CN113336092B - 一种双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法，包括根据动力学基础理论和运动方程构建双摆三维桥式起重机模型的动力学方程；基于系统状态量之间的耦合关系和所述动力学方程，求取台车位移信息和载荷摆动信息的两个广义状态量，并进一步获得广义误差量；根据所述广义误差量构建非线性自适应跟踪控制器，并结合不确定参数和未知外部干扰计算自适应更新律，进行自适应跟踪控制。本发明能够实现台车准确定位性能，同时，在控制输入中加入了更多与摆振相关的信号，提高了暂态控制性能，另外，通过自适应律克服了载荷质量、悬绳及吊绳长度的不确定性，非零初始摆角的干扰，进一步提高了在实际应用中的可靠性。

Description

一种双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及双摆三维桥式起重机运动控制的技术领域，尤其涉及一种双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法。

背景技术

桥式起重机作为工业生产和起重运输机械化、自动化的重要设备，广泛应用于各种工业场所(如车间、仓库等)，随着桥式起重机的普及和使用，对其稳定、高效、安全运行提出了越来越高的要求。在实际工业环境中，小车一方面要快速、准确地到达设定位置，另一方面也要有效减弱吊装过程中负载的摆动，防止与现场其他物体发生碰撞，同时，为了保证起重机系统的运输效率，还必须确保在台车完成定位任务时，货物没有残留的摆动。

然而，起重机在运行过程中会经历加速或减速的过程，这势必会引起负载的摆动。这种摆动现象在起重机的启动和制动过程中尤为明显。此外，桥式起重机在吊装过程中使用吊钩来连接负载，因此具有双摆的特性。当起重机台车移动到设定位置时，负载的摆动将导致吊装和定位困难，而目前已有的控制方法大多数是针对一级摆型三维桥式起重机系统提出的，相比之下，双摆三维桥式吊车系统的状态量更多，并且各个状态之间的耦合性、非线性更强，因此其控制方法的研究更具挑战性。除此之外，面对具有复杂动态特性的起重机系统时，许多控制方法往往是基于线性化或近似处理后的动态模型推导出的，这使得相应的控制结果不够可靠，当系统受到外部干扰和系统状态远离平衡位置时，控制性能将严重降低甚至失去稳定性，此外，系统的鲁棒性以及许多实际问题，如参数不确定性、初始摆角随机等，在控制器的构造中没有得到很好的考虑。

发明内容

本部分的目的在于概述本发明的实施例的一些方面以及简要介绍一些较佳实施例。在本部分以及本申请的说明书摘要和发明名称中可能会做些简化或省略以避免使本部分、说明书摘要和发明名称的目的模糊，而这种简化或省略不能用于限制本发明的范围。

鉴于上述现有双摆三维桥式吊车系统的跟踪控制中存在的问题，提出了本发明。

因此，本发明解决的技术问题是：桥式起重机在吊装过程中使用吊钩来连接负载时，三维桥式起重机会表现出双摆的特性，从而，起重机动力学模型会具有更复杂的非线性特性，导致台车完成定位目标的同时难以抑制双摆摆动问题。

为解决上述技术问题，本发明提供如下技术方案：根据动力学基础理论和运动方程构建双摆三维桥式起重机模型的动力学方程；基于系统状态量之间的耦合关系和所述动力学方程，求取台车位移信息和载荷摆动信息的两个广义状态量，并进一步获得广义误差量；根据所述广义误差量构建非线性自适应跟踪控制器，并结合不确定参数和未知外部干扰计算自适应更新律，进行自适应跟踪控制。

作为本发明所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的一种优选方案，其中：所述构建双摆三维桥式起重机动力学参数方程包括，所述起重机系统的动力学模型表示为：

其中：M为惯性矩阵，C为向心一柯氏力矩阵，q为状态向量，G为重力向量，Γ为控制输入向量，Ξ为未知的外部干扰，包括空气阻力。

作为本发明所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的一种优选方案，其中：所述求取广义状态量包括，所述广义状态量包括广义位移状态量和广义速度状态量，将所述广义位移状态量设定为ψ_x和ψ_y，所述广义速度状态量设定为

和

所述广义状态量的具体表达式如下所示：

ψ_x＝x+κ₁S₁C₂+κ₂S₃C₄,ψ_y＝y+κ₃S₂+κ₄S₄

其中：x和

分别为台车在X方向的位移及速度，y和

分别为台车在Y方向的位移及速度，S_i和C_i(i＝1,2,3,4)分别为Sinθ_i和Cosθ_i(i＝1,2,3,4)的缩写形式，κ_j(j＝1,2,3,4)为增强抗摆项控制增益参数。

作为本发明所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的一种优选方案，其中：所述广义误差量包括，利用所述广义状态量与台车的参考轨迹作差获取，所述广义误差量包括广义位移误差量和广义速度误差量，将所述广义位移误差量设定为

和

所述广义速度误差量设定为

和

具体表达式如下所示：

作为本发明所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的一种优选方案，其中：所述台车的参考轨迹包括，利用台车的参考轨迹实现跟踪控制，所述参照轨迹分别设定为x_r(t)与y_r(t)，其表达公式为：

其他情况下：

其中：x_d,y_d为台车的目标位置；x₀,y₀为台车的初始位置；t_xd,t_yd为台车定位时间。

作为本发明所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的一种优选方案，其中：所述非线性自适应跟踪控制器包括，

所述非线性自适应跟踪控制器表达式如下：

其中：k_px,k_py,k_dx,k_dy为控制增益，Υ_x,γ_y为系统摩擦力与未知外部干扰相关函数矩阵：

其中：

为系统不确定参数和未知外部干扰相关参数的估计量，表达式为如下：

作为本发明所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的一种优选方案，其中：所述自适应更新律包括，所述自适应更新律包括：

其中：A，B均为待确定自适应更新律增益矩阵，其数学表达式为：

A＝diag{a₁ a₂ a₃ a₄}∈R^4×4

B＝diag{b₁ b₂ b₃ b₄}∈R^4×4

作为本发明所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的一种优选方案，其中：所述控制增益和待确定自适应更新律增益矩阵包括，所述控制增益k_px,k_py,k_dx,k_dy可以利用调整PID控制器的经验对其进行调整，所述增强抗摆项控制增益参数κ_j(j＝1,2,3,4)的值以及所述自适应更新律增益矩阵A，B可以通过反复试验得出，对于所述参考轨迹中x_d，y_d，x₀，y₀和t_xd，t_yd的选取，要根据实际作业时的目标位置自由，考虑安全并符合实际情况选取。

本发明的有益效果：本发明能够实现台车准确定位性能，同时，在控制输入中加入了更多与摆振相关的信号，提高了暂态控制性能，另外，通过自适应律克服了载荷质量、悬绳及吊绳长度的不确定性，非零初始摆角的干扰，进一步提高了在实际应用中的可靠性。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。其中：

图1为本发明一个实施例提供的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的基本流程示意图；

图2为本发明二个实施例提供的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的实验结果图；

图3为本发明二个实施例提供的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法的控制器LQR的实验结果图。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合说明书附图对本发明的具体实施方式做详细的说明，显然所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本发明的保护的范围。

在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是本发明还可以采用其他不同于在此描述的其它方式来实施，本领域技术人员可以在不违背本发明内涵的情况下做类似推广，因此本发明不受下面公开的具体实施例的限制。

其次，此处所称的“一个实施例”或“实施例”是指可包含于本发明至少一个实现方式中的特定特征、结构或特性。在本说明书中不同地方出现的“在一个实施例中”并非均指同一个实施例，也不是单独的或选择性的与其他实施例互相排斥的实施例。

本发明结合示意图进行详细描述，在详述本发明实施例时，为便于说明，表示器件结构的剖面图会不依一般比例作局部放大，而且所述示意图只是示例，其在此不应限制本发明保护的范围。此外，在实际制作中应包含长度、宽度及深度的三维空间尺寸。

同时在本发明的描述中，需要说明的是，术语中的“上、下、内和外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。此外，术语“第一、第二或第三”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。

本发明中除非另有明确的规定和限定，术语“安装、相连、连接”应做广义理解，例如：可以是固定连接、可拆卸连接或一体式连接；同样可以是机械连接、电连接或直接连接，也可以通过中间媒介间接相连，也可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

实施例1

参照图1，为本发明的一个实施例，提供了一种双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法，包括：

S1：根据动力学基础理论和运动方程构建双摆三维桥式起重机模型的动力学方程。其中需要说明的是，

利用牛顿定律等动力学基础理论，获得台车驱动系统动力学模型，同时，根据拉格朗日运动方程的基础理论，获得双摆系统动力学模型，结合两者获得完整双摆三维桥式起重机动力学方程，具体表示为如下：

q＝[x y θ₁ θ₂ θ₃ θ₄]

q＝[x y θ₁ θ₂ θ₃ θ₄]

M＝[m_ij]∈R^6×6C＝[C_ij]∈R^6×6,i＝1,...,6,j＝1,...,6,

G＝[0 0 g₃ g₄ g₅ g₆]^T

Γ＝[F_x-F_rx F_y-F_ry 0 0 0 0]^T

Ξ＝[Ξ₁ Ξ₂ Ξ₃ Ξ₄ Ξ₅ Ξ₆]^T

m₁₁＝M₁+m₁+m₂,m₁₂＝0,m₁₃＝(m₁+m₂)l₁C₁C₂,m₁₄＝-(m₁+m₂)l₁S₁S₂,

m₁₅＝m₂l₂C₃C₄,m₁₆＝-m₂l₂S₃S₄,m₂₁＝0,m₂₂＝M₂+m₁+m₂,m₂₃＝0,

m₂₄＝(m₁+m₂)l₁C₂,m₂₅＝0,m₂₆＝m₂l₂C₄,m₃₁＝(m₁+m₂)l₁C₁C₂,

m₃₂＝0,

m₃₄＝0,m₃₅＝m₂l₁l₂C_1-3C₂C₄,

m₃₆＝m₂l₁l₂S_1-3C₂S₄,m₄₁＝-(m₁+m₂)l₁S₁S₂,m₄₂＝(m₁+m₂)l₁C₂,

m₄₃＝0,

m₄₅＝-m₂l₁l₂S_1-3S₂C₄,

m₄₆＝m₂l₁l₂(C₂C₄+C₁C₃S₂S₄+S₁S₂S₃S₄),m₅₁＝m₂l₂C₃C₄,m₅₂＝0,

m₅₃＝m₂l₁l₂C_1-3C₂C₄,m₅₄＝-m₂l₁l₂S_1-3S₂C₄,

m₅₆＝0,

m₆₁＝-m₂l₂S₃S₄,m₆₂＝m₂l₂C₄,m₆₃＝m₂l₁l₂S_1-3C₂S₄,

m₆₄＝m₂l₁l₂(C₂C₄+C₁C₃S₂S₄+S₁S₂S₃S₄),m₆₅＝0,

c₁₁＝0,c₁₂＝0,

c₂₁＝0,c₂₂＝0,c₂₃＝0,

c₂₅＝0,

c₃₁＝0,c₃₂＝0,

c₄₁＝0,c₄₂＝0,

c₄₄＝0,

c₅₁＝0,c₅₂＝0,

c₆₁＝0,c₆₂＝0,

c₆₆＝0,

g₃＝(m₁+m₂)gl₁S₁C₂,g₄＝(m₁+m₂)gl₁C₁S₂,

g₅＝m₂gl₂S₃C₄,g₆＝m₂gl₂C₃S₄,

其中，M₁为台车的质量，M₂为台车与桥架质量，l₁为吊绳的长度，l₂为吊钩与负载的长度，θ₁和θ₃分别为吊钩与负载在XOZ平面投影与Z轴的夹角，θ₂和θ₄分别为吊钩和负载与XOZ平面的夹角，x，y分别为台车在X，Y方向的位移，F_x，F_y分别为X和Y方向上电机所提供的驱动力，F_rx和F_ry分别为两个方向上相应的摩擦力，Ξ为未知的外部干扰，包括空气阻力。

S2：基于系统状态量之间的耦合关系和动力学方程，求取台车位移信息和载荷摆动信息的两个广义状态量，并进一步获得广义误差量。其需要说明的是，

为了增强起重机系统的防摆性能和闭环系统的鲁棒性，需要使控制律中包含更多与摆动相关的信息，通过研究系统可驱动(台车运动)变量，与欠驱动(吊钩摆动，负载摆动)变量之间的耦合关系，引入台车位移信息和载荷摆动信息两个广义状态量，广义状态量包括广义位移状态量和广义速度状态量，将广义位移状态量设定为ψ_x和ψ_y，广义速度状态量设定为

和

广义状态量的具体表达式如下所示：

ψ_x＝x+κ₁S₁C₂+κ₂S₃C₄,ψ_y＝y+κ₃S₂+κ₄S₄

其中：x和

分别为台车在X方向的位移及速度，y和

分别为台车在Y方向的位移及速度，S_i和C_i(i＝1,2,3,4)分别为Sinθ_i和Cosθ_i(i＝1,2,3,4)的缩写形式，κ_j(j＝1,2,3,4)为增强抗摆项控制增益参数。

广义误差量是由广义状态量与台车的参考轨迹作差获取的，因此需要选取台车运动的参考轨迹，利用台车的参考轨迹实现跟踪控制，将参照轨迹分别设定为x_r(t)与y_r(t)，其表达公式为：

其他情况下：

其中：x_d,y_d为台车的目标位置；x₀,y₀为台车的初始位置；t_xd,t_yd为台车定位时间，另外此轨迹可以满足可驱动机构从初始位置平滑过渡到目标位置，且定位时间可调，并且参考速度轨迹与加速度轨迹都是有界的。

进一步的是，广义误差量包括广义位移误差量和广义速度误差量，将广义位移误差量设定为

和

广义速度误差量设定为

和

具体表达式如下所示：

其中：

为台车分别在X，Y方向的广义位移状态量与参考轨迹的差值，

与

分别为它们的微分值。

S3：根据广义误差量构建非线性自适应跟踪控制器，并结合不确定参数和未知外部干扰计算自适应更新律，进行自适应跟踪控制。其中需要说明的是，

所述非线性自适应跟踪控制器表达式如下：

其中：k_px,k_py,k_dx,k_dy为控制增益，γ_x,γ_y为系统摩擦力与未知外部干扰相关函数矩阵：

是系统不确定参数和未知外部干扰相关参数的估计量,表达式如下：

进一步的是，自适应更新律包括，自适应更新律包括：

其中：A，B均为待确定自适应更新律增益矩阵，其数学表达式为：

A＝diag{a₁ a₂ a₃ a₄}∈R^4×4

B＝diag{b₁ b₂ b₃ b₄}∈R^4×4

对于控制增益和待确定参数，控制增益k_px,k_py,k_dx,k_dy与传统的比例积分微分(PID)控制器中的比例增益和微分增益类似，可以利用调整PID控制器的经验对其进行调整，即放大k_px,k_py时，将加快定位速度，缩短定位时间，但k_px,k_py过大会导致超调和振荡，放大k_dx,k_dy能够抑制振荡效应，增强抗摆项控制增益参数κ_j(j＝1,2,3,4)的值以及自适应更新律增益矩阵A，B可以通过反复试验得出，对于参考轨迹中x_d，y_d，x₀，y₀和t_xd，t_yd的选取，要根据实际作业时的目标位置自由，考虑安全并符合实际情况选取。

在实际运送过程中，为了保障起重机快速地落吊且不影响吊车系统的运送效率，需要负载摆动尽可能地小，以避免其与周围其他的物体或人员发生碰撞，此外，还要求台车到达目标位置停止运动以后负载无残余摆动，本方法通过构造广义状态量，增强了台车运动信息与摆角信息之间的耦合关系，在此基础上进行控制器设计，控制输入中包含了更多与摆振相关的信号，从而提高了暂态控制性能；通过自适应律克服了载荷质量、悬绳及吊绳长度的不确定性，非零初始摆角干扰，消除了相应的不利影响，进一步提高了在实际应用中的可靠性；在设计控制器和理论分析时均不用对动态模型线性化或近似处理，使得控制结果更可靠，当系统受到外部干扰和系统状态远离平衡位置时，仍能保持优越的控制性能。

现有的许多非线性控制方法虽然可以提高系统的控制精度和鲁棒性，但是大多控制器的结构比较复杂，不易于工业应用，而本发明控制器结构简单，增益和参数的数目不多、且选择范围广，不会过于受模型和物理条件限制，并且，各项增益对应的响应效果明确，因此实际应用中参数调节过程不会复杂。

实施例2

参照图2～3为本发明第二个实施例，为对本方法中采用的技术效果加以验证说明，为了更好地对本发明方法中采用的技术效果加以验证说明，本实施例采用传统控制器LQR与本发明方法进行对比测试，以科学论证的手段对比试验结果，以验证本方法所具有的真实效果。

本实施例利用直流电动机搭建了一个实验平台，该实验平台由驱动台车X方向和Y方向运动(即小车和大车运动)的直流电动机、悬绳、吊钩、负载及测量摆角的编码器等部分构成，为了进一步验证项目中所提方法对于悬绳长度变化的鲁棒性或者自适应性，该实验平台还装有改变悬绳长度的电动机。

在实验中，台车X方向和Y方向的位移信号由电动机自带的编码器获得，悬绳位移(相当于变绳长)由编码器获得，编码器以每转4096个脉冲的高分辨率测量运动，这些编码器与专门的机械解决方案一起创建了一个独特的测量单元；上位机方面，通过PC的MATLAB/Simulink实时下达控制信号，电源接口可放大从PC传输到直流电动机的控制信号并将编码器脉冲信号转换为16位数字形式，以供PC读取，装有RT-DAC/PCI多功能数字I/O板的PC与电源接口板进行通信，在RT-DAC/PCI板的

芯片中配置了激活和读取编码器信号以及生成适当的PWM脉冲序列以控制直流电机所需的全部逻辑。

平台搭建完成后，利用控制器LQR与使用本控制方法的控制器进行实验对比，其中控制器LQR的控制公式为：

对于LQR控制器，将系统状态向量设置为如下矩阵形式，表示为：

对于Q矩阵设置为Q＝diag{40,40,10,10,10,10,5,5,5,5,5,5}，R矩阵设置为R＝[1 1]^T，该控制器增益为k_p1＝6.3246，k_p2＝6.3246，k_d1＝2.9873，k_d2＝-2.0433，k₁＝0.948，k₂＝0.5145，k₃＝10.6964，k₄＝15.2723，k₅＝-0.9062，k₆＝-1.4450，k₇＝0.1921，k₈＝0.2921，利用上述构建的实验平台计算使用本方法与LQR控制器所用方法的振幅，其结果如下表1所示：

表1：振幅实验对比结果。

从表1可以看出，本方法的跟踪定位过程平滑，在5秒内即可完成定位任务，而传统的LQR方法需要更长的时间，对于摆动抑制方面，本方法的控制器引起的吊钩与负载的振幅不大，不会超过2.34deg，而传统LQR方法控制器引起的吊钩与负载的振幅过大，最高将近达到4.15deg。

同时参照图2和3，分别为本发明控制器和控制器LQR的广义状态量和控制器输出值，可以看出本方法摆动在可驱动机构定位完成后1～2秒内可以完全消除，而传统方法其抑制效果特别差，在经历了多次激烈震荡后，持续15秒仍然未能消除摆动，因此，综上，本方法的定位准确，无超调无稳态误差，并且具有高效的防摆效果。

应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (5)

1.一种双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法，其特性在于，包括：

根据动力学基础理论和运动方程构建双摆三维桥式起重机模型的动力学方程；

基于系统状态量之间的耦合关系和所述动力学方程，求取台车位移信息和载荷摆动信息的两个广义状态量，并进一步获得广义误差量；

根据所述广义误差量构建非线性自适应跟踪控制器，并结合不确定参数和未知外部干扰计算自适应更新律，进行自适应跟踪控制；

非线性自适应跟踪控制器表达式如下：

其中：k_px,k_py,k_dx,k_dy为控制增益，

为系统不确定参数和未知外部干扰相关参数的估计量，

和

为广义位移误差量，

和

为广义速度误差量，Υ_x,Υ_y为系统摩擦力与未知外部干扰相关函数矩阵：

表达式为如下：

自适应更新律包括：

其中：A，B均为待确定自适应更新律增益矩阵，其数学表达式为：

A＝diag{a_i a₂ a₃ a₄}∈R^4×4

B＝diag{b₁ b₂ b₃ b₄}∈R^4×4

控制增益k_px,k_py,k_dx,k_dy利用调整PID控制器的经验对其进行调整，增强抗摆项控制增益参数κ_j(j＝1,2,3,4)的值以及所述自适应更新律增益矩阵A，B通过反复试验得出，对于参考轨迹中x_d，y_d，x₀，y₀和t_xd，t_yd的选取，要根据实际作业时的目标位置自由，考虑安全并符合实际情况选取。

2.如权利要求1所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法，其特征在于：所述构建双摆三维桥式起重机模型的动力学方程包括，

起重机模型的动力学方程表示为：

其中：M为惯性矩阵，C为向心一柯氏力矩阵，q为状态向量，G为重力向量，Γ为控制输入向量，Ξ为未知的外部干扰，包括空气阻力。

3.如权利要求1或2所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法，其特征在于：所述广义状态量包括，

所述广义状态量包括广义位移状态量和广义速度状态量，将所述广义位移状态量设定为ψ_x和ψ_y，所述广义速度状态量设定为

和

所述广义状态量的具体表达式如下所示：

ψ_x＝x+κ₁S₁C₂+κ₂S₃C₄，ψ_y＝y+κ₃S₂+κ₄S₄

其中：x和

分别为台车在X方向的位移及速度，y和

分别为台车在Y方向的位移及速度，S_i和C_i(i＝1,2,3,4)分别为Sinθ_i和Cosθ_i(i＝1,2,3,4)的缩写形式，κ_j(j＝1,2,3,4)为增强抗摆项控制增益参数。

4.如权利要求3所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法，其特征在于：所述广义误差量包括，

利用所述广义状态量与台车的参考轨迹作差获取，所述广义误差量包括广义位移误差量和广义速度误差量，将所述广义位移误差量设定为

和

所述广义速度误差量设定为

和

具体表达式如下所示：

其中：κ_j(j＝1,2,3,4)为增强抗摆项控制增益参数。

5.如权利要求4所述的双摆三维桥式起重机增强抗摆的自适应跟踪控制方法，其特征在于：所述台车的参考轨迹包括，

利用台车的参考轨迹实现跟踪控制，所述参考轨迹分别设定为x_r与y_r，其表达公式为：

其他情况下：

其中：x_d，y_d为台车的目标位置；x₀，y₀为台车的初始位置；t_xd，t_yd为台车定位时间。

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