CN106249602B - 桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器及其设计方法；首先引入了一个非奇异终端滑模面，可将一阶和二阶滑模控制方法的优点联系起来，取得一个绝对连续的控制输入。然后，受静态扭矩计算方法的启发，提出有限时间控制器。通过引入Lyapunov候选函数，对闭环系统的稳定性进行了分析，并求得有限收敛时间T。通过对比所提控制器与LQR控制器、增强耦合非线性控制器以及基于运动规划的自适应控制器，证明了所提控制方法的正确性与有效性。

Description

桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器及其设计方法

技术领域

本发明涉及一种桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器及其设计方法。

背景技术

作为一类大型的运输工具，桥式吊车系统已广泛应用于世界各地。但是，由于桥式吊车系统的欠驱动特性，给其高性能控制器的设计带来极大的挑战。近年来，研究人员针对桥式吊车系统，取得了一系列建设性的成果。根据是否需要信号反馈这一事实，可将控制方法粗略的分为两类：开环控制方法和闭环控制方法。开环控制方法的主要思路是充分利用台车位移与负载摆动之间的耦合关系。输入整形方法、最优控制方法、轨迹规划方法以及基于微分平坦的控制方法是最为常见的开环吊车控制方法。相比开环控制方法，闭环控制方法有着更好的鲁棒性，更适用于工作在室外环境中的吊车系统。

桥式吊车系统的控制目标是高精度定位、快速的负载消摆以及控制性能的稳定性。为实现这些目标，桥式吊车控制方法应充分考虑模型不确定性、系统参数变化以及外部扰动等因素的影响。这些因素的存在给桥式吊车系统控制方法的设计带来了极大的挑战。滑模控制方法可有效地处理以上问题。传统的一阶滑模控制方法已成功应用于桥式吊车系统中，解决了定位和消摆问题，并取得很好地控制结果。不过，传统的一阶滑模控制方法是不连续的，对驱动装置带来潜在的危险并伴随着震颤现象。为解决震颤现象，众多学者提出了二阶、多阶滑模控制方法。然而这类方法仅适用于相对阶次小于等于2的系统。并且以上控制方法仅能保证系统的渐近稳定性，这在高精度要求的运输任务中是远远不够的。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提供一种桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器及其设计方法，首先引入了一个非奇异终端滑模面，可将一阶和二阶滑模控制方法的优点联系起来，取得一个绝对连续的控制输入。然后，受静态扭矩计算方法的启发，提出有限时间控制器。通过引入Lyapunov候选函数，对闭环系统的稳定性进行了分析，并求得有限收敛时间T。通过对比所提控制器与LQR控制器、增强耦合非线性控制器以及基于运动规划的自适应控制器，证明了所提控制方法的正确性与有效性。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器，跟踪控制器为：

其中，为台车驱动力v关于时间的一阶导数，为未知函数M_t+m_psin²θ的估计，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，u_r为新的控制输入u的切换控制部分，表示未知函数的估计，q＝[x θ]^T为系统的状态向量，x为台车位移，为系统的状态向量q关于时间的一阶导数，为系统的状态向量关于时间的二阶导数，t表示时间。

的表达式为：

为未知函数M_t+m_psin²θ的估计，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，λ_min为M_t+m_psin²θ的下界，λ_max表示为M_t+m_psin²θ的上界。

u_n的表达式为：

u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，x_f表示台车的目标轨迹，λ₀,λ₁,λ₂,β,为正的控制增益，e_x＝x-x_f为台车的跟踪误差，x为台车位移，为台车跟踪误差关于时间的一阶导数，为台车的跟踪误差关于时间的二阶导数，s为终端滑模面。

u_r的表达式为：

u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，u_r为新的控制输入u的切换控制部分，σ＞1为正的控制增益，为引入的辅助函数，λ_min为M_t+m_psin²θ的下界，λ_max表示为M_t+m_psin²θ的上界，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，s为终端滑模面，w表示|Q|的上界，为未知函数的估计。

的表达式为：

M_t表示台车质量，m_p表示负载质量，θ是负载摆角，为负载摆角θ关于时间的一阶导数，是负载摆角θ关于时间的二阶导数，为台车位移x关于时间的二阶导数，g表示重力加速度，l表示吊绳长度，分别表示外部扰动d₁、d₂关于时间的一阶导数，表示台车与桥架之间的摩擦力f_rx关于时间的一阶导数。

为未知函数的估计，如果中的所有参数已知，选择否则选择

桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器的设计方法，包括：

步骤(1)：定义非奇异终端滑模面；

步骤(2)：计算辅助函数

步骤(3)：计算未知函数M_t+m_psin²θ的估计的表达式；

步骤(4)：根据步骤(1)的非奇异终端滑模面，计算得到u_n和u_r；设新的控制输入u为u＝u_n+u_r；

步骤(5)：依据静态扭矩计算方法，给出动态输入的表达式；如果步骤(2)计算得到的中的所有参数为已知，选择否则选择其中，表示未知函数的估计；

步骤(6)：将步骤(3)和步骤(4)的计算结果代入动态输入的表达式中；最终得到桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器。

所述步骤(5)的所有参数包括台车质量M_t、负载质量m_p、第一外部扰动d₁、第二外部扰动d₂、台车与桥架之间的摩擦力f_rx。

所述步骤(1)的步骤为：

定义如下形式的终端滑模面：

其中，λ₀,λ₁,为正的控制增益，e_x为台车的跟踪误差，是台车的跟踪误差关于时间的一阶导数，表示台车的跟踪误差关于时间的二阶导数。

所述步骤(2)的步骤为：

二维桥式吊车系统的动力学方程描述为：

其中，M(q)＝M^T(q)表示惯量矩阵；表示向心-柯氏力矩阵；为扰动向量；G(q)为重力向量；F表示控制量；q为二维桥式吊车系统的状态量；

给出公式(1)的表达式：

其中，M_t表示台车质量，m_p表示负载质量，l表示吊绳长度，x表示台车位移，θ表示负载摆角；v表示施加于台车上的驱动力，d₁、d₂表示外部扰动，f_rx表示台车与桥架之间的摩擦力；

为保证施加于台车上的驱动力v的存在，假设d₁+f_rx与d₂是绝对连续的，并且是受约束的，即：

其中，α₁₁(t)、α₁₂(t)、α₂₁(t)以及α₂₂(t)为非负函数，α₁₁(t)表示|d₁+f_rx|的上界，α₁₂(t)表示的上界、α₂₁(t)表示|d₂|的上界、α₂₂(t)表示的上界。

将(4)式代入(3)式得：

为保证施加于台车上的驱动力v是绝对连续的，对(6)式两端关于时间求导得：

将(7)式写为如下紧凑的形式：

其中，为引入的辅助函数，其表达式为：

M_t表示台车质量，m_p表示负载质量，θ是负载摆角，为负载摆角θ关于时间的一阶导数，为负载摆角θ关于时间的二阶导数，表示台车位移x关于时间的二阶导数，g为重力加速度，l表示吊绳长度，为外部扰动d₁、d₂关于时间的一阶导数，表示台车与桥架之间的摩擦力f_rx关于时间的一阶导数。

所述步骤(3)的表达式为：

为未知函数M_t+m_psin²θ的估计，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，λ_min为M_t+m_psin²θ的下界，λ_max表示为M_t+m_psin²θ的上界。

所述步骤(4)的u_n的表达式为：

u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，x_f表示台车的目标轨迹，λ₀,λ₁,λ₂,β,为正的控制增益，e_x＝x-x_f为台车的跟踪误差，x为台车位移，为台车跟踪误差关于时间的一阶导数，为台车的跟踪误差关于时间的二阶导数，s为终端滑模面。

所述步骤(4)的u_r的表达式为：

u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，u_r为新的控制输入u的切换控制部分，σ＞1为正的控制增益，为引入的辅助函数，λ_min为M_t+m_psin²θ的下界，λ_max表示为M_t+m_psin²θ的上界，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，s为终端滑模面，w表示|Q|的上界，为未知函数的估计。

所述步骤(6)的桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器为：

其中，为台车驱动力v关于时间的一阶导数，为未知函数M_t+m_psin²θ的估计，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，u_r为新的控制输入u的切换控制部分，表示未知函数的估计，q＝[x θ]^T为系统的状态向量，x为台车位移，为系统的状态向量q关于时间的一阶导数，为系统的状态向量关于时间的二阶导数，t表示时间。

本发明的有益效果：

1所提控制方法是桥式吊车系统的第一个有限时间控制方法。

2由(27)式可知，所提有限时间跟踪控制器不包含负载质量、吊绳长度相关的项，因此其针对不同的/不确定的负载质量、吊绳长度具有很强的鲁棒性。

3所设计控制器是连续的，避免为驱动设备带来危险。

附图说明

图1为二维桥式吊车系统模型图；

图2(a)-图2(c)为所提有限时间轨迹跟踪控制器针对不同负载质量的仿真结果；

图3(a)-图3(c)为LQR控制器针对不同负载质量的仿真结果；

图4(a)-图4(c)为增强耦合非线性控制器针对不同负载质量的仿真结果；

图5(a)-图5(c)为所提有限时间轨迹跟踪控制器针对不同吊绳长度的仿真结果；

图6(a)-图6(c)为LQR控制器针对不同吊绳长度的仿真结果；

图7(a)-图7(c)为增强耦合非线性控制器针对不同吊绳长度的仿真结果；

图8(a)-图8(c)为所提有限时间轨迹跟踪控制器针对不确定负载质量、吊绳长度以及摩擦力的仿真结果；

图9(a)-图9(c)为基于运动规划的自适应控制器针对不确定负载质量、吊绳长度以及摩擦力的仿真结果；

图10(a)-图10(c)为所提有限时间轨迹跟踪控制器针对不同外部扰动的仿真结果。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

针对不同的运输任务，负载质量以及吊绳长度通常是不确定或者不同的。并且，外部扰动始终伴随着工业桥式吊车系统。为解决以上问题，通过合理地定义非奇异终端滑模面，提出一种带有有限时间收敛的轨迹跟踪控制方法。所提控制方法是绝对连续的，解决了传统滑模控制方法的限制与缺点。采用Lyapunov方法对闭环系统平衡点处的稳定性进行了严格的理论分析并计算了有限收敛时间T。仿真结果表明所提控制方法针对模型不确定、系统参数变化以及外部扰动具有很强的鲁棒性。

二维桥式吊车系统(见图1)的动力学方程可描述为：

其中，M(q)＝M^T(q)表示惯量矩阵；表示向心-柯氏力矩阵；为扰动向量；G(q)为重力向量；F表示控制量；q为系统的状态量。这些矩阵和向量的具体表达式如下：

为促进接下来控制器的设计，给出(1)式的详细表达式：

其中，M_t表示台车质量，m_p表示负载质量，l表示吊绳长度，x表示台车位移，θ表示负载摆角，v表示施加于台车上的驱动力，d₁、d₂表示外部扰动，f_rx表示台车与桥架之间的摩擦力。为保证驱动力v的存在，假设d₁+f_rx与d₂是绝对连续的，并且是受约束的，即：

其中，α₁₁(t)、α₁₂(t)、α₂₁(t)以及α₂₂(t)为非负函数。

将(4)式代入(3)式可得

为保证驱动力v是绝对连续的，对(6)式两端关于时间求导可得

将(7)式写为如下紧凑的形式：

其中，为引入的辅助函数，其表达式为

基于(5)式，可知始终在如下范围内：

其中，δ为的上界，其具体表达式如下：

在本发明，主要的控制目标为定位和消摆控制，其数学表达为：

其中，x_f为台车的目标轨迹；T为有限的收敛时间。

由于桥式吊车系统的欠驱动特性，无法对负载摆角进行直接的控制。

目标轨迹：

其中，为目标位置；为台车最大允许加速度，为台车最大允许速度；表示调节初始加速度的参数；κ＞1.0754为正的控制增益。台车期望的目标轨迹(12)由两部分组成：

(i)定位参考轨迹x_d(t)：驱动台车至目标位置；

(ii)消摆部分快速消除负载摆动并不影响台车的定位性能。

为实现控制目标(11)，定义如下的误差向量：

e＝q-q_d＝[x-x_f θ]^T＝[e_x θ]^T (13)

其中，q_d＝[x_f 0]^T为期望的状态向量；e_x＝x-x_f为台车的跟踪误差。那么，有限时间轨迹跟踪控制方法的控制目标可写为：

1.有限时间轨迹跟踪控制器设计

受静态扭矩计算方法的启发，给出动态输入的表达式为

其中，表示未知函数M_t+m_psin²θ的估计，表示的估计；u为待求的新的控制输入；如果中的所有参数已知，选择否则选择

由(8)式和(15)式可得

其中，P、Q为引入的辅助函数，其具体表达式为

接下来，需求出新的控制输入u，相应的台车驱动力v可由(15)式求出。

很明显地，公式(17)始终成立：

λ_min≤(M_t+m_psin²θ)^-1≤λ_max (17)

为促进接下来的分析，本发明选取的表达式为

那么

其中，ρ为引入的辅助函数，其具体表达式如下：

由(10)式以及(16)式得

其中，

在设计控制器之前，需引入以下的引理。

引理1：对任意的向量公式(22)始终成立：

接下来，定义如下形式的终端滑模面：

其中，λ₀、λ₁、为正的控制增益。

引理2：如果s＝0，那么在有限的时间也趋于平衡点，即

针对闭环控制系统，新的控制输入u设计为

u＝u_n+u_r (24)

其中，

为正的控制增益，并且，

将(24)式代入(15)式可得

由(27)式可知，所提有限时间跟踪控制器不包含负载质量、吊绳长度相关的项，因此其针对不同的/不确定的负载质量、吊绳长度具有很强的鲁棒性。

2.稳定性分析

定理1:若λ₀,λ₁,λ₂,Λ＞0,σ＞1，那么控制率(25)-(27)可保证台车位置/速度/加速度在有限的时间内收敛至目标位置/速度/加速度，同时快速地消除负载摆角/角速度/角加速度，即

证明：为证明定理1，定义如下的Lyapunov候选函数：

对(29)式关于时间求导，可得

由式(13)、(16)以及(24)可得

将(31)式代入(30)式得

将(26)式代入的后两项，可得

其中，在推导过程中使用了不等式(19)。

接下来，将(25)式代入的第一项，并考虑不等式(33)，可得

根据引理1，可得

由于Λ＞0，那么由(35)式可得，在小于等于的有限的时间T内，可达到s＝0。相应地，由引理2可得，在有限的时间T内，可实现

虽然无法直接控制负载的摆动，但可保证负载摆角/角速度/角加速度在有限的时间内收敛至0。

3.仿真结果分析

在本小节，将验证所提有限时间轨迹跟踪控制器的控制性能。

为验证所提控制方法的正确性与有效性，进行了以下几组仿真实验。桥式吊车的系统参数为

M_t＝7kg,g＝9.8m/s²

台车的目标位置为

p_d＝1m

初始台车位置以及初始负载摆角为0，即

x(0)＝0,θ(0)＝0

除此之外，(12)式的各参数的值为

k_a＝0.5m/s²,k_v＝0.5m/s,ε＝2

所提控制方法的控制增益调节为

参数估计设定为

本小节的主要目的是验证所提控制方法的鲁棒性。为此，整个仿真结果分为三组。详细地来说，首先验证了所提控制方法针对不同负载质量以及吊绳长度的鲁棒性，并与LQR控制器以及增强耦合非线性控制器进行对比；第二组仿真中，针对未知的负载质量、吊绳长度以及摩擦力的鲁棒性进行了验证，并与基于运动规划的自适应控制器进行了对比；最后，验证了所提控制方法针对不同类型的外部扰动的鲁棒性。LQR控制器、增强耦合非线性控制器以及基于运动规划的自适应控制器的表达式如下：

1)LQR控制器

其中，k₁，k₃，为控制增益，e＝x-p_d为台车的定位误差。式(36)中的控制增益调节为

k₁＝10,k₂＝20,k₃＝-6,k₄＝-10

2)增强耦合非线性控制器

其中，k_p,k_ξ,为正的控制增益，ξ_x为如下的辅助函数：

(37)式的控制增益调节为

k_p＝50,k_ξ＝50,λ＝12；

3)基于运动规划的自适应控制器

其中，k_p,为正的控制增益，r＝x-x_d为台车跟踪误差，为参数向量的在线估计，由以下更新率产生：

其中，Γ为正定对称对角更新增益矩阵。(39)式中的控制增益调节为

k_p＝300,k_d＝50,Γ＝50I₅

其中，I₅为5×5单位矩阵。

仿真1：针对不同负载质量与吊绳长度的鲁棒性：在本组实验中，没有施加外部扰动。摩擦力的表达形式为

其中，f_rox,σ_x,为摩擦力相关的系数。(41)式中的摩擦力系数选为

f_rox＝4.4,σ_x＝0.01,k_rx＝-0.5

为验证所提控制方法关于不同负载质量的鲁棒性，考虑以下三种情况：

情况1：m_p＝1kg；

情况2：m_p＝5kg；

情况3：m_p＝10kg；

在这三种情况下，吊绳长度为0.6m。LQR控制器、增强耦合非线性控制器以及所设计有限时间轨迹跟踪控制器的仿真结果如图2(a)、图2(b)、图2(c)、图3(a)、图3(b)、图3(c)、图4(a)、图4(b)、图4(c)所示。通过对比图2(a)、图2(b)、图2(c)与图3(a)、图3(b)、图3(c)、图4(a)、图4(b)、图4(c)可知，在相似的运输时间下，所提控制方法的最大负载摆角以及驱动力是最小的。并且所提控制方法的运输效率以及负载摆动的抑制效果并未受到负载质量变化的影响。相反地，LQR控制器以及增强耦合非线性控制器的控制性能受到了很大的影响。这些结果表明了所提控制方法针对不同负载质量的强鲁棒性。

为进一步验证所提控制方法针对不同吊绳长度的鲁棒性，考虑如下三种情况：

情况1：l＝0.6m；

情况2：l＝1.5m；

情况3：l＝2m；

在这三种情况下，负载质量为1kg。仿真结果如图5(a)、图5(b)、图5(c)、图6(a)、图6(b)、图6(c)、图7(a)、图7(b)、图7(c)所示。由图5(a)、图5(b)、图5(c)、图6(a)、图6(b)、图6(c)、图7(a)、图7(b)、图7(c)可知，针对不同吊绳长度，所提控制方法的运输效率、负载消摆等控制性能并未受到严重的影响，表明所提控制方法对不同吊绳长度的鲁棒性。

以上结果表明了所提有限时间轨迹跟踪控制方法针对不同负载质量以及吊绳长路的鲁棒性。针对不同的运输任务，负载质量以及吊绳长度往往是不同的，所设计控制器的优点为其应用于实际吊车系统中带来了诸多便捷。

仿真2：针对不确定负载质量、吊绳长度以及摩擦力的鲁棒性：在本组实验中，没有施加外部扰动。并且，负载质量、吊绳长度、摩擦力均是未知的。

相应的仿真结果如图8(a)、图8(b)、图8(c)、图9(a)、图9(b)、图9(c)所示。由图8(a)、图8(b)、图8(c)、图9(a)、图9(b)、图9(c)可知，所设计控制器的暂态控制性能要优于基于运动规划的自适应控制器：所设计控制器的负载摆角得到了更快的抑制与消除，并且当台车到达目标位置时，几乎无残余摆动。虽然基于运动规划的自适应控制器运输时间较少，但是其最大负载摆角以及驱动力远远大于本发明所设计控制器。

仿真3：针对不同外部扰动的鲁棒性：在本组实验中，为验证所提控制方法针对不同外部扰动的鲁棒性，在负载摆动中加入如下三种类型的外部扰动：

1)加入初始负载摆角θ(0)＝5°；

2)在3到4s间施加随机扰动，其幅值均为1.5°；

3)在7到8s间施加正弦扰动，其幅值均为1.5°，周期为1s。

负载质量以及吊绳长度分别为2kg和1m，摩擦力未知。仿真结果如图10(a)、图10(b)、图10(c)所示。由图10(a)、图10(b)、图10(c)可知，本发明所设计控制器可快速有效地抑制并消除这些外部扰动，表明了本方法的强鲁棒性。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (2)

1.桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器，其特征是，跟踪控制器为：

其中，为台车驱动力v关于时间的一阶导数，为未知函数M_t+m_psin²θ的估计，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，u_r为新的控制输入u的切换控制部分，表示未知函数的估计，q＝[x θ]^T为系统的状态向量，x为台车位移，为系统的状态向量q关于时间的一阶导数，为系统的状态向量关于时间的二阶导数，t表示时间；

的表达式为：

为未知函数M_t+m_psin²θ的估计，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，λ_min为M_t+m_psin²θ的下界，λ_max表示为M_t+m_psin²θ的上界；

u_n的表达式为：

u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，x_f表示台车的目标轨迹，λ₀,λ₁,λ₂,β,为正的控制增益，e_x＝x-x_f为台车的跟踪误差，x为台车位移，为台车跟踪误差关于时间的一阶导数，为台车的跟踪误差关于时间的二阶导数，s为终端滑模面；

u_r的表达式为：

u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，u_r为新的控制输入u的切换控制部分，σ＞1为正的控制增益，为引入的辅助函数，λ_min为M_t+m_psin²θ的下界，λ_max表示为M_t+m_psin²θ的上界，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，s为终端滑模面，w表示|Q|的上界， 为未知函数的估计；的表达式为：

M_t表示台车质量，m_p表示负载质量，θ是负载摆角，为负载摆角θ关于时间的一阶导数，是负载摆角θ关于时间的二阶导数，为台车位移x关于时间的二阶导数，g表示重力加速度，l表示吊绳长度，

分别表示外部扰动d₁、d₂关于时间的一阶导数，表示台车与桥架之间的摩擦力f_rx关于时间的一阶导数；

为未知函数的估计，如果中的所有参数已知，选择否则选择

2.桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器的设计方法，其特征是，包括：

步骤(1)：定义非奇异终端滑模面：

其中，λ₀,λ₁,为正的控制增益，e_x为台车的跟踪误差，是台车的跟踪误差关于时间的一阶导数，表示台车的跟踪误差关于时间的二阶导数；

步骤(2)：计算辅助函数

所述步骤(2)的步骤为：

二维桥式吊车系统的动力学方程描述为：

其中，M(q)＝M^T(q)表示惯量矩阵；表示向心-柯氏力矩阵；为扰动向量；G(q)为重力向量；F表示控制量；q为二维桥式吊车系统的状态量；

给出公式(1)的表达式：

其中，M_t表示台车质量，m_p表示负载质量，l表示吊绳长度，x表示台车位移，θ表示负载摆角；v表示施加于台车上的驱动力，d₁、d₂表示外部扰动，f_rx表示台车与桥架之间的摩擦力；

为保证施加于台车上的驱动力v的存在，假设d₁+f_rx与d₂是绝对连续的，并且是受约束的，即：

其中，α₁₁(t)、α₁₂(t)、α₂₁(t)以及α₂₂(t)为非负函数，α₁₁(t)表示|d₁+f_rx|的上界，α₁₂(t)表示的上界、α₂₁(t)表示|d₂|的上界、α₂₂(t)表示的上界；

将(4)式代入(3)式得：

为保证施加于台车上的驱动力v是绝对连续的，对(6)式两端关于时间求导得：

将(7)式写为如下紧凑的形式：

其中，为引入的辅助函数，其表达式为：

M_t表示台车质量，m_p表示负载质量，θ是负载摆角，为负载摆角θ关于时间的一阶导数，为负载摆角θ关于时间的二阶导数，表示台车位移x关于时间的二阶导数，g为重力加速度，l表示吊绳长度，为外部扰动d₁、d₂关于时间的一阶导数，表示台车与桥架之间的摩擦力f_rx关于时间的一阶导数；

步骤(3)：计算未知函数M_t+m_psin²θ的估计的表达式；

所述步骤(3)的表达式为：

为未知函数M_t+m_psin²θ的估计，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，λ_min为M_t+m_psin²θ的下界，λ_max表示为M_t+m_psin²θ的上界；

步骤(4)：根据步骤(1)的非奇异终端滑模面，计算得到u_n和u_r；设新的控制输入u为u＝u_n+u_r；

所述步骤(4)的u_n的表达式为：

u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，x_f表示台车的目标轨迹，λ₀,λ₁,λ₂,β,为正的控制增益，e_x＝x-x_f为台车的跟踪误差，x为台车位移，为台车跟踪误差关于时间的一阶导数，为台车的跟踪误差关于时间的二阶导数，s为终端滑模面；

所述步骤(4)的u_r的表达式为：

u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，u_r为新的控制输入u的切换控制部分，σ＞1为正的控制增益，为引入的辅助函数，λ_min为M_t+m_psin²θ的下界，λ_max表示为M_t+m_psin²θ的上界，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，s为终端滑模面，w表示|Q|的上界， 为未知函数的估计；

步骤(5)：依据静态扭矩计算方法，给出动态输入的表达式；如果步骤(2)计算得到的中的所有参数为已知，选择否则选择其中，表示未知函数的估计；

步骤(6)：将步骤(3)和步骤(4)的计算结果代入动态输入的表达式中；最终得到桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器；

所述步骤(6)的桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器为：

其中，为台车驱动力v关于时间的一阶导数，为未知函数M_t+m_psin²θ的估计，M_t为台车质量，m_p为负载质量，θ为负载摆角，u_n表示新的控制输入u的等效控制部分，u_r为新的控制输入u的切换控制部分，表示未知函数的估计，q＝[x θ]^T为系统的状态向量，x为台车位移，为系统的状态向量q关于时间的一阶导数，为系统的状态向量关于时间的二阶导数，t表示时间。