CN105785763A - 参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，包括如下步骤：A：针对三个参数不确定的复混沌系统，其中两个参数不确定的复混沌系统作为驱动系统，另一个参数不确定的复混沌系统作为响应系统，然后两个驱动系统的组合和响应系统对应作差，得到组合误差系统；B：设计终端滑模控制面使组合误差系统达到设计的滑模面，设计三个参数控制律和有限时间内的滑模控制律，确保组合误差系统有限时间内滑模控制的实现；C：最后将三个参数控制律和有限时间内的滑模控制律加载在响应系统上，实现三个参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步的滑模控制，本发明提高保密通信的安全性，大大提高控制效率。

Description

参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法

技术领域

本发明属于信号处理及保密通信领域，特别涉及一种参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法。

背景技术

目前，滑模变结构控制是利用控制器迫使闭环系统的运动到达预先选定的滑模面，然后在一个不连续的高频切换控制律作用下系统运动保持在滑模面上，最终沿着滑模面收敛到期望动态。黄良玉等用滑模变结构控制方法实现外腔反馈式半导体激光器的混沌控制。一般情况下，选择线性的滑动超平面是变结构控制理论中最为常见的情形。这个线性的滑动超平面能够确保系统轨迹在到达滑动模态阶段以后，滑动模态的运动是渐近稳定的或者说跟踪误差渐近地收敛到零，并且渐近收敛的速度可以通过选择滑模面参数矩阵作相应的调节。尽管如此，但无论如何选择参数状态跟踪误差仍然不会在有限时间内收敛至零。在有限时间内使混沌系统达到同步是一个很有意义的问题。

因此，现在亟需一种参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，能够有有限时间内使混沌系统难到同步。

发明内容

本发明提出一种参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，解决了现有技术中有限时间内使混沌系统难以达到同步的问题。

本发明的技术方案是这样实现的：参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，包括如下步骤：

A：针对三个参数不确定的复混沌系统，其中两个参数不确定的复混沌系统作为驱动系统，另一个参数不确定的复混沌系统作为响应系统，然后两个驱动系统的组合和响应系统对应作差，得到组合误差系统；

B：设计终端滑模控制面使组合误差系统达到设计的滑模面，设计三个参数控制律和有限时间内的滑模控制律，确保组合误差系统有限时间内滑模控制的实现；

C：最后将三个参数控制律和有限时间内的滑模控制律加载在响应系统上，实现三个参数不确定的复混沌系有限时间组合同步的滑模控制。

作为一种优选的实施方式，步骤A中所述的驱动系统和响应系统分别表示如下：

第一个驱动系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=f_1\left(x\right(t\left)\right)+F_1\left(x\right(t\left)\right)A,\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_2\left(x\right(t\left)\right)+F_2\left(x\right(t\left)\right)A,\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{x}}_n\left(t\right)=f_n\left(x\right(t\left)\right)+F_n\left(x\right(t\left)\right)A,\end{array}\right.---\left(1\right),$

x(t)＝[x₁，x₂…，x_n]^T是第一个驱动系统(1)的状态向量，x＝x^r+jxⁱ，假设x₁＝u₁+ju₂，x₂＝u₃+ju₄，…，x_n＝u_2n-1+ju_2n，x^r＝(u₁，u₃，…，u_2n-1)，xⁱ＝(u₂，u₄，…，u_2n)^T，F(x)是n×n复矩阵，其元素是连续函数，f＝(f₁，f₂，…，f_n)^T是非线性的连续向量函数，A＝(a₁，a₂，…，a_n)^T是第一个驱动系统(1)的n×1实向量参数，上标r和i代表状态向量的实部和虚部；

第二个驱动系统为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{y}}_1\left(t\right)=g_1\left(y\right(t\left)\right)+G_1\left(y\right(t\left)\right)B,\\ {\stackrel{\·}{y}}_2\left(t\right)=g_2\left(y\right(t\left)\right)+G_2\left(y\right(t\left)\right)B,\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{y}}_n\left(t\right)=g_n\left(y\right(t\left)\right)+G_n\left(y\right(t\left)\right)B,\end{array}\right.---\left(2\right),$

y(t)＝[y₁，y₂，…y_n]^T是第二个驱动系统(2)的状态向量，y＝y^r+jyⁱ，

y₁＝u′₁+ju′₂，y₂＝u′₃+ju′₄，…，y_n＝u′_2n-1+ju′_2n，y^r＝(u′₁，u′₃，…u′_2n-1)，yⁱ＝(u′₂，u′₄，…u＇_2n)^T，G(y)是n×n复矩阵，其元素是连续函数，g＝(g₁，g₂，…，g_n)^T是非线性的连续向量函数，B＝(b₁，b₂，…，b_n)是第二个驱动系统(2)的n×1实向量参数；

响应复混沌系统是：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1\left(t\right)=h_1\left(z\right(t\left)\right)+H_1\left(z\right(t\left)\right)C+{\mathrm{\θ}}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_2\left(t\right)=h_2\left(z\right(t\left)\right)+H_2\left(z\right(t\left)\right)C+{\mathrm{\θ}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{z}}_n\left(t\right)=h_n\left(z\right(t\left)\right)+H_n\left(z\right(t\left)\right)C+{\mathrm{\θ}}_n\end{array}\right.---\left(3\right),$

z(t)＝[z₁，z₂，…，z_n]^T是响应系统(3)的状态向量，z＝z^r+jzⁱ，假设z₁＝u″₁+ju″₂，z₂＝u″₃+ju″₄，…，z_n＝u″_2n-1+ju″_2n，z^r＝(u″₁，u″₃，…，u″_2n-1)，zⁱ＝(u″₂，u″₄，…，u″_2n)，H(z)是n×n复矩阵，其元素是连续函数，h＝(h₁，h₂，…，h_n)^T是非线性的连续向量函数，C＝(c₁，c₂，…，c_n)^T响应系统(3)的n×1实向量参数，待设计的控制器为：

作为一种优选的实施方式，第一个驱动系统进一步整理为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2\left(t\right)=f_1^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_1^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_1^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_1^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_4\left(t\right)=f_2^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_2^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_2^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_2^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}\left(t\right)=f_n^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_n^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_n^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_n^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\end{array}\right.---\left(4\right),$

第二个驱动系统进一步整理为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2^{\′}\left(t\right)=g_1^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_1^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_1^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_1^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_4^{\′}\left(t\right)=g_2^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_2^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_2^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_2^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}^{\′}\left(t\right)=g_n^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_n^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_n^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_n^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\end{array}\right.---\left(5\right),$

响应系统为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1^{\′\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2^{\′\′}\left(t\right)=h_1^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_1^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_1\\ +j\[h_1^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_1^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_2\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3^{\′\′}\left(t\right)+j\stackrel{\·}{{\stackrel{\·}{u}}_4^{\′\′}}\left(t\right)=h_2^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_2^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_3\\ +j\[h_2^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_2^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_4\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}^{\′\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}^{\′\′}\left(t\right)=h_n^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_n^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_{2n-1}\\ +j\[h_n^j(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_n^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_{2n}\]\end{array}\right.---\left(6\right).$

作为一种优选的实施方式，所述的步骤C具体包括以下步骤：

定义考虑两个驱动系统(1)，(2)，和响应系统(3)的误差为e(t)，存在两个常数矩阵，Θ，Φ∈R^n×n，所述的e(t)为e(t)＝e^r(t)+jeⁱ(t)＝Θx(t)+Φy(t)-z(t)，x(t)＝[x₁，x₂，…，x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，y(t)＝[y₁，y₂，…，y_n]^T是响应系统(2)的状态向量，z(t)＝[z₁，z₂，…，z_n]^T是响应系统(3)的状态向量；在常数T＝T(e(0))＞0时，使得且当t≥T时，||e(t)||≡0，则称驱动系统(1)和(2)可以在有限的时间内实现组合同步与响应系统(3)；其中||·||表示是矩形范数。

作为一种优选的实施方式，所述的滑模控制器的设计包括两个步骤：

首先，设计终端滑模控制面使它到达期望的滑模动态；具有积分形式的终端滑模面设计如下：其中，s_k(t)∈R，p_k＞0和0＜σ＜1是常数，sgn(·)表示符号函数，

其次，选择控制律，

满足有限时间内到达条件，确保有限时间混沌组合同步实现，

参数自适应律为：

$\stackrel{\·}{\hat{A}}={\[F_k^r(u_1,u_2,...,u_{2n}),F_k^i(u_1,u_2,...,u_{2n})\]}^T{\mathrm{\λ}}_1$

$\stackrel{\·}{\hat{B}}={\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},...,u_{2n}^{\′}),G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},...,u_{2n}^{\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_2$

$\stackrel{\·}{\hat{C}}=-{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},...,u_{2n}^{\′\′}),H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},...,u^{\′\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_3$

其中，参数：

λ₁＝[ρ₁s₁θ₁，ρ₃s₃θ₂，…，ρ_2n-1s_2n-1θ_n，ρ₂s₂θ₁，ρ₄s₄θ₂，…，ρ_2ns_2nθ_n]^T

λ₂＝[ρ₁s₁φ₁，ρ₃s₃φ₂，…，ρ_2n-1s_2n-1φ_n，ρ₂s₂φ₁，ρ₄s₄φ₂，…，ρ_2ns_2nφ_n]^T

λ₃＝[ρ₁s₁，ρ₃s₃，…，ρ_2n-1s_2n-1，ρ₂s₂，ρ₄s₄，…，ρ_2ns_2n]^T

(10)，

μ，ξ_A，ξ_B和ξ_C是正常数，和是三个自适应参数的初始值A，B和C。

作为一种优选的实施方式，误差系统在有限时间内到达滑模面的到达时间为：

采用了上述技术方案后，本发明的有益效果是：本发明基于Lyapunv稳定性理论，结合自适应律和有限时间内滑模控制方法，设计滑模控制器，促使有限时间内到达滑模面，使得两个混沌复系统实现同步。滑模变结构控制方法对于被控混沌系统的不确定参数和外界扰动具有很强的鲁棒性，因此本发明运用滑模控制的方法，实现有限时间的复系统同步，而且通过仿真结果验证了该方法的正确性和有效性；考虑外界的干扰和参数的不确定情况下，结合模糊控制策略，有效地实现混沌系统同步，并顺利避免抖振现象的发生。尤其是带有未知参数的复混沌系统采用复变量使得变量加倍，密钥空间增大，破译者更加难破译，提高保密通信的安全性；由于驱动系统的增加，使得加载信号可以更加自由分割加载驱动系统的状态变量，破译者更加难以破译，在一定程度上提高保密通信的安全性；在有限时间的控制同步，大大提高控制效率，节省了大量的时间和精力，有一定的优越性。综上优势，使得我们的方案具有更大开发潜力，有望突破信息安全的瓶颈。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的流程示意图；

图2为复Lorenz系统与复Chen系统的组合系统和复Lü系统第一个状态变量实部的有限时间同步；

图3为复Lorenz系统与复Chen系统的组合系统和复Lü系统第一个状态变量虚部的有限时间同步；

图4为复Lorenz系统与复Chen系统的组合系统和复Lü系统第二个状态变量实部的有限时间同步；

图5为复Lorenz系统与复Chen系统的组合系统和复Lü系统第二个状态变量虚部的有限时间同步；

图6为复Lorenz系统与复Chen系统的组合系统和复Lü系统第三个状态变量的有限时间同步；

图7为复Lorenz系统未知参数的辨识过程；

图8为复Chen系统未知参数的辨识过程；

图9为复Lü系统未知参数的辨识过程。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

请参照图1-图9所示，本参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，包括如下步骤：

A：针对三个参数不确定的复混沌系统，其中两个参数不确定的复混沌系统作为驱动系统，另一个参数不确定的复混沌系统作为响应系统，然后两个驱动系统的组合和响应系统对应作差，得到组合误差系统；

B：设计终端滑模控制面使组合误差系统达到设计的滑模面，设计三个参数控制律和有限时间内的滑模控制律，确保组合误差系统有限时间内滑模控制的实现；

C：最后将三个参数控制律和有限时间内的滑模控制律加载在响应系统上，实现三个参数不确定的复混沌系有限时间组合同步的滑模控制。

步骤A中所述的驱动系统和响应系统分别表示如下：

第一个驱动系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=f_1\left(x\right(t\left)\right)+F_1\left(x\right(t\left)\right)A,\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_2\left(x\right(t\left)\right)+F_2\left(x\right(t\left)\right)A,\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{x}}_n\left(t\right)=f_n\left(x\right(t\left)\right)+F_n\left(x\right(t\left)\right)A,\end{array}\right.---\left(1\right),$

x(t)＝[x₁，x₂…，x_n]^T是第一个驱动系统(1)的状态向量，x＝x^r+jxⁱ。假设x₁＝u₁+ju₂，x₂＝u₃+ju₄，…，x_n＝u_2n-1+ju_2n，x^r＝(u₁，u₃，…，u_2n-1)，xⁱ＝(u₂，u₄，…，u_2n)^T，F(x)是n×n复矩阵，其元素是连续函数。f＝(f₁，f₂，…，f_n)^T是非线性的连续向量函数，A＝(a₁，a₂，…，a_n)^T是第一个驱动系统(1)的n×1实向量参数，上标r和i代表状态向量的实部和虚部。

第二个驱动系统为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{y}}_1\left(t\right)=g_1\left(y\right(t\left)\right)+G_1\left(y\right(t\left)\right)B,\\ {\stackrel{\·}{y}}_2\left(t\right)=g_2\left(y\right(t\left)\right)+G_2\left(y\right(t\left)\right)B,\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{y}}_n\left(t\right)=g_n\left(y\right(t\left)\right)+G_n\left(y\right(t\left)\right)B,\end{array}\right.---\left(2\right),$

y(t)＝[y₁，y₂，…y_n]^T是第二个驱动系统(2)的状态向量，y＝y^r+jyⁱ。假设

y₁＝u′₁+ju′₂，y₂＝u′₃+ju′₄，…，y_n＝u′_2n-1+ju′_2n，y^r＝(u′₁，u′₃，…u′_2n-1)，yⁱ＝(u′₂，u′₄，…u＇_2n)^T。G(y)是n×n复矩阵，其元素是连续函数。g＝(g₁，g₂，…，g_n)^T是非线性的连续向量函数，B＝(b₁，b₂，…，b_n)是第二个驱动系统(2)的n×1实向量参数。

响应复混沌系统是

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1\left(t\right)=h_1\left(z\right(t\left)\right)+H_1\left(z\right(t\left)\right)C+{\mathrm{\θ}}_1\\ {\stackrel{\·}{z}}_2\left(t\right)=h_2\left(z\right(t\left)\right)+H_2\left(z\right(t\left)\right)C+{\mathrm{\θ}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{z}}_n\left(t\right)=h_n\left(z\right(t\left)\right)+H_n\left(z\right(t\left)\right)C+{\mathrm{\θ}}_n\end{array}\right.---\left(3\right),$

z(t)＝[z₁，z₂，…，z_n]^T是响应系统(3)的状态向量，z＝z^r+jzⁱ。假设z₁＝u″₁+ju″₂，z₂＝u″₃+ju″₄，…，z_n＝u″_2n-1+ju″_2n，z^r＝(u″₁，u″₃，…，u″_2n-1)，zⁱ＝(u″₂，u″₄，…，u″_2n)。H(z)是n×n复矩阵，其元素是连续函数。h＝(h₁，h₂，…，h_n)^T是非线性的连续向量函数，C＝(c₁，c₂，…，c_n)^T响应系统(3)的n×1实向量参数。待设计的控制器为：

第一个驱动系统进一步整理为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2\left(t\right)=f_1^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_1^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_1^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_1^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_4\left(t\right)=f_2^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_2^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_2^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_2^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}\left(t\right)=f_n^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_n^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_n^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_n^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\end{array}\right.---\left(4\right),$

第二个驱动系统进一步整理为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2^{\′}\left(t\right)=g_1^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_1^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_1^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_1^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_4^{\′}\left(t\right)=g_2^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_2^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_2^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_2^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}^{\′}\left(t\right)=g_n^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_n^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_n^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_n^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\end{array}\right.---\left(5\right),$

响应系统为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1^{\′\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2^{\′\′}\left(t\right)=h_1^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_1^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_1\\ +j\[h_1^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_1^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_2\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3^{\′\′}\left(t\right)+j\stackrel{\·}{{\stackrel{\·}{u}}_4^{\′\′}}\left(t\right)=h_2^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_2^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_3\\ +j\[h_2^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_2^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_4\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}^{\′\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}^{\′\′}\left(t\right)=h_n^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_n^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_{2n-1}\\ +j\[h_n^j(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_n^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_{2n}\]\end{array}\right.---\left(6\right),$

所述的步骤C具体包括以下步骤：首先定义考虑两个驱动系统(1)，(2)，和响应系统(3)的误差为e(t)，存在两个常数矩阵，Θ，Φ∈R^n×n，所述的e(t)为e(t)＝e^r(t)+jeⁱ(t)＝Θx(t)+Φy(t)-z(t)，x(t)＝[x₁，x₂，…，x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，y(t)＝[y₁，y₂，…，y_n]^T是响应系统(2)的状态向量，z(t)＝[z₁，z₂，…，z_n]^T是响应系统(3)的状态向量；在常数T＝T(e(0))＞0时，使得且当t≥T时，||e(t)||≡0，则称驱动系统(1)和(2)可以在有限的时间内实现组合同步与响应系统(3)；其中||·||表示是矩形范数。

所述的滑模控制器的设计包括两个步骤：首先，设计合适的终端滑模控制面使它到达期望的滑模动态；具有积分形式的终端滑模面设计如下：其中，s_k(t)∈R，p_k＞0和0＜σ＜1是常数，sgn(·)表示符号函数。

其次，选择合适的控制律，

满足有限时间内到达条件，确保有限时间混沌组合同步实现。

合适的参数自适应律为：

$\stackrel{\·}{\hat{A}}={\[F_k^r(u_1,u_2,...,u_{2n}),F_k^i(u_1,u_2,...,u_{2n})\]}^T{\mathrm{\λ}}_1$

$\stackrel{\·}{\hat{B}}={\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},...,u_{2n}^{\′}),G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},...,u_{2n}^{\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_2$

$\stackrel{\·}{\hat{C}}=-{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},...,u_{2n}^{\′\′}),H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},...,u^{\′\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_3$

其中，参数：

λ₁＝[ρ₁s₁θ₁，ρ₃s₃θ₂，…，ρ_2n-1s_2n-1θ_n，ρ₂s₂θ₁，ρ₄s₄θ₂，…，ρ_2ns_2nθ_n]^T

λ₂＝[ρ₁s₁φ₁，ρ₃s₃φ₂，…，ρ_2n-1s_2n-1φn，ρ₂s₂φ₁，ρ₄s₄φ₂，…，ρ_2ns_2nφ_n]^T

λ₃＝[ρ₁s₁，ρ₃s₃，…，ρ_2n-1s_2n-1，ρ₂s₂，ρ₄s₄，…，ρ_2ns_2n]^T

(10)，

μ，ξ_A，ξ_B和ξ_C是正常数，和是三个自适应参数的初始值A，B和C。

所述的误差系统在有限时间内到达滑模面的到达时间为：

以下对其能够在有限时间内达到滑模面：选择正定的Lyapunov函数为：

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{2n}{\Σ}}\[s_k^2\]+\frac{1}{2}{||\tilde{A}||}^2+\frac{1}{2}{||\tilde{B}||}^2+\frac{1}{2}{||\tilde{C}||}^2,---\left(11\right),$

其中，是参数误差(显然，)。通过对V(t)求导，得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{2n}{\Σ}}\[s_k{\stackrel{\·}{s}}_k\]+{\tilde{A}}^T\stackrel{\·}{\hat{A}}+{\tilde{B}}^T\stackrel{\·}{\hat{B}}+{\tilde{C}}^T\stackrel{\·}{\hat{C}}\\ =\underset{k=1}{\overset{2n}{\Σ}}\[s_{2k-1}{\stackrel{\·}{s}}_{2k-1}\]+\underset{k=1}{\overset{2n}{\Σ}}\[s_k{\stackrel{\·}{s}}_k\]+{\tilde{A}}^T\stackrel{\·}{\hat{A}}+{\tilde{B}}^T\stackrel{\·}{\hat{B}}+{\tilde{C}}^T\stackrel{\·}{\hat{C}}\end{array}---\left(12\right),$

将代入上式(12)，得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\[s_{2k-1}\left(p_{2k-1}{\stackrel{\·}{e}}_{2k-1}\right(t)+\mathrm{sgn}(e_{2k-1}\left(t\right)\left){\left|e_{2k-1}\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\σ}}\right)\]\\ +\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\[s_{2k}\left(p_{2k}{\stackrel{\·}{e}}_{2k}\right(t)+\mathrm{sgn}(e_{2k}\left(t\right)\left){\left|e_{2k}\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\σ}}\right)\]+{\tilde{A}}^T\stackrel{\·}{\hat{A}}+{\tilde{B}}^T\stackrel{\·}{\hat{B}}+{\tilde{C}}^T\stackrel{\·}{\hat{C}}\end{array}---\left(13\right),$

动态系统的误差为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e}\left(t\right)=\mathrm{\Θ}\left(f^r\right(x\left(t\right)\left)\right)+F^r\left(x\right(t\left)A\right)+\mathrm{\Φ}\left(g^r\right(y\left(t\right)\left)\right)+\\ G^r\left(y\right(t\left)B\right)-h^r\left(z\right(t\left)\right)-H^r\left(z\right(t\left)\right)C-v^r+\\ j\[\mathrm{\Θ}\left(f^i\right(x\left(t\right)\left)\right)+F^i\left(x\right(t\left)A\right)+\mathrm{\Φ}\left(g^i\right(y\left(t\right)\left)\right)\\ +G^i\left(y\right(t\left)B\right)-h^i\left(z\right(t\left)\right)-H^i\left(z\right(t\left)\right)C-v^i\]\end{array}---\left(14\right),$

误差进一步整理为：

将等式(15)的实部与虚部分开，误差系统写为：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_1\left(t\right)={\mathrm{\θ}}_1\left(f_1^r\right(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_1^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n}\left)A\right)+{\mathrm{\φ}}_1\left(g_1^r\right(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_1^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′}\left)B\right)\\ -h_1^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})-H_1^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C-v_1\\ {\stackrel{\·}{e}}_3\left(t\right)={\mathrm{\θ}}_2\left(f_2^{\′}\right(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_2^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n}\left)A\right)+\\ {\mathrm{\φ}}_2\left(g_2^r\right(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_2^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′}\left)B\right)-h_2^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})-H_2^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C-v_3\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{e}}_{2n-1}\left(t\right)={\mathrm{\θ}}_n\left(f_n^r\right(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_n^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n}\left)A\right)+\\ {\mathrm{\φ}}_n\left(g_2^r\right(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_n^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′}\left)B\right)-h_n^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})-H_n^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C-v_{2n-1}\end{array}---\left(16\right),$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{e}}_2\left(t\right)={\mathrm{\θ}}_1\left(f_1^i\right(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\\ +F_1^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A)+{\mathrm{\φ}}_1\left(g_1^i\right(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\\ +G_1^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B)-h_1^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})-\\ H_1^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C-v_2\\ {\stackrel{\·}{e}}_4\left(t\right)={\mathrm{\θ}}_2\left(f_2^i\right(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\\ +F_2^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A)+{\mathrm{\φ}}_2\left(g_1^i\right(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+\\ G_2^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B)-h_2^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})-\\ H_2^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C-v_4\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{e}}_{2n}\left(t\right)={\mathrm{\θ}}_n\left(f_2^i\right(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\\ +F_n^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A)+{\mathrm{\φ}}_n\left(g_n^i\right(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+\\ G_n^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B)-h_n^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})-\\ H_n^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C-v_{2n}\end{array}\right.---\left(17\right),$

将等式(16)、(17)、自适应律(9)和代入到等式(11)，可得：

由于：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A=A^T{\[F_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\]}^T{\[p_1{s}_1{\mathrm{\θ}}_1,p_3{s}_3{\mathrm{\θ}}_2,\mathrm{...}{p}_{2k-1}{s}_{2k-1}{\mathrm{\θ}}_{2k}\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B=B^T{\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\]}^T{\[p_1{s}_1{\mathrm{\φ}}_1,p_3{s}_3{\mathrm{\φ}}_2,\mathrm{...}{p}_{2k-1}{s}_{2k-1}{\mathrm{\φ}}_{2k}\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{H}_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C=C^T{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\]}^T{\[p_1{s}_1,p_3{s}_3,\mathrm{...}{p}_{2k-1}{s}_{2k-1}\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\θ}}_k{G}_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A=A^T{\[F_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\]}^T{\[p_2{s}_2{\mathrm{\θ}}_1,p_4{s}_4{\mathrm{\θ}}_2,\mathrm{...}{p}_{2k}{s}_{2k}{\mathrm{\θ}}_k\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\φ}}_k{H}_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B=B^T{\[G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\]}^T{\[p_2{s}_2{\mathrm{\φ}}_1,p_4{s}_4{\mathrm{\φ}}_2,\mathrm{...}{p}_{2k}{s}_{2k}{\mathrm{\φ}}_k\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{H}_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C=C^T{\[H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\]}^T{\[p_2{s}_2,p_4{s}_4,\mathrm{...}{p}_{2k}{s}_{2k}\]}^T\end{array}\right.---\left(19\right),$

上式(19)整理为：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A=A^T{\[F_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n}),F_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\]}^T{\mathrm{\λ}}_1\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B=B^T{\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′}),G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_2\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{H}_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{H}_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C=C^T{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′}),H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_3\end{array}\right.---\left(20\right),$

等式(18)整理为：

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\\ =\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\{s_{2k-1}\[p_{2k-1}\left({\mathrm{\θ}}_k{f}_k^r\right(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\\ +{\mathrm{\φ}}_k{g}_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})-h_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\\ -v_{2k-1}+\mathrm{sgn}\left(e_{2k-1}\right(t\left)\right){\left|e_{2k-1}\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\σ}})\]\}\\ +\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\{s_{2k}\[p_{2k}\left({\mathrm{\θ}}_k{f}_k^i\right(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\\ +{\mathrm{\φ}}_k{g}_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})-h_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\\ -v_{2k}+\mathrm{sgn}\left(e_{2k}\right(t\left)\right){\left|e_{2k}\left(t\right)\right|}^{\mathrm{\σ}})\]\}\\ +{\hat{A}}^T{\[F_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n}),F_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\]}^T{\mathrm{\λ}}_1\\ +{\hat{B}}^T{\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′}),G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_2\\ -{\hat{C}}^T{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′}),H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_3\end{array}---\left(21\right),$

将等式(7)和(8)代入(21)式，可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\{s_{2k-1}\[p_{2k-1}(-{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\hat{A}\\ -{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\hat{B}+H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\hat{C}\\ \frac{u}{2}(||\hat{A}||+||\hat{B}||+||\hat{C}||+{\mathrm{\ξ}}_A+{\mathrm{\ξ}}_B+{\mathrm{\ξ}}_C)\\ \frac{s_{2k-1}}{p_{2k-1}{||S_1||}^2}+{\mathrm{\σ}}_{2K-1}\mathrm{sgn}\left(s_{2k-1}\right))\]\}\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\{s_{2k}\[p_{2k}(-{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\hat{A}\\ -{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\hat{B}+H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\hat{C}\\ \frac{u}{2}(||\hat{A}||+||\hat{B}||+||\hat{C}||+{\mathrm{\ξ}}_A+{\mathrm{\ξ}}_B+{\mathrm{\ξ}}_C)\\ \frac{s_{2k}}{p_{2k}{||S_1||}^2}+{\mathrm{\σ}}_{2K}\mathrm{sgn}\left(s_{2k}\right))\]\}\\ +\hat{A}{\[F_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n}),F_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\]}^T{\mathrm{\λ}}_1\\ +B^T{\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′}),G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_2\\ -{\hat{C}}^T{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′}),H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_3\end{array}---\left(22\right),$

由于：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\hat{A}={\hat{A}}^T{\[F_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\]}^T{\[p_1{s}_1{\mathrm{\θ}}_1,p_3{s}_3{\mathrm{\θ}}_2,\mathrm{...}{p}_{2k-1}{s}_{2k-1}{\mathrm{\θ}}_k\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\hat{B}={\hat{B}}^T{\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\]}^T{\[p_1{s}_1{\mathrm{\φ}}_1,p_3{s}_3{\mathrm{\φ}}_2,\mathrm{...}{p}_{2k-1}{s}_{2k-1}{\mathrm{\φ}}_k\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{H}_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\hat{C}=C^T{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\]}^T{\[p_1{s}_1,p_3{s}_3,\mathrm{...}{p}_{2k-1}{s}_{2k-1}\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\hat{A}={\hat{A}}^T{\[F_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\]}^T{\[p_2{s}_2{\mathrm{\θ}}_1,p_4{s}_4{\mathrm{\θ}}_2,\mathrm{...}{p}_{2k}{s}_{2k}{\mathrm{\θ}}_k\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\hat{B}={\hat{B}}^T{\[G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\]}^T{\[p_2{s}_2{\mathrm{\φ}}_1,p_4{s}_4{\mathrm{\φ}}_2,\mathrm{...}{p}_{2k}{s}_{2k}{\mathrm{\φ}}_k\]}^T\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{H}_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\hat{C}={\hat{C}}^T{\[H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\]}^T{\[p_2{s}_2,p_4{s}_4,\mathrm{...}{p}_{2k}{s}_{2k}\]}^T\end{array}\right.---\left(23\right),$

(23)式可写为：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\hat{A}\\ +\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\θ}}_k{F}_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\hat{A}={\hat{A}}^T{\[F_k^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n}),F_k^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})\]}^T{\mathrm{\λ}}_1,\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\hat{B}\\ +\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\φ}}_k{G}_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\hat{B}={\hat{B}}^T{\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′}),G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_2,\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k-1}{p}_{2k-1}{H}_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\hat{C}+\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{s}_{2k}{p}_{2k}{H}_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\hat{C}={\hat{C}}^T{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′}),H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_3,\end{array}\right.---\left(24\right),$

将等式(24)代入式(22)，可得：

根据和得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\[-s_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\σ}}_{2k-1}\mathrm{sgn}\left(s_{2k-1}\right)\]+\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\[-s_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\σ}}_{2k}\mathrm{sgn}\left(s_{2k}\right)\]-u(+||\hat{B}||+||\hat{C}||+{\mathrm{\ξ}}_A+{\mathrm{\ξ}}_B+{\mathrm{\ξ}}_C).\end{array}---\left(26\right),$

依据假设：未知向量参数A，B和C有界，即：

||A||≤ξ^A，||B||≤ξ^B，||C||≤ξ^C，(7)

其中，ξ_A，ξ_B和ξ_C是三个正常数。

可得：

$\begin{array}{c}||\hat{A}-A||\≤||\stackrel{\·}{A}||+||A||\≤||\hat{A}||+{\mathrm{\ξ}}_A,\\ ||\hat{B}-B||\≤||\stackrel{\·}{B}||+||B||\≤||\hat{B}||+{\mathrm{\ξ}}_B,\\ ||\hat{C}-C||\≤||\stackrel{\·}{C}||+||C||\≤||\hat{C}||+{\mathrm{\ξ}}_C,\end{array}---\left(27\right),$

可推得：

$\begin{array}{c}-(||\hat{A}||+{\mathrm{\ξ}}_A)\≤-||\hat{A}-A||,\\ -(||\hat{B}||+{\mathrm{\ξ}}_B)\≤-||\hat{B}-B||,\\ -(||\hat{C}||+{\mathrm{\ξ}}_C)\≤-||\hat{C}-C||,\end{array}---\left(28\right),$

根据(28)式可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\[-s_{2k-1}{p}_{2k-1}{\mathrm{\σ}}_{2k-1}\mathrm{sgn}\left(s_{2k-1}\right)\]+\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\[-s_{2k}{p}_{2k}{\mathrm{\σ}}_{2k}\mathrm{sgn}\left(s_{2k}\right)\]-u||\hat{A}-{\mathrm{\ξ}}_A||-u||\hat{B}-{\mathrm{\ξ}}_B||-u||\hat{C}-{\mathrm{\ξ}}_C||\end{array}---\left(29\right),$

根据sgn(s_2k-₁)＝|s_2k-1|/s_2k-1和sgn(s_2k)＝|s_2k|/s_2k，可推导出：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)=-\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{p}_{2k-1}{\mathrm{\σ}}_{2k-1}\left|s_{2k-1}\right|-\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{p}_{2k}{\mathrm{\σ}}_{2k}\left|s_{2k}\right|-u||\hat{A}-{\mathrm{\ξ}}_A||-u||\hat{B}-{\mathrm{\ξ}}_B||-u||\hat{C}-{\mathrm{\ξ}}_C||\end{array}---\left(30\right),$

依据引理，对于实常数a₁，a₂，…，a_n∈R，则不等式恒成立：

${(a_1^2+a_2^2+\mathrm{...}+a_n^2)}^{1/2}\≤\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\mathrm{...}+\left|a_n\right|$

可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(t\right)\≤-u(\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}||s_{2k-1}||-\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}||s_{2k}||+||\hat{A}-{\mathrm{\ξ}}_A||+||\hat{B}-{\mathrm{\ξ}}_B||+||\hat{C}-{\mathrm{\ξ}}_C||)\\ \≤-\sqrt{2}u{(\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}||s_k^2||+\frac{1}{2}||\hat{A}-{\mathrm{\ξ}}_A||+\frac{1}{2}||\hat{B}-{\mathrm{\ξ}}_B||+\frac{1}{2}||\hat{C}-{\mathrm{\ξ}}_C||)}^{\frac{1}{2}}\\ =-\sqrt{2}{\mathrm{uV}}^{\frac{1}{2}}\end{array}---\left(31\right),$

因此，误差e_k(t)将在有限时间内收敛到滑模面s_k(t)＝0。以上证明完毕。

以下以举例子简要证明：本发明中所述得控制器的设计也可以应用到具有不同的初值的三个相同的复混沌系统。三个系统(1)，(2)和(3)满足：f_k(·)＝g_k(·)＝h_k(·)，F_k(·)＝G_k(·)＝H_k(·)，f^r _k(·)＝g^r _k(·)＝h^r _k(·)，fⁱ _k(·)＝gⁱ _k(·)＝hⁱ _k(·)，

其中，控制输入(7)和(8)包含s_2k-1/||S₁||²，s_2k/|S₂|²，sgn(s_k)＝|s_k|/s_k(k＝1，2，…2n)，抖振现象就会发生。为了避免这类现象发生，s_2k-1/||S₁||²，s_2k/|S₂||²，sgn(s_k)＝|s_k|/s_k(k＝1，2，…2n)分别由s_2k-1/||S₁+ε||²，s_2k/||S₂+ε||²，sgn(s_k)＝|s_k|/(s_k+ε)(k＝1，2，…2n)代替，其中ε＞0是足够小的常数。

以下以具体例子举例说明：复Lorenz系统，复Chen系统与复Lü系统了作为例子来验证的此方案的有效性。复Lorenz系统和复Chen系统是驱动系统，复Lü系统的响应系统。复Lorenz系统作为第一个驱动系统如下：

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=a_1(x_2-x_1),\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=a_2{x}_1-x_2-x_1{x}_3,\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=1/2({\stackrel{\‾}{x}}_1{x}_2+x_1{\stackrel{\‾}{x}}_2)-a_3{x}_3.\end{array}---\left(32\right),$

复Chen系统被写为第二驱动系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{y}}_1=b_1(y_2-y_1),\\ {\stackrel{\·}{y}}_2=(b_2-b_1)y_1-y_1{y}_3+b_2{y}_2\\ {\stackrel{\·}{y}}_3=1/2({\stackrel{\‾}{y}}_1{y}_2+y_1{\stackrel{\‾}{y}}_2)-b_3{x}_3\end{array}\right.---\left(33\right),$

复Lü系统作为响应系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=c_1(z_2-z_1)+v_1+{\mathrm{jv}}_2\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=-z_1{z}_3+c_2{z}_2+v_3+{\mathrm{jv}}_4\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=1/2({\stackrel{\‾}{z}}_1{z}_2+z_1{\stackrel{\‾}{z}}_2)-c_3{z}_3+v_5\end{array}\right.---\left(34\right),$

三个混沌复系统(32)，(33)和(34)重新整理成方程形式(1)，(2)和(3)如下：

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -x_2-x_1{x}_3\\ 1/2({\stackrel{\‾}{x}}_1{x}_2+x_1{\stackrel{\‾}{x}}_2)\end{array}\right)& F\left(x\right)=\left(\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& 0& 0\\ 0& x_1& 0\\ 0& 0& -x_3\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{cc}g\left(y\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -y_1{y}_3\\ 1/2({\stackrel{\‾}{y}}_1{y}_2+y_1{\stackrel{\‾}{y}}_2)\end{array}\right)& G=\left(\begin{array}{ccc}{y}_2-y_1& 0& 0\\ -y& y_2+y_1& 0\\ 0& 0& -y_3\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{cc}h\left(z\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -z_1{z}_3\\ 1/2({\stackrel{\‾}{z}}_1{z}_2+z_1{\stackrel{\‾}{z}}_2)\end{array}\right)& H\left(z\right)=\left(\begin{array}{ccc}{z}_2-z_1& 0& 0\\ 0& z_2& 0\\ 0& 0& -z_3\end{array}\right),\end{array}$

三个向量x＝(x₁，x₂，x₃)^T，y＝(y₁，y₂，y₃)^T，z＝(z₁，z₂，z₃)^T分别是驱动系统(32)，(33)和响应系统(34)的状态向量，分别为A＝(a₁，a₂，a₃)^T，B＝(b₁，b₂，b₃)^T，C＝(c₁，c₂，c₃)^T三个未知参数向量，v₁，v₂，v₃，v₄和v₅是五个控制输入。

假设σ＝1/3，p₁＝1，p₂＝2，p₃＝3，p₄＝4，p₅＝5，滑模控制面为：

$\left\{\begin{array}{c}{s}_1=e_1\left(t\right)-e_1\left(0\right)+{\∫}_0^t\mathrm{sgn}\left(e_1\right(\mathrm{\τ}\left)\right){\left|e_1\left(\mathrm{\τ}\right)\right|}^{1/3}d\mathrm{\τ},\\ s_2=2\left(e_2\right(t)-e_2(0\left)\right)+{\∫}_0^t\mathrm{sgn}\left(e_2\right(\mathrm{\τ}\left)\right){\left|e_2\left(\mathrm{\τ}\right)\right|}^{1/3}d\mathrm{\τ},\\ s_3=3\left(e_3\right(t)-e_3(0\left)\right)+{\∫}_0^t\mathrm{sgn}\left(e_3\right(\mathrm{\τ}\left)\right){\left|e_3\left(\mathrm{\τ}\right)\right|}^{1/3}d\mathrm{\τ},\\ s_4=4\left(e_4\right(t)-e_4(0\left)\right)+{\∫}_0^t\mathrm{sgn}\left(e_4\right(\mathrm{\τ}\left)\right){\left|e_4\left(\mathrm{\τ}\right)\right|}^{1/3}d\mathrm{\τ},\\ s_5=5\left(e_5\right(t)-e_5(0\left)\right)+{\∫}_0^t\mathrm{sgn}\left(e_5\right(\mathrm{\τ}\left)\right){\left|e_5\left(\mathrm{\τ}\right)\right|}^{1/3}d\mathrm{\τ}.\end{array}\right.---\left(35\right),$

三个已知正常数ξ_A，ξ_B，ξ_C被选为100，σ₁＝σ₂＝σ₃＝σ₄＝σ₅＝2是切换增益，则u＝min{2，4，6，8，10}＝2。θ₁＝θ₂＝θ₃＝1，φ₁＝φ₂＝φ₃＝1，是任意给定的。误差动力学方程为：

参数自适应律为：

$\stackrel{\·}{\hat{A}}=\left(\begin{array}{c}{\hat{a}}_1\\ {\hat{a}}_2\\ {\hat{a}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(u_3-u_1)s_1+(u_4-u_2)s_2\\ u_1{s}_3+u_3{s}_4\\ -u_5{s}_5\end{array}\right)---\left(37\right),$

$\stackrel{\·}{\hat{B}}=\left(\begin{array}{c}{\hat{b}}_1\\ {\hat{b}}_2\\ {\hat{b}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(u_3^{\′}-u_1^{\′})s_1+(u_4^{\′}-u_2^{\′})s_2\\ -u_1^{\′}{s}_1+(u_1^{\′}+u_3^{\′})s_3\\ -u_2^{\′}{s}_2+(u_2^{\′}+u_4^{\′})s_4\\ -u_5^{\′}{s}_5\end{array}\right)---\left(38\right),$

$\stackrel{\·}{\hat{C}}=\left(\begin{array}{c}{\hat{c}}_1\\ {\hat{c}}_2\\ {\hat{c}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(u_3^{\′\′}-u_1^{\′\′})s_1+(u_4^{\′\′}-{u^{\′\′}}_2)s_2\\ u_1^{\′\′}{s}_3+u_3^{\′\′}{s}_4\\ -u_5^{\′\′}{s}_5\end{array}\right)---\left(39\right),$

三个复混沌系统的初始状态任意给定：

(x₁，x₂，x₃)＝(3+2j，1+3j，1)，(y₁，y₂，y₃)＝(0.1+0.1j，0.1+0.1j，0.1)，

(z₁，z₂，z₃)＝(11.9+14.9j，13.9+12.9j，15.9)，

估计参数的初始值为和

本参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，基于Lyapunv稳定性理论，结合自适应律和有限时间内滑模控制方法，设计滑模控制器，促使有限时间内到达滑模面，使得两个混沌复系统实现同步。滑模变结构控制方法对于被控混沌系统的不确定参数和外界扰动具有很强的鲁棒性，因此本发明运用滑模控制的方法，实现有限时间的复系统同步，而且通过仿真结果验证了该方法的正确性和有效性；考虑外界的干扰和参数的不确定情况下，结合模糊控制策略，有效地实现混沌系统同步，并顺利避免抖振现象的发生。尤其是带有未知参数的复混沌系统采用复变量使得变量加倍，密钥空间增大，破译者更加难破译，提高保密通信的安全性；由于驱动系统的增加，使得加载信号可以更加自由分割加载驱动系统的状态变量，破译者更加难以破译，在一定程度上提高保密通信的安全性；在有限时间的控制同步，大大提高控制效率，节省了大量的时间和精力，有一定的优越性，综上优势，使得我们的方案具有更大开发潜力，有望突破信息安全的瓶颈。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

A：针对三个参数不确定的复混沌系统，其中两个参数不确定的复混沌系统作为驱动系统，另一个参数不确定的复混沌系统作为响应系统，然后两个驱动系统的组合和响应系统对应作差，得到组合误差系统；

B：设计终端滑模控制面使组合误差系统达到设计的滑模面，设计三个参数控制律和有限时间内的滑模控制律，确保组合误差系统有限时间内滑模控制的实现；

C：最后将三个参数控制律和有限时间内的滑模控制律加载在响应系统上，实现三个参数不确定的复混沌系有限时间组合同步的滑模控制。

2.根据权利要求1所述的参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，其特征在于，步骤A中所述的驱动系统和响应系统分别表示如下：第一个驱动系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=f_1\left(x\right(t\left)\right)+F_1\left(x\right(t\left)\right)A,\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_2\left(x\right(t\left)\right)+F_2\left(x\right(t\left)\right)A,\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{x}}_n\left(t\right)=f_n\left(x\right(t\left)\right)+F_n\left(x\right(t\left)\right)A,\end{array}\right.---\left(1\right),$

x(t)＝[x₁，x₂…，x_n]^T是第一个驱动系统(1)的状态向量，x＝x^r+jxⁱ，设x₁＝u₁+ju₂，x₂＝u₃+ju₄，…，x_n＝u_2n-1+ju_2n，x^r＝(u₁，u₃，…，u_2n-1)，xⁱ＝(u₂，u₄，…，u_2n)^T，F(x)是n×n复矩阵，其元素是连续函数，f＝(f₁，f₂，…，f_n)^T是非线性的连续向量函数，A＝(a₁，a₂，…，a_n)^T是第一个驱动系统(1)的n×1实向量参数，上标r和i代表状态向量的实部和虚部；

第二个驱动系统为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{y}}_1\left(t\right)=g_1\left(y\right(t\left)\right)+G_1\left(y\right(t\left)\right)B,\\ {\stackrel{\·}{y}}_2\left(t\right)=g_2\left(y\right(t\left)\right)+G_2\left(y\right(t\left)\right)B,\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{y}}_n\left(t\right)=g_n\left(y\right(t\left)\right)+G_n\left(y\right(t\left)\right)B,\end{array}\right.---\left(2\right),$

y(t)＝[y₁，y₂，…y_n]^T是第二个驱动系统(2)的状态向量，y＝y^r+jyⁱ，y₁＝u′₁+ju′₂，y₂＝u′₃+ju＇₄，…，y_n＝u′_2n-1+ju′_2n，y^r＝(u′₁，u＇₃，…u′_2n-1)，yⁱ＝(u′₂，u′₄，…u′_2n)^T，G(y)是n×n复矩阵，其元素是连续函数，g＝(g₁，g₂，…，g_n)^T是非线性的连续向量函数，B＝(b₁，b₂，…，b_n)是第二个驱动系统(2)的n×1实向量参数；

响应系统是：

z(t)＝[z₁，z₂，…，z_n]^T是响应系统(3)的状态向量，z＝z^r+jzⁱ，假设z₁＝u″₁+ju″₂，z₂＝u″₃+ju″₄…，z_n＝u″_2n-1+ju″_2n，z^r＝(u″₁，u″₃，…，u″_2n-1)，zⁱ＝(u″₂，u″₄，…，u″_2n)，H(z)是n×n复矩阵，其元素是连续函数，h＝(h₁，h₂，…，h_n)^T是非线性的连续向量函数，C＝(c₁，c₂，…，c_n)^T响应系统(3)的n×1实向量参数，待设计的控制器为：

3.根据权利要求2所述的参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，其特征在于，第一个驱动系统进一步整理为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2\left(t\right)=f_1^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_1^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_1^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_1^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_4\left(t\right)=f_2^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_2^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_2^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_2^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}\left(t\right)=f_n^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_n^r(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\\ +j\[f_n^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})+F_n^i(u_1,u_2,\mathrm{...}{u}_{2n})A\]\end{array}\right.---\left(4\right),$

第二个驱动系统进一步整理为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2^{\′}\left(t\right)=g_1^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_1^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_1^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_1^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_4^{\′}\left(t\right)=g_2^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_2^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_2^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_2^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}^{\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}^{\′}\left(t\right)=g_n^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_n^r(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\\ +j\[g_n^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})+G_n^i(u_1^{\′},u_2^{\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′})B\]\end{array}\right.---\left(5\right),$

响应系统为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{u}}_1^{\′\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_2^{\′\′}\left(t\right)=h_1^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_1^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_1\\ +j\[h_1^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_1^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_2\]\\ {\stackrel{\·}{u}}_3^{\′\′}\left(t\right)+\stackrel{\·}{j{\stackrel{\·}{u}}_4^{\′\′}}\left(t\right)=h_2^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_2^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_3\\ +j\[h_2^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_2^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_4\]\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{u}}_{2n-1}^{\′\′}\left(t\right)+j{\stackrel{\·}{u}}_{2n}^{\′\′}\left(t\right)=h_n^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_n^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_{2n-1}\\ +j\[h_n^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})+H_n^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},\mathrm{...}{u}_{2n}^{\′\′})C+v_{2n}\]\end{array}\right.---\left(6\right).$

4.根据权利要求2所述的参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，其特征在于，所述的步骤C具体包括以下步骤：

定义考虑两个驱动系统(1)，(2)，和响应系统(3)的误差为e(t)，存在两个常数矩阵，Θ，Φ∈R^n×n，所述的e(t)为e(t)＝er(t)+jeⁱ(t)＝Θx(t)+Φy(t)-z(t)，x(t)＝[x₁，x₂，…，x_n]^T是驱动系统(1)的状态向量，y(t)＝[y₁，y₂，…，y_n]^T是响应系统(2)的状态向量，z(t)＝[z₁，z₂，…，z_n]^T是响应系统(3)的状态向量；在常数T＝T(e(0))＞0时，使得且当t≥T时，||e(t)||≡0，则称驱动系统(1)和(2)可以在有限的时间内实现组合同步与响应系统(3)；其中||·||表示是矩形范数。

5.根据权利要求1所述的参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，其特征在于，所述的滑模控制器的设计包括两个步骤：

首先，设计终端滑模控制面使它到达期望的滑模动态；具有积分形式的终端滑模面设计如下：其中，s_k(t)∈R，p_k＞0和0＜σ＜1是常数，sgn(·)表示符号函数，

其次，选择控制律：

满足有限时间内到达条件，确保有限时间混沌组合同步实现，

参数自适应律为：

$\stackrel{\·}{\hat{A}}={\[F_k^r(u_1,u_2,...,u_{2n}),F_k^i(u_1,u_2,...,u_{2n})\]}^T{\mathrm{\λ}}_1$

$\stackrel{\·}{\hat{B}}={\[G_k^r(u_1^{\′},u_2^{\′},...,u_{2n}^{\′}),G_k^i(u_1^{\′},u_2^{\′},...,u_{2n}^{\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_2$

$\stackrel{\·}{\hat{C}}=-{\[H_k^r(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},...,u_{2n}^{\′\′}),H_k^i(u_1^{\′\′},u_2^{\′\′},...,u^{\′\′})\]}^T{\mathrm{\λ}}_3$

其中，参数：

λ₁＝[ρ₁s₁θ₁，ρ₃s₃θ₂，…，ρ_2n-1s_2n-1θ_n，ρ₂s₂θ₁，ρ₄s₄θ₂，…，ρ_2ns_2nθ_n]^T

λ₂＝[ρ₁s₁φ₁，ρ₃s₃φ₂，…，ρ_2n-1s_2n-1φ_n，ρ₂s₂φ₁，ρ₄s₄φ₂，…，ρ_2ns_2nφ_n]^T

λ₃＝[ρ₁s₁，ρ₃s₃，…，ρ_2n-1s_2n-1，ρ₂s₂，ρ₄s₄，…，ρ_2ns_2n]^T

(10)，

μ，ξ_A，ξ_B和ξ_C是正常数，和是三个自适应参数的初始值A，B和C。

6.根据权利要求1所述的参数不确定的复混沌系统有限时间组合同步滑模控制方法，其特征在于，误差系统在有限时间内到达滑模面的到达时间为：

$T\≤\frac{\sqrt{2}}{u}{(\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{2n}{\Σ}}\[s_k^2(0)\]+\frac{1}{2}|\left|\hat{A}\right(0)-A|{|}^2+\frac{1}{2}\left|\right|\hat{B}\left(0\right)-B|{|}^2+\frac{1}{2}|\left|\hat{C}\right(0)-C|{|}^2)}^{\frac{1}{2}}.$