CN110020405A - 一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法 - Google Patents

一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法，包括如下步骤：S1、根据驱动系统和响应系统，建立函数矩阵投影同步误差系统方程；S2、采用线性滑模面和组合趋近律结合，建立主动滑模控制器方程，并采用主动滑模控制器方程对函数矩阵投影同步误差系统方程进行平衡控制。所述步骤S1还包括如下子步骤：S101、分别建立驱动系统方程和响应系统方程；S102、借助于步骤S101中获得的驱动系统方程和响应系统方程，建立函数矩阵投影同步误差系统方程。本发明提供的函数矩阵投影同步方法采用线性滑模面和组合趋近律建立主动滑模控制器，并通过主动滑模控制器进行函数矩阵投影同步误差系统的平衡控制。

Description

一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法
技术领域
本发明属于投影同步技术领域，尤其涉及一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法。
背景技术
混沌对初始条件具有极端的敏感性，是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。混沌理论研究的关键在于混沌系统的控制和利用。混沌理论在众多的领域具有非常广泛的应用价值。混沌系统的函数矩阵投影同步具有重要的应用价值，但是目前都集中在相同维数混沌系统之间。
滑模控制对于建模不确定和外部干扰信号具有很强的鲁棒性，并具有响应速度快和容易实现等优点，经常用于非线性系统的控制。在滑模控制器的设计中，常用的趋近律有等速趋近律、指数趋近律、幂次趋近律等。
发明内容
(一)要解决的技术问题
针对现有存在的技术问题，本发明提供一种基于不同维数混沌函数的矩阵投影同步方法，采用线性滑模面和组合趋近律建立主动滑模控制器，并采用主动滑模控制器进行函数矩阵投影同步误差系统的平衡控制，函数矩阵投影同步误差渐进收敛到零，实现不同维数驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步控制。
(二)技术方案
为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：
一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法，包括如下步骤：
S1、根据驱动系统和响应系统，建立函数矩阵投影同步误差系统方程；
S2、采用线性滑模面和组合趋近律结合，建立主动滑模控制器方程，并采用主动滑模控制器方程对函数矩阵投影同步误差系统方程进行平衡控制。
优选地，所述步骤S1还包括如下子步骤：
S101、分别建立驱动系统方程和响应系统方程；
S102、借助于步骤S101中获得的驱动系统方程和响应系统方程，建立函数矩阵投影同步误差系统方程。
优选地，所述步骤S2还包括如下子步骤：
S201、建立主动滑模控制器方程；
S202、将主动滑模控制器方程代入函数矩阵投影同步误差系统方程，对函数矩阵投影同步误差系统方程进行平衡控制。
优选地，所述步骤S101中驱动系统为n维混沌系统，其状态方程为为：
其中，xi为驱动系统的状态变量，x＝[x1,x2,…,xn]T，t为时间，fi(x,t)为连续函数，其中i＝1,2,…,n，n为驱动系统的维数。
优选地，所述步骤S101响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的m维混沌系统，状态方程表示为：
其中，yj为响应系统的状态变量，y＝[y1,y2,…,ym]T，t为时间，gj(y,t)为连续函数，Δgj(y,t)为建模不确定，ρj(t)为外部干扰信号，其中j＝1,2,…,m，m为响应系统的维数；
在响应系统中，建模不确定Δgj(y,t)和外部干扰信号ρj(t)均有界，即
|Δgj(y,t)|+|ρj(t)|≤μj；
其中，μj为响应系统中建模不确定和外部干扰信号的上界，且μj＞0，j＝1,2,…,m。
优选地，所述步骤S102还包括：
驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步误差方程为：
其中，j＝1,2,…,m，kji(t)为函数矩阵K中第j行，第i列的元素，kji(t)
具有一阶导数的连续函数，并有界；K为m行n列的函数矩阵；
将公式写成矩阵的形式为：
其中，函数矩阵K的秩为n和m中较小值，即rank(K)＝min(n,m)；
对函数矩阵投影同步误差方程进行求导，得到函数矩阵投影同步误差系统方程为：
其中，j＝1,2,…,m。
优选地，所述步骤S201中建立主动滑模控制器方程为：
其中，λj＞0，j＝1,2,…,m；
线性滑模面为：
sj＝ej；
其中，j＝1,2,…,m；
指数趋近律为：
其中，pj＞0，qj≥μj，j＝1,2,…,m；
双曲正切函数tanh(sj/δ)的表达式为：
其中，δ为常数，且δ＞0；
双幂次趋近律为：
其中，αj＞0，βj＞0，κ1＞1，0＜κ2＜1；
将指数趋近律和双幂次趋近律相结合，得到的组合趋近律为：
优选地，所述步骤S202中带有控制输入的函数矩阵投影同步误差系统为：
其中，uj为控制输入，j＝1,2,…,m。
(三)有益效果
本发明的有益效果是：本发明提供的一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法，本发明根据不同维数的驱动系统和响应系统建立函数矩阵投影同步误差系统，将指数趋近律和双幂次趋近律相结合建立组合趋近律，采用线性滑模面和组合趋近律建立主动滑模控制器，主动滑模控制器能够进行不同维数混沌的函数矩阵投影同步控制，函数矩阵投影同步的速度比较快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。
附图说明
图1为本发明提供的一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法的总体原理图；
图2为本发明提供的一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法的具体实施例1中函数矩阵投影同步误差的响应曲线；
图3为本发明提供的一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法的具体实施例1中主动滑模控制器控制输入的响应曲线；
图4为本发明提供的一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法的具体实施例2中函数矩阵投影同步误差的响应曲线；
图5为本发明提供的一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法的具体实施例2中主动滑模控制器控制输入的响应曲线。
具体实施方式
为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。
本实施例公开了一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法，包括如下步骤：
S1、根据驱动系统和响应系统，建立函数矩阵投影同步误差系统方程；
S2、采用线性滑模面和组合趋近律结合，建立主动滑模控制器方程，并采用主动滑模控制器方程对函数矩阵投影同步误差系统方程进行平衡控制。
应说明的是：这里根据不同维数的驱动系统和响应系统建立函数矩阵投影同步误差系统，将指数趋近律和双幂次趋近律相结合建立组合趋近律，采用线性滑模面和组合趋近律建立主动滑模控制器，主动滑模控制器能够进行不同维数混沌的函数矩阵投影同步控制，函数矩阵投影同步的速度比较快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性。
本实施例中所述的步骤S1还包括如下子步骤：
S101、分别建立驱动系统方程和响应系统方程；
S102、借助于步骤S101中获得的驱动系统方程和响应系统方程，建立函数矩阵投影同步误差系统方程。
相应地，本实施例中所述的步骤S2还包括如下子步骤：
S201、建立主动滑模控制器方程；
S202、将主动滑模控制器方程带入函数矩阵投影同步误差系统方程，对函数矩阵投影同步误差系统方程进行平衡控制。
应说明的是：本实施例中所述的步骤S101中驱动系统为n维混沌系统，其状态方程为为：
其中，xi为驱动系统的状态变量，x＝[x1,x2,…,xn]T，t为时间，fi(x,t)为连续函数，其中i＝1,2,…,n，n为驱动系统的维数。
这里所述的步骤S101响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的m维混沌系统，状态方程表示为：
其中，yj为响应系统的状态变量，y＝[y1,y2,…,ym]T，t为时间，gj(y,t)为连续函数，Δgj(y,t)为建模不确定，ρj(t)为外部干扰信号，其中j＝1,2,…,m，m为响应系统的维数；
在响应系统中，建模不确定Δgj(y,t)和外部干扰信号ρj(t)均有界，即
|Δgj(y,t)|+|ρj(t)|≤μj；
其中，μj为响应系统中建模不确定和外部干扰信号的上界，且μj＞0，j＝1,2,…,m。
其次，本实施例中所述的步骤S102还包括：
驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步误差方程为：
其中，j＝1,2,…,m，kji(t)为函数矩阵K中第j行，第i列的元素，kji(t)
具有一阶导数的连续函数，并有界；K为m行n列的函数矩阵；
将公式写成矩阵的形式为：
其中，函数矩阵K的秩为n和m中较小值，即rank(K)＝min(n,m)；
对函数矩阵投影同步误差方程进行求导，得到函数矩阵投影同步误差系统方程为：
其中，j＝1,2,…,m。
本实施例中所述步骤S201中建立主动滑模控制器方程为：
其中，λj＞0，j＝1,2,…,m；
线性滑模面为：
sj＝ej；
其中，j＝1,2,…,m；
指数趋近律为：
其中，pj＞0，qj≥μj，j＝1,2,…,m；
双曲正切函数tanh(sj/δ)的表达式为：
其中，δ为常数，且δ＞0；
双幂次趋近律为：
其中，αj＞0，βj＞0，κ1＞1，0＜κ2＜1；
将指数趋近律和双幂次趋近律相结合，得到的组合趋近律为：
最后，应说明的是：这里所述步骤S202中带有控制输入的函数矩阵投影同步误差系统为：
其中，uj为控制输入，j＝1,2,…,m。
如图1所示，驱动系统为n维混沌系统，响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的m维混沌系统，根据驱动系统和响应系统建立函数矩阵投影同步误差系统，采用线性滑模面和组合趋近律设计主动滑模控制器，并采用主动滑模控制器进行不同维数混沌的函数矩阵投影同步控制，形成闭环系统，函数矩阵投影同步误差渐进收敛到零，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。
为了更加直观的显示本发明提出的一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法的有效性，采用MATLAB/Simulink软件对本控制方案进行仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶Runge-Kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，最大步长为0.0001s，仿真时间为2.5s。
具体实施例1
驱动系统为2维vanderPol混沌系统，响应系统为3维混沌系统，驱动系统和响应系统的维数不同。
步骤1：驱动系统为vanderPol混沌系统，响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的混沌系统，根据驱动系统和响应系统，建立函数矩阵投影同步误差系统；
驱动系统为2维vanderPol混沌系统，状态方程表示为：
其中，x1和x2为vanderPol混沌系统的状态变量，x＝[x1,x2]T，t为时间，f1(x,t)和f2(x,t)为连续函数。
响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的3维混沌系统，状态方程表示为：
其中，yj为响应系统的状态变量，Δgj(y,t)为建模不确定，ρj(t)为外部干扰信号，j＝1,2,3，y＝[y1,y2,y3]T，t为时间。
建模不确定Δgj(y,t)设定为：
外部干扰信号ρj(t)设定为：
建模不确定和外部干扰信号均有界，|Δgj(y,t)|+|ρj(t)|≤μj，其中j＝1,2,3，则μ1＝1.8，μ2＝2，μ3＝1.7。
驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步误差为：
其中，函数矩阵K的秩为2。
驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步误差系统为：
步骤2：采用线性滑模面和组合趋近律设计主动滑模控制器，并采用主动滑模控制器对函数矩阵投影同步误差系统进行平衡控制，从而实现驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。
带有控制输入的函数矩阵投影同步误差系统为：
其中，uj为控制输入，j＝1,2,3。
在主动滑模控制器的设计中，采用的组合趋近律为：
采用线性滑模面和组合趋近律设计的主动滑模控制器为：
其中，参数设定为λ1＝4，λ2＝1，λ3＝4，p1＝2，p2＝1，p3＝2.5，q1＝2，q2＝2.5，q3＝2，且q1≥μ1，q2≥μ2，q3≥μ3，α1＝1，α2＝1，α3＝1，β1＝1，β2＝1，β3＝1，κ1＝1.7，κ2＝0.6，δ＝0.001。
采用主动滑模控制器进行函数矩阵投影同步误差系统的控制，函数矩阵投影同步误差渐进收敛到零，实现不同维数混沌的函数矩阵投影同步控制，即对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。
vanderPol混沌系统的初始状态设定为x1(0)＝1，x2(0)＝3，混沌的初始状态设定为y1(0)＝5，y2(0)＝4，y3(0)＝15。控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是函数矩阵投影同步误差的响应曲线。图3是主动滑模控制器控制输入的响应曲线。在图2中，函数矩阵投影同步误差渐进收敛并在0.4s时基本收敛到零，收敛的速度非常快。从仿真曲线可以直观的观察到，主动滑模控制器能够实现vanderPol混沌和混沌的函数矩阵投影同步控制，函数矩阵投影同步误差快速收敛到零，能够克服建模不确定和外部干扰信号的影响，具有很好的鲁棒性和可靠性。
具体实施例2
驱动系统为4维超混沌Chen系统，响应系统为3维Lü混沌系统，驱动系统和响应系统的维数不同。
步骤1：驱动系统为超混沌Chen系统，响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的Lü混沌系统，根据驱动系统和响应系统，建立函数矩阵投影同步误差系统；
驱动系统为4维超混沌Chen系统，状态方程表示为：
其中，xi是超混沌Chen系统的状态变量，x＝[x1,x2,x3,x4]T，t为时间，fi(x,t)为连续函数，i＝1,2,3,4。
响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的3维Lü混沌系统，状态方程表示为：
其中，yj为响应系统的状态变量，Δgj(y,t)为建模不确定，ρj(t)为外部干扰信号，j＝1,2,3，y＝[y1,y2,y3]T，t为时间。
建模不确定Δgj(y,t)设定为：
外部干扰信号ρj(t)设定为：
建模不确定和外部干扰信号均有界，|Δgj(y,t)|+|ρj(t)|≤μj，其中j＝1,2,3，则μ1＝4.5，μ2＝4.6，μ3＝4.6。
驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步误差为：
其中，k11(t)＝1+0.3sin(2t)，k12(t)＝0.2sin(t)，k13(t)＝0，k14(t)＝0，k21(t)＝1，k22(t)＝1+0.2cos(t)，k23(t)＝0，k24(t)＝0，k31(t)＝0.1，k32(t)＝0.2sin(2t)，k33(t)＝1-0.3cos(t)，k33(t)＝-0.2。函数矩阵K的秩为3。
驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步误差系统为：
步骤2：采用线性滑模面和组合趋近律设计主动滑模控制器，并采用主动滑模控制器对函数矩阵投影同步误差系统进行平衡控制，从而实现驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。
带有控制输入的函数矩阵投影同步误差系统为：
其中，uj为控制输入，j＝1,2,3。
在主动滑模控制器的设计中，采用的组合趋近律为：
采用线性滑模面和组合趋近律设计的主动滑模控制器为：
其中，参数设定为λ1＝0.5，λ2＝2，λ3＝0.5，p1＝1，p2＝1，p3＝1，q1＝5，q2＝5，q3＝5，且q1≥μ1，q2≥μ2，q3≥μ3，α1＝1，α2＝1，α3＝1，β1＝1，β2＝1，β3＝1，κ1＝1.8，κ2＝0.6，δ＝0.0001。
采用主动滑模控制器进行函数矩阵投影同步误差系统的控制，函数矩阵投影同步误差渐进收敛到零，实现不同维数混沌的函数矩阵投影同步控制，即对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。
超混沌Chen系统的初始状态设定为x1(0)＝2，x2(0)＝2，x3(0)＝15，x4(0)＝-3。Lü混沌的初始状态设定为y1(0)＝3，y2(0)＝2，y3(0)＝10。控制参数如前所设，进行系统的仿真。图4是函数矩阵投影同步误差的响应曲线。图5是主动滑模控制器控制输入的响应曲线。在图4中，函数矩阵投影同步误差渐进收敛并在0.24s时基本收敛到零，收敛的速度非常快。从仿真曲线可以直观的观察到，主动滑模控制器能够实现超混沌Chen系统和Lü混沌的函数矩阵投影同步控制，函数矩阵投影同步误差快速收敛到零，能够克服建模不确定和外部干扰信号的影响，具有很好的鲁棒性和可靠性。
以上结合具体实施例描述了本发明的技术原理，这些描述只是为了解释本发明的原理，不能以任何方式解释为对本发明保护范围的限制。基于此处解释，本领域的技术人员不需要付出创造性的劳动即可联想到本发明的其它具体实施方式，这些方式都将落入本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种不同维数混沌的函数矩阵投影同步方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1、根据驱动系统和响应系统，建立函数矩阵投影同步误差系统方程；
S2、采用线性滑模面和组合趋近律结合，建立主动滑模控制器方程，并采用主动滑模控制器方程对函数矩阵投影同步误差系统方程进行平衡控制。
2.根据权利要求1中所述的方法，其特征在于，所述步骤S1还包括如下子步骤：
S101、分别建立驱动系统方程和响应系统方程；
S102、借助于步骤S101中获得的驱动系统方程和响应系统方程，建立函数矩阵投影同步误差系统方程。
3.根据权利要求2中所述的方法，其特征在于，
所述步骤S2还包括如下子步骤：
S201、建立主动滑模控制器方程；
S202、将主动滑模控制器方程带入函数矩阵投影同步误差系统方程，对函数矩阵投影同步误差系统方程进行平衡控制。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述步骤S101中驱动系统为n维混沌系统，其状态方程为为：
其中，xi为驱动系统的状态变量，x＝[x1,x2,…,xn]T，t为时间，fi(x,t)为连续函数，其中i＝1,2,…,n，n为驱动系统的维数。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述步骤S101响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的m维混沌系统，状态方程表示为：
其中，yj为响应系统的状态变量，y＝[y1,y2,…,ym]T，t为时间，gj(y,t)为连续函数，Δgj(y,t)为建模不确定，ρj(t)为外部干扰信号，其中j＝1,2,…,m，m为响应系统的维数；
在响应系统中，建模不确定Δgj(y,t)和外部干扰信号ρj(t)均有界，即|Δgj(y,t)|+|ρj(t)|≤μj；
其中，μj为响应系统中建模不确定和外部干扰信号的上界，且μj＞0，j＝1,2,…,m。
6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述步骤S102还包括：
驱动系统和响应系统的函数矩阵投影同步误差方程为：
其中，j＝1,2,…,m，kji(t)为函数矩阵K中第j行，第i列的元素，kji(t)具有一阶导数的连续函数，并有界；K为m行n列的函数矩阵；
将公式写成矩阵的形式为：
其中，函数矩阵K的秩为n和m中较小值，即rank(K)＝min(n,m)；
对函数矩阵投影同步误差方程进行求导，得到函数矩阵投影同步误差系统方程为：
其中，j＝1,2,…,m。
7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述步骤S201中建立主动滑模控制器方程为：
其中，λj＞0，j＝1,2,…,m；
线性滑模面为：
sj＝ej；
其中，j＝1,2,…,m；
指数趋近律为：
其中，pj＞0，qj≥μj，j＝1,2,…,m；
双曲正切函数tanh(sj/δ)的表达式为：
其中，δ为常数，且δ＞0；
双幂次趋近律为：
其中，αj＞0，βj＞0，κ1＞1，0＜κ2＜1；
将指数趋近律和双幂次趋近律相结合，得到的组合趋近律为：
8.根据权利要求7所述的方法，其特征在于，所述步骤S202中带有控制输入的函数矩阵投影同步误差系统为：
其中，uj为控制输入，j＝1,2,…,m。
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