CN109976366A - 旋翼无人机吊挂负载系统非线性轨迹跟踪控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及旋翼无人机的吊挂负载运输飞行的轨迹跟踪控制技术，为提出一种基于误差符号积分鲁棒控制(robust integral of the sign of the error，RISE)技术的非线性鲁棒控制方法，实现在该系统存在未知参数的条件下，实现在控制四旋翼无人机位置的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。为此，本发明采取的技术方案是，旋翼无人机吊挂负载系统非线性轨迹跟踪控制方法，基于RISE函数方法设计李亚普诺夫方程，进而设计控制器实现无人机控制。本发明主要应用于旋翼无人机的吊挂负载运输飞行的轨迹跟踪控制场合及旋翼无人机的设计制造。
Description
技术领域
本发明涉及一种旋翼无人机的吊挂负载运输飞行的轨迹跟踪控制方法，特别是涉及四旋翼无人机以吊挂负载物体飞行的轨迹跟踪控制方法。具体而言，涉及针对小型四旋翼无人机吊挂负载系统的非线性轨迹跟踪控制方法。
背景技术
四旋翼无人机是一种多旋翼结构的飞行器。小型无人机多种场景中具有重大作用，引起科研人员的广泛关注。无人机吊挂飞行是将微型无人机运用于各种具体任务的重要实现方式。近年来，无人机吊挂飞行的问题日益得到国内外高校和研究团队的关注。目前国内研究人员的相关研究工作多为针对全尺寸直升机吊挂飞行中，面向飞行员的操作控制性性能问题，以及针对吊挂绳索和吊挂载荷的空气动力学特性分析问题(期刊：南京航空航天大学学报；著者：齐万涛，陈仁良；出版年月：2011年；文章题目：直升机吊挂飞行稳定性和操纵性分析；页码：406-412)。而对微、小型多旋翼无人机的吊挂飞行问题涉及相对较少。梁潇等对四旋翼无人机吊挂负载运输系统的离线轨迹规划问题做了研究(期刊：《控制理论与应用》；著者：梁潇，方勇纯，孙宁；出版年月：2015年；文章题目：平面四旋翼无人飞行器运送系统的轨迹规划与跟踪控制器设计；页码：1430-1438)。Rigen Mo等人(会议：2016 35thChinese Control Conference(CCC)；著者：Rigen Mo，Qingbo Geng，Xin Lu；出版年月：2016年；文章题目Study on control method of a rotor UAV transportation withslung-load；页码：3274-3279)针对无人机吊挂飞行系统设计了基于L1方法的线性自适应控制器，并对所设计控制器做了仿真测试，验证了该控制策略的有效性。
国外研究团队也对相关领域做了一些研究。Koushil Sreenath等人基于积分平坦理论对无人机吊挂飞行系统的模型与控制做了一定的分析研究(会议：Proceedings ofthe 52nd IEEE Conference on Decision and Control；著者：Koushil Sreenath，Taeyoung Lee，Vijay Kumar；出版年月：2013年；文章题目：Geometric control anddifferential flatness of a quadrotor UAV with a cable-suspended load；页码：2269-2274)。一些学者(期刊：《Artificial Intelligence》；著者：Faust,Aleksandra andPalunko,Ivana and Cruz,Patricio and Fierro,Rafael and Tapia,Lydia；出版年月：2017年；文章题目：Automated aerial suspended cargo delivery throughreinforcement learning；页码：381-398)运用强化学习的方法，对无人机吊挂飞行系统的轨迹规划和避障问题做了分析和研究，并给出了一种可以在障碍物已知的条件下生成避障轨迹的轨迹生成方法。Alothman等人(期刊：《Computer Science and ElectronicEngineering》；著者：Alothman,Yaser and Gu,Dongbing；出版年月：2017年；文章题目：Quadrotor transporting cable-suspended load using iterative Linear Quadraticregulator(iLQR)optimal control；页码：168-173)利用迭代线性最优二次型(iterativeLinear Quadratic regulator,iLQR)的线性控制方法针对无人机吊挂系统的控制问题提出了一种基于线性模型的控制设计。Notter等人(期刊：《IFAC PapersOnLine》；著者：S.Notter and A.Heckmann and A.Mcfadyen and F.Gonzalez；出版年月：2016年；文章题目：Modelling,Simulation and Flight Test of a Model Predictive ControlledMultirotor with Heavy Slung Load；页码：182-187)借助模型预测控制(ModelPredictive Controlled,MPC)的控制方法对多旋翼无人机的模型建立、仿真测试、控制器设计等方面进行了研究。
发明内容
为克服现有技术的不足，本发明旨在提出一种基于误差符号积分鲁棒控制(robust integral of the sign of the error，RISE)技术的非线性鲁棒控制方法，实现在该系统存在未知参数的条件下，实现在控制四旋翼无人机位置的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。为此，本发明采取的技术方案是，旋翼无人机吊挂负载系统非线性轨迹跟踪控制方法，基于RISE函数方法设计李亚普诺夫方程，进而设计控制器实现无人机控制。
进一步具体地，首先通过分别对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，G＝(0,g)为重力加速度，PQ(t)＝(xQ(t),zQ(t))为四旋翼飞行器在竖直二维空间中的位置坐标，f(t)＝(Fx(t),Fz(t))为四旋翼无人机提供的总升力,q(t)＝(sinγ(t),cosγ(t))为无人机指向吊挂负载的单位向量，其中γ(t)为吊挂负载摆角；
针对如式(1)所示系统展开如下：
式(2)中，F(t)为总升力的合理，即F(t)＝|f(t)Tf(t)|，θ(t)为飞行器的俯仰角，针对(2)式中的四旋翼无人机吊挂飞行模型，设计如下控制器：
式(3)中Fnx(t)和Fny(t)分别表示飞行器螺旋桨产生的升力在垂直于吊挂方向与平行于吊挂方向的分力，Fnx(t)和Fny(t)设计为
Fny(t)＝(mQ+mL)(-A(t)sinγ(t)+B(t)cosγ(t)) (4)
(4)式中，ks,α,β为大于0的恒定控制增益，表示摆角与目标摆角γd(t)的误差函数e2(t)的二阶导数，A(t)和B(t)为两个辅助函数，sgn(·)为符号函数，上述符号中误差函数的定义方程如下：
e1(t)＝γd(t)-γ(t)
表示作为虚拟输入的目标摆角γd的二阶导数，γd设计如下：
辅助函数A(t)和B(t)设计为：
上式中和是目标轨迹(Px(t),Pz(t))的二阶导数。αx，αz，kx和kz均为非负控制增益。和是位置误差(ex(t),ez(t))＝(xQ(t),zQ(t))-(Px(t),Pz(t))的一阶导数。rx(t)和rz(t)为位置误差的线性滤波器，其定义如下：
由相关控制理论可知，线性滤波器rx(t)和rz(t)的收敛性和对应的位置误差(ex(t),ez(t))的收敛性等价，将上述控制器式(3)-(7)代入式(8)可以得到线性滤波器的闭环系统为
同时吊挂摆角的线性滤波器定义为
将式(3)-(8)所示控制器带入式(10)得到对应的闭环系统为：
上式中N(t)表示关于误差(e1(t)，e2(t)，r(t))有界的扰动；
综上式(9)，(11)所示闭环系统可以设计李雅普诺夫函数
则可得其导数满足
由上述李雅普诺夫函数可得选取控制增益ks>N时，李雅普诺夫稳定性条件得到满足，则原系统的闭环系统渐近收敛于目标轨迹。
控制参数的分析：α，ks，β影响摆角γ的跟踪收敛速度，αx，kx影响无人机水平方向位置xQ(t)跟踪收敛速度，αz，kz影响无人机垂直地面方向位置zQ(t)跟踪收敛速度；α，αx，αz表征线性滤波器中的比例系数于微分系数的比例，增加上述增益将提到微分误差在控制器中所占份额；β会影响摆角环抗扰动的能力，但是β过大会造成控制器的抖振；ks，kx，kz代表影响比例误差的收敛速度，增大上述增益将提到误差收敛速度，但同时会增加执行机构对跟踪误差的相应幅值。
进行调节控制的数值仿真步骤，测试式(3)-(8)提出的鲁棒控制器对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能。
本发明的特点及有益效果是：
本发明设计基于RISE的非线性鲁棒控制器，在系统存在参数未知和未知扰动的条件下对四旋翼无人机携带的吊挂负载具有较好的减摆效果。在保证四旋翼无人机跟踪制定轨迹的同时兼顾考虑了携带负载的减摆问题，实现了在四旋翼无人机渐近收敛到目标位置的同时摆角也渐近收敛到零。
附图说明：
图1是四旋翼无人机吊挂系统结构简图。其中，a为实物图，b为工作原理示意图。
图2是调节控制数值仿真时的仿真结果图。其中
a是调节控制数值仿真时的四旋翼飞行器位置变化曲线；
b是调节控制数值仿真时的摆角变化曲线；
c是调节控制数值仿真时的四旋翼飞行器总升力和姿态变化曲线。
具体实施方式
为克服现有技术的不足，本发明旨在提出一种基于误差符号积分鲁棒控制(robust integral of the sign of the error，RISE)技术的非线性鲁棒控制方法，实现在该系统存在未知参数的条件下，实现在控制四旋翼无人机位置的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。本发明采用的技术方案是，基于RISE的四旋翼无人机吊挂飞行系统控制方法，步骤是，基于RISE函数方法设计李亚普诺夫方程，进而设计控制器实现无人机控制。
进一步具体地，首先通过分别对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，G＝(0,g)为重力加速度，PQ(t)＝(xQ(t),zQ(t))为四旋翼飞行器在竖直二维空间中的位置坐标，f(t)＝(Fx(t),Fz(t))为四旋翼无人机提供的总升力,q(t)＝(sinγ(t),cosγ(t))为无人机指向吊挂负载的单位向量，其中γ(t)为吊挂负载摆角；
针对如式(1)所示系统可以展开写作：
式(2)中，F(t)为总升力的合理，即F(t)＝|f(t)Tf(t)|，θ(t)为飞行器的俯仰角。
针对(2)式中的四旋翼无人机吊挂飞行模型，设计如下控制器
式(3)中Fnx(t)和Fny(t)分别表示飞行器螺旋桨产生的升力在垂直于吊挂方向与平行于吊挂方向的分力。Fnx(t)和Fny(t)设计为
Fny(t)＝(mQ+mL)(-A(t)sinγ(t)+B(t)cosγ(t)) (4)
(4)式中，ks,α,β为大于0的恒定控制增益。表示摆角与目标摆角γd(t)的误差函数e2(t)的二阶导数，A(t)和B(t)为两个辅助函数，sgn(·)为符号函数。上述符号中误差函数的定义方程如下：
表示作为虚拟输入的目标摆角γd的二阶导数，γd设计如下：
辅助函数A(t)和B(t)设计为：
上式中和是目标轨迹(Px(t),Pz(t))的二阶导数。αx，αz，kx和kz均为非负控制增益。和是位置误差(ex(t),ez(t))＝(xQ(t),zQ(t))-(Px(t),Pz(t))的一阶导数。rx(t)和rz(t)为位置误差的线性滤波器。其定义如下：
由相关控制理论可知，线性滤波器rx(t)和rz(t)的收敛性和对应的位置误差(ex(t),ez(t))的收敛性等价。将上述控制器式(3)-(7)代入式(8)可以得到线性滤波器的闭环系统为
同时吊挂摆角的线性滤波器定义为
将式(3)-(8)所示控制器带入式(10)得到对应的闭环系统为：
上式中N(t)表示关于误差(e1(t)，e2(t)，r(t))有界的扰动。
综上式(9)，(11)所示闭环系统可以设计李雅普诺夫函数
则可得其导数满足
由上述李雅普诺夫函数可得选取控制增益ks>N时，李雅普诺夫稳定性条件得到满足。则原系统的闭环系统渐近收敛于目标轨迹。另外，如上述闭环系统结构所示，可以提出如下关于控制参数的分析。α，ks，β影响摆角γ的跟踪收敛速度，αx，kx影响无人机水平方向位置xQ(t)跟踪收敛速度，αz，kz影响无人机垂直地面方向位置zQ(t)跟踪收敛速度。α，αx，αz表征线性滤波器中的比例系数于微分系数的比例，增加上述增益将提到微分误差在控制器中所占份额。β会影响摆角环抗扰动的能力，但是β过大会造成控制器的抖振。ks，kx，kz代表影响比例误差的收敛速度，增大上述增益将提到误差收敛速度，但同时会增加执行机构对跟踪误差的相应幅值。
进行调节控制的数值仿真步骤，测试式(3)-(8)提出的鲁棒控制器对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能。
为克服现有技术的不足，本发明旨在提出一种基于误差符号积分鲁棒控制(robust integral of the sign of the error，RISE)技术的非线性鲁棒控制方法，实现在该系统存在未知参数的条件下，实现在控制四旋翼无人机位置的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。本发明采用的技术方案是，基于RISE的四旋翼无人机吊挂飞行系统控制方法，步骤是，基于RISE函数方法设计李亚普诺夫方程，进而设计控制器实现无人机控制。进一步具体地，首先通过分别对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，G＝(0,g)为重力加速度，PQ(t)＝(xQ(t),zQ(t))为四旋翼飞行器在竖直二维空间中的位置坐标，f(t)＝(Fx(t),Fz(t))为四旋翼无人机提供的总升力,q(t)＝(sinγ(t),cosγ(t))为无人机指向吊挂负载的单位向量，其中γ(t)为吊挂负载摆角；
针对如式(1)所示系统可以展开写作：
式(2)中，F(t)为总升力的合理，即F(t)＝|f(t)Tf(t)|，θ(t)为飞行器的俯仰角。
针对(2)式中的四旋翼无人机吊挂飞行模型，设计如下控制器
式(3)中Fnx(t)和Fny(t)分别表示飞行器螺旋桨产生的升力在垂直于吊挂方向与平行于吊挂方向的分力。Fnx(t)和Fny(t)设计为
Fny(t)＝(mQ+mL)(-A(t)sinγ(t)+B(t)cosγ(t)) (4)
(4)式中，ks,α,β为大于0的恒定控制增益。表示摆角与目标摆角γd(t)的误差函数e2(t)的二阶导数，A(t)和B(t)为两个辅助函数，sgn(·)为符号函数。上述符号中误差函数的定义方程如下：
表示作为虚拟输入的目标摆角γd的二阶导数，γd设计如下：
辅助函数A(t)和B(t)设计为：
上式中和是目标轨迹(Px(t),Pz(t))的二阶导数。αx，αz，kx和kz均为非负控制增益。和是位置误差(ex(t),ez(t))＝(xQ(t),zQ(t))-(Px(t),Pz(t))的一阶导数。rx(t)和rz(t)为位置误差的线性滤波器。其定义如下：
由相关控制理论可知，线性滤波器rx(t)和rz(t)的收敛性和对应的位置误差(ex(t),ez(t))的收敛性等价。将上述控制器式(3)-(7)代入式(8)可以得到线性滤波器的闭环系统为
同时吊挂摆角的线性滤波器定义为
将式(3)-(8)所示控制器带入式(10)得到对应的闭环系统为：
上式中N(t)表示关于误差(e1(t)，e2(t)，r(t))有界的扰动。
综上式(9)，(11)所示闭环系统可得原系统的闭环系统渐近收敛于目标轨迹。另外，如上述闭环系统结构所示，可以提出如下关于控制参数的分析。α，ks，β影响摆角γ的跟踪收敛速度，αx，kx影响无人机水平方向位置xQ(t)跟踪收敛速度，αz，kz影响无人机垂直地面方向位置zQ(t)跟踪收敛速度。α，αx，αz表征线性滤波器中的比例系数于微分系数的比例，增加上述增益将提到微分误差在控制器中所占份额。β会影响摆角环抗扰动的能力，但是β过大会造成控制器的抖振。ks，kx，kz代表影响比例误差的收敛速度，增大上述增益将提到误差收敛速度，但同时会增加执行机构对跟踪误差的相应幅值。
进行调节控制的数值仿真步骤，测试式(3)-(8)提出的鲁棒控制器对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能。
本发明设计基于RISE的非线性鲁棒控制器，在系统存在参数未知和未知扰动的条件下对四旋翼无人机携带的吊挂负载具有较好的减摆效果。在保证四旋翼无人机跟踪制定轨迹的同时兼顾考虑了携带负载的减摆问题，实现了在四旋翼无人机渐近收敛到目标位置的同时摆角也渐近收敛到零。
在MATLAB/SIMULINK环境下，进行调节控制仿真突出了本控制策略的优势。
本发明所要解决的技术问题是，提出一种基于RISE控制方法的非线性鲁棒控制器，实现控制四旋翼无人机位置跟踪给定轨迹的同时较好地抑制吊挂负载在飞行中的摆动。
本发明采用的技术方案是：基于RISE控制设计方法的控制器实现控制目标，包括如下步骤：
首先通过分别对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得如图1所示的四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，G＝(0,g)为重力加速度，PQ(t)＝(xQ(t),zQ(t))为四旋翼飞行器在竖直二维空间中的位置坐标，f(t)＝(Fx(t),Fz(t))为四旋翼无人机提供的总升力,q(t)＝(sinγ(t),cosγ(t))为无人机指向吊挂负载的单位向量，其中γ(t)为吊挂负载摆角；
针对如式(1)所示系统可以展开写作：
式(2)中，F(t)为总升力的合理，即F(t)＝|f(t)Tf(t)|，θ(t)为飞行器的俯仰角。
针对(2)式中的四旋翼无人机吊挂飞行模型，设计如下控制器
式(3)中Fnx(t)和Fny(t)分别表示飞行器螺旋桨产生的升力在垂直于吊挂方向与平行于吊挂方向的分力。Fnx(t)和Fny(t)设计为
Fny(t)＝(mQ+mL)(-A(t)sinγ(t)+B(t)cosγ(t)) (4)
(4)式中，ks,α,β为大于0的恒定控制增益。表示摆角与目标摆角γd(t)的误差函数e2(t)的二阶导数，A(t)和B(t)为两个辅助函数，sgn(·)为符号函数。上述符号中误差函数的定义方程如下：
表示作为虚拟输入的目标摆角γd的二阶导数，γd设计如下：
辅助函数A(t)和B(t)设计为：
上式中和是目标轨迹(Px(t),Pz(t))的二阶导数。αx，αz，kx和kz均为非负控制增益。和是位置误差(ex(t),ez(t))＝(xQ(t),zQ(t))-(Px(t),Pz(t))的一阶导数。rx(t)和rz(t)为位置误差的线性滤波器。其定义如下：
由相关控制理论可知，线性滤波器rx(t)和rz(t)的收敛性和对应的位置误差(ex(t),ez(t))的收敛性等价。将上述控制器式(3)-(7)代入式(8)可以得到线性滤波器的闭环系统为
同时吊挂摆角的线性滤波器定义为
将式(3)-(8)所示控制器带入式(10)得到对应的闭环系统为：
综上式(9)，(11)所示闭环系统可以设计李雅普诺夫函数
则可得其导数满足
由上述李雅普诺夫函数可得选取控制增益ks>N时，李雅普诺夫稳定性条件得到满足。则原系统的闭环系统渐近收敛于目标轨迹。另外，如上述闭环系统结构所示，可以提出如下关于控制参数的分析。α，ks，β影响摆角γ的跟踪收敛速度，αx，kx影响无人机水平方向位置xQ(t)跟踪收敛速度，αz，kz影响无人机垂直地面方向位置zQ(t)跟踪收敛速度。α，αx，αz表征线性滤波器中的比例系数于微分系数的比例，增加上述增益将提到微分误差在控制器中所占份额。β会影响摆角环抗扰动的能力，但是β过大会造成控制器的抖振。ks，kx，kz代表影响比例误差的收敛速度，增大上述增益将提到误差收敛速度，但同时会增加执行机构对跟踪误差的相应幅值。
进行调节控制的数值仿真步骤，测试式(3)-(8)提出的鲁棒控制器对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能。在MATLAB/SIMULINK环境下，通过下述数值仿真结果，突出了本控制策略的优势。
一、数值仿真简介
无人机吊挂系统的相关参数设定为
mQ＝0.5kg，mL＝0.05kg，L＝0.8m
二、调节控制数值仿真
系统状态初值选取xQ(0)＝0,zQ(0)＝0,γ(0)＝0°.设定目标位置为xd＝1,zd＝0.2.根据与镇定控制数值仿真相同的原则，选取控制器。则此时可以得到控制效果如图2(a)，图2(b)，图2(c)所示。图2(a)，图2(b)，图2(c)分别描述了四旋翼无人机位置变化曲线，摆角变化曲线,四旋翼飞行器总升力和姿态的变化曲线。从图2(a)，图2(b)中可以看出本文所设计控制器在较短的时间内使四旋翼无人机从初始位置到达了目标位置，并且期间四旋翼无人机的吊挂负载摆角变化明显较小。
经过上述分析，证明了本发明所提算法的有效性。
进行调节控制的实验步骤，测试式(3)-(8)提出的鲁棒控制器对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能。
经过上述分析，证明了本发明所提算法的有效性。
Claims (4)
1.一种旋翼无人机吊挂负载系统非线性轨迹跟踪控制方法，其特征是，基于RISE函数方法设计李亚普诺夫方程，进而设计控制器实现无人机控制。
2.如权利要求1所述的旋翼无人机吊挂负载系统非线性轨迹跟踪控制方法，其特征是，进一步具体地，首先通过分别对四旋翼无人机吊挂飞行过程中的无人机和吊挂物体分别进行受力分析，从而获得四旋翼无人机吊挂飞行过程的非线性动力学模型：
式(1)中各变量定义如下：mQ和mL分别为四旋翼无人机和负载的质量，L为绳长，G＝(0,g)为重力加速度，PQ(t)＝(xQ(t),zQ(t))为四旋翼飞行器在竖直二维空间中的位置坐标，f(t)＝(Fx(t),Fz(t))为四旋翼无人机提供的总升力,q(t)＝(sinγ(t),cosγ(t))为无人机指向吊挂负载的单位向量，其中γ(t)为吊挂负载摆角；
针对如式(1)所示系统展开如下：
式(2)中，F(t)为总升力的合理，即F(t)＝|f(t)T f(t)|，θ(t)为飞行器的俯仰角，
针对(2)式中的四旋翼无人机吊挂飞行模型，设计如下控制器：
式(3)中Fnx(t)和Fny(t)分别表示飞行器螺旋桨产生的升力在垂直于吊挂方向与平行于吊挂方向的分力，Fnx(t)和Fny(t)设计为
Fny(t)＝(mQ+mL)(-A(t)sinγ(t)+B(t)cosγ(t)) (4)
(4)式中，ks,α,β为大于0的恒定控制增益，表示摆角与目标摆角γd(t)的误差函数e2(t)的二阶导数，A(t)和B(t)为两个辅助函数，sgn(·)为符号函数，上述符号中误差函数的定义方程如下：
e1(t)＝γd(t)-γ(t)
表示作为虚拟输入的目标摆角γd的二阶导数，γd设计如下：
辅助函数A(t)和B(t)设计为：
上式中和是目标轨迹(Px(t),Pz(t))的二阶导数。αx，αz，kx和kz均为非负控制增益。和是位置误差(ex(t),ez(t))＝(xQ(t),zQ(t))-(Px(t),Pz(t))的一阶导数。rx(t)和rz(t)为位置误差的线性滤波器，其定义如下：
由相关控制理论可知，线性滤波器rx(t)和rz(t)的收敛性和对应的位置误差(ex(t),ez(t))的收敛性等价，将上述控制器式(3)-(7)代入式(8)可以得到线性滤波器的闭环系统为
同时吊挂摆角的线性滤波器定义为
将式(3)-(8)所示控制器带入式(10)得到对应的闭环系统为：
上式中N(t)表示关于误差(e1(t)，e2(t)，r(t))有界的扰动；
综上式(9)，(11)所示闭环系统可以设计李雅普诺夫函数
则可得其导数满足
由上述李雅普诺夫函数可得选取控制增益ks>N时，李雅普诺夫稳定性条件得到满足，则原系统的闭环系统渐近收敛于目标轨迹。
3.如权利要求2所述的旋翼无人机吊挂负载系统非线性轨迹跟踪控制方法，其特征是，控制参数的分析：α，ks，β影响摆角γ的跟踪收敛速度，αx，kx影响无人机水平方向位置xQ(t)跟踪收敛速度，αz，kz影响无人机垂直地面方向位置zQ(t)跟踪收敛速度；α，αx，αz表征线性滤波器中的比例系数于微分系数的比例，增加上述增益将提到微分误差在控制器中所占份额；β会影响摆角环抗扰动的能力，但是β过大会造成控制器的抖振；ks，kx，kz代表影响比例误差的收敛速度，增大上述增益将提到误差收敛速度，但同时会增加执行机构对跟踪误差的相应幅值。
4.如权利要求2所述的旋翼无人机吊挂负载系统非线性轨迹跟踪控制方法，其特征是，进行调节控制的数值仿真步骤，测试式(3)-(8)提出的鲁棒控制器对于四旋翼无人机吊挂飞行系统的控制性能。
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