CN107506524A - 一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法 - Google Patents

一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法 Download PDF

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岳晓奎
兰宇馨
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Abstract

本发明公开了一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，包括：建立近地轨道卫星相对运动模型；通过时域配点法对非线性相对运动模型进行求解。本发明通过考虑J2摄动、重力势的非线性项以及偏心率影响，得到一种衍生的卫星相对运动的动力学模型，该模型中由于动力学方程中不存在任何近似，因此这是一种精确的带有J2项的非线性相对运动模型，从而以此为基础能够更加寻找近地卫星相对运动的周期性轨道；然后通过基于时域配点法求解卫星相对运动周期轨道，从而能够针对不同的轨道参数，来寻找相对运动模型中的周期性轨道，能够快速准确的得到近地卫星相对运动周期轨道。

Description

一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法
技术领域
本发明涉及航空航天领域，具体为一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法。
背景技术
近些年来，卫星在地球轨道的上的相对运动问题已经引起人们越来越多的关注。对于两个在轨卫星的相对运动问题，科学家已经建立了多种多样的模型，并将其应用于各种空间任务中。首先得到发展的和最为著名的相对运动数学模型便是Clohessy-Wiltshire(C-W)方程，在解决交会问题时有很高的实用价值。
在很多研究中，人们都致力于不断扩展C-W方程。但是，当考虑非线性微分重力、J2摄动以及大偏心率的影响时，这些研究所用到的初始条件就不能够使用了。并且，在C-W方程中使用了一些假设条件，进而引起模型存在误差，这些误差是不能被忽略的：C-W方程提供的初值条件，仅仅在圆形参考轨道、地球为球形、线性重力加速度同时满足的情况下才有效。其适用的范围小，如果要扩大范围又会造成计算的速度慢，时间长，无法满足对于相对运动的维持和航天器编队飞行十分重要的周期相对运动轨道的计算。
同时现有技术中，对于C-W方程中的方程组的数值积分问题，大部分都采用了四阶龙格库塔方法(RK4)，为了避免普通的数值积分固有的局限性，人们又发明了一些新的半解析方法来求解非线性方程组，比如谐波平衡法(Harmonic Balance Method)；但均无法满足精确和快速求解的要求。
发明内容
针对现有技术中存在的问题，本发明提供一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，能够适用于不同的轨道参数，确定相对运动模型中的周期性轨道，建立更为精确的近地轨道相对运动模型，计算精度高，速度快。
本发明是通过以下技术方案来实现：
一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，包括如下步骤，
步骤1，建立近地轨道卫星相对运动模型；
步骤1.1，在J2项影响的情况下，卫星Sj的相对运动在卫星轨道坐标系中表示为如下的状态向量系统方程；
其中，ωx,ωz分别是卫星在x,z方向上的角频率；αx,αz是卫星在x,z方向上的加速度；r是卫星到地心的距离；η是卫星的角速度；i是卫星的轨道倾角；θ是卫星的近地点角距；ωx,ωz,αx,αz,r,η,i和θ均随时间呈周期性变化；Fx,Fy,Fz是卫星Sj在卫星轨道坐标系中的控制力；ηr是随着相对位置xr,yr,zr变化的函数，且有
其中，
rrZ＝(r+xr)sisθ+yrsicθ+zrci
步骤1.2，将上述状态向量系统记为得到非线性相对运动模型；其中，X＝(xr yr zr vx vy vz)T，是相对运动的状态量；
步骤2，通过时域配点法对非线性相对运动模型进行求解；
步骤2.1，由于卫星轨道坐标系中的相对运动由三个方向的分量组成，且有着不同的频率，将周期解假设为如下的傅里叶级数展开；
步骤2.2，在上述状态向量系统中，分别计算一个周期内的K个点处的值，得到公式，
其中，为tk时刻的计算值，X(tk)为k点处的函数值，
简化后得到状态向量系统的时域配点法代数方程组，
其中，Q＝(Xr,Yr,Zr,Vx,Vy,Vz)T；
是向量(G(X(t1)),G(X(t2)),…,G(X(tk)))T；
步骤2.3，采用牛顿迭代法，对时域配点法代数方程组进行求解，得到迭代向量Q；
步骤2.4，根据得到的迭代向量Q，通过步骤2.1中预先假定为傅里叶级数展开的周期解，得到非线性相对运动模型的周期解X(t)，从而得到近地卫星相对运动周期轨道。
优选的，步骤1.1中，在J2项影响的情况下，卫星Sj的相对运动在卫星轨道坐标系中表示为，
其中，ωx,ωz,αx,αz,r,η,i和θ是主星轨道的参数，随时间呈周期性变化；令则通过增加方程个数，得到无二阶导数项的状态向量系统方程组。
优选的，步骤2.1中，通过如下函数形式近似状态向量系统方程组的周期解，该函数形式由含有部分展开项的傅里叶级数所构成；
其中，N表示近似所用到的谐波数量，ωf为周期运动假定的频率，fi(i＝1,2,…,2N)是谐波系数变量。
进一步的，在f(t)的一个周期T内，采集K个等分区间点处的函数值f(tj)(j＝1,2,…K)，则根据函数f(t)的形式得到，
从而得到，2N+1个系数fi和等分区间点处的f(tj)存在转换关系：
定义一个转换矩阵，
则能够根据得到的得到K个等分区间点处的函数值f(tj)，确定谐波系数fi，即
[f0,f1,...,f2N]T＝E-1[f(t1),f(t2),...,f(tK)]T。
再进一步的，将函数f(t)对时间的一阶导数如下，
则在tj时刻采集的值，有
再由2N+1个系数fi和等分区间点处的f(tj)的转换关系得到谐波系数fi与时间导数的关系，
即
将上述的谐波系数与时间导数关系简化表示为，
其中，N是谐波阶数，n的取值为1,2,3…N；
而根据2N+1个谐波系数fi和等分区间点处的f(tj)存在转换关系，fi能够通过f(tj)表示，将转换关系带入到谐波系数与时间导数关系中，能够得到f(tj)转换为的转换关系式，
再进一步的，步骤2.2中，根据f(tj)转换为的转换关系式，将如下公式的左侧转换为，
其中，ExEyEz分别为与ωxr,ωyr，ωzr对应的转换矩阵，并将该等式右边的分块对角矩阵记为将该等式带入公式
中，得到状态向量系统的时域配点法代数方程组。
再进一步的，步骤2.3中，采用牛顿迭代法，对时域配点法代数方程组进行求解的步骤，具体如下，
采用牛顿迭代法对时域配点法代数方程组求一阶导数，即求解所述方程组的雅克比矩阵，采用数值方法来求解时域配点法方程组的雅克比矩阵；
记并假设Q′i＝Q+(0，…，δqi，…0)，
其中，δqi是qi一个增量，qi是Q的第i个分量；
则第i次迭代时方程组的雅克比矩阵表达式就写成：
Ji(Q)＝(R(Q′i)-R(Q))/δqi；
从而通过上式求解雅克比矩阵；将C-W方程理论周期解作为迭代初值，即迭代向量Q，通过牛顿迭代法求解时域配点法代数方程组，得到f(tj)转换为的转换关系式中的2N+1个系数fi，将得到的系数带入到2N+1个系数fi和等分区间点处的f(tj)的转换关系中，确定周期解的傅里叶级数展开，得到近地卫星相对运动周期轨道。
与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：
本发明通过考虑J2摄动、重力势的非线性项以及偏心率影响，得到一种衍生的卫星相对运动的动力学模型，该模型中由于动力学方程中不存在任何近似，因此这是一种精确的带有J2项的非线性相对运动模型，从而以此为基础能够更加寻找近地卫星相对运动的周期性轨道；然后通过基于时域配点法求解卫星相对运动周期轨道，从而能够针对不同的轨道参数，来寻找相对运动模型中的周期性轨道，能够快速准确的得到近地卫星相对运动周期轨道。
附图说明
图1为本发明实例中所述的ECI与LVLH坐标系。
图2为本发明实例中所述的e＝0.05，i＝pi/3采用(实线)和未采用(虚线)TDC方法修正的相对运动轨迹。
图3为本发明实例中所述的e＝0.05，i＝0采用(实线)和未采用(虚线)TDC方法修正的相对运动轨迹。
图4为本发明实例中所述的e＝0.02，i＝pi/3采用(实线)和未采用(虚线)TDC方法修正的相对运动轨迹。
图5为本发明实例中所述的e＝0.1，i＝pi/3采用(实线)和未采用(虚线)TDC方法修正的相对运动轨迹。
具体实施方式
下面结合具体的实施例对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。
本发明基于时域配点法，利用考虑J2项的近地卫星相对运动模型，将我们期望得到的周期解被预先假定为傅里叶级数展开，再将傅里叶级数展开形成的近似解带入原有的非线性方程中，得到剩余误差函数并令其等于0，最后采用C-W方程理论解用作迭代的初值，使用牛顿迭代法来求解非线性代数方程组，可以得出闭合的周期性近地卫星相对运动轨道。其能够处理许多复杂方程组中的非线性项，使用起来较为简便，结果重复性较好，发散速度很慢。本发明能够在相对运动轨道维持中如何节省和保存燃料，以及编队飞行动力学的研究中有广阔的应用前景。
由于地球形状的不规则和内部质量分布的不均匀，引力的方向和大小发生改变，会造成飞行器的轨道偏离椭圆轨道。这种差别被称为地球的非球形引力摄动。对于人造卫星来说，地球的非球形引力摄动是卫星在运动过程中所受摄动中比较重要的一项。在低轨卫星所受力中对轨道影响量级最大的是地球引力和地球的非球形引力。地球的非球形引力摄动分为二项，一项是与经度无关的带谐项，一项是与经度有关的田谐项。其中J2项就是主要带谐项。
本发明针对轨道倾角、偏心率等一系列轨道参数，采用时域配点法在给定的初值下对近地轨道相对运动方程组进行求解。通过建立近地轨道卫星相对运动模型，采用了一种新型的半解析计算方法时域配点法，来求解近地轨道卫星在不同的轨道参数下的周期性相对运动轨迹。
所述的时域配点法(Time Domain Collocation Method)也是一种求解非线性方程组的半解析方法，在本质上可以理解为一种高维度的谐波平衡法，在已知了非线性系统的解为周期解的情况下，能够更加精确、高效地得出结果，而且有效地避免了谐波平衡法中出现的复杂的符号运算即公式推导问题。
具体的包括如下步骤。
(1)近地轨道相对运动模型建模。
至此，在J2项影响的情况下，用来描述近地卫星相对运动轨道的模型建立完成，如图1所示。其中地心惯性坐标系(ECI)由一组单位向量(X，Y，Z)表示，星体坐标系(LVLH)固联在参考卫星S0上。
卫星Sj的相对运动在卫星轨道坐标系中可以表示为，
其中，ωx，ωz分别是卫星在x，z方向上的角频率；αx，αz是卫星在x，z方向上的加速度；r是卫星到地心的距离；η是卫星的角速度；i是卫星的轨道倾角；θ是卫星的近地点角距，ωx，ωz，αx，αz，r，η，i和θ均随时间呈周期性变化。他们通过一组微分方程描述了地心惯性坐标系，这些方程均不包含相对运动。
令我们得到
其中，Fx，Fy，Fz是卫星Sj在卫星轨道坐标系中的控制力。ηr是随着相对位置xr，yr，zr变化的函数，且有
其中，
rrZ＝(r+xr)sisθ+yrsicθ+zrci
公式(2)与公式(1)是等价的。通过增加方程的个数，我们避免了原方程中出现的二阶导数项。
(2)时域配点法的原理及使用过程。
时域配点法本质上其实是一种平衡剩余误差的方法，这种算法已经成功地用于解决多种非线性动力学问题。在TDC方法中，我们期望得到的周期解被预先假定为傅里叶级数展开，接下来，将傅里叶级数展开形成的近似解带入原有的非线性方程中，得到剩余误差函数。再令剩余误差函数在选定的配点范围内等于0，就得到了一组非线性的代数方程，这些方程中都含有傅里叶系数作为变量，它们都可以用现有的方法进行求解，比如经典的牛顿迭代法，Newton-Raphson方法。
为了实现时域配点法，我们考虑一个含有部分展开项的傅里叶级数所构成的函数，用这个函数来近似方程的周期解，这个函数可以写成如下的形式：
这里的N表示近似所用到的谐波数量，ωf为周期运动假定的频率，fi(i＝1，2，…，2N)是谐波系数变量。显然，TDC方法所求得的结果本身就是周期性变化的。
在f(t)的一个周期T内，计算K个等分区间点处的函数值f(tj)(j＝1，2，…K)，则根据(5)式可得到
可以看到，2N+1个谐波系数fi和等分区间点处的f(tj)存在转换关系：
为了便于表达，我们定义一个转换矩阵
这样一来，如果我们能够得到K个等分区间点处的函数值f(tj)，就能够确定谐波系数fi，即
[f0,f1,...,f2N]T＝E-1[f(t1),f(t2),...,f(tK)]T (9)
由公式(5)，f(t)对时间的一阶导数可以写为
在tj时刻采集的值，有
再由公式(7)可以得到谐波系数fi与时间导数的关系，即
(12)式可以更加简洁的表示为
其中，
其中，
N是谐波阶数，n的取值为1,2,3…N；
而根据公式(7)，fi能够通过f(tj)表示，将公式(7)带入公式(13)中，我们能够得到
至此，我们成功地将f(tj)转换为
我们将公式(2)记为其中X＝(xr yr zr vx vy vz)T是相对运动的状态量。对于这个非线性相对运动模型而言，如果存在周期解X(t)，这个周期解就能通过之前傅里叶级数展开的得到的函数f(t)来近似。
具体的计算实例如下。
考虑到卫星轨道坐标系中的相对运动由三个方向的分量组成，且有着不同的频率，我们假设
其中，xr yr zr vx vy vz的形式都与f(t)相同，除了它们各自都相对于x，y，z轴都分别具有不同的相对运动频率ωxr，ωyr,ωzr。
为了确定公式(16)中未知的系数和频率，我们必须从公式(2)中进行推导。对于前面提到的状态向量系统：我们计算一个周期内的K个点处的值，
得到
根据公式(15)，公式(17)的左边可以转换为
在得到的公式(18)中，原本公式(17)中的变量顺序发生了改变，变量顺序仍然是1到k，仅仅是X,Y,Z的顺序与之前方程组不同，例如：
Xr＝(xr(t1),xr(t2)，…，xr(tK))T
Ex Ey Ez分别为与ωxr，ωyr，ωzr对应的转换矩阵。
为了简化表达，下面我们将等式(18)右边的分块对角矩阵记为
将前面的方程(18)带入公式(17)中，我们就得到了公式(2)的时域配点法代数方程组
其中，Q＝(Xr,Yr,Zr,Vx,Vy,Vz)T。
是向量(G(X(t1))，G(X(t2))，…，G(X(tk)))T。
对于求解这个时域配点法代数方程组，我们可以采用牛顿迭代法。
牛顿迭代法(Newton's method)又称为牛顿-拉夫逊(拉弗森)方法(Newton-Raphson method)，是一种叫近似求解方程组根的方法。
通过采用时域配点法，我们将需要求解的非线性方程组进行变形，最后一步采用牛顿迭代求解。
对于单个方程而言，牛顿迭代过程中需要对原函数求一阶导数，对于我们所遇到的方程组而言，对应的就是求雅克比矩阵。下面求解雅克比矩阵的数值方法，就是牛顿迭代的过程。
时域配点法是一种采用傅里叶级数展开近似解的过程，最后我们需要通过牛顿迭代来求解这些傅里叶级数中的系数。
因此考虑到公式(18)比较复杂，我们采用数值方法来求解时域配点法方程组的雅克比矩阵。
记并假设Q′i＝Q+(0，…，δqi，…0)，
其中，δqi是qi一个微小增量，我们可以设定这个微小的增量为10-6，qi是Q的第i个分量；
则第i次迭代时方程组的雅克比矩阵表达式就可以写成：
Ji(Q)＝(R(Q′i)-R(Q))/δqi。
只要迭代向量Q确定，利用C-W方程理论周期解用作迭代初值，即迭代向量Q；我们就能通过公式(16)所给出的傅里叶级数展开关系来计算相对运动模型近似的周期解X(t)，最后得到近地卫星相对运动周期轨道。
最后，我们将时域配点法应用在求解不同情况下(即取不同的轨道偏心率e和轨道倾角i)的近地卫星相对运动模型，来验证这种快速求解方法在这些情况中的可行性。假设初始化过程在主星轨道的远地点进行，r0＝(1+e)a，a＝8000km，且从星的相对位置为xr0＝10km，yr0＝10km，zr0＝10km。仿真结果由图2-图5所示。
本发明提出了一种求解卫星相对运动周期性轨道的新型方法，这种方法是基于时域配点法(Time Domain Collocation Method)来研究存在J2项的非线性相对运动模型的周期解。在TDC方法中，利用Clohessy-Wiltshire方程或Tschauner-Hempel方程的相对运动轨道作为初始条件，即用这些方程的理论解作为TDC方法的迭代初值，都可以发散速度较传统方法明显减慢的拟周期轨道，从而作为控制系统的参考。
将期望得到的周期解被预先假定为傅里叶级数展开(步骤2.1)，再将傅里叶级数展开形成的近似解带入原有的非线性方程中(步骤2.2-2.4)，得到剩余误差函数并令其等于0，即令它本质上其实是一种平衡剩余误差的方法。
本发明所述的方法实现过程由三部分组成：利用傅里叶级数展开获得近地相对运动轨道方程组的代数形式(步骤2.1)；利用C-W方程理论周期解用作迭代初值；最后采用牛顿迭代求解非线性的代数方程组(公式(19)，得到所需结果。
本发明中所述的TDC方法相比于一般的数值方法更为精确，通过数值仿真，在使用了时域配点法之后，我们能够得到闭合的相对运动轨迹。因此，这个方法对于研究相对运动轨道维持中节省燃料和编队飞行动力学而言都有重要的意义。

Claims (7)

1.一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，其特征在于，包括如下步骤，
步骤1，建立近地轨道卫星相对运动模型；
步骤1.1，在J2项影响的情况下，卫星Sj的相对运动在卫星轨道坐标系中表示为如下的状态向量系统方程；
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow>
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其中，ωx,ωz分别是卫星在x,z方向上的角频率；αx,αz是卫星在x,z方向上的加速度；r是卫星到地心的距离；η是卫星的角速度；i是卫星的轨道倾角；θ是卫星的近地点角距；ωx,ωz,αx,αz,r,η,i和θ均随时间呈周期性变化；Fx,Fy,Fz是卫星Sj在卫星轨道坐标系中的控制力；ηr是随着相对位置xr,yr,zr变化的函数，且有
其中，
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rrZ＝(r+xr)sisθ+yrsicθ+zrci
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步骤1.2，将上述状态向量系统记为得到非线性相对运动模型；其中，X＝(xryr zr vx vy vz)T，是相对运动的状态量；
步骤2，通过时域配点法对非线性相对运动模型进行求解；
步骤2.1，由于卫星轨道坐标系中的相对运动由三个方向的分量组成，且有着不同的频率，将周期解假设为如下的傅里叶级数展开；
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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步骤2.2，在上述状态向量系统中，分别计算一个周期内的K个点处的值，得到公式，
<mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>;</mo> </mrow>
其中，为tk时刻的计算值，X(tk)为k点处的函数值，
简化后得到状态向量系统的时域配点法代数方程组，
<mrow> <mover> <mi>G</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mover> <mi>E</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mrow>
其中，Q＝(Xr,Yr,Zr,Vx,Vy,Vz)T；
是向量(G(X(t1)),G(X(t2)),…,G(X(tk)))T；
步骤2.3，采用牛顿迭代法，对时域配点法代数方程组进行求解，得到迭代向量Q；
步骤2.4，根据得到的迭代向量Q，通过步骤2.1中预先假定为傅里叶级数展开的周期解，得到非线性相对运动模型的周期解X(t)，从而得到近地卫星相对运动周期轨道。
2.根据权利要求1所述的一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，其特征在于，步骤1.1中，在J2项影响的情况下，卫星Sj的相对运动在卫星轨道坐标系中表示为，
其中，ωx,ωz,αx,αz,r,η,i和θ是主星轨道的参数，随时间呈周期性变化；令则通过增加方程个数，得到无二阶导数项的状态向量系统方程组。
3.根据权利要求1所述的一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，其特征在于，步骤2.1中，通过如下函数形式近似状态向量系统方程组的周期解，该函数形式由含有部分展开项的傅里叶级数所构成；
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
其中，N表示近似所用到的谐波数量，ωf为周期运动假定的频率，fi(i＝1,2,…,2N)是谐波系数变量。
4.根据权利要求3所述的一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，其特征在于，在f(t)的一个周期T内，采集K个等分区间点处的函数值f(tj)(j＝1,2,…K)，则根据函数f(t)的形式得到，
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
从而得到，2N+1个系数fi和等分区间点处的f(tj)存在转换关系：
定义一个转换矩阵，
则能够根据得到的得到K个等分区间点处的函数值f(tj)，确定谐波系数fi，即
[f0,f1,...,f2N]T＝E-1[f(t1),f(t2),...,f(tK)]T。
5.根据权利要求4所述的一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，其特征在于，将函数f(t)对时间的一阶导数如下，
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
则在tj时刻采集的值，有
<mrow> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
再由2N+1个系数fi和等分区间点处的f(tj)的转换关系得到谐波系数fi与时间导数的关系，
即
将上述的谐波系数与时间导数关系简化表示为，
<mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
其中，N是谐波阶数，n的取值为1,2,3…N；
而根据2N+1个谐波系数fi和等分区间点处的f(tj)存在转换关系，fi能够通过f(tj)表示，将转换关系带入到谐波系数与时间导数关系中，能够得到f(tj)转换为的转换关系式，
<mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> <msup> <mi>EAE</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>.</mo> </mrow>
6.根据权利要求5所述的一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，其特征在于，步骤2.2中，根据f(tj)转换为的转换关系式，将如下公式
的左侧转换为，
<mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>Y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>Z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>AE</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>AE</mi> <mi>y</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>AE</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>AE</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>AE</mi> <mi>y</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>AE</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>X</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Y</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Z</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
其中，ExEyEz分别为与ωxr,ωyr,ωzr对应的转换矩阵，并将该等式右边的分块对角矩阵记为将该等式带入公式
中，得到状态向量系统的时域配点法代数方程组。
7.根据权利要求6所述的一种近地卫星相对运动周期轨道的快速求解算法，其特征在于，步骤2.3中，采用牛顿迭代法，对时域配点法代数方程组进行求解的步骤，具体如下，
采用牛顿迭代法对时域配点法代数方程组求一阶导数，即求解所述方程组的雅克比矩阵，采用数值方法来求解时域配点法方程组的雅克比矩阵；
记并假设Q′i＝Q+(0,…,δqi,…0)，
其中，δqi是qi一个增量，qi是Q的第i个分量；
则第i次迭代时方程组的雅克比矩阵表达式就写成：
Ji(Q)＝(R(Q′i)-R(Q))/δqi；
从而通过上式求解雅克比矩阵；将C-W方程理论周期解作为迭代初值，即迭代向量Q，通过牛顿迭代法求解时域配点法代数方程组，得到f(tj)转换为的转换关系式中的2N+1个系数fi，将得到的系数带入到2N+1个系数fi和等分区间点处的f(tj)的转换关系中，确定周期解的傅里叶级数展开，得到近地卫星相对运动周期轨道。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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兰宇馨等: "利用时域配点法的卫星相对运动周期轨道求解研究", 《上海航天》 *

Cited By (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN113746523A (zh) * 2020-05-27 2021-12-03 华为技术有限公司 指示基站与信关站建立连接的方法、装置及计算设备

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