CN109782589B - 一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于混沌轨迹跟踪技术领域，尤其涉及一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法，包括如下步骤：S1、对于带有建模不确定和外部干扰信号的n维混沌系统，根据混沌系统的状态方程和期望轨迹建立轨迹跟踪误差系统；S2、将主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，建立主动积分滑模控制器方程，并采用主动积分滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制。所述步骤S1还包括如下子步骤：S101、建立带有建模不确定和外部干扰信号的混沌系统方程；S102、借助于步骤S101中获得的混沌系统方程，建立轨迹跟踪误差系统方程。本发明提供的跟踪方法能够对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，形成闭环系统，轨迹跟踪误差渐进收敛到零，达到混沌系统的轨迹跟踪控制的目的。

Description

一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法

技术领域

本发明属于混沌轨迹技术领域，尤其涉及一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法。

背景技术

混沌对初始条件具有极端的敏感性，是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。混沌理论研究的关键就在于混沌系统的控制和利用。混沌理论在众多的领域具有非常广泛的应用价值。主动控制方法在进行混沌轨迹跟踪控制中具有设计简单和收敛速度快的优点。主动控制方法只适用于精确数学模型的混沌系统，当系统存在建模不确定和外部干扰信号时，轨迹跟踪误差不能收敛到零。在实际应用中，混沌系统的建模不确定和外部干扰信号的影响不能忽略。

发明内容

(一)要解决的技术问题

针对现有存在的技术问题，本发明提供一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法，能够对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，形成闭环系统，轨迹跟踪误差渐进收敛到零，达到混沌系统的轨迹跟踪控制的目的。

(二)技术方案

为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：

一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法，包括如下步骤：

S1、对于带有建模不确定和外部干扰信号的n维混沌系统，根据混沌系统的状态方程和期望轨迹建立轨迹跟踪误差系统；

S2、将主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，建立主动积分滑模控制器方程，并采用主动积分滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制。

优选地，所述步骤S1还包括如下子步骤：

S101、建立带有建模不确定和外部干扰信号的混沌系统方程；

S102、借助于步骤S101中获得的混沌系统方程，建立轨迹跟踪误差系统方程。

优选地，所述步骤S2还包括如下子步骤：

S201、建立主动积分滑模控制器方程；

S202、将主动积分滑模控制器方程代入轨迹跟踪误差系统方程，获得带有控制输入的轨迹跟踪误差系统方程。

优选地，所述步骤S1中的n维混沌系统的方程为：

其中，x_i为混沌系统的状态变量，f_i(x,t)为连续函数，i＝1,2,…,n，n为混沌的维数，x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，t为时间。

优选地，所述步骤S101中混沌系统方程为：

其中，Δf_i(x,t)为建模不确定，m_i(t)为外部干扰信号，i＝1，2,…,n。建模不确定Δf_i(x，t)和外部干扰信号m_i(t)均有界，即|Δf_i(x，t)|+|m_i(t)|≤μ_i；

其中，μ_i为混沌系统中建模不确定和外部干扰信号的上界，且μ_i＞0，i＝1，2,…,n。

优选地，所述步骤S102还包括：

混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹为x_di，其中i＝1,2,…,n，且期望轨迹x_di具有一阶导数；

期望轨迹x_di的一阶导数表示为：

其中，x_di为混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹，g_i(x，t)为连续函数，x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，t为时间，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数；

混沌系统中状态变量x_i和期望轨迹x_di的轨迹跟踪误差e_i定义为：

e_i＝x_i-x_di；

其中，i＝1，2,…,n，n为混沌系统的维数，对轨迹跟踪误差e_i进行求导，得到轨迹跟踪误差系统为：

优选地，所述步骤S201中主动积分滑模控制器方程为：

u_i＝-f_i(x,t)+g_i(x，t)-λ_ie_i-k_ie_i-p_is_i-q_itanh(s_i/δ)；

其中，双曲正切函数tanh(s_i/δ)的表达式为：

；其中，δ为常数，且δ＞0，k_i＞0，λ_i＞0，p_i＞0，q_i≥μ_i，i＝1,2,…,n。

优选地，所述步骤S202中带有控制输入的轨迹跟踪误差系统方程为：

其中，u_i为主动积分滑模控制器方程，i＝1，2，…，n。

(三)有益效果

本发明的有益效果是：本发明提供的一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法，能够将主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，设计主动积分滑模控制器，能够进行混沌系统的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪的速度比较快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。为了削弱抖振的影响，采用双曲正切函数tanh(s_i/δ)代替符号函数sgn(s_i)。

附图说明

图1为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的总体原理图；

图2为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例1中采用符号函数时主动积分滑模控制器的响应曲线；

图3为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例1中采用双曲正切函数时主动积分滑模控制器的响应曲线；

图4为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例1中状态变量x₁和期望轨迹x_d1的响应曲线；

图5为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例1中状态变量x₂和期望轨迹x_d2的响应曲线；

图6为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例1中轨迹跟踪误差的响应曲线；

图7为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例2中采用符号函数时主动积分滑模控制器的响应曲线；

图8为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例2中采用双曲正切函数时主动积分滑模控制器的响应曲线；

图9为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例2中状态变量x₁和期望轨迹x_d1的响应曲线；

图10为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例2中状态变量x₂和期望轨迹x_d2的响应曲线；

图11为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例2中状态变量x₃和期望轨迹x_d3的响应曲线；

图12为本发明一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的具体实施例2中轨迹跟踪误差的响应曲线。

具体实施方式

为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。

本实施例公开了一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法，包括如下步骤：

S1、对于带有建模不确定和外部干扰信号的n维混沌系统，根据混沌系统的状态方程和期望轨迹建立轨迹跟踪误差系统；

S2、将主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，建立主动积分滑模控制器方程，并采用主动积分滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制。

具体地，所述步骤S1还包括如下子步骤：

S101、建立带有建模不确定和外部干扰信号的混沌系统方程；

S102、借助于步骤S101中获得的混沌系统方程，建立轨迹跟踪误差系统方程。

本实施例中所述步骤S2还包括如下子步骤：

S201、建立主动积分滑模控制器方程；

S202、将主动积分滑模控制器方程代入轨迹跟踪误差系统方程，获得带有控制输入的轨迹跟踪误差系统方程。

本实施例中所述步骤S1中的n维混沌系统的方程为：

其中，x_i为混沌系统的状态变量，f_i(x，t)为连续函数，i＝1,2,…，n，n为混沌的维数，x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，t为时间。

应说明的是，本实施例中所述的步骤S101中混沌系统方程为：

其中，Δf_i(x,t)为建模不确定，m_i(t)为外部干扰信号，i＝1,2,…,n。建模不确定Δf_i(x,t)和外部干扰信号m_i(t)均有界，即|Δf_i(x，t)|+|m_i(t)|≤μ_i；

其中，μ_i为混沌系统中建模不确定和外部干扰信号的上界，且μ_i＞0，i＝1,2,…,n。

本实施例中所述步骤S102还包括：

混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹为x_di，其中i＝1,2,…,n，且期望轨迹x_di具有一阶导数；

期望轨迹x_di的一阶导数表示为：

其中，x_di为混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹，g_i(x,t)为连续函数，x＝[x₁，x₂,…，x_n]^T，t为时间，i＝1，2,…,n，n为混沌系统的维数；

混沌系统中状态变量x_i和期望轨迹x_di的轨迹跟踪误差e_i定义为：

e_i＝x_i-x_di；

其中，i＝1,2,…,n，n为混沌系统的维数，对轨迹跟踪误差e_i进行求导，得到轨迹跟踪误差系统为：

本实施例中所述步骤S201中主动积分滑模控制器方程为：

u_i＝-f_i(x，t)+g_i(x,t)-λ_ie_i-k_ie_i-p_is_i-q_itanh(s_i/δ)；

其中，双曲正切函数tanh(s_i/δ)的表达式为：

；其中，δ为常数，且δ＞0，λ_i＞0，k_i＞0，p_i＞0，q_i≥μi_i，i＝1,2,…,n。

最后，应说明的是：本实施例中所述步骤S202中带有控制输入的轨迹跟踪误差系统方程为：

其中，u_i为主动积分滑模控制器方程，i＝1,2,…，n。

如图1所示，根据带有建模不确定和外部干扰信号的混沌系统和期望轨迹，建立轨迹跟踪误差系统，将主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，设计主动积分滑模控制器，采用主动积分滑模控制器进行轨迹跟踪误差系统的平衡控制，形成闭环系统，实现轨迹跟踪误差系统的平衡控制，从而实现混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。

为了更加直观的显示本发明提出的一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶Runge-Kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，最大步长为0.0001s，仿真时间为6s。

具体实施例1：

以二维Duffing混沌系统为例，进行轨迹跟踪控制，则n＝2。

步骤1：根据混沌系统的状态方程和期望轨迹建立轨迹跟踪误差系统；

二维Duffing混沌系统的状态方程表示为：

其中，x₁和x₂为Duffing混沌系统的状态变量，x＝[x₁,x₂]^T，t为时间。

带有建模不确定和外部干扰信号的混沌系统表示为：

其中，Δf₁(x,t)和Δf₂(x,t)为建模不确定，分别设定为Δf₁(x,t)＝0.6sin(x₁+x₂)，Δf₂(x,t)＝0.4cos(x₁x₂)。m₁(t)和m₂(t)为外部干扰信号，分别设定为m₁(t)＝0.2cos(4t)+0.1，m₂(t)＝0.4sin(5t)+0.1。建模不确定Δf_i(x,t)和外部干扰信号m_i(t)均有界，|Δf₁(x，t)|+|m₁(t)|≤μ₁，|Δf₂(x,t)|+|m₂(t)|≤μ₂，则μ₁＝0.9，μ₂＝0.9。

Duffing混沌系统中状态变量x₁的期望轨迹为x_d1，状态变量x₂的期望轨迹为x_d2，设定为：

期望轨迹x_d1和x_d2具有一阶导数，表示为：

Duffing混沌系统中状态变量和期望轨迹的轨迹跟踪误差定义为：

对轨迹跟踪误差e₁和e₂进行求导，可以得到轨迹跟踪误差系统为：

步骤2：将主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，设计主动积分滑模控制器，并采用主动积分滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，从而实现混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

带有控制输入的轨迹跟踪误差系统为：

其中，u₁和u₂为控制输入。

在积分滑模控制器的设计中，积分滑模面设计为：

其中，参数设定为k₁＝2|e₁|，k₂＝2|e₂|。

在积分滑模控制器的设计中，采用的指数趋近律为：

其中，参数设定为p₁＝p₂＝2，q₁＝q₂＝1，且q₁≥μ₁，q₂≥μ₂。

采用主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，主动积分滑模控制器设计为：

其中，参数设定为λ₁＝2，λ₂＝3。

采用主动积分滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，使得轨迹跟踪误差渐进收敛到零，实现混沌系统的轨迹跟踪控制，即

对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

为了削弱抖振的影响，采用双曲正切函数tanh(s_i/δ)代替符号函数sgn(s_i)后，主动积分滑模控制器为：

其中，参数设定为δ＝0.001。

Duffing混沌系统的初始状态设定为x₁(0)＝0.5，x₂(0)＝2，期望轨迹的初始状态为x_d1(0)＝2，x_d2(0)＝0，则轨迹跟踪误差的初始状态为e₁(0)＝-1.5，e₂(0)＝2。控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是采用符号函数sgn(s_i)时，主动积分滑模控制器的控制输入曲线。图3是采用双曲正切函数tanh(s_i/δ)时，主动积分滑模控制器的控制输入曲线。在图2中，控制输入出现了明显的抖振现象，在图3中，控制输入比较平滑，没有出现抖振现象。Duffing混沌系统中状态变量x₁和期望轨迹x_d1的响应曲线，如图4所示，状态变量x₂和期望轨迹x_d2的响应曲线，如图5所示。Duffing混沌系统轨迹跟踪误差的响应曲线，如图6所示。

轨迹跟踪误差渐进收敛并在0.49s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快。从仿真曲线可以直观的观察到，主动积分滑模控制器能够实现Duffing混沌系统的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪误差快速收敛到零，能够克服建模不确定和外部干扰信号的影响，具有很好的鲁棒性和可靠性。

具体实施例2：

以三维Chen混沌系统为例，进行轨迹跟踪控制，则n＝3。

步骤1：根据混沌系统的状态方程和期望轨迹建立轨迹跟踪误差系统。

三维Chen混沌系统的状态方程表示为：

其中，x₁，x₂和x₃为混沌系统的状态变量，x＝[x₁,x₂,x₃]^T，t为时间。

带有建模不确定和外部干扰信号的混沌系统表示为：

其中，Δf₁(x,t)，Δf₂(x,t)和Δf₃(x,t)为建模不确定，分别设定为Δf₁(x,t)＝0.6sin(x₁+x₂)，Δf₂(x,t)＝0.5cos(x₂+x₃)，Δf₃(x,t)＝0.7cos(x₁x₃)。m₁(t)，m₂(t)和m₃(t)为外部干扰信号，分别设定为m₁(t)＝0.3sin(5t)+0.1，m₂(t)＝0.4cos(6t)+0.1，m₃(t)＝0.2sin(7t)。建模不确定Δf_i(x,t)和外部干扰信号m_i(t)均有界，|Δf_i(x,t)|+|m_i(t)|≤μ_i，其中i＝1,2,3，则μ₁＝μ₂＝1，μ₃＝0.9。

Chen混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹为x_di，其中i＝1，2，3，期望轨迹设定为：

期望轨迹x_di具有一阶导数，表示为：

Chen混沌系统中状态变量x_i和期望轨迹x_di的轨迹跟踪误差e_i定义为：

对轨迹跟踪误差e_i进行求导，可以得到轨迹跟踪误差系统为：

步骤2：将主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，设计主动积分滑模控制器，并采用主动积分滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，从而实现混沌系统的轨迹跟踪控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性：

带有控制输入的轨迹跟踪误差系统为：

其中，u_i为控制输入，其中i＝1,2,3。

在积分滑模控制器的设计中，积分滑模面设计为：

其中，参数设定为k₁＝2|e₁|，k₂＝|e₂|，k₃＝2|e₃|。

在积分滑模控制器的设计中，采用的指数趋近律为：

其中，参数设定为p₁＝p₂＝p₃＝2，q₁＝q₂＝q₃＝1，且q₁≥μ₁，q₂≥μ₂，q₃＞μ₃。

采用主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，主动积分滑模控制器设计为：

其中，参数设定为λ₁＝7，λ₂＝3，λ₃＝5。

采用主动积分滑模控制器对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制，使得轨迹跟踪误差渐进收敛到零，实现混沌系统的轨迹跟踪控制，即

对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

为了削弱抖振的影响，采用双曲正切函数tanh(s_i/δ)代替符号函数sgn(s_i)后，主动积分滑模控制器为：

其中，参数设定为δ＝0.001。

Chen混沌系统的初始状态设定为x₁(0)＝2.5，x₂(0)＝-2，x₃(0)＝3，期望轨迹的初始状态为x_d1(0)＝0，x_d2(0)＝1，x_d3(0)＝1，则轨迹跟踪误差的初始状态为e₁(0)＝2.5，e₂(0)＝-3，e₃(0)＝2。控制参数如前所设，进行系统的仿真。图7是采用符号函数sgn(s_i)时，主动积分滑模控制器的控制输入曲线。图8是采用双曲正切函数tanh(s_i/δ)时，主动积分滑模控制器的控制输入曲线。在图7中，控制输入出现了明显的抖振现象，在图8中，控制输入比较平滑，没有出现抖振现象。Chen混沌系统中状态变量x₁和期望轨迹x_d1的响应曲线，如图9所示，状态变量x₂和期望轨迹x_d2的响应曲线，如图10所示，状态变量x₃和期望轨迹x_d3的响应曲线，如图11所示。Chen混沌系统轨迹跟踪误差的响应曲线，如图12所示，轨迹跟踪误差渐进收敛并在0.5s时基本收敛到零，轨迹跟踪的速度非常快。从仿真曲线可以直观的观察到，主动积分滑模控制器能够实现Chen混沌系统的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪误差快速收敛到零，能够克服建模不确定和外部干扰信号的影响，具有很好的鲁棒性和可靠性。

以上结合具体实施例描述了本发明的技术原理，这些描述只是为了解释本发明的原理，不能以任何方式解释为对本发明保护范围的限制。基于此处解释，本领域的技术人员不需要付出创造性的劳动即可联想到本发明的其它具体实施方式，这些方式都将落入本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于主动积分滑模的混沌轨迹跟踪方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、对于带有建模不确定和外部干扰信号的n维混沌系统，根据混沌系统的状态方程和期望轨迹建立轨迹跟踪误差系统；

S2、将主动控制方法和积分滑模控制方法相结合，建立主动积分滑模控制器方程，并采用主动积分滑模控制器方程对轨迹跟踪误差系统进行平衡控制；

所述步骤S1还包括如下子步骤：

S101、建立带有建模不确定和外部干扰信号的混沌系统方程；

S102、借助于步骤S101中获得的混沌系统方程，建立轨迹跟踪误差系统方程；

所述步骤S2还包括如下子步骤：

S201、建立主动积分滑模控制器方程；

S202、将主动积分滑模控制器方程代入轨迹跟踪误差系统方程，获得带有控制输入的轨迹跟踪误差系统方程；

所述步骤S1中的n维混沌系统的方程为：

其中，x_i为混沌系统的状态变量，f_i(x，t)为连续函数，i＝1，2，…，n，n为混沌的维数，x＝[x₁，x₂，…，x_n]^T，t为时间；

所述步骤S101中混沌系统方程为：

其中，Δf_i(x，t)为建模不确定，m_i(t)为外部干扰信号，i＝1，2，…，n；建模不确定Δf_i(x，t)和外部干扰信号m_i(t)均有界，即|Δf_i(x，t)|+|m_i(t)|≤μ_i；

其中，μ_i为混沌系统中建模不确定和外部干扰信号的上界，且μ_i＞0，i＝1，2，…，n

所述步骤S102还包括：

混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹为x_di，其中i＝1，2，…，n，且期望轨迹x_di具有一阶导数；

期望轨迹x_di的一阶导数表示为：

其中，x_di为混沌系统中状态变量x_i的期望轨迹，g_i(x，t)为连续函数，x＝[x₁，x₂，…，x_n]^T，t为时间，i＝1，2，…，n，n为混沌系统的维数；

混沌系统中状态变量x_i和期望轨迹x_di的轨迹跟踪误差e_i定义为：

e_i＝x_i-x_di；

其中，i＝1，2，…，n，n为混沌系统的维数，对轨迹跟踪误差e_i进行求导，得到轨迹跟踪误差系统为：

所述步骤S201中主动积分滑模控制器方程为：

u_i＝-f_i(x，t)+g_i(x，t)-λ_ie_i-k_ie_i-p_is_i-q_itanh(s_i/δ)；

其中，双曲正切函数tanh(s_i/δ)的表达式为：

；其中，δ为常数，且δ＞0，k_i＞0，λ_i＞0，p_i＞0，q_i≥μ_i，i＝1，2，…，n；

所述步骤S202中带有控制输入的轨迹跟踪误差系统方程为：

其中，u_i为主动积分滑模控制器方程，i＝1，2，…，n。

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