CN108549226A - 一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种针对非对称时变时延下遥操作系统的有限时间控制方法，其内容包括：引入新的中间变量将遥操作系统拆分为两个子系统，针对第一子系统基于加幂积分方法设计有限时间控制策略，保证第一子系统的同步误差在有限时间内趋于零点；基于Lyapunov理论对第一子系统的有限时间稳定以及有限时间同步性能进行严格证明，建立控制参数与系统收敛时间的关系；针对带有时延信息的第二子系统设计有限时间控制器；基于弱有限时间输入到状态稳定、弱有限时间输入到输出稳定以及有限时间小增益定理，建立第二子系统的有限时间收敛与控制器参数和时延导数上界的关系。本发明与一般的P+d，PD+d以及直接力反馈方法相比，其收敛速度更快，收敛精度更高。

Description

一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法

技术领域

本发明涉及网络化非线性遥操作系统控制技术领域，尤其涉及非对称时变时延下非线性遥操作系统的连续有限时间控制策略设计问题。

背景技术

网络化遥操作系统其作为能最大限度发挥人类和机械系统各自优势的远距离操作系统，近年来得到了研究学者的广泛关注。典型的网络化遥操作系统主要由五部分组成，其分别为操作者、主机器人、网络信息传输通道、从机器人以及从机器人所处的外界环境。其工作模式大致可描述为：操作者操控本地主机器人使其运动，并将主机器人的位置、速度等信息通过网络等传输媒介传送给从机器人，从机器人按照接收到的主机器人的位置和速度信息，在特定环境下模拟主机器人的行为从而完成各种复杂工作，同时从机器人的工作状态将反馈至主端操作者，便于操作者根据从机器人的运动状态做出正确的决策。

近年来遥操作系统已经被广泛应用于核事故救援、空间探测，深海作业以及远程医疗等领域。文献《Bilateral teleoperation:An history survey》对遥操作的发展历史、研究现状以及未来发展趋势进行了总结。研究发现，针对遥操作系统其核心控制思想是：在存在主从通信时延以及外界干扰的情形下，保证闭环遥操作系统的稳定运行。且主流控制方法均采用的是无源性控制方法，通过选取合适的阻尼系数，从而保证系统的渐近收敛。

然而随着遥操作系统应用范围的不断扩大，一些实际应用对遥操作系统的控制性能如系统的收敛速度、收敛精度以及系统的抗干扰性能都提出了更高的要求。传统的无源性控制方法很难满足以上性能要求。另外，虽然基于终端滑模的有限时间控制方法在文献《Finite-time coordination control for networked bilateral teleoperation》中被用于控制遥操作系统，但一般的终端滑模控制中存在奇异值问题，且基于终端滑模的控制方法不可避免地存在抖动问题。这些问题使其很难直接应用于实际系统。

另一方面，现有针对遥操作系统的有限时间控制方法大多假设主、从之间的通信时延为常时延，而实际网络环境下主从通信时延大多带有时变及不对称性。时变时延下有限时间控制器的设计面临巨大的挑战。基于一般P+d控制策略，对系统稳定性证明是只需保证Lyapunov方程满足条件或者其中α＞0。但对于有限时间稳定系统，Lyapunov方程需满足或者其中β＞0，0＜γ₁＜1，γ₂≥1。因此有限时间控制器的设计不可避免地需用到主从系统位置误差的导数信息。位置误差的导数势必引起对时变时延的求导，因此控制器设计将依赖于精确的时延导数信息。然而，在实际应用中，时延导数精确值很难测得。在文献《Finite-time control for nonlinearteleoperation systems with asymmetric time-varying delays》中，针对时变时延下的不确定遥操作系统，提出了新的自适应有限时间控制策略，保证了遥操作系统在时变时延下的有限时间收敛。然而该控制策略依赖于时延导数信息，且当系统存在不确定时，只能实现主从同步误差的有限时间有界收敛。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有控制技术下带有非对称时变时延的遥操作系统需要在无穷时间下同步误差趋于零点且控制策略非连续问题，为遥操作系统提供了一种简单且有效的有限时间控制方法。

为解决上述技术问题，本发明采用了以下控制方案：

一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法，其内容包括如下步骤：

S1.引入新的中间变量将遥操作系统拆分为两个子系统，将不带有时变时延信息的系统定义为第一子系统，带有时变时延信息的系统定义为第二子系统；并将第一子系统的系统状态置于第二子系统中；

S2.针对第一子系统基于加幂积分方法设计有限时间控制策略，保证第一子系统的同步误差在有限时间内趋于零点；

S3.基于Lyapunov理论对第一子系统的有限时间稳定以及有限时间同步性能进行严格证明，建立控制参数与系统收敛时间的关系；

S4.针对带有时变时延信息的第二子系统设计有限时间控制器，保证第二子系统的同步误差在有限时间内趋于零点；

S5.基于弱有限时间输入到状态稳定、弱有限时间输入到输出稳定以及有限时间小增益定理，建立第二子系统的收敛时间与控制器参数、时延导数上界的关系。

优选地，在步骤S1中，所述引入新的中间变量将遥操作系统拆分为两个子系统，并将第一子系统的系统状态置于第二子系统中；就是考虑引入新的中间变量将n自由度的遥操作主从系统拆分为两个子系统，并将不带有时变时延的第一子系统的系统状态置于第二子系统中，考虑由主、从机器人组成的双边遥操作系统，其主机器人与从机器人之间通过网络进行信息传输，网络诱导时延往往存在非对称以及时变特性；为了在有限时间控制方法设计中避免对时延信息的使用，通过引入辅助中间变量将原遥操作系统拆分为两个子系统，并将存在非对称时变时延的信息仅置于第二子系统中；考虑由两个非线性机器人系统组成的遥操作系统模型：

其中，下标m代表主机器人，下标s代表从机器人，M_m(q_m),M_s(q_s)∈R^n×n为系统的正定惯性矩阵；为哥氏力和离心力的向量；为系统的重力项；F_h∈Rⁿ和F_e∈Rⁿ分别为人类操作者施加的力矩和环境施加的力矩；τ_m∈Rⁿ和τ_s∈Rⁿ为控制器提供的控制力矩；

下面内容中T_m(t)为信息从主端到从端的传输时延，而T_s(t)为信息从从端到主端的传输时延，由于网络的存在使得上述两个时延存在非对称时变特性；

通过定义x_m1＝q_m，x_s1＝q_s，可得如下闭环遥操作系统的严格反馈形式：

定义新的辅助中间变量ψ_m1和ψ_s1，且和具体ψ_m2和ψ_s2的定义将在后面给出；进而，定义主从机器人之间的位置同步误差为：

以及速度同步误差为：

根据上面定义的位置、速度同步误差和机器人系统具有的线性化属性，可得第一子系统的误差动力学方程为：

其中，i＝m,s，F_mhe＝F_h，F_she＝F_e；

定义新的辅助中间变量进而可得第二子系统方程：

其中，表示变量关于时间的一阶导数，变量u_i为第二子系统的控制器；这里通过引入辅助中间变量ψ_m1和ψ_s1，将原遥操作系统(2)式拆分为两个子系统，第一子系统为误差动力学系统(5)式，以及由变量ψ_m1，ψ_s1，ψ_m2和ψ_s2组成的第二子系统(6)式。

优选地，在步骤S2中，所述针对第一子系统基于加幂积分方法设计有限时间控制策略，保证第一子系统的同步误差在有限时间内趋于零点；其具体实现方式为：

针对第一子系统设计有限时间控制器如下：

其中，定义新的误差变量 为辅助中间虚拟变量，其具体定义为k_i1为大于零的常数，0＜γ₁＜1，k_i2为正常数，γ₂为正常数且满足γ₂＝2γ₁-1。

优选地，在步骤S3中，所述基于Lyapunov理论对第一子系统的有限时间稳定以及有限时间同步性能进行严格证明，并建立控制参数与系统收敛时间的关系；其具体实现过程包括如下内容：

首先，选取Lyapunov方程如下：

对其求导可得：

进一步可得：

进而选取如下Lyapunov方程：

进而可得如下V₂关于时间的一阶导数：

其中，

基于以上设计的有限时间控制策略(7)式，进一步可得：

通过选取 为正常数可得：

最后，对上式进行整理可得：

其中，

基于以上的证明可得V₂＞0，那么很显然可知第一子系统中定义的系统误差e_m和e_s将在有限时间内趋于零点，且系统的收敛时间为

优选地，在步骤S4中，所述针对带有时延信息的第二子系统设计有限时间控制器u_i，保证第二子系统的同步误差在有限时间内趋于零点，其过程如下：

基于第二子系统方程：给出如下公式：

其中，新的中间辅助变量定义为k_i3，k_i4，γ₃，γ₄均为大于零的常数，且0＜γ₃＜1，γ₄＝2γ₃-1。

优选地，在步骤S5中，所述基于弱有限时间输入到状态稳定、弱有限时间输入到输出稳定以及有限时间小增益定理建立第二子系统的收敛时间与控制器参数、时延导数上界的关系；其建立步骤如下：

选取如下Lyapunov方程：

对其求取一阶导数，并进一步代入可得：

进一步选取如下Lyapunov方程：

因此可得V₄随时间的一阶导数为：

其中，

通过选取γ₄＝2γ₃-1， 均为大于零的常数；因此进一步可得：

根据(19)式中对V₄的定义可知：

从式(19)中可知，必存在两个K_∞类方程φ₁和φ₂使得如下不等式成立：

φ₁(||z(t)||)≤V₄≤φ₂(||z(t)||) (23)

其中，

对于z(t)的任意解和输入存在两个K类方程φ₃和φ₄使得如下不等式成立：

其中，φ₃(||z(t)||)为关于的方程；

以ζ_i为系统状态，为系统输入，第二子系统弱有限时间输入到状态稳定，且有限时间增益为同时可知变量存在且有界；

进而，由于那么当系统以x_i2为系统输出，以为系统输入时系统为弱有限时间输入到输出稳定，且相应的弱有限时间输入到输出稳定增益为

基于以上分析可以将遥操作系统看成包括两个输入两个输出x_m2，x_s2的闭环系统；

另一方面，根据本发明方法对时延的假设，可得

因此，系统的连接项为M:＝{μ_ji}，i＝1,2，j＝1,2，其中μ₁₁＝0，μ₁₂＝1+Υ_s，μ₂₁＝1+Υ_m，μ₂₂＝0；

通过以上分析，可知当通过选取参数使得π_m(1+Υ_s)＜1和π_s(1+Υ_m)＜1不等式成立时，那么可得变量ψ_i2,x_i2有界，且ψ_i2,x_i2在有限时间内趋于零点；

进一步根据变量ψ_i2,e_i1,e_i2的定义，可直接得到变量和x_i2将在有限时间内趋于零点；另外，由于

很显然，可得变量q_m-q_s将在有限时间内收敛至零点。

由于采用上述技术方案，本发明与现有技术相比具有这样的有益效果：

本发明考虑非对称时变时延下的遥操作系统的有限时间控制器的设计，使其更适用于实际遥操作工作环境。且与基于终端滑模的控制方法相比，其设计方法更加简单，因此在实际中应用更加方便。另外建立了系统有限时间稳定与控制器参数以及时延变化率上界的关系，因此可以根据实际应用对系统收敛时间的要求以及实际中信息通信时延的上界来确定控制参数。

附图说明

图1为遥操作系统的结构框图；

图2为本发明的控制原理框图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不能用来限制本发明的范围。

本实施例的一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法包括以下步骤：

S1.引入新的中间变量将遥操作系统拆分为两个子系统，将不带有时变时延的系统定义为第一子系统，带有时变时延信息的系统定义为第二子系统；并将第一子系统的系统状态置于第二子系统中；

从20世纪90年代开始，随着计算机网络的飞速发展，其具有的信息互通、设备共享、灵活和高效等特点，使其逐渐成为遥操作系统的信息传输媒介。通过计算机网络，主、从端之间可进行图像、声音、运动和力等信息的传递。网络的引入使操作者远离危险的操作现场，在保护操作者的同时扩大了操作者的操作范围，从而极大地推动了遥操作系统的发展。但同时使得网络通信时延成为遥操作系统控制中必须要考虑的问题。在遥操作系统中通信时延往往具有不对称以及时变性。而时变通信时延的存在给有限时间控制器的设计带来了很大的难度。为避免控制器设计依赖于精确的时延导数信息，本发明中通过引入新变量将原遥操作系统拆分为两个子系统。并使得带有时变时延的变量只出现在第二子系统中。针对两个子系统分别利用加幂积分的方法设计有限时间控制器。并针对第二子系统，利用有限时间小增益定理对系统的有限时间收敛性进行了证明。

首先考虑n自由度的遥操作主从系统模型：

其中，下标m代表主机器人，下标s代表主机器人，M_m(q_m),M_s(q_s)∈R^n×n为系统的正定惯性矩阵；为哥氏力和离心力的向量；为系统的重力项；F_h∈Rⁿ和F_e∈Rⁿ分别为人类操作者施加的力矩和环境施加的力矩；τ_m∈Rⁿ和τ_s∈Rⁿ为控制器提供的控制力矩。

下面内容中T_m(t)为信息从主端到从端的传输时延，而T_s(t)为信息从从端到主端的传输时延，由于网络的存在使得上述两个时延存在非对称时变特性。且满足如下假设条件：

(1)存在方程使得T^*(t₂)-T^*(t₁)≤t₂-t₁，且对于所有的t＞0存在|T_i(t)|≤T^*(t)；

(2)方程T_i(t)满足当t→+∞时存在t-T_i(t)→+∞；

(3)存在常数Υ_i≥0使得对于所有的t₂＞t₁，使得不等式 |T_i(t₂)-T_i(t₁)|≤Υ_i|t₂-t₁|成立。

以上关于时延的假设可以简单理解为，存在一个函数T^*(t)，其可为时变函数也可为固定值，当其为时变函数时，其变化速度小于或等于其本身。同样上述假设说明主、从机器人之间的通信时延导数存在，且满足

为方便说明下面将遥操作系统拆分成两个子系统，通过定义x_m1＝q_m， x_s1＝q_s，可得如下闭环遥操作系统的严格反馈形式：

定义新的辅助中间变量ψ_m1和ψ_s1，且和具体ψ_m2和ψ_s2的定义将在后面给出。进而，定义主从机器人之间的位置同步误差为：

以及速度同步误差为：

根据上面定义的位置、速度同步误差和机器人系统具有的线性化属性，可得系统的误差动力学方程为：

其中，i＝m,s，F_mhe＝F_h，F_she＝F_e。

定义新的辅助中间变量进而可得第二子系统方程：

其中，表示变量关于时间的一阶导数，变量u_i为第二子系统的控制器；这里通过引入辅助中间变量ψ_m1和ψ_s1，将原遥操作系统(25)式拆分为两个子系统，第一子系统为误差动力学系统(29)式，以及由变量ψ_m1，ψ_s1，ψ_m2和ψ_s2组成的第二子系统(30)式。

S2.针对第一子系统基于加幂积分方法设计有限时间控制策略，保证第一子系统的同步误差在有限时间内趋于零点；

针对第一子系统设计有限时间控制器如下：

其中，定义新的误差变量 为辅助中间虚拟变量，其具体定义为k_i1为大于零的常数，0＜γ₁＜1，k_i2为正常数，γ₂为正常数且满足γ₂＝2γ₁-1。

S3.基于Lyapunov理论对第一子系统的有限时间稳定以及有限时间同步性能进行严格证明，建立控制参数与系统收敛时间的关系；

首先，选取Lyapunov方程如下：

对其求导可得：

进一步可得：

进而选取如下Lyapunov方程：

进而可得如下V₂关于时间的一阶导数：

其中，

基于以上设计的有限时间控制策略(31)，进一步可得：

通过选取 为正常数。

最后，对上式进行整理可得：

其中，

基于以上的证明可得V₂＞0，那么很显然可知第一子系统中定义的系统误差e_m和e_s将在有限时间内趋于零点，对方程(39)求积分可得具体收敛时间为

S4.针对带有时延信息的第二子系统设计有限时间控制器，由上面对的定义给出如下方程：

其中，为变量关于时间的一阶导数，新的中间辅助变量定义为k_i3，k_i4，γ₃，γ₄均为大于零的常数，且0＜γ₃＜1，γ₄＝2γ₃-1。

S5.基于弱有限时间输入到状态稳定、弱有限时间输入到输出稳定以及有限时间小增益定理建立第二子系统的收敛时间与控制器参数和时延导数上界的关系；

在上面的步骤中，已经得到误差e_m和e_s趋于零的结论。但是遥操作系统控制的最终目标是实现主从之间的同步即q_m-q_s(t-T_s(t))和q_s-q_m(t-T_m(t))趋于零点。为实现本发明方法的最终目标，需进一步定义变量并给出如下定义因此，为实现主从机器人关节位置的有限时间同步，需进一步证明变量同样将在有限时间内趋于零点。当变量e_i1,均实现有限时间收敛时，最后可得在有限时间内趋于零点的结论，即实现了最终主从机器人同步的控制目标。

选取如下Lyapunov方程：

对其求取一阶导数，并进一步代入可得：

进一步选取如下Lyapunov方程：

因此可得V₄随时间的一阶导数为：

其中，

通过选取γ₄＝2γ₃-1， 均为大于零的正常数。因此进一步可得：

根据(43)中对V₄的定义可知：

从式(43)中可知，必存在两个K_∞类方程φ₁和φ₂使得如下不等式成立：

φ₁(||z(t)||)≤V₄≤φ₂(||z(t)||) (47)

其中，

根据定义一个连续方程属于K类方程即α∈K如果其严格递增且满足α(0)＝0。方程α∈K属于K∞类方程如果α(s)→∞当s→∞。定义 O为零方程即O(s)≡0对于所有的s＞0。方程为KL类方程，如果β(·,t)对于第一个参数，当为K类方程，且β(s,t)对于所有固定的s≥0当t→∞时递减到零。

因此对于z(t)的任意解和输入存在两个K类方程φ₃和φ₄使得如下不等式成立：

其中，φ₃(||z(t)||)为关于的方程。

以ζ_i为系统状态，为系统输入，第二子系统弱有限时间输入到状态稳定，且有限时间增益为同时可知变量存在且有界。

进而，由于那么当系统以x_i2为系统输出，以为系统输入时系统为弱有限时间输入到输出稳定，且相应的WFTIOS增益为

基于以上分析可以将遥操作系统看成包括两个输入两个输出x_m2，x_s2的闭环系统，

另一方面，根据对时延的假设，可得

因此，系统的连接项为M:＝{μ_ji}，i＝1,2，j＝1,2，其中μ₁₁＝0，μ₁₂＝1+Υ_s，μ₂₁＝1+Υ_m，μ₂₂＝0。

通过以上分析，可知当通过选取参数使得π_m(1+Υ_s)＜1和π_s(1+Υ_m)＜1不等式成立时，那么可得变量ψ_i2,x_i2有界。且ψ_i2,x_i2在有限时间内趋近于零点。

进一步根据变量ψ_i2,e_i1,e_i2的定义，可直接得到变量和x_i2将在有限时间内趋于零点。另外，由于

很显然，可得变量q_m-q_s将在有限时间内收敛至零点。

本发明考虑非对称时变时延下遥操作系统的有限时间控制方法的设计，相比于现有的针对遥操作系统的控制方法主要有三方面的优点：首先，与一般的 P+d，PD+d以及直接力反馈方法相比，其收敛速度更快，收敛精度更高。其次，与现有的基于遥操作系统的有限时间控制方法相比，本发明中控制方法设计更加简单，且为连续控制，因此在实际中更容易实现。最后，本发明中首次建立控制器参数特别是控制器参数幂次项与系统收敛时间以及时延上界的关系，使得实际中对控制器参数的选择更加方便。

本发明的实施例仅是为了示例和描述起见而给出的，而并不是无遗漏的或者将本发明限于所公开的形式。很多修改和变化对于本领域的普通技术人员而言是显而易见的。选择和描述实施例是为了更好说明本发明的原理和实际应用，并且使本领域的普通技术人员能够理解本发明从而设计适于特定用途的带有各种修改的各种实施例。

Claims (6)

1.一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法，其特征在于：内容包括如下步骤：

S1.引入新的中间变量将遥操作系统拆分为两个子系统，将不带有时变时延信息的系统定义为第一子系统，带有时变时延信息的系统定义为第二子系统；并将第一子系统的系统状态置于第二子系统中；

S2.针对第一子系统基于加幂积分方法设计有限时间控制策略，保证第一子系统的同步误差在有限时间内趋于零点；

S3.基于Lyapunov理论对第一子系统的有限时间稳定以及有限时间同步性能进行严格证明，建立控制参数与系统收敛时间的关系；

S4.针对带有时变时延信息的第二子系统设计有限时间控制器，保证第二子系统的同步误差在有限时间内趋于零点；

S5.基于弱有限时间输入到状态稳定、弱有限时间输入到输出稳定以及有限时间小增益定理，建立第二子系统的收敛时间与控制器参数、时延导数上界的关系。

2.根据权利要求1所述的一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法，其特征在于：在步骤S1中，所述引入新的中间变量将遥操作系统拆分为两个子系统，并将第一子系统的系统状态置于第二子系统中；就是考虑引入新的中间变量将n自由度的遥操作主从系统拆分为两个子系统，并将带有时变时延的第一子系统的系统状态置于第二子系统中，考虑由主、从机器人组成的双边遥操作系统，其主机器人与从机器人之间通过网络进行信息传输，网络诱导时延往往存在非对称以及时变特性；为了在有限时间控制方法设计中避免对时延信息的使用，通过引入辅助中间变量将原遥操作系统拆分为两个子系统，并将存在非对称时变时延的信息仅置于第二子系统中；考虑由两个非线性机器人系统组成的遥操作系统模型：

其中，下标m代表主机器人，下标s代表从机器人，M_m(q_m),M_s(q_s)∈R^n×n为系统的正定惯性矩阵；为哥氏力和离心力的向量；为系统的重力项；F_h∈Rⁿ和F_e∈Rⁿ分别为人类操作者施加的力矩和环境施加的力矩；τ_m∈Rⁿ和τ_s∈Rⁿ为控制器提供的控制力矩；

下面内容中T_m(t)为信息从主端到从端的传输时延，而T_s(t)为信息从从端到主端的传输时延，由于网络的存在使得上述两个时延存在非对称时变特性；

通过定义x_m1＝q_m，x_s1＝q_s，可得如下闭环遥操作系统的严格反馈形式：

定义新的辅助中间变量ψ_m1和ψ_s1，且和具体ψ_m2和ψ_s2的定义将在后面给出；进而，定义主从机器人之间的位置同步误差为：

以及速度同步误差为：

根据上面定义的位置、速度同步误差和机器人系统具有的线性化属性，可得第一系统的误差动力学方程为：

其中，i＝m,s，F_mhe＝F_h，F_she＝F_e；

定义新的辅助中间变量进而可得第二子系统方程：

其中，表示变量关于时间的一阶导数，变量u_i为第二子系统的控制器；这里通过引入辅助中间变量ψ_m1和ψ_s1，将原遥操作系统(2)拆分为两个子系统，第一子系统为误差动力学系统(5)，以及由变量ψ_m1，ψ_s1，ψ_m2和ψ_s2组成的第二子系统(6)。

3.根据权利要求1所述的一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法，其特征在于：在步骤S2中，所述针对第一子系统基于加幂积分方法设计有限时间控制策略，保证第一子系统的同步误差在有限时间内趋于零点；其具体实现方式为：

针对第一子系统设计有限时间控制器如下：

其中，定义新的误差变量 为辅助中间虚拟变量，其具体定义为k_i1为大于零的常数，0＜γ₁＜1，k_i2为正常数，γ₂为正常数且满足γ₂＝2γ₁-1。

4.根据权利要求1所述的一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法，其特征在于：在步骤S3中，所述基于Lyapunov理论对第一子系统的有限时间稳定以及有限时间同步性能进行严格证明，并建立控制参数与系统收敛时间的关系；其具体实现过程包括如下内容：

首先，选取Lyapunov方程如下：

对其求导可得：

进一步可得：

进而选取如下Lyapunov方程：

进而可得如下V₂关于时间的一阶导数：

其中，

基于以上设计的有限时间控制策略(7)式，进一步可得：

通过选取 为正常数可得：

最后，对上式进行整理可得：

其中，

基于以上的证明可得V₂＞0，那么很显然可知第一子系统中定义的系统误差e_m和e_s将在有限时间内趋于零点，且系统的收敛时间为

5.根据权利要求1所述的一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法，其特征在于：在步骤S4中，所述针对带有时延信息的第二子系统设计有限时间控制器u_i，保证第二子系统的同步误差在有限时间内趋于零点，其过程如下：

基于第二子系统方程：给出如下公式：

其中，新的中间辅助变量定义为k_i3，k_i4，γ₃，γ₄均为大于零的常数，且0＜γ₃＜1，γ₄＝2γ₃-1。

6.根据权利要求1所述的一种时变时延下遥操作系统的连续有限时间控制方法，其特征在于：在步骤S5中，所述基于弱有限时间输入到状态稳定、弱有限时间输入到输出稳定以及有限时间小增益定理建立第二子系统的收敛时间与控制器参数、时延导数上界的关系；其建立步骤如下：

选取如下Lyapunov方程：

对其求取一阶导数，并进一步代入可得：

进一步选取如下Lyapunov方程：

因此可得V₄随时间的一阶导数为：

其中，

通过选取γ₄＝2γ₃-1， 均为大于零的常数；因此进一步可得：

根据(19)式中对V₄的定义可知：

从式(19)中可知，必存在两个K_∞类方程φ₁和φ₂使得如下不等式成立：

φ₁(||z(t)||)≤V₄≤φ₂(||z(t)||) (23)

其中，

对于z(t)的任意解和输入存在两个K类方程φ₃和φ₄使得如下不等式成立：

其中，φ₃(||z(t)||)为关于的方程；

以ζ_i为系统状态，为系统输入，第二子系统弱有限时间输入到状态稳定，且有限时间增益为同时可知变量存在且有界；

进而，由于那么当系统以x_i2为系统输出，以为系统输入时系统为弱有限时间输入到输出稳定，且相应的弱有限时间输入到输出稳定增益为

基于以上分析可以将遥操作系统看成包括两个输入两个输出x_m2，x_s2的闭环系统；

另一方面，根据本发明方法对时延的假设，可得

因此，系统的连接项为M:＝{μ_ji}，i＝1,2，j＝1,2，其中μ₁₁＝0，μ₁₂＝1+Υ_s，μ₂₁＝1+Υ_m，μ₂₂＝0；

通过以上分析，可知当通过选取参数使得π_m(1+Υ_s)＜1和π_s(1+Υ_m)＜1不等式成立时，那么可得变量ψ_i2,x_i2有界，且ψ_i2,x_i2在有限时间内趋于零点；

进一步根据变量ψ_i2,e_i1,e_i2的定义，可直接得到变量和x_i2将在有限时间内趋于零点；另外，由于

很显然，可得变量q_m-q_s将在有限时间内收敛至零点。