CN109084757A - 一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，将飞机机翼等效为悬臂梁，其动态变形采用Euler‑Bernoulli模型，分别针对不同的激振力进行了数学分析，推导出不同激振力下梁的形变位移；梁的形变位移包括刚体位移和动态弹性形变位移，进一步推导了刚体位移对应的速度和动态弹性位移对应的速度之间的幅值和相位关系；飞机机翼变形测量惯性导航系统主、子系统之间的杠杆臂为动态变化，将动态弹性位移对应的速度考虑到杠杆臂补偿过程中，对传递对准过程中速度误差表达式进行修正。相比现有的将主、子系统间的杠杆臂视为常值，本发明分析推导了动态杠杆臂主、子系统之间的传递对准速度误差，可提高传递对准的精度。

Description

一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法

技术领域

本发明属于惯性导航技术领域，利用惯性导航系统测量飞机的机翼变形，其中涉及高精度主惯导系统对低精度子惯导系统进行校准的过程，具体涉及一种基于Euler-Bernoulli模型的飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法。针对飞机机翼动态挠曲变形，对动态变形产生的附加速度进行数学推导，并结合动态变形所产生的附加速度对主、子惯导系统传递对准过程中杠杆臂速度误差进行空间几何分析。

背景技术

飞机的承载能力有限，特别是机翼部分，因此飞机机翼动态变形测量对测量设备的重量和尺寸有非常严格的要求，而IMU单元的测量精度与重量和尺寸成正比，每个负载处无法同时安装高精度的IMU。

目前飞机机翼变形测量采用机身安装高精度的POS，而机翼部分则采用低精度IMU单元，通过主、子系统间传递对准获取各定位点的高精度位置、姿态信息。但是主、子之间挠曲变形产生的挠性杠杆臂效应是影响其精度的主要因素，现有的飞机机翼动态变形测量将机翼视为刚体，不考虑挠曲变形，其传递对准精度难以达到所需要的精度。

发明内容

发明目的：针对现有技术的不足，本发明目的在于提供一种基于Euler-Bernoulli模型的飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，对飞机机翼动态变形传递对准过程中机体运动和动态变形之间的耦合所引起的速度误差进行几何建模和数学分析，提出传递对准过程中新的误差源(动态变形引起的附加速度)，以便传递对准过程中进行补偿，提高传递对准精度。

技术方案：为实现本发明一种基于Euler-Bernoulli模型的飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法的目的，具体的技术方案如下：

一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，包括以下步骤：

(1)将飞机机翼等效为悬臂梁，机翼动态变形等效为Euler-Bernoulli模型，得到机翼横向振动偏微分方程；

(2)分别在激振力为0和激振力为标准正弦函数两种情况下求解偏微分方程，得出以机翼上主、子惯导系统之间的水平距离和时间为变量的梁的形变位移的表达式；

(3)将步骤(2)所得的梁的形变位移对时间求一阶偏导得到由梁的变形位移所引起的速度的表达式；

(4)分别考虑不同模式下的动态形变位移所引起的速度，模式为1对应的是刚体运动速度v_r，模式大于1对应的是动态变形速度v_d，并从v_r和v_d的表达式得出v_r和v_d的相位差与幅值比；

(5)结合空间几何模型对飞机机翼分布式变形测量系统中主、子惯导系统之间的杠杆臂进行分析，将刚体运动速度和动态变形速度之和作为动态杠杆臂速度误差，对传递对准过程中速度误差表达式进行修正。

进一步地，步骤(1)中飞机机翼等效为弹性Euler-Bernoulli梁，其横向振动偏微分方程为：

式中，y表示形变位移，EI是梁的挠曲刚度，m是梁的每单位长度的质量，β是阻尼系数，q(x,t)是激振力，其中x表示梁上一点与主惯导之间的距离，t表示时间。

进一步地，步骤(2)中激振力为0时，偏微分方程的解为：

y(x,t)表示梁的形变位移，下标k表示梁的模式，p_k(t)是梁的第k广义偏转模式，X_k(x)是梁的第k正常模式：

X_k(x)＝A_ksin(G_kx)+B_kcos(G_kx)+C_ksin h(G_kx)+D_kcosh(G_kx)

其中，A_k、B_k、C_k、D_k、G_k都是常数，通过边界条件来确定；

激振力q(x,t)＝F₀sin(ωt)时，首先将激振力为零时的解代入偏微分方程求解梁的第k广义偏转p_k(t)：

p_k(t)＝c_ksin(ωt+ψ_k)

则，其中，ψ_k为相位延迟，且有：

λ_k＝ω/ω_k，

进一步地，步骤(3)中得到梁的动态变形位移y(x,t)对时间求一阶偏导，得速度的表达式为：

进一步地，步骤(4)中，v_r和v_d的相位差为ψ₂，幅值比为：

其中，b＝y(l,t)-y(0,t)，c₁、c₂分别表示模式1、2下广义偏转模式p₁(t)、p₂(t)的幅值。

进一步地，步骤(5)中通过结合空间几何模型对飞机机翼分布式变形测量系统中主、子惯导系统之间的杠杆臂进行分析，得到则主、子惯导系统之间的速度误差δV＝(T^-1C^T(ψ)+I)V_r；其中，为主惯导坐标系与导航坐标系之间的变换矩阵，为主惯导相对于地球的角速度，下标x,y,z分别表示主惯导坐标系下的东、北、天三个方向，r^SM(x,t)为子惯导系统几何中心相对于主惯导系统几何中心的矢量，x表示子惯导与主惯导之间的距离，t表示时间；表示刚体运动速度和动态变形速度之间的幅值比关系矩阵，下标x,y,z分别表示子惯导坐标系下的东、北、天三个方向；表示刚体运动速度和动态变形速度之间的相位差关系矩阵，下标x,y,z分别表示子惯导坐标系下的东、北、天三个方向；I为3×3单位阵。

有益效果：与现有技术相比，本发明将运动时的飞机机翼等效为弹性Euler-Bernoulli梁，分析不同激振力下其横向振动偏微分方程并进行求解，推导出动态挠曲变形和载体运动耦合速度误差，并对该耦合误差进行了空间几何建模和数学分析，得出新误差源的表达式；传统的传递对准过程，将主、子系统之间的杠杆臂视为常值，虽然进行了杠杆臂补偿，但是该补偿对于具有高速运动且测量单元之间具有动态变形的载体来说，仍然存在很大误差，本发明提出了传递对准过程中新的误差源，即考虑了动态变形和载体运动耦合时产生的附加速度，提高了传递对准精度。

附图说明

图1为基于Euler-Bernoulli模型的动态变形速度误差分析方法流程图；

图2为主、子惯导之间杠杆臂几何关系。

具体实施方式

以下结合具体的实施方案和附图对本发明作进一步详细说明：

如图1所示，本发明实施例提出的一种基于Euler-Bernoulli模型的飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，将飞机机翼等效为悬臂梁，其动态变形采用Euler-Bernoulli模型，分别针对不同的激振力进行了数学分析，得出不同激振力下梁的形变位移；梁的形变位移包括刚体位移和动态弹性形变位移，进一步推导了刚体位移对应的速度v_r和动态弹性位移对应的速度v_d之间的幅值和相位关系；再结合空间几何模型对飞机机翼分布式变形测量系统中主、子节点之间的杠杆臂进行分析，并得出三维空间杠杆臂动态变形下附加的速度，将动态弹性位移对应的速度V_d考虑到杠杆臂补偿过程中，对传递对准过程中速度误差表达式进行修正，以提高子系统导航精度。下面对该误差分析进行详细的数学分析：

步骤1：将飞机机翼等效为悬臂梁，机翼动态变形等效为Euler-Bernoulli模型，得到机翼横向振动偏微分方程。Euler-Bernoulli方程是一个关于工程力学、古典栋梁力学的重要方程，是一个简化线性弹性理论且能计算栋梁受力和弹性变形的数学模型。飞机在飞行过程中，受到气动载荷以及机动飞行动作，机翼将产生变形；机翼动态变形和载体运动耦合会产生附加速度，为了研究该耦合速度误差，将运动时的飞机机翼等效为弹性Euler-Bernoulli梁，其横向振动偏微分方程下:

式中，y表示形变位移，EI是梁的挠曲刚度，m是梁的每单位长度的质量，β是阻尼系数，具体参数可根据机翼所用的材料以及尺寸确定。q(x,t)是激振力，其中x表示梁上一点与主惯导之间的距离，t表示时间；

步骤2：分别在激振力为0和激振力为标准正弦函数两种情况下求解步骤1的偏微分方程，分析不同激振力的情况下梁的形变位移：

(1)激振力q(x,t)＝0时，横向振动偏微分方程的解为：

y(x,t)表示梁的形变位移，下标k表示梁的模式，p_k(t)是梁的第k广义偏转模式，X_k(x)是梁的第k正常模式：

X_k(x)＝A_ksin(G_kx)+B_kcos(G_kx)+C_ksinh(G_kx)+D_kcosh(G_kx)

其中，A_k、B_k、C_k、D_k、G_k都是常数，可以通过边界条件来确定，边界条件如下：

其中，l表示梁的长度，将边界条件带入X_k(x)的表达式中，可得如下关系：

cosh和sinh分别表示双曲余弦和双曲正弦函数，上述齐次线性方程有唯一解的条件是系数矩阵行列式为0，即：

cos(G_kl)cosh(G_kl)＝1

以上超越方程的解为：

G₁l＝0

G₂l＝4.73

G₃l＝7.85

...

(2)激振力q(x,t)＝F₀sin(ωt)时，首先将激振力为零时的解代入偏微分方程并将等式左右两边同时乘X_j(x)，则有：

函数X_j(x)满足正交条件，即：

推导出梁的第k广义偏转模式的微分方程：

其中，

λ_k＝ω/ω_k

求解梁的第k广义偏转模式的微分方程，可得广义偏转：

p_k(t)＝c_ksin(ωt+ψ_k)

则，其中，ψ_k为相位延迟，且

步骤3：对步骤2所得的梁的形变位移y(x,t)对t进行偏微分，得到由梁的动态变形引起的速度：

步骤4：步骤1-3推导了梁的动态形变位移公式，接下来，分别考虑不同模式下的动态形变位移及所引起的速度：

(1)第1模式下(k＝1)，即刚体模式，G₁l＝0，ω_k＝0，A₁＝C₁，B₁＝D₁＝0，取：

X₁(x)＝ax+b

其中，b＝y(l,t)-y(0,t)

第1模式下的广义偏转系数ψ₁＝0，则：

p₁(t)＝c₁sin(ωt+ψ₁)＝c₁sin(ωt)

变形位移为y_r(x,t)，下标r表示刚体(rigid)：

y_r(x,t)＝X₁(x)p₁(t)＝c₁(ax+b)sin(ωt)

刚体运动模式下，速度为：

(2)二阶振动模式占动态弯曲总能量的大部分，因此可以取k＝2作为梁动态振动的近似模式，第2模式下(k＝2)，即弹性形变位移为：

动态弯曲变形下，速度为：

以上的分析可知，梁的形变位移由刚性位移和弹性位移两部分组成，对应的速度分别为v_r和v_d，从v_r和v_d的表达式可以得出，v_r和v_d的相位差为ψ₂，A_vr和A_vd分别为v_r和v_d的幅值，则幅值比为：

且刚体运动速度和动态变形速度都具有与激振角频率相同的角频率ω；对子系统坐标系下的东、北、天三个方向分别采用相同的分析方式，可得三个方向的刚体速度v_rx,v_ry,v_rz和动态变形速度v_dx,v_dy,v_dz，以及相应的幅值比T_x,T_y,T_z和相位差ψ_x,ψ_y,ψ_z，下标x,y,z表示子系统坐标系的东、北、天三个方向。三个方向分析的区别在于激振力q(x,t)＝F₀sin(ωt)幅值和相位不同，过程类似，此处不再赘述。则三维空间中刚体运动速度和动态变形速度的关系为：

V_r＝TC(ψ)V_d

其中：

主、子系统之间的速度差由刚体运动速度和动态变形速度两部分组成：

δV＝V_r+V_d＝(TC(ψ)+I)V_d

＝(T^-1C^T(ψ)+I)V_r

步骤5：结合空间几何模型对飞机机翼分布式变形测量系统中主、子惯导系统之间的杠杆臂进行分析，将三维空间中刚体运动速度V_r和动态变形速度V_d之和作为动态杠杆臂速度误差，对传递对准过程中速度误差表达式进行修正。具体分析推导过程如下：

如图2所示，主、子惯导之间杠杆臂几何关系，子系统几何中心相对于主系统几何中心的矢量为r^SM：

r^SM＝r′_xx_M+r′_yy_M+r′_zz_M＝r_x(x,t)x_S+r_y(x,t)y_S+r_z(x,t)z_S

其中，x_M、y_M、z_M表示主惯导坐标系下的东、北、天三个方向的单位向量，x_S、y_S、z_S表示子惯导坐标系下的东、北、天三个方向的单位向量；r′_x、r′_y、r′_z为r^SM在主惯导坐标系下的东、北、天三个方向的分量值；r_x(x,t)、r_y(x,t)、r_z(x,t)为r^SM在子惯导坐标系下的东、北、天三个方向的分量值；设主惯导相对与地心的O_e矢量为R，主惯导相对与地心的O_e矢量为r，则有如下关系：

R＝r+r^SM

上式两边相对于地球坐标系(e系)求导，可得：

其中，下标x,y,z分别代表主惯导坐标系下的东、北、天三个方向，记为主惯导的地速，为子惯导的地速，为杠杆臂动态变化附加的速度，式中V_d即为所求的耦合速度误差，则有：

r^SM(x,t)＝r^SM(x,t-1)+V_dΔt

Δt为采样时间间隔，理论上，由于主、子之间存在矢量r^SM，两种地速所定义的导航坐标系是不同的，但是r^SM量级较小，两种坐标系之间的角度差别非常小，故认为其是相互平行的，投影到惯性导航坐标系，得：

分别为主惯导和子惯导相对于惯性系的速度，为主惯导坐标系与惯性坐标系之间的变换矩阵，为主惯导相对于地球的角速度，取将主惯导和子惯导之间的速度误差定义为：

传递对准过程中考虑飞机机翼动态变形和飞机机翼运动之间的耦合产生的速度误差，根据以上推导的主、子惯导之间的速度差δV；该误差δV可作为传递对准过程的测量变量，以提高传递对准的精度。

Claims (6)

1.一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)将飞机机翼等效为悬臂梁，机翼动态变形等效为Euler-Bernoulli模型，得到机翼横向振动偏微分方程；

(2)分别在激振力为0和激振力为标准正弦函数两种情况下求解偏微分方程，得出以机翼上主、子惯导系统之间的水平距离和时间为变量的梁的形变位移的表达式；

(3)将步骤(2)所得的梁的形变位移对时间求一阶偏导得到由梁的形变位移所引起的速度的表达式；

(4)分别考虑不同模式下的形变位移所对应的速度，模式为1所对应的是刚体运动速度v_r，模式大于1所对应的是动态变形速度v_d，并从v_r和v_d的表达式得出v_r和v_d的相位差与幅值比；

(5)结合空间几何模型对飞机机翼分布式变形测量系统中主、子惯导系统之间的杠杆臂进行分析，将刚体运动速度和动态变形速度之和作为动态杠杆臂速度误差，进而对传递对准过程中速度误差表达式进行修正。

2.根据权利要求1所述的一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，其特征在于，步骤(1)中飞机机翼等效为弹性Euler-Bernoulli梁，其横向振动偏微分方程为：

式中，y表示形变位移，EI是梁的挠曲刚度，m是梁的每单位长度的质量，β是阻尼系数，q(x,t)是激振力，其中x表示梁上一点与主惯导之间的距离，t表示时间。

3.根据权利要求2所述的一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，其特征在于，步骤(2)中激振力为0时，偏微分方程的解为：

y(x,t)表示梁的形变位移，下标k表示梁的模式，p_k(t)是梁的第k广义偏转模式，X_k(x)是梁的第k正常模式：

X_k(x)＝A_ksin(G_kx)+B_kcos(G_kx)+C_ksinh(G_kx)+D_kcosh(G_kx)

其中，A_k、B_k、C_k、D_k、G_k都是常数，通过边界条件来确定；

激振力q(x,t)＝F₀sin(ωt)时，首先将激振力为零时的解代入偏微分方程进而求解梁的第k广义偏转模式p_k(t)：

p_k(t)＝c_ksin(ωt+ψ_k)

则其中，ψ_k为相位延迟，且

λ_k＝ω/ω_k，

4.根据权利要求3所述的一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，其特征在于，步骤(3)中得到由梁的动态变形位移y(x,t)对时间求一阶偏导，得速度的表达式为：

5.根据权利要求4所述的一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，其特征在于，步骤(4)中，v_r和v_d的相位差为ψ₂，幅值比为：

其中，b＝y(l,t)-y(0,t)，c₁、c₂分别表示模式1、2下广义偏转模式p₁(t)、p₂(t)的幅值。

6.根据权利要求1所述的一种飞机机翼运动与动态变形耦合速度误差计算方法，其特征在于，步骤(5)中通过结合空间几何模型对飞机机翼分布式变形测量系统中主、子惯导系统之间的杠杆臂进行分析，得到则主、子惯导系统之间的速度误差δV＝(T^-1C^T(ψ)+I)V_r；其中，为主惯导坐标系与导航坐标系之间的变换矩阵，为主惯导相对于地球的角速度，下标x,y,z分别表示主惯导坐标系下的东、北、天三个方向，r^SM(x,t)为子惯导系统几何中心相对于主惯导系统几何中心的矢量，x表示子惯导与主惯导之间的距离，t表示时间；表示刚体运动速度和动态变形速度之间的幅值比关系矩阵，下标x,y,z分别表示子惯导坐标系下的东、北、天三个方向；表示刚体运动速度和动态变形速度之间的相位差关系矩阵，下标x,y,z分别表示子惯导坐标系下的东、北、天三个方向；I为3×3单位阵。