q2正定函数。由此可以得到闭环系统为半全局渐进稳定的。也即
进行镇定控制和调节控制的数值仿真步骤，测试控制器(4)对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能，在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真，以验证控制器的合理性和可行性。
本发明的特点及有益效果是：
本发明设计基于部分反馈线性化方法的控制器，对四旋翼无人机携带的吊挂负载具有较好的减摆效果。在保证四旋翼无人机跟踪指定轨迹的同时兼顾考虑了携带负载的减摆问题，实现了在四旋翼无人机位置误差渐近收敛的同时摆角也渐近收敛到零。
附图说明：
图1是四旋翼无人机吊挂系统结构简图。
图2跟踪控制数值仿真时的系统状态、控制输入和状态误差图。
a是跟踪控制数值仿真时的四旋翼无人机位置变化曲线；
b是跟踪控制数值仿真时的四旋翼无人机位置误差变化曲线；
c是跟踪控制数值仿真时的控制输入速变化曲线；
d是跟踪控制数值仿真时的吊挂负载摆角变化曲线。
具体实施方式
为克服现有技术的不足，本发明旨在提出一种基于部分反馈线性化方法的非线性控制器，实现四旋翼无人机轨迹跟踪的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。本发明采用的技术方案是，基于部分反馈线性化的四旋翼无人机吊挂飞行系统控制方法，在设置有用于吊载物品的吊绳的无人机上实现，步骤是，运用部分反馈线性化方法对四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型进行部分线性化，进而设计控制器实现无人机控制，进一步具体步骤是，首先通过对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，γ为绳索与竖直方向的夹角，g为重力加速度，(xQ,zQ)为四旋翼飞行器在二维空间中的位置坐标，Fnx和Fny分别为：
式(2)中，F为四旋翼无人机提供的总升力，θ为其俯仰角；
吊挂绳索上的张力大小T的表达式如下：
之后提出针对如式(1)所示系统的控制器设计：
式(4)中，各符号含义如下：
式(5)中kpx,kpz,kdx,kz,kγ均为控制增益，且大于零；ex和ez分别表示四旋翼飞行器在x轴和z轴方向上的位置误差ex＝xQ-xd，ez＝zQ-zd，(xd,zd)为四旋翼飞行器的目标位置。
式(5)控制增益中的kpx与kdx分别代表控制器中针对x控制方向的“比例项”与“微分项”，其值的选取方法与一般PD(比例-微分)控制器类似；控制增益kpz与kdz分别代表控制器中针对z控制方向的“比例项”与“微分项”，其选取方式同上。控制增益kγ为控制器中针对摆角控制的“微分项”，摆角γ对应的“比例项”为固定值所以kγ的值应据此选择。
对控制器渐近收敛特性进行证明的步骤是：
首先将控制器(4)代入系统非线性模型(1)，得到：
式(6)中，其中为四旋翼无人机的位置与速度误差。则φ满足如下不等式：
|φ|<ρ(||pQ||)||pQ|| ⑺
其中||·||表示2范数，ρ(·)表示一个增函数，满足ρ(0)＝0。
设计备选李雅普诺夫函数
其中为系统的全状态量， 则显然P为正定矩阵。
对式(8)求关于时间的一阶导数，得到
由γ2<γsinγ可知
其中
为正定函数，
则由式(7)可以得到
其中ρ2(·)表示一个增函数，满足ρ2(0)＝0。
所以对于任意初始状态，总存在一组足够大的{kpx,kpz,kdx,kz,kγ}，使得
其中Q2正定函数。由此可以得到闭环系统为半全局渐进稳定的。也即
进行镇定控制和调节控制的数值仿真步骤，测试控制器(4)对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能，在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真，以验证控制器的合理性和可行性。
本发明所要解决的技术问题是，提出一种基于部分反馈线性化方法的非线性控制器，实现四旋翼无人机轨迹跟踪的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。
本发明采用的技术方案是：基于部分反馈线性化方法设计李亚普诺夫方程，进而设计控制器实现控制目标，包括如下步骤：
首先通过对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，γ为绳索与竖直方向的夹角，g为重力加速度，(xQ,zQ)为四旋翼飞行器在二维空间中的位置坐标，Fnx和Fny分别为：
式(2)中，F为四旋翼无人机提供的总升力，θ为其俯仰角；
吊挂绳索上的张力大小T的表达式如下：
之后提出针对如式(1)所示系统的控制器设计：
式(4)中，各符号含义如下：
式(5)中kpx,kpz,kdx,kz,kγ均为控制增益，且大于零；ex和ez分别表示四旋翼飞行器在x轴和z轴方向上的位置误差ex＝xQ-xd，ez＝zQ-zd，(xd,zd)为四旋翼飞行器的目标位置。
式(5)控制增益中的kpx与kdx分别代表控制器中针对x控制方向的“比例项”与“微分项”，其值的选取方法与一般PD(比例-微分)控制器类似；控制增益kpz与kdz分别代表控制器中针对z控制方向的“比例项”与“微分项”，其选取方式同上。控制增益kγ为控制器中针对摆角控制的“微分项”，摆角γ对应的“比例项”为固定值所以kγ的值应据此选择。
对控制器渐近收敛特性进行证明的步骤是：
首先将控制器(4)代入系统非线性模型(1)，得到：
式(6)中，其中为四旋翼无人机的位置与速度误差。则φ满足如下不等式：
|φ|<ρ(||pQ)||pQ|| ⑺
其中||·||表示2范数，ρ(·)表示一个增函数，满足ρ(0)＝0。
设计备选李雅普诺夫函数
其中为系统的全状态量， 则显然P为正定矩阵。
对式(8)求关于时间的一阶导数，得到
由γ2<γsinγ可知
其中
为正定函数，
则由式(7)可以得到
其中ρ2(·)表示一个增函数，满足ρ2(0)＝0。
所以对于任意初始状态，总存在一组足够大的{kpx,kpz,kdx,kz,kγ}，使得
其中Q2正定函数。由此可以得到闭环系统为半全局渐进稳定的。也即
为验证本发明的针对四旋翼无人机吊挂飞行系统的非线性控制方法的有效性，进行了数值仿真验证。下面结合数值仿真和附图对本发明针对四旋翼无人机吊挂飞行系统的非线性控制方法做出详细说明。
为测试控制器(4)对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能，在MATLAB/SIMULINK环境下，进行了镇定控制和调节控制的数值仿真，以验证控制器的合理性和可行性。
一、数值仿真简介
无人机吊挂系统的相关参数设定为
L＝0.9,mQ＝1.2,mL＝0.36,g＝9.8
选取目标轨迹
进行数值仿真。
二、跟踪控制数值仿真。
给定上述参数，并选取系统状态初值xQ(0)＝0,zQ(0)＝0,γ(0)＝0°，将控制器(4)应用于四旋翼无人机吊挂系统(1)，对飞行器位置控制与减摆作用的综合考虑，并考虑到系统输入幅值的约束，选取控制器参数如下:
kpx＝2.7,kdx＝1.1,kpz＝30,kdz＝4,kγ＝1.5
则此时可以得到控制效果如图2(a)，图2(b)，图2(c)，图2(d)所示。图2(a)，图2(b)，图2(c)，图2(d)分别描述了四旋翼无人机位置与目标位置随时间变化的曲线，四旋翼无人机位置误差随时间变化的曲线，系统控制输入随时间变化的曲线，与吊挂负载摆角随时间变化曲线。2(a)中实线代表四旋翼无人机实际位置的变化曲线，虚线为目标位置的变化曲线。从图2(a)，图2(b)中可以看出本文所设计的控制器可以很好地跟随目标曲线，摆角震荡的衰减较快。
经过上述分析，证明了本发明所提算法的有效性。

Claims (4)

1.一种基于能量法的四旋翼无人机吊挂飞行系统控制方法，其特征是，在设置有用于吊载物品的吊绳的无人机上实现，步骤是，建立非线性动力学模型，运用部分反馈线性化方法对四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型进行部分线性化，进而设计控制器实现无人机控制。
2.如权利要求1所述的基于能量法的四旋翼无人机吊挂飞行系统控制方法，其特征是，进一步具体步骤是，首先通过分别对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
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式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，γ为绳索与竖直方向的夹角，g为重力加速度，(xQ,zQ)为四旋翼飞行器在二维空间中的位置坐标，Fnx和Fny分别为：
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式(2)中，F为四旋翼无人机提供的总升力，θ为其俯仰角；
吊挂绳索上的张力大小T的表达式如下：
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式(4)中，各符号含义如下：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Lk</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </mfrac> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(5)中kpx,kpz,kdx,kz,kγ均为控制增益，且大于零；ex和ez分别表示四旋翼飞行器在x轴和z轴方向上的位置误差ex＝xQ-xd，ez＝zQ-zd，(xd,zd)为四旋翼飞行器的目标位置；
式(5)控制增益中的kpx与kdx分别代表控制器中针对x控制方向的“比例项”与“微分项”；控制增益kpz与kdz分别代表控制器中针对z控制方向的“比例项”与“微分项”；控制增益kγ为控制器中针对摆角控制的“微分项”，摆角γ对应的“比例项”为固定值所以kγ的值应据此选择。
3.如权利要求2所述的基于能量法的四旋翼无人机吊挂飞行系统控制方法，其特征是，对控制器渐近收敛特性进行证明的步骤是，
首先将控制器(4)代入系统非线性模型(1)，得到：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Lk</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </mfrac> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>g</mi> <mi>L</mi> </mfrac> <mi>sin</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>L</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(6)中，其中为四旋翼无人机的位置与速度误差，则满足如下不等式：
<mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>Q</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>Q</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中||·||表示2范数，ρ(·)表示一个增函数，满足ρ(0)＝0；
设计备选李雅普诺夫函数
其中为系统的全状态量， 则显然P为正定矩阵；
对式(8)求关于时间的一阶导数，得到
由γ2<γsinγ可知
其中
<mrow> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mfrac> <mi>g</mi> <mi>L</mi> </mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </msub> <mo>,</mo> <mfrac> <mi>g</mi> <mi>L</mi> </mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </msub> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
为正定函数，
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Lk</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </mfrac> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>g</mi> <mi>L</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>g</mi> <mi>L</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则由式(7)得到
其中ρ2(·)表示一个增函数，满足ρ2(0)＝0；
所以对于任意初始状态，总存在一组足够大的{kpx,kpz,kdx,kz,kγ}，使得
其中Q2正定函数。由此可以得到闭环系统为半全局渐进稳定的。也即
<mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>,</mo> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
4.如权利要求1所述的基于能量法的四旋翼无人机吊挂飞行系统控制方法，其特征是，进行镇定控制和调节控制的数值仿真步骤，测试控制器(4)对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能，在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真，以验证控制器的合理性和可行性。
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