CN103678897B - 一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，该发明运用凯恩方程建立飞轮隔振平台动力学模型，以飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，推导各个致动器和隔振平台偏速度和偏角速度，建立各个致动器的凯恩方程，并加以综合，得出系统的动力学模型。所建立的模型表达简洁，变量和方程的数目少，适用范围广，计算效率高，适于并行计算。

Description

一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法

技术领域

本发明涉及航天器系统与平台技术，具体解决航天器典型执行机构高频微振动抑制与隔离技术，更具体地说，是一种用于飞轮隔振平台的动力学建模方法。

背景技术

随着空间开发及探测活动技术的发展，使航天器及其所携带的精密设备要求轨道支撑平台具有超静意义上的力学环境，为保证仪器精度，隔振技术已不再是锦上添花的“装饰”，而是保证有效载荷正常工作的必要手段。因此必须对航天器工作过程中产生的高频微振动加以隔离，由于卫星上飞轮、陀螺等转动部件高速转动，太阳能电池板的运动以及卫星姿态变化对敏感载荷产生影响，现有技术尚不能够保证卫星上一些高精度、高稳定度的装置维持正常工作，为此需要开展航天器高频微振动多自由度隔振平台研究工作。

用不同方法列写刚体的运动微分方程式时所花的劳动与所得结果的简洁程度是不相同的。在处理单个刚体的定点运动时，若采用牛顿-欧拉力学中的动量矩方法，其推导省力且所得的结果是六个一阶微分方程，形式简洁。特别是欧拉动力学方程具有严格的对称形式，易于求解。但实际问题往往更为复杂，当系统包含一个以上的刚体和质点时，动量矩方法给出的方程式数目往往不够，这时需要对系统中的每个刚体及质点列些运动微分方程，因而出现了许多约束反力，使未知数增多，方程更加复杂。分析力学中的拉个朗日方法则是一个一般的方法，它将系统作为一个整体研究，在理想约束的情况下可以自动消除约束反力而给出与系统自由度数目相同的运动微分方程式，直接由主动力求出运动。但由于引入动能函数，需求两次导数，所以推导过程比较费力，给出的若干二阶微分方程式也相当冗长。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种用于飞轮隔振平台的动力学建模方法，能够满足隔振平台实时性和精确度要求较高的情况。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是提供一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，所述飞轮隔振平台包含上平台，下平台，分别连接了各自对应的上平台顶点与下平台顶点的六根致动器分支；每根致动器分支中包含上致动器、下致动器及连接两者的弹簧和阻尼器，其特征在于：

所述飞轮隔振平台专用动力学建模方法中，计算飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，包含：上、下平台各自的原点位置矢量对时间的导数，即上、下平台各自的原点在参考坐标系中的速度矢量；上、下平台各自的角速度矢量；

以伪速度推导各个致动器分支和隔振平台的偏速度和偏角速度，包含：上、下致动器各自的质心偏速度；致动器分支的偏角速度；上下致动器相对运动的偏速度；上平台质心运动的偏速度；上平台顶点A_i运动的偏速度；上、下平台各自的偏角速度；下平台的质心偏速度；

建立各个致动器分支的凯恩方程，即根据上、下平台及致动器分支各自的广义主动力和广义惯性力，求取整个隔振平台系统的广义主动力K和广义惯性力K^*，进而得出飞轮隔振平台的动力学模型方程：K+K^*＝0。

本发明采用的方法与现有技术相比，其优点和有益效果是：提出了一种运用Kane方程建立飞轮隔振平台动力学模型的建模方法，所建立的模型表达简洁，变量和方程的数目少，适用范围广，计算效率高，适用于并行计算。

附图说明

图1是飞轮隔振平台的坐标系示意图；

图2是飞轮隔振平台中致动器分支的示意图。

具体实施方式

下面结合附图说明本发明的优选实施方式。

本发明运用Kane(凯恩)方程建立飞轮隔振平台动力学模型，以并飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，推导各个致动器和隔振平台偏速度和偏角速度，建立各个致动器的凯恩方程，并加以综合，得出系统的动力学模型。

所述的Kane方程可以写为如下形式：

$K_{\mathrm{\γ}}+K_{\mathrm{\γ}}^{*}=0,(\mathrm{\γ}=1,2,\mathrm{...},f)$

式中，K_γ和分别称为系统对应于第γ个独立速度的广义主动力和广义惯性力。

具体的，本发明通过航天器动力学建模方法基于Kane方程建立系统的动力学方程，包括如下步骤：

步骤1.坐标和位置姿态确定；

如图1、图2所示，飞轮隔振平台包含上平台，下平台，分别连接了各自对应的上平台顶点A_i与下平台顶点B_i的六根致动器分支；每根致动器分支中包含上致动器、下致动器及连接两者的弹簧和阻尼器。每个致动器分支的基本运动方程为：

l_ie_i＝P₁+a_i-b_i(i＝1,2...6)

其中a_i，b_i分别是两平台顶点到各自坐标系中原点的位置矢量。P₁，P₂表示上平台原点、下平台原点在参考坐标系中的位置矢量。l_i是致动器分支i的总长度，即上平台和基座对应顶点间的距离；e_i为致动器分支i从下平台顶点指向对应上平台顶点的单位矢量；假定各平台质心位于其坐标原点处。

步骤2.速度和角速度计算；

顶点A_i的速度可以看成连接A_i和B_i两个顶点的致动器分支i上一个端点的速度，也可以看作上平台上一个顶点的速度。设l_i为致动器分支i的输入运动，即该分支上下致动器的相对位移。用表示致动器分支i的输入运动l_i对时间的导数，表示致动器分支i长度的变化率，是一个标量。Ω_i表示致动器分支i的角速度，可以得到下式：

$\frac{d\left(l_i{e}_i\right)}{dt}={\stackrel{\·}{l}}_i{e}_i+l_i{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i=V_1+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i-{\mathrm{\ω}}_2\×b_i$

考虑到e_i·e_i＝1且e_i·(l_iΩ_i×e_i)＝0。

所以，上式两边同时点乘矢量e_i，可得：

${\stackrel{\·}{l}}_i=e_i\·(V_1+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i-{\mathrm{\ω}}_2\×b_i)$

其中：V₁是上平台原点位置矢量P₁对时间的导数，即上平台原点在参考坐标系中的速度矢量。ω₁是上平台的角速度矢量，ω₂是下平台的角速度矢量。

考虑在并联机构各个致动器分支均不能绕自身轴线转动的条件下，存在关系：

e_i·Ω_i＝0

将方程等号两边左叉乘e_i，得：

l_ie_i×e_i+l_iΩ_i(e_i·e_i)－e_i(l_iΩ_i·e_i)＝e_i×[V+(ω₁×a_i)+(ω₂×b_i)]

根据矢量的运算规则，可以得出并联机构典型分支的角速度

Ω_i＝e_i×[V₁+(ω₁×a_i)+(ω₂×b_i)]/l_i

因此，各典型分支的上、下致动器的质心速度V_Ci1和V_Ci2分别为：

$V_{Ci1}=d(P_2+b_i+P_{i1}{e}_i)/dt=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+{\stackrel{\·}{P}}_{i1}{e}_i+P_{i1}{\stackrel{\·}{e}}_i=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+l_i{e}_i+P_{i1}({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)$

$V_{Ci2}=d(P_2+b_i+P_{i2}{e}_i)/dt=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+P_{i1}{\stackrel{\·}{e}}_i=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+P_{i2}({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)$

其中：V₂是下平台原点位置矢量P₂对时间的导数，P_i1和P_i2是e_i方向到上、下致动器质心点的长度(参见图2)。

上平台上质心速度V_CM：

$V_{CM}={\stackrel{\·}{r}}_{CM}=\frac{d(P_1+P_2)}{dt}=V_1+V_2$

上平台顶点A_i的速度V_Ai为：

$V_{Ai}={\stackrel{\·}{r}}_{Ai}=\frac{d(P_1+P_2+a_i)}{dt}=V_1+V_2+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i$

下平台顶点B_i的速度V_Bi为：

$V_{Bi}={\stackrel{\·}{r}}_{Bi}=\frac{d(P_2+b_i)}{dt}=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i$

步骤3.加速度和角加速度计算；

1)致动器分支的加速度和角加速度：

对式进行求导，得到：

$\frac{d^2\left(l_i{e}_i\right)}{{\mathrm{dt}}^2}=\frac{d({\stackrel{\·}{l}}_i{e}_i+l_i{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)}{dt}={\stackrel{\·\·}{l}}_i{e}_i+l_i{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i\×e_i+l_i{\mathrm{\Ω}}_i\×\[{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i\]+2{\stackrel{\·}{l}}_i{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i$

为致动器分支相对于e_i的相对加速度，为e_i旋转引起的切向牵连加速度，l_iΩ_i×[Ω_i×e_i]为e_i旋转引起的向心牵连加速度，为致动器的科氏加速度。下面分别求解和

每个分支的上、下致动器的相对加速度可通过相应速度对时间求导获得。由于机械结构的特点，可以将它们表示为张量叉积运算的形式。用和表示V₁和V₂对时间的导数，和表示上、下平台角速度ω₁和ω₂对时间的导数。

令式对时间求导：

${\stackrel{\·\·}{l}}_i=({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)\·(V+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i-{\mathrm{\ω}}_2\×b_i)+e_i\·\[\stackrel{\·}{V}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1\×a_i+{\mathrm{\ω}}_1\×({\mathrm{\ω}}_1\×a_i)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i-{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)\]$

上式可化简为：

${\stackrel{\·\·}{l}}_i=\[e_i\×(V_{Ai}-V_{Bi})\]\·{\mathrm{\Ω}}_i+e_i\·({\stackrel{\·}{V}}_{Ai}-{\stackrel{\·}{V}}_{Bi})=l_i{{\mathrm{\Ω}}_i}^2+e_i\·({\stackrel{\·}{V}}_{Ai}-{\stackrel{\·}{V}}_{Bi})$

其中，l_iΩ_i ²为致动器分支转动引起的加速度，为上、下平台顶点A_i和B_i的加速度在e_i上的投影。

类似地，可得到致动器分支的角加速度

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i=d\left(\frac{e_i\×(V_{Ai}-V_{Bi})}{l_i}\right)/dt=\frac{\[({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)\×(V_{Ai}-V_{Bi})+e_i\×({\stackrel{\·}{V}}_{Ai}-{\stackrel{\·}{V}}_{Bi})\]l_i-(e_i\×(V_{Ai}-V_{Bi}\left)\right){\stackrel{\·}{l}}_i}{l_i^2}\\ =\frac{e_i\×({\stackrel{\·}{V}}_{Ai}-{\stackrel{\·}{V}}_{Bi})}{l_i}+\frac{\[(V_{Ai}-V_{Bi})\·{\mathrm{\Ω}}_i\]e_i-\[(V_{Ai}-V_{Bi})\·e_i\]{\mathrm{\Ω}}_i}{l_i}-\frac{l_i{\mathrm{\Ω}}_i{\stackrel{\·}{l}}_i}{l_i^2}\\ =\frac{e_i\×({\stackrel{\·}{V}}_{Ai}-{\stackrel{\·}{V}}_{Bi})}{l_i}-\frac{2{\mathrm{\Ω}}_i{\stackrel{\·}{l}}_i}{l_i}\\ =\frac{e_i\×\[{\stackrel{\·}{V}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1\×a_i+{\mathrm{\ω}}_1\×({\mathrm{\ω}}_1\×a_i)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i-{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)\]}{l_i}-\frac{2{\mathrm{\Ω}}_i{\stackrel{\·}{l}}_i}{l_i}\end{array}$

上致动器的质心加速度和下致动器的质心加速度为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_{Ci1}=d\[V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+{\stackrel{\·}{l}}_i{e}_i+P_{i1}({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)\]/dt\\ ={\stackrel{\·}{V}}_2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i+{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)+{\stackrel{\·\·}{l}}_i{e}_i+P_{i1}{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i\×e_i+P_{i1}{\mathrm{\Ω}}_i\×\[{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i\]+2{\stackrel{\·}{l}}_i{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i\end{array}$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_{Ci2}=d\[V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+P_{i2}({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)\]/dt\\ ={\stackrel{\·}{V}}_2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i+{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)+P_{i2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i\×e_i+P_{i2}{\mathrm{\Ω}}_i\×\[{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i\]\end{array}$

2)上平台的加速度和角加速度：

上平台质心加速度为：

${\stackrel{\·}{V}}_{CM}=d(V_1+V_2)/dt={\stackrel{\·}{V}}_1+{\stackrel{\·}{V}}_2$

上平台顶点A_i的加速度为：

${\stackrel{\·}{V}}_{Ai}=d(V_2+V_1+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i)/dt={\stackrel{\·}{V}}_2+{\stackrel{\·}{V}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1\×a_i+{\mathrm{\ω}}_1\×({\mathrm{\ω}}_1\×a_i)$

下平台顶点B_i的加速度为：

${\stackrel{\·}{V}}_{Bi}=d(V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i)/dt={\stackrel{\·}{V}}_2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i+{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)$

步骤4.偏速度与偏角速度计算；

选择V₁、ω₁、V₂、ω₂作为系统的伪速度。

1)上致动器的质心偏速度，可以根据式和

$V_{Ci1}=d(P_2+b_i+P_{i1}{e}_i)/dt=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+{\stackrel{\·}{P}}_{i1}{e}_i+P_{i1}{\stackrel{\·}{e}}_i=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+l_i{e}_i+P_{i1}({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)$ 获得。在这里容易将原始定义的偏导数运算化为张量的乘法运算，因为该速度已经表示为对系统伪速度的线性表示，因此得出对应的线性系数，该线性系数组成对应的偏速度张量。

$\begin{array}{c}{V}_{Ci1}=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+l_i{e}_i+P_{i1}({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+\[e_i\·(V_1+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i-{\mathrm{\ω}}_2\×b_i)\]e_i\\ +P_{i1}\{e_i\×(V_1+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i-{\mathrm{\ω}}_2\×b_i)/l_i\}\×e_i\\ =(e_i\·V_1)e_i+(P_{i1}/l_i)\[(e_i\×V_1)\×e_i\]+\[e_i\·({\mathrm{\ω}}_1\×a_i)\]e_i+(P_{i1}/l_i)\[e_i\×({\mathrm{\ω}}_1\×a_i)\]\×e_i\\ +V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i-\[e_i\·({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)\]e_i-(P_{i1}/l_i)\[e_i\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)\]\×e_i\\ =\left(e_i{e}_i\right)\·V_1+(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·V_1-\left(e_i{e}_i\right)\·(a_i\×E)\·{\mathrm{\ω}}_1-(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(a_i\×E)\·{\mathrm{\ω}}_1\\ +E\·V_2-(b_i\×E)\·{\mathrm{\ω}}_2+\left(e_i{e}_i\right)\·(b_i\×E)\·{\mathrm{\ω}}_2+(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(b_i\×E)\·{\mathrm{\ω}}_2\\ ={\left(\begin{array}{c}{e}_i{e}_i+(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\\ -\left(e_i{e}_i\right)(a_i\×E)-(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)(a_i\×E)\\ E\\ -(b_i\×E)+\left(e_i{e}_i\right)\·(b_i\×E)+(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(a_i\×E)\end{array}\right)}^T\·\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ {\mathrm{\ω}}_1\\ V_2\\ {\mathrm{\ω}}_2\end{array}\right)\end{array}$

因此上致动器质心偏速度为：

$u_{V_{Ci1}}^{\′}={\left(\begin{array}{c}{e}_i{e}_i(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\\ \left(e_i{e}_i\right)(a_i\×E)-(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(a_i\×E)\\ E\\ -(b_i\×E)+\left(e_i{e}_i\right)\·(b_i\×E)+(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(b_i\×E)\end{array}\right)}^T$

式中E为单位张量，e_ie_i+(P_i1/l_i)(E-e_ie_i)为V₁的偏速度，-(e_ie_i)(a_i×E)-(P_i1/l_i)(E-e_ie_i)(a_i×E)为ω₁的偏速度，E为V₂的偏速度，-(b_i×E)+(e_ie_i)·(b_i×E)+(P_i1/l_i)(E-e_ie_i)·(b_i×E)为ω₂的偏速度。

2)下致动器的质心偏速度计算；

由

得下致动器的质心偏速度为：

$u_{V_{Ci2}}^{\′}={\left(\begin{array}{c}(P_{i2}/l_i)(E-e_i{e}_i)\\ -(P_{i2}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(a_i\×E)\\ E\\ -(b_i\×E)+(P_{i2}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(b_i\×E)\end{array}\right)}^T$

3)致动器分支的偏角速度计算：

由

得到致动器分支的偏角速度为：

${\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_i}^{\′}={\left(\begin{array}{c}(e_i\×E)/l_i\\ \[(a_i\·e_i)E-a_i{e}_i\]/l_i\\ 0\\ \[(b_i\·e_i)E-b_i{e}_i\]/l_i\end{array}\right)}^T$

4)上下致动器相对运动的偏速度：

$u_{l_i}^{\′}={\left(\begin{array}{c}{e}_i\\ a_i\×e_i\\ 0\\ -b_i\×e_i\end{array}\right)}^T$

5)上平台质心运动的偏速度：

$u_{V_{CM}}^{\′}={\left(\begin{array}{c}E\\ 0\\ E\\ 0\end{array}\right)}^T$

6)上平台顶点A_i运动的偏速度：

$u_{A_i}^{\′}={\left(\begin{array}{c}E\\ -a_i\×E\\ E\\ 0\end{array}\right)}^T$

7)上平台的偏角速度为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\ω}1}^{\′}={\left(\begin{array}{c}0\\ E\\ 0\\ 0\end{array}\right)}^T$

8)下平台的质心偏速度为：

$u_{V_{CN}}^{\′}={\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ E\\ 0\end{array}\right)}^T$

9)下平台的偏角速度为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\ω}2}^{\′}={\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ E\end{array}\right)}^T$

步骤5.主动力和广义主动力计算：

作用在飞轮隔振平台上的主动力包括驱动力、重力、外部载荷力、弹簧力、阻尼力等。将飞轮隔振机构下平台受到的干扰力向质心简化，记为(F_M T_M)^T，F_M为干扰力，T_M为干扰力矩。上平台重力记为G_M，下平台重力记为G_N；上下致动器的重力分别记为G_i1和G_i2，它们作用在各自的质心处。设弹簧刚度为k，阻尼系数为c，则弹簧力F_k＝-k(l_i-l₀)e_i，阻尼力为l₀是弹簧的原始长度。第i条致动器分支的上下致动器之间的驱动力为(τ_i1 τ_i2τ_i3 τ_i4 τ_i5 τ_i6)^T。其中τ_i1为第i条致动器分支x方向力分量，τ_i2为第i条致动器分支y方向力分量,τ_i3为第i条致动器分支z方向力分量,τ_i4为第i条致动器分支x方向力矩分量,τ_i5为第i条致动器分支y方向力矩分量,τ_i6为第i条致动器分支z方向力矩分量。由于飞轮隔振平台的驱动关节是直线移动关节，因此，驱动力的方向为驱动关节的轴线方向。飞轮隔振平台的广义驱动力可以表示为(τ₁ τ₂ τ₃ τ₄ τ₅ τ₆)^T。

系统的六维广义主动力如下：

1)上平台的广义主动力：

$\begin{array}{c}{K}_1=G_M\·u_{V_{CM}}^{\′}\\ =G_M\·\left(\begin{array}{cccc}E& 0& E& 0\end{array}\right)\end{array}$

2)下平台广义主动力：

$\begin{array}{c}{K}_2=F_M\·u_{V_{CN}}^{\′}+T_M\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\ω}2}^{\′}+G_N\·u_{V_{CN}}^{\′}\\ =F_M\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& E& 0\end{array}\right)+T_M\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& E\end{array}\right)+G_N\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& E& 0\end{array}\right)\\ =(F_M+G_N)\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& E& 0\end{array}\right)+T_M\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& E\end{array}\right)\end{array}$

3)致动器分支的广义主动力：

$\begin{array}{c}{K}_3=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left(\right({\mathrm{\τ}}_i+k\left(l_0-l_i\right)-c{\stackrel{\·}{l}}_i)e_i\·u_{V_{Ci1}}^{\′}+G_{i1}\·u_{V_{Ci1}}^{\′}+G_{i2}\·u_{V_{Ci2}}^{\′})\\ =\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left(\right({\mathrm{\τ}}_i+k\left(l_0-l_i\right)-c{\stackrel{\·}{l}}_i)\[\begin{array}{cccc}{e}_i& (a_i\×e_i)& e_i& 0\end{array}\]+G_{i1}\·u_{V_{Ci1}}^{\′}+G_{i2}\·u_{V_{Ci2}}^{\′})\end{array}$

整个隔振平台系统的广义主动力为：

K＝K₁+K₂+K₃

步骤6.惯性力与广义惯性力计算：

飞轮隔振平台的惯性力包括上平台和各个运动构件上的惯性力。上、下平台的惯性力和上下致动器的惯性力分别向各自的质心处简化，上、下平台质量分别为m₁、m₂，相对质心的惯量张量为J_M、J_N，第i条致动器分支的上、下致动器质量为m_i1和m_i2，相对质心的惯量张量为J_i1和J_i2。

1)上平台广义惯性力

$K_1^{*}=-m_1{\stackrel{\·}{V}}_{CM}\·u_{V_{CM}}^{\′}+J_M\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1-{\mathrm{\ω}}_1\×J_M\·{\mathrm{\ω}}_1$

2)下平台广义惯性力

$K_2^{*}=-m_2{\stackrel{\·}{V}}_{CN}\·u_{V_{CN}}^{\′}+J_N\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2-{\mathrm{\ω}}_2\×J_N\·{\mathrm{\ω}}_2$

为下平台质心加速度；

3)致动器分支的广义惯性力

$\begin{array}{c}{K}_3^{*}=\underset{i=i}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\[-m_{i1}{\stackrel{\·}{V}}_{Ci1}\·u_{V_{Ci1}}^{\′}-(J_{i1}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i-{\mathrm{\Ω}}_i\×J_{i1}\·{\mathrm{\Ω}}_i)\·{\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_i}^{\′}\]\\ +\underset{i=i}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\[-m_{i2}{\stackrel{\·}{V}}_{Ci2}\·u_{V_{Ci2}}^{\′}-(J_{i2}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i-{\mathrm{\Ω}}_i\×J_{i2}\·{\mathrm{\Ω}}_i)\·{\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_i}^{\′}\]\end{array}$

隔振平台系统的广义惯性力为：

$K^{*}=K_1^{*}+K_2^{*}+K_3^{*}$

基于上述步骤5和步骤6的计算，本发明所述隔振平台的动力学方程为：

K+K^*＝0

综上所述，本发明公开了一种基于Kane方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，避免了约束反力的出现，采用伪速度描述系统的运动，引入惯性力和广义惯性力，具有更大的自由度选取独立变量，使得方程简单。本发明克服了现有技术中的不足，提供了一种模型表达简洁，变量和方程数目少，适用范围广，计算效率高，适用于并行计算的飞轮隔振平台专用动力学建模方法。

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。

Claims (5)

1.一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，所述飞轮隔振平台包含上平台，下平台，分别连接了各自对应的上平台顶点与下平台顶点的六根致动器分支；每根致动器分支中包含上致动器、下致动器及连接两者的弹簧和阻尼器，其特征在于：

所述飞轮隔振平台专用动力学建模方法中，计算飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，包含：上、下平台各自的原点位置矢量对时间的导数，即上、下平台各自的原点在参考坐标系中的速度矢量；上、下平台各自的角速度矢量；

以伪速度推导各个致动器分支和隔振平台的偏速度和偏角速度，包含：上、下致动器各自的质心偏速度；致动器分支的偏角速度；上下致动器相对运动的偏速度；上平台质心运动的偏速度；上平台顶点A_i运动的偏速度；上、下平台各自的偏角速度；下平台的质心偏速度；

建立各个致动器分支的凯恩方程，即根据上、下平台及致动器分支各自的广义主动力和广义惯性力，求取整个飞轮隔振平台的广义主动力K和广义惯性力K^*，进而得出飞轮隔振平台的动力学模型方程：K+K^*＝0；

进一步包含计算飞轮隔振平台主动力和广义主动力的以下过程：

飞轮隔振平台上的主动力包括：驱动力、重力、外部载荷力、弹簧力、阻尼力；其中，将飞轮隔振机构下平台受到的干扰力向质心简化，记为(F_M T_M)^T，F_M为干扰力，T_M为干扰力矩；上平台重力记为G_M，下平台重力记为G_N；上、下致动器的重力分别记为G_i1和G_i2，它们作用在各自的质心处；设弹簧刚度为k，阻尼系数为c，则弹簧力F_k＝-k(l_i-l₀)e_i，阻尼力为第i条致动器分支的上下致动器之间的驱动力为(τ_i1 τ_i2 τ_i3 τ_i4 τ_i5 τ_i6)^T，得到飞轮隔振平台的广义驱动力为(τ₁ τ₂ τ₃ τ₄ τ₅ τ₆)^T，其中τ_i1、τ_i2、τ_i3分别为第i条致动器分支x、y、z方向力分量，τ_i4、τ_i5、τ_i6分别为第i条致动器分支x、y、z方向力矩分量；

上、下平台质心运动的偏速度分别记为和下平台的偏角速度记为ω′_ω2；上、下致动器质心偏速度分别记为和E为单位张量；l₀是弹簧的原始长度，l_i是致动器分支i的总长度，表示l_i对时间的导数；e_i为致动器分支i从下平台顶点指向对应上平台顶点的单位矢量；

上平台的广义主动力：

$\begin{array}{c}{K}_1=G_M\·u_{V_{CM}}^{\′}\\ =G_M\·\left(\begin{array}{cccc}E& 0& E& 0\end{array}\right)\end{array}$

下平台的广义主动力：

$\begin{array}{c}{K}_2=F_M\·u_{V_{CN}}^{\′}+T_M\·{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\ω}2}^{\′}+G_N\·u_{V_{CN}}^{\′}\\ =F_M\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& E& 0\end{array}\right)+T_M\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& E\end{array}\right)+G_N\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& E& 0\end{array}\right)\\ =(F_M+G_N)\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& E& 0\end{array}\right)+T_M\·\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& E\end{array}\right)\end{array}$

致动器分支的广义主动力：

$\begin{array}{c}{K}_3=\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}\left(\right({\mathrm{\τ}}_i+k\left(l_0-l_i\right)-c{\stackrel{\·}{l}}_i)e_i\·u_{V_{Ci1}}^{\′}+G_{i1}\·u_{V_{Ci1}}^{\′}+G_{i2}\·u_{V_{Ci2}}^{\′})\\ =\underset{i=1}{\overset{6}{\Σ}}\left(\right({\mathrm{\τ}}_i+k\left(l_0-l_i\right)-c{\stackrel{\·}{l}}_i)\[\begin{array}{cccc}{e}_i& (a_i\×e_i)& e_i& 0\end{array}\]+G_{i1}\·u_{V_{Ci1}}^{\′}+G_{i2}\·u_{V_{Ci2}}^{\′})\end{array}$

a_i是上平台的顶点到上平台坐标系中原点的位置矢量；

整个隔振平台系统的广义主动力为：

K＝K₁+K₂+K₃；

进一步包含计算飞轮隔振平台的惯性力和广义惯性力的以下过程：

上、下平台的惯性力和上、下致动器的惯性力分别向各自的质心处简化，上、下平台质量分别为m₁、m₂，相对质心的惯量张量为J_M、J_N；致动器分支i的上、下致动器质量分别为m_i1和m_i2，相对质心的惯量张量为J_i1和J_i2；上平台质心加速度为下平台质心加速度为上、下平台的角速度矢量分别记为ω₁和ω₂，和表示ω₁和ω₂对时间的导数；致动器分支的偏角速度记为致动器分支的角速度和角加速度分别记为Ω_i和

上平台广义惯性力：

$K_1^{*}=-m_1{\stackrel{\·}{V}}_{CM}\·u_{V_{CM}}^{\′}+J_M\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1-{\mathrm{\ω}}_1\×J_M\·{\mathrm{\ω}}_1$

下平台广义惯性力：

$K_2^{*}=-m_2{\stackrel{\·}{V}}_{CN}\·u_{V_{CN}}^{\′}+J_N\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2-{\mathrm{\ω}}_2\×J_N\·{\mathrm{\ω}}_2$

致动器分支广义惯性力：

$\begin{array}{c}{K}_3^{*}=\underset{i=i}{\overset{6}{\Σ}}\[-m_{i1}{\stackrel{\·}{V}}_{Ci1}\·u_{V_{Ci1}}^{\′}-(J_{i1}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i-{\mathrm{\Ω}}_i\×J_{i1}\·{\mathrm{\Ω}}_i)\·{\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_i}^{\′}\]\\ +\underset{i=i}{\overset{6}{\Σ}}\[-m_{i2}{\stackrel{\·}{V}}_{Ci2}\·u_{V_{Ci2}}^{\′}-(J_{i2}\·{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i-{\mathrm{\Ω}}_i\×J_{i2}\·{\mathrm{\Ω}}_i)\·{\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_i}^{\′}\]\end{array}$

为上致动器的质心加速度，为下致动器的质心加速度；

隔振平台系统的广义惯性力为：

$K^{*}=K_1^{*}+K_2^{*}+K_3^{*}.$

2.如权利要求1的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，

进一步包含确定坐标和位置姿态的以下过程：

每根致动器分支的基本运动方程为：

l_ie_i＝P₁+a_i-b_i，i＝1,2...6

其中，b_i是下平台的顶点到下平台坐标系中原点的位置矢量；P₁是上平台原点在参考坐标系中的位置矢量；以致动器分支i的总长度l_i来表示上平台和下平台对应顶点A_i与B_i间的距离；假定各平台质心位于其坐标原点处。

3.如权利要求2的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，

进一步包含计算飞轮隔振平台速度和角速度的以下过程：

上平台质心速度V_CM：

$V_{CM}={\stackrel{\·}{r}}_{CM}=\frac{d(P_1+P_2)}{dt}=V_1+V_2$

上平台顶点A_i的速度V_Ai为：

$V_{Ai}={\stackrel{\·}{r}}_{Ai}=\frac{d(P_1+P_2+a_i)}{dt}=V_1+V_2+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i$

下平台顶点B_i的速度V_Bi为：

$V_{Bi}={\stackrel{\·}{r}}_{Bi}=\frac{d(P_2+b_i)}{dt}=V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i$

其中，上平台原点位置矢量P₁对时间的导数，即上平台原点在参考坐标系中的速度矢量V₁；下平台原点位置矢量P₂对时间的导数，即下平台原点在参考坐标系中的速度矢量V₂。

4.如权利要求3的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，

进一步包含计算飞轮隔振平台加速度和角加速度的以下过程：

致动器分支的加速度和角加速度

${\stackrel{\·\·}{l}}_i=\[e_i\×(V_{Ai}-V_{Bi})\]\·{\mathrm{\Ω}}_i+e_i\·({\stackrel{\·}{V}}_{Ai}-{\stackrel{\·}{V}}_{Bi})=l_i{Q_i}^2+e_i\·({\stackrel{\·}{V}}_{Ai}-{\stackrel{\·}{V}}_{Bi})$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i=\frac{e_i\×\[{\stackrel{\·}{V}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1\×a_i+{\mathrm{\ω}}_1\×({\mathrm{\ω}}_1\×a_i)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i-{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)\]}{l_i}-\frac{2{\mathrm{\Ω}}_i{\stackrel{\·}{l}}_i}{l_i}$

其中，致动器分支的角速度：Ω_i＝e_i×[V₁+(ω₁×a_i)+(ω₂×b_i)]/l_i；

上致动器的质心加速度和下致动器的质心加速度为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_{Ci1}=d\[V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+{\stackrel{\·}{l}}_i{e}_i+P_{i1}({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)\]/dt\\ ={\stackrel{\·}{V}}_2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i+{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)+{\stackrel{\·\·}{l}}_i{e}_i+P_{i1}{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i\×e_i+P_{i1}{\mathrm{\Ω}}_i\×\[{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i\]+2{\stackrel{\·}{l}}_i{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i\end{array}$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_{Ci2}=d\[V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i+P_{i2}({\mathrm{\Ω}}_i\×e_i)\]/dt\\ ={\stackrel{\·}{V}}_2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i+{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i)+P_{i2}{\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_i\×e_i+P_{i2}{\mathrm{\Ω}}_i\×\[{\mathrm{\Ω}}_i\×e_i\]\end{array}$

其中，P_i1和P_i2是e_i方向分别到上、下致动器质心点的长度；

上平台质心加速度为：

${\stackrel{\·}{V}}_{CM}=d(V_1+V_2)/dt={\stackrel{\·}{V}}_1+{\stackrel{\·}{V}}_2$

和表示V₁和V₂对时间的导数；

上平台顶点A_i的加速度为：

${\stackrel{\·}{V}}_{Ai}=d(V_2+V_1+{\mathrm{\ω}}_1\×a_i)/dt={\stackrel{\·}{V}}_2+{\stackrel{\·}{V}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1\×a_i+{\mathrm{\ω}}_1\×({\mathrm{\ω}}_1\×a_i)$

下平台顶点B_i的加速度为：

${\stackrel{\·}{V}}_{Bi}=d(V_2+{\mathrm{\ω}}_2\×b_i)/dt={\stackrel{\·}{V}}_2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_2\×b_i+{\mathrm{\ω}}_2\×({\mathrm{\ω}}_2\×b_i).$

5.如权利要求4的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，

进一步包含计算隔振平台的偏速度和偏角速度的以下过程：

1)上致动器质心偏速度为：

$u_{V_{Ci1}}^{\′}={\left(\begin{array}{c}{e}_i{e}_i+(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\\ -\left(e_i{e}_i\right)(a_i\×E)-(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)(a_i\×E)\\ E\\ -(b_i\×E)+\left(e_i{e}_i\right)\·(b_i\×E)+(P_{i1}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(b_i\×E)\end{array}\right)}^T$

式中，e_ie_i+(P_i1/l_i)(E-e_ie_i)为V₁的偏速度，-(e_ie_i)(a_i×E)-(P_i1/l_i)(E-e_ie_i)(a_i×E)为ω₁的偏速度，以单位张量E表示V₂的偏速度，-(b_i×E)+(e_ie_i)·(b_i×E)+(P_i1/l_i)(E-e_ie_i)·(b_i×E)为ω₂的偏速度；

2)下致动器的质心偏速度为：

$u_{V_{Ci2}}^{\′}={\left(\begin{array}{c}(P_{i2}/l_i)(E-e_i{e}_i)\\ -(P_{i2}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(a_i\×E)\\ E\\ -(b_i\×E)+(P_{i2}/l_i)(E-e_i{e}_i)\·(b_i\×E)\end{array}\right)}^T$

3)致动器分支的偏角速度为：

${\mathrm{\ω}}_{{\mathrm{\Ω}}_i}^{\′}={\left(\begin{array}{c}(e_i\×E)/l_i\\ \[(a_i\·e_i\]E-a_i{e}_i\]/l_i\\ 0\\ \[(b_i\·e_i)E-b_i{e}_i\]/l_i\end{array}\right)}^T$

4)上下致动器相对运动的偏速度：

$u_{l_i}^{\′}={\left(\begin{array}{c}{e}_i\\ a_i\×e_i\\ 0\\ -b_i\×e_i\end{array}\right)}^T$

5)上平台顶点A_i运动的偏速度：

$u_{A_i}^{\′}={\left(\begin{array}{c}E\\ -a_i\×E\\ E\\ 0\end{array}\right)}^T$

6)上平台的偏角速度为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\ω}1}^{\′}={\left(\begin{array}{c}0\\ E\\ 0\\ 0\end{array}\right)}^T.$