CN109324504B - 基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法，包括以下步骤：步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程建立驱动系统和响应系统，并建立比例投影同步误差系统；步骤2：设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律；步骤3：设计全局积分滑模控制器对比例投影同步误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环控制系统能实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制。通过Lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明。在建模不确定和外部干扰信号的情况下，只采用单一的全局积分滑模控制器实现了不同初始状态同构或异构三阶严反馈混沌的比例投影同步控制。实验仿真结果表明了该方法的有效性，并具有很好的鲁棒性和可靠性。

Description

基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法。

背景技术

混沌是连接确定性运动和随机性运动的纽带，广泛存在于自然界和人类社会中。混沌的控制与同步问题是非线性科学领域备受关注的研究课题。自从Mainieri和Rehacek提出投影同步的概念，统一了不同类型的混沌同步现象。三阶严反馈混沌，例如Genesio-Tesi混沌和Arneodo混沌，只需要单一的控制输入就能实现比例投影同步，在保密通信方面具有广泛的应用前景。

滑模控制对于建模不确定和外部干扰信号具有很强的鲁棒性，并具有响应速度快和容易实现等优点，广泛用于非线性系统的控制。滑模控制分为趋近模态和滑动模态，采用线性滑模面的普通滑模控制器只在滑动模态具有鲁棒性，在趋近模态没有鲁棒性。采用全局滑模面的全局滑模控制器在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性，具有比普通滑模控制器更好的鲁棒性。通过在滑模面中引入积分项得到的积分滑模控制器，能够抑制系统的稳态误差和增强系统的鲁棒性，并已经应用于机械臂和永磁同步电机控制器的设计。通过将全局滑模控制方法和积分滑模控制方法相结合，设计全局积分滑模面，并采用全局积分滑模面设计全局积分滑模控制器，能够充分发挥两种方法的优点，提高系统的响应速度，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。因此，设计全局积分滑模控制器进行三阶严反馈混沌的比例投影同步控制非常必要。

发明内容

基于以上的技术问题，本发明提供基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法，设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律，设计全局积分滑模控制器，采用单一的全局积分滑模控制器进行不同初始状态三阶严反馈混沌的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

所述基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法，包括以下步骤：

步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程建立驱动系统和响应系统，并建立比例投影同步误差系统；

驱动系统为三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，x₁，x₂和x₃为系统的状态变量，x＝[x₁,x₂,x₃]^T，f₁(x)为连续函数。以式(1)作为驱动系统。

响应系统为三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，y₁，y₂和y₃为系统的状态变量，y＝[y₁,y₂,y₃]^T，f₂(y)为连续函数。带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统，状态方程如下：

其中，△f₂(y)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，t为时间，u为控制输入。以式(3)作为响应系统。建模不确定△f₂(y)和外部干扰信号d(t)均有界，即|△f₂(y)|≤d₁，|d(t)|≤d₂，且d₁≥0，d₂≥0。当f₁(x)和f₂(y)具有相同结构时，驱动系统和响应系统为同构混沌，当f₁(x)和f₂(y)具有不同结构时，驱动系统和响应系统为异构混沌。

驱动系统和响应系统的比例投影同步误差为e_i＝y_i-kx_i，其中i＝1,2,3，k为比例常数，且k≠0，根据驱动系统(1)和响应系统(3)，建立比例投影同步误差系统如下：

其中e₁，e₂和e₃为投影同步误差系统状态变量；

步骤2：设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律；

将全局滑模控制方法和积分滑模控制方法相结合，所述全局积分滑模面为：

其中，λ为常数，且λ>0，μ₁为自适应参数，

ζ为中间参数，且ζ>0，因此μ₁≥0，且当t→∞时，μ₁→0。由于s(0)＝0，且当t→∞时，e_i→0和s→0，p(t)是为了实现全局积分滑模控制设计的函数。函数p(t)必须满足下面的三个条件：

1)

2)当t→∞时，p(t)→0；

3)p(t)具有一阶导数。

根据以上三个条件，将函数p(t)设计为：

p(t)＝p(0)e^-βt (6)

其中，β为常数，且β>0。对函数p(t)进行求导，可以得到

所述自适应指数趋近律设计为：

其中，k₁和k₂为常数，且k₁≥0，k₂≥d₁+d₂。

步骤3：根据比例投影同步误差公式(4)，全局积分滑模面公式(5)和自适应指数趋近律(8)，设计全局积分滑模控制器，该单一的全局积分滑模控制器对比例投影同步误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

根据公式(4)、公式(5)和公式(8)，设计的全局积分滑模控制器为：

在式(9)的全局积分滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制器不连续，出现抖振现象。为了削弱抖振的影响，采用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)。最终所述全局积分滑模控制器为：

其中，符号函数sgn(s)的表达式为

饱和函数sat(s)的表达式为

其中，δ为常数，且δ>0。

通过Lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明，其中，Lyapunov函数为

其中，s是式(5)中定义的全局积分滑模面。对公式(11)进行求导，并将公式(5)和公式(4)带入可以得到：

然后将公式(9)带入到公式(12)，化简后可以得到：

通过Lyapunov稳定性理论证明了由公式(4)和公式(9)组成的闭环系统是稳定的，比例投影同步误差渐进收敛到零，即

单一的全局积分滑模控制器能够实现不同初始状态驱动系统和响应系统的比例投影同步，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

有益技术效果：

提出将全局滑模控制方法和积分滑模控制方法相结合，设计全局积分滑模面，并采用全局积分滑模面设计全局积分滑模控制器，能够充分发挥两种方法的优点：全局积分滑模控制器在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性，同时能够抑制系统的稳态误差和增强系统的鲁棒性。全局积分滑模控制器用于三阶严反馈混沌的比例投影同步控制，能够提高比例投影同步的速度，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

附图说明

图1为本发明的总体结构示意图；

图2为本发明具体实施例1中采用符号函数时控制输入的响应曲线；

图3为本发明具体实施例1中采用饱和函数时控制输入的响应曲线；

图4为本发明具体实施例1中比例投影同步误差的响应曲线；

图5为本发明具体实施例2中采用符号函数时控制输入的响应曲线；

图6为本发明具体实施例2中采用饱和函数时控制输入的响应曲线；

图7为本发明具体实施例2中比例投影同步误差的响应曲线；

图8为本发明基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的详细说明。

如图1所示，驱动系统为三阶严反馈混沌系统，响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的三阶严反馈混沌系统，根据驱动系统和响应系统建立比例投影同步误差系统，设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律，利用全局积分滑模面和自适应指数趋近律设计全局积分滑模控制器，单一的全局积分滑模控制器进行比例投影同步误差系统的控制，形成闭环系统，该闭环控制系统实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

为了更加直观的显示本发明提出的基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶Runge-Kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，最大步长为0.0001s，仿真时间为7s。

具体实施例1：

具体流程如图8所示，步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程建立驱动系统和响应系统，并建立比例投影同步误差系统；

驱动系统和响应系统为同构系统，均为Arneodo混沌系统。Arneodo混沌系统的状态方程为

公式(14)为驱动系统，初始状态设定为x₁(0)＝2，x₂(0)＝-2，x₃(0)＝-2。

响应系统也为Arneodo混沌系统，状态方程为：

带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统表示为：

其中，建模不确定△f₂(y)设定为△f₂(y)＝0.6cos(y₁y₂)，由于|△f₂(y)|≤d₁，则d₁＝0.6，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.6sin(πt)，由于|d(t)|≤d₂，则d₂＝0.6。将带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统(16)作为响应系统。响应系统的初始状态设定为y₁(0)＝-1.5，y₂(0)＝-1，y₂(0)＝2。

比例投影同步误差系统为公式(4)：

其中，参数设定为k＝0.6，即驱动系统和响应系统的状态变量趋近于y_i＝0.6x_i，其中i＝1,2,3。

步骤2：设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律；

全局积分滑模面为公式(5)：

其中，参数设定为λ＝2.9，

参数设定为ζ＝0.12。

函数p(t)采用公式(6)：

p(t)＝p(0)e^-βt (6)

其中，参数设定为β＝5。

自适应指数趋近律采用公式(8)：

其中，参数设定为k₁＝2，k₂＝d₁+d₂＝1.2。

步骤3：根据比例投影同步误差公式(4)，全局积分滑模面公式(5)和自适应指数趋近律(8)，设计全局积分滑模控制器，该单一的全局积分滑模控制器对比例投影同步误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

全局积分滑模控制器采用公式(10)：

其中，饱和函数sat(s)的表达式为

参数设定为δ＝0.001。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是采用符号函数sgn(s)时，全局积分滑模控制器的控制输入曲线。图3是采用饱和函数sat(s)时，全局积分滑模控制器的控制输入曲线。在图2中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图3中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图4是比例投影同步误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到比例投影同步误差在3s时基本收敛到零，比例投影同步的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

全局积分滑模控制器公式(10)对比例投影同步误差系统公式(5)进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现驱动系统和响应系统的比例投影同步。在建模不确定和外部干扰信号下，不同初始状态驱动系统和响应系统实现了比例投影同步控制，比例投影同步的速度非常快，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

具体实施例2：

具体流程如图8所示：

步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程建立驱动系统和响应系统，并建立比例投影同步误差系统；

驱动系统和响应系统为异构系统，驱动系统为Genesio-Tesi混沌系统，响应系统为Arneodo混沌系统。Genesio-Tesi混沌系统的状态方程为：

公式(17)为驱动系统，初始状态设定为x₁(0)＝2，x₂(0)＝-2，x₃(0)＝1。

响应系统为Arneodo混沌系统，带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统为：

其中，建模不确定△f₂(y)设定为△f₂(y)＝0.5cos(y₁+y₂)，由于|△f₂(y)|≤d₁，则d₁＝0.5，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.7sin(2t)，由于|d(t)|≤d₂，则d₂＝0.7。将带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统(16)作为响应系统。响应系统的初始状态设定为y₁(0)＝-1.5，y₂(0)＝-1，y₂(0)＝-2。

比例投影同步误差系统为公式(4)：

其中，参数设定为k＝-0.5，即驱动系统和响应系统的状态变量趋近于y_i＝-0.5x_i，其中i＝1,2,3。

步骤2：设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律；

全局积分滑模面为公式(5)：

其中，参数设定为λ＝3，

参数设定为ζ＝0.1。

函数p(t)采用公式(6)：

p(t)＝p(0)e^-βt (6)

其中，参数设定为β＝5。

自适应指数趋近律采用公式(8)：

其中，参数设定为k₁＝2，k₂＝d₁+d₂＝1.2。

步骤3：根据比例投影同步误差公式(4)，全局积分滑模面公式(5)和自适应指数趋近律(8)，设计全局积分滑模控制器，该单一的全局积分滑模控制器对比例投影同步误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

全局积分滑模控制器采用公式(10)：

其中，饱和函数sat(s)的表达式为

参数设定为δ＝0.001。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图5是采用符号函数sgn(s)时，全局积分滑模控制器的控制输入曲线。图6是采用饱和函数sat(s)时，全局积分滑模控制器的控制输入曲线。在图5中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图6中，控制输入没有出现抖振现象，比较平滑。图7是比例投影同步误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到比例投影同步误差在2.9s时基本收敛到零，比例投影同步的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

全局积分滑模控制器公式(10)对比例投影同步误差系统公式(5)进行控制，形成闭环控制系统，该闭环控制系统实现驱动系统和响应系统的比例投影同步。在建模不确定和外部干扰信号下，不同初始状态驱动系统和响应系统实现了比例投影同步控制，比例投影同步的速度非常快，具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

Claims (3)

1.基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：根据三阶严反馈混沌系统的状态方程建立驱动系统和响应系统，并建立比例投影同步误差系统；

驱动系统为三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，x₁，x₂和x₃为系统的状态变量，x＝[x₁,x₂,x₃]^T，f₁(x)为连续函数，以式(1)作为驱动系统；

响应系统为三阶严反馈混沌系统，状态方程如下：

其中，y₁，y₂和y₃为系统的状态变量，y＝[y₁,y₂,y₃]^T，f₂(y)为连续函数，带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统，状态方程如下：

其中，△f₂(y)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，t为时间，u为控制输入，以式(3)作为响应系统，建模不确定△f₂(y)和外部干扰信号d(t)均有界，即|△f₂(y)|≤d₁，|d(t)|≤d₂，且d₁≥0，d₂≥0，当f₁(x)和f₂(y)具有相同结构时，驱动系统和响应系统为同构混沌，当f₁(x)和f₂(y)具有不同结构时，驱动系统和响应系统为异构混沌；

驱动系统和响应系统的比例投影同步误差为e_i＝y_i-kx_i，其中i＝1,2,3，k为比例常数，且k≠0，根据驱动系统(1)和响应系统(3)，建立比例投影同步误差系统如下：

其中e₁，e₂和e₃为投影同步误差系统状态变量；

步骤2：设计全局积分滑模面和自适应指数趋近律；

所述全局积分滑模面为：

其中，λ为常数，且λ>0，μ₁为自适应参数，

ζ为中间参数，且ζ>0，因此μ₁≥0，且当t→∞时，μ₁→0；由于s(0)＝0，且当t→∞时，e_i→0和s→0，p(t)是为了实现全局积分滑模控制设计的函数，函数p(t)必须满足下面的三个条件：

1)

2)当t→∞时，p(t)→0；

3)p(t)具有一阶导数；

根据以上三个条件，将函数p(t)设计为：

p(t)＝p(0)e^-βt (6)

其中，β为常数，且β>0，对函数p(t)进行求导，可以得到：

所述自适应指数趋近律设计为：

其中，k₁和k₂为常数，且k₁≥0，k₂≥d₁+d₂；

步骤3：根据比例投影同步误差公式(4)，全局积分滑模面公式(5)和自适应指数趋近律(8)，设计全局积分滑模控制器，该单一的全局积分滑模控制器对比例投影同步误差系统进行控制，形成闭环系统，该闭环系统能够实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制。

2.根据权利要求1所述基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法，其特征在于，根据公式(4)、公式(5)和公式(8)，设计的全局积分滑模控制器为：

在式(9)的全局积分滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制器不连续，出现抖振现象，为了削弱抖振的影响，采用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，最终所述全局积分滑模控制器为：

其中，符号函数sgn(s)的表达式为

饱和函数sat(s)的表达式为

其中，δ为常数，且δ>0。

3.根据权利要求1所述基于全局积分滑模的三阶严反馈混沌比例投影同步方法，其特征在于，通过Lyapunov稳定性理论对闭环系统的稳定性进行证明，其中，Lyapunov函数为

其中，s是式(5)中定义的全局积分滑模面，通过Lyapunov稳定性理论证明了由公式(4)和公式(9)组成的闭环系统是稳定的，比例投影同步误差渐进收敛到零，即

单一的全局积分滑模控制器能够实现不同初始状态驱动系统和响应系统的比例投影同步。

Images