CN102825613A - 一种基于可控局部自由度的主动减振方法与装置 - Google Patents

Abstract

一种基于可控局部自由度的主动减振装置，其特征在于：该减振装置是由伺服电机、刚性支杆、位置和质量可调的末端质量块组成；刚性支杆一端通过轮毂和伺服电机的输出轴相连，另一端固联有末端质量块，整个减振装置通过夹具和柔性机械臂相连，柔性机械臂由关节串联；该减振装置安装在柔性机器人的柔性机械臂上，以减小柔性机器人末端执行器的振动；一种基于可控局部自由度的主动减振方法，它有八大步骤。本发明能优化柔性机器人的动态性能，提高柔性机器人的运动精度。它在柔性机器人领域和精密机械、微电子机械中具有较好的实用价值。

Description

一种基于可控局部自由度的主动减振方法与装置

技术领域

本发明涉及一种基于可控局部自由度的主动减振方法与装置，它从非线性的角度构造基于内共振的可控局部自由度减振器，可在柔性机器人和减振器之间形成能量交换的通道，使得柔性机器人的振动能量转移到减振器中，并由减振器的阻尼耗散。属于柔性机器人的振动控制技术领域。

背景技术

柔性机器人具有质量轻、承载能力大、运动灵活性强的优点，在航空航天领域得到了越来越多的应用。然而这类机器人低刚度和柔性化的特点不可避免地带来振动问题，如果不对振动进行有效地控制，其低频大幅振动会持续很长时间，这将严重降低机器人的运动精度。

针对这个问题，人们提出了很多振动控制方法。主要包括被动控制方法、主动控制方法以及将二者结合起来的主被动联合控制方法。在被动控制方面，人们将粘弹性大阻尼材料应用到柔性机械臂中，通过阻尼被动吸收机械臂的振动能量。在主动控制方面，包括PID控制、模糊控制、自适应控制、神经网络控制等等，通过这些规律主动地吸收柔性机械臂的能量，适应不同的控制对象。另外，结合被动控制和主动控制的优点，人们提出了半主动式减振方法，一方面可以通过主动设定控制规律满足不同控制对象减振的要求，另一方面可以通过附加阻尼的方法被动吸收柔性机器人的振动能量。

在振动控制方法中，通过改变机器人的结构特征而实现减振也是研究的热点。引入冗余度到柔性机器人中，通过规划冗余自由度的自运动能够削减柔性机器人的振动，但是冗余度常常用来优化机器人的运动学性能，例如避障和避奇异，为了减振而引入的冗余自由度的自运动可能会削弱运动学优化性能。因此，本专利申请中提出一种“可控局部自由度”，这种自由度具有与主系统运动学分离而动力学耦合的特点，避免了冗余度存在的问题同时能够起到减振的作用。

当前的振动控制方法已在柔性效应较弱、可做线性化处理的柔性机器人的一般振动方面取得了显著进展，然而在大范围刚性运动条件下，柔性机械臂动力学行为变得十分复杂，致使以线性振动控制为核心的动态性能优化研究进展缓慢。应当指出，柔性机器人是一个高度耦合的非线性动力学与非线性控制系统。当在机器人构件中考虑了柔性因素的时候，柔性机器人的运动往往呈现非线性特征，柔性机器人运动的特点是大范围的刚体运动与弹性运动之间相互影响、高度耦合。根据非线性振动理论，该系统的高度耦合非线性、低基频大柔性导致的几何非线性、模态密集以及多种控制力的联合作用，使该动力学系统存在着发生内共振的极大可能性，因此从非线性角度来分析柔性机器人的动力学和控制问题有利于探索更有效的减振方法。

内共振作为非线性多自由度系统特有的性质，一直视为有害而予以避免。然而，从积极的观点来研究内共振，有望为柔性机器人的非线性振动控制提供新的途径。内共振是非线性多自由度系统的一种特有现象，在两自由度系统的非线性动力学方程中，如果线性部分的固有频率满足可公度或者接近可公度关系，也就是说（其中m₁、m₂是正整数，ω₁、ω₂是线性部分固有频率），这些频率的可公度关系能够引起相应模态很强的耦合，这就称为内共振。正是这些耦合的存在，使得能量能够在模态之间不断地交换，并且由系统内的阻尼耗散。

因此，为了优化柔性机器人的非线性动力学性能，本发明从非线性振动角度，构造可控局部自由度减振器，提出基于内共振的振动控制策略，并设计具体的实现装置。

发明内容

1、目的：

本发明的目的是提供一种基于可控局部自由度的主动减振方法与装置，它能优化柔性机器人的动态性能，提高柔性机器人的运动精度。本发明主要应用在柔性机器人领域，另外还可以应用于具有柔性结构和机构的精密机械、微电子机械中。

2、技术方案：

1）本发明的目的通过以下方案来实现。

本发明一种基于可控局部自由度的主动减振装置，该减振装置是由伺服电机、刚性支杆、位置和质量可调的末端质量块组成；它们之间的位置连接关系是：刚性支杆一端通过轮毂和伺服电机的输出轴相连，另一端固联有末端质量块，整个减振装置通过夹具和柔性机械臂相连，柔性机械臂由关节串联。该减振装置安装在柔性机器人的柔性机械臂上，以减小柔性机器人末端执行器的振动。

所述柔性机械臂是截面为矩形的细长杆，满足Euler-Bernoulli（欧拉-伯努利）梁的条件，且柔性机械臂的宽度方向远远大于高度方向，保证柔性机械臂的主要振动形式为横向振动。

所述伺服电机为工业中常用的作动器，通过控制伺服电机的运动使刚性支杆完成相应的动作，因为这个控制动作对末端执行器的运动没有影响，因此称为“可控局部自由度”。

所述刚性支杆是细长圆杆（亦可是其它的设置形式，只需减振装置相对于转动中心有一定的转动惯量），刚性支杆的一端设有螺纹，通过螺母将刚性支杆和轮毂固联起来。

所述末端质量块是质量和位置均可调节的物块，通过改变物块的数量和安装位置使刚性支杆得到不同的转动惯量。末端质量块形状是空心的长方体，以便穿过刚性支杆，长方体的顶部设有螺纹孔，通过螺钉把末端质量块和刚性支杆连接起来。

所述夹具是一个L型的连接件，L件的一头设有两个通孔，利用这两个通孔将伺服电机和夹具连接起来，另一头设有四个通孔，以便和控制对象（在本发明中以柔性机械臂为例）连接起来。

所述轮毂是一个空心的圆柱，圆柱侧面上下对称设置两个螺纹孔，通过紧定螺钉将轮毂和伺服电机的输出轴固联起来。

所述末端执行器的结构类似手掌，它是由活塞杆、销轴、指支点、手指、底座组成，它们之间的连接关系是活塞杆带动销轴上下移动，销轴拉动绕指支点旋转的手指使之开合而夹紧或放松工件。

本发明的工作原理简介如下，

柔性机器人的名义运动（刚性运动）由柔性机械臂驱动单元提供动力，该驱动力体现为控制柔性机械臂的刚性转角的运动规律，该刚性转角的运动规律仅由柔性机械臂驱动单元决定不受其他参数影响。在驱动单元作用下柔性机械臂将具有名义运动，名义运动将引发柔性机械臂杆横向弯曲振动，由此柔性机械臂自身构成一振动系统，该振动系统具有自身模态参数。

通过伺服电机控制可控局部自由度的运动，利用这种可控运动有望在柔性机械臂和减振装置之间建立起基于内共振的能量交换的通道，从而使柔性机械臂的能量流入到减振装置并且由减振装置的阻尼消耗。为了构造内共振，引入PD控制环节，对可控局部自由度进行运动控制。当柔性机械臂振动的时候，刚性支杆会随之摆动，当给定刚性支杆的期望位置后，由于反馈控制的作用，刚性支杆会在此位置附近做往复摆动，与伺服电机共同组成区别于柔性机器人的另一振动系统，该振动系统具有自身模态参数。

通过调节伺服电机的控制参数使得刚性支杆的这种往复摆动和柔性机械臂的振动形成模态耦合，能量在两个模态之间进行交换，具体来说，引入P环节的位置反馈增益，减振装置的固有频率可变，调节该参数可以使系统形成内共振；同时改变D环节的速度反馈增益，加入阻尼到减振装置中，充分吸收来自柔性机械臂的振动能量。

2）本发明一种基于可控局部自由度的主动减振方法，它包括可控局部自由度柔性机械臂的建模和内共振分析。为了清楚简明的阐述本发明中提出的减振方法，在这里仅考虑单柔性机械臂。该方法具体步骤如下：

步骤一：由于柔性机械臂截面的宽度远远大于高度，因此仅考虑柔性机械臂运动平面内的振动。采用假设模态法将柔性机械臂上任一点的弯曲变形w离散，

其中表示第i阶振型函数，q_i(t)表示模态坐标。由于第一阶模态在变形中起主要作用，因此在这里只考虑第一阶模态（n＝1）。

步骤二：减振装置主动控制模型设计为：

$T=k_v({\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1^d-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1)+k_p({\mathrm{\β}}_1^d-{\mathrm{\β}}_1)---\left(2\right)$

其中

分别表示伺服电机期望的运动角速度和角位移，k_v、k_p分别表示伺服电机的速度反馈增益和位置反馈增益，T表示伺服电机作用于减振装置上的驱动力矩。

在本模型中，伺服电机的期望位置是零，因此期望角速度

和角位移

均为零。这样式（2）变为

$T=-k_v{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1-k_p{\mathrm{\β}}_1---\left(3\right)$

步骤三：基于Kane（凯恩）方法，同时考虑到式（1）（3），计入第一阶模态阻尼f₁。可得关于模态坐标q₁的柔性机械臂振动微分方程和关于刚性支杆转角β₁的可控局部自由度支杆的运动控制方程（4a）、（4b）。

${\stackrel{\·\·}{q}}_1+2{\widehat{\mathrm{\ζ}}}_1{\mathrm{\ω}}_1{\stackrel{\·}{q}}_1+{\mathrm{\ω}}_1^2{q}_1=Q_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2{q}_1+Q_2\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}{q}_1-Q_3\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-Q_4\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+Q_5({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_1{\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_1^2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})---\left(4a\right)$

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_1+2{\widehat{\mathrm{\ζ}}}_2{\mathrm{\ω}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1+{\mathrm{\ω}}_2^2{\mathrm{\β}}_1=-L_1(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}{q}_1+2\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}{\stackrel{\·}{q}}_1)+L_1({\stackrel{\·\·}{q}}_1{\mathrm{\β}}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2{q}_1{\mathrm{\β}}_1)+L_2(-{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\β}}_1)---\left(4b\right)$

其中：

${\mathrm{\ω}}_2^2=\frac{k_p}{m_2{l}_2^2},$ $2{\widehat{\mathrm{\ζ}}}_2{\mathrm{\ω}}_2=\frac{k_v}{m_2{l}_2^2},$

$L_2=\frac{x_A}{l_2},$

上述系数中的参数l₁为柔性机械臂的长度，l₂为刚性支杆的长度；ρ、I、E分别为柔性机械臂的单位线密度、截面惯性矩、弹性模量，b和h分别为截面的宽和高，m₁为伺服电机质量，m₂为带有质量块的刚性支杆质量；伺服电机安装在距离柔性机械臂转动中心x_A的位置，表示柔性机械臂A点的第一阶振型函数。

步骤四：分析柔性机器人的非线性动力学模型。

方程（4a）表示柔性机器人的动力学方程，等号右边出现二次非线性项方程（4b）表示减振装置的动力学方程，等号右边出现二次耦合项

q₁β₁，因此推测柔性机器人可能出现

的内共振。

由方程（4b）刚性支杆的运动频率ω₂与驱动刚性支杆运动的电机的位置反馈增益k_p有关，故可以通过调整k_p从而控制刚性支杆的运动频率，使系统形成内共振；刚性支杆的控制阻尼

与伺服电机的速度反馈增益k_v有关，故可以通过调整k_v从而控制刚性支杆的运动阻尼，吸收柔性机械臂的振动能量。

步骤五：应用多尺度法求解方程（4a）、（4b）的近似解析解。在方程中引入小参数0<ε<＜1，代表柔性机器人的非线性项和耦合项。将方程（4a）、（4b）中的时间、柔性机械臂模态坐标、刚性支杆的转角分别按照τ=ω₁t、q=q₁/l₁、β=β₁进行无量纲化，同时利用代换q→εq、β→εβ、θ→εθ、

化简方程（4a）（4b）得到

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{q}+q=-(N_3+N_4)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&epsiv;N}}_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}q+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}^2+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(5a\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_2{\mathrm{\&omega;}}_s\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+{\mathrm{\&omega;}}_s^2\mathrm{\&beta;}=-{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}q-2{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{q}+{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&epsiv;P}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2+{\mathrm{\&epsiv;P}}_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{\&beta;}---\left(5b\right)$

其中ω_s=ω₂/ω₁表示刚性支杆运动频率和柔性机械臂的第一阶模态固有频率比；系数N_i=Q_i/l₁(i=1...5)，P₁=L₁l₁，P₂=L₂。

运用多尺度法求解方程（5a,b），引入不同尺度的时间变量T₀=τ、T₁=ετ，利用链式法则将对无量纲时间τ的一阶导数和二阶导数改写为

$\frac{d}{\mathrm{d\&tau;}}=\frac{d{T}_0}{\mathrm{d\&tau;}}\&CenterDot;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;T_0}+\frac{d{T}_1}{\mathrm{d\&tau;}}\&CenterDot;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;T_1}+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)=D_0+\mathrm{\&epsiv;}{D}_1+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)---\left(6a\right)$

$\frac{d^2}{d{\mathrm{\&tau;}}^2}=\frac{{\&PartialD;}^2}{{{\&PartialD;T}_0}^2}+2\mathrm{\&epsiv;}\frac{{\&PartialD;}^2}{{\&PartialD;T}_0{\&PartialD;T}_1}+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)---\left(6b\right)$

设方程的一次近似解为

q(τ，ε)=u₀(T₀,T₁)+εu₁(T₀,T₁)+O(ε²)            （7a）

β(τ,ε)=β₀(T₀,T₁)+εβ₁(T₀,T₁)+O(ε²)          （7b）

其中T₀表示的是快变时间，T₁表示的是慢变时间。

将（6a）（6b）（7a）（7b）代入（5a）（5b），并令ε⁰和ε¹的系数为零得到：

ε⁰阶的方程：

$D_0^2{u}_0+u_0=-(N_3+N_4)D_0^2\mathrm{\&theta;}---\left(8a\right)$

$D_0^2{\mathrm{\&beta;}}_0+{\mathrm{\&omega;}}_s^2{\mathrm{\&beta;}}_0=0---\left(8b\right)$

ε¹阶的方程：

$D_0^2{u}_1+u_1=-2D_0{D}_1{u}_0-2{\mathrm{\&zeta;}}_1{D}_0{u}_0+N_2{u}_0{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+$ $\left(9a\right)$

$N_5{\mathrm{\&beta;}}_0{D_0}^2{\mathrm{\&beta;}}_0+N_5{\left(D_0{\mathrm{\&beta;}}_0\right)}^2+N_5\left(D_0{\mathrm{\&beta;}}_0\right)\left(D_0\mathrm{\&theta;}\right)$

$D_0^2{\mathrm{\&beta;}}_1+{\mathrm{\&omega;}}_s^2{\mathrm{\&beta;}}_1=-2D_0{D}_1{\mathrm{\&beta;}}_0-2{\mathrm{\&zeta;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_s{D}_0{\mathrm{\&beta;}}_0-P_1{u}_0{D}_0^2\mathrm{\&theta;}-$

$\left(9b\right)$

$2P_1\left(D_0\mathrm{\&beta;}\right)\left(D_0{u}_0\right)+P_1{\mathrm{\&beta;}}_0{D}_0^2{u}_0-P_2{\left(D_0\mathrm{\&beta;}\right)}^2+P_2{\mathrm{\&beta;}}_0\left(D_0^2\mathrm{\&theta;}\right)$

步骤六：求解方程组（9a）、（9b），得到u₀、β₀的解

$u_0=A_1{e}^{i{T}_0}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1{e}^{-i{T}_0}-(N_3+N_4)D_0^2\mathrm{\&theta;}---\left(10a\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_0=A_2{e}^{i{\mathrm{\&omega;}}_s{T}_0}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2{e}^{-i{\mathrm{\&omega;}}_s{T}_0}---\left(10b\right)$

其中A₁、A₂是未知的关于慢变时间T₁的复函数。

为了分析内共振，引进如下的解谐参数σ

ω_s=0.5+εσ                       （11）

令

（a₁，θ₁，a₂，θ₂均为慢变时间T₁的函数。），将A₁、A₂以及（10a）（10b）代入方程组（9a）、（9b）中，并根据实部和虚部为零可得，

$a_1^{\&prime;}=-{\mathrm{\&zeta;}}_1{a}_1-\frac{5}{4}{N}_5{\mathrm{\&omega;}}_s^2{a}_2^2\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(12a\right)$

$a_2^{\&prime;}=-{\mathrm{\&zeta;}}_2{a}_2{\mathrm{\&omega;}}_s-\frac{1}{4}{P}_1\frac{a_1{a}_2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(12b\right)$

$a_1{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}=2\mathrm{\&sigma;}{a}_1+P_1(N_3+N_4)\frac{a_1}{{\mathrm{\&omega;}}_s}{D}_0^4\mathrm{\&theta;}-P_2\frac{a_1}{{\mathrm{\&omega;}}_s}{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2}{N}_1{a}_1{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+(\frac{1}{2}{P}_1\frac{a_1^2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}-\frac{5}{4}{N}_5{\mathrm{\&omega;}}_s^2{a}_2^2)\cos \mathrm{\&gamma;}---\left(12c\right)$

其中

γ=2σT₁+2θ₂-θ₁                 （12d）

步骤七：在无阻尼(ζ₁=ζ₂=0)的情况下，用式（12a）除以式（12b），约去sinγ得到

$\frac{a_1^{\&prime;}}{a_2^{\&prime;}}=-\frac{5N_5{\mathrm{\&omega;}}_s^3}{P_1}\&CenterDot;\frac{a_2}{a_1}---\left(13\right)$

取 $v=\frac{5N_5{\mathrm{\&omega;}}_s^3}{P_1},$ 则

$a_1^2+v{a}_2^2=E---\left(14\right)$

其中E是积分常数，表示柔性机器人的初始能量。

将方程（5a）、（5b）中的系数N₅、P₁代入到v中可得

从式（15）可以看到v>0，将其代入式（14）可知a₁和a₂总是有界的，且呈现着此消彼长的关系。这证明了利用此方法能够在柔性机械臂的振动模态与减振装置运动模态之间形成内共振，能量能够在两个模态间传递。

从式（14）可以看出，v表征柔性机械臂与减振装置之间能量交换的程度，v>0表示二者有能量交换，当v越大的时候，a₁衰减的幅度越大，说明此时能量交换越充分。而从式（15）可知v的大小与可变质量m₂相关，m₂越大，v越大，但是却增加了减振装置的重量，因此适当改变m₂可以增强减振的效果。

步骤八：从步骤七中可知，柔性机器人在无阻尼条件下，能量可以在两个模态之间进行传递。当引入阻尼到减振装置模态中，即ζ₂≠0，此时减振装置的阻尼可以耗散来自柔性机械臂的振动能量，调节减振装置的阻尼到合适的值，使得减振装置能够最大程度地减小柔性机械臂的振动。

本发明充分考虑了柔性机器人弹性变形和刚性运动耦合带来的非线性振动，并且利用非线性振动系统发生内共振时，能量在不同模态之间进行交互的特性，提供了一套理论上可行且操作上方便的减振方法和装置。

3、优点及功效：

1）局部自由度的运动和柔性机械臂的名义运动无关，也就是说刚性支杆的运动对柔性机械臂末端的运动没有贡献，因此相比于冗余自由度机器人有更大的灵活性。此外引入局部自由度可以改善柔性机器人的动态性能，可控局部自由度的刚性运动和柔性机械臂的弹性变形之间形成非线性耦合，使得能量能够从柔性机械臂转移到刚性支杆中并将其耗散。

2）减振效果明显、鲁棒性强。本发明通过调节伺服电机的位置反馈系数实现柔性机器人和减振装置之间的内共振，因而针对不同的控制对象，减振装置均能满足频率匹配的要求；通过调节速度反馈系数引入阻尼到减振装置中，充分吸收来自柔性机械臂的振动能量，削减柔性机械臂的大幅振动。

3）该减振装置消耗能量少，只要提供减振装置正常工作时的基本电压，不需要额外输入能量来抵消振动能量；而且把伺服电机作为减振装置的作动部件，使得整套装置结构简单，使用方便。

附图说明

图1为本发明的可控局部自由度柔性机器人结构示意图。

图2为本发明主动减振装置的具体结构示意图；

图3为末端执行器的结构示意图；

图4为单柔性机械臂和减振装置的连接示意图。

图5为减振装置中伺服电机的控制方框示意图。

图6为内共振条件（系统无阻尼）下，柔性机械臂和减振装置之间的能量交换。

图7为内共振条件（系统有阻尼）下，柔性机械臂和减振装置之间的能量交换。

图8为给定名义运动未加入减振装置，柔性机械臂末端的振动变形示意图。

图9为给定名义运动且加入减振装置进行振动控制，柔性机械臂末端的振动变形示意图。

图1、2、3、4中数字和符号说明如下：

1表示机座，2表示柔性机械臂，3表示刚性支杆，4表示伺服电机，5表示末端质量块，6表示末端执行器，7表示减振装置，8表示夹具，9表示轮毂，10表示活塞杆，11表示销轴，12表示指支点，13表示手指，14表示底座。

Ox₀y₀表示固联在机座上的惯性坐标系，Ox₁y₁表示固联在柔性机械臂上的随动坐标系。θ表示柔性机械臂的转角，β₁表示刚性支杆的转角，w表示柔性机械臂上任意一点P的横向变形。

图5中的符号说明如下：

表示减振装置中刚性支杆期望运动角位移，β₁表示刚性支杆实际运动角位移，k_p表示伺服电机的位置反馈增益，k_v表示伺服电机的速度反馈增益，d/dt表示对时间的一阶导，T表示控制力矩。

图6、图7中的细实线表示柔性机械臂的振动模态幅值，粗虚线表示刚性支杆的运动模态的幅值。

具体实施方式

下面结合附图及实例对本发明进行详细的说明。

见图1，本发明一种基于可控局部自由度的主动减振装置，该减振装置7是由伺服电机4、刚性支杆3、位置和质量可调的末端质量块5组成。减振装置7安装在柔性机器人的柔性机械臂2上，以减小柔性机器人末端执行器6的振动。它们之间的位置连接关系是：柔性机械臂2由关节串联。刚性支杆3一端通过轮毂9和伺服电机4的输出轴相连，另一端固联有末端质量块5，整个减振装置通过夹具8和柔性机械臂2相连，如图2所示。

所述柔性机械臂2是截面为矩形的细长杆，满足Euler-Bernoulli（欧拉-伯努利）梁的条件，且柔性机械臂2的宽度方向远远大于高度方向，保证柔性机械臂2的主要振动形式为横向振动。

所述伺服电机4为SGMJV-01AAA61型交流伺服电机，通过控制伺服电机4的运动使刚性支杆3完成相应的动作，因为这个控制动作对末端执行器6的运动没有影响，因此称为“可控局部自由度”。

所述刚性支杆3是细长圆杆（亦可是其它的设置形式，只需减振装置相对于转动中心有一定的转动惯量），刚性支杆3的一端设有螺纹，通过螺母将刚性支杆3和轮毂9固联起来。

所述末端质量块5是质量和位置均可调节的物块，通过改变物块的数量和安装位置使刚性支杆3得到不同的转动惯量。末端质量块5的形状是空心的长方体，以便穿过刚性支杆3，长方体的顶部设有螺纹孔，通过螺钉把末端质量块5和刚性支杆3连接起来。

所述夹具8是一个L型的连接件，L件的一头设有两个通孔，利用这两个通孔将伺服电机4和夹具8连接起来，另一头设有四个通孔，以便和控制对象（在本发明中以柔性机械臂2为例）连接起来。

所述轮毂9是一个空心的圆柱，圆柱侧面上下对称设置两个螺纹孔，通过紧定螺钉将轮毂9和伺服电机4的输出轴固联起来。

所述末端执行器6的结构类似手掌，它是由活塞杆10、销轴11、指支点12、手指13、基座14组成，它们之间的连接关系是活塞杆10带动销轴11上下移动，销轴11拉动绕指支点12旋转的手指13使之开合而夹紧或者放松工件。图3为末端执行器的结构示意图。

本发明一种基于可控局部自由度的主动减振方法，它包括可控局部自由度柔性机械臂的建模和内共振分析。为了清楚简明的阐述本发明中提出的减振方法，在这里仅考虑单柔性机械臂，物理模型如图4所示，具体的实施步骤如下。

步骤一：由于柔性机械臂2截面的宽度远远大于高度，因此仅考虑柔性机械臂2运动平面内的振动。采用假设模态法将柔性机械臂2上任一点的弯曲变形w离散，

其中

表示第i阶振型函数，q_i(t)表示模态坐标。由于第一阶模态在变形中起主要作用，因此在这里只考虑第一阶模态（n＝1）。

步骤二：减振装置7主动控制模型设计为：

$T=k_v({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1^d-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1)+k_p({\mathrm{\&beta;}}_1^d-{\mathrm{\&beta;}}_1)---\left(2\right)$

其中分别表示伺服电机4期望的运动角速度和角位移，k_v、k_p分别表示伺服电机4的速度反馈增益和位置反馈增益，T表示伺服电机4作用于刚性支杆3上的驱动力矩。伺服电机4控制系统的动态结构图如图5所示。

在本模型中，伺服电机4的期望位置是零，因此期望角速度

和角位移

均为零。这样式（2）变为

$T=-k_v{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1-k_p{\mathrm{\&beta;}}_1---\left(3\right)$

步骤三：基于Kane方法，同时考虑到式（1）（3），计入第一阶模态阻尼f₁。可得关于模态坐标q₁的柔性机械臂2振动微分方程和关于转角β₁的刚性支杆3的运动控制方程（4a）、（4b）。

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_1+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_1{\mathrm{\&omega;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1+{\mathrm{\&omega;}}_1^2{q}_1=Q_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2{q}_1+Q_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{q}_1-Q_3\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-Q_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+Q_5({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1{\mathrm{\&beta;}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1^2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})---\left(4a\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_2{\mathrm{\&omega;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1+{\mathrm{\&omega;}}_2^2{\mathrm{\&beta;}}_1=-L_1(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{q}_1+2\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1)+L_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_1{\mathrm{\&beta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2{q}_1{\mathrm{\&beta;}}_1)+L_2(-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&beta;}}_1)---\left(4b\right)$

其中：

${\mathrm{\&omega;}}_2^2=\frac{k_p}{m_2{l}_2^2},$ $2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_2{\mathrm{\&omega;}}_2=\frac{k_v}{m_2{l}_2^2},$

$L_2=\frac{x_A}{l_2},$

上述系数中的参数l₁为柔性机械臂2的长度，l₂为刚性支杆的长度；ρ、I、E分别为柔性机械臂2的单位线密度、截面惯性矩、弹性模量，b和h分别为截面的宽和高，m₁为伺服电机4质量，m₂为带有物块5的刚性支杆3质量；伺服电机4安装在距离柔性机械臂2转动中心x_A的位置，

表示柔性机械臂2上A点的第一阶振型函数。

步骤四：分析柔性机器人的非线性动力学模型。

方程（4a）表示柔性机械臂2的振动方程，等号右边出现二次非线性项

方程（4b）表示减振装置7的动力学方程，等号右边出现二次耦合项

q₁β₁，因此推测柔性机器人可能出现

的内共振。

由方程（4b）刚性支杆3的运动频率ω₂与驱动刚性支杆3运动的伺服电机4的位置反馈增益k_p有关，故可以通过调整k_p从而控制刚性支杆3的运动频率，使柔性机器人形成内共振；刚性支杆3的控制阻尼与伺服电机4的速度反馈增益k_v有关，故可以通过调整k_v从而控制刚性支杆3的运动阻尼，吸收柔性机械臂2的振动能量。

步骤五：应用多尺度法求解方程（4a）、（4b）的近似解析解。在方程中引入小参数0<ε<<1，代表柔性机器人的非线性项和耦合项。将方程（4a）、（4b）中的时间、柔性机械臂2模态坐标、刚性支杆3的转角分别按照τ=ω₁t、q=q₁/l₁、β=β₁进行无量纲化，同时利用代换q →εq、β→εβ、θ→εθ、

化简方程（4a）（4b）得到

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{q}+q=-(N_3+N_4)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&epsiv;N}}_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}q+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}^2+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(5a\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_2{\mathrm{\&omega;}}_s\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+{\mathrm{\&omega;}}_s^2\mathrm{\&beta;}=-{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}q-2{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{q}+{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&epsiv;P}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2+{\mathrm{\&epsiv;P}}_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{\&beta;}---\left(5b\right)$

其中ω_s=ω₂/ω₁表示刚性支杆3运动频率和柔性机械臂2的第一阶模态固有频率比；系数N_i=Q_i/l₁(i＝1...5)，P₁=L₁l₁，P₂=L₂。

运用多尺度法求解方程（5a,b），引入不同尺度的时间变量T₀=τ、T₁=ετ，利用链式法则将无量纲时间τ的一阶导数和二阶导数改写为

$\frac{d}{\mathrm{d\&tau;}}=\frac{d{T}_0}{\mathrm{d\&tau;}}\&CenterDot;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;T_0}+\frac{d{T}_1}{\mathrm{d\&tau;}}\&CenterDot;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;T_1}+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)=D_0+\mathrm{\&epsiv;}{D}_1+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)---\left(6a\right)$

$\frac{d^2}{d{\mathrm{\&tau;}}^2}=\frac{{\&PartialD;}^2}{{{\&PartialD;T}_0}^2}+2\mathrm{\&epsiv;}\frac{{\&PartialD;}^2}{{\&PartialD;T}_0{\&PartialD;T}_1}+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)---\left(6b\right)$

设方程的一次近似解为

q(τ，ε)=u₀(T₀,T₁)+εu₁(T₀,T₁)+O(ε²)            （7a）

β(τ,ε)=β₀(T₀,T₁)+εβ₁(T₀,T₁)+O(ε²)          （7b）

其中T₀表示的是快变时间，T₁表示的是慢变时间。

将（6a）（6b）（7a）（7b）代入（5a）（5b），并令ε⁰和ε¹的系数为零得到：

ε⁰阶的方程：

$D_0^2{u}_0+u_0=-(N_3+N_4)D_0^2\mathrm{\&theta;}---\left(8a\right)$

$D_0^2{\mathrm{\&beta;}}_0+{\mathrm{\&omega;}}_s^2{\mathrm{\&beta;}}_0=0---\left(8b\right)$

ε¹阶的方程：

$D_0^2{u}_1+u_1=-2D_0{D}_1{u}_0-2{\mathrm{\&zeta;}}_1{D}_0{u}_0+N_2{u}_0{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+$

$\left(9a\right)$

$N_5{\mathrm{\&beta;}}_0{D_0}^2{\mathrm{\&beta;}}_0+N_5{\left(D_0{\mathrm{\&beta;}}_0\right)}^2+N_5\left(D_0{\mathrm{\&beta;}}_0\right)\left(D_0\mathrm{\&theta;}\right)$

$D_0^2{\mathrm{\&beta;}}_1+{\mathrm{\&omega;}}_s^2{\mathrm{\&beta;}}_1=-2D_0{D}_1{\mathrm{\&beta;}}_0-2{\mathrm{\&zeta;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_s{D}_0{\mathrm{\&beta;}}_0-P_1{u}_0{D}_0^2\mathrm{\&theta;}-$

$\left(9b\right)$

$2P_1\left(D_0\mathrm{\&beta;}\right)\left(D_0{u}_0\right)+P_1{\mathrm{\&beta;}}_0{D}_0^2{u}_0-P_2{\left(D_0\mathrm{\&beta;}\right)}^2+P_2{\mathrm{\&beta;}}_0\left(D_0^2\mathrm{\&theta;}\right)$

步骤六：求解方程组（9a）、（9b），得到u₀、β₀的解

$u_0=A_1{e}^{i{T}_0}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1{e}^{-i{T}_0}-(N_3+N_4)D_0^2\mathrm{\&theta;}---\left(10a\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_0=A_2{e}^{i{\mathrm{\&omega;}}_s{T}_0}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2{e}^{-i{\mathrm{\&omega;}}_s{T}_0}---\left(10b\right)$

其中A₁、A₂是未知的关于慢变时间T₁的复函数。

为了分析内共振，引进如下的解谐参数σ

ω_s=0.5+εσ                                        （11）

令

（a₁，θ₁，a₂，θ₂均为慢变时间T₁的函数。），将A₁、A₂以及（10a）（10b）代入方程组（9a）、（9b）中，并根据实部和虚部为零可得，

$a_1^{\&prime;}=-{\mathrm{\&zeta;}}_1{a}_1-\frac{5}{4}{N}_5{\mathrm{\&omega;}}_s^2{a}_2^2\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(12a\right)$

$a_2^{\&prime;}=-{\mathrm{\&zeta;}}_2{a}_2{\mathrm{\&omega;}}_s-\frac{1}{4}{P}_1\frac{a_1{a}_2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(12b\right)$

$a_1{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}=2\mathrm{\&sigma;}{a}_1+P_1(N_3+N_4)\frac{a_1}{{\mathrm{\&omega;}}_s}{D}_0^4\mathrm{\&theta;}-P_2\frac{a_1}{{\mathrm{\&omega;}}_s}{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2}{N}_1{a}_1{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+(\frac{1}{2}{P}_1\frac{a_1^2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}-\frac{5}{4}{N}_5{\mathrm{\&omega;}}_s^2{a}_2^2)\cos \mathrm{\&gamma;}---\left(12c\right)$

其中

γ=2σT₁+2θ₂-θ₁                                     （12d）

步骤七：在无阻尼(ζ₁＝ζ₂＝0)的情况下，用式（12a）除以式（12b），约去sinγ得到

$\frac{a_1^{\&prime;}}{a_2^{\&prime;}}=-\frac{5N_5{\mathrm{\&omega;}}_s^3}{P_1}\&CenterDot;\frac{a_2}{a_1}---\left(13\right)$

取 $v=\frac{5N_5{\mathrm{\&omega;}}_s^3}{P_1},$ 则

$a_1^2+v{a}_2^2=E---\left(14\right)$

其中E是积分常数，表示系统的初始能量。

将方程（5a）、（5b）中的系数N₅、P₁代入到v中可得

从式（15）可以看到v>0，将其代入式（14）可知a₁和a₂总是有界的，且呈现着此消彼长的关系。这证明了利用此方法能够在柔性机械臂2的振动模态与减振装置7运动模态之间形成内共振，能量能够在两个模态间传递。

从式（14）可以看出，v表征柔性机械臂2与减振装置7之间能量交换的程度，v＞0表示二者有能量交换，当v越大的时候，a₁可能衰减的幅度越大，说明此时能量交换越充分。而从式（15）可知v的大小与可变质量m₂相关，m₂越大，v越大，但是却增加了减振装置7的重量，因此适当改变m₂可以增强减振的效果。

步骤八：从步骤七中可知，柔性机器人在无阻尼条件下，能量可以在两个模态之间进行传递。当引入阻尼到减振装置7模态中，即ζ₂≠0，此时减振装置7的阻尼可以耗散来自柔性机械臂2的振动能量，调节减振装置7的阻尼到合适的值，使得减振装置7能够最大程度地减小柔性机械臂2的振动。

为进一步直观表述本发明的优越性，给定下述算例。设柔性机械臂2的运动规律为

$\mathrm{\&theta;}=0.1\cos \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\mathrm{\&tau;}\right)+0.1\cos \left[(\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\mathrm{\&pi;}}{10})\mathrm{\&tau;}\right]$

给定模型参数如表1：

表1模型中的参数

给定a₁、a₂、γ的初始值为：a₁(0)＝0.3，a₂(0)＝0.001，γ(0)＝0。

调节伺服电机4的位置反馈系数k_p使式（12a）中解谐参数σ=0、这样内共振频率比ω_s=0.5，柔性机器人形成完全内共振。此时柔性机械臂2和减振装置7之间的能量交换如图6所示，从图中可以看到，柔性机械臂2和减振装置7两模态出现反相的调幅运动。由于柔性机械臂2的阻尼主要来自材料阻尼，为方便分析，假设其阻尼为线粘性阻尼，阻尼比ζ₁=0.01，调节伺服电机4的速度反馈系数k_v使式（12b）中减振装置7的阻尼比ζ₂=0.5，得到柔性机械臂2和减振装置7之间的有阻尼条件下的能量交换如图7所示，从图中可以看到，在阻尼的作用下柔性机械臂2的振动能量逐步衰减至消失。

假设柔性机械臂2的初始变形为0.1m，阻尼系数ζ₁＝0.01，得到柔性机械臂2的末端变形如图8所示，调节减振装置7的阻尼ζ₂＝0.05，得到柔性机械臂2的末端变形如图9所示。对比图8和图9可知，采用可控局部自由度控制振动的方法，柔性机械臂2的末端振动量在10s时相对减少了80%以上。证明基于内共振的减振装置7是有效的，特别是该减振装置7可以使柔性机械臂2的大幅振动在很短的时间内迅速衰减。

以上所实施的算例仅为验证说明本发明的实现效果，但并不用以限制本发明。凡在本发明所提出的原理方法及实现装置的基本思路和框架以内实施的无实质性的修改、转换和改进均应包含在本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种基于可控局部自由度的主动减振装置，其特征在于：该减振装置是由伺服电机、刚性支杆、位置和质量可调的末端质量块组成；刚性支杆一端通过轮毂和伺服电机的输出轴相连，另一端固联有末端质量块，整个减振装置通过夹具和柔性机械臂相连，柔性机械臂由关节串联；该减振装置安装在柔性机器人的柔性机械臂上，以减小柔性机器人末端执行器的振动；

所述柔性机械臂是截面为矩形的细长杆，满足欧拉-伯努利梁的条件，且柔性机械臂的宽度方向远远大于高度方向，保证柔性机械臂的主要振动形式为横向振动；

所述伺服电机为工业中常用的作动器，通过控制伺服电机的运动使刚性支杆完成相应的动作，因为这个控制动作对末端执行器的运动没有影响；

所述刚性支杆是细长圆杆，刚性支杆的一端设有螺纹，通过螺母将刚性支杆和轮毂固联起来；

所述末端质量块是质量和位置均可调节的物块，通过改变物块的数量和安装位置使刚性支杆得到不同的转动惯量；末端质量块形状是空心的长方体，以便穿过刚性支杆，长方体的顶部设有螺纹孔，通过螺钉把末端质量块和刚性支杆连接起来；

所述夹具是一个L型的连接件，L件的一头设有两个通孔，利用这两个通孔将伺服电机和夹具连接起来，另一头设有四个通孔，以便和控制对象柔性机械臂接起来；

所述轮毂是一个空心的圆柱，圆柱侧面上下对称设置两个螺纹孔，通过紧定螺钉将轮毂和伺服电机的输出轴固联起来；

所述末端执行器的结构类似手掌，它是由活塞杆、销轴、指支点、手指、基座组成，它们之间的连接关系是活塞杆带动销轴上下移动，销轴拉动绕指支点旋转的手指使之开合而夹紧或者放松工件。

2.一种基于可控局部自由度的主动减振方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：由于柔性机械臂截面的宽度远远大于高度，因此仅考虑柔性机械臂运动平面内的振，采用假设模态法将柔性机械臂上任一点的弯曲变形w离散，

其中，

表示第i阶振型函数，q_i(t)表示模态坐标；由于第一阶模态在变形中起主要作用，因此在这里只考虑第一阶模态（n＝1）；

步骤二：减振装置主动控制模型设计为：

$T=k_v({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1^d-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1)+k_p({\mathrm{\&beta;}}_1^d-{\mathrm{\&beta;}}_1)---\left(2\right)$

其中，

分别表示伺服电机期望的运动角速度和角位移，k_v、k_p分别表示伺服电机的速度反馈增益和位置反馈增益，T表示伺服电机作用于减振装置上的驱动力矩；

在本模型中，伺服电机的期望位置是零，因此期望角速度

和角位移

均为零，这样式（2）变为

$T=-k_v{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1-k_p{\mathrm{\&beta;}}_1---\left(3\right)$

步骤三：基于Kane-凯恩方法，同时考虑到式（1）（3），计入第一阶模态阻尼f₁，得关于模态坐标q₁的柔性机械臂振动微分方程和关于刚性支杆转角β₁的可控局部自由度支杆的运动控制方程（4a）、（4b）；

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_1+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_1{\mathrm{\&omega;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1+{\mathrm{\&omega;}}_1^2{q}_1=Q_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2{q}_1+Q_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{q}_1-Q_3\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-Q_4\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+Q_5({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1{\mathrm{\&beta;}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_1^2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})---\left(4a\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_2{\mathrm{\&omega;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1+{\mathrm{\&omega;}}_2^2{\mathrm{\&beta;}}_1=-L_1(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{q}_1+2\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1)+L_1({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_1{\mathrm{\&beta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2{q}_1{\mathrm{\&beta;}}_1)+L_2(-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}{\mathrm{\&beta;}}_1)---\left(4b\right)$

其中：

${\mathrm{\&omega;}}_2^2=\frac{k_p}{m_2{l}_2^2},$

$2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_2{\mathrm{\&omega;}}_2=\frac{k_v}{m_2{l}_2^2},$

$L_2=\frac{x_A}{l_2},$

上述系数中的参数l₁为柔性机械臂的长度，l₂为刚性支杆的长度；ρ、I、E分别为柔性机械臂的单位线密度、截面惯性矩、弹性模量，b和h分别为截面的宽和高，m₁为伺服电机质量，m₂为带有质量块的刚性支杆质量；伺服电机安装在距离柔性机械臂转动中心x_A的位置，

表示柔性机械臂A点的第一阶振型函数；

步骤四：分析柔性机器人的非线性动力学模型；

方程（4a）表示柔性机器人的动力学方程，等号右边出现二次非线性项

方程（4b）表示减振装置的动力学方程，等号右边出现二次耦合项

q₁β₁，因此推测柔性机器人可能出现的内共振；

由方程（4b）刚性支杆的运动频率ω₂与驱动刚性支杆运动的电机的位置反馈增益k_p有关，故通过调整k_p从而控制刚性支杆的运动频率，使系统形成内共振；刚性支杆的控制阻尼

与伺服电机的速度反馈增益k_v有关，故通过调整k_v从而控制刚性支杆的运动阻尼，吸收柔性机械臂的振动能量；

步骤五：应用多尺度法求解方程（4a）、（4b）的近似解析解，在方程中引入小参数0<ε<＜1，代表柔性机器人的非线性项和耦合项；将方程（4a）、（4b）中的时间、柔性机械臂模态坐标、刚性支杆的的转角分别按照τ=ω₁t、q=q₁/l₁、β=β₁进行无量纲化，同时利用代换q→εq、β→εβ、θ→εθ、

化简方程（4a）（4b）得到

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{q}+q=-(N_3+N_4)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+{\mathrm{\&epsiv;N}}_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}q+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\mathrm{\&beta;}+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}^2+{\mathrm{\&epsiv;N}}_5\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(5a\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+2{\widehat{\mathrm{\&zeta;}}}_2{\mathrm{\&omega;}}_s\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+{\mathrm{\&omega;}}_s^2\mathrm{\&beta;}=-{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}q-2{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{q}+{\mathrm{\&epsiv;P}}_1\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}\mathrm{\&beta;}-{\mathrm{\&epsiv;P}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2+{\mathrm{\&epsiv;P}}_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{\&beta;}---\left(5b\right)$

其中，ω_s=ω₂/ω₁表示刚性支杆运动频率和柔性机械臂的第一阶模态固有频率比；系数N_i=Q_i/l₁(i＝1...5)，P₁=L₁l₁，P₂=L₂；

运用多尺度法求解方程（5a,b），引入不同尺度的时间变量T₀=τ、T₁=ετ，利用链式法则将对无量纲时间τ的一阶导数和二阶导数改写为

$\frac{d}{\mathrm{d\&tau;}}=\frac{d{T}_0}{\mathrm{d\&tau;}}\&CenterDot;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;T_0}+\frac{d{T}_1}{\mathrm{d\&tau;}}\&CenterDot;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;T_1}+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)=D_0+\mathrm{\&epsiv;}{D}_1+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)---\left(6a\right)$

$\frac{d^2}{d{\mathrm{\&tau;}}^2}=\frac{{\&PartialD;}^2}{{{\&PartialD;T}_0}^2}+2\mathrm{\&epsiv;}\frac{{\&PartialD;}^2}{{\&PartialD;T}_0{\&PartialD;T}_1}+O\left({\mathrm{\&epsiv;}}^2\right)---\left(6b\right)$

设方程的一次近似解为

q(τ，ε)=u₀(T₀,T₁)+εu₁(T₀,T₁)+O(ε²)          （7a）

β(τ,ε)=β₀(T₀,T₁)+εβ₁(T₀,T₁)+O(ε²)        （7b）

其中，T₀表示的是快变时间，T₁表示的是慢变时间；

将（6a）（6b）（7a）（7b）代入（5a）（5b），并令ε⁰和ε¹的系数为零得到：

ε⁰阶的方程：

$D_0^2{u}_0+u_0=-(N_3+N_4)D_0^2\mathrm{\&theta;}---\left(8a\right)$

$D_0^2{\mathrm{\&beta;}}_0+{\mathrm{\&omega;}}_s^2{\mathrm{\&beta;}}_0=0---\left(8b\right)$

ε¹阶的方程：

$D_0^2{u}_1+u_1=-2D_0{D}_1{u}_0-2{\mathrm{\&zeta;}}_1{D}_0{u}_0+N_2{u}_0{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+$

$\left(9a\right)$

$N_5{\mathrm{\&beta;}}_0{D_0}^2{\mathrm{\&beta;}}_0+N_5{\left(D_0{\mathrm{\&beta;}}_0\right)}^2+N_5\left(D_0{\mathrm{\&beta;}}_0\right)\left(D_0\mathrm{\&theta;}\right)$

$D_0^2{\mathrm{\&beta;}}_1+{\mathrm{\&omega;}}_s^2{\mathrm{\&beta;}}_1=-2D_0{D}_1{\mathrm{\&beta;}}_0-2{\mathrm{\&zeta;}}_2{\mathrm{\&omega;}}_s{D}_0{\mathrm{\&beta;}}_0-P_1{u}_0{D}_0^2\mathrm{\&theta;}-$

$\left(9b\right)$

$2P_1\left(D_0\mathrm{\&beta;}\right)\left(D_0{u}_0\right)+P_1{\mathrm{\&beta;}}_0{D}_0^2{u}_0-P_2{\left(D_0\mathrm{\&beta;}\right)}^2+P_2{\mathrm{\&beta;}}_0\left(D_0^2\mathrm{\&theta;}\right)$

步骤六：求解方程组（9a）、（9b），得到u₀、β₀的解

$u_0=A_1{e}^{i{T}_0}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_1{e}^{-i{T}_0}-(N_3+N_4)D_0^2\mathrm{\&theta;}---\left(10a\right)$

${\mathrm{\&beta;}}_0=A_2{e}^{i{\mathrm{\&omega;}}_s{T}_0}+{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_2{e}^{-i{\mathrm{\&omega;}}_s{T}_0}---\left(10b\right)$

其中，A₁、A₂是未知的关于慢变时间T₁的复函数；

为了分析内共振，引进如下的解谐参数σ

ω_s=0.5+εσ                        （11）

令

a₁，θ₁，a₂，θ₂均为慢变时间T₁的函数，将A₁、A₂以及（10a）（10b）代入方程组（9a）、（9b）中，并根据实部和虚部为零得，

$a_1^{\&prime;}=-{\mathrm{\&zeta;}}_1{a}_1-\frac{5}{4}{N}_5{\mathrm{\&omega;}}_s^2{a}_2^2\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(12a\right)$

$a_2^{\&prime;}=-{\mathrm{\&zeta;}}_2{a}_2{\mathrm{\&omega;}}_s-\frac{1}{4}{P}_1\frac{a_1{a}_2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(12b\right)$

$a_1{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;}=2\mathrm{\&sigma;}{a}_1+P_1(N_3+N_4)\frac{a_1}{{\mathrm{\&omega;}}_s}{D}_0^4\mathrm{\&theta;}-P_2\frac{a_1}{{\mathrm{\&omega;}}_s}{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+\frac{1}{2}{N}_1{a}_1{D}_0^2\mathrm{\&theta;}+(\frac{1}{2}{P}_1\frac{a_1^2}{{\mathrm{\&omega;}}_s}-\frac{5}{4}{N}_5{\mathrm{\&omega;}}_s^2{a}_2^2)\cos \mathrm{\&gamma;}---\left(12c\right)$

其中

γ=2σT₁+2θ₂-θ₁                    （12d）

步骤七：在无阻尼即(ζ₁＝ζ₂＝0)的情况下，用式（12a）除以式（12b），约去sinγ得到

$\frac{a_1^{\&prime;}}{a_2^{\&prime;}}=-\frac{5N_5{\mathrm{\&omega;}}_s^3}{P_1}\&CenterDot;\frac{a_2}{a_1}---\left(13\right)$

取 $v=\frac{5N_5{\mathrm{\&omega;}}_s^3}{P_1},$ 则

$a_1^2+v{a}_2^2=E---\left(14\right)$

其中，E是积分常数，表示柔性机器人的初始能量；

将方程（5a）、（5b）中的系数N₅、P₁代入到v中得

从式（15）看到v>0，将其代入式（14）知a₁和a₂总是有界的，且呈现着此消彼长的关系；这证明了利用此方法能够在柔性机械臂的振动模态与减振装置运动模态之间形成内共振，能量能够在两个模态间传递；

从式（14）看出，v表征柔性机械臂与减振装置之间能量交换的程度，v>0表示二者有能量交换，当v越大的时候，a₁衰减的幅度越大，说明此时能量交换越充分；而从式（15）知v的大小与可变质量m₂相关，m₂越大，v越大，但是却增加了减振装置的重量，因此适当改变m₂能增强减振的效果；

步骤八：从步骤七中知，柔性机器人在无阻尼条件下，能量可以在两个模态之间进行传递；当引入阻尼到减振装置模态中，即ζ₂≠0，此时减振装置的阻尼耗散来自柔性机械臂的振动能量，调节减振装置的阻尼到合适的值，使得减振装置能够最大程度地减小柔性机械臂的振动。

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