CN107450326A - 反步有限时间双边遥操作控制方法及计算机可读存储介质 - Google Patents

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CN107450326A CN201710802174.3A CN201710802174A CN107450326A CN 107450326 A CN107450326 A CN 107450326A CN 201710802174 A CN201710802174 A CN 201710802174A CN 107450326 A CN107450326 A CN 107450326A
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Abstract

反步有限时间双边遥操作控制方法及计算机可读存储介质，方法为：S1、对n自由度的双边遥操作控制机器人系统建立不考虑重力项的双边遥操作动力学模型；分别对主从端执行S2至S6：S2、提取机器人的关节位置变量并进行变量替换，建立状态变量方程；定义状态变量方程中待定的虚拟切换控制器；S3、基于状态变量方程提取待稳定系统；S4、选取第一Lyapunov函数以稳定待稳定系统；S5、对第一Lyapunov函数求导并根据求导结果定义非奇异积分终端滑模面；S6、选取第二Lyapunov函数以计算状态变量在滑模面滑动阶段的收敛时间；S7、构建双边控制器，以使非滑动模态于有限时间内到达非奇异积分终端滑模面；S8、估计状态变量收敛时间的上限。

Description

反步有限时间双边遥操作控制方法及计算机可读存储介质
技术领域
本发明涉及控制技术领域，具体涉及一种基于HJI理论的反步有限时间双边遥操作控制方法以及一种计算机可读存储介质。
背景技术
机器人遥操作技术是指操作人员监视和控制远方机器人完成各种任务的技术。目前，受限于人工智能的发展水平，机器人在面对大多数复杂任务时自主完成任务的程度不佳。为了保证任务完成度，遥操作在机器人控制模式中不可或缺。此外，在一些人类无法触碰甚至一些危及人类健康或生命安全的环境下，遥操作技术被广泛应用。
遥操作技术有预测控制、遥操作编程技术和双边控制三种控制模式。双边控制方法中，主端和从端都在一个控制回路中，两者之间相互作用，通过设计控制算法克服通信时延的影响(相关技术可参考《空间机器人遥操作双边遥控制技术研究》-邓启文)。一个典型的双边控制系统包含以下五个环节：操作员、主端机器人、主从端通信链路、从端机器人和环境。
双边遥操作中最主要的是通信时延影响下的系统稳定性问题，特别是远距离遥操作任务重，通信时延将严重影响系统性能，甚至导致闭环系统失稳。为保证遥操作系统的闭环稳定性，基于无源性的双边控制方法被许多学者研究和讨论，比较经典的包括散射变换法和波向量法。此外，文献《Delay-dependent stability criteria of teleoperationsystems with asymmetric time-varying delays》中基于H∞鲁棒控制理论在最优框架下对变时延问题进行了研究，事实上，遥操作的时延动态特性十分复杂，既包括固定时延分量也包含随机分量，特别是跳变的随机分量将导致信息难以获取和测量。这类抖动时延将严重影响闭环系统稳定性，然而上述方法难以解决抖动时延问题。
双边控制器在时延下的动态性能是双边遥操作系统的另一个重要指标。动态性能包括跟踪速度(响应时间)和稳态跟踪误差。针对这一问题，文献《Synchronization ofbilateral teleoperators with time delay》设计了一种位置跟踪控制器实现了双边协同误差的渐近收敛。文献《Bilateral control of teleoperation systems with timedelay》提出的方法实现了主从端误差的有界性，并显式地给出了误差与控制器参数的关系。上述方法实现了渐近控制，即状态变量在时间趋于无穷时的收敛。然而，渐近控制难以达到实际任务的要求。事实上，实际任务中更需要一种有限时间收敛且收敛时间可控的控制方法。
发明内容
本发明的主要目的是基于HJI理论，提出一种反步有限时间双边遥操作控制方法，该控制方法能够实现主从端机器人机械臂的相对位置误差及速度误差在有限时间内收敛且收敛时间可控，以解决现有技术在很长时间内才能使跟踪误差趋近于零的问题。
本发明为达上述目的所提供的技术方案如下：
一种反步有限时间双边遥操作控制方法，包括以下步骤
S1、对于n自由度的双边遥操作控制机器人系统，建立其不考虑重力项的双边遥操作动力学模型；其中，n为正整数；
分别对所述双边遥操作动力学模型的主端和从端执行以下步骤S2至S6：
S2、提取机器人的关节位置变量，并对所述关节位置变量进行变量替换，建立状态变量方程；并定义所述状态变量方程中待定的虚拟切换控制器；
S3、基于所述状态变量方程，提取待稳定系统；
S4、选取第一Lyapunov函数，并稳定所述待稳定系统；
S5、对所述第一Lyapunov函数进行求导，并根据求导结果定义能够使得状态变量在滑模面滑动阶段有限时间收敛的非奇异积分终端滑模面；
S6、选取第二Lyapunov函数，用于计算状态变量在滑模面滑动阶段的收敛时间；
S7、根据所述双边遥操作动力学模型和所述非奇异积分终端滑模面构建双边控制器，以使非滑动模态于有限时间内到达所述非奇异积分终端滑模面；其中，所述双边控制器和所述虚拟切换控制器使得所述双边遥操作动力学模型的主从端机械臂的相对位置及速度在考虑不确定性和抖动时延的情况下于有时间内收敛至期望值；
S8、基于闭环控制系统满足从所述双边遥操作控制机器人系统的总不确定性到性能输出的L2增益，估计状态变量收敛时间的上限。
本发明提供的上述技术方案，能够在存在变时延、系统不确定性的情况下，实现从端跟随主端，使从端机械臂的位置和速度协同于主端，并且主从端机械臂相对位置误差和速度误差在有限时间收敛，同时，给出收敛时间的估计值。
本发明另还提出一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现前述方法的步骤。
附图说明
图1是本发明的反步有限时间双边遥操作控制方法的流程图；
图2是抖动时延图；
图3-1是本发明的方法与现有的PD-like方法的主端机械臂相对位置误差变化曲线图的对比；
图3-2是本发明的方法与现有的PD-like方法的从端机械臂相对位置误差变化曲线图的对比；
图4-1是本发明的方法与现有的PD-like方法的主端机械臂速度误差变化曲线图的对比；
图4-2是本发明的方法与现有的PD-like方法的从端机械臂速度误差变化曲线图的对比。
具体实施方式
下面结合附图和优选的实施方式对本发明作进一步说明。
本发明具体实施方式提供一种基于HJI(Hamilton-Jacobi Inequality)理论的反步有限时间双边遥操作控制方法，该方法能够在存在跳变时延和系统不确定性的情况下，实现从端机械臂的位置和速度协同主端机械臂改变，并且主从端机械臂相对位置误差和速度误差在有限时间收敛，同时，估计出收敛时间。
其中，HJI理论描述如下：
对于任意给定的正实数γ，如果存在正定函数V，对V求导满足
则J≤γ。其中，为双边遥操作控制机器人系统的L2增益，J值越小，系统的鲁棒性越强，表征了系统的干扰抑制能力。d为干扰信号，ζ为评价信号。
参考图1，本发明具体实施方式提供的反步有限时间双边遥操作控制方法包括如下步骤S1至S8：
步骤S1、对于n自由度的双边遥操作控制机器人系统，建立其不考虑重力项的双边遥操作动力学模型；其中，n为正整数；
步骤S2、提取机器人的关节位置变量，并对所述关节位置变量进行变量替换，建立状态变量方程；并定义所述状态变量方程中待定的虚拟切换控制器；
步骤S3、基于所述状态变量方程，提取待稳定系统；
步骤S4、选取第一Lyapunov函数，并稳定所述待稳定系统；
步骤S5、对所述第一Lyapunov函数进行求导，并根据求导结果定义能够使得状态变量在滑模面滑动阶段有限时间收敛的非奇异积分终端滑模面；
步骤S6、选取第二Lyapunov函数，用于计算状态变量在滑模面滑动阶段的收敛时间；
步骤S7、根据所述双边遥操作动力学模型和所述非奇异积分终端滑模面构建双边控制器，以使非滑动模态于有限时间内到达所述非奇异积分终端滑模面；其中，所述双边控制器和所述虚拟切换控制器使得所述双边遥操作动力学模型的主从端机械臂位置及速度在考虑不不确定性和抖动时延的情况下于有时间内收敛至期望值；
步骤S8、基于闭环控制系统满足从所述双边遥操作控制机器人系统的总不确定性到性能输出的L2增益，估计状态变量收敛时间的上限。
对于步骤S1中，n自由度的双边遥操作控制机器人系统，表示为：
其中，下标m和s分别代表主端和从端，将m和s统一用j表示，则Mj和Cj分别表示机器人的质量矩阵和阻尼矩阵，和分别表示机器人机械臂的速度和加速度，gj为机器人的重力项，Fm为主端控制信号，Fs为从端控制信号，Fh和Fe为分别表示操作者施加的外力和环境力。
考虑到重力项可通过前馈补偿，令Mj＝Mj0+△Mj，Cj＝Cj0+△Cj，其中，Mj0和Cj0分别为质量矩阵和阻尼矩阵的标称部分，△Mj和△Cj分别为质量矩阵和阻尼矩阵的不确定部分。从而将上述公式(2)改写后，得到下述不考虑重力项的双边遥操作动力学模型：
其中，Pj表示系统参数变化引起的内部不确定项之和。
在优选的实施例中，步骤S2具体包括：
先提取机器人的关节位置变量qj(即包括qm和qs)，再进行以下的变量替换：
得到状态变量方程z1j＝ej，同样地，j＝m或s，当j为m时代表主端，当j为s时代表从端(在后述中也如此，将不再进行相关的说明)；△Tm和△Ts均为抖动时延，分别为前向通道时延和反向通道时延；
再对ej进行求导，得到构建方程以定义所述待定的虚拟切换控制器
在优选的实施例中，步骤S3具体包括：先对所述状态变量方程z1j＝ej进行求导，得到再根据前述构建的方程得到所述待稳定系统，其系统方程为：
更优选地，为了稳定上述公式(5)所示的待稳定系统，步骤S4中选取了以下的第一Lyapunov函数：
其中，其中，z1ji为z1j的第i个分量，T表示矩阵的转置。
在一种具体的实施例中，步骤S2中待定的虚拟切换控制器定义为：
其中，k1j为常数，r1j为正的常数，ε为一个值很小的常数，
sign()为符号函数，定义为：
在一种具体的实施例中，步骤S5包括：将第一Lyapunov函数沿着所述待稳定系统的轨线求导，得到：
根据第一Lyapunov函数的求导结果即上式(8)，所述待稳定系统被稳定在z2j→0，从而，可以定义如下非奇异积分终端滑模面：
其中，0<g<1，c1j和c2j为适当维数的正定对角矩阵，在此处矩阵的维数与z2j有关。
在一些实施例中，步骤S6具体包括：当状态变量滑行至所述非奇异积分终端滑模面时，对所述非奇异积分终端滑模面的方程求导，得到：
定义评价信号ζj为滑模函数，则ζj＝Sj；接着，选取第二Lyapunov函数并对所述第二Lyapunov函数进行关于时间的求导，得到：
其中，0<g<1；由于状态变量在滑模面滑动阶段是有限时间收敛的，则可估算出收敛时间为：
即，虚拟切换控制器使得机器人系统在滑模面上有限时间收敛。
在优选的实施例中，步骤S7中构建的所述双边控制器如下：um为主端控制器，us为从端控制器：
其中，r2为正的常数，k2j为常数，i＝1,2,3,……n；Φ(z1ji)表示Φ(z1j)的第i个分量，
根据步骤S6可得，所述虚拟切换控制器使得双边遥操作控制机器人系统在滑模面上于有限时间内收敛至期望值。
在一些具体的实施例中，步骤S8具体包括：选取一第三Lyapunov函数并对选取的该第三Lyapunov函数进行求导，得到
其中，下标v＝m,s，并且v≠j，也就是说，在上式中，当j为m时，v为s，反之，当j为s时，v为m。K1j＝k1j·I，I为单位矩阵，Pdelay表示时延及其导数所产生的跳变量之和，Punj表示主/从端受到的外界干扰和系统参数不确定形成的干扰；
由于则有
其中，γ为任意给定的正实数，
定义其中ζ为自定义的评价信号；则有
由于
从而Hj≤0，此时定义其中可得Jj≤γ，闭环控制系统满足从所述双边遥操作控制机器人系统的总不确定性到性能输出的L2增益；
从而：
其中，θ2＝k2jλmin(Mj0)，rj＝max(r1j,r2j)，
从而可得到主端和从端的收敛时间为进而，状态变量(主要是指机械臂的相对位置和速度)从非滑动模态到达所述非奇异积分终端滑模面的收敛时间的上限估计为TE＝max{Tm,Ts}，即所述双边遥操作控制机器人系统的非滑动模态于有限时间内到达所述非奇异积分终端滑模面。
也就是说，步骤S7中所构建的双边控制器使得机器人系统从非滑动模块于有限时间内到达所述非奇异积分终端滑模面。
综上可知，本发明的控制方法能够使得机器人系统从任意状态于有限时间内收敛至期望值。
下面从一个具体的例子来对本发明的前述技术方案进行说明：
一个主从端机器人均为双自由度机械臂的遥操作系统，其动力学方程：
其中，重力项gj只与关节角相关，因此在控制器设计时可以通过前馈方式进行补偿。考虑到系统的强不确定性，设置该遥操作系统仿真时的参数如下：
表1遥操作系统仿真参数
需要说明，主端系统和从端系统的实际质量均为1.0kg，可以看出，从端系统的实际质量与和表1设置的从端系统仿真质量(ms1和ms2)存在88％的误差；主端系统和从端系统的实际长度与表1设置的参数存在20％的误差。
参考图2，系统抖动时延设置为
其中，△Tm和△Ts分别为前向通道时延(图2中的(a))和反向通道时延(图2中的(b))；服从均值为0.3、方差为0.02的正态分布，如图2所示。
采用本发明提供的前述控制方法对主从双边系统进行仿真控制，并与含从端速度补偿项的类PD(PD-like)控制器进行比较，其中，该控制器参数取值如表2。
表2
序号 参数 数值
1 γ 0.01
2 ε 0.0001
3 c1 diag(0.012,0.012)
4 c2 diag(0.008,0.008)
5 g 0.9
6 r1 0.55
7 r2 0.8
8 k1 0.02
9 k2 0.02
10 kp 0.4
11 kd 0.4
12 d 0.4
仿真开始时，主从端机器人处于同一位置，仿真过程中操作员对主端的机器人施加作用力，从端机器人进行跟随。操作员在主端机器人施加的力为
其中，kh＝diag(0.1,0.1)且dh＝diag(0.1,0.1)。
通过仿真，得到如图3-1和图3-2所示的主、从端机械臂相对位置误差变化曲线图，图中左侧为本发明的BFTC方法(BFTC，Back-stepping Finite-time Controller)所得到的曲线，右侧为PD-like法(含从端速度补偿项的类PD法)得到的曲线，以及如图4-1和图4-2所示的主、从端机械臂速度误差变化曲线图(同样，左侧为本发明的BFTC方法所得到的曲线，右侧为PD-like法得到的曲线)。从这四个图中可以看出，对于抖动时延和强系统不确定情况下的双边遥操作系统，采用本发明提出的前述反步有限时间双边遥操作控制方法，能够使得主从双边的跟踪误差很快收敛到零，达到了控制的目的；另一方面，也可以看出本发明的方法(图中BFTC所示)与类PD方法仿真效果的对比，本发明提出的控制方法能够以更小的超调实现相对位置的更快收敛速度和更高的收敛精度，以及实现了相对速度误差的更快收敛。
根据上述，在本发明中，考虑的是带抖动时延的遥操作系统，由于采用的滑模控制方法对不确定干扰具有一定的鲁棒性，因此本发明即使是在变时延的情况下也能保证双边控制系统的稳定。本发明的控制方法中的收敛时间只与系统初始条件和控制参数有关，可以提前评估控制效果。本发明可以通过调节控制参数改变收敛时间，改变同步跟踪的快速性。可见，本发明可以保证系统在时延下稳定性的同时，改变系统双边同步跟踪的快速性。
另一方面，本发明提出的积分滑模是非奇异的，这是因为在虚拟控制律中引入了切换策略，即|z1i|≤ε时变换为渐近形式。在消除奇异现象的同时，保证了控制器的连续光滑性质。同时，选择适合的参数ε，收敛精度和收敛速率可以得到保证。
本发明的另一具体实施方式还提供了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时可实现前述反步有限时间双边遥操作控制方法的步骤。
以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：包括以下步骤
S1、对于n自由度的双边遥操作控制机器人系统，建立其不考虑重力项的双边遥操作动力学模型；其中，n为正整数；
分别对所述双边遥操作动力学模型的主端和从端执行以下步骤S2至S6：
S2、提取机器人的关节位置变量，并对所述关节位置变量进行变量替换，建立状态变量方程；并定义所述状态变量方程中待定的虚拟切换控制器；
S3、基于所述状态变量方程，提取待稳定系统；
S4、选取第一Lyapunov函数，并稳定所述待稳定系统；
S5、对所述第一Lyapunov函数进行求导，并根据求导结果定义能够使得状态变量在滑模面滑动阶段有限时间收敛的非奇异积分终端滑模面；
S6、选取第二Lyapunov函数，用于计算状态变量在滑模面滑动阶段的收敛时间；
S7、根据所述双边遥操作动力学模型和所述非奇异积分终端滑模面构建双边控制器，以使非滑动模态于有限时间内到达所述非奇异积分终端滑模面；其中，所述双边控制器和所述虚拟切换控制器使得所述双边遥操作动力学模型的主从端机械臂的相对位置及速度在考虑不确定性和抖动时延的情况下于有时间内收敛至期望值；
S8、基于闭环控制系统满足从所述双边遥操作控制机器人系统的总不确定性到性能输出的L2增益，估计状态变量收敛时间的上限。
2.如权利要求1所述的反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：在步骤S1中，n自由度的双边遥操作控制机器人系统为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>h</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中，Mj和Cj分别表示机器人的质量矩阵和阻尼矩阵，和分别表示机器人机械臂的速度和加速度，gj为机器人的重力项，Fm为主端控制信号，Fs为从端控制信号，Fh和Fe为分别表示操作者施加的外力和环境力；
其中，当j为m时代表主端，当j为s时代表从端；
基于重力项可通过前馈补偿的前提，令Mj＝Mj0+ΔMj，Cj＝Cj0+ΔCj，其中，Mj0和Cj0分别为质量矩阵和阻尼矩阵的标称部分，ΔMj和ΔCj分别为质量矩阵和阻尼矩阵的不确定部分；从而，得到不考虑重力项的双边遥操作动力学模型，如下：
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow>
其中，Pj表示系统参数变化引起的内部不确定项之和。
3.如权利要求1所述的反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：步骤S2具体包括：
S21、提取机器人的关节位置变量qj，并进行以下变量替换：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <msub> <mi>T</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <msub> <mi>T</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
得到所述状态变量方程：z1j＝ej，其中，当j为m时代表主端，当j为s时代表从端；ΔTm和ΔTs分别为前向通道时延和反向通道时延；
S22、对ej进行求导，得到构建方程以定义所述待定的虚拟切换控制器
4.如权利要求3所述的反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：步骤S3具体包括：
S31、对所述状态变量方程z1j＝ej进行求导，得到
S32、根据步骤S22中构建的方程得到所述待稳定系统
步骤S4所选取的第一Lyapunov函数为：其中，为z1j的第i个分量，T表示矩阵的转置。
5.如权利要求4所述的反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：步骤S2中待定的虚拟切换控制器定义为：
其中，k1j为常数，r1j为正常数，ε为常数，
sign()为符号函数，定义为：
6.如权利要求4所述的反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：步骤S5具体包括：将所述第一Lyapunov函数沿着所述待稳定系统的轨线求导，得到：
根据第一Lyapunov函数的求导结果，所述待稳定系统被稳定在z2j→0，从而定义如下非奇异积分终端滑模面：
Sj＝z2j+c1j∫0 tz2jdτ+c2j∫0 tsig(z2j)g dτ
其中，0<g<1，c1j和c2j为正定对角矩阵，矩阵的维数与z2j有关。
7.如权利要求6所述的反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：步骤S6具体包括：
S61、当状态变量滑行至所述非奇异积分终端滑模面时，对所述非奇异积分终端滑模面的方程求导，得到定义评价信号ζj为滑模函数，则ζj＝Sj；
S62、选取所述第二Lyapunov函数并对所述第二Lyapunov函数进行关于时间的求导，得到：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sig</mi> <mi>g</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mn>2</mn> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>g</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </msubsup> </mrow>
其中，
从而得到收敛时间为
8.如权利要求5所述的反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：步骤S7中构建的所述双边控制器如下：um为主端控制器，us为从端控制器：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;T</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sig</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>m</mi> </msub> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
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其中，γ≥J，J为所述L2增益，r2为正常数，k2j为常数，i＝1,2,3,……n；Φ(z1ji)表示Φ(z1j)的第i个分量，
9.如权利要求8所述的反步有限时间双边遥操作控制方法，其特征在于：步骤S8具体包括：
选取一第三Lyapunov函数
对选取的所述第三Lyapunov函数进行求导，得到
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>3</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>j</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>j</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>M</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>j</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sig</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </msub> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sig</mi> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>j</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;T</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mover> <mi>M</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>n</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sig</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </msub> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中，下标v＝m,s，并且v≠j，K1j＝k1j·I，I为单位矩阵，Pdelay表示时延及其导数所产生的跳变量之和，Punj表示主/从端受到的外界干扰和系统参数不确定形成的干扰；
由于则有
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>3</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sig</mi> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>j</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;T</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>n</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sig</mi> <msub> <mi>g</mi> <mi>j</mi> </msub> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sig</mi> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>n</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>S</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中，γ为任意给定的正实数，
定义其中ζ为自定义的评价信号；
则有
由于
从而Hj≤0，此时定义其中可得Jj≤γ，闭环控制系统满足从所述双边遥操作控制机器人系统的总不确定性到性能输出的L2增益；
从而其中，θ2＝k2jλmin(Mj0)，rj＝max(r1j,r2j)，
得到主端和从端的收敛时间为
状态变量收敛时间的上限为TE＝max{Tm,Ts}。
10.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于：该计算机程序被处理器执行时实现权利要求1-9任一项所述方法的步骤。
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