CN113032925B - 一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法 - Google Patents

一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，该方法主要包括：提炼可引起柔性机械臂共振的持续参数激励；对实际模型做合理假设，将柔性臂杆关节持续变化的参数视为参数激励；计入柔性机械臂敏感方向的变形，对柔性机械臂做离散化处理；建立含参激共振吸振器的柔性机械臂非线性动力学模型；基于模态交互原理构造参激共振吸振器控制方程；对动力学模型做归一化处理，求稳态响应的近似解析解；对参激共振吸振器工作状态分类讨论，求解非耦合稳态响应与耦合稳态响应，并对其稳定性进行分析；最后分析吸振器控制系数对参激共振的影响，选取最佳控制系数，从而达到抑制柔性机械臂参激共振的目的。

Description

一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法
技术领域
本发明涉及一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其结合非线性理论，构造柔性机械臂和参激共振吸振器的动力学模型，使柔性机械臂的参激共振能量通过能量交换通道转移到参激共振吸振器中，并由吸振器的阻尼耗散，从而有效地控制柔性机械臂的参激共振响应。
背景技术
随着自动化进程的推进，机械臂在工业制造、服务交互、武器装备、医疗手术以及航空航天等重要领域的应用越来越普及。传统刚性机械臂质量大，负载与自重比值小，在要求结构、动作迅速与高负载的场合下应用会受到限制。相比于传统刚性机械臂，柔性机械臂具有大跨高比和质量轻等特点，克服了刚性机械臂的不足，得到更广泛的应用。但是柔性机械臂由于结构柔性的存在，在工作过程中很容易产生难以快速消减的振动，这直接影响了柔性机械臂的控制精度和稳定性。若柔性机械臂发生共振，则会产生更加巨大的负面影响，可能导致其动力学性能急剧恶化，发生严重故障。因此，如何控制柔性机械臂的振动，已经是振动控制领域重点关注的问题。
参数振动是除自由振动、受迫振动和自激振动外的另一种振动形式，由持续的参数激励引起的共振称为参激共振。在柔性机械臂往复运动时，其部分结构或动力学参数会随之发生周期性变化，进而产生参数激励。柔性机械臂在运动中产生参数激励的频率随着机械臂工作任务的不同会在较宽的频谱上发生变化，因此，柔性机械臂低阶固有频率容易落进参数激励的频率范围，从而引发参激共振现象。对于大尺度、大柔度的柔性机械臂，参激共振会引起极为剧烈的振动响应，但其自身的阻尼并不能使振动快速衰减，从而造成巨大的损失。参激共振的存在限制了柔性机械臂的发展和应用，所以迫切需要新的方法来控制其振动。
目前为止，人类对于柔性机械臂的振动控制方面开展了广泛的研究，但针对参激共振控制的研究并不充分。鉴于此，本发明提出一种柔性机械臂参激共振的控制方法。通过使柔性机械臂和吸振器的频率满足一定公度关系，在两者之间产生模态耦合，基于模态交互原理构造柔性机械臂与吸振器的能量交换通道，使柔性机械臂的参激共振能量传递到吸振器中，再通过吸振器的阻尼将能量耗散，从而减小柔性机械臂末端幅值，有效控制参激共振。
发明内容
本发明所要解决的技术问题在于针对现有技术的不足，为解决柔性机械臂在工作中参激共振控制问题，提出一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法。该方法基于模态交互原理建立参激共振的能量传递通道，将参激共振能量传递给吸振器，进而通过吸振器阻尼耗散，实现参激共振的控制。本发明可应用于大尺度、大柔度的柔性机械臂系统的参激共振控制，具有良好的减振效果。
本发明为一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，该方法的基本原理和具体步骤如下：
本发明通过将参激共振吸振器安装在柔性机械臂上，使柔性机械臂和吸振器实现非线性耦合。基于模态交互原理，调节参激共振吸振器频率，从而构建柔性机械臂和参激共振吸振器之间的能量交换通道，将柔性机械臂的参激共振能量转移到吸振器中并由吸振器的阻尼耗散，以达到对柔性机械臂参激共振控制的目的。
步骤一：提炼可引起柔性机械臂共振的持续参数激励；
步骤二：将柔性臂杆视为欧拉-伯努利梁，并将柔性臂杆关节持续变化的参数视为参数激励；
步骤三：计入柔性机械臂敏感方向的变形，将柔性机械臂做离散化处理；
步骤四：利用Kane方法建立含参激共振吸振器的柔性机械臂非线性动力学模型，其中以柔性臂杆上某点模态坐标的变化速度
Figure GDA0003696820340000021
与吸振器摆杆相对于吸振器电机的转速
Figure GDA0003696820340000022
为广义坐标，通过求出系统的广义主动力K和广义惯性力K*，得出含吸振器的柔性机械臂非线性动力学模型：
Figure GDA0003696820340000023
将相应的广义主动力和广义惯性力代入方程(1)，并为柔性臂杆的一阶振动模态添加阻尼系数c，最终可得到含参激共振吸振器的柔性机械臂动力学方程组。
步骤五：根据参激共振吸振器扭转的位置和速度，构造参激共振吸振器控制方程并得出参激共振吸振器频率的表述方程；其中吸振器的振动频率由吸振器电机的扭矩Mc决定；为了使柔性臂杆与吸振器之间形成能量交换通道，基于模态交互原理，对吸振器的频率进行调节；为了使吸振器消耗振动能量，吸振器需要具有一定阻尼，因此，设吸振器电机扭矩为：
Figure GDA0003696820340000024
则吸振器的频率为：
Figure GDA0003696820340000025
其中kp与吸振器的刚度线性相关，kd与吸振器阻尼线性相关；
通过方程(14)和方程(15)可知柔性臂杆一阶振动模态q1与吸振器模态
Figure GDA0003696820340000031
之间存在非线性耦合，但其中非线性耦合均由柔性机械臂的结构决定，无法人为调节两个模态之间的耦合强度；为了能够对柔性臂杆和吸振器的模态耦合强度进行一定程度的调节，在MC的控制方程中添加人为构造的非线性项
Figure GDA0003696820340000032
将吸振器转角与柔性臂杆上E点的一阶模态加速度进行耦合，得到：
Figure GDA0003696820340000033
非线性项N中，a为非线性系数。
步骤六：利用泰勒展开和无量纲处理方法，化简非线性动力学方程组；
步骤七：分析柔性机械臂动力学模型，求其稳态响应的近似解析解；
步骤八：对参激共振吸振器工作状态分类，求解柔性机械臂参激共振非耦合稳态响应与耦合稳态响应；
步骤九：分别对非耦合稳态响应和耦合稳态响应的稳定性进行分析；
步骤十：分析吸振器控制系数对参激共振的影响，利用控制变量法选取最佳控制系数，从而更好地抑制柔性机械臂参激共振振幅；其中运用控制变量法，通过数值仿真逐一判断阻尼项和非线性系数对参激共振控制的影响，从而选取最佳控制系数，以达到参激共振柔性机械臂良好的控制效果。
优选的，柔性机械臂往复运动时，部分参数会发生周期性变化，从而产生参数激励。当柔性机械臂模态频率与参数激励频率接近时，则产生参激共振，故提取与柔性机械臂模态频率接近的外激励作为持续参数激励。
优选的，由于柔性臂杆的结构与变形符合欧拉-伯努利梁的特点，因此柔性臂杆仅发生横向变形，不发生纵向变形；此外将柔性臂杆关节处持续变化的参数视为参数激励。
优选的，由于一般柔性机械臂的跨高比都较大，所以只需要考虑柔性机械臂的弯曲变形；为了描述弯曲变形，将无限维模型简化为有限维模型，对柔性机械臂敏感方向做离散化处理；设柔性臂杆的横向变形为y(x,t)，其中，x表示柔性臂杆上某点到柔性臂杆关节沿柔性臂杆初始方向的距离，t表示时间，其横向变形方程可设为：
Figure GDA0003696820340000034
φi(x)是柔性臂杆的第i阶假设模态函数，qi(t)是与该阶模态函数对应的模态坐标；由于机械臂振动频率较低，故能量大部分集中在一阶模态中，所以横向变形公式中n＝1。
优选的，将步骤四中非线性方程组的三角函数在零点处做泰勒展开，略去高阶项，得到简化后的动力学模型：
Figure GDA0003696820340000041
Figure GDA0003696820340000042
其中：
Figure GDA0003696820340000043
Figure GDA0003696820340000044
Figure GDA0003696820340000045
为进一步简化方程组，对式(3)与式(4)进行归一化处理，定义：
Figure GDA0003696820340000046
Figure GDA0003696820340000047
可得：
Figure GDA0003696820340000048
Figure GDA0003696820340000049
式中求导符号均表示对τ的求导。
优选的，采用多尺度法求柔性机械臂动力学模型稳态响应的解析解，引入时间尺度，利用小量ε对系统变量进行重新刻度：
Figure GDA00036968203400000410
当柔性机械臂的模态频率与参数激励的频率接近时就会产生参激共振，这种情况下即使是小幅的参数激励也会引起明显的振动响应，故对参数激励振幅进行重新刻度：A＝ε2A；
最终可求得稳态响应的近似解析解：
Figure GDA0003696820340000051
Figure GDA0003696820340000052
优选的，在参激共振的状态下，当柔性机械臂固有频率与参激共振吸振器频率满足一定的公度关系时，柔性机械臂与吸振器之间可基于模态交互原理构造能量交换通道，从而使柔性机械臂和吸振器达到稳定的状态。通过引入解谐引子σ1与σ2，即可得求此时柔性臂杆的被控模态与吸振器模态在参激共振情况下的稳态方程组，分别讨论吸振器是否工作，即可得到如式(10)所示的非耦合解，以及如式(11)所示的耦合解：
Figure GDA0003696820340000053
Figure GDA0003696820340000054
优选的，求得柔性机械臂与参激共振吸振器耦合状态和非耦合状态的雅可比矩阵，代入非耦合解条件，利用特征值判定其稳定性；代入耦合解条件，根据劳斯-赫尔维茨定理得到耦合解稳定的充要条件，给定系统参数后，即可判定其稳定性。
本发明与现有技术相比的优点在于：
柔性机械臂动力学系统是典型的非线性系统，其在工作中极易产生参激共振现象。本发明针对目前柔性机械臂参激共振控制研究尚不充分的现状，提出一种新的参激共振控制方法。本方法依据非线性动力学理论中的模态交互与能量迁移原理，通过构建柔性机械臂模态频率与参激共振吸振器模态频率的公度关系，使吸振器吸收并耗散柔性机械臂的参激共振能量，从而抑制柔性机械臂的参激共振。除此之外，为更有效地抑制机械臂振动，本发明对参激共振的重要控制参数进行了优化。利用数值仿真方法，得到控制参数与柔性机械臂振幅的关系，从而选取最优控制参数，以达到良好的参激共振控制效果。
附图说明
图1为本发明中含参激共振吸振器的柔性机械臂整体结构示意图；
图2为本发明中参激共振控制方法流程图；
图3为本发明中柔性机械臂与吸振器的模态交互图；
图4为本发明中吸振器的作用下柔性机械臂与吸振器振幅图；
图5为本发明中吸振器阻尼项对柔性机械臂被控模态振幅的影响；
图6为本发明中非线性系数对柔性机械臂被控模态振幅的影响；
图7为本发明中基于反馈控制的Simulink方框图；
图8为本发明中吸振器不工作和吸振器有效控制参数下柔性臂杆末端加速度响应对比图。
图1中符号说明如下：
图中O、A、B、C分别为坐标系XOOYO、XAAYA、XBBYB、XCCYC的原点，D为吸振器摆杆末端，E为柔性机械臂上一点；
Figure GDA0003696820340000061
表示刚性臂杆相对于惯性坐标系的转角；
Figure GDA0003696820340000062
表示柔性臂杆相对于A系的刚性转角；yE表示位于柔性臂杆上某点E横向变形量；
Figure GDA0003696820340000063
表示吸振器摆杆相对于B系的转角。
具体实施方式：
以下结合附图及具体实例对本发明作进一步详细说明，但本发明的实施不限于此。
本发明提出一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其结合非线性理论，通过构造柔性机械臂与吸振器能量传递通道，以达到减小柔性机械臂参激共振末端振幅的目的。图1为简化模型示意图，用以代替参激共振吸振器与柔性机械臂。
该方法具体步骤如下：
步骤一：提炼可引起柔性机械臂共振的持续参数激励。
针对柔性机械臂的往复工作运动，提取发生周期变化并与柔性机械臂被控模态频率接近的参数，将其视为引发柔性机械臂参激共振的参数激励。
步骤二：对实际模型做合理假设，并把柔性臂杆关节处持续变化的参数视为参数激励。
柔性机械臂结构多种多样，本实例以最常见的二自由度刚柔耦合机械臂为例进行方法演示，但本发明的实施不限于此。对二自由度刚柔耦合机械臂做合理假设，假设柔性臂杆的结构与变形符合欧拉-伯努利梁的特点，并且仅发生横向变形，不发生纵向变形。建立坐标系，如图1所示，其中，O、A、B、C分别为坐标系XOOYO、XAAYA、XBBYB、XCCYC的原点，D为吸振器摆杆末端，E为柔性机械臂上一点；
Figure GDA0003696820340000064
表示刚性臂杆相对于惯性坐标系的转角；
Figure GDA0003696820340000065
表示柔性臂杆相对于A系的刚性转角；yE表示位于柔性臂杆上某点E横向变形量；
Figure GDA0003696820340000071
表示吸振器摆杆相对于B系的转角。设关节B的工作运动规律为：
Figure GDA0003696820340000072
因其工作频率与柔性机械臂被控的第一阶模态频率接近，故将其视为引发柔性机械臂参激共振的参数激励。
步骤三：计入柔性机械臂敏感方向的变形，并对柔性机械臂做离散化处理。
设柔性臂杆的横向变形为y(x,t)，其中x表示柔性臂杆上某点到柔性臂杆关节沿柔性臂杆初始方向的距离，t表示时间，其横向变形可设为：
Figure GDA0003696820340000073
φi(x)是柔性臂杆的第i阶假设模态函数，qi(t)是与该阶模态函数对应的模态坐标。
柔性臂杆的振动一般频率较低且其跨高比大，通常以横向变形为主。因此，振动能量大多集中在低阶模态中，并且大部分位于一阶模态中。故将式
Figure GDA0003696820340000074
简化为：
y(x,t)＝φ1(x)q1(t) (12)
步骤四：建立柔性机械臂以及参激共振吸振器的非线性动力学模型。
本实例中利用Kane方法建立柔性机械臂动力学方程组，但可应用的建模方法不限于此。如图1所示的模型中，刚性臂杆相对于惯性坐标系的转速
Figure GDA0003696820340000075
柔性臂杆根部相对于刚性臂杆的转速
Figure GDA0003696820340000076
柔性臂杆上某点的模态坐标的变化速度
Figure GDA0003696820340000077
与吸振器摆杆相对于吸振器电机的转速
Figure GDA0003696820340000078
是相互独立的，故设广义速度为：
Figure GDA0003696820340000079
根据所设的广义速度，求得B、C、D、E的偏速度。根据Kane方法，通过偏速度，求得系统的广义主动力和广义惯性力。由于四个独立运动变量中，
Figure GDA00036968203400000710
和
Figure GDA00036968203400000711
是机械臂工作时人为给定的运动控制变量，其运动是已知的，因此可得到关于q1和
Figure GDA00036968203400000712
的运动方程为：
Figure GDA00036968203400000713
将式(1)中的广义主动力和广义惯性力展开，并为柔性臂杆的一阶振动模态添加阻尼系数c，得到动力学方程组：
Figure GDA0003696820340000081
Figure GDA0003696820340000082
根据式(14)可得出柔性臂杆的一阶固有频率：
Figure GDA0003696820340000083
当fB接近或等于fr时，柔性机械臂系统将发生参激共振。
步骤五：根据柔性机械臂系统的非线性动力学模型构造参激共振吸振器控制模型。
根据步骤四中式(15)可得，吸振器的振动频率由吸振器电机的扭矩Mc决定。为了使柔性臂杆与吸振器之间形成能量传递通道，基于模态交互理论，对吸振器的频率进行调节；此为，为了使吸振器消耗振动能量，需要使吸振器具有一定阻尼。因此，设：
Figure GDA0003696820340000084
则吸振器的频率为：
Figure GDA0003696820340000085
其中kp与吸振器刚度项线性相关，kd与吸振器阻尼项线性相关。
式(14)与(15)中包含柔性臂杆一阶振动模态q1与吸振器模态
Figure GDA0003696820340000086
的非线性耦合项，因此，柔性臂杆一阶振动模态q1与吸振器模态
Figure GDA0003696820340000087
之间存在交互现象，这是在两个模态之间形成能量传递通道的基础。但是，这些非线性耦合均由柔性机械臂的结构决定，无法人为调节两个模态之间的耦合强度。为了能够对耦合强度进行一定程度的调节，在MC的控制方程中添加人为构造的非线性项
Figure GDA0003696820340000091
将吸振器转角与柔性臂杆上E点的一阶模态加速度进行耦合，得到：
Figure GDA0003696820340000092
非线性项N中，a为非线性系数。
步骤六：通过泰勒展开和无量纲处理等方法，对非线性动力学方程组做必要的简化。
将式(14)和式(15)中的三角函数在零点做泰勒展开，略去展开式中的高次项，并代入式(2)中得到简化后的动力学方程组为：
Figure GDA0003696820340000093
Figure GDA0003696820340000094
其中：
Figure GDA0003696820340000095
Figure GDA0003696820340000096
Figure GDA0003696820340000097
为进一步简化方程组，对式(3)与式(4)进行归一化处理。定义：
Figure GDA0003696820340000098
Figure GDA0003696820340000099
对式(3)和(4)进行归一化处理可得：
Figure GDA00036968203400000910
Figure GDA0003696820340000101
式中的求导符号均表示对τ的求导。
步骤七：分析柔性机械臂动力学模型，求其稳态响应的近似解析解。
本发明利用多尺度法求解归一化后动力学方程组的近似稳态解，但求解方法不局限于多尺度法。
根据多尺度法求解方法，引入时间尺度，利用小量ε对系统变量进行重新刻度：
Figure GDA0003696820340000102
柔性机械臂进行往复运动时，部分参数会随之产生周期性变化，从而产生参数激励。当柔性机械臂的模态频率与参数激励的频率接近时就会产生参激共振，这种情况下即使是小幅的参数激励也会引起明显的振动响应。因此，本发明中假设参数激励幅度比机械臂刚性运动的量级小，对参数激励振幅进行重新刻度：
A＝ε2A (19)
根据求导法则：
Figure GDA0003696820340000103
Figure GDA0003696820340000104
根据多尺度法，选取求解精度，引入二阶摄动解：
Figure GDA0003696820340000105
Figure GDA0003696820340000106
将式(7)、式(8)、式(22)和式(23)代入式(5)与式(6)中，并按照小参量ε的阶次整理得到如下系数方程：
ε0阶项的系数：
Figure GDA0003696820340000107
Figure GDA0003696820340000111
ε1阶项的系数：
Figure GDA0003696820340000112
Figure GDA0003696820340000113
设式(24)与式(25)的解为：
Figure GDA0003696820340000114
Figure GDA0003696820340000115
把式(28)和式(29)代入式(26)、式(27)可得：
Figure GDA0003696820340000116
Figure GDA0003696820340000117
其中，cc为该式右侧中之前所有项的共轭之和，RNST为该式中的非长期项。
令式(30)与式(31)中的长期项的和为0，即可求出稳态响应的近似解析解：
Figure GDA0003696820340000118
Figure GDA0003696820340000119
步骤八：对参激共振吸振器工作状态进行分类，求解柔性机械臂参激共振的非耦合稳态响应和耦合稳态响应。
柔性机械臂、参激共振吸振器之间的能量传递能力与二者的公度关系有关，基于模态交互原理，当柔性机械臂被控模态频率和吸振器频率的比值为2：1时，即可构建两模态之前的能量交换通道，其模态交互如图3所示。在这种情况下，求取柔性臂杆一阶振动模态与吸振器模态在参激共振发生时的稳态解。
引入解谐因子σ1与σ2，设：
Figure GDA0003696820340000121
为了求得稳态解，将式(32)代入式(8)和式(9)中，令长期项的和为0，得到：
Figure GDA0003696820340000122
Figure GDA0003696820340000123
其中，a1、θ1、a2、θ2都是关于T1的实函数。
把
Figure GDA0003696820340000124
代入式(33)和(34)，分离式(33)和(34)的实部和虚部，并令其均为0，可以求出：
Figure GDA0003696820340000125
Figure GDA0003696820340000126
Figure GDA0003696820340000127
Figure GDA0003696820340000128
式中β1＝2σ1T1+2θ2-θ1，
Figure GDA0003696820340000129
将β1与β2对T1求导，并代入式(37)与式(38)整理得：
Figure GDA00036968203400001210
Figure GDA00036968203400001211
微分方程组(35)、(36)、(39)与(40)稳态解的存在条件为a1′＝0，a2′＝0，β1′＝0，β2′＝0，将其代入式(35)、式(36)、式(39)和式(40)整理得到参激共振稳态方程组：
Figure GDA0003696820340000131
Figure GDA0003696820340000132
Figure GDA0003696820340000133
Figure GDA0003696820340000134
当a2＝0时，求得非耦合稳态响应：
Figure GDA0003696820340000135
a2＝0的物理含义是吸振器模态振幅为零，即吸振器未工作。由式(10)可知柔性臂杆一阶模态振幅与能引起共振的参数激励幅值A的大小成正比。
当a2≠0时，求得耦合稳态响应：
Figure GDA0003696820340000136
a2≠0时，根据上述数学计算可知，柔性臂杆一阶模态的稳态振幅为一个定值，并不随着能引起共振的参数激励幅值A的大小变化而变化。此时，参激共振的柔性机械臂系统出现了饱和现象。
分析式(11)可知，a2并不总是存在实数解，其存在实数解的条件为：
Figure GDA0003696820340000141
步骤九：分别对非耦合稳态响应和耦合稳态响应的稳定性进行分析。
引入笛卡尔坐标变换，并将其求导：
Figure GDA0003696820340000142
将式(35)式(36)式(39)式(40)代入式(46)中即可求得雅可比矩阵：
Figure GDA0003696820340000143
将非耦合解的条件a2＝0代入雅可比矩阵，使特征值实部均小于零，求得振幅阈值a1c：
Figure GDA0003696820340000144
将耦合解的条件为a2≠0代入雅可比矩阵，计算矩阵的特征多项式，整理可得：
Figure GDA0003696820340000145
最后根据劳斯-赫尔维茨定理得到耦合解稳定的充要条件：
Figure GDA0003696820340000151
将任意一组参数代入该不等式组，即可判断耦合解是否稳定。
图4为本发明中吸振器作用下的柔性机械臂与吸振器振幅图，红色表示柔性臂杆被控模态振幅，蓝色表示吸振器模态振幅；虚线表示不稳定的解，实线表示稳定的解，图像结果与步骤九中稳定性理论分析一致。
步骤十：分析参激共振吸振器控制系数对参激共振的影响，选取最佳控制系数，从而达到参激共振柔性机械臂被控模态的良好控制效果。
当柔性机械臂和参激共振吸振器的物理参数确定，并且两者之间产生模态交互现象后，柔性机械臂在不同幅值的参数激励下，其幅值将不会发生变化。通过计算分析可得，此时柔性机械臂末端幅值受到吸振器控制参数的影响，故主要分析吸振器可调控制参数(ζ2、a)对参激共振柔性机械臂末端幅值的影响。
本步骤采取控制变量法进行分析，首先确定柔性臂杆系统物理参数以及参数激励频率，再分别使非线性系数a(阻尼项ζ2)保持不变，分析阻尼项ζ2(非线性系数a)的变化对参激共振控制的影响。
为进一步直观表述本发明选取控制参数的方法，给定以下算例。假设系统已产生能量传递通道，并且发生参激共振，分别对两控制系数(ζ2、a)进行讨论，图7为基于反馈控制的Simulink方框图。
①令非线性系数a为0，设置刚性臂杆转角
Figure GDA0003696820340000152
参数激励幅值A＝0.01rad、
Figure GDA0003696820340000153
设置参数激励频率fB为4.27rad/s。令吸振器阻尼ζ2分别为0.02、0.07、0.10与0.13。其数值仿真计算出的柔性臂杆末端响应曲线与吸振器摆角响应曲线如图5所示，ζ2取0.02时，吸振器消耗振动能量的效率较低，不能持续稳定的耗散柔性臂杆的振动能量；ζ2分别取值0.07、0.10与0.13时，对应的柔性臂杆末端振幅最大值分别为33.9mm、47.6mm与60.0mm。通过数值仿真可以观察到，随着吸振器阻尼取值的增大，柔性臂杆模态的参激共振饱和幅值随之增大，同时柔性臂杆模态进入稳定状态的时间也随之提前。因此，吸振器阻尼的取值要在保证柔性臂杆模态能够快速进入饱和状态的前提下尽量取较小的值。
②令阻尼项ζ2为0.07，设置刚性臂杆转角
Figure GDA0003696820340000154
参数激励幅值A＝0.01rad、
Figure GDA0003696820340000155
设置参数激励频率fB为4.27rad/s。令非线性系数a分别取值为0、8×10-4与2×10-3。其数值仿真计算出的柔性臂杆末端响应曲线与吸振器摆角响应曲线如图6所示，非线性系数a分别取值0、8×10-4、2×10-3时，对应的柔性臂杆末端振幅最大值分别为33.9mm、32.8mm、31.9mm。通过数值仿真可以观察到，当非线性系数在[0,2×10-3]之间，随着其取值的增大，系统进入饱和状态的时间提前，并且柔性臂杆模态幅值随之减小。
针对柔性机械臂受到参数激励
Figure GDA0003696820340000161
并且其与参激共振吸振器间产生能量传递通道的情况进行分析，设置吸振器阻尼控制ζ2为0.07、非线性系数a为2×10-3、刚性臂杆转角
Figure GDA0003696820340000163
参数激励幅值A＝0.01rad、
Figure GDA0003696820340000162
参数激励频率fB为4.27rad/s。联合仿真得出柔性臂杆末端响应曲线对比图如图8所示，图中灰色线是吸振器不工作的状态下柔性臂杆末端响应，黑色线为吸振器在给定参数下柔性臂杆末端响应。在参激共振的情况下，吸振器不工作时，柔性臂杆末端会产生较大振动响应，最大振幅为255mm；吸振器参数配置完成后，最初柔性臂杆末端的最大振幅为129mm，稳定后的振幅为63.5mm。因此，本发明有效抑制了柔性机械臂的参激共振。

Claims (8)

1.一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其方法具体步骤如下：
步骤一：提炼可引起柔性机械臂共振的持续参数激励；
步骤二：将柔性臂杆视为欧拉-伯努利梁，并将柔性臂杆关节持续变化的参数视为参数激励；
步骤三：计入柔性机械臂敏感方向的变形，将柔性机械臂做离散化处理；
步骤四：利用Kane方法建立含参激共振吸振器的柔性机械臂非线性动力学模型，其中以柔性臂杆上某点模态坐标的变化速度
Figure FDA0003696820330000011
与吸振器摆杆相对于吸振器电机的转速
Figure FDA0003696820330000012
为广义坐标，通过求出系统的广义主动力K和广义惯性力K*，得出含吸振器的柔性机械臂非线性动力学模型：
Figure FDA0003696820330000013
将相应的广义主动力和广义惯性力代入方程(1)，并为柔性臂杆的一阶振动模态添加阻尼系数c，最终可得到含参激共振吸振器的柔性机械臂动力学方程组。
步骤五：根据参激共振吸振器扭转的位置和速度，构造参激共振吸振器控制方程并得出参激共振吸振器频率的表述方程；其中吸振器的振动频率由吸振器电机的扭矩Mc决定；为了使柔性臂杆与吸振器之间形成能量交换通道，基于模态交互原理，对吸振器的频率进行调节；为了使吸振器消耗振动能量，吸振器需要具有一定阻尼，因此，设吸振器电机扭矩为：
Figure FDA0003696820330000014
则吸振器的频率为：
Figure FDA0003696820330000015
其中kp与吸振器的刚度线性相关，kd与吸振器阻尼线性相关；
柔性臂杆一阶振动模态q1与吸振器模态
Figure FDA0003696820330000018
之间存在非线性耦合，但其中非线性耦合均由柔性机械臂的结构决定，无法人为调节两个模态之间的耦合强度；为了能够对柔性臂杆和吸振器的模态耦合强度进行一定程度的调节，在MC的控制方程中添加人为构造的非线性项
Figure FDA0003696820330000016
将吸振器转角与柔性臂杆上E点的一阶模态加速度进行耦合，得到：
Figure FDA0003696820330000017
非线性项N中，a为非线性系数。
步骤六：利用泰勒展开和无量纲处理方法，化简非线性动力学方程组；
步骤七：分析柔性机械臂动力学模型，求其稳态响应的近似解析解；
步骤八：对参激共振吸振器工作状态分类，求解柔性机械臂参激共振非耦合稳态响应与耦合稳态响应；
步骤九：分别对非耦合稳态响应和耦合稳态响应的稳定性进行分析；
步骤十：分析吸振器控制系数对参激共振的影响，利用控制变量法选取最佳控制系数，从而更好地抑制柔性机械臂参激共振振幅；其中运用控制变量法，通过数值仿真逐一判断阻尼项和非线性系数对参激共振控制的影响，从而选取最佳控制系数，以达到参激共振柔性机械臂良好的控制效果。
2.如权利要求1所述的一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其特征在于步骤一中，柔性机械臂往复运动时，部分参数会发生周期性变化，从而产生参数激励；当柔性机械臂模态频率与参数激励频率接近时，则产生参激共振，故提取与柔性机械臂模态频率接近的外激励作为持续参数激励。
3.如权利要求1所述的一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其特征在于步骤二中，由于柔性臂杆的结构与变形符合欧拉-伯努利梁的特点，因此柔性臂杆仅发生横向变形，不发生纵向变形；此外将柔性臂杆关节处持续变化的参数视为参数激励。
4.如权利要求1所述的一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其特征在于步骤三中，由于一般柔性机械臂的跨高比都较大，所以只需要考虑柔性机械臂的弯曲变形；为了描述弯曲变形，将无限维模型简化为有限维模型，对柔性机械臂敏感方向做离散化处理；设柔性臂杆的横向变形为y(x,t)，其中，x表示柔性臂杆上某点到柔性臂杆关节沿柔性臂杆初始方向的距离，t表示时间，其横向变形方程可设为：
Figure FDA0003696820330000021
φi(x)是柔性臂杆第i阶的假设模态函数，qi(t)是与该阶模态函数对应的模态坐标；由于柔性机械臂振动频率较低，故能量大部分集中在一阶模态中，所以横向变形公式中n＝1。
5.如权利要求1所述的一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其特征在于步骤六中，将步骤四中非线性方程组的三角函数在零点处做泰勒展开，略去高阶项，得到简化后的动力学模型：
Figure FDA0003696820330000022
Figure FDA0003696820330000031
其中：
Figure FDA0003696820330000032
Figure FDA0003696820330000033
Figure FDA0003696820330000034
为进一步简化方程组，对式(3)与式(4)进行归一化处理，定义：
Figure FDA0003696820330000035
Figure FDA0003696820330000036
可得：
Figure FDA0003696820330000037
Figure FDA0003696820330000038
式中求导符号均表示对τ的求导。
6.如权利要求1所述的一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其特征在于步骤七中，采用多尺度法求柔性机械臂动力学模型稳态响应的解析解，引入时间尺度，利用小量ε对系统变量进行重新刻度：
Figure FDA0003696820330000039
当柔性机械臂的模态频率与参数激励的频率接近时就会产生参激共振，这种情况下即使是小幅的参数激励也会引起明显的振动响应，故对参数激励振幅进行重新刻度：A＝ε2A；
最终可求得稳态响应的近似解析解：
Figure FDA0003696820330000041
Figure FDA0003696820330000042
7.如权利要求1所述的一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其特征在于步骤八中，在参激共振的状态下，当柔性机械臂固有频率与参激共振吸振器频率满足一定的公度关系时，柔性机械臂与吸振器之间可基于模态交互原理构造能量交换通道，从而使柔性机械臂和吸振器达到稳定的状态；通过引入解谐引子σ1与σ2，即可得求此时柔性臂杆的被控模态与吸振器模态在参激共振情况下的稳态方程组，分别讨论吸振器是否工作，即可得到如式(10)所示的非耦合解，以及如式(11)所示的耦合解：
Figure FDA0003696820330000043
Figure FDA0003696820330000044
8.如权利要求1所述的一种基于模态交互的柔性机械臂参激共振减振方法，其特征在于步骤九中，求得柔性机械臂与参激共振吸振器耦合状态和非耦合状态的雅可比矩阵，代入非耦合解条件，利用特征值判定其稳定性；代入耦合解条件，根据劳斯-赫尔维茨定理得到耦合解稳定的充要条件，给定系统参数后，即可判定其稳定性。
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