CN108833075B - 一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法，包括以下步骤：步骤1：根据驱动系统和响应系统的状态方程，建立投影同步误差系统；步骤2：设计非线性滑模面和自适应指数趋近律；步骤3：设计非奇异终端滑模控制器对投影同步误差系统进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现驱动系统和响应系统的投影同步。提出自适应指数趋近律，能够根据误差进行自动调整，能够加快误差的收敛速度，加快趋近速率，并将非线性滑模面运用在二阶混沌投影同步，具有比线性滑模面更快的趋近速度，而且能够在有限时间内收敛，能够克服奇异问题，在建模不确定和外部干扰信号的情况下，确保不同初始状态的同构或异构二阶混沌的投影同步。

Description

一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法。

背景技术

混沌系统是一个非线性动力学系统，具有整体稳定、局部不稳定的特点，广泛存在于自然界和人类社会中。混沌系统对初始参数非常敏感，在保密通信和微弱信号检测等方面具有广泛的应用前景和重要的应用价值。自从Mainieri和Rehacek提出投影同步的概念，统一了不同类型的混沌同步现象。

滑模控制具有算法简单、对外界干扰具有很好的鲁棒性和可靠性高等优点，经常用于混沌系统的同步和控制。由于传统终端滑模控制器在接近平衡位置时存在奇异问题，提出了非奇异终端滑模控制器。非奇异终端滑模控制器不仅具有有限时间收敛的优点，而且能够克服奇异问题。现有的指数趋近律中参数是固定不变的，趋近速度慢，没有自动调整功能。本发明提出自适应指数趋近律，能够根据误差进行自动调整，能够加快误差的收敛速度，加快趋近速率。本发明将非线性滑模面运用在二阶混沌投影同步，具有比线性滑模面更快的趋近速度，而且能够在有限时间内收敛，能够克服奇异问题。

发明内容

基于以上的技术问题，本发明提供一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法，提出了非线性滑模面和自适应指数趋近律，在建模不确定和外部干扰信号的情况下，确保不同初始状态的同构或异构二阶混沌的投影同步。

所述一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法，包括以下步骤：

步骤1：根据驱动系统和响应系统的状态方程，建立投影同步误差系统；

所述驱动系统状态方程如下：

以公式(1)形式的二阶混沌系统作为驱动系统，其中，x₁,x₂为驱动系统状态变量，x＝[x₁,x₂]^T，f_x(x,t)为连续函数，t为时间；

所述响应系统的状态方程如下：

公式(2)是带有建模不确定和外部干扰信号的受控二阶混沌系统，将公式(2)作为响应系统，其中，y₁,y₂为响应系统状态变量，y＝[y₁,y₂]^T，f_y(y,t)为连续函数，t为时间，Δf(y)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，u(t)为控制输入，当f_x(x,t)和f_y(y,t)具有相同结构时，驱动系统和响应系统为同构混沌，当f_x(x,t)和f_y(y,t)具有不同结构时，驱动系统和响应系统为异构混沌；

在受控二阶混沌系统中，建模不确定Δf(y)和外部干扰信号d(t)均有界，且满足如下的不等式；

||Δf(y)+d(t)||₁≤b₀+b₁||y||₁ (3)

其中，b₀和b₁为常数，且b₀≥0，b₁≥0，||·||₁表示1-范数；

驱动系统和响应系统的投影同步误差为e_i＝y_i-k₁x_i，其中i＝1,2，k₁为比例常数，且k₁≠0，根据驱动系统(1)和响应系统(2)，建立所述投影同步误差系统：

其中e₁，e₂为投影同步误差系统状态变量。

步骤2：设计非线性滑模面和自适应指数趋近律；

所述非线性滑模面：

s＝e₁+βe₂ ^p/q (5)

其中β＞0，p和q为正奇数，p＞q且1＜p/q＜2，e₁，e₂为投影同步误差系统状态变量；

所述自适应指数趋近律为：

其中，k和ε为常数，且k＞0，ε＞0，μ＝b₀+b₁||y||₁，b₀和b₁为常数，且b₀≥0，b₁≥0，y＝[y₁,y₂]^T，y₁,y₂为响应系统状态变量，

驱动系统和响应系统的投影同步误差为e_i＝y_i-k₁x_i，其中i＝1,2，k₁为比例常数，且k₁≠0；

步骤3：根据投影同步误差系统公式(4)，非线性滑模面公式(5)和自适应指数趋近律公式(6)，设计非奇异终端滑模控制器，该非奇异终端滑模控制器对投影同步误差系统进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现驱动系统和响应系统的投影同步。

根据公式(4)、(5)、(6)，设计非奇异终端滑模控制器为：

在式(7)的控制器中存在符号函数sgn(s)，

会出现抖振现象，为了削弱抖振，采用连续函数conu(s)代替符号函数sgn(s)。最终所述非奇异终端滑模控制器为：

其中，连续函数conu(s)的表达式为

δ为正数。

通过Lyapunov稳定性理论证明闭环控制系统的稳定性，其中，Lyapunov函数为；

其中，s是公式(5)中定义的非线性滑模面。

对公式(9)进行求导，然后将公式(5)和公式(4)带入可以得到

然后将公式(8)带入，化简后可以得到

由于1＜p/q＜2，则0＜p/q-1＜1。由于p和q为正奇数，则

当e₂≠0时，e₂ ^p/q-1＞0，则

当e₂＝0时，公式(8)变为

将式(12)带入到式(4)中的第2个方程，可以得到

当s＞0时，

由于

e₂逐渐减小；当s＜0时，

由于

e₂逐渐增大，当e₂＝0时，能够在有限时间内实现s＝0，能够在有限时间内到达滑模面。

当e₂≠0和e₂＝0时，都能够到达滑模面，通过Lyapunov稳定性理论证明了公式(4)的投影同步误差系统，将公式(7)作为控制输入时组成的闭环系统稳定，投影同步误差e₁和e₂渐进收敛到零，不同初始状态的驱动系统和响应系统能够投影同步，同时对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

附图说明

图1是本发明的总体结构示意图；

图2是具体实施例1中采用符号函数时控制输入的响应曲线；

图3是具体实施例1中采用饱和函数时控制输入的响应曲线；

图4是具体实施例1中状态变量x₁和y₁的响应曲线；

图5是具体实施例1中状态变量x₂和y₂的响应曲线；

图6是具体实施例1中投影同步误差的响应曲线；

图7是具体实施例2中采用符号函数时控制输入的响应曲线；

图8是具体实施例2中采用饱和函数时控制输入的响应曲线；

图9是具体实施例2中状态变量x₁和y₁的响应曲线；

图10是具体实施例2中状态变量x₂和y₂的响应曲线；

图11是具体实施例2中投影同步误差的响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的详细说明。

如图1所示，根据驱动系统和响应系统的状态方程，建立投影同步误差系统，设计非线性滑模面和自适应指数趋近律，根据同步误差系统，非线性滑模面公式和自适应指数趋近律，设计非奇异终端滑模控制器，该非奇异终端滑模控制器对投影同步误差系统进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现驱动系统和响应系统的投影同步。

为了更加直观的显示本发明提出的一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶Runge-Kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，步长为0.0001s，仿真时间为15s。

具体实施例1：

驱动系统和响应系统为同构系统，均为Duffing-Holmes混沌系统。Duffing-Holmes混沌系统的状态方程为

其中，

当参数选择为a1＝-1，a＝0.25，b＝0.3，ω＝1.0时，系统处于混沌状态。公式(1)为驱动系统。驱动系统的初始状态设定为x₁(0)＝-1，x₂(0)＝1

带有建模不确定项和外部干扰信号的受控系统表示为

其中，

建模不确定Δf(y)设定为Δf(y)＝0.5y₁，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.5sin(5t)，可以得到μ＝b₀+b₁|y₁|，其中b₀＝0.5，b₁＝0.5。将带有建模不确定和外部干扰信号的式(2)作为响应系统。响应系统的初始状态设定为y₁(0)＝1.5，y₂(0)＝1.5。

投影同步误差系统为公式(4)

其中，参数设定为k₁＝-1，即驱动系统和响应系统为反相同步。

在非线性滑模面采用公式(5)，

s＝e₁+βe₂ ^p/q (5)

其中，e₁，e₂为投影同步误差系统状态变量，参数设定为β＝1，p＝7，q＝5。

在自适应指数趋近律为

其中，μ＝b₀+b₁|y₁|，其中b₀＝0.5，b₁＝0.5，参数设定为k＝1，ε＝0.1。在连续函数

中，参数设定为δ＝0.0001。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是采用符号函数

时，非奇异终端滑模控制器的控制输入曲线。图3是采用饱和函数

时，非奇异终端滑模控制器的控制输入曲线。在图2中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图3中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图4是状态变量x₁和y₁的响应曲线。图5是状态变量x₂和y₂的响应曲线。由图4、图5可知，该非奇异终端滑模控制器公式(8)对投影同步误差系统公式(4)进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现驱动系统和响应系统的投影反相同步。图6是投影同步误差的时间响应曲线，投影同步误差的初始值为e₁(0)＝y₁(0)-k₁x₁(0)＝0.5，e₂(0)＝y₂(0)-k₁x₂(0)＝2.5，其中k₁＝-1。从仿真曲线可以直观的观察到投影同步误差在4s时基本收敛到零，投影同步的速度非常快。在建模不确定项和外部干扰信号下，驱动系统和响应系统实现了投影同步，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

具体实施例2：

驱动系统和响应系统为异构系统。驱动系统为Duffing-Holmes混沌系统，响应系统为van der Pol混沌系统。Duffing-Holmes混沌系统的状态方程为

其中，

当参数选择为a₁＝-1，a＝0.25，b＝0.3，ω＝1.0时，系统处于混沌状态。将式(1)作为驱动系统。驱动系统的初始状态设定为x₁(0)＝2，x₂(0)＝-2。

van der Pol混沌系统的状态方程为

其中，f_y(y,t)＝-y₁+B(1-y₁ ²)y₂+Asin(ω₂t)。当参数选择为B＝3，A＝5，ω₂＝1.788时，系统处于混沌状态。带有建模不确定项和外部干扰信号的受控系统表示为

其中，建模不确定Δf(y)设定为Δf(y)＝0.8y₂，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.7sin(3t)，可以得到μ＝b₀+b₁|y₁|，其中b₀＝0.7，b₁＝0.8。将带有建模不确定和外部干扰信号的式(2)作为响应系统。响应系统的初始状态设定为y₁(0)＝-1，y₂(0)＝2。投影同步误差中，参数设定为k₁＝0.5，即投影同步后驱动系统和响应系统的关系为y₁＝0.5x₁，y₂＝0.5x₂。

在非线性滑模面公式(5)中，参数设定为β＝1，p＝7，q＝5。在自适应指数趋近律中公式(6)，参数设定为k＝1，ε＝0.1。在连续函数conu(s)中，参数设定为δ＝0.0001。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图7是采用符号函数

时，非奇异终端滑模控制器的控制输入曲线。图8是采用饱和函数

时，非奇异终端滑模控制器的控制输入曲线。在图7中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图8中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图9是状态变量x₁和y₁的响应曲线。图10是状态变量x₂和y₂的响应曲线。图11是投影同步误差的时间响应曲线。投影同步误差的初始值为e₁(0)＝y₁(0)-k₁x₁(0＝)-，2e₂(0)＝y₂(0)-k₁x₂(0)＝3，其中k₁＝0.5。从仿真曲线可以直观的观察到投影同步误差在4s时基本收敛到零，投影同步的速度非常快。在建模不确定项和外部干扰信号下，驱动系统和响应系统实现了投影同步，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

Claims (2)

1.一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：根据驱动系统和响应系统的状态方程，建立投影同步误差系统；

所述驱动系统状态方程如下：

以公式(1)形式的二阶混沌系统作为驱动系统，其中，x₁,x₂为驱动系统状态变量，x＝[x₁,x₂]^T，f_x(x,t)为连续函数，t为时间；

所述响应系统的状态方程如下：

公式(2)是带有建模不确定和外部干扰信号的受控二阶混沌系统，将公式(2)作为响应系统，其中，y₁,y₂为响应系统状态变量，y＝[y₁,y₂]^T，f_y(y,t)为连续函数，t为时间，Δf(y)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，u(t)为控制输入，当f_x(x,t)和f_y(y,t)具有相同结构时，驱动系统和响应系统为同构混沌，当f_x(x,t)和f_y(y,t)具有不同结构时，驱动系统和响应系统为异构混沌；

在受控二阶混沌系统中，建模不确定Δf(y)和外部干扰信号d(t)均有界，且满足如下的不等式：

||Δf(y)+d(t)||₁≤b₀+b₁||y||₁ (3)

其中，b₀和b₁为常数，且b₀≥0，b₁≥0，||·||₁表示1-范数；

驱动系统和响应系统的投影同步误差为e_i＝y_i-k₁x_i，其中i＝1,2，k₁为比例常数，且k₁≠0，根据驱动系统(1)和响应系统(2)，建立所述投影同步误差系统：

其中e₁、e₂为投影同步误差系统状态变量；

步骤2：设计非线性滑模面和自适应指数趋近律；

所述非线性滑模面：

s＝e₁+βe₂ ^p/q (5)

其中β＞0，p和q为正奇数，p＞q且1＜p/q＜2，e₁、e₂为投影同步误差系统状态变量；

所述自适应指数趋近律为：

其中，k和ε为常数，且k＞0，ε＞0，μ＝b₀+b₁||y||，b₀和b₁为常数，且b₀≥0，b₁≥0，

驱动系统和响应系统的投影同步误差为e_i＝y_i-k₁x_i，其中，i＝1,2，k₁为比例常数，y＝[y₁,y₂]^T，y₁,y₂为响应系统状态变量，且k₁≠0，符号函数sgn(s)，

；

步骤3：根据同步误差系统公式(4),非线性滑模面公式(5)和自适应指数趋近律公式(6)，设计非奇异终端滑模控制器，该非奇异终端滑模控制器对投影同步误差系统进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现驱动系统和响应系统的投影同步；

根据公式(4)、(5)、(6)，设计非奇异终端滑模控制器为：

在式(7)的控制器中存在符号函数sgn(s)，会出现抖振现象，为了削弱抖振，采用连续函数conu(s)代替符号函数sgn(s)。最终所述非奇异终端滑模控制器为：

其中，连续函数conu(s)的表达式为

δ为正数。

2.根据权利要求1所述的一种基于非奇异终端滑模控制器的二阶混沌投影同步方法，其特征在于，通过Lyapunov稳定性理论证明闭环控制系统的稳定性，其中，Lyapunov函数为：

其中，s是公式(5)中定义的非线性滑模面。

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