CN103678897A - 一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法 - Google Patents

一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法 Download PDF

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CN103678897A CN201310649141.1A CN201310649141A CN103678897A CN 103678897 A CN103678897 A CN 103678897A CN 201310649141 A CN201310649141 A CN 201310649141A CN 103678897 A CN103678897 A CN 103678897A
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Abstract

本发明公开了一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，该发明运用凯恩方程建立飞轮隔振平台动力学模型，以飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，推导各个致动器和隔振平台偏速度和偏角速度，建立各个致动器的凯恩方程，并加以综合，得出系统的动力学模型。所建立的模型表达简洁，变量和方程的数目少，适用范围广，计算效率高，适于并行计算。

Description

一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法
技术领域
本发明涉及航天器系统与平台技术，具体解决航天器典型执行机构高频微振动抑制与隔离技术，更具体地说，是一种用于飞轮隔振平台的动力学建模方法。
背景技术
随着空间开发及探测活动技术的发展，使航天器及其所携带的精密设备要求轨道支撑平台具有超静意义上的力学环境，为保证仪器精度，隔振技术已不再是锦上添花的“装饰”，而是保证有效载荷正常工作的必要手段。因此必须对航天器工作过程中产生的高频微振动加以隔离，由于卫星上飞轮、陀螺等转动部件高速转动，太阳能电池板的运动以及卫星姿态变化对敏感载荷产生影响，现有技术尚不能够保证卫星上一些高精度、高稳定度的装置维持正常工作，为此需要开展航天器高频微振动多自由度隔振平台研究工作。
用不同方法列写刚体的运动微分方程式时所花的劳动与所得结果的简洁程度是不相同的。在处理单个刚体的定点运动时，若采用牛顿-欧拉力学中的动量矩方法，其推导省力且所得的结果是六个一阶微分方程，形式简洁。特别是欧拉动力学方程具有严格的对称形式，易于求解。但实际问题往往更为复杂，当系统包含一个以上的刚体和质点时，动量矩方法给出的方程式数目往往不够，这时需要对系统中的每个刚体及质点列些运动微分方程，因而出现了许多约束反力，使未知数增多，方程更加复杂。分析力学中的拉个朗日方法则是一个一般的方法，它将系统作为一个整体研究，在理想约束的情况下可以自动消除约束反力而给出与系统自由度数目相同的运动微分方程式，直接由主动力求出运动。但由于引入动能函数，需求两次导数，所以推导过程比较费力，给出的若干二阶微分方程式也相当冗长。
发明内容
本发明要解决的技术问题是提供一种用于飞轮隔振平台的动力学建模方法，能够满足隔振平台实时性和精确度要求较高的情况。
为了达到上述目的，本发明的技术方案是提供一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，所述飞轮隔振平台包含上平台，下平台，分别连接了各自对应的上平台顶点与下平台顶点的六根致动器分支；每根致动器分支中包含上致动器、下致动器及连接两者的弹簧和阻尼器，其特征在于：
所述飞轮隔振平台专用动力学建模方法中，计算飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，包含：上、下平台各自的原点位置矢量对时间的导数，即上、下平台各自的原点在参考坐标系中的速度矢量；上、下平台各自的角速度矢量；
以伪速度推导各个致动器分支和隔振平台的偏速度和偏角速度，包含：下致动器各自的质心偏速度；致动器分支的偏角速度；上下致动器相对运动的偏速度；上平台质心运动的偏速度；上平台顶点运动的偏速度；上、下平台各自的偏角速度；下平台的质心偏速度；
建立各个致动器分支的凯恩方程，即根据上、下平台及致动器分支各自的广义主动力和广义惯性力，求取整个隔振平台系统的广义主动力
Figure 521469DEST_PATH_IMAGE002
和广义惯性力
Figure 2013106491411100002DEST_PATH_IMAGE003
，进而得出飞轮隔振平台的动力学模型方程：
Figure 317256DEST_PATH_IMAGE004
。
本发明采用的方法与现有技术相比，其优点和有益效果是：提出了一种运用Kane方程建立飞轮隔振平台动力学模型的建模方法，所建立的模型表达简洁，变量和方程的数目少，适用范围广，计算效率高，适用于并行计算。
附图说明
图1是飞轮隔振平台的坐标系示意图；
图2是飞轮隔振平台中致动器分支的示意图。
具体实施方式
下面结合附图说明本发明的优选实施方式。
本发明运用Kane（凯恩）方程建立飞轮隔振平台动力学模型，以并飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，推导各个致动器和隔振平台偏速度和偏角速度，建立各个致动器的凯恩方程，并加以综合，得出系统的动力学模型。
所述的Kane方程可以写为如下形式：
Figure 2013106491411100002DEST_PATH_IMAGE005
式中，和
Figure DEST_PATH_IMAGE007
分别称为系统对应于第γ个独立速度的广义主动力和广义惯性力。
具体的，本发明通过航天器动力学建模方法基于Kane方程建立系统的动力学方程，包括如下步骤：
步骤1坐标和位置姿态确定；
如图1、图2所示，飞轮隔振平台包含上平台，下平台，分别连接了各自对应的上平台顶点Ai与下平台顶点Bi的六根致动器分支；每根致动器分支中包含上致动器、下致动器及连接两者的弹簧和阻尼器。每个致动器分支的基本运动方程为：
Figure 439113DEST_PATH_IMAGE008
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE009
，
Figure 594020DEST_PATH_IMAGE010
分别是两平台顶点到各自坐标系中原点的位置矢量。
Figure DEST_PATH_IMAGE011
，
Figure 627835DEST_PATH_IMAGE012
表示上平台原点、下平台原点在参考坐标系中的位置矢量。li是致动器分支i的总长度，即上平台和基座对应顶点间的距离；
Figure DEST_PATH_IMAGE013
为致动器分支i从下平台顶点指向对应上平台顶点的单位矢量；假定各平台质心位于其坐标原点处。
2.速度和角速度计算；
顶点Ai的速度可以看成连接Ai和Bi两个顶点的致动器分支i上一个端点的速度，也可以看作上平台上一个顶点的速度。设li为致动器分支i的输入运动，即该分支上下致动器的相对位移。用表示致动器分支i的输入运动li对时间的导数，表示致动器分支i长度的变化率，是一个标量。Wi表示致动器分支i的角速度，可以得到下式：
               
Figure DEST_PATH_IMAGE015
                      
考虑到
Figure 391577DEST_PATH_IMAGE016
且
Figure DEST_PATH_IMAGE017
。
所以，上式两边同时点乘矢量，可得：
Figure DEST_PATH_IMAGE019
其中：是上平台原点位置矢量
Figure DEST_PATH_IMAGE021
对时间的导数，即上平台原点在参考坐标系中的速度矢量。
Figure 488212DEST_PATH_IMAGE022
是上平台的角速度矢量，
Figure DEST_PATH_IMAGE023
是下平台的角速度矢量。
考虑在并联机构各个致动器分支均不能绕自身轴线转动的条件下，存在关系：
Figure 411169DEST_PATH_IMAGE024
将方程
Figure 720927DEST_PATH_IMAGE015
等号两边左叉乘
Figure 791652DEST_PATH_IMAGE018
，得：
Figure DEST_PATH_IMAGE025
根据矢量的运算规则，可以得出并联机构典型分支的角速度
                     
Figure 32009DEST_PATH_IMAGE026
因此，各典型分支的上、下致动器的质心速度
Figure DEST_PATH_IMAGE027
和
Figure 809472DEST_PATH_IMAGE028
分别为：
Figure DEST_PATH_IMAGE029
Figure 290132DEST_PATH_IMAGE030
   
其中：
Figure DEST_PATH_IMAGE031
是下平台原点位置矢量
Figure 769524DEST_PATH_IMAGE032
对时间的导数，和是方向到上、下致动器质心点的长度（参见图2）。
上平台上质心速度
Figure DEST_PATH_IMAGE035
：
                        
Figure 102962DEST_PATH_IMAGE036
上平台顶点Ai的速度为：
                
Figure 148279DEST_PATH_IMAGE038
                       
下平台顶点Bi的速度
Figure DEST_PATH_IMAGE039
为：
                      
Figure 481171DEST_PATH_IMAGE040
步骤3.加速度和角加速度计算；
1）致动器分支的加速度和角加速度：
对式
Figure 29964DEST_PATH_IMAGE015
进行求导，得到：
Figure 304956DEST_PATH_IMAGE041
Figure 2013106491411100002DEST_PATH_IMAGE042
为致动器分支相对于的相对加速度，
Figure 708573DEST_PATH_IMAGE043
为
Figure 111872DEST_PATH_IMAGE018
旋转引起的切向牵连加速度，
Figure 2013106491411100002DEST_PATH_IMAGE044
为
Figure 557766DEST_PATH_IMAGE018
旋转引起的向心牵连加速度，
Figure 312095DEST_PATH_IMAGE045
为致动器的科氏加速度。下面分别求解和
Figure 986790DEST_PATH_IMAGE047
。
每个分支的上、下致动器的相对加速度可通过相应速度对时间求导获得。由于机械结构的特点，可以将它们表示为张量叉积运算的形式。用
Figure 2013106491411100002DEST_PATH_IMAGE048
和
Figure 510176DEST_PATH_IMAGE049
表示和
Figure 126971DEST_PATH_IMAGE051
对时间的导数，
Figure DEST_PATH_IMAGE052
和
Figure 40700DEST_PATH_IMAGE053
表示上、下平台角速度
Figure 581403DEST_PATH_IMAGE022
和对时间的导数。
令式
Figure 746991DEST_PATH_IMAGE019
对时间求导：
Figure 694668DEST_PATH_IMAGE002
    上式可化简为：
其中，
Figure 492410DEST_PATH_IMAGE057
为致动器分支转动引起的加速度，
Figure DEST_PATH_IMAGE058
为上、下平台顶点Ai和Bi的加速度在
Figure 990387DEST_PATH_IMAGE018
上的投影。
类似地，可得到致动器分支的角加速度
Figure 683406DEST_PATH_IMAGE047
：
Figure 798759DEST_PATH_IMAGE004
上致动器的质心加速度和下致动器的质心加速度
Figure 719812DEST_PATH_IMAGE061
为：
Figure 72296DEST_PATH_IMAGE063
2）上平台的加速度和角加速度：
上平台质心加速度
Figure DEST_PATH_IMAGE064
为：
                          
Figure 201795DEST_PATH_IMAGE065
上平台顶点Ai的加速度
Figure 639729DEST_PATH_IMAGE064
为：
   
Figure DEST_PATH_IMAGE066
          
下平台顶点Bi的加速度
Figure 998029DEST_PATH_IMAGE067
为：
            
Figure DEST_PATH_IMAGE068
步骤4.偏速度与偏角速度计算；
选择
Figure 657550DEST_PATH_IMAGE069
作为系统的伪速度。
1）上致动器的质心偏速度，可以根据式
Figure DEST_PATH_IMAGE070
和
Figure 443103DEST_PATH_IMAGE029
获得。在这里容易将原始定义的偏导数运算化为张量的乘法运算，因为该速度已经表示为对系统伪速度的线性表示，因此得出对应的线性系数，该线性系数组成对应的偏速度张量。
Figure 827764DEST_PATH_IMAGE006
    因此上致动器质心偏速度为：
Figure DEST_PATH_IMAGE072
式中E为单位张量，
Figure 773733DEST_PATH_IMAGE073
为
Figure DEST_PATH_IMAGE074
的偏速度，
Figure 100809DEST_PATH_IMAGE075
为
Figure 322843DEST_PATH_IMAGE022
的偏速度，为
Figure 860004DEST_PATH_IMAGE031
的偏速度， 为的偏速度。
2）下致动器的质心偏速度计算；
由 
Figure 990957DEST_PATH_IMAGE079
          
得下致动器的质心偏速度为：
             
Figure DEST_PATH_IMAGE080
                    
3）致动器分支的偏角速度计算：
由                 
Figure 383892DEST_PATH_IMAGE081
                            
得到致动器分支的偏角速度为：
                                                             
4）上下致动器相对运动的偏速度：
                                    
Figure 283715DEST_PATH_IMAGE083
                                           
5）上平台质心运动的偏速度：
                                                                                     
6）上平台顶点
Figure 36776DEST_PATH_IMAGE085
运动的偏速度：
                                   
Figure DEST_PATH_IMAGE086
                                          
7）上平台的偏角速度为：
                                      
Figure 10548DEST_PATH_IMAGE087
                                             
8）下平台的质心偏速度为：
                                       
Figure DEST_PATH_IMAGE088
                                              
9）下平台的偏角速度为：
                                       
Figure 636702DEST_PATH_IMAGE089
                                              
5.主动力和广义主动力计算：
作用在飞轮隔振平台上的主动力包括驱动力、重力、外部载荷力、弹簧力、阻尼力等。将飞轮隔振机构下平台受到的干扰力向质心简化，记为
Figure DEST_PATH_IMAGE090
，
Figure 148454DEST_PATH_IMAGE091
为干扰力，
Figure DEST_PATH_IMAGE092
为干扰力矩。上平台重力记为
Figure 377311DEST_PATH_IMAGE093
，下平台重力记为；上下致动器的重力分别记为
Figure 533485DEST_PATH_IMAGE095
和，它们作用在各自的质心处。设弹簧刚度为k，阻尼系数为c，则弹簧力
Figure 517491DEST_PATH_IMAGE097
，阻尼力为
Figure 126327DEST_PATH_IMAGE098
。第i条致动器分支的上下致动器之间的驱动力为
Figure 237502DEST_PATH_IMAGE099
。其中
Figure DEST_PATH_IMAGE100
为第i条致动器分支x方向力分量，
Figure 248183DEST_PATH_IMAGE101
为第i条致动器分支y方向力分量, 
Figure DEST_PATH_IMAGE102
为第i条致动器分支z方向力分量, 为第i条致动器分支x方向力矩分量, 
Figure DEST_PATH_IMAGE104
为第i条致动器分支y方向力矩分量, 
Figure 436905DEST_PATH_IMAGE105
为第i条致动器分支z方向力矩分量。由于飞轮隔振平台的驱动关节是直线移动关节，因此，驱动力的方向为驱动关节的轴线方向。飞轮隔振平台的广义驱动力可以表示为
Figure DEST_PATH_IMAGE106
。
系统的六维广义主动力如下： 
1）上平台的广义主动力：
                               
Figure 75740DEST_PATH_IMAGE107
                                      
2）下平台广义主动力：
    
Figure DEST_PATH_IMAGE108
           
3）致动器分支的广义主动力：
Figure 144190DEST_PATH_IMAGE109
  
整个隔振平台系统的广义主动力为：
                                  
Figure DEST_PATH_IMAGE110
                                          
步骤6.惯性力与广义惯性力计算：
飞轮隔振平台的惯性力包括上平台和各个运动构件上的惯性力。上、下平台的惯性力和上下致动器的惯性力分别向各自的质心处简化，上、下平台质量分别为
Figure 283048DEST_PATH_IMAGE111
、
Figure 53426DEST_PATH_IMAGE112
，相对质心的惯量张量为
Figure 303142DEST_PATH_IMAGE113
、
Figure 288416DEST_PATH_IMAGE114
，第i条致动器分支的质量为
Figure 535857DEST_PATH_IMAGE115
和
Figure 606582DEST_PATH_IMAGE116
，相对质心的惯量张量为
Figure 784622DEST_PATH_IMAGE117
和
Figure 624402DEST_PATH_IMAGE118
。
1）上平台广义惯性力
                 
Figure DEST_PATH_IMAGE119
                        
2）下平台广义惯性力
                                         
3）致动器分支的广义惯性力
        
Figure 584454DEST_PATH_IMAGE121
               
隔振平台系统的广义惯性力为：
                                                                           
基于上述步骤5和步骤6的计算，本发明所述隔振平台的动力学方程为：
                                      
综上所述，本发明公开了一种基于Kane方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，避免了约束反力的出现，采用伪速度描述系统的运动，引入惯性力和广义惯性力，具有更大的自由度选取独立变量，使得方程简单。本发明克服了现有技术中的不足，提供了一种模型表达简洁，变量和方程数目少，适用范围广，计算效率高，适用于并行计算的飞轮隔振平台专用动力学建模方法。
尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。

Claims (7)

1.一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，所述飞轮隔振平台包含上平台，下平台，分别连接了各自对应的上平台顶点与下平台顶点的六根致动器分支；每根致动器分支中包含上致动器、下致动器及连接两者的弹簧和阻尼器，其特征在于：
所述飞轮隔振平台专用动力学建模方法中，计算飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，包含：上、下平台各自的原点位置矢量对时间的导数，即上、下平台各自的原点在参考坐标系中的速度矢量；上、下平台各自的角速度矢量；
以伪速度推导各个致动器分支和隔振平台的偏速度和偏角速度，包含：下致动器各自的质心偏速度；致动器分支的偏角速度；上下致动器相对运动的偏速度；上平台质心运动的偏速度；上平台顶点
Figure 963633DEST_PATH_IMAGE001
运动的偏速度；上、下平台各自的偏角速度；下平台的质心偏速度；
建立各个致动器分支的凯恩方程，即根据上、下平台及致动器分支各自的广义主动力和广义惯性力，求取整个隔振平台系统的广义主动力
Figure 59765DEST_PATH_IMAGE002
和广义惯性力
Figure 450996DEST_PATH_IMAGE003
，进而得出飞轮隔振平台的动力学模型方程：
Figure 316184DEST_PATH_IMAGE004
。
2.如权利要求1的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，
进一步包含确定坐标和位置姿态的以下过程：
每根致动器分支的基本运动方程为：
其中，
Figure 976152DEST_PATH_IMAGE006
，
Figure 225868DEST_PATH_IMAGE007
分别是上、下平台的顶点到各自坐标系中原点的位置矢量；
Figure 211141DEST_PATH_IMAGE008
是上平台原点在参考坐标系中的位置矢量；li是致动器分支i的总长度，即上平台和下平台对应顶点A i与Bi间的距离；
Figure 707851DEST_PATH_IMAGE009
为致动器分支i从下平台顶点Bi指向对应上平台顶点A i的单位矢量；假定各平台质心位于其坐标原点处。
3.如权利要求2的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，
进一步包含计算飞轮隔振平台速度和角速度的以下过程：
上平台质心速度：
       
Figure 831981DEST_PATH_IMAGE011
上平台顶点Ai的速度
Figure 671761DEST_PATH_IMAGE012
为：
       
Figure 90104DEST_PATH_IMAGE013
   
下平台顶点Bi的速度为：
       
Figure 239643DEST_PATH_IMAGE015
其中，上平台原点位置矢量对时间的导数，即上平台原点在参考坐标系中的速度矢量；下平台原点位置矢量
Figure 319223DEST_PATH_IMAGE017
对时间的导数，即下平台原点在参考坐标系中的速度矢量
Figure 652115DEST_PATH_IMAGE018
；上平台的角速度矢量；下平台的角速度矢量
Figure 288950DEST_PATH_IMAGE020
。
4.如权利要求3的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，
进一步包含计算飞轮隔振平台加速度和角加速度的以下过程：
致动器分支的加速度
Figure 742934DEST_PATH_IMAGE021
和角加速度；
Figure 345133DEST_PATH_IMAGE023
其中，致动器分支的角速度：    
Figure 296089DEST_PATH_IMAGE025
；
Figure 33101DEST_PATH_IMAGE026
和
Figure 556486DEST_PATH_IMAGE027
表示
Figure 671816DEST_PATH_IMAGE028
和
Figure 647862DEST_PATH_IMAGE029
对时间的导数，
Figure 188565DEST_PATH_IMAGE030
和
Figure 769719DEST_PATH_IMAGE031
表示
Figure 104886DEST_PATH_IMAGE019
和对时间的导数；
上致动器的质心加速度
Figure 912622DEST_PATH_IMAGE032
和下致动器的质心加速度为：
Figure 103618DEST_PATH_IMAGE034
Figure 319835DEST_PATH_IMAGE035
其中，
Figure 140024DEST_PATH_IMAGE036
和
Figure 492508DEST_PATH_IMAGE037
是方向分别到上、下致动器质心点的长度；
上平台质心加速度
Figure 561406DEST_PATH_IMAGE039
为：
       
Figure 982023DEST_PATH_IMAGE040
上平台顶点Ai的加速度
Figure 454593DEST_PATH_IMAGE039
为：
       
Figure 302463DEST_PATH_IMAGE041
      
下平台顶点Bi的加速度为：
       
Figure 389685DEST_PATH_IMAGE043
  。
5.如权利要求4的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，
进一步包含计算隔振平台的偏速度和偏角速度的以下过程：
1）上致动器质心偏速度为：
             
式中E为单位张量，
Figure 188062DEST_PATH_IMAGE045
为
Figure 600589DEST_PATH_IMAGE046
的偏速度，
Figure 363009DEST_PATH_IMAGE047
为
Figure 482274DEST_PATH_IMAGE019
的偏速度，
Figure 937527DEST_PATH_IMAGE048
为
Figure 837349DEST_PATH_IMAGE049
的偏速度， 
Figure 403460DEST_PATH_IMAGE050
为
Figure 130894DEST_PATH_IMAGE051
的偏速度；
2）下致动器的质心偏速度为：
Figure 757048DEST_PATH_IMAGE052
3）致动器分支的偏角速度为：
4）上下致动器相对运动的偏速度：
Figure 186072DEST_PATH_IMAGE054
5）上平台质心运动的偏速度：
Figure 342247DEST_PATH_IMAGE055
6）上平台顶点
Figure 139302DEST_PATH_IMAGE056
运动的偏速度：
Figure 748138DEST_PATH_IMAGE057
7）上平台的偏角速度为：
Figure 108581DEST_PATH_IMAGE058
8）下平台的质心偏速度为：
Figure 119262DEST_PATH_IMAGE059
9）下平台的偏角速度为：
Figure 87218DEST_PATH_IMAGE060
        。
6.如权利要求5的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，
进一步包含计算飞轮隔振平台主动力和广义主动力的以下过程：
飞轮隔振平台上的主动力包括：驱动力、重力、外部载荷力、弹簧力、阻尼力；其中，将飞轮隔振机构下平台受到的干扰力向质心简化，记为
Figure 121033DEST_PATH_IMAGE061
，为干扰力，
Figure 697825DEST_PATH_IMAGE063
为干扰力矩；上平台重力记为
Figure 525098DEST_PATH_IMAGE064
，下平台重力记为
Figure 108526DEST_PATH_IMAGE065
；上、下致动器的重力分别记为
Figure 358242DEST_PATH_IMAGE066
和
Figure 343515DEST_PATH_IMAGE067
，它们作用在各自的质心处；设弹簧刚度为k，阻尼系数为c，则弹簧力，阻尼力为
Figure 590957DEST_PATH_IMAGE068
；第i条致动器分支的上下致动器之间的驱动力，即飞轮隔振平台的广义驱动力为
Figure 661681DEST_PATH_IMAGE069
，其中
Figure 715088DEST_PATH_IMAGE070
、、分别为第i条致动器分支x、y、z方向力分量，
Figure 514919DEST_PATH_IMAGE073
、
Figure 309700DEST_PATH_IMAGE074
、
Figure 3987DEST_PATH_IMAGE075
分别为第i条致动器分支x、y、z方向力矩分量；
上平台的广义主动力：
       
Figure 655548DEST_PATH_IMAGE076
       
下平台的广义主动力：
Figure 700864DEST_PATH_IMAGE077
  
致动器分支的广义主动力：
Figure 781559DEST_PATH_IMAGE078
      
整个隔振平台系统的广义主动力为：
       
Figure 330352DEST_PATH_IMAGE079
。
7.如权利要求6的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，其特征在于，
进一步包含计算飞轮隔振平台的惯性力和广义惯性力的以下过程：
　　上、下平台的惯性力和上、下致动器的惯性力分别向各自的质心处简化，上、下平台质量分别为
Figure 418394DEST_PATH_IMAGE080
、
Figure 623110DEST_PATH_IMAGE081
，相对质心的惯量张量为
Figure 556431DEST_PATH_IMAGE082
、
Figure 412261DEST_PATH_IMAGE083
；致动器分支i的质量为
Figure 671204DEST_PATH_IMAGE084
和
Figure 159954DEST_PATH_IMAGE085
，相对质心的惯量张量为
Figure 162545DEST_PATH_IMAGE086
和；
上平台广义惯性力：
Figure 787878DEST_PATH_IMAGE088
下平台广义惯性力：
Figure 29504DEST_PATH_IMAGE089
致动器分支广义惯性力：
Figure 258622DEST_PATH_IMAGE090
    
隔振平台系统的广义惯性力为：
       
Figure 636514DEST_PATH_IMAGE091
       。
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