CN106679674A - 基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，属于航空航天技术领域。通过在地‑月‑星构成的限制性三体模型下建立动力学方程，在地月旋转系下生成L2点附近的Halo轨道。选定Halo轨道周期内的在轨时间t_h和对应的任务时刻T，将旋转坐标系下的Halo轨道转换到惯性系下。根据惯性坐标系下的日‑地‑星和日‑月‑星的相对位置，利用圆锥阴影模型判断卫星受地球和月球的遮挡情况。改变任务时刻T，重新计算日‑地‑星和日‑月‑星的相对位置，重新利用圆锥阴影模型进行阴影分析，直至使命轨道结束。改变Halo轨道的在轨时间t_h重复上述分析，计算得不同位置下的阴影分布情况。本发明真实程度更高，阴影分析考虑情况更加全面。

Description

基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法

技术领域

本发明是一种基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，适用于真实星历环境下对地月L2点Halo轨道不同时间和不同相位的阴影分布情况进行分析，属于航空航天技术领域。

背景技术

地月L2点附近周期轨道具有独特的动力学特点，位于L2点附近Halo轨道上的卫星具有与月球位置关系相对固定，与地球可见时间长，轨道维持所需代价小等优点，被认为是中继卫星的理想任务轨道。卫星的光照条件是中继任务轨道设计中的重要约束之一，受遮挡时间的长短影响到卫星供电系统的设计，较长时间的阴影会导致电池供电不足，进而影响到中继任务的开展。

在已发展的关于轨道阴影分析方法中在先技术[1](参见Fixler S Z.Umbra andpenumbra eclipse factors for satellite orbits[J].AIAA Journal,1964,8:1455-1457.)给出了一种地球环绕轨道的阴影分析方法，该阴影分析方法采用圆锥阴影模型，利用二体动力学方程推导了环绕轨道不同相位阴影分布的解析关系。该方法虽然可以得到阴影分析的解析结果，但此种方法只适用于不考虑星历环境的二体动力学轨道，对于具有复杂动力学的Halo轨道和真实星历环境的影响则无法处理。

在先技术[2](梁伟光,周文艳,周建亮.地月系L2平动点卫星月掩规避问题分析[J].航天器工程,2015,24(1):44-49.)给出了一种地月L2点周期轨道阴影规避方法，该方法在进行阴影分析时将月球遮挡阴影简化为月掩带范围，从而进行规避轨道设计。此种方法虽然可以对地月L2点的周期轨道阴影情况进行一定分析，但其动力学模型仍为圆形限制性三体模型，即并未考虑真实星历环境的影响；此外，月掩带分析模型为简化模型，而且阴影分析并未考虑地球的遮挡影响。

发明内容

本发明的目的是为了提供一种时域与相位相结合的地月L2点Halo轨道阴影分布搜索方法。该方法同时考虑地球和月球对卫星的遮挡情况，采用模型和适用环境真实性更高。可对地月L2点Halo轨道上卫星在轨一段时间内的阴影分布情况进行搜索，进而为任务轨道设计及阴影规避策略设计提供指导与参考。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，通过在地-月-星构成的限制性三体模型下建立动力学方程，在地月旋转系下生成L2点附近的Halo轨道。选定Halo轨道周期内的在轨时间t_h和对应的任务时刻T，通过查阅星历获得太阳、地球和月球的实时相对位置，将旋转坐标系下的Halo轨道转换到惯性系下。根据惯性坐标系下的日-地-星和日-月-星的相对位置，利用圆锥阴影模型判断卫星受地球和月球的遮挡情况。改变任务时刻T，重新计算日-地-星和日-月-星的相对位置，重新利用圆锥阴影模型进行阴影分析，直至使命轨道结束。改变Halo轨道的在轨时间t_h重复上述分析，计算得到不同位置下的阴影分布情况。

基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，包括如下步骤：

步骤一：在地-月-星构成的限制性三体模型下建立动力学方程，在地月旋转系下生成L2点附近的Halo轨道。

限制性三体模型动力学系统中考虑质量可以忽略的卫星S₃在地球S₁和月球S₂的引力共同作用下的运动；地球S₁、月球S₂和卫星S₃三者质量关系为m₁＞m₂＞＞m₃。选择地-月系统的质心作为原点建立旋转坐标系，x轴方向由原点指向月球，z轴为系统旋转的角速度方向，y轴与x、z轴构成右手坐标系。则卫星的运动可以描述为方程(1)：

其中μ＝m₂/(m₁+m₂)表示系统的质量系数，m₁为地球质量，m₂为月球质量；分别为运动卫星到地球和月球的距离。

对方程(1)进行局部线性化，得到低阶周期近似解析解。以该近似解析解为初值，利用微分修正方法得到限制性三体模型下精确的数值解，即得到L2点附近的Halo轨道。

步骤二：选定Halo轨道周期内的在轨时间t_h和对应的任务时刻T，通过查阅星历获得太阳、地球和月球的实时相对位置，将旋转坐标系下的Halo轨道转换到惯性系下。

首先根据星历确定在轨时间t_h和对应的任务时刻T的日、地、月在惯性系下的位置和速度状态，同时记在轨时间t_h和对应任务时刻T的卫星在月心惯性系中的位置矢量为[x_i,y_i,z_i]，速度矢量为地月旋转系相对于惯性系的瞬时角速度为[0,0,ω]。

根据地球和月球的惯性系位置和速度状态可以得到月球相对地球的位置和速度；并将所述位置和速度转换为轨道根数形式：轨道半长轴为a，偏心率e，升交点赤经Ω，轨道倾角i，近地点辐角真近点角θ。则地月的实际距离L＝a(1-ecos(E))。考虑归一化后地月的实际距离为R＝L/D，其中D为归一化单位长度。建立星历模型下的地月旋转坐标系，地球位置为[R(1-μ),0,0]，瞬时平衡点L2位置为Rλ，其中λ为平衡点L2在地月旋转坐标系中的位置。周期轨道相对瞬时平衡点L2的位置近似不变，则位于周期轨道上的卫星在星历旋转坐标系下的位置为[x+R(1-μ)λ,y,z]，则卫星相对月球的位置为[x+R(1-μ)λ-R(1-μ),y,z]。通过坐标转换可以得到卫星在惯性系下相对于月球的位置r_iM如式(2)所示。

其中，x、y、z为步骤一中公式(1)所得的限制性三体模型下精确的数值解；R_x、R_z分别表示绕x和z轴的旋转矩阵，其矩阵表达式为式(3)。

根据星历容易得到任意时刻月球相对于地球的位置r_EM，则卫星在惯性系下相对地球的位置r_iE为式(4)。

r_iE＝r_EM+r_iM (4)

步骤三：根据惯性坐标系下的日-地-星和日-月-星的相对位置，利用圆锥阴影模型判断卫星受地球和月球的遮挡情况。

阴影分析模型选用圆锥阴影模型，采用阴影因子ν来反映卫星受地球和月球的遮挡情况。阴影因子ν的物理意义为太阳相对卫星的可视面积比。

建立日-地-星的阴影遮挡模型进行分析：

过卫星且与日-地连线垂直的平面为基面，基面与日-地连线的交点为基点。S₀＝L·R_sc为基点到地心的距离，其中L为太阳到地球的单位矢量，R_sc为卫星在地心赤道坐标系下的位置矢量。如果S₀≤0，则卫星处于向阳面，不存在阴影遮挡，ν＝1。如果S₀＞0，需要根据几何关系进一步判断卫星是否处于阴影区。

计算卫星在基面上的半径

用式(5)计算第一锥角f₁和第二锥角f₂：

其中R_⊙为太阳半径，R_B为地球半径，S_⊙为日地距离。

采用式(6)计算第一临界距离l₁和第二临界距离l₂

其中c₁,c₂可由式(7)得到：

如果l_p＜l₂，那么卫星处于全影区，ν＝0。

如果l₂≤l_p＜l₁，那么卫星处于半影区，0＜ν＜1。

如果l₁≤l_p，那么卫星处于照射区，ν＝1。

建立日-月-星的阴影遮挡模型进行分析，分析方法和结果与日-地-星模型相同；后续分析中不区分半影和全影区，统一按照阴影考虑。总的结论是：

如果l_p＜l₁，那么卫星处于阴影区，0≤ν＜1。

如果l_p≥l₁，那么卫星处于照射区，ν＝1。

步骤四：改变任务时刻T，重复步骤二与步骤三，得到新的任务时刻T的卫星受地球和月球的遮挡情况；不断改变任务时刻T，直至使命轨道结束。

通过改变任务时刻T，查阅星历得到此时太阳、地球和月球的惯性系下的位置和速度状态，采用步骤二中的方法得到太阳、地球、月球以及卫星的相对位置，利用相对位置关系采用步骤三中的阴影分析方法判断卫星光照受地球和月球的遮挡情况。重复步骤直至使命轨道结束，从而得到整个使命轨道段在轨时间t_h对应相位的阴影分布情况。

步骤五：改变Halo轨道的在轨时间t_h，重复步骤二到步骤四，计算得到不同相位位置下的卫星受地球和月球的遮挡情况。

由于卫星在Halo轨道上的相位变化不是匀速的，因此这里用Halo轨道的每个周期内的在轨时间t_h(0≤t_h≤T_period)表示Halo轨道的位置，然后转换成相位进行分析。故只需改变Halo轨道的在轨时间t_h等同于改变Halo轨道相位。采用合理步长逐渐改变在轨时间t_h，再重复步骤二到步骤四的分析计算，可以得到不同相位位置下的整个使命轨道段的阴影分布情况。依据该分析方法得到的统计结果，可以获得阴影分布与时间和Halo相位之间的关系。根据该分布关系可以进行任务轨道设计及阴影规避策略设计。

有益效果

1、本发明公开的基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，该方法采用圆锥阴影模型，真实程度较高。

2、本发明公开的基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，该方法考虑真实星历环境的影响，通过星历数据将地月旋转系状态转换到惯性系进行分析，相比简化得到的理想动力学模型真实程度更高。

3、本发明公开的基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，该方法针对地月L2点Halo轨道同时考虑地球和月球的遮挡情况分析，其阴影分析考虑情况更加全面。

4、本发明公开的基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，该方法是一种时域与相位相结合的地月L2点Halo轨道阴影分布搜索方法，可对地月L2点Halo轨道上卫星在轨一段时间内的阴影分布情况进行搜索，进而为任务轨道设计及阴影规避策略设计提供指导与参考。

附图说明

图1本发明方案流程示意图；

图2限制性三体模型旋转坐标系示意图；

图3地月L2点Halo轨道相位0度起点位置示意图；

图4卫星与日-地的几何关系示意图；

图5本发明实例中Halo轨道阴影分布时间-相位图；

图6本发明实例中Halo轨道相位阴影时长分布；

图7本发明实例中时间-相位图中探测器运动轨迹示意图。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面通过对一个卫星在地月L2点Halo轨道的阴影搜索进行实例分析，对本发明做出详细解释。

实施例1

本发明公开的基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，这里选择地月L2点Halo轨道上的卫星在轨保持3年进行阴影搜索分析，这里选择使命轨道任务时间区间为2018年6月1日至2021年6月1日，同时选择振幅为12000km的南族Halo轨道作为任务轨道。技术方案实现的流程图如图1所示。实例中阴影分析设计方法包括如下步骤：

步骤一：在地-月-星构成的限制性三体模型下建立动力学方程，在地月旋转系下生成L2点附近的Halo轨道。

限制性三体模型动力学系统中考虑质量可以忽略的卫星S₃在两个地球S₁和月球S₂的引力共同作用的运动，三者质量关系为m₁＞m₂＞＞m₃。选择地-月系统的质心作为原点建立旋转坐标系，x轴方向由原点指向月球，z轴为系统旋转的角速度方向，y轴与x、z轴构成右手坐标系，坐标系示意图如图2所示。则卫星的运动可以描述为方程(1)：

其中μ＝m₂/(m₁+m₂)表示系统的质量系数，m₁为地球质量，m₂为月球质量，分别为运动卫星到地球和月球的距离。

对方程(1)进行局部线性化，可以得到低阶周期近似解析解。以该近似解析解为初值，利用微分修正方法得到限制性三体模型下精确的数值解。

为了方便描述，定义轨道的相位角为轨道上任一点在x-y平面的投影与x轴的夹角，以顺时针为正，0度起点选择为Halo轨道距离月球最远点，以地月L2点不同振幅的南族Halo轨道为例，0度起点位置如图3中实心点所示。

步骤二：选定Halo轨道周期内的在轨时间t_h和对应的任务时刻T，通过查阅星历获得太阳、地球和月球的实时相对位置，将旋转坐标系下的Halo轨道转换到惯性系下。

首先根据星历确定在轨时间t_h和对应的任务时刻T的日、地、月在惯性系下的位置和速度状态，同时记在轨时间t_h和对应任务时刻T的卫星在月心惯性系中的位置矢量为[x_i,y_i,z_i]，速度矢量为地月旋转系相对与惯性系的瞬时角速度为[0,0,ω]。初始计算在轨时间t_h＝0，任务时刻T为2018年6月1日0时0分0秒。

根据地球和月球的惯性系位置和速度状态可以得到月球相对地球的位置和速度；并将所述位置和速度转换为轨道根数形式：轨道半长轴为a，偏心率e，升交点赤经Ω，轨道倾角i，近地点辐角真近点角θ。则地月的实际距离L＝a(1-ecos(E))。考虑归一化后地月的实际距离为R＝L/D，其中D为归一化单位长度。建立星历模型下的地月旋转坐标系，地球位置为[R(1-μ),0,0]，瞬时平衡点L2位置为Rλ，其中λ为平衡点L2在地月旋转坐标系中的位置。周期轨道相对瞬时平衡点L2的位置近似不变，则位于周期轨道上的卫星在星历旋转坐标系下的位置为[x+R(1-μ)λ,y,z]，则卫星相对月球的位置为[x+R(1-μ)λ-R(1-μ),y,z]。通过坐标转换可以得到卫星在惯性系下相对于月球的位置r_iM如式(2)所示。

其中R_x,R_z分别表示绕x和z轴的旋转矩阵，其矩阵表达式为式(3)。

根据星历容易得到任意时刻月球相对于地球的位置r_EM，则卫星在地心惯性系下相对地球的位置r_iE为式(4)。

r_iE＝r_EM+r_iM (4)

步骤三：根据惯性坐标系下的日-地-星和日-月-星的相对位置，利用圆锥阴影模型判断卫星受地球和月球的遮挡情况。

阴影分析模型选用圆锥阴影模型，采用阴影因子ν来反映卫星受地球和月球的遮挡情况。阴影因子ν的物理意义为太阳相对卫星的可视面积比。

建立日-地-星的阴影遮挡模型进行分析，卫星与日-地的几何关系如图4所示。

过卫星且与日-地连线垂直的平面为基面，基面与日-地连线的交点为基点。S₀＝L·R_sc为基点到地心的距离，其中L为太阳到地球的单位矢量，R_sc为卫星在地心赤道坐标系下的位置矢量。如果S₀≤0，则卫星处于向阳面，不存在阴影遮挡，ν＝1。如果S₀＞0，需要根据几何关系进一步判断卫星是否处于阴影区。

计算卫星在基面上的半径

用式(5)计算第一锥角f₁和第二锥角f₂：

其中R_⊙为太阳半径，R_B为地球半径，S_⊙为日地距离。

采用式(6)计算第一临界距离l₁和第二临界距离l₂

其中c₁,c₂可由式(7)得到：

如果l_p＜l₂，那么卫星处于全影区，ν＝0。

如果l₂≤l_p＜l₁，那么卫星处于半影区，0＜ν＜1。

如果l₁≤l_p，那么卫星处于照射区，ν＝1。

建立日-月-星的阴影遮挡模型进行分析，分析方法和结果与日-地-星模型相同；后续分析中不区分半影和全影区，统一按照阴影考虑。总的结论是：

如果l_p＜l₁，那么卫星处于阴影区，0≤ν＜1。

如果l_p≥l₁，那么卫星处于照射区，ν＝1。

步骤四：改变任务时刻T，重复步骤二与步骤三，得到新的任务时刻T的卫星受地球和月球的遮挡情况；不断改变任务时刻T，直至使命轨道结束。

通过改变任务时刻T，查阅星历得到此时太阳、地球和月球的惯性系下的位置和速度状态，采用步骤二中的方法得到太阳、地球、月球以及卫星的相对位置，利用相对位置关系采用步骤三中的阴影分析方法判断卫星光照受地球和月球的遮挡情况。重复步骤直至使命轨道结束，从而得到整个使命轨道段在轨时间t_h对应相位的阴影分布情况。

对于任务时刻的改变采用等步长增加的方式进行替换，由于地月L2点Halo轨道单次连续阴影存在时间较短，这里建议采用1小时作为增加步长。重复计算直到使命轨道任务时间终点。

步骤五：改变Halo轨道的在轨时间t_h，重复步骤二到步骤四，计算得到不同相位位置下的卫星受地球和月球的遮挡情况。

由于卫星在Halo轨道上的相位变化不是匀速的，因此这里用Halo轨道的每个周期内的在轨时间t_h(0≤t_h≤T_period)表示Halo轨道的位置，然后转换成相位进行分析。故只需改变Halo轨道的在轨时间t_h等同于改变Halo轨道相位。采用合理步长逐渐改变在轨时间t_h，再重复步骤二到步骤四的分析计算，可以得到不同相位位置下的整个使命轨道段的阴影分布情况。即为获得等相位间隔的使命轨道段阴影分布情况，则在轨时间t_h需选择变步长增加的方式进行替换，变步长设计需满足间隔等相位分布关系。重复计算直到在轨时间t_h等于所选Halo轨道周期，即此时完成0～360°不同相位阴影分布情况搜索。

依据该分析方法得到的统计结果，可以获得阴影分布与时间和Halo相位之间的关系，即得到阴影分布的时间-相位图。图5为所选Halo轨道对应相位在任务时间段内的阴影分布时间-相位图，其中地球引起阴影遮挡和月球引起的阴影遮挡分别用实心点和“X”表示。图6为2019年6月-2020年6月间Halo轨道不同相位存在阴影的时长。

由于卫星在Halo轨道上的运动方向固定，因此卫星的运动在时间-相位图中的表示为任一点与其右上角相邻点的连线，如图7所示，即若假设初始时刻T₀卫星在图中A位置，则T₀+dT时刻对应的卫星位置应为D。根据该分布关系可以进行任务轨道设计及阴影规避策略设计。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，其特征在于：通过在地-月-星构成的限制性三体模型下建立动力学方程，在地月旋转系下生成L2点附近的Halo轨道；选定Halo轨道周期内的在轨时间t_h和对应的任务时刻T，通过查阅星历获得太阳、地球和月球的实时相对位置，将旋转坐标系下的Halo轨道转换到惯性系下；根据惯性坐标系下的日-地-星和日-月-星的相对位置，利用圆锥阴影模型判断卫星受地球和月球的遮挡情况；改变任务时刻T，重新计算日-地-星和日-月-星的相对位置，重新利用圆锥阴影模型进行阴影分析，直至使命轨道结束；改变Halo轨道的在轨时间t_h重复上述分析，计算得到不同位置下的阴影分布情况。

2.基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤一：在地-月-星构成的限制性三体模型下建立动力学方程，在地月旋转系下生成L2点附近的Halo轨道；

限制性三体模型动力学系统中考虑质量可以忽略的卫星S₃在地球S₁和月球S₂的引力共同作用下的运动；地球S₁、月球S₂和卫星S₃三者质量关系为m₁＞m₂＞＞m₃；选择地-月系统的质心作为原点建立旋转坐标系，x轴方向由原点指向月球，z轴为系统旋转的角速度方向，y轴与x、z轴构成右手坐标系；则卫星的运动可以描述为方程(1)：

其中μ＝m₂/(m₁+m₂)表示系统的质量系数，m₁为地球质量，m₂为月球质量；分别为运动卫星到地球和月球的距离；

对方程(1)进行局部线性化，得到低阶周期近似解析解；以该近似解析解为初值，利用微分修正方法得到限制性三体模型下精确的数值解，即得到L2点附近的Halo轨道；

为了方便描述，定义轨道的相位角为轨道上任一点在x-y平面的投影与x轴的夹角，以顺时针为正，0度起点选择为Halo轨道距离月球最远点；

步骤二：选定Halo轨道周期内的在轨时间t_h和对应的任务时刻T，通过查阅星历获得太阳、地球和月球的实时相对位置，将旋转坐标系下的Halo轨道转换到惯性系下；

首先根据星历确定在轨时间t_h和对应的任务时刻T的日、地、月在惯性系下的位置和速度状态，同时记在轨时间t_h和对应任务时刻T的卫星在月心惯性系中的位置矢量为[x_i,y_i,z_i]，速度矢量为地月旋转系相对于惯性系的瞬时角速度为[0,0,ω]；

根据地球和月球的惯性系位置和速度状态可以得到月球相对地球的位置和速度；并将所述位置和速度转换为轨道根数形式：轨道半长轴为a，偏心率e，升交点赤经Ω，轨道倾角i，近地点辐角真近点角θ；则地月的实际距离L＝a(1-ecos(E))；考虑归一化后地月的实际距离为R＝L/D，其中D为归一化单位长度；建立星历模型下的地月旋转坐标系，地球位置为[R(1-μ),0,0]，瞬时平衡点L2位置为Rλ，其中λ为平衡点L2在地月旋转坐标系中的位置；周期轨道相对瞬时平衡点L2的位置近似不变，则位于周期轨道上的卫星在星历旋转坐标系下的位置为[x+R(1-μ)λ,y,z]，则卫星相对月球的位置为[x+R(1-μ)λ-R(1-μ),y,z]；通过坐标转换可以得到卫星在惯性系下相对于月球的位置r_iM如式(2)所示；

其中，x、y、z为步骤一所得的限制性三体模型下精确的数值解；R_x、R_z分别表示绕x和z轴的旋转矩阵，其矩阵表达式为式(3)；

根据星历容易得到任意时刻月球相对于地球的位置r_EM，则卫星在惯性系下相对地球的位置r_iE为式(4)；

r_iE＝r_EM+r_iM (4)

步骤三：根据惯性坐标系下的日-地-星和日-月-星的相对位置，利用阴影模型判断卫星受地球和月球的遮挡情况；

步骤四：改变任务时刻T，重复步骤二与步骤三，得到新的任务时刻T的卫星受地球和月球的遮挡情况；不断改变任务时刻T，直至使命轨道结束；

步骤五：改变Halo轨道的在轨时间t_h，重复步骤二到步骤四，计算得到不同相位位置下的卫星受地球和月球的遮挡情况。

3.如权利要求2所述的基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，其特征在于：所述步骤三所述的阴影模型为圆锥阴影模型。

4.如权利要求2或3所述的基于星历模型的地月L2点Halo轨道阴影分析方法，其特征在于：所述利用阴影模型判断卫星受地球和月球的遮挡情况的具体方法为：

阴影分析模型选用圆锥阴影模型，采用阴影因子ν来反映卫星受地球和月球的遮挡情况；阴影因子ν的物理意义为太阳相对卫星的可视面积比；

建立日-地-星的阴影遮挡模型进行分析：

过卫星且与日-地连线垂直的平面为基面，基面与日-地连线的交点为基点；S₀＝L·R_sc为基点到地心的距离，其中L为太阳到地球的单位矢量，R_sc为卫星在地心赤道坐标系下的位置矢量；如果S₀≤0，则卫星处于向阳面，不存在阴影遮挡，ν＝1；如果S₀＞0，需要根据几何关系进一步判断卫星是否处于阴影区；

计算卫星在基面上的半径

用式(5)计算第一锥角f₁和第二锥角f₂：

其中R_⊙为太阳半径，R_B为地球半径，S_⊙为日地距离；

采用式(6)计算第一临界距离l₁和第二临界距离l₂

其中c₁,c₂可由式(7)得到：

如果l_p＜l₂，那么卫星处于全影区，ν＝0；

如果l₂≤l_p＜l₁，那么卫星处于半影区，0＜ν＜1；

如果l₁≤l_p，那么卫星处于照射区，ν＝1；

建立日-月-星的阴影遮挡模型进行分析，分析方法和结果与日-地-星模型相同；后续分析中不区分半影和全影区，统一按照阴影考虑；总的结论是：

如果l_p＜l₁，那么卫星处于阴影区，0≤ν＜1；

如果l_p≥l₁，那么卫星处于照射区，ν＝1。