CN108942928A - 一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统。所述欠驱动柔性机械臂系统采用约束力鲁棒伺服控制方法控制所述欠驱动柔性机械臂系统的机械臂。所述约束力鲁棒伺服控制方法在Udwadia和Kalaba的基本框架下，得到了可以应用在控制器设计中的约束力闭环形式，这对于伺服约束是可行的。另外，通过嵌入一个虚拟控制，将整个系统分成了两个子系统，再通过类Udwadia‑Kalaba控制部分控制方法和鲁棒控制部分控制方法，使得连杆角度近似的跟随给定的约束，同时保证了系统的一致边界性和整个系统的一致最终边界性能。

Description

一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统

技术领域

本发明涉及伺服控制方法领域，尤其涉及一种欠驱动柔性机械臂系统，特 别是一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统。

背景技术

柔性关节机械臂被广泛的应用于工业领域中，作为一个有力的助手，机械 臂可以为我们快速而精确地承担一系列的工作，例如定位和轨迹跟踪等。在实 际情况中，机械臂结构被要求遵循确定的约束。所谓的约束主要分为两类：被 动约束和伺服约束。

对于被动约束，周围环境可以产生所需要的约束力来限制运动。一般认为， 我们所未知的不确定性因素仍然是系统的一部分，而且整个系统包含所有不确 定性的信息。因此，不确定性可以通过系统本身完全的解决。基于这些前提条 件，许多学者为了确保系统服从这些约束规律已经做出了出色的研究。

然而伺服约束问题却没有得到充分的研究，部分原因是由于难以获得约束 力。我们知道，约束具有不同的形式并且有些形式是不完整的，这使得约束方 程不可积分。此外柔性关节机械臂系统拥有比它的自由度数目更少的输入，换 句话说，这是欠驱动的。因此，很难进行约束力的精确描述。

发明内容

本发明提供了一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统，所 述欠驱动柔性机械臂系统采用约束力鲁棒伺服控制方法控制所述欠驱动柔性机 械臂系统的机械臂，所述方法在Udwadia和Kalaba的基本框架下，通过嵌入一 个虚拟控制，将整个系统分成了两个子系统，再通过类Udwadia-Kalaba控制部 分控制方法和鲁棒控制部分控制方法，使得连杆角度近似的跟随给定的约束。

本发明采用以下技术方案实现：一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔 性机械臂系统，其采用欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法控制 所述欠驱动柔性机械臂系统的机械臂，所述约束力鲁棒伺服控制方法包括以下 步骤：

步骤(1)，提供带有约束的欠驱动柔性机械臂系统的动力学方程：

其中，M代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，C代表着所述 机械臂的离心力，G代表所述机械臂的重力，K代表所述机械臂的弹性系数，q₁代表所述机械臂的连杆角度矢量；q₂代表所述机械臂的关节角度矢量，为q₁的 一阶求导，为q₁的二阶求导，J代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u 代表所述机械臂的电机的输入力，为q₂的二阶求导；

步骤(2)，引入虚拟控制变量u₁，设x₂＝q₂-u₁，将所述动力 学方程转换成：

其中，

步骤(3)，令系统的虚拟控制u₁，满足如下公式：

u₁＝p₁₁+p₁₂+p₁₃ 式(4.9)

其中，p₁₁，p₁₂，p₁₃分别代表虚拟控制u₁的分量，p₁₁代表理想约束控制部 分，p₁₂代表稳定性收敛控制部分，p₁₃代表鲁棒控制部分；

p₁₁，p₁₂，p₁₃的获取过程包括以下步骤：

(3.1)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₁，满足如下公式：

其中，A代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，代表M的名义部 分，代表C的名义部分，代表G的名义部分，b₁代表系统二阶约束目标值， 这里上标+代表Moore-Penrose广义逆矩阵；

(3.2)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₂，满足如下公式：

其中，γ₁为对应控制器分量p₁₂的正增益参数，A^T代表矩阵A的转置，P为任意 n×n的正定矩阵，P^-1为矩阵P的逆矩阵，c₁代表系统一阶约束目标值；

(3.3)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₃，满足如下公式：

其中μ₁代表调整式(3.4)的控制饱和区域大小的参数，Ф₁代表正增益参数， ρ₁代表式(3.4)中含有的不确定性和外界干扰的最大边界估计值；

步骤(4)，令系统的控制u，满足如下公式：

其中，K_p代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，S代表带有对应维数的 对角正定增益矩阵，K_d代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表K的名 义部分，代表J的名义部分；

这里μ₂＝(x₃+Sx₂)ρ₂，p₂代表一个标量函数，ρ₂：R²ⁿ×Rⁿ×Rⁿ→R₊，R代表实 数，ε₂>0。

作为上述方案的进一步改进，所述控制方法存在不确定边界的幅值影响， 所述幅值影响采用平均控制力描述：

分别定义两个参数平均控制力的 表达式如下：

其中Δm_1,2(t)＝0.3|sin(5t)|，Δk_1,2(t)＝0.4|cos(5t)|，t代表控制介入的时间， T表示控制介入的总时间，平均控制力随着不同的的结合状况而变化， 在接近0.1和接近0.4时，平均控制力达到最大峰值。

作为上述方案的进一步改进，设计方程(3.4)和(3.5)组合系统的边界性 能：

(I)一致边界性：对于任意给定的正数r>0存在一个以r为自变量的函数 d(r)<∞，使得对于系统状态方程的任意一个解X(·)，若t₀时刻||X(t₀)||≤r，对 于所有的时刻t≥t₀，有||X(t)||≤d(r)。

(II)一致最终边界：对于任意的r>0且||X(t₀)||≤r，存在一个正数d>0， 使得当时，其中代表与和r相关的标 量函数。

(III)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解X(·)，有

本发明还提供了另一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系 统，其采用欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法控制所述欠驱动 柔性机械臂系统的机械臂，所述约束力鲁棒伺服控制方法包括以下步骤：

(I)对于一个给定的A，选择一个P，并且对于计算λ_A， 其中，若系统的维度数是n，约束条件数是m，且m小于等于n，则A代表欠 驱动柔性机械臂系统的维度为m×n的约束条件矩阵，P为任意n×n的正定矩阵， λ_A为设计过程中间参数，取值由决定，M代表欠驱动柔性 机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，K代表所述机械臂的弹性系数；

(II)基于选择γ₁，根据式(4.5)和式(4.6)获得p₁₁,p₁₂，其 中，γ₁为对应控制器分量p₁₂的正增益参数；

(III)对于给定的ε₁>0选择一个边界函数ρ₁(·)，然后通过式(4.13)获得 p₁₃；

(IV)选择K_p,S使得其中，K_p代表对应维数的正定增益矩 阵，S代表对应维数的正定增益矩阵，代表K_p的最大特征值；

(V)对于一个给定的ε₂>0，选择K_d,ρ₂(·)，通过式(4.15)获得欠驱动 柔性机械臂系统的实际的控制输入，其中，K_d代表带有对应维数的对角正定增 益矩阵。

本发明的欠驱动柔性机械臂系统，其采用的约束力鲁棒伺服控制方法的控 制任务是驱动系统近似的跟踪给定的约束，给定的控制器基于可能的边界不确 定性，通过引入一个虚拟控制μ₁，把最初的系统转变为连杆角度子系统和节点 角度子系统。通过使用Udwadia-Kalaba方程，获得了约束力的闭环形式，该形 式可以应用到控制设计中。所提出的控制率使得连杆角度子系统满足约束的要 求，同时使得系统状态一致有界和一致最终有界。

附图说明

图1为本发明欠驱动柔性机械臂系统的两连杆柔性关节机械手的结构示意 图。

图2为本发明欠驱动柔性机械臂系统受到约束条件限制的子系统的性能与名义控制性能的比较曲线图。

图3为图1中连杆角速度和的跟踪轨迹图。

图4为名义控制与鲁棒控制输出力的大小||μ||的比较示意图。

图5为受到约束的本发明欠驱动柔性机械臂系统的整体性能图。

图6为边界不确定性与平均控制力之间的关系示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合具体实施 例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用 以解释本发明，并不用于限定本发明。

根据给定的欠驱动柔性机械臂系统：

M代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，C代表着所述机械臂 的离心力，g代表所述机械臂的重力，K代表所述机械臂的弹性系数，q₁代表 所述机械臂的连杆角度矢量，q₂代表所述机械臂的关节角度矢量，为q₁的一 阶求导，为q1的二阶求导，J代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵，u 代表所述机械臂的电机的输入力，为q2的二阶求导。

针对系统受到的下面形式的约束：

是的第i个元素.A_li(·)和c_l(·)都属于C¹，m≤n，他们是一阶形式的约 束。这些约束一般来说可能并不可积分并且是不完整的。这些约束可以用矩阵 的形式表达：

其中A＝[A_li]_m×n，c＝[c₁ c₂ … c_m]^T，

有两种方式解释这个约束，第一种方式，它们可能是被动地，那就是为了 遵从约束规则，环境(或者说是结构)可以为系统提供约束力。第二种方式， 它们可能是主动地，系统控制输入提供所需要的力以至于约束可以满足。本发 明中，采用第二种方式。

我们现在把一阶形式转化为二阶形式，并且对约束方程式(2.2)关于t微分 得到式(2.4)

式(2.4)中，二阶形式的约束可以重新写为式(2.8)

其中b＝[b₁ b₂ … b_m]^T，

假设1.对于每一个(q,t)∈Rⁿ×R,σ∈Σ,M(q,σ,t)>0

定义1.对于给定的A和b，如果至少存在一个解则式(2.8)中的约束被认 为是一致的。

假设2.式(2.8)中的约束是一致的。

定理1(Udwadia and Kalaba).考虑系统方程(2.1)和约束方程(2.8)隶属于假设1和假设2，获得约束力方程式(2.9)

服从达朗贝尔原理的拉格朗日形式，并且使得系统满足约束。这里上标+ 代表Moore-Penrose广义逆矩阵。

1、欠驱动柔性机械臂系统的系统模型的建立

我们看一下欠驱动柔性机械臂系统，可以用下面的方程来描述：

其中，M代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，C代表着所述 机械臂的离心力，G代表所述机械臂的重力，K代表所述机械臂的弹性系数，q₁代表所述机械臂的连杆角度矢量；q₂代表所述机械臂的关节角度矢量，为q₁的 一阶求导，为q1的二阶求导，J代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u 代表所述机械臂的电机的输入力，为q2的二阶求导。

我们提出两阶方法设计鲁棒控制器。首先式(3.1)的第一部分可以改写为 下面的方程形式

u₁是嵌入进入该系统的摩擦部分，并且只是用来设计该系统的实际控制部 分。当引入u₁时，该系统可以分成两部分，(i)连杆角度子系统(ii)关节角度子系 统，每个系统有它自己的控制输入和控制目标。第一个子系统由u₁来控制，该 控制是虚拟的。第二个子系统由u来控制，这是实际的控制。

其次，通过把K乘到方程式(3.3)的两边，让x₂＝q₂-u₁，

将所述动力学方程转换成：

其中，

2、鲁棒伺服控制器设计

当我们设计u₁和u时，如果考虑不确定性，这会妨碍我们使用M，C，K和 G的精确信息，因此我们把G J和K做如下分解

这里和代表名义部分，ΔM,ΔC,ΔG,ΔJ和ΔK代表不确定性部分。在工程应用中，机械臂常用来定位一个目标或者跟踪一个给定的轨迹。执行器 通常固定在连杆上，连杆角度的性能是我们控制的目的。我们使子系统去跟踪 预先指定的约束，因为整个系统可被视为两个子系统的级联，我们首先为式(3.4) 系统定义虚拟控制u₁。

假设AAT是可逆的，对于给定的正定矩阵P∈R^m×m,P>0，定义矩阵

其中，矩阵I为具有对应维数的单位矩阵；

此外，存在一个常量(可能未知)ρ_E>-1，使得对于所有的(q₁,t)∈Rⁿ×R

其中，λ_m为矩阵W+W^T的最小特征值；

备注：常量ρ_E一般是未知的，因为不确定性边界是未知的。在这种特殊的 情况(无不确定性)，E＝0,W＝0因此我们可以选择因此根据连续 性，该假设把不确定性的影响加在了M和的偏差上，使得偏差在一定的阈值 范围。我们在此强调此阈值是单向的(那就是，在一个方向上是没有边界的)。 让

为了构造虚拟控制u₁(t)，让我们选择一个标量函数ρ₁:Rⁿ×Rⁿ→R₊，

ρ₁≥(1+ρ_E)^-1||φ₁|| 式(4.7)

u₁＝p₁₁+p₁₂+p₁₃ 式(4.9)

其中，p₁₁，p₁₂，p₁₃分别代表虚拟控制u₁的分量，p₁₁代表理想约束控制部 分，p₁₂代表稳定性收敛控制部分，p₁₃代表鲁棒控制部分；

控制任务是连杆子系统问题的近似约束力伺服控制，这也意味着可能这可能由于未建模的不确定性或者外部扰动引起的。工程中不 可能得到式(2.9)中Q^c的精确值。与此同时，系统最初的状态可能会远离给 定的约束。为了在给定S＝[S_i]_n×n，S_i>0,i＝1,2,···n的情况下给出控制转矩u的表 达式，我们首先选择一个标量函数ρ₂:R²ⁿ×Rⁿ×Rⁿ→R₊，我们提出如下形式的 实际输入转矩u(t)：

其中

这里μ₂＝(x₃+Sx₂)ρ₂,K_p,K_d为带有对应维数的对角正定增益矩阵。

定理2假设和根据式(4.9)，设计式(3.4)和式(3.5)组合系统的边界性能：

(I)一致边界性：对于任意给定的正数r>0存在一个以r为自变量的函数 d(r)<∞，使得对于系统状态方程的任意一个解X(·)，若t₀时刻||X(t₀)||≤r，对 于所有的时刻t≥t₀，有||X(t)||≤d(r)。

(II)一致最终边界：对于任意的r>0且||X(t₀)||≤r，存在一个正数d>0， 使得当时，其中代表与和r相关的标 量函数。

(III)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解X(·)，有证明过程如下：

选择的李雅普诺夫如下

V(X)＝V₁(x₁)+V₂(x₂,x₃), 式(4.17)

那么得到

其中

d(r)表示如下

此外，最终一致边界性能如下

对于一个给定的

一致最终边界球的半径由d来决定，当R接近0是，d接近0。那也就是意味 着ε₁和ε₂都接近于0。因此如果ε_1,2→0，那么d→0。

3、欠驱动柔性机械臂系统基于约束力鲁棒伺服控制，其控制设计过程可以总结为如下步奏：

(I)对于一个给定的A，选择一个P，并且对于计算λ_A， 其中，A代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件，P为任意n×n的正定矩阵，λ_A为设计过程中间参数，取值由决定，M代表欠驱动柔性机 械臂系统的机械臂的惯量矩阵，K代表所述机械臂的弹性系数。

(II)基于选择γ₁，根据式(4.5)和式(4.6)获得p₁₁,p₁₂，其 中，γ₁为对应p₁₂的正增益参数。

(III)对于给定的ε₁>0选择一个边界函数ρ₁(·)，然后通过式(4.13)获得 p₁₃。

(IV)选择K_p,S使得其中，K_p代表对应维数的对角正定增 益矩阵，S代表对应维数的对角正定增益矩阵，代表K_p的最大特征值。

(V)对于一个给定的ε₂>0，选择K_d,ρ₂(·)，通过式(4.15)获得欠驱动 柔性机械臂系统的实际的控制输入，其中，K_d代表带有对应维数的对角正定增 益矩阵。

通过分析，系统的一致稳定性可以通过所提出的控制规律来保证。当ε₁→0 时和ε₂→0，一致最终边界球的尺寸最终趋近于0。然而，这也会导致p₁₂、p₁₃项值的增加。总而言之，通过更大的控制努力，可以实现更好的控制。对于实 际的应用，控制代价是由机械系统本身或者经济原因所限制。因此，设计者更 希望通过优化控制参数来实现所要求的控制性能。

欠驱动柔性机械臂系统应用的约束力鲁棒伺服控制方法包括以下步骤：

步骤(1)，提供带有约束的欠驱动柔性机械臂系统的动力学方程：

其中，M代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，C代表着所述 机械臂的离心力，G代表所述机械臂的重力，K代表所述机械臂的弹性系数，q₁代表所述机械臂的连杆角度矢量；q₂代表所述机械臂的关节角度矢量，为q₁的 一阶求导，为q₁的二阶求导，J代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u 代表所述机械臂的电机的输入力，为q₂的二阶求导；

步骤(2)，引入虚拟控制变量u₁，设x₂＝q₂-u₁，将所述动力 学方程转换成：

其中，

步骤(3)，令系统的虚拟控制u₁，满足如下公式：

u₁＝p₁₁+p₁₂+p₁₃ 式(4.9)

其中，p₁₁，p₁₂，p₁₃分别代表虚拟控制u₁的分量，p₁₁代表理想约束控制部 分，p₁₂代表稳定性收敛控制部分，p₁₃代表鲁棒控制部分；

p₁₁，p₁₂，p₁₃的获取过程包括以下步骤：

(3.1)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₁，满足如下公式：

其中，A代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，代表M的名义部 分，代表C的名义部分，代表G的名义部分，b₁代表系统二阶约束目标值， 这里上标+代表Moore-Penrose广义逆矩阵；

(3.2)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₂，满足如下公式：

其中，γ₁为对应控制器分量p₁₂的正增益参数，A^T代表矩阵A的转置，P 为任意n×n的正定矩阵，P^-1为矩阵P的逆矩阵，c₁代表系统一阶约束目标值；

(3.3)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₃，满足如下公式：

其中μ₁代表调整式(3.4)的控制饱和区域大小的参数，Ф₁代表正增益参数， ρ₁代表式(3.4)中含有的不确定性和外界干扰的最大边界估计值；

步骤(4)，令系统的控制u，满足如下公式：

其中，K_p代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，S代表带有对应维数的 对角正定增益矩阵，K_d代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表K的名 义部分，代表J的名义部分；

这里μ₂＝(x₃+Sx₂)ρ₂，p₂代表一个标量函数，ρ₂：R²ⁿ×Rⁿ×Rⁿ→R₊，R代表实 数，ε₂>0。

所述控制方法存在不确定边界的幅值影响，所述幅值影响采用平均控制力 描述：

分别定义两个参数平均控制力的 表达式如下：

其中Δm_1,2(t)＝0.3|sin(5t)|，Δk_1,2(t)＝0.4|cos(5t)|，t代表控制介入的时间， T表示控制介入的总时间，平均控制力随着不同的的结合状况而变化， 在接近0.1和接近0.4时，平均控制力达到最大峰值。

设计方程(3.4)和(3.5)组合系统的边界性能：

(I)一致边界性：对于任意给定的正数r>0存在一个以r为自变量的函数 d(r)<∞，使得对于系统状态方程的任意一个解X(·)，若t₀时刻||X(t₀)||≤r，对 于所有的时刻t≥t₀，有||X(t)||≤d(r)。

(II)一致最终边界：对于任意的r>0且||X(t₀)||≤r，存在一个正数d>0， 使得当时，其中代表与和r相关的标 量函数。

(III)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解X(·)，有

通过分析，系统的一致稳定性可以通过所提出的控制规律来保证。当 ε_1,2→0时，一致最终边界球的尺寸最终趋近于0。然而，这也会导致p₁₂、p₂项 值的增加。这样可以实现更好的控制性能。

4、举例说明

请参阅图1我们采用欠驱动柔性机械臂系统的一个两连杆的柔性关节机械 手去验证所提出的控制方法的有效性。连杆角度矢量q₁＝[q⁽²⁾ q⁽⁴⁾]^T,关节角度矢 量[q⁽¹⁾ q⁽³⁾]^T,m₁和m₂是连杆的质量。l₁是第一连杆1的长度，l₂是第二连杆2的 长度，l_c1和l_c2分别是两根连杆长度的一半(假设质量在连杆上是均匀分布的)， g是重力加速度常量。系统模型如下

其中

所有的惯性矩阵元素由下面的方程确定其边界

为了简便，我们要求连杆角速度满足下面的约束：

意味着

A＝[1 1],c＝0,b＝0. 3.8

我们考虑质量的不确定性和K,

这里，Δm_1,2(t),Δk_1,2(t)是未知的，但是估计他们的边界到是可能的。

通过

g＝9.81,s₁＝s₂＝1,ω＝1,P＝2,ε₁＝ε₂＝0.1,k_d1＝k_d2＝2

Δm_1,2(t)＝0.3|sin(5t)|,Δk_1,2(t)＝0.4|cos(5t)|这些参数，我们可以得到

请参阅图2，图2显示了采用式(2.2)的约束系统的性能与名义控制下的性能比较的曲线图，这与类Udwadia-Kalaba控制的渐进收敛相 呼应。通过使用所提出的控制方法，在2秒之前的一个确定时刻，系统的性能满 足约束的要求。然而名义控制并不能收敛到0附近的区域。

请参阅图3，图3分别给出了连杆角速度和的跟踪轨迹图。

请参阅图4，图4给出了名义控制与鲁棒控制输出力的大小||μ||的比较示意 图，很明显，尽管在系统性能结果中有很大的不同，名义控制还是要比鲁棒控 制花费的代价大得多。

请参阅图5，图5给出了受到约束的本发明欠驱动柔性机械臂系统的整体性 能图。

请参阅图6，图6给出了边界不确定性与平均控制力之间的关系示意图， 为了去描述本实施例中不确定边界的幅值影响，我们分别定义两个参数 的表达式如下

其中Δm_1,2(t)＝0.3|sin(5t)|，Δk_1,2(t)＝0.4|cos(5t)|，t代表控制介入的时间， T表示控制介入的总时间，平均控制力随着不同的的结合状况而变化， 在接近0.1和接近0.4时，平均控制力达到最大峰值。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言， 可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变 化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (4)

1.一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统，其特征在于，其采用约束力鲁棒伺服控制方法控制所述欠驱动柔性机械臂系统的机械臂，所述约束力鲁棒伺服控制方法包括以下步骤：

步骤(1)，提供带有约束的欠驱动柔性机械臂系统的动力学方程：

其中，M代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，C代表着所述机械臂的离心力，G代表所述机械臂的重力，K代表所述机械臂的弹性系数，q₁代表所述机械臂的连杆角度矢量；q₂代表所述机械臂的关节角度矢量，为q₁的一阶求导，为q1的二阶求导，J代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u代表所述机械臂的电机的输入力，为q₂的二阶求导；

步骤(2)，引入虚拟控制变量u₁，设x₂＝q₂-u₁，将所述动力学方程转换成：

其中，

步骤(3)，令系统的虚拟控制u₁，满足如下公式：

u₁＝p₁₁+p₁₂+p₁₃ 式(4.9)

其中，p₁₁，p₁₂，p₁₃分别代表虚拟控制u₁的分量，p₁₁代表理想约束控制部分，p₁₂代表稳定性收敛控制部分，p₁₃代表鲁棒控制部分；

p₁₁，p₁₂，p₁₃的获取过程包括以下步骤：

(3.1)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₁，满足如下公式：

其中，A代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，代表M的名义部分，代表C的名义部分，代表G的名义部分，b₁代表系统二阶约束目标值，这里上标+代表Moore-Penrose广义逆矩阵；

(3.2)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₂，满足如下公式：

其中，γ₁为对应控制器分量p₁₂的正增益参数，A^T代表矩阵A的转置，P为任意n×n的正定矩阵，P^-1为矩阵P的逆矩阵，c₁代表系统一阶约束目标值；

(3.3)令系统的虚拟控制u₁的分量p₁₃，满足如下公式：

其中μ₁代表调整式(3.4)的控制饱和区域大小的参数，Ф₁代表正增益参数，ρ₁代表式(3.4)中含有的不确定性和外界干扰的最大边界估计值；

步骤(4)，令系统的控制u，满足如下公式：

其中，K_p代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，S代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，K_d代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表K的名义部分，代表J的名义部分；

这里μ₂＝(x₃+Sx₂)ρ₂，p₂代表一个标量函数，ρ₂：R²ⁿ×Rⁿ×Rⁿ→R₊，R代表实数，ε₂>0。

2.如权利要求1所述的基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统，其特征在于，所述控制方法存在不确定边界的幅值影响，所述幅值影响采用平均控制力描述：

分别定义两个参数平均控制力的表达式如下：

其中△m_1,2(t)＝0.3|sin(5t)|，△k_1,2(t)＝0.4|cos(5t)|，t代表控制介入的时间，T表示控制介入的总时间，平均控制力随着不同的的结合状况而变化，在接近0.1和接近0.4时，平均控制力达到最大峰值。

3.如权利要求1所述的基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统，其特征在于，设计方程式(3.4)和式(3.5)组合系统的边界性能：

(I)一致边界性：对于任意给定的正数r>0存在一个以r为自变量的函数d(r)<∞，使得对于系统状态方程的任意一个解X(·)，若t₀时刻||X(t₀)||≤r，对于所有的时刻t≥t₀，有||X(t)||≤d(r)；

(II)一致最终边界：对于任意的r>0且||X(t₀)||≤r，存在一个正数d>0，使得当时，其中代表与和r相关的标量函数；

(III)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解X(·)，有

4.一种基于约束力鲁棒伺服控制的欠驱动柔性机械臂系统，其特征在于，其采用约束力鲁棒伺服控制方法控制所述欠驱动柔性机械臂系统的机械臂，所述约束力鲁棒伺服控制方法包括以下步骤：

(I)对于一个给定的A，选择一个P，并且对于计算λ_A，其中，若系统的维度数是n，约束条件数是m，且m小于等于n，则A代表欠驱动柔性机械臂系统的维度为m×n的约束条件矩阵，P为任意n×n的正定矩阵，λ_A为设计过程中间参数，取值由决定，M代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，K代表所述机械臂的弹性系数；

(II)基于选择γ₁，如权利要求1所述的欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法中的式(4.5)和式(4.6)获得p₁₁,p₁₂，其中，γ₁为对应控制器分量p₁₂的正增益参数；

(III)对于给定的ε₁>0选择一个边界函数ρ₁(·)，然后通过如权利要求1所述的欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法中的式(4.10)，获得p₁₃；

(IV)选择K_p,S使得其中，K_p代表对应维数的正定增益矩阵，S代表对应维数的正定增益矩阵，代表K_p的最大特征值；

(V)对于一个给定的ε₂>0，选择K_d,ρ₂(·)，通过如权利要求1所述的欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法中的式(4.15)，获得欠驱动柔性机械臂系统的实际的控制输入，其中，K_d代表带有对应维数的对角正定增益矩阵。