CN113419433B - 一种自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法，包括：建立具有不确定参数的自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型；通过状态转换函数，将自平衡电动轮椅欠驱动系统输出由有界状态转换为无界状态，得到状态转换后的动力学方程；设计一种自适应鲁棒控制器；利用李雅普诺夫方法对自适应鲁棒控制器的一致有界性和最终有界性进行验证；根据自平衡电动轮椅欠驱动系统进行数值仿真，并对所设计自适应鲁棒控制器的主要参数进行调节；最后对鲁棒控制器的控制效果进行分析，并给出结论。本发明能够保证系统的一致有界性和一致最终有界性，算例的数值仿真结果表明，能够很好地跟踪预定的训练轨迹并补偿不确定性。

Description

一种自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法

技术领域

本发明涉及自平衡电动轮椅技术领域，尤其是一种自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法。

背景技术

随着现代社会的不断进步，轮椅成为残疾人和体弱老年人必不可少的行走工具.但由于残疾人和老年人身体相对较弱，且较多无工作能力，经济来源有限，而且当他们不使用轮椅时，又需要轮椅便于包装和移动。因此，要求轮椅轻便小巧、结构紧凑、功能人性化、简单易用、价格低廉，轮椅是康复的重要工具，它不仅是肢体伤残者的代步工具，更重要的是便他们借助于轮椅进行身体锻练和参与社会活动，因此如何设计和制造一个功能强大、人性化的轮椅成为了当今残疾人士最为关心的问题。

自平衡电动轮椅不同于一般市面上的电动轮椅，自平衡电动轮椅拥有转弯半径小，机械结构简单，成本更低，系统灵活性好，具有良好的越障和操作性能的优点，但自平衡电动轮椅由于输入少于需要控制的量，故其是一类高度非线性的欠驱动系统，这类操作系统具有一定的复杂性，但其可以起到容错控制的功能，研究这类操作系统对非完整系统的研究具有促进作用。

欠驱动的难点在于耦合，这种耦合造成了对不能直接控制部分的不确定性，针对欠驱动系统不确定性的问题，目前的控制方法主要有Udwadia控制,它是不需要执行某种线性化和/或非线性抵消来控制一般的、非线性的、结构的和机械的系统，这与大多数其他控制方法不同，但是Udwadia控制没有考虑机械系统中存在的不确定性，其他的控制方法如滑模控制、LQR控制、H2/H∞控制、反步控制等没有Udwadia控制的优势，因此需要设计一款新的控制器来解决上述问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种建立在Udwadia控制框架上，既能很好地解决机械系统中的不确定性问题，同时兼顾了Udwadia控制的优势的自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法。

为实现上述目的，本发明采用了以下技术方案：一种自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法，包括：

(1)建立具有不确定参数的自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型，其公式如下：

并写成二阶微分的形式，以满足伺服约束的要求；

(2)通过状态转换函数，将自平衡电动轮椅欠驱动系统输出由有界状态转换为无界状态，得到状态转换后的动力学方程为：

保证自平衡电动轮椅欠驱动系统输出控制在所设定的期望范围内，并保证控制自平衡电动轮椅欠驱动系统的一致有界性和最终有界性；

(3)针对经过状态转换后的自平衡电动轮椅欠驱动系统中存在的不确定性，设计一种自适应鲁棒控制器；

(4)利用李雅普诺夫方法对自适应鲁棒控制器的一致有界性和最终有界性进行验证；

(5)根据自平衡电动轮椅欠驱动系统进行数值仿真，并对所设计自适应鲁棒控制器的主要参数进行调节；

(6)最后对鲁棒控制器的控制效果进行分析，并给出结论。

所述步骤(1)具体是指：

自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型的公式如下：

其中，t是时间，t∈Rⁿ；q是角位移，q∈Rⁿ；

是角速度，

是角加速度，

Rⁿ表示维数为n的自然数集；σ是不确定参数，

代表σ的可能界限是未知有界的；τ为控制输入，τ∈R^m，m<n，m和n表示矩阵维数，m为行，n为列；S是控制系数的矩阵，S∈R^n×m；R^n×m表示n行、m列的自然数矩阵；M(q,σ,t)是惯性矩阵，M(q,σ,t)∈R^n×n；R^n×n表示n行、n列的自然数矩阵；

是科氏项和离心项的矩阵，

G(q,σ,t)是重力项，G(q,σ,t)∈R^n×n；

表示摩擦力和其他外部扰动，

矩阵或者向量M(q,σ,t)，

G(q,σ,t)和

具有适当的维数；

假设函数M(.)，C(.)，G(.)都是连续的，给出如下伺服约束形式：

其中q是位置，t是时间，B_li(·)和d_l(·)都是列向量，把约束条件写成矩阵形式：

B(q,t)＝d(q,t) (3)

B＝[B_li]_m×n,d＝[d₁,d₂,…,d_m]^T,这是零阶形式的约束；

将公式(2)的伺服约束形式对t进行微分，得到：

其中：

将公式(4)的约束条件写成矩阵形式：

这里A＝[A_li]_m×n,c＝[c₁,c₂,…,c_m]^T这是一阶形式约束；

对公式(4)的一阶形式对t进行微分，得到：

其中：

写成矩阵形式：

其中b＝[b₁,b₂,…,b_m]^T为二阶形式约束。

所述步骤(2)具体是指：

基于自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型的公式(1)，假定当t→+∞时q(t)→q_d，不等式约束为q_m<q(t)<q_M，这里q_d是q期望的值，q_m和q_M分别是q的最大值和最小值，然后，通过选择合适的函数α(q)，应用状态转换将状态q无限制地转换为一个新的状态p；

函数p＝α(q)满足当q→q_d时p→p_d以及当q∈(q_m,q_M)时p∈(-∞,+∞)；由于p＝α(q)，有：

q＝α^-1(p) (11)

对公式(11)求一阶导数:

上式写成：

对公式(11)求二阶导数:

上式写成：

将公式(13)和公式(15)代入公式(1)，将动力系统转化为p：

将式(16)写成

得到状态转换后的动力学方程为：

其中，t是时间，t∈Rⁿ；p是状态转换后的坐标，p∈Rⁿ；

状态转换后的速度，

是状态转换后的加速度，

M'(p,σ,t)是状态转换后的惯性矩阵，M'(p,σ,t)∈R^n×n；

是状态转换后的科氏项和离心项的矩阵，

G'(p,σ,t)是状态转换后的重力项，G'(p,σ,t)∈R^n×n；

表示状态转换后的摩擦力和其他外部扰动，

所述步骤(3)具体是指：

假设公式(18)中的矩阵/向量M'、C'、G'、F'分解为:

其中，

表示确定性部分，而ΔM'、ΔC'、ΔG'、ΔF'是对应的不确定部分；假设

这里,函数

ΔM'(·)、ΔC'(·)、ΔG'(·)、ΔF'(·)都是连续的；

令

得到：

所述控制器有以下性能要求：

(3a)对于每个(p,t)∈Rⁿ×R,A(p,t)是满秩的，

是可逆的；

(3b)基于性能要求(3a),对于给定p∈R^m×R，p>0,设

存在一个常数ρ_E>-1使所有(p,t)∈Rⁿ×R,

使得：

这里λ>0；

(3c)有

对所有的

都满足

(3d)存在一个未知常数向量α∈(0,∞)^k和一个已知函数Π(·)

(0,∞)^k×Rⁿ×Rⁿ×R→R₊对所有

(3e)对任意

该函数

都可对α进行线性分解，存在一个函数Π(·)：Rⁿ×Rⁿ×R→R₊使得

综上，设计一种自适应鲁棒控制器：

其中：

这里：

κ>0,κ∈R,

是标量常数

参数

由以下自适应规律给出：

所述步骤(4)具体是指：

给出李雅普诺夫候选函数：

其中，

为所选的李雅普诺夫候选函数，k₁为自适应律参数，参数

由式(29)的自适应规律给出；

对公式(30)进行计算得到：

其中，

最终，得出受控欠驱动机械系统的解满足一致有界性的结论；

这其中，

一致最终有界性由下式表示：

所述步骤(5)具体是指：

针对自平衡电动轮椅欠驱动系统，其动力学具体描述如下：

系统动能为：

系统势能为：

V＝mgl cos(θ(t)) (35)

由拉格朗日动力学方程推导出：

式中，l为轮椅质心到轮毂电机转轴的距离，θ(t)为轮椅角位移，

为轮椅角加速度，m为总质量，则：

系统惯性向量

重力项为

科式力和离心力项

外部扰动或摩擦力

a为轮椅行驶的加速度，加速度以及角度值大小由集成了三轴加速度计和陀螺仪的MPU6050芯片测得，具体计算方法如下：

要计算出车体的倾角，通过重力加速度在其他轴上产生的分量来计算出角度，即测量X轴或Y轴某一轴向的加速度计算出倾角，在传感器静止水平时，X轴与Y轴不会有输出，而在其产生一定的倾角时才会使重力加速度g在X轴或Y轴上产生分量，而且该轴倾斜的角度和重力分量的大小相关；利用C语言中的atan2(x，y)函数，计算X轴与Z轴平面或者Y轴与Z轴平面的当前方位角，同时将其值转化为角度值，计算方法如下：

Angle_X＝atan2(Accel_Y,Accel_Z)*180/PI (38)

Angle_Y＝atan2(Accel_X,Accel_Z)*180/PI (39)

假设测得倾角为θ，则加速度大小为：

a＝sinθ×g+cosθ×a' (40)

其中，a′代表了线加速度与角加速度的和；

假设约束为θ_m<θ<θ_M，所选转换函数为：

将公式(42)代到公式(37)中，得到：

由状态转换方程得到：

系统伺服跟踪控制率如下：

其中：

这里：

κ>0,κ∈R,

是标量常数

参数

由以下自适应规律给出：

将得到的转矩τ作为电流输入，控制电机转速，根据所求参数表达以及求得控制率进行数值仿真，对所设计自适应鲁棒控制器里面主要参数进行调节，主要包括控制参数和自适应率参数，对控制效果进行分析，最后给出结论。

由上述技术方案可知，本发明的有益效果为：本发明同时考虑了非线性不确定系统控制输入和输出的不等式约束，首先，利用状态变换将有界状态转换为新的无界状态，通过选择合适的的函数处理单边和双边不等式约束；其次，通过微分同态将控制输入视为一个边界函数，解决了机械系统中存在的由欠驱动导致的不确定性问题；最后，它是建立在Udwadia控制框架上的，既能很好的解决机械系统中的不确定性问题，同时兼顾了Udwadia控制的优势，可以满足伺服跟踪控制的精度要求。

附图说明

图1为本发明的设计方法流程图；

图2为本发明中自适应鲁棒控制器的结构框图；

图3为本发明的自平衡电动轮椅的整体外观示意图；

图4为本发明的自平衡电动轮椅欠驱动系统的稳定性仿真示意图。

具体实施方式

如图1所示，一种自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法，包括：

(1)建立具有不确定参数的自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型，其公式如下：

并写成二阶微分的形式，以满足伺服约束的要求；

(2)通过状态转换函数，将自平衡电动轮椅欠驱动系统输出由有界状态转换为无界状态，得到状态转换后的动力学方程为：

保证自平衡电动轮椅欠驱动系统输出控制在所设定的期望范围内，并保证控制自平衡电动轮椅欠驱动系统的一致有界性和最终有界性；

(3)针对经过状态转换后的自平衡电动轮椅欠驱动系统中存在的不确定性，设计一种自适应鲁棒控制器；

(4)利用李雅普诺夫方法对自适应鲁棒控制器的一致有界性和最终有界性进行验证；

(5)根据自平衡电动轮椅欠驱动系统进行数值仿真，并对所设计自适应鲁棒控制器的主要参数进行调节；

(6)最后对鲁棒控制器的控制效果进行分析，并给出结论。

所述步骤(1)具体是指：

自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型的公式如下：

其中，t是时间，t∈Rⁿ；q是角位移，q∈Rⁿ；

是角速度，

是角加速度，

Rⁿ表示维数为n的自然数集；σ是不确定参数，

代表σ的可能界限是未知有界的；τ为控制输入，τ∈R^m，m<n，m和n表示矩阵维数，m为行，n为列；S是控制系数的矩阵，S∈R^n×m；R^n×m表示n行、m列的自然数矩阵；M(q,σ,t)是惯性矩阵，M(q,σ,t)∈R^n×n；R^n×n表示n行、n列的自然数矩阵；

是科氏项和离心项的矩阵，

G(q,σ,t)是重力项，G(q,σ,t)∈R^n×n；

表示摩擦力和其他外部扰动，

矩阵或者向量M(q,σ,t)，

G(q,σ,t)和

具有适当的维数；

假设函数M(.)，C(.)，G(.)都是连续的，给出如下伺服约束形式：

其中q是位置，t是时间，B_li(·)和d_l(·)都是列向量，把约束条件写成矩阵形式：

B(q,t)＝d(q,t) (3)

B＝[B_li]_m×n,d＝[d₁,d₂,…,d_m]^T,这是零阶形式的约束；

将公式(2)的伺服约束形式对t进行微分，得到：

其中：

将公式(4)的约束条件写成矩阵形式：

这里A＝[A_li]_m×n,c＝[c₁,c₂,…,c_m]^T这是一阶形式约束；

对公式(4)的一阶形式对t进行微分，得到：

其中：

写成矩阵形式：

其中b＝[b₁,b₂,…,b_m]^T为二阶形式约束。

所述步骤(2)具体是指：

基于自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型的公式(1)，假定当t→+∞时q(t)→q_d，不等式约束为q_m<q(t)<q_M，这里q_d是q期望的值，q_m和q_M分别是q的最大值和最小值，然后，通过选择合适的函数α(q)，应用状态转换将状态q无限制地转换为一个新的状态p；

函数p＝α(q)满足当q→q_d时p→p_d以及当q∈(q_m,q_M)时p∈(-∞,+∞)；由于p＝α(q)，有：

q＝α^-1(p) (11)

对公式(11)求一阶导数:

上式写成：

对公式(11)求二阶导数:

上式写成：

将公式(13)和公式(15)代入公式(1)，将动力系统转化为p：

将式(16)写成

得到状态转换后的动力学方程为：

其中，t是时间，t∈Rⁿ；p是状态转换后的坐标，p∈Rⁿ；

状态转换后的速度，

是状态转换后的加速度，

M'(p,σ,t)是状态转换后的惯性矩阵，M'(p,σ,t)∈R^n×n；

是状态转换后的科氏项和离心项的矩阵，

G'(p,σ,t)是状态转换后的重力项，G'(p,σ,t)∈R^n×n；

表示状态转换后的摩擦力和其他外部扰动，

所述步骤(3)具体是指：

假设公式(18)中的矩阵/向量M'、C'、G'、F'分解为:

其中，

表示确定性部分，而ΔM'、ΔC'、ΔG'、ΔF'是对应的不确定部分；假设

这里,函数

ΔM'(·)、ΔC'(·)、ΔG'(·)、ΔF'(·)都是连续的；

令

得到：

所述控制器有以下性能要求：

(3a)对于每个(p,t)∈Rⁿ×R,A(p,t)是满秩的，

是可逆的；(3b)基于性能要求(3a),对于给定p∈R^m×R，p>0,设

存在一个常数ρ_E>-1使所有(p,t)∈Rⁿ×R,

使得：

这里λ>0；

(3c)有

对所有的

都满足

(3d)存在一个未知常数向量α∈(0,∞)^k和一个已知函数Π(·)

(0,∞)^k×Rⁿ×Rⁿ×R→R₊对所有

(3e)对任意

该函数

都可对α进行线性分解，存在一个函数Π(·)：Rⁿ×Rⁿ×R→R₊使得

综上，设计一种自适应鲁棒控制器：

其中：

这里：

κ>0,κ∈R,

是标量常数

参数

由以下自适应规律给出：

所述步骤(4)具体是指：

给出李雅普诺夫候选函数：

其中，

为所选的李雅普诺夫候选函数，k₁为自适应律参数，参数

由式(29)的自适应规律给出；

对公式(30)进行计算得到：

其中，

最终，得出受控欠驱动机械系统的解满足一致有界性的结论；

这其中，

一致最终有界性由下式表示：

所述步骤(5)具体是指：

针对自平衡电动轮椅欠驱动系统，其动力学具体描述如下：

系统动能为：

系统势能为：

V＝mgl cos(θ(t)) (35)

由拉格朗日动力学方程推导出：

式中，l为轮椅质心到轮毂电机转轴的距离，θ(t)为轮椅角位移，

为轮椅角加速度，m为总质量，则：

系统惯性向量

重力项为

科式力和离心力项

外部扰动或摩擦力

a为轮椅行驶的加速度，加速度以及角度值大小由集成了三轴加速度计和陀螺仪的MPU6050芯片测得，具体计算方法如下：

要计算出车体的倾角，通过重力加速度在其他轴上产生的分量来计算出角度，即测量X轴或Y轴某一轴向的加速度计算出倾角，在传感器静止水平时，X轴与Y轴不会有输出，而在其产生一定的倾角时才会使重力加速度g在X轴或Y轴上产生分量，而且该轴倾斜的角度和重力分量的大小相关；利用C语言中的atan2(x，y)函数，计算X轴与Z轴平面或者Y轴与Z轴平面的当前方位角，同时将其值转化为角度值，计算方法如下：

Angle_X＝atan2(Accel_Y,Accel_Z)*180/PI (38)

Angle_Y＝atan2(Accel_X,Accel_Z)*180/PI (39)

假设测得倾角为θ，则加速度大小为：

a＝sinθ×g+cosθ×a' (40)

其中，a′代表了线加速度与角加速度的和；

假设约束为θ_m<θ<θ_M，所选转换函数为：

将公式(42)代到公式(37)中，得到：

由状态转换方程得到：

系统伺服跟踪控制率如下：

其中：

这里：

κ>0,κ∈R,

是标量常数

参数

由以下自适应规律给出：

将得到的转矩τ作为电流输入，控制电机转速，根据所求参数表达以及求得控制率进行数值仿真，对所设计自适应鲁棒控制器里面主要参数进行调节，主要包括控制参数和自适应率参数，对控制效果进行分析，最后给出结论。在这里，给出结论是指所设计鲁棒控制器能够很好地跟踪预定的轨迹并对自平衡电动轮椅欠驱动系统中的不确定性进行补偿。

分析控制器参数改变对伺服跟踪效果的影响，验证所设计控制器是否满足伺服跟踪精度要求。

具体分析效果如下：

用李雅普诺夫方法验证了系统的一致有界性和一致最终有界性。分析结果，选择控制参数κ>0，自适应律参数k₁>0，k₂>0，常数

则系统是稳定的。但这些参数的取值会影响系统性能。当

时，均匀最终有界区域随着的κ，k₁增大和

k₂的减小而逐渐减小。当

时，均匀最终有界区域随着k₂的增大和κ，k₁的减小而逐渐减小。注意，当

时，κ不影响一致最终有界区域。因此，这些参数的选择是根据具体的机械系统和实际工程要求。

如图2所示，首先，由状态转换后的动力学方程、目标约束、以及假设要求写出系统的名义控制器P1，然后根据系统的误差提出补偿初始条件不相容问题的控制器P2,再根据通过设计自适应律提出补偿系统不确定性的控制器p3。

如图3所示，用两个平衡轮进行驱动，拥有结构简单，成本低，转弯半径小，操控灵活等优点。

如图4所示，通过仿真示意图可以看出实际的轨迹近似于期望的轨迹。由于初始条件偏离轨迹约束，导致跟踪误差较大。一段时间后，通过所提出的控制，跟踪误差变小并收敛到零，验证了本发明所设计控制器的优越性。

综上所述，为了解决所提欠驱动系统中存在的不确定性问题，本发明从约束跟随的角度提出了一种新的自适应鲁棒控制方法。这些不确定性通常是(可能是快速的)时变的，它们是未知的，但有限的；然而，边界是已知的，通过状态不等式转换将有界状态转换为新的无界状态，理论分析和数值仿真验证了补偿控制不确定性的有效性。理论分析表明，该控制能够保证系统的一致有界性和一致最终有界性，算例的数值仿真结果表明，该控制能够很好地跟踪预定的训练轨迹并补偿不确定性。

Claims (4)

1.一种自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法，其特征在于：包括：

(1)建立具有不确定参数的自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型，其公式如下：

并写成二阶微分的形式，以满足伺服约束的要求；

(2)通过状态转换函数，将自平衡电动轮椅欠驱动系统输出由有界状态转换为无界状态，得到状态转换后的动力学方程为：

保证自平衡电动轮椅欠驱动系统输出控制在所设定的期望范围内，并保证控制自平衡电动轮椅欠驱动系统的一致有界性和最终有界性；

(3)针对经过状态转换后的自平衡电动轮椅欠驱动系统中存在的不确定性，设计一种自适应鲁棒控制器；

(4)利用李雅普诺夫方法对自适应鲁棒控制器的一致有界性和最终有界性进行验证；

(5)根据自平衡电动轮椅欠驱动系统进行数值仿真，并对所设计自适应鲁棒控制器的主要参数进行调节；

(6)最后对鲁棒控制器的控制效果进行分析，并给出结论；

所述步骤(2)具体是指：

基于自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型的公式(1)，假定当t→+∞时q(t)→q_d，不等式约束为q_m<q(t)<q_M，这里q_d是角位移q期望的值，q_m和q_M分别是角位移q的最大值和最小值，然后，通过选择合适的函数α(q)，应用状态转换将状态q无限制地转换为一个新的状态p；

函数p＝α(q)满足当q→q_d时p→p_d以及当q∈(q_m,q_M)时p∈(-∞,+∞)；由于p＝α(q)，有：

q＝α^-1(p) (11)

对公式(11)求一阶导数:

上式写成：

对公式(11)求二阶导数:

上式写成：

将公式(13)和公式(15)代入公式(1)，将动力系统转化为p：

将式(16)写成

得到状态转换后的动力学方程为：

其中，t是时间，t∈Rⁿ；p是状态转换后的坐标，p∈Rⁿ；

状态转换后的速度，

是状态转换后的加速度，

σ是不确定参数，

代表σ的可能界限是未知有界的；τ为控制输入力矩，τ∈R^m，m<n，m和n表示矩阵维数，m为行，n为列；S是控制系数的矩阵，S∈R^n×m；R^n×m表示n行、m列的自然数矩阵；M'(p,σ,t)是状态转换后的惯性矩阵，M'(p,σ,t)∈R^n×n；

是状态转换后的科氏项和离心项的矩阵，

G'(p,σ,t)是状态转换后的重力项，G'(p,σ,t)∈R^n×n；

表示状态转换后的摩擦力和其他外部扰动，

所述步骤(5)具体是指：

针对自平衡电动轮椅欠驱动系统，其动力学具体描述如下：

系统动能为：

系统势能为：

V＝mglcos(θ(t)) (35)

由拉格朗日动力学方程推导出：

式中，l为轮椅质心到轮毂电机转轴的距离，θ(t)为轮椅角位移，

为轮椅角加速度，m为总质量，则：

系统惯性向量

重力项为

科式力和离心力项

外部扰动或摩擦力

a为轮椅行驶的加速度，加速度以及角度值大小由集成了三轴加速度计和陀螺仪的MPU6050芯片测得，具体计算方法如下：

要计算出车体的倾角，通过重力加速度在其他轴上产生的分量来计算出角度，即测量X轴或Y轴某一轴向的加速度计算出倾角，在传感器静止水平时，X轴与Y轴不会有输出，而在其产生一定的倾角时才会使重力加速度g在X轴或Y轴上产生分量，而且该轴倾斜的角度和重力分量的大小相关；利用C语言中的atan2(x，y)函数，计算X轴与Z轴平面或者Y轴与Z轴平面的当前方位角，同时将其值转化为角度值，计算方法如下：

Angle_X＝atan2(Accel_Y,Accel_Z)*180/PI (38)

Angle_Y＝atan2(Accel_X,Accel_Z)*180/PI (39)

假设测得倾角为θ，则加速度大小为：

a＝sinθ×g+cosθ×a' (40)

其中，a′代表了线加速度与角加速度的和；

假设约束为θ_m<θ<θ_M，所选转换函数为：

将公式(42)代到公式(37)中，得到：

由状态转换方程得到：

系统伺服跟踪控制率如下：

其中：

其中，S是控制系数的矩阵，S∈R^n×m；R^n×m表示n行、m列的自然数矩阵；λ为常数，λ>0；

这里：

κ>0,κ∈R,

是标量常数

参数

由以下自适应规律给出：

将得到的转矩τ作为电流输入，控制电机转速，根据所求参数表达以及求得控制率进行数值仿真，对所设计自适应鲁棒控制器里面主要参数进行调节，主要包括控制参数和自适应率参数，对控制效果进行分析，最后给出结论。

2.根据权利要求1所述的自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(1)具体是指：

自平衡电动轮椅欠驱动系统的动力学模型的公式如下：

其中，t是时间，t∈Rⁿ；q是角位移，q∈Rⁿ；

是角速度，

是角加速度，

Rⁿ表示维数为n的自然数集；σ是不确定参数，

代表σ的可能界限是未知有界的；τ为控制输入，τ∈R^m，m<n，m和n表示矩阵维数，m为行，n为列；S是控制系数的矩阵，S∈R^n×m；R^n×m表示n行、m列的自然数矩阵；M(q,σ,t)是惯性矩阵，M(q,σ,t)∈R^n×n；R^n×n表示n行、n列的自然数矩阵；

是科氏项和离心项的矩阵，

G(q,σ,t)是重力项，G(q,σ,t)∈R^n×n；

表示摩擦力和其他外部扰动，

矩阵或者向量M(q,σ,t)，

G(q,σ,t)和

具有适当的维数；

假设函数M(.)，C(.)，G(.)都是连续的，给出如下伺服约束形式：

其中q是角位移，t是时间，B_li(·)和d_l(·)都是列向量，把约束条件写成矩阵形式：

B(q,t)＝d(q,t) (3)

B＝[B_li]_m×n,d＝[d₁,d₂,…,d_m]^T,这是零阶形式的约束；

将公式(2)的伺服约束形式对t进行微分，得到：

其中：

将公式(4)的约束条件写成矩阵形式：

这里A＝[A_li]_m×n,c＝[c₁,c₂,…,c_m]^T这是一阶形式约束；

对公式(4)的一阶形式对t进行微分，得到：

其中：

写成矩阵形式：

其中b＝[b₁,b₂,…,b_m]^T为二阶形式约束。

3.根据权利要求1所述的自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(3)具体是指：

假设公式(18)中的矩阵/向量M'、C'、G'、F'分解为:

其中，

表示确定性部分，而ΔM'、ΔC'、ΔG'、ΔF'是对应的不确定部分；t是时间，t∈Rⁿ；p是状态转换后的坐标，p∈Rⁿ；

是状态转换后的角速度，

σ是不确定参数，

代表σ的可能界限是未知有界的；S是控制系数的矩阵，S∈R^n×m；R^n×m表示n行、m列的自然数矩阵；假设

这里,函数

ΔM'(·)、ΔC'(·)、ΔG'(·)、ΔF'(·)都是连续的；

令

得到：

所述控制器有以下性能要求：

(3a)对于每个(p,t)∈Rⁿ×R,A(p,t)是满秩的，

是

可逆的；

(3b)基于性能要求(3a),对于给定p∈R^m×R，p>0,设

存在一个常数ρ_E>-1使所有(p,t)∈Rⁿ×R,

使得：

这里λ>0；

代表σ的可能界限是未知有界的；

(3c)有

对所有的

都满足

(3d)存在一个未知常数向量α∈(0,∞)^k和一个已知函数Π(·)(0,∞)^k×Rⁿ×Rⁿ×R→R₊对所有

σ∈∑

(3e)对任意

该函数

都可对α进行线性分解，存在一个函数Π(·)：Rⁿ×Rⁿ×R→R₊使得

综上，设计一种自适应鲁棒控制器：

其中：

这里：

其中，κ和

是标量常数，κ>0,κ∈R,

参数

由以下自适应规律给出：

k₁，k₂表示自适应参数，k₁，k₂>0，k₁，k₂∈R。

4.根据权利要求1所述的自平衡电动轮椅欠驱动系统跟踪控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(4)具体是指：

给出李雅普诺夫候选函数：

其中，

为所选的李雅普诺夫候选函数，k₁为自适应律参数，α为未知常数向量，α∈(0,∞)^k；参数

由自适应规律

给出，

参数

由式(29)的自适应规律给出；

对公式(30)进行计算得到：

其中，

其中，κ和

是标量常数，κ>0，κ∈R，

最终，得出受控欠驱动机械系统的解满足一致有界性的结论；

这其中，

一致最终有界性由下式表示：

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