CN109062054A - 一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，流程包括：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统；设计非线性全局滑模面和自适应指数趋近律；设计自适应全局滑模控制器，该单一的自适应全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制。采用非线性全局滑模面的全局滑模控制器在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性，将全局滑模控制器和自适应滑模控制器相结合，提出了自适应全局滑模控制器，只需要单一的控制输入就能实现三阶严反馈混沌的轨迹跟踪控制，并克服建模不确定和外部干扰信号的影响。

Description

一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法。

背景技术

混沌是连接确定性运动和随机性运动的纽带，广泛存在于自然界和人类社会中。三阶严反馈混沌只需要单一输入就能实现轨迹跟踪，在保密通信方面具有广泛的应用前景。由于存在建模不确定和外部干扰信号，对于不同初始状态三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪非常困难。

滑模控制对于建模不确定和外部干扰信号具有很强的鲁棒性，并具有响应速度快和容易实现等优点，广泛用于非线性系统的控制。采用非线性全局滑模面的全局滑模控制器具有全局鲁棒性，与线性滑模面相比，有很大的优势。自适应滑模控制器能够通过自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计。将非线性全局滑模面和自适应滑模控制器相结合，设计自适应全局滑模控制器用于三阶严反馈混沌的轨迹跟踪非常必要。

发明内容

基于以上的技术问题，本发明提供一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，提出了非线性全局滑模面和自适应指数趋近律，采用自适应率对建模不确定和外部干扰信号的上界进行估计，采用单一的自适应全局滑模控制器，在建模不确定和外部干扰信号的情况下，确保不同初始状态三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制控制。

所述一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，包括以下步骤：

步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统：

三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，x₁，x₂和x₃为系统的状态变量，x＝[x₁,x₂,x₃]^T，f_x(x,t)为连续函数，t为时间。

带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，△f(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，u为控制输入。在式(2)中，建模不确定△f(x)和外部干扰信号d(t)均有界，即：

其中，d₁为建模不确定的上界，d₂为外部干扰信号的上界，且d₁≥0，d₂≥0。d₁和d₂为未知参数，采用自适应率进行估计。

三阶严反馈混沌系统的期望轨迹为x_d，其中x_d具有三阶导数。三阶严反馈混沌系统状态变量x₁的期望轨迹为x_d，状态变量x₂的期望轨迹为状态变量x₃的期望轨迹为三阶严反馈混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差为e₁＝x₁-x_d，

根据式(2)的三阶严反馈混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统为：

其中e₁，e₂和e₃为轨迹跟踪误差系统状态变量；

步骤2：设计非线性全局滑模面和自适应指数趋近律；

所述非线性全局滑模面为：

s＝e₃+k₁e₂+k₂e₁-p(t) (5)

其中，k₁>0，k₂>0。p(t)是为了实现全局滑模控制设计的函数。函数p(t)必须满足下面的三个条件：

(1)p(0)＝e₃(0)+k₁e₂(0)+k₂e₁(0)；

(2)当t→∞时，p(t)→0；

(3)p(t)具有一阶导数。

根据以上三个条件，将函数p(t)设计为：

p(t)＝p(0)e^-βt (6)

其中，β>0。对函数p(t)进行求导，可以得到

所述自适应指数趋近律设计为：

其中，λ₀为常数，且λ₀≥0。和分别为未知参数d₁和d₂的估计值，通过自适应率得到。参数λ根据轨迹跟踪误差的大小进行自适应调整，随着轨迹跟踪误差的减小，参数λ趋近于λ₀。

步骤3：根据轨迹跟踪误差公式(4)，非线性全局滑模面公式(5)和自适应指数趋近律公式(8)，设计自适应全局滑模控制器，该单一的自适应全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

根据式(4)、式(5)和式(8)，设计自适应全局滑模控制器为：

所述未知参数d₁和d₂的自适应率为：

其中，μ₁和μ₂为常数，且μ₁>0，μ₂>0。d₁₀和d₂₀分别为和的初始值，且d₁₀>0，d₂₀>0。

在式(9)的控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制器不连续，出现抖振现象。为了削弱抖振的影响，采用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)。最终所述自适应全局滑模控制器为：

其中，饱和函数sat(s)的表达式为其中，δ为常数，且δ>0。

通过Lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明，其中，Lyapunov函数为

其中，s是公式(5)中定义的非线性全局滑模面，μ₁和μ₂为常数，且μ₁>0，μ₂>0，和分别为通过自适应率得到的未知参数d₁和d₂估计值。

对公式(12)进行求导，然后将公式(5)、公式(4)和公式(10)带入可以得到：

然后将公式(9)带入，化简后可以得到：

通过Lyapunov稳定性理论证明了由式(4)、式(9)和式(10)组成闭环系统是稳定的，驱动系统和响应系统的轨迹跟踪误差渐进收敛到零。单一的自适应全局滑模控制器能够实现不同初始状态三阶严反馈混沌的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

有益技术效果：

本发明提出一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，采用非线性全局滑模面的全局滑模控制器在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性，而传统的滑模控制器在趋近模态不具有鲁棒性。将全局滑模控制器和自适应滑模控制器相结合，提出了自适应全局滑模控制器，通过自适应率对建模不确定和外部干扰信号进行估计，在趋近模态和滑模模态都具有鲁棒性，只需要单一的控制输入就能实现三阶严反馈混沌的轨迹跟踪控制，并克服建模不确定和外部干扰信号的影响。

附图说明

图1为本发明实施例的原理图；

图2为本发明实施例1中采用符号函数时控制输入的响应曲线；

图3为本发明实施例1中采用饱和函数时控制输入的响应曲线；

图4为本发明实施例1中状态变量x₁和期望轨迹x_d的响应曲线；

图5为本发明实施例1中状态变量x₂和期望轨迹的响应曲线；

图6为本发明实施例1中状态变量x₃和期望轨迹的响应曲线；

图7为本发明实施例1中轨迹跟踪误差的响应曲线；

图8为本发明实施例2中采用符号函数时控制输入的响应曲线；

图9为本发明实施例2中采用饱和函数时控制输入的响应曲线；

图10为本发明实施例2中状态变量x₁和期望轨迹x_d的响应曲线；

图11为本发明实施例2中状态变量x₂和期望轨迹的响应曲线；

图12为本发明实施例2中状态变量x₃和期望轨迹的响应曲线；

图13为本发明实施例2中轨迹跟踪误差的响应曲线；

具体实施方式

下面结合附图和具体实施实例对发明做进一步说明：如图1所示，根据三阶严反馈混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，设计非线性全局滑模面和自适应指数趋近律，设计自适应率和自适应全局滑模控制器，该自适应全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现不同初始状态三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制。

为了更加直观的显示本发明提出的一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶Runge-Kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，最大步长为0.0001s，仿真时间为10s。在饱和函数中，参数设定为δ＝0.001。

具体实施例1：

三阶严反馈混沌系统为Arneodo混沌系统。Arneodo系统的状态方程为：

当参数a₁＝-1，a₂＝-5.5，a₃＝3.5，a₄＝1时，Arneodo系统会出现混沌现象。带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统，状态方程为：

以式(14)作为三阶严反馈混沌系统。建模不确定△f(x)设定为△f(y)＝2sin(x₁+x₂)，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝3sin(3t)。三阶严反馈混沌系统的初始状态设定为x₁(0)＝2，x₂(0)＝-2，x₃(0)＝2.5。

Arneodo混沌系统状态变量x₁的期望轨迹为x_d＝sin(t)，状态变量x₂的期望轨迹为状态变量x₃的期望轨迹为期望轨迹的初始状态为x_d(0)＝0，

Arneodo混沌系统状态变量和期望轨迹的轨迹跟踪误差为e₁＝x₁-x_d， 轨迹跟踪误差系统采用公式(4)：

其中e₁，e₂和e₃为轨迹跟踪误差系统的状态变量。轨迹跟踪误差系统状态变量的初始值为e₁(0)＝x₁(0)-x_d(0)＝2，

非线性全局滑模面采用公式(5)：

s＝e₃+k₁e₂+k₂e₁-p(t) (5)

其中，参数设定为k₁＝2，k₂＝2。

函数p(t)采用公式(6)

p(t)＝p(0)e^-βt (6)

其中，参数设定为β＝5。

自适应指数趋近律采用公式(8)：

其中，参数设定为λ₀＝0.2。和分别为未知参数d₁和d₂的估计值，通过自适应率得到。

未知参数d₁和d₂的自适应率采用公式(10)

其中，参数设定为μ₁＝60，μ₂＝60，d₁₀＝1.7，d₂₀＝2.5。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是采用符号函数sgn(s)时，自适应全局滑模控制器的控制输入曲线。图3是采用饱和函数sat(s)时，自适应全局滑模控制器的控制输入曲线。在图2中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图3中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图4是Arneodo混沌系统状态变量x₁和期望轨迹x_d的响应曲线。图5是Arneodo混沌系统状态变量x₂和期望轨迹的响应曲线。图6是Arneodo混沌系统状态变量x₃和期望轨迹的响应曲线。图7是轨迹跟踪误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到轨迹跟踪误差在7s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快。

自适应全局滑模控制器公式(11)和自适应率公式(10)对轨迹跟踪误差系统公式(4)进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现不同初始状态Arneodo混沌系统的轨迹跟踪控制。在建模不确定和外部干扰信号下，只采用单一的控制器实现了不同初始状态Arneodo混沌系统的轨迹跟踪控制，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

具体实施例2：

三阶严反馈混沌系统为Genesio-Tesi混沌系统。Genesio-Tesi系统的状态方程为：

其中，参数为a>0，b>0，c>0，且ab<c。当参数a＝1.2，b＝2.92，c＝6时，Genesio-Tesi系统会出现混沌现象。带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统，状态方程为

以式(16)作为三阶严反馈混沌系统。建模不确定△f(x)设定为△f(y)＝2sin(3x₂)，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝2cos(3t)。三阶严反馈混沌系统的初始状态设定为x₁(0)＝-1，x₂(0)＝2.5，x₃(0)＝1.2。

Genesio-Tesi混沌系统状态变量x₁的期望轨迹为x_d＝sin(2t)，状态变量x₂的期望轨迹为状态变量x₃的期望轨迹为期望轨迹的初始状态为x_d(0)＝0，

Genesio-Tesi混沌系统状态变量和期望轨迹的轨迹跟踪误差为e₁＝x₁-x_d， 轨迹跟踪误差系统采用公式(4)：

其中e₁，e₂和e₃为轨迹跟踪误差系统状态变量。轨迹跟踪误差系统状态变量的初始值为e₁(0)＝x₁(0)-x_d(0)＝-1，

非线性全局滑模面采用公式(5)：

s＝e₃+k₁e₂+k₂e₁-p(t) (5)

其中，参数设定为k₁＝2，k₂＝2。

函数p(t)采用公式(6)：

p(t)＝p(0)e^-βt (6)

其中，参数设定为β＝5。

自适应指数趋近律采用公式(8)：

其中，参数设定为λ₀＝0.2。和分别为未知参数d₁和d₂的估计值，通过自适应率得到。

未知参数d₁和d₂的自适应率采用公式(10)：

其中，参数设定为μ₁＝60，μ₂＝60，d₁₀＝1.7，d₂₀＝1.8。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图8是采用符号函数sgn(s)时，自适应全局滑模控制器的控制输入曲线。图9是采用饱和函数sat(s)时，自适应全局滑模控制器的控制输入曲线。在图8中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图9中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图10是Genesio-Tesi混沌系统状态变量x₁和期望轨迹x_d的响应曲线。图11是Genesio-Tesi混沌系统状态变量x₂和期望轨迹的响应曲线。图12是Genesio-Tesi混沌系统状态变量x₃和期望轨迹的响应曲线。图13是轨迹跟踪误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到轨迹跟踪误差在7s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快。

自适应全局滑模控制器公式(11)和自适应率公式(10)对轨迹跟踪误差系统公式(4)进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现不同初始状态Genesio-Tesi混沌系统的轨迹跟踪控制。在建模不确定和外部干扰信号下，只采用单一的控制器实现了不同初始状态Genesio-Tesi混沌系统的轨迹跟踪控制，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

Claims (2)

1.一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统：

三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，x₁，x₂和x₃为系统的状态变量，x＝[x₁,x₂,x₃]^T，f_x(x,t)为连续函数，t为时间；

带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，△f(x)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，u为控制输入，在式(2)中，建模不确定△f(x)和外部干扰信号d(t)均有界，即：

其中，d₁为建模不确定△f(x)的上界，d₂为外部干扰信号的上界，且d₁≥0，d₂≥0，d₁和d₂为未知参数，采用自适应率进行估计；

三阶严反馈混沌系统的期望轨迹为x_d，其中x_d具有三阶导数，三阶严反馈混沌系统状态变量x₁的期望轨迹为x_d，状态变量x₂的期望轨迹为状态变量x₃的期望轨迹为三阶严反馈混沌系统和期望轨迹的轨迹跟踪误差为e₁＝x₁-x_d，

根据式(2)的三阶严反馈混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统为：

其中e₁，e₂和e₃为轨迹跟踪误差系统状态变量；

步骤2：设计非线性全局滑模面和自适应指数趋近律；

所述非线性全局滑模面为：

s＝e₃+k₁e₂+k₂e₁-p(t) (5)

其中，k₁>0，k₂>0，p(t)是为了实现全局滑模控制设计的函数，函数p(t)必须满足下面的三个条件：

(1)p(0)＝e₃(0)+k₁e₂(0)+k₂e₁(0)；

(2)当t趋近∞时，p(t)趋近0；

(3)p(t)具有一阶导数；

根据以上三个条件，将函数p(t)设计为：

p(t)＝p(0)e^-βt (6)

其中，β>0，对函数p(t)进行求导，可以得到

所述自适应指数趋近律设计为：

其中，λ₀为常数，且λ₀≥0，和分别为未知参数d₁和d₂的估计值，通过自适应率得到；

步骤3：根据轨迹跟踪误差公式(4)，非线性全局滑模面公式(5)和自适应指数趋近律公式(8)，设计自适应全局滑模控制器，该单一的自适应全局滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现三阶严反馈混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性；

所述自适应全局滑模控制器根据式(4)、式(5)和式(8)进行设计：

所述未知参数d₁和d₂的自适应率为：

其中，μ₁和μ₂为常数，且μ₁>0，μ₂>0，d₁₀和d₂₀分别为和的初始值，且d₁₀>0，d₂₀>0；

在式(9)的控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制器不连续，出现抖振现象，为了削弱抖振的影响，采用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，最终所述自适应全局滑模控制器为：

其中，饱和函数sat(s)的表达式为其中，δ为常数，且δ>0。

2.根据权利要求1所述一种三阶严反馈混沌轨迹跟踪方法，其特征在于，通过Lyapunov稳定性理论对该闭环系统的稳定性进行证明，其中，Lyapunov函数为

其中，s是公式(5)中定义的非线性全局滑模面，μ₁和μ₂为常数，且μ₁>0，μ₂>0，和分别为通过自适应率得到的未知参数d₁和d₂估计值。